Численное моделирование течения газа в трёхмерных эжекторных соплах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Инякин, Владимир Александрович

• Инякин, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Инякин, Владимир Александрович

Введение.

Глава 1 Математическая модель течения. Вычислительный алгоритм.

1. Описание задачи.

2. Описание движения газа.

2.1. Уравнения Навье-Стокса.

2.2. Моделирование параметров турбулентности.

2.3. Моделирование перемешивания продуктов сгорания и охлаждающего воздуха.

3. Постановка краевых условий.

3.1. Краевые условия на входе в расчетную область.

3.2. Краевые условия на внешних границах расчетной области и в ее выходном сечении.

3.3. Краевые условия на твердых стенках.

4. Разностная сетка.

4.1. Построение разностной сетки.

4.2. Определение геометрических характеристик ячеек разностной сетки.

5. Численное интегрирование уравнений, реализация итерационного процесса.

5.1. Аппроксимация частных производных.

5.2. Организация итерационного процесса.

5.3. Начальное приближение.

6. Интегральные характеристики устройства.

Глава 2 Разработанный комплекс программ.

7. Программная реализация алгоритма решения задачи.

7.1. Структура расчетной области.

7.2. Основные программные единицы комплекса.

8. Визуализация результатов расчётов.

Глава 3 Результаты проведённых расчётов.

9. Общая характеристика проведённых расчётов.

10. Тестовые расчёты.

10.1. Расчеты на разных сетках.

10.2. Исследование влияния размеров рассматриваемой области на результаты расчетов.

10.3. Результаты расчетов при холодных продувках.

10.4. Зависимости интегральных характеристик от геометрии эжекторного контура.

11. Исследования реальных течений.

11.1. Решение поставленной задачи с различными газами в расчетной области.

11.2. Решение задачи в сильно несимметричном сопле.

11.3. Решение задачи с «перекрыванием» струи из сопла.

11.3. Решение задачи с сильно раскрытым эжекторным соплом.

Глава 4. Иллюстрации и таблицы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование течения газа в трёхмерных эжекторных соплах»

Бурное развитие науки и техники, а особенно вычислительных устройств, придают моделированию сложных физических явлений новый импульс. Это означает, что с помощью современных методов моделирования, подкреплённых развитым аппаратом численных методов решения систем уравнений и всё возрастающими возможностями вычислительной техники, становится возможным предварять изготовление сложных технических устройств и приборов проведением серий численных экспериментов, направленных на выбор оптимальных параметров будущей системы. В результате достигается значимый экономический эффект, поскольку часто изготовление в какой бы то ни было мере действующего образца той или иной машины (экспериментальной модели) обходится в десятки раз дороже, чем построение математической модели и проведение расчётов. Поэтому всякое исследование, посвящённое моделированию и изучению течений газа, является актуальным и имеющим безусловное практическое значение.

Согласно существующим представлениям [1],[2], технология численного моделирования в динамике жидкостей и газов включает в себя три тесно связанных между собой основных этапа:

• Формулировка математической модели, т.е. выбор системы дифференциальных уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями, описывающей рассматриваемое течение.

• Разработка численного алгоритма решения сформулированной краевой задачи.

• Программная реализация разработанного алгоритма и проведение с помощью вычислительной техники численных исследований (численного эксперимента), направленных на оценку адекватности используемой математической модели физическому процессу, с одной стороны, и на определение количественных характеристик этого процесса - с другой.

Общий подход к моделированию течения вязкого многокомпонентного газа при решении различных задач данного направления традиционен. В качестве уравнений модели используют систему осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, (дополненные уравнением перемешивания диффузного типа в случае многокомпонентной среды), которые замыкаются с помощью той или иной модели турбулентности.

Модели турбулентности на начальном этапе исследований были однопараметрическими (модель Прандтля), однако в последнее время используются в основном двухпараметрические модели турбулентности. Все подобные модели являются полуэмпирическими и базируются на экспериментальных данных.

Система осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса представляет собой наиболее общую систему уравнений движения вязких газовых смесей в режиме сплошной среды и обеспечивает адекватное описание подавляющего большинства как внутренних, так и внешних течений, имеющих практический интерес. При использовании этой системы для численного моделирования конкретных течений специфика этих течений определяется начальными и граничными условиями, которые несут в себе информацию об особенностях рассматриваемого течения и тем самым позволяют выделить его из всего многообразия течений, описываемых этой системой уравнений. Именно в связи с этим обстоятельством проблема задания граничных условий для системы уравнений Навье-Стокса является одной из центральных проблем вычислительной гидроаэродинамики [3].

Основными типами границ течений являются: твёрдые стенки, ось или плоскость симметрии, «входное» и «выходное» сечения потока (так называемые проницаемые границы).

Твёрдые стенки являются реальными физическими границами потока. Проблеме задания граничных условий на твёрдых стенках посвящено большое число специальных исследований [4]-[6], в которых показано, в частности, что для рассматриваемых в настоящей работе течений вязкой газовой смеси в режиме сплошной среды [7] граничные условия для системы уравнений Навье-Стокса представляют собой макроскопические условия отсутствия динамического скольжения газа на стенке и условия материального и теплового баланса на поверхности раздела газ - твёрдое тело.

Условия на оси (плоскости) симметрии основаны на допущении о том, что если область, в которой исследуется течение, имеет ось или плоскость симметрии и, кроме того, начальные условия, граничные условия на твёрдых стенках и на входе и на выходе также симметричны относительно этой оси (плоскости), то и искомое решение обладает аналогичным свойством. Это значит, что на этой оси (плоскости) выполняются условия v.=0, дп где Ф - любая из остальных искомых функций, п - расстояние от оси (плоскости) симметрии, отсчитываемое по направлению внешней нормали к оси (плоскости) симметрии, v„ - проекция скорости на направление внешней нормали.

Входная», «боковая» и «выходная» границы области, в которой исследуется течение, также как и ось (плоскость) симметрии, не являются физическими границами потока. Однако если на оси (плоскости) симметрии характер поведения искомых функций в большинстве случаев ясен из соображений симметрии, то о свойствах потока на проницаемых границах области, как правило, трудно сказать что-либо определённое. В данной работе газовая смесь подаётся в область, в которой проводится исследование течения, из камеры сгорания двигателя и из области набегающего потока, а на выходе из этой области свободно истекает в окружающее пространство. Поэтому при исследовании течения в данной работе параметры потоков, подающихся в рассматриваемое устройство из камеры сгорания и из набегающего потока, считаются известными. На выходной границе области задаются так называемые мягкие условия. Все условия, которые задаются на проницаемых границах области, удовлетворяют двум принципам [3]:

1. Для соответствия всего численного решения результатам эксперимента необходимо, чтобы имело место соответствие граничных условий во входном сечении потока.

2. Граничные условия на выходной границе должны предоставлять потоку на этой границе максимально допустимую свободу и в то же время обеспечивать получение искомого решения задачи.

В данной работе исследуется стационарное течение газа. Для нахождения стационарного решения задачи в работе применяется метод установления. Метод установления достаточно активно использовался при расчёте невязких стационарных течений газа. Суть его состоит в использовании для решения стационарной задачи нестационарных уравнений газовой динамики [8]. Для нестационарных уравнений решается краевая задача с граничными условиями, соответствующими граничным условиям стационарной задачи, не зависящими от временной координаты. Искомое стационарное решение получается как предел, к которому стремится нестационарный процесс с ростом времени. Такой приём, хотя и повышает на единицу размерность задачи, тем не менее оправдан. Дело в том, что исследуемое течение в разных зонах области будет иметь различный (дозвуковой или сверхзвуковой) характер и будет описываться уравнениями смешанного эллиптико - гиперболического типа. Введением же временной координаты задача сводится к решению гиперболических уравнений.

Применительно к расчёту течений невязкого газа метод установления разрабатывался многими авторами, см. например, [9]-[16].

В настоящее время для многих типов вязких газовых течений уже имеются примеры расчётов на основе полной системы уравнений Навье-Стокса (см., например, [17]-[19]). Используемые при этом итерационные конечно-разностные методы можно разделить на несколько основных групп, среди которых выделим две.

1. Полностью явные конечно-разностные методы. Явные методы называются так потому, что значения искомых величин на (п+1) - ой итерации определяются через значения на п - ой итерации напрямую, по явной формуле. Наиболее популярными среди схем этого типа являются различные варианты явной схемы Мак-Кормака [20],[21]. Они, в частности, применяются в работах, посвящённых численному моделированию процессов в гиперзвуковых прямоточных воздушно-реактивных двигателях [22]-[24].

Основными достоинствами явных конечно-разностных схем являются их простота и наглядность, отсутствие трудностей при реализации сложных граничных условий, часто встречающихся при расчёте течений реагирующих смесей, а также лёгкость приспособления соответствующих алгоритмов для вычислительной техники с векторными процессами [25].

Вместе с тем, как известно, (см. [2],[3]) при использовании явных конечно-разностных схем на значение шага интегрирования по времени налагается ряд ограничений, диктуемых соображениями устойчивости.

Необходимость выполнения этих ограничений значительно снижает эффективность явных конечно-разностных схем, особенно при расчёте стационарных течений методом установления по времени, когда на временной шаг (в данном случае он рассматривается как итерационный параметр) не накладывается никаких ограничений с точки зрения точности аппроксимации исходных нестационарных дифференциальных уравнений. Поскольку в работе рассматривается именно задача по расчёту стационарного течения с помощью метода установления, использование явных методов было признано нецелесообразным.

2. Неявные разностные схемы. Неявные методы называются так потому, что для того, чтобы определить значения искомых величин на (п+1) - ой итерации, необходимо применять процедуру обращения вспомогательного оператора и применение явной зависимости этих величин от значения величин на п - ой итерации не представляется возможным.

Основные достоинства неявных схем, обусловившие их быстрое и широкое распространение в практике решения разнообразных внешних и внутренних задач динамики вязкого газа, заключаются в следующем. Эти схемы являются высокоустойчивыми и пригодны для расчёта течений в широком диапазоне чисел Маха. Это позволяет в полной мере реализовывать преимущество высокоустойчивых разностных схем, заключающееся в возможности использования произвольных шагов по времени при расчёте стационарных течений методом установления. Следует, однако, иметь в виду, что использование больших значений шагов по времени не всегда обеспечивает наиболее высокую скорость сходимости неявных схем к стационарному решению. Значительно более выгодным может оказаться использование комбинаций малых и больших шагов по времени, обеспечивающих эффективное подавление соответственно коротковолновых и длинноволновых возмущений решения [26],[27].

Бурное развитие вычислительной техники позволяет решать задачи, учитывающие более тонкие физические эффекты. Работы по исследованию течений газов ведутся многочисленными группами исследователей и для целого ряда устройств. В настоящий момент широко развито направление численного моделирования как внутренних, так и внешних течений газов.

Отметим ряд работ, посвященных исследованию течений газов, сходных с исследуемым в данной работе течением. Это задачи по моделированию течений в газотурбинных двигателях и в осевых турбомашинах. Практика проектирование газотурбинных двигателей ранее в основном использовала одномерные модели [28],[29], а в настоящее время, опираясь на интенсивно растущие возможности и широкую доступность компьютеров, обращается к более сложным пространственным моделям [30].

Особо остановимся на работах, посвященных исследованию течений вязкого газа в проточной части многоступенчатой осевой турбины [17]-[19]. Задача, которая рассматривалась в этих работах, с точки зрения построения моделей и численных алгоритмов имеет много общего с той задачей, которая решается в рамках данной работы. К существенным сложностям при исследовании течения в турбине следует отнести моделирование вдувания охлаждающего воздуха, радиальную симметрию расчётной области, наличие вращающихся частей исследуемого устройства. В рассматриваемой в диссертации задаче такие проблемы отсутствуют. Тем не менее, наличие в исследуемой задаче внутреннего и внешнего течений, необходимость учёта их взаимодействий и принципиальной возможности качественного изменения характера течения в зависимости от геометрических характеристик исследуемой области делает работу актуальной и практически важной.

Данная работа посвящена математическому моделированию течения газа в эжекторном контуре. Эжекторный контур представляет собой систему, состоящую из внутреннего сопла (через него происходит истечение продуктов сгорания компонент топлива) и внешних воздухозаборников (через них к выходу внутреннего сопла поступает газ из набегающего потока). Задача построения модели, описывающей течение газов в таком устройстве, является весьма сложной. Основным фактором, наиболее полно характеризующим сложность решения такой задачи, является тот факт, что в задаче рассматривается внутренне - внешнее течение двухкомпонентной смеси газов. Исследуются реальные газы, т.е. такие газы, что теплофизические параметры их в общем случае могут меняться в зависимости от температуры и давления в той или иной точке расчётной области. Кроме того, устройство, которое находится в расчётной области, обладает рядом определённых геометрических особенностей, которые требуют тщательного разрешения пограничных слоёв при исследовании течения газовой смеси. Это диктует с одной стороны необходимость сгущения разностной сетки вблизи жёстких поверхностей, с другой стороны необходимо вводить в уравнения модели различные дополнительные члены, призванные детально описывать физические процессы в пристеночных слоях. Численное решение сходных задач по исследованию течения газа в проточных частях турбомашин показало, что при исследовании процессов подобного рода необходимо учитывать турбулентный характер рассматриваемого течения. Этим продиктован выбор в качестве уравнений математической модели системы уравнений Навье-Стокса, осреднённых по Рейнольдсу, и замкнутой уравнениями полуэмпирической двухпараметрической модели турбулентности. Многочисленные исследования в данном направлении показали оправданность данного шага (см. [17]-[19]).

Рассмотрение в качестве объекта исследования течения двухкомпонентной смеси различных газов (причём различие допускается как по термодинамическим параметрам, так и по параметрам торможения) продиктовало включение в модель уравнения, описывающего перемешивание компонент газа в расчётной области. Это уравнение является уравнением диффузии.

Внутренне-внешнее течение газа в расчётной области, а также использование в качестве уравнений модели системы уравнений Навье-Стокса требует, как уже говорилось выше, тщательной проработки вопроса об условиях на границах расчётной области. Основная проблема в данном случае связана с моделированием набегающего потока. Эта частная задача решается путём использования простейшего двухслойного представления пограничного слоя и применения «закона стенки» (степенная зависимость скорости от расстояния до стенки). Поток, подающийся в сопло, считается турбулентным и характеризуется параметрами торможения и заданными параметрами турбулентности (в данной работе этими параметрами являются интегральный масштаб турбулентности и кинетическая энергия турбулентных пульсаций). Граничные условия на боковых границах расчётной области и в выходном сечении выбираются «мягкими»: требуется обращение в нуль вторых производных параметров по направлению основного движения потока. На жёстких стенках выставляются условия прилипания и отсутствия теплового потока к стенке.

Выше излагались особенности модели, предлагаемой для описания исследуемого течения. Сложность задачи состоит в том, что при интересующих параметрах набегающего потока и струи продуктов сгорания, а также геометрической конфигурацией эжекторного сопла, картина течения является сложной и многообразной. Присутствуют пограничные слои, зоны возвратно - циркуляционных течений, зоны перемешивания и т.д. Представленный в работе алгоритм позволяет разрешать сложные структуры течений и проводить серии расчётов для самых разнообразных режимов, предельных изменений геометрии рассматриваемого устройства и различных параметров компонент смеси.

Указанный результат достигается путём построения подходящей рассматриваемой задаче разностной сетки, проведения аппроксимаций частных производных, имеющих малую схемную вязкость, и реализации итерационного процесса по поиску стационарного решения задачи с помощью метода установления.

Следует отметить, что алгоритм нахождения численного решения задачи должен позволять организовывать многократные и разносторонние исследования течений при различных входных данных посредством проведения серий численных экспериментов. Для этого был создан программный комплекс, включающий в себя модуль для генерации разностной сетки, модуль для вычисления геометрических характеристик ячеек, модуль, реализующий итерационный процесс для нахождения численного решения задачи, модуль для определения интегральных характеристик исследуемого устройства и модуль для визуализации полученных результатов.

Были проведены две серии расчётов, направленных на исследования параметров течения смеси газов в эжекторном сопле:

• Тестирование алгоритма. Цель экспериментов этой серии -определение оптимальных значений параметров модели, оценка влияния включённых в модель факторов, проверка способности алгоритма разрешать сложные картины течения.

• Исследование реального сопла. Здесь целю является - рассмотрение различных интересных с точки зрения практического применения течений в эжекторных соплах определённой конфигурации,.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка используемых источников.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Инякин, Владимир Александрович

Заключение

Основными результатами работы можно считать следующее:

1. Предложена модель течения вязкого двухкомпонентного газа в эжекторном сопле. В её основе лежат осреднённые по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса, дополненные двухпараметрической моделью турбулентности Кокли. Определены условия на границах расчётной области и жёстких стенках.

2. Разработан и реализован алгоритм численного решения уравнений модели, включающий в себя построение разностной сетки, организацию итерационного процесса и задание оптимального начального приближения.

3. Предложен алгоритм, позволяющий вычислять интегральные характеристики устройства на основе законов сохранения.

4. Проведена серия тестовых расчётов, направленных на определение оптимальных параметров алгоритма численного решения задачи (размеров разностной сетки, размеров расчётной

11277212 области) и степени влияния включённых в модель параметров на вычисляемые интегральные характеристики.

5. Проведена серия расчётов, посвященных анализу влияния различных геометрических характеристик эжекторного контура на течение реальных газов в эжекторном сопле; исследовались как количественные, так и качественные характеристики потоков; проведён анализ полученных решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Инякин, Владимир Александрович, 2005 год

1. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. -М.: Наука, 1981.

2. Ковеня В.М, Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981

3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

4. Тирский Г.А. Условия на поверхности сильного разрыва в многокомпонентных смесях. // Прикл. матем. и механ. 1961. - Т. 25, №2.-С. 196-208.

5. Овсянников В.М., Тирский Г.А. Разрушение осесимметричного тела вращения из материала сложного химического состава в потоке диссациированного и частично ионизированного воздуха. // Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа. 1968. - №2. - С. 100-110.

6. Суслов О.Н., Тирский Г.А., Щенников В.В. Описание химически равновесных течений многокомпонентных ионизованных смесей в рамках уравнений Навье-Стокса и Прандтля. // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1971. -№1. - С. 73-89.

7. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6-е, перераб. - М.:1. Наука, 1987.

8. ПирумовУ.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. М.:

9. Высшая школа, 1987. 232 с.

10. С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов.

11. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, 400 с.

12. Дьяконов Ю.Н., Пчёлкина Л.В. О прямой задаче для сопла Лаваля. // Докл. АН СССР. 1970. -Т.191, №2. - С. 301-304.

13. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. // Изв. АН СССР. МЖГ. -1969. -№ 5.-С.77-83.

14. Киреев В.И, Лифшиц Ю.Б. О трансзвуковом течении газа в осесимметричных соплах Лаваля с крутыми стенками. // Изв. АН СССР. МЖГ. -1970, № 6. - С.55-58.

15. Киреев В.И., Лифшиц Ю.Б., Михайлов Ю.Я. О решении прямой задачи сопла Лаваля. // Учён. зап. ЦАГИ. 1970. - Т. I, № 1. - С. 8-13.

16. Лаваль П. Нестационарный метод расчёта трансзвуковых течений в соплах. // Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973. - С. 9-17.

17. Росляков Г.С., Скляр Н.В., Фельдман Е.Г. Расчёт течения газа в сопле Лаваля. // Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 34. / Под ред. В.М. Пасконова, Г.С. Рослякова. М.: Изд-во МГУ, 1981. -С.63-70.

18. Чэнг Иши. Одно- и двухкомпонентные течения в соплах. // Ракетн. техн. и космонавтика. 1980. - № 12. - С. 59-67.

19. Зубов В.И., Котеров В.Н., Кривцов В.М., Шипилин А.В. Комплекс программ для расчёта трёхмерного течения газа в проточной части многоступенчатой осевой турбины, ВЦ РАН, 1997.

20. Ашрафъян Э.Э., Гойхенберг М.М., Зубов В.И, Котеров В.Н., Кривцов В.М., Шипилин А.В. Компьютерная модель 3dNS для расчёта пространственных течений вязкого газа в многоступенчатых охлаждаемых осевых турбинах, ВЦ РАН, 2001.

21. Труды всероссийской конференции. ВЦ им. А.А. Дородницына РАН, Москва, 2004 г. Изд-во ВЦ РАН, 2004, С. 119-130.

22. MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. // AIAA Pap. 1969. - N 354. - P.7.

23. MacCormack R.W., Baldwin B.S. A numerical method for solving the Navier-Stocks equations with application to shock-boundary layer interactions. // AIAA Pap. 1975. - N 1. - P. 8.

24. Drummond J.P. Numerical study of a ramjet dump combustor flow field. // AIAA Pap. 1983. - N 421. - P. 12.

25. Drummond J.P., Weidener E.H. Numerical study of a scramjet engine flow field. // AIAA Pap. 1981. - N 186. - P. 13.

26. Berman H.A., Anderson J.D., Jr., Drummond J.P. Supersonic flow over a rearwards facing step with transverse nonreacting hydrogen injection. // AIAA J. 1983. - V. 21, N 12. - P. 1707-1713.

27. Turkel E. Progress in computational physics. // Comput. and Fluids. 1983. - V.l 1, N 2. -P. 121-144.

28. McDonald H., Briley W.R. Computational fluid dynamic aspects of internal flows. // AIAA Comput. Fluid Dyn. Conf., Williamsbourg, Va., 1979. -New York, N.Y., s.a. P.266-283.

29. Briley W.R. McDonald H. On the structure and use of linearized block implicit schemes. // J. Comput. Phys. 1980. - V.34, N 1. - P.54-73.

30. Теория двухконтурных турбореактивных двигателей (под ред. С.М. Шляхтенко и В.А. Сосунова). // М., Машиностроение, 1979, 432 с.

31. L.H. Fishbach. Computer simulation of engine systems. // AIAA Paper,1980, N80-0051.

32. Mathematical models of gas turbine engines and their components. //

33. AGARD Lecture Series TCP 02/LS 198, 1994, 192p.51 .Нигматулин P.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 464 с. 32. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемойжидкости. // Изв. АН СССР, сер. Физ. 1942. - Т.6, № 1-2.

34. Launder B.E., Sharma B.I. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near the spinning disc. // Letters in Heat and Mass Transfer. -1974-V.1.-P.131-138.

35. Chien K.-Y. Predictions of channel and boundary-level flow with low-Reynolds-number turbulence model. // AIAA J. 1982. - V. 20, №1. - P. 33-38

36. Lam C.K.G. Bremhorst K.A. Modified form of the (k-e)- model predicting wall turbulence. // J. Fluids Eng. 1981. - V. 103. - P.456- 460.

37. Лапин Ю.В., Стрелец M.X. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989.

38. Пейтел В.К., Роди В., Шойерер Г. Модели турбулентности для течений в пристеночной области с малыми числами Рейнольдса: обзор. // Аэрокосмическая техника. -1986. №2. - С. 183-197.

39. Wilcox D.C., Rubesin W.M. Progress in turbulence modeling for complex flow fields including effects of compressibility. // NASA Tech. Pap. 15171980.

40. Coacley T.J. Turbulence modeling methods for the compressible Navier-Stokes equations: AIAA Paper, 1983, №83-1693.

41. Coacley T.J. Numerical simulation of viscous transonic airfoil flows: AIAA Paper. №87-0416. 1987.

42. Vuong S.T., Coacley T.J. Modeling of turbulence for hypersonic flows with and without separation: AIAA Paper. 1987. №87-0286.

43. B.H. Котеров, А.Д. Савельев, А.И. Толстых. Численное моделирование аэрооптических полей около приемного порта воздушной обсерватории. // Математическое моделирование. 1997. Т. 9. №1. С. 27.

44. Knight C.J., Choi D., Development of a viscous cascade code based on scalar implicit factorization: AIAA Paper. 1987. №87-2150.

45. Иванов М.Я., Крупа В.Г. Неявный нефакторизованный метод расчета турбулентных течений вязкого теплопроводного газа в решеткахтурбомашин. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. №5. С. 754.

46. Прандтлъ Л. Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности. // Проблемы турбулентности. М. : ОТНИ, 1936. - С. 9-34.

47. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

48. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1976.

49. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Алгоритм построения криволинейных сеток из выпуклых четырехугольников. // Доклады АН СССР. 1987. Т. 295. №2. С. 280-283.

50. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сетки. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. №11. С. 1662-1684.

51. Котеров В.Н. Построение пространственных сеток в многоступенчатых осевых турбинах с использованием вариационного барьерного метода. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2005, т.45, № 8, С. 1374-1382.

52. Зубов В.И., Инякин В.А., Котеров В.Н., Кривцов В.М. Численное моделирование пространственных турбулентных течений газа в сложных сопловых устройствах. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 2005, т. 45, №10, С. 1871-1885.

53. Инякин В.А. Численное моделирование течений газа в сопловых устройствах эжекторного типа. // Научное издание ВЦ РАН. М., 2005. -46 с.

54. В.М.Кривцов Об одной численной схеме решения уравнений Навье-Стокса. // Журн.вычисл. матем.и матем физики, т.26, N 6,1986, с.914-923.

55. В.Н.Котеров, А.С.Кочерова, В.М.Кривцов Об одной методике расчета течений несжимаемой жидкости. // Журн. вычисл.матем. и матем. физ. 2002. Т.42. №4. С.550-558.

56. Пиру мое У.Г., Росляков Г.С. Течения газа в соплах. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978.

57. Чёрный Г.Г. Газовая динамика. М., Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

58. С.К. Годунов. Разностный метод численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики. // Матем. сб. 1959, т. 47(89), №3, С. 271-306.

59. С.К. Годунов, А.В. Забродин, Г.П. Прокопов. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчёт обтекания с отошедшей ударной волной. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1961, т. 1, № 6, С. 1020-1050.

60. В.И. Зубов, В.А. Инякин, В.Н. Котеров, В.М. Кривцов, А.В. Шипилин Численное моделирование турбулентного течения сжимаемого газа в трёхмерных эжекторных соплах. // Труды XLVI научной конференции МФТИ. М. - Долгопрудный, 2003. - С. 87.