Численное моделирование тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Павлов, Борис Никифирович

• Павлов, Борис Никифирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлов, Борис Никифирович

Содержание

Введение

Глава 1. Математическая формулировка задач

1.1. Краткий обзор литературы

1.2. Вывод основных уравнений

Глава 2. Одномерные фронтовые модели промерзания водонасыщенных пористых сред

2.1. Зависимость температуры фазового перехода от порового давления

2.2. Зависимость температуры фазового перехода от давления и концентрации

Выводы ко второй главе

Глава 3. Одномерные математические модели с учетом образования двухфазной зоны

3.1. Учет фильтрации влаги

3.2. Учет диффузии соли

Выводы к третьей главе

Глава 4. Обобщение на двумерный случай

4.1. Математическая модель промерзания - протаива-

ния пористой среды, насыщенной раствором соли 87 Выводы к четвертой главе

Заключение

Обозначения ^^^

Ю8

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах»

Введение

Актуальность темы. Для районов с сезонным и глубоким протаиванием земной коры одним из решающих факторов, определяющих их физико - технические свойства, является тепловое состояние почв и горных пород. Известно, что глубокому промерзанию земной коры подвержены около половины территории России, части земель, принадлежащих таким государствам как США, Канада, Монголия, Китай.

Изменение физико-технических,теплофизических свойств почв и горных пород в процессе их протаивания или промерзания приводит иногда к совершенно новым законам переноса в них механической, электромагнитной, электрической и тепловой энергии. Данные законы в практическом и тео1 ретическом плане играют существенную роль в разработке методов поиска и разведки полезных ископаемых, изучении условий распространения радиоволн и сейсмических колебаний.

Промерзание - протаивание почв и горных пород влекут такие явления, как пучение, просадка, солифлюкция, перераспределение влаги и формирование криогенной структуры, морозобойное растрескивание и образование жильных льдов и т.п. Так, например, протаивание мерзлых грунтов может привести к разрушению наземных и подземных сооружений. В то же время, рыхлые талые грунты после промерзания приобретают свойства скальных грунтов из которого следуют соответствующие преимущества в строительстве соору-

жений. После промерзания значительно изменяются свойства грунтов: практически прекращается конвективный теплообмен, фильтрующие грунты становятся водонепроницаемыми. При изучении физической природы этих явлений теория тепломассопереноса имеет первостепенное значение.

Качественные математические модели и численные методы решения, позволяют значительно сэкономить, сократить расходы на научные эксперименты и, при правильном моделировании, дополняют результаты натурных наблюдений, что достигается легкостью изменения входных данных математической модели, чем натурного эксперимента. Тем самым, достигается получение широкого спектра результатов при самых разных режимах протекания природных процессов.

Экспериментальный факт наличия в мерзлых грунтах не-замерзшей воды, сосуществующей со льдом был обобщен Н.А.Цытовичем: "... в любой момент времени в мерзлом грунте (в порах или между контактами минеральных частиц) предполагается наличие некоторого количества воды в жидкой среде, находящейся в равновесном состоянии с рядом внешних факторов (температурой, давлением и пр.)" [77]. Таким образом, возникла принципиально новая проблема - необходимость в дополнение к теплопереносу в мерзлом грунте учитывать массоперенос и рассматривать их взаимовлияние.

Целью настоящей работы является: разработка эффективных вычислительных алгоритмов, пригодных для численной реализации одно- и многомерных задач тепломассопереноса с протяженной областью фазовых переходов.

Задачи исследований:

1. Построение эффективного метода расчета для фронтовой модели промерзания пористой среды насыщенной как пресной водой так и раствором соли.

2. Исследование одномерной задачи теплообмена и массо-переноса при фазовых переходах с образованием двухфазной области. Построение численного метода расчета, позволяющего исследовать модели в случае периодических граничных условий (сложные структуры вида талая - двухфазная -талая - ... или двухфазная - талая - двухфазная - ...).

3. Исследование двумерной математической модели с учетом образования в расчетной области двухфазной и талой участков.

4. Исследование предложенных численных моделей и алгоритмов на адекватность физическому процессу.

Научная новизна. В результате конкретизации фундаментальных законов механики многофазных сред разработаны упрощенные одномерные и двумерные математические модели процессов переноса тепла, растворенной в воде примеси или массы воды в промерзающе - протаивающих грунтах с учетом образования двухфазной зоны; предложен эффективный метод численного решения одномерной и двумерной задачи для уравнений тепломассопереноса в талой и двухфазной зонах, позволяющий решать "многофронтовые" задачи с широким кругом возможных граничных условий; численно реализована фронтовая модель промерзания водона-сыщенной пористой среды с вытеснением поровой влаги в направлении движения фронта как с учетом растворенных в поровой влаге примесей, так и без их учета; исследован

характер промерзания при расчете по фронтовой модели.

Теоретическая ценность. Предложенные математические модели и алгоритмы могут служить основой для построения численных алгоритмов решения широкого класса задач (многофронтовых, многомерных) с учетом массо- и солепере-носа. Также описанные задачи могут быть взяты за основу при расчете задач механики.

Практическая ценность. Предложенные численные методы решения можно использовать для решения актуальных задач строительства, разработки полезных ископаемых, экологии и т.д. в районах распространения многолетней мерзлоты. Например, при расчете устойчивости инженерных сооружений, строящихся на промерзающе - протаивающих грунтах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры информатики и вычислительного эксперимента Якутского государственного университета; на семинарах д.ф.-м.н., профессора И.Е.Егорова "Дифференциальные уравнения с частными производными"; на научно-технической конференции, посвященной памяти профессора Н.С.Иванова (6-7 декабря 1995 г.); на международной научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-96" (г.Москва, 1996); на научной конференции студентов и молодых ученых РС(Я) в рамках программы " Лаврентьевские чтения" (г.Якутск, апрель 1997 г.); на Второй Международной конференции по математическому моделированию, посвященной Году Образования Республики Саха (Якутия) и 365-летию г.Якутска (г.Якутск, 28 июня - 2 июля 1997 г.); на Второй Международной конференции "Finite -

Difference Methods: Theory and Application" (г.Минск, Беларусь, 6 - 9 июля 1998 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [52, 60, 61, 62, 63, 89, 90].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 119 страницах машинописного текста, состоит из введения,четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

В параграфе 1 главы 1 приведен краткий обзор литературы.

В параграфе 2 главы 1 дается вывод уравнений для двухфазной зоны [18], описывающих процессы переноса тепла, массы воды и растворенной в воде соли в двухфазной области.

В параграфе 1 второй главы предлагается численное решение методом ловли фронта в узел пространственно - временной сетки задачи промерзания водонасыщенной пористой среды с учетом вытеснения поровой влаги в направлении движения фронта фазового перехода и зависимости температуры фазового перехода от порового давления. Показана область параметров, при которых начинает происходить переохлаждение.

В параграфе 2 главы 2 предложен численный метод решения задачи промерзания пористой среды, насыщенной раствором соли с учетом фильтрации воды, а также диффузии соли в направлении движения фронта фазового перехода. Рассмотрено совместное воздействие давления и концентрации на температуру фазового перехода.

Параграф 1 третьей главы посвящен математической модели, описывающей перенос тепла и массы воды, с учетом

образования двухфазной зоны. Предложено упрощение модели для параметров, при которых не образуется полностью мерзлая зона, учитывается образование только двух зон: талой и двухфазной. Предлагается численная реализация методом сквозного счета. Исследуется процесс протаивания, на диаграмме приводятся полученные типичные критические кривые, отделяющие область параметров, при которых про-таивание происходит без парообразования.

В параграфе 2 главы 3 рассматривается одномерная математическая модель промерзания - протаивания насыщенной раствором соли пористой среды, с образованием двухфазной зоны. Предложена конечно-разностная схема сквозного счета и вычислительный алгоритм, позволяющий моделировать процесс промерзания - протаивания с появлением и исчезновением талых и двухфазных участков, при постановке задачи с периодическими граничными условиями для температуры. Приводится диаграмма, на которой приведены типичные критические кривые, выделяющие область начальных данных, при которых по данной модели не образуется полностью мерзлая зона.

В главе 4 предложено двумерное обобщение математической модели промерзания - протаивания пористой среды, насыщенной раствором соли, с учетом образования двухфазной зоны. Предлагаемая локально - одномерная схема для решения задачи исследована для различных граничных и начальных условий, с образованием сложных структур вида талая - двухфазная - талая - ... или двухфазная - талая -двухфазная - ... .

В заключении приведены основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Павлов, Борис Никифирович

Выводы к четвертой главе

1. Алгоритм решения двумерной задачи промерзания - про-таивания пористой среды, насыщенной раствором соли показал удовлетворительную вычислительную устойчивость.

2. Двумерная математическая модель промерзания - про-таивания насыщенной раствором соли пористой среды может применяться в различных расчетах при строительстве, разработке полезных ископаемых и т.д. так как допускает постановку большого спектра граничных условий. Используя все преимущества двумерного описания можно ставить численные эксперименты при различных режимах как про-таивания так и промерзания засоленных грунтов.

Заключение

Полученные в работе результаты могут быть сформулированы следующим образом:

1. Предложен эффективный метод численного решения одномерной "фронтовой" задачи промерзания водонасыщен-ной пористой среды с учетом вытеснения поровой влаги в направлении движения фронта и зависимости температуры фазового перехода от порового давления.

2. Численно реализована и исследована фронтовая модель промерзания насыщенной раствором соли пористой среды, учитывающая тепломассоперенос в талой области, а также зависимость температуры фазового перехода от порового давления и концентрации растворенной примеси.

3. Предложено численное решение методом сквозного счета одномерной задачи промерзания - протаивания пористой среды, с учетом переноса воды и тепла в двухфазной и талой областях.

4. В результате обобщения существующих математических моделей предложена модификация одномерной математической модели промерзания - протаивания насыщенной раствором соли пористой среды с образованием двухфазной зоны, учитывающая диффузионные процессы переноса тепла и соли в талой и двухфазной областях.

5. Предложено численное решение методом сквозного счета одномерной задачи переноса тепла и массы соли в двухфазной и талой областях. Данный алгоритм пригоден для моделирования процессов промерзания - протаивания с чередующимися фазовыми составами типа талая - двухфазная -талая -. (двухфазная - талая - двухфазная - .) и позволяет учитывать годовые, суточные и т.п. колебания температуры.

6. Предложено двумерное обобщение математической модели промерзания - протаивания насыщенной раствором соли пористой среды с учетом образования двухфазной зоны. Построены конечно-разностные схемы для решения методом сквозного счета. Задача исследована при различных граничных условиях на прямоугольной области.

7. Разработан комплекс прикладных программ решения задач тепломассопереноса.

Обозначения

С - теплоемкость [Дж/(кг К)] р - плотность [кг/ «м3 ] Л - теплопроводность [Вт/(м К)] г - время [с] Т - температура [К] с - концентрация растворенной примеси р - давление [Па] V - влажность д - скрытая теплота плавления [Дж/кг] т - пористость к[ - проницаемость талого грунта р - вязкость воды

Кш - коэффициент сжимаемости воды

Квс - коэффициент сжимаемости пористого скелета

1"г- - коэффициент сжимаемости льда

Ь - длина [м]

А - амплитуда а, г] - коэффициенты понижения фазового перехода к = - коэффициент пьезопроводности Рг - период 5 - номер итерации.

Эффективная теплоемкость и теплопроводность Срт(у) = С8ср8с + т(СюрюР + СгРг{1 ~ 1у)) Ат(и) = А5С + т(Ху)1/ + А,-(1 - и))

Индексы: ее - скелет % -лед IV - вода т, в - мерзлая /, / - талая а - автомодельное решение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлов, Борис Никифирович, 1999 год

Литература

[1] Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. - Рига: Зинатне, 1980.

[2] Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. -М.: Недра, 1984. 208 С.

[3] Бондарев Э.А., Васильев В.И. Искусственное замораживание фильтрующих грунтов. //Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. -Новосибирск, 1987. С.38-47.

[4] Бондарев Э.А., Красовицкий Б.А. Температурный режим нефтяных и газовых скважин. - Новосибирск: Наука, 1974.

[5] Борисов В.Т. Кристаллизация бинарного сплава при сохранении устойчивости. //Докл. АН СССР. 1961. Т.136. N3. С.583-586.

[6] Борисов В.Т. Двухфазная зона при кристаллизации сплава в нестационарном режиме. //Докл. АН СССР. 1962. Т.142, N3. С. 581-583.

[7] Борисов В.Т., Виноградов В.В., Тяжельникова И.Л. Квазиравновесная теория двухфазной зоны и ее применение к затвердеванию сплавов // Изв. вузов. Черная металлургия. 1977, N5. С.127-134.

[8] Будак Б.М., Гольдман H.JL, Успенский A.B. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. VI выпуск под редакцией Будака Б.М. и Климова Г.П. -М.: Изд-во Московского университета, 1967. С.206-230.

[9] Будак Б.М., Соловьева E.H., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // ЖВММФ. 1965. Т.5, N5. С.828-840.

[10] Вабищевич П.Н. Численное моделирование. -М.: Изд-во Московского университета, 1993. 152 С.

[11] Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. -М.: Изд-во Моск-го университета, 1987. 164 С.

[12] Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Об одном методе численного решения задачи Стефана. //Вестник МГУ. Сер.15 1983. N4. С.17-22.

[13] Васильев В.И. О фронтовой модели замораживания толщи раствора. // Мат. заметки ЯГУ. 1994. Вып. 1. С. 136-144.

[14] Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. -Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1985. 159 С.

[15] Васильев В.И. Численная реализация моделей замораживания водонасыщенного грунта. //Матем. моделирование. 1995. Т.7, N8. С.91-104.

[16] Васильев В.И., Михайлова P.C. Численное решение задач конвективной диффузии. //Процессы переноса в деформируемых пористых средах. -Якутск, 1980. С.102-110.

[17] Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Математическая модель замерзания-таяния засоленного мерзлого грунта // Прикладная механика и техническая физика, 1995, т.36, N5. С. 57-66.

[18] Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. -М.: Наука. Физматлит, 1996. - 224 с.-ISBN 5-02-015056-8.

[19] Вукалович М.П. Термодинамические свойства воды и водяного пара. -М.: Машгиз, 1955. 92 С.

[20] Вычислительные методы и программирование. Вып.VI // Сборник работ ВЦ МГУ. Под редакцией Б.М.Вудака и Г.П.Климова. Под общим руководством И.С.Березина. -М.: МГУ, 1967.

[21] Данилюк И.И. О задаче Стефана // УМН. 1985. В.5(245). С.132-185.

[22] Додж Б.Ф. Химическая термодинамика. - М.: ИЛ, 1950. 786 С.

[23] Дробышевич В.И. Алгоритм решения двухфазной задачи Стефана на основе формул потоковой прогонки // Числ. методы и пакеты программ для решения уравнений математической физики. -Новосибирск, 1983. С.73-77.

[24] Дубина М.М., Красовицкий Б.А., Лозовский A.C., Попов Ф.С. Тепловое и механическое взаимодействие инженерных сооружений с мерзлыми грунтами. - Новосибирск: Наука, 1977.

[25] Дубина М.М., Красовицкий Б.А. Теплообмен и механика взаимодействия трубопроводов и скважин с грунтами. -Новосибирск: Наука, 1983.

[26] Дубина М.М., Красовицкий Б.А. Замерзание талой зоны вокруг скважины в мерзлых породах с учетом зависимости температуры замерзания от давления // ИФЖ. 1985. Т.48, N1. С.122-129.

[27] Ентов В.М., Максимов A.M. К задаче о промерзании раствора соли // ИФЖ. 1986. Т.51, N5. С.817-821.

[28] Ентов В.М., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Об образовании двухфазной зоны при кристаллизации смеси в пористой среде // Докл. АН СССР . 1986. Т.288, N3. С.621-624.

[29] Ентов В.М., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при промерзании пористой среды. М.: Институт проблем механики АН СССР, 1986.

[30] Иванов Н.С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. -М.: Наука, 1969. 240 С.

[31] Иванцов Г.П. "Диффузионное" переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава // Докл. АН СССР. 1951. Т.81, N 2. С.179-181.

[32] Изаксон В.Ю., Петров Е.Е. Численные методы прогнозирования и регулирования теплового режима горных по-

род области многолетней мерзлоты. -Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1986. 96 С.

[33] Изаксон В.Ю., Петров Е.Е., Ков леков И.И. Прогноз термомеханического состояния многолетнемерзлого массива. -Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1989. 108 С.

[34] Изаксон В.Ю., Петров Е.Е., Самохин A.B. Расчет крепи горных выработок в многолетней мерзлоте. -Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1988. 124 С.

[35] Изаксон В.Ю., Самохин A.B., Петров Е.Е., Слепцов В.И. Вопросы устойчивости обнажений многолетнемерзлых горных пород. -Новосибирск: Наука, 1994. 165 С.

[36] Ильин В.П. Прямой анализ устойчивости метода прогонки // Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. -Новосибирск, 1985. С.189-201.

[37] Калиткин H.H. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 С.

[38] Каменецкая Д.С., Рахманова Э.П., Спектор Е.З. Кристаллизация переохлажденных бинарных сплавов // Докл. АН СССР. 1962. Т.142, N3. С.584-586.

[39] Колесников А.Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта // Докл. АН СССР. 1952. Т.82, N6. С.889-892.

[40] Колесников А.Г., Мартынов Г.А. О расчете глубины промерзания и оттаивания грунтов // Материалы по лабора-

торным исследованиям мерзлых грунтов Сб.1. -М.: Изд-во АН СССР, 1953.

[41] Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. -М.: Мир, 1964. 352 С.

[42] Кудряшов Б.В., Яковлев A.M. Бурение скважин в мерзлых породах. - М.: Недра, 1983.

[43] Лихт М.К., Кузьминская С.Б. О затвердевании бинарных сплавов в интервале температур // ФММ. 1961. Т.11, N6. С.878-882.

[44] Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Автомодельное решение задачи о протаивании мерзлого грунта // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988, N6. С.136-142.

[45] Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Математическая модель промерзания водонасыщенной пористой среды // ЖВМ-МФ. 1986. Т.26, N11. С.1743-1747. Т.26, N11. С.1743-1747.

[46] Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии влажных пород с охлажденным раствором соли // ИФЖ. 1988. Т.55, N3. С.435-441.

[47] Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Фазовые переходы вода-лед в ненасыщенных грунтах // Препринт ИПМ АН СССР. 1989. N382. 44 С.

[48] Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Явление "перегрева" и образование двухфазной зоны при фазовых переходах в мерзлых породах // Докл. АН СССР. 1987. Т.294, N5. С.1117-1121.

[49] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980. 536 С.

[50] Медведский Р.И. Теплообмен жидкости в пористой среде с одновременным фазовым переходом // Термодинамика кооперативных процессов в гетерогенных средах. -Тюмень, 1985, С.57-62.

[51] Мейрманов A.M. Задача Стефана. - Новосибирск: Наука, 1986.

[52] Мордовской С.Д., Павлов Б.Н., Петров Е.Е. Математические модели промерзания - протаивания мерзлого грунта // Наука и образование, Выпуск 3. Якутск, 1996. С.51-56.

[53] Мордовской С.Д., Петров Е.Е. Взаимовлияние механических температурных полей в рамках модели образования двухфазной зоны // Мат. заметки ЯГУ. 1994. Вып. 1. С.145-148.

[54] Нерсесова З.А. Изменение льдистости грунтов в зависимости от температуры // Докл. АН СССР. 1950. Т.75, N6. С.845-846.

[55] Нерсесова З.А. О таянии льда в грунтах при отрицательных температурах // Докл. АН СССР. 1951. Т.79, N6. С.507-508.

[56] Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. -М.: Наука, 1978. 336 С.

[57] Основы геокриологии (мерзлотоведения). 4.1. - М.: Изд-во АН СССР.1959.

[58] Охлопков Н.М., Васильев В.И. Попов Ф.С., Капитонова Т.А., Петров Е.Е. Численные методы решения задач теплообмена подземных и наземных сооружений с мерзлым грунтом // Методы механики сплошных сред. -Якутск, 1977. С.5-18.

[59] Павлов А.Р., Пермяков П.П. Математическая модель и алгоритмы расчета на ЭВМ тепло- и массопереноса при промерзании грунта //ИФЖ. 1983. Т.44, N2. С.311-316.

[60] Павлов Б.Н., Петров Е.Е. Математическая модель промерзания - протаивания пористой среды, насыщенной раствором соли, с образованием двухфазной зоны // Мат. заметки ЯГУ. Якутск. 1998. Т.5. Вып.2. С.134-144.

[61] Павлов Б.Н., Петров Е.Е. Об одной математической модели замерзания - таяния мерзлого грунта // Мат. заметки ЯГУ. Якутск. 1996. Т.З. Вып.1. С.135-143.

[62] Павлов Б.Н., Петров Е.Е. Учет зависимости температуры фазового перехода от давления и концентрации растворенной в воде примеси в математической модели промерзания насыщенных раствором соли пористых сред // Тезисы докладов научной конференции студентов и молодых ученых РС(Я) в рамках программы "Лаврентьев-ские чтения", апрель 1997. С.25-27.

[63] Павлов Б.Н., Петров Е.Е. Численная реализация фронтовой модели промерзания водонасыщенных пористых сред с учетом зависимости температуры раздела мерзлой и талой фаз от давления и концентрации //Инженерно-физический журнал. 1999 г. Т. 72, N 1. С.71-75.

[64] Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. -М.: Наука, 1984. 288 С.

[65] Попов В.В. Упрощенная модель промерзания пористой среды, насыщенной раствором соли // Наука и образование. N4(8). 1997. Декабрь. Якутск. С.113-115.

[66] Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. - Рига: Звайгзне, 1967.

[67] Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука, 1986.

[68] Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // ЖВММФ. 1965. Т.5. С.816-827.

[69] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. -М.: Наука, 1970. 492 С.

[70] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 С.

[71] Фельдман Г.М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. -М.: Наука, 1973.

[72] Фельдман Г.М. Передвижение влаги в талых и промерзающих грунтах. -Новосибирск: Наука, 1988. 258 С.

[73] Хакимов Х.Р. Замораживание грунтов в строительных целях. - М.: Госстройиздат, 1962.

[74] Цыпкин Г.Г. Математическая модель фазовых переходов лед-вода-пар в слабопроницаемых мерзлых грунтах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. N6. С.72-78.

[75] Цыпкин Г.Г. Линейная задача о фазовых переходах вода-лед в ненасыщенных грунтах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. N3. С.68-73.

[76] Цыпкин Г.Г. О фазовых переходах лед-вода-пар в мерзлых грунтах // Докл. АН СССР. 1991. Т.319. N2. С.360-363.

[77] Цытович Н.А. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973.

[78] Bermudez A., Saquez С. Mathematical formulation and numerical solution of an alloy solidification problem // Free Boundary Problems: Theory and Applications. Research notes in mathematics. 1983. V.78. P.237-247.

[79] Bonnerot R., Jamet P. A second order finite element method for the one-dimensional Stefan Problem // Int. J. Numer. Meth. Enging. 1974. V.8. P.811-820.

[80] Crowley А.В., Ockendon J.R. On the numerical solution of an alloy solidification problem // Free Boundary Problems: Theory and Applications. Research notes in mathematics. 1983. V.22. P.941-947.

[81] Douglas J., Gallie G.M. On the numerical integration of a parabolic differential equation subject to a moving boundary condition // Duke Math. J. 1955. V.22, N4. P.557-572.

[82] Fix G.J. Numerical methods for alloy solidification problem // Moving Boundary Problems /Eds D.G.Wilson, A.D.Solomon, P.T.Boggs. - N.Y.: Academic Press, 1978. P.109-128.

[83] Fukuda M. The pore water pressure prifile in porous rocks during freezing // Permafrost. 4th Int. Conf. Proc. Washington D.C. 1983, P.322-327.

[84] Guymon G., Hromadka T.V., Berg R.L. A one dimensional frost heave model based upon simulation of simultaneous heat and water flux // Gold Reg. Sci. Technol. 1980. V.3. P.253-262.

[85] Lame G., Clapeiron B.P. Memoire sur la solidification par refroidissement d'un glob solid // Ann. Chem. Phys. 1831. T.XLVII. P.250-256.

[86] Menot J.M. Equations of frost propagations in unsaturated porous media // Eng. Geology. 1979. V.13. P.101-109.

[87] Nakano Y., Tice A., Oliphant J. Transport of water in frozen soil IV. Analisys of experimental results on the effects of ice content // Adv. Water Resourses. 1984. V.7. P.58-66.

[88] Jung E. Weiterer beitrag zur aggregirenden Einwirkung des frostes auf den erboden // Z.F. Pflanz. Dung. Bod. 1932. Bd.24. H. 1/2.

[89] Pavlov B.N., Petrov E.E. The local - one - dimensional scheme to decide a two - dimensional problem of freezing - melting of porous medium, saturated with salt solution, with two - phase zone formation // Second International Conference "Finite - Difference Methods: Theory and Application".(Abstracts). National Academy of Sciences of Belarus. Institute of Mathematics. Minsk, Belarus. 1998. P.47-48.

[90] Pavlov B.N., Petrov E.E. The local - one - dimensional scheme to decide a two - dimensional problem of freezing - melting of porous medium, saturated with salt solution, with two - phase zone formation // Second International Conference "Finite - Difference Methods: Theory and Application". (Proceedings). National Academy of Sciences of Belarus. Institute of Mathematics. Minsk, Belarus. 1998. Volume 3. P.32-37.

[91] Stefan J. Uber einige probleme der theorie der warmeleitung // Sitz. Ber. Wien. Akad. Mat. Naturw iss. 1889. Bd 98. IIa. P.473-484.

[92] Tsai H.L., Rubinsky B. A numerical study using "from tracking" finite elements on the morphological stability of a planar interface during transient solidification processes //J. Crystal Growth. 1984. V.69. P.29-46.

[93] Tao L. On solidification of a binary alloy // Quart. J.Appl. Math. 1980. V.33. P.211-225.

[94] Tsai H.L., Rubinsky B. A numerical study using "front tracking" finite elements on the morphological stability of a planar interface during transient solidification processes // J.Crystal Growth. 1984. V.69. P.29-46.

[95] Wilson D.G., Solomon A.D., Alexiades V. A shortcoming of the explicit solution for the binary alloy solidification problem // Left. Heat Mass Transfer. 1982. V.9. P.421-428.

[96] Wilson D.G., Solomon A.D. Alexadies V. A shortcoming of the explicit solution for the binary alloy solidification problem // Left. Heat Mass Transfer. 1982. V.9. P.421-428.

[97] Yanagisawa E., Yao Y.J., Kashiwazaki A. Numerical analisys of moisture movement in soils during freezing: Numerical Methods in Geomechanics // 5th Int. Conf. Proc. Nagoya. 1985. P.575-580.