Численное моделирование теплообмена в закрученных потоках жидких металлов применительно к ядерным энергоустановкам нового поколения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Захаров Алексей Геннадьевич

• Захаров Алексей Геннадьевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Захаров Алексей Геннадьевич

Введение

1 Современное состояние вопроса

1.1 Математическое описание процессов гидродинамики и теплообмена турбулентного потока жидкости

1.1.1 Основные способы расчета турбулентной вязкости

1.1.2 Основные способы замыкания уравнения энергии

1.1.3 Другие способы моделирования турбулентного течения и теплообмена. Модели Рейнольдсовых напряжений. Методы LES и DNS

1.2 Течение и теплообмен жидких металлов в каналах

1.2.1 Основные эмпирические закономерности

1.2.2 Некоторые экспериментальные и расчетные исследования

1.2.3 Экспериментальная установка для исследования гидродинамики и теплообмена турбулентного потока ртути в кольцевом канале с закрученной ленточной вставкой

1.3 Выводы по главе

2 Численное моделирование гидродинамики и теплообмена турбулентного потока ртути в кольцевом канале с закрученной ленточной вставкой

2.1 Основные результаты численного моделирования

2.2 Выводы по главе

3 Исследование чувствительности расчетной модели по отношению к основным факторам неопределенности

3.1 Неопределенности геометрии

3.1.1 Влияние несоосности расположения нагревателя

3.1.2 Влияние условий на входе в опытный участок

3.1.3 Влияние условий на выходе из опытного участка

3.1.4 Влияние зонда

3.1.5 Влияние неидеальности геометрии в месте приварки ребра к внутренней трубке

3.1.6 Влияние шага закрутки ребра

3.1.7 Влияние ширины ребра

3.1.8 Влияние зазора между ребром и внешней трубкой

3.2 Неопределенности модели, теплофизических свойств и режимных параметров

3.2.1 Влияние модели турбулентности. Ламинарное течение и теплообмен

3.2.2 Влияние турбулентного числа Прандтля Рг^

3.2.3 Влияние естественной конвекции

3.2.4 Влияние молекулярного числа Прандтля Рг

3.2.5 Влияние числа Рейнольдса Re

3.2.6 Влияние теплопроводности материала трубок и ребра

3.3 Выводы по главе

Заключение

Список используемых сокращений

Список условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Подготовка расчетных моделей

ВВЕДЕНИЕ

Согласно данным Организации Экономического Сотрудничества и Развития

235

(ОЭСР) [1] разведанных запасов урана U для удовлетворения потребностей мировой атомной индустрии хватит не более чем на 135 лет, при сохранении потребления на текущем уровне в 57000 тонн в год. Тем самым, в среднесрочной и долгосрочной перспективе, мировая атомная энергетика столкнется с проблемой недостатка традиционных ядерных энергоресурсов на планете.

Решение данной проблемы идет несколькими путями, но наиболее близкими к реализации, на данный момент, являются проекты по созданию т.н. реакторов-размножителей (бридеров), работающих на быстрых нейтронах,

238

способных осуществлять реакции деления и (более 99,2 % природного урана

[2]) и тория 232^ (запасы которого в несколько раз превосходят запасы урана)

[3]:

238и + > + у ^ 232 и ^в 239 N ^в 294 Ри (и)

232ТЬ + > + у ^ ™ТЪ.^в 293Ра^в 233и (ь2)

239

Отметим, что получаемые в ходе реакций (i.1) и (ь2), плутоний Ри и уран

233

и возможно использовать в качестве топлива в традиционных реакторах на тепловых нейтронах.

Одно из главных отличий реакторов данного типа от традиционных -использование в качестве теплоносителя материалов не способных сильно замедлять нейтроны. Такими теплоносителями могут выступать жидкие металлы.

Жидкие металлы (ЖМ), в общем-то, на данный момент являются пока нетрадиционными теплоносителями, и, до сих пор нет полной ясности по многим вопросам относительно них. Проблемы гидродинамики и теплообмена в жидких металлах являются одними из главных препятствий на пути к созданию эффективных ядерных энергетических установок (ЯЭУ) нового поколения.

По некоторым данным [4], [5], гидравлические процессы в жидких металлах, в частности в свинце, отличаются от процессов, происходящих в обычных жидкостях. Однако, согласно другим данным [6],[7], в плане

гидродинамики установлено, что жидкометаллические теплоносители, несмотря на большую коррозионную активность, ничем не отличаются от воздуха или воды (если оперировать безразмерными гидродинамическими числами подобия), т.е. результаты противоречивы, но все же, чаще всего принято полагать, что для расчета, например, коэффициента гидравлического сопротивления в ЖМ можно пользоваться традиционными соотношениями. Самое главное отличие ЖМ от привычных теплоносителей - крайне низкое число Прандтля (Рг << 1). Из-за большого коэффициента теплопроводности закономерности теплообмена в жидких металлах принимают совершенно иной характер.

Экспериментальное исследование теплогидравлических процессов в ЖМ весьма трудоемко. Прежде всего, это связано с трудностями по обеспечению необходимой чистоты металла [8]. Помимо этого результаты измерений содержат в себе большую погрешность из-за малых температурных перепадов стенка-жидкость. Все это приводит к тому, что до сих пор нет единой, общепризнанной формулы для расчета числа Нуссельта при турбулентном течении даже для круглой трубы [9].

Необходимо отметить, что в быстрых реакторах, течение жидкометаллических теплоносителей (ЖМТ) будет проходить в каналах сложной формы, очень отличающихся от случая простой круглой трубы. В активных зонах большинства построенных и проектируемых быстрых реакторов, дистанционирование твэлов в ТВС осуществляется с помощью витых ребер. Как минимум в 29 из 54 приведенных в таблице ь1. энергоустановках с жидкими металлами для дистанционирования используются витые ребра, а среди 12, для которых из открытых источников не удалось установить тип дистанционирования, таких, предположительно, тоже не мало. Такой способ дистанционирования приводит к значительной закрутке потока. При этом существует явный недостаток экспериментальных и расчетных работ посвященных турбулентному течению и теплообмену жидкостей с малыми числами Прандтля в закрученных каналах. И особенно по исследованию локальных параметров потока - температуры, скорости и характеристик

турбулентности.

Таблица 1.1 - Некоторые быстрые реакторы с ЖМТ [10], [11], [12]

Название БР Годы эксплуатации Страна Теплоноситель Тип дистанционатора ТВС

Экспериментальные реакторы

С1етепйпе 1946-1952 США опорные пластины

ЕБЯ - I 1951-1963 США эвтектика №К опорные пластины

БР-10 1958-2002 СССР эвтектика №К, № витые ребра

1959-1962 Великобритания эвтектика №К н/д

ЯарБо^е 1961-1983 Франция № витые ребра

ЬЛМРЯЕ I 1961-1963 США № н/д

ЕБББЯ 1963-1972 США № дист. решетки

ЕБЯ - II 1964-1994 США № витые ребра

БЕБОЯ 1969-1972 США № н/д

ККК - II 1977-1991 ФРГ № дист. решетки и витые ребра

1оуо 1977-н.в. Япония № витые ребра

Б0Р-60 1980-н.в. СССР/Россия № витые ребра

РРХБ 1980-1992 США № витые ребра

ББТЯ 1985-н.в. Индия № витые ребра

СЕБЯ 2010-н.в. Китай № витые ребра

МБИР на стадии строительства Россия № витые ребра

РЕС не достроен Италия № н/д

СЬЕЛЯЛ дизайн-проект Китай эвтектика РЬБ1 витые ребра

ЛБТЯ дизайн-проект США № витые ребра

4Б дизайн-проект Япония № дист. решетки

МУЯИНЛ концепция Бельгия эвтектика РЬБ1 витые ребра

ЕЬЕСТЯЛ концепция Швеция РЬ н/д

Опытно-демонстрационные реакторы

РЬешх 1973-2009 Франция № витые рбера

БН-350 1973-1994 СССР/Казахстан № витые ребра

РБЯ 1974-1994 Великобритания № витые ребра

БН-600 1981-н.в. СССР/Россия № витые ребра

МОШИ 1994-н.в. Япония № витые ребра

РББЯ на стадии строительства Индия № витые ребра

БРЕСТ-ОД- 300 на стадии строительства Россия РЬ дист. решетки

БКЯ-300 не запущен ФРГ № н/д

ЛЬБЯЕБ концепция ЕС РЬ дист. решетки

ЕЬБЯ концепция ЕС РЬ дист. решетки

PБWFR концепция Япония эвтектика РЬВ1 дист. решетки

РЕЛСЕЯ концепция Республика Корея эвтектика РЬВ1 дист. решетки

КЛЫМЕЯ-150 концепция Республика Корея № витые ребра

Продолжение таблицы ь1.

Название БР Годы эксплуатации Страна Теплоноситель Тип дистанционатора ТВС

Опытно-демонстрационные реакторы

KALIMER-600 концепция Республика Корея № витые ребра

ASTRID концепция ЕС № н/д

PG SFR концепция Республика Корея № н/д

FBR -1 & 2 концепция Индия № н/д

TWR-P концепция США № витые ребра

Коммерческие реакторы

Superphenix 1985-1996 Франция № витые ребра

БН-800 2015-н.в. Россия № витые ребра

БН-1200 дизайн-проект Россия № витые ребра

БРЕСТ-1200 дизайн-проект Россия Pb дист. решетки

SSTAR дизайн-проект США Pb дист. решетки

STAR-LM дизайн-проект США Pb дист. решетки

PRISM дизайн-проект США № н/д

Gen4M дизайн-проект США эвтектика PbBi н/д

SMFR дизайн-проект США № витые ребра

SNR-2 дизайн-проект ФРГ № н/д

БН-1600 концепция Россия № витые ребра

БН-1800 концепция Россия № витые ребра

ELSY концепция ЕС Pb опорные пластины

На рис. И схематично приведена типичная ТВС с твэлами, дистанционируемыми витыми ребрами, применяемая в БР [13].

Рисунок и - Типичная ТВС с твэлами, дистанционируемыми витыми ребрами,

применяемая в БР [13]

В настоящее время необходимой частью комплекса расчетно-конструкторских работ по исследованию безопасности и работоспособности ЯЭУ, помимо эксперимента, является проведение CFD-моделирования. С инженерной точки зрения CFD анализ турбулентных течений основан на моделировании турбулентности в рамках осредненной по Рейнольдсу системы уравнений Навье-Стокса (КА№--подход). Данных подход требует для замыкания системы уравнений привлечения опытных данных. В частности, для моделирования теплообмена необходима информация о турбулентном числе Прандтля (Ргт), являющемся коэффициентом пропорциональности между процессами турбулентного переноса тепла и импульса. Для обычных жидкостей с молекулярным числом Прандтля Рг ~ 1 достаточно, пользуясь аналогией Рейнольдса между процессами переноса тепла и импульса, положить Ргт ~ 0.9, и получать при моделировании хорошие результаты. К сожалению, в жидких металлах из-за значительного коэффициента теплопроводности эта аналогия не работает, при этом Ргт перестает быть константой, становясь зависимым от самых разных факторов. Следует отметить, что величина Ргт в экспериментах измеряется гораздо труднее, чем коэффициент теплоотдачи. Но, даже если удастся получить с приемлемой точностью экспериментальные данные по Ргт , то эти данные не будут универсальными для всех типов геометрии и режимных параметров.

В реакторах с натриевым теплоносителем температурный перепад стенка-жидкость составляет, обычно, несколько градусов °С, в данном случае, даже, если в результате ошибочно заданного Ргт, погрешность в расчете № составит 30%, то существенно это на работоспособность ЯЭУ не повлияет. Особо остро вопрос, связанный с Ргт, стоит для реактора БРЕСТ, в котором перепад стенка-жидкость порядка 100 К, и, ошибка, полученная при CFD-расчете температурного перепада, может привести к опасным последствиям. К тому же, решение задачи турбулентного теплообмена на уровне осредненных уравнений и Ргт не позволяет получить некоторые весьма важные сведения об интенсивности температурных пульсации на стенках теплообменных каналов. Пульсации температуры приводят

к т.н. «термокачке», которая может вызывать усталостное разрушение материалов активной зоны ЯЭУ.

В данной диссертации приводится исследование теплообмена при турбулентном течении жидкометаллического теплоносителя в кольцевом канале с закрученной ленточной вставкой. Исследование проводится с использованием численного метода решения осредненной системы уравнений Навье-Стокса

Диссертация общим объемом 186 страниц состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемых источников. К диссертации прилагается 1 приложение. Список цитируемых источников включает 197 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации.

В первой главе произведен обзор современного состояния науки в области теплообмена жидкометаллических теплоносителей. Приводится математическое описание течения и теплообмена жидкости, основанное на принципах сплошной среды. Приводится, также, описание некоторых подходов и способов, применяемых при моделировании турбулентности. Проводится обзор существующих экспериментальных и расчетных работ, посвященных проблемам гидродинамики и теплообмена в жидких металлах.

Во второй главе содержатся результаты моделирования турбулентного течения и теплообмена жидкого металла в вертикальном кольцевом канале с закруткой потока при обогреве внутренней трубы, полученные с использованием различных вычислительных инструментов. Приводится сопоставление результатов численного моделирования с экспериментальными данными. В заключительной части главы выдвигаются различные гипотезы о возможных причинах значительного рассогласования расчетных и экспериментальных данных. Обосновывается необходимость продолжения исследований.

В третьей главе проведен анализ факторов, имеющих место в эксперименте, но не учитываемых при идеальной постановке расчета. При проведении данного анализа, установлены факторы, оказывающие наибольшее влияние на результаты экспериментальных измерений температуры и которые обязательно необходимо

учитывать при создании расчетной модели.

В заключении содержатся основные выводы по работе.

Цель и задачи работы

Цель:

Проведение CFD-моделирования турбулентного течения и теплообмена жидкого металла при закрутке потока применительно к проблеме создания и обоснования безопасности элементов теплообменных систем ядерных энергоустановок нового поколения.

Задачи:

- Исследование и анализ литературы по тематике диссертационной работы.

- Освоение и подготовка необходимых вычислительных средств и расчетных моделей для выполнения диссертации.

- Проведение верификационного расчета задачи о турбулентном течении и теплообмене ртути в кольцевом канале с закрученной ленточной вставкой и сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными.

- Объяснение причин значительного рассогласования численных и экспериментальных данных путем проведения дополнительных СББ-исследований.

Научная новизна

Методами CFD получены характеристики жидкометаллических теплоносителей в условиях закрутки потока. А именно:

1. Проведено численное моделирование турбулентного течения и теплообмена ртути в вертикальном кольцевом канале с закрученной ленточной вставкой при обогреве внутренней трубы.

2. Обнаружено, что максимум температуры обогреваемой стенки не всегда располагается под ребром. В зависимости от некоторых параметров задачи (в частности, от величины зазора между ребром и внешней трубкой) температурный максимум может смещаться по углу от центра ребра.

3. Установлено, что для локальных параметров (в частности, для температуры обогреваемой стенки) длина участка термической стабилизации в несколько раз превышает длину стабилизации, оцениваемую через Ки.

4. Обнаружено весьма существенное влияние свободной конвекции на температурные поля даже в случае Gr/Re << 1. При этом свободная конвекция значительно затягивает процессы термической стабилизации.

Практическая ценность

Полученные в рамках диссертационной работы данные могут быть использованы для проведения кросс-верификационных расчетов с другими CFD-кодами.

Обнаруженные в данной работе явления могут быть использованы на этапе проектирования теплообменных устройств в ядерных энергоустановках нового поколения с жидкометаллическими теплоносителями, а также для подготовки и проведения экспериментов, посвященных исследованию теплообмена в жидких металлах.

На защиту выносятся

- Результаты численного моделирования турбулентного течения и теплообмена ртути в вертикальном кольцевом канале с закрученной ленточной вставкой при обогреве внутренней трубы.

- Результаты исследования влияния различных факторов (геометрических и модельных) на процессы, проходящие при турбулентном течении и теплообмене жидкометаллического теплоносителя в закрученном потоке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование теплообмена в закрученных потоках жидких металлов применительно к ядерным энергоустановкам нового поколения»

Апробация работы

Результаты исследований докладывались и обсуждались на:

- Конференции «Инновации в атомной энергетике», ОАО «НИКИЭТ», Москва, Россия, 2013.

- XX международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электроэнергетика и энергетика», Москва, Россия, 2014.

- Российской Национальной Конференции по Теплообмену РНКТ-6, Москва, Россия, 2014.

- Конференции «Инновации в атомной энергетике», АО «НИКИЭТ», Москва, Россия, 2015.

- 48-ом совещании технической рабочей группы МАГАТЭ по быстрым реакторам, Обнинск, Россия, 2015.

- Международном семинаре по вопросам термогидравлики реакторов со свинцовым теплоносителем, АшаМо №с1еаге, Генуя, Италия, 2015.

- XV Минском международном форуме по тепломассообмену, Минск, Беларусь, 2016.

- Международной конференции молодых специалистов ученых и аспирантов по физике ядерных реакторов, Тверь, Россия, 2016.

Публикации

Основные результаты и положения диссертационной работы изложены в 7 публикациях [14]-[20]. Две статьи [19], [20] опубликованы в журнале, входящем в перечень рецензируемых журналов ВАК.

Благодарность

Автор выражает благодарность за совместную работу над данной диссертацией своему научному руководителю к.т.н. Я.И. Листратову (сотрудник НИУ «МЭИ»). Особую благодарность за предоставленные экспериментальные данные автор выражает аспиранту кафедры ИТФ НИУ «МЭИ» С.Г. Крылову.

За обсуждения материалов данной диссертации и полезные замечания автор выражает благодарность, коллективу кафедры Инженерной теплофизики НИУ «МЭИ»: д.т.н. Л.Г. Генину, д.т.н. В.Г. Свиридову, д.т.н. Н.Г. Разуванову, д.т.н. Г.Г. Янькову, к.ф.-м.н. В.И. Артемову, к.т.н. Е.В. Свиридову, к.т.н., И.А. Беляеву, асп. М.В. Свешникову, а также коллективу отдела теплофизики АО «НИКИЭТ» - к.т.н. Д.А. Афремову, к.т.н. В.П. Смирнову, к.т.н. Д.А. Огнерубову, к.т.н. Д.В. Фомичеву, А.В. Недайвозову, К.М. Сергеенко, А.В. Тутукину. И кроме этого В.А. Яруничеву.

Данная диссертационная работа была выполнена на кафедре Инженерной теплофизики НИУ «МЭИ» по заказу АО «НИКИЭТ» с целью тестирования расчетных кодов, используемых при проектировании реактора нового поколения БРЕСТ-ОД-300. Автор выражает благодарность АО «НИКИЭТ» за предоставленные вычислительные ресурсы, без которых выполнение данной работы в существующем объеме было бы невозможным.

1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА ЖИДКОСТИ

Течение и теплообмен жидкометаллических теплоносителей описывает следующая система уравнений [21]:

• уравнение неразрывности

ды,

-¡Г = 0 (1.1)

дхк

уравнение движения

Р

ды

дг

- + ы,_

ды

дх

др д

к у

дх дх

ды Р~~

V дХк У

+рР(г - То)gi

(1.2)

уравнение энергии

дТ

дг

+ ы,_

дТ

дх

д

к у

дх

А

дТ

дх

+ Р

ды

к У

дх

ды ды

Кдхк

+

дх

(1.3)

i У

Приведенная система уравнений носит общий характер. Она записана в приближении Буссинеска для задач свободной конвекции - переменность плотности учитывается только в силе плавучести.

В последующем будем предполагать наличие нескольких допущений.

1. Считаем, что жидкость несжимаемая, ее свойства постоянны. Это допущение принять вполне естественно, так как скорости, с которыми жидкометаллический теплоноситель течет в каналах существенно меньше скорости звука. С запасом выполняется требование М < 0.3, где М - число Маха.

2. Принимаем гипотезу об отсутствии свободной конвекции (последнее

слагаемое в правой части уравнения (1.2) равно нулю).

3. В уравнении энергии (1.3) не учитывается вязкая диссипация (последнее слагаемое в правой части).

В случае турбулентного течения даже для каналов простой формы (круглые трубы и плоские щели) невозможно получить аналитическое решение, точно определяющее параметры потока в каждой точке во все моменты времени. Турбулентное течение всегда будет нестационарным и неоднородным. Основным, на сегодняшний день, способом моделирования турбулентного течения является решение осредненной системы уравнений гидродинамики и теплообмена.

Для описания турбулентного движения и теплообмена используют общепринятый подход Рейнольдса, в соответствии с которым [21]:

и = и + и;р = Р- + р;т = Т + 3,

где и. , р. , 3 - пульсационные составляющие и , Pi, Т - осредненные

составляющие мгновенных значений скоростей, давления и температуры, соответственно.

И далее переходят к осредненным уравнениям:

дх,

= 0

(1.4)

Р

ГдП. —диЛ ' + U '

V

dt

дх

дР д 2U + ц

k j

дх

дх дх

к к

д_

дх

(РЦ щ)

(1.5)

рс

ГдТ — дТЛ — + U

V

дt

дх

= Я-

д Т д

k j

дх дх дх

[Pcuk$)

(16)

Слагаемые--(ри. ц ) - тензор турбулентных напряжений и--(рсик $)

Яг Яг V '

вектор турбулентного потока неизвестны, тем самым появляется проблема

незамкнутости осредненной системы уравнений. Для моделирования этих слагаемых существует множество подходов, при реализации которых, необходимо, так или иначе, привлекать экспериментальные данные.

По аналогии с определением для напряжений, действующих на элемент несжимаемой жидкости при ламинарном течении:

т* = Р

гд и д

_г_ +__

V дхк дХ1 У

Р$1к >

(1.7)

Буссинеском была предложена гипотеза, аналогичным образом связывающая уже турбулентное напряжение с турбулентной вязкостью [22]:

^ = -риик =ру(

ди. да

_г_ +__

, дх дх

V к 1 У

2 р

(1.8)

Таким образом, осредненное уравнение движения можно записать как:

ди —ди. д Р, д р—L + рик—L =--+ —

дt дх дх дх,

(Р + РтТ

ди

дх

к У

(1.9)

По аналогии для турбулентного теплового потока [22]:

qтk = -реык3 = \ (Т)

(1.10)

И тогда уравнение энергии (1.6) в стационарном случае примет вид:

дТ — дТ д

+и

дt дх дх,

к к

(а + а)

дТ

дх

к У

(1.11)

1.1.1 Основные способы расчета турбулентной вязкости

Как уже отмечалось в разделе 1.1, турбулентные напряжения создают проблему незамкнутости системы уравнений (1.1-1.3). Используя гипотезу Буссинеска, предполагающую изотропность турбулентности, подлежащим

определению параметром становится турбулентная вязкость цт из (1.8). В настоящий момент существует множество подходов к ее моделированию.

Наиболее простыми моделями являются модели алгебраического типа, связывающие турбулентную вязкость с безразмерным расстоянием от стенки

+ иту У = — (где их

v

— - скорость трения) - ^ = /(( ). Самой первой моделью Р т

из данного класса можно считать двухслойную модель Прандтля, разделяющую область течения на две части - вязкий подслой и турбулентное ядро потока (область логарифмического закона скорости) [22]. Одной из последних, и наиболее совершенной моделью из данного класса, является модель Попова-Беляева [23], вводящая между двумя областями течения буферный подслой, со своим законом изменения турбулентной вязкости. При этом границы каждой области становятся зависимыми от числа Re.

Главными преимуществами моделей данного типа являются простота и вычислительная эффективность. Недостатки заключаются в узкой специализации этих моделей к геометрии задачи. Также с помощью алгебраических моделей турбулентности невозможно моделировать сложные течения с закруткой и отрывами.

Следующим этапом в развитии CFD стало появление однопараметрических моделей турбулентности. Особенностью моделей данного типа является появление дополнительного дифференциального уравнения переноса

турбулентной величины (обычно этой величиной является к = 1 и! -

кинетическая энергия турбулентных пульсаций скорости). Турбулентную вязкость ут определяют как ,,, _ ^[кь, где Ь - линейный масштаб турбулентности с размерностью в единицах длины. Существует множество моделей данного класса, описанных в [24], [25] и даже относительно недавно появляются все новые, правда, уже в гораздо меньших количествах [26].

Транспортное уравнение для к в моделях для полностью развитой турбулентности вдали от стенок (высокорейнольдсовые модели) имеет вид:

дк — дк д —+и—=—

дt дх дх,

у+ -

дк

к У

дх

■ди.

к

3/2

- ии, —L - сп-

1 к ^ В

дх

Ь

(1.12)

где св и ак - полуэмпирические константы.

Среди преимуществ этих моделей по сравнению с алгебраическими, следует отметить, во-первых, возможность моделирования течений с отрывами и рециркуляцией, во-вторых, в транспортном уравнении для к можно физически обоснованно, введением дополнительных слагаемых, учитывать влияние массовых сил, и, в частности, термогравитационной конвекции. Существенными недостатками данных моделей являются вычислительные трудности - появляется одно дополнительное уравнение переноса, но самый главный недостаток - не универсальность алгебраических выражений для масштаба турбулентности - Ь.

Дальнейшее развитие привело к созданию двухпараметрических моделей турбулентности, в которых дифференциальное транспортное уравнение (1.12) дополняется дифференциальными уравнением переноса для скорости диссипации

кинетической энергии турбулентности к - е = у

диди'

В отличие от

дх, дх,

к к

однопараметрических моделей турбулентности, где диссипативное слагаемое в (1.12) моделируется алгебраическим выражением е = с к3/2 / Ь.

Наиболее популярными моделями из этого класса на сегодня являются модели семейства к - е. Существует большое количество моделей данного типа. В качестве примера можно привести модели [27]-[29].

Запишем транспортное уравнение для е на примере стандартной к -е модели турбулентности [27]:

у Л

де — де

—+и дt

д

дхк дхк

ут

у + —

де

дх

е2' + —

к V

Р

с . — - с ,

е1 е2

(1.13)

где рк = и,ик

ди. _1_

дх,,

порождение плотности кинетической энергии

турбулентности.

Численные значения стандартных констант: сеХ = 1.43, сг2 = 1.92, сте= 1.13; константа из уравнения (1.12) - сгк= 1.0.

Турбулентная вязкость находится из следующего алгебраического выражения, связывающего к и 8:

с к2

V, , (1.14)

8

где с = 0.09 - коэффициент пропорциональности.

Особенностью стандартной к -8 модели является то, что она справедлива только лишь в областях развитой турбулентности и неприменима в областях около стенки, где турбулентность подавлена вязкостью и на оси, где она вырождается. Следовательно, необходимо те части, в которых она не работает рассчитывать по некоторым универсальным закономерностям.

Получим выражение для касательного напряжения на стенке, следуя определению [30]:

-( \ ди

Тна11 = (М + & ду

(1.15)

С учетом того, что размер контрольного объема £ на стенке нулевой, получим выражение для эффективной динамической вязкости:

^ , ч (8н-8Н

Л , ч (8н<+л

у

\8н у

= (& + & )р, (1.16)

где 8н - расстояние от стенки до первого контрольного объема в жидкости; 8н+ = 0 - размер контрольного объема на стенке; £, р - индексы принадлежности к контрольному объему на стенке и к первому контрольному объему в жидкости, соответственно.

Считая, что и „= 0, получаем [30]:

/ \ и

*** = / + / I/ (117)

Вместо задания граничных условий 1-го рода для скоростей («прилипание» на стенке), задается непосредственно само касательное напряжение тк (граничное

условие 2-го рода). Это напряжение, при этом, определяется из известного безразмерного распределения скорости - логарифмического профиля скорости. Если попытаться извлечь информацию о тк из (1.16) то это, скорее всего, приведет к значительной ошибке при вычислении производной, т.к. точка у по

требованию стандартной к -б модели должна располагаться в области развитого турбулентного течения, а это довольно-таки далеко от стенки.

Следуя Сполдингу, получим выражения для безразмерного профиля скорости. Из экспериментальных данных известно [30]:

т 1/

и = С/ к (1.18)

Используя определение величины и :

2 _ ^'wa.ll

и; = (1.19)

Р

Получим выражения для нового масштаба скорости [30]:

2

и - Тма11

= (1.20)

С/кА рС/к12

Используя его, а также новый масштаб координаты / и*, запишем

модифицированную Сполдингом и Лаундером двухслойную модель Прандтля [30]:

и* = у*, у* < 21.4

1 , (121) и• = Ач Еу), у > 21.4 ' '

к

где к = 0.22, Е = 5.31.

Как показывают расчеты, формула (1.21) имеет гораздо более широкую область применения, чем обычная двухслойная модель Прандтля, и может использоваться, в том числе и для неравновесной турбулентности (в которой скорости диссипации и генерации турбулентной энергии не равны).

Теперь, зная из решения по к -s модели величину скорости u , а также

* yP+ ^Ку

зная, что yp =—у = --, получим выражение для rwall:

см4 v

_ киррсПр 1/2

Twall = ^ (1 .22)

1п(£Ур )

Отметим также, что собственно пристеночной функцией называется величина «эмпирического» коэффициента трения [30]:

т

= —wa^. (1.23)

P(Up - Uwall )

При использовании моделей пристеночных функции в пристеночных ячейках значения к и s фиксируются.

Главным преимуществом двухпараметрических моделей турбулентности является возможность с хорошей точностью определить масштаб турбулентности - L, тем самым преодолевается главный недостаток алгебраических моделей и моделей с одним дифференциальным уравнением - не универсальность выражений для L. Стандартная к - s модель с использованием механизма пристеночных функции помогает существенно уменьшить требуемое для решения число сеточных узлов, тем самым уменьшается вычислительная нагрузка на ЭВМ. К недостаткам стандартной к -s модели стоит отнести то, что, как и в однопараметрических моделях, vt по-прежнему скаляр, т. е. невозможно описание с помощью к -s модели неизотропной турбулентности; во-вторых, уравнение для диссипации плохо описывает настоящую диссипацию; в-третьих, стандартная к -s модель в некоторых случаях (например, при закрутке потока) плохо работает в областях около стенки, т.к. использование универсального

профиля скорости, заложенного в модель пристеночной функции, перестает быть правомерным; в-четвертых, стандартная k-б модель не работает в срединной области канала, т.к. здесь турбулентность является вырожденной

Для преодоления двух последних недостатков возник целый класс двухпараметрических моделей турбулентности - низкорейнольдсовые модели турбулентности [31]. Основным отличием этих моделей от высокорейнольдсовых является то, что константы, используемые в уравнениях (1.12 - 1.13), больше таковыми не являются, а становятся функциями, зависящими от различных параметров ^е, у+ и т.д.).

Большинство моделей данного класса являются моделями k-б типа [32], [33], [34]. Но в настоящий момент все большую популярность набирают модели типа к-&, в которых вместо скорости диссипации е используется удельная скорость диссипации ю. Самая первая модель этого класса была предложена Колмогоровым в 1942 г., наиболее же апробированной на сей день является модель Вилкокса [25]:

* pк

Р=а -— &

(1.24)

дк — дk д — + и

дt к дх дх,

k к

у + -

У

дк

к У

дх,.

+ уБ2 - Р*/,к&

(1.25)

д& — д& д +и

дt к дх дх,

к к

у + -

У

д&

& у

дх

&

+ а—ут Б - Р &

к Т Р

(1.26)

а =а.

ао +

я,

1 Ret 1+—L

V як у

к

^ = —, Б = л/ЩДк

у&

Б, = 1

,к 2

ди ди. ±__+ к

, дх,

V к

дх

i у

Д = Д1

■ +

V R

1 +

v r j

1, Xb * 0 1 + 680X

1 + 400x

к2,Xk > 0

_ 1 дк да к (дъ дхк дхк '

a =

a„

a

a0 +

Re

R

1 +

Re.

R

, Д = Д, fp =

1 + 70X(

1 + 80X(

а j

X(

О..П., Sh

j jk к

№

n = 1

J 2

rdU, dUjЛ

x. V j

x

(1.27)

2

*

Д

3

a = 10, r = 6.0 , a0 = —, д = 0.072, ^ = 2.0, д* = 0.09, r = 8.0,

cr = 2.0, a = 0.52 , a0 = 1, r = 6.0 . (1.28)

(•""да 0 (

Как видно, модели типа к — а отличаются от моделей типа к — s в основном лишь формой диссипативной переменной.

Использование к — а моделей турбулентности позволяет более точно по сравнению с к — s моделями разрешать вязкие эффекты вблизи стенок и учитывать градиент давления, имеются хорошие примеры использования к — а моделей для моделирования слабо - и среднезакрученных течений [25], [35].

К сожалению, у к — а моделей присутствуют и недостатки. Самый главный из них - сильное влияние граничных условий на результаты расчета, другим же существенным недостатком являются довольно-таки большие ошибки, получаемые в области развитого турбулентного ядра потока [35].

Дальнейшее развитие двухпараметрических моделей турбулентности шло в сторону преодоления выявленных недостатков к — а модели турбулентности, при сохранении всех имеющихся у нее.

Так на свет в 1994 году появилась двухпараметрическая SST (Shear Stress Transport) модель турбулентности Ментера [36]. В SST модели в области

слаборазвитой турбулентности используется к — ш модель, в турбулентном же ядре потока - к — s. Переход между этими двумя моделями турбулентности осуществляется с помощью весовых функций f (y ), F (У ) •

Эту модель, сочетающую в себе все лучшие качества к — s и к — ш моделей турбулентности и минимизирующую их недостатки, можно считать, пожалуй, самой лучшей среди двухпараметрических моделей турбулентности, основанных на гипотезе Буссинеска о турбулентной вязкости. Данный вывод подтверждается на основе результатов многочисленных расчетов [35].

При работе с моделями к — s типа (Стандартной, RNG и Realizable) [27]-[29] на достаточно подробных сетках с y+ < 1, для ухода от проблем, связанных с некорректной работой пристеночной функции, нами в рамках данной работы был использованный рекомендованный из [35] подход Echanced Wall Treatment (EWT) [37], заключающийся в применении в пристеночной области однопараметрической низкорейнольдсовой модели к - типа. Затем, в области развитой турбулентности, полученные по этой модели результаты, сопрягаются с к — s моделью.

Помимо моделей для полностью развитого турбулентного течения, в коде Fluetn 15.0 [35] содержатся двухпараметрические модели турбулентности [38], [39], способные моделировать эффекты ламинарно-турбулентного перехода.

1.1.2 Основные способы замыкания уравнения энергии

Для замыкания осредненной по Рейнольдсу системы уравнений Навье-Стокса и энергии с использованием гипотезы Буссинеска помимо информации о турбулентной вязкости у, требуется информация о турбулентной

температуропроводности ат. Существует несколько подходов к получению данной информации,

Самый распространенный на сегодняшний день способ - получение а из

ут через турбулентное число Прандтля Prr:

К

аг = £ (1.29)

При работе с обычными жидкостями (Рг ~ 1), достаточно воспользоваться аналогией Рейнольдса и положить Рг^ = 0.85 ^ 0.90 для получения адекватных результатов [35], [40].

Отметим один важный момент. Для моделирования теплообмена при применении высокорейнольдсовых моделей турбулентности, в пристенном контрольном объеме необходимо использовать механизм пристеночной функции для теплового потока. Воспользуемся аналогией Рейнольдса [35]:

С,

81 = (1.30)

Эта аналогия справедлива, если Рг = 1. В общем же случае аналогия принимает вид [35]:

Cf St = f

1

2 P(Pr,Prr)'

(1.31)

где р (Рг,Ргг) - некоторая эмпирическая функция, зависящая от свойств

жидкости и режима течения.

Таким образом, используя пристенную функцию с для определения т^а11,

используем также р (Рг, Ргг ) для нахождения интересующей нас величины q^aU в

первом контрольном объеме от стенки:

q

wall

(*waU / Plf p )PCpUp (Tw - Tp )

P (Pr,P^)

(1.32)

где выражение для P (Pr,Prr ), используемое в коде Fluent 15.0 [35], эмпирически получено Джаятиллаком [41]:

P (Pr,Prr ) = 9.24

Pr

V P rT J

1

1 + 0.28exp

-0.007

Pr

Pr

T J

(1.33)

В то же время, для жидких металлов, обладающих очень малыми значениями Рг, аналогия Рейнольдса перестает работать и, используя в расчетах Ргг = 0.85, можно получить сильно завышенные значения Ки, а также неверное

распределение температурного поля.

По многочисленным экспериментальным исследованиям [42]-[44] в области малых Рг наблюдается значительный разброс в измерениях Рг (см рис. 1.1).

Рисунок 1.1 - Зависимость Ргг от Рг и Яе. Заштрихованная область - разброс

экспериментальных данных [44]

На данный момент уже существует множество различных моделей постоянного турбулентного Прандтля для жидких металлов [44]-[47]. Например, выражение для Рг согласно [45]:

Рг. =

4.12,Ре < 1000 0.01Ре

[0.018Ре08 -(7.0 - A)]1■25

,1000 < Ре < 6000

(1.34)

где

A =

5.4 - 9 х 10-4Ре,1000 < Ре < 2000 3.6,2000 < Ре < 6000

(1.35)

К сожалению ни одна из предложенных зависимостей не обладает универсальностью.

<

<

Прежде всего, в жидких металлах это связано с тем, что величина Prr является существенно переменной не только в узкой области около стенки, как в обычных жидкостях, но и в турбулентном ядре потока. Это следует как из многочисленных экспериментальных данных по ЖМ [48]-[53], так и из результатов прямого численного моделирования DNS (описание метода DNS будет следовать далее) [54]-[59].

Из сказанного выше ясно, что следующим этапом развития моделей с турбулентным Прандтлем является модель локального Prr, являющегося функцией уже не только режимных параметров Re и Pr, но также и расстояния от стенки у. В задачах со сложной геометрией практичнее будет использовать

v,( У )

зависимость Pr„

Re,Pr,

v

v

или Prr (Re ,Pr, u (y)) вместо Prr

< уЛ Re,Pr,—

v

R

По

J

распространенности модели этого типа явно уступают моделям постоянного Ргг, среди моделей локального Прандтля отметим [49], [52], [60]-[62]. Большинство из них носит чисто эмпирический характер. В качестве примера приведем модель Субботина, справедливую для жидких металлов при турбулентном течении в прямой круглой трубе [62]:

Pr = 0.69

{ л 0.5 -

u 1

v u0 J

г

1 - 0.62 exp

1 \

RePr3

v J

(1.36)

Здесь u - локальная продольная скорость в потоке жидкости, и0 - максимальная продольная скорость в потоке.

Существуют расчетные данные, подтверждающие эффективность использования модели локального Prr. По большей части эти расчеты проводились для жидкостей с умеренными Pr [63]-[66].

В работе [67] показано, что использование модели Prr (1.36) позволяет добиться значительно лучших результатов по сравнению с моделями постоянного Prr в расчетах числа Нуссельта в каналах сложной формы, моделирующих регулярные ячейки ТВС реактора БРЕСТ-ОД-300.

К сожалению, применимость подхода локального Ргг имеет свои пределы, т.к. при его использовании наблюдаются заметные отклонения в расчетах чисел Ки и температурного распределения. С помощью модели Ргг невозможно моделировать сложный теплообмен в ЖМ при воздействии на поток массовых сил, а также при наличии сильных градиентов и закрутки течения, т.к. все эти процессы приводят к исчезновению какого бы то ни было намека на аналогию Рейнольдса, которая является основой для применения модели с турбулентным Прандтлем вообще [68].

Одним из возможных выходов является применение в расчетах моделей порождения и диссипации т.н. «энергии» турбулентных пульсации температуры. Т.е. использование четырехпараметрических моделей турбулентности, в которых два дифференциальных уравнения, записанных относительно кинетической энергии турбулентности к и диссипации этой энергии £, дополняются уравнениями для «кинетической энергии» пульсации температуры кв и «диссипацией» этой «энергии» —. Два последних уравнения необходимы для получения турбулентной температуропроводности ат. Такие модели называют к-е- кв-ев моделями турбулентного теплообмена или кратко кв - — моделями турбулентности.

На данный момент уже существует множество моделей из данного класса [69]-[85]. Среди них пригодны и апробированы для расчетов теплообмена жидкометаллических теплоносителей лишь [69], [72], [76], [84], [85]. Приведем в качестве примера к-е-кв-ев модель [85]:

= С кт,

Т ^ 1и

дк — дк д —+и дt

дхк дхк

V

v + —

д£ — д£ д — + и

д, к дхк дхк

v + -

V

\

л ' £ )

дк

к )

дх

+ Рк-£

д£

дхК

£ £

+ с £ Р - С/ — к к £ к

ат Свкв^1в

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

дк, дг

Г+и

дк„ д ( а Лдк(

—^ = — а + —*--1-

(1.41)

дг

+ %-(Ср1Рв — С^в) + ЫСрр — С,2е) (1.42)

Где Рк =ут

ди, , дик)дик

, л (дт }дт

слагаемое генерации к; Рв = ат — —

V дхк) дхк

дх, дх. ) дх.

к I ) I

слагаемое генерэции кв; см, ^, ^, с1£, с1£, с,, ^, ^, Ср!, Сл, Ср2, Сл2, т, рЕ, т

- модельные выражения.

Основные преимущества моделей типа к^ — ев:

1) Отпадает необходимость подбора турбулентного числа Прандтля Ргг, тем самым модели к — £в можно использовать для моделирования процессов, в которых отсутствует аналогия Рейнольдса. Примером таких процессов является турбулентный теплообмен жидкометаллических теплоносителей.

2) Появляется возможность физически обоснованно учитывать в уравнениях переноса для кв и ев влияние массовых сил и иных факторов, например градиентов давления и температуры.

3) С помощью моделей к — £в можно получить информацию об уровне пульсации температуры. Это очень важно, например, для учета эффектов «термокачки», которая может приводить к усталостному разрушению материалов стенки канала.

Однако, при этом, возникают новые трудности, прежде всего основанные на появлении двух дополнительных уравнений переноса, что значительно увеличивает требования к вычислительным мощностям и вносят дополнительную нелинейность в систему уравнений гидродинамики и теплообмена. Последнее может приводить к потере устойчивости и трудоностям в процессе сходимости решений.

1.1.3 Другие способы моделирования турбулентного течения и теплообмена. Модели Рейнольдсовых напряжений. Методы LES и DNS

Существуют модели турбулентности типа RANS, которые не используют гипотезу Буссинеска и, следовательно, обходятся без привлечения понятия о турбулентной вязкости ут для замыкания системы уравнений (1.4-1.6).

Эти модели называются моделями Рейнольдсовых напряжений (Reynolds Stress Models (RSM)), и, как можно догадаться из названия, уравнения переноса в моделях данного типа записываются напрямую относительно неизвестных слагаемых Рейнольдсовых напряжений из уравнения (1.5).

Уравнения переноса рейнольдсовых напряжений могут иметь как алгебраическую, так и дифференциальную форму.

Алгебраическая форма уравнений переноса используется в моделях [86], [87]. Пример записи уравнений переноса рейнольдсовых напряжений в алгебраической форме [85]:

' ' 2 1 <? , 'I ASM k

uu =— ko + a — 1 J 3 J s

f 1 Л

, (1.43)

pASM _ ^Pa ASM g _ nASM д

J ^ J J " J

где X , /ЗдМ - модельные константы; pasm , д - тензорные выражения.

Дифференциальная форма уравнений переноса используется в моделях [88] и в модели Wilcox Stress-Дифференциальное уравнение переноса рейнольдсовых напряжений для модели Wilcox Stress- С представляется как [25]:

-u'u — -u'u

1 J + U, —^

-

X,

2

_pDSM _2 оDSM ^ _ j-jDl

1J ^ J 1J

-

-X,

(v + Vv,)^

X

(1.44)

где , а - модельные константы; Р1м, П1зм - тензорные выражения.

По аналогии с алгебраическими и дифференциальными моделями рейнольдсовых напряжений, используются также алгебраические и дифференциальные модели для турбулентного теплового потока. Среди них

алгебраическими являются модели [89]-[92], а дифференциальными [93]-[95].

Общая форма записи алгебраической модели турбулентного теплового потока [96]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Захаров Алексей Геннадьевич, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. NEA and OECD. Uranium 2016: Resources, Production and Demand. 2016. NEA № 7301. 546 p.

2. The NUBASE evaluation of nuclear and decay properties / Audi G., Bersillion J., Blachot J., Wapstra A.H. Nuclear Physics. 2003. No 729. P. 3-128. D01:10.1016/j.nuclphysa.2003.11.001.

3. Haynes W. M. Handbook of Chemistry and Physics. 93 edition. CRC press, 2013.

4. Экспериментальное исследование течения свинцового теплоносителя и воды через экспериментальный участок «дроссель-кольцевой зазор»/ Безносов А.В., Антоненков М.А., Бокова Т.А. [и др.]// Известия вузов. Ядерная энергетика. 2012. № 1, С. 80-90.

5. Experimental investigation of the characteristics of the through part of a liquid-metal target based on a lead-bismuth alloy/ Beznosov A.V., Meluzov A.G., Novozhilova O.O. [et al.]// Atomic Energy. 2007. Vol. 103. № 3, P. 717-724.

6. Turbulent heavy liquid metal heat transfer along a heated rod in an annular cavity/ Lefhalm C.-H., Tak N.-I., Piecha H.// Journal of Nuclear Materials . 2004. Vol. 335, P. 280-285.

7. Thiele R. Prediction of forced convection heat transfer to Lead-Bismuth-Eutectic. Licentiate thesis. Stockholm, Sweden, 2013, 46 p.

8. Numerical investigation on enhancement of oxygen transfer by forced convection in liquid lead-bismuth eutectic system / Chen Y., Chen H., Zhang J.// International Journal of Heat and Mass Transfer. 2007. Vol. 50, P. 2139-2147.

9. Investigation on the applicability of turbulent-Prandtl-number models for liquid lead-bismuth eutectic/ Chen F., Huai X., Cai J. [et al.]//Nuclear Engineering and Design. 2013. Vol. 257, P. 128-133.

10. IAEA. Status of innovate fast reactor designs and concepts. October 2013. 65 p.

11. IAEA. Status of fast reactor research and technology development. Vienna, 2012, IAEA-TECDOC-1691, 830 p.

12. IAEA. Fast Reactor Database 2006 Update. Vienna: IAEA press, 2006, IAEA-TECDOC-1531, 441 p.

13. Evaluation of existing correlations for the prediction of pressure drop in wire-wrapped hexagonal array pin bundles / Chen S.K., Todreas N.E., Nguyen N. T. // Nuclear Engineering and Design. 2014. Vol. 267, P. 109-131.

14. Захаров А.Г. Трехмерное численное моделирование турбулентного теплообмена в закрученных потоках жидкого металла применительно к созданию реакторов нового поколения // Сборник докладов конференции молодых специалистов «Инновации в атомной энергетике». М. 2013. С. 197-206.

15. Захаров А.Г., Листратов Я.И. Численное моделирование турбулентного течения и теплообмена жидкого металла в кольцевом канале с закрученной лентой // Тез. докл. XX конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М. 2014. Т. 4. С. 46.

16. Численное моделирование турбулентного теплообмена ртути в кольцевом канале с закрученной лентой/ Захаров А.Г., Листратов Я.И.// Сборник докладов шестой Российской Национальной Конференции по Теплообмену (РНКТ-6). М. 2014.

17. Генин Л.Г., Крылов С.Г., Листратов Я.И. [и др.]. Исследование полей скорости и температуры в кольцевом канале с винтовым оребрением применительно к созданию тепловыделяющей сборки реактора БРЕСТ-0Д-300 // Сборник докладов конференции молодых специалистов «Инновации в атомной энергетике». М. 2015. С. 300-311.

18. Исследование полей скорости и температуры при турбулентном течении ртути в кольцевом канале с закрученной лентой/ Генин Л.Г., Захаров А.Г., Крылов С.Г., Листратов Я.И.// Тез. докл. XV Минского Международного форума по тепломассообмену. Минск, Беларусь. 2016. Т.1. С. 52-55.

19. Захаров А.Г., Листратов Я.И. Численное моделирование турбулентного теплообмена ртути в кольцевом канале с закрученной лентой // Тепловые процессы в технике. 2016. Т.8. №1. С.23-27.

20. Захаров А.Г., Листратов Я.И. Численное моделирование турбулентного течения и теплообмена жидкометаллического теплоносителя в кольцевом канале с закрученной лентой // Тепловые процессы в технике. 2017. Т.9. № 7. 290-296.

21. Генин Л.Г., Свиридов В.Г. Гидродинамика и теплообмен МГД-течений в каналах. М.: Изд-во «МЭИ», 2001. 199 с.

22. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А., Соловьев С.Л. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974. 408 с.

23. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А., Соловьев С.Л. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Изд-во «МЭИ», 2003. 548 с.

24. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-т., 2001. 108 с.

25. Wilcox D. C. Turbulence Modeling for CFD. La Canada, California, USA: DCW Industries Press, 2006. 522 p.

26. A New Low-Reynolds-Number One-Equation Model of Turbulence / Nagano Y., Pei C.Q. and Hattori H // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. Vol. 163, P. 128133.

27. Launder B.E. and Spalding D.B. Lectures in Mathematical Models of Turbulence. London, England: Academic Press, 1972. 169 p.

28. Renormalization Group Analysis of Turbulence. I. Basic Theory / Yakhot V., Orszag S.A. // Journal of Scientific Computing. 1986. Vol. 1. № 1, P. 3-51.

29. A new к -s eddy viscosity model for high reynolds number turbulent flows / Shih T.-H., Liou W.W., Shabbir A. [et al.]// Computers fluids. 1995. Vol. 24. № 3, P. 227-238.

30. Документация программного комплекса ANES [Электронный ресурс]: ANES Help. ANES Team.

31. Turbulence Models for Near-Wall and Low Reynolds Number Flows: A Review / Patel V. C., Rodi W. and Scheuerer G. // AIAA Journal. 1985. Vol. 23. № 9, P. 13081319.

32. A new turbulence model for predicting fluid flow and heat transfer in separating and reattaching flows - I. Flow field calculations / Abe K., Nagano T., Nagano Y. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1994. Vol. 37. № 1, P. 139-151.

33. Application of the Energy-Dissipation Model of Turbulence to the Calculation of the Flow Near a Spinning Disc / Launder B.E. and Sharma B.I. // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. Vol. 1, P. 131-138.

34. Modified Form of the к — s Model for Predicting Wall Turbulence / Lam C.K.G., Bremhorst K.A. // Journal of Fluids Engineering. 1981. Vol. 103. № 3, P. 456-460.

35. Документация программного комплекса ANSYS Fluent [Электронный ресурс]: ANSYS Help. ANSYS.

36. Review of SST Turbulence Model Experience from an Industrial Perspectives / Menter F. R.// International Journal of Computational Fluid Dynamics. 2009. Vol. 23. № 4, P. 305-316.

37. The velocity and temperature distribution flow with turbulence augmentation and pressure gradient / Wolfshtein M.// International Journal of Heat and Mass Transfer. 1969. Vol. 12, P. 301-318.

38. Menter F. R., Laungtry R.B., Likki S.R. [et al]. A correlation-based transition model using local variables: Part I - model formulation// (ASME-GT2004-53452), 2004.

39. A three-equation eddy-viscosity model for reynolds-averaged navier-stokes simulations of transitional flows/ Wallters D.K. and Cokljat D.// Journal of Fluids Engineering. 2008. Vol. 130, 121401.

40. Measurements of Turbulent Boundary Layer Prandtl Numbers and Space-time Temperature Correlations / Bagheri N., Strataridakis C. J., White B.R. // AIAA Journal. 1992. Vol. 30. № 1, P. 35-42.

41. The Influence of Prandtl Number and Surface Roughness on the Resistance of the Laminar Sublayer to Momentum and Heat Transfer / Jayatillaka C. // Prog. Heat Mass Transfer. 1969. Vol. 1, P. 193-321.

42. Turbulent temperature fluctuations in liquid metals / Lawn C.J. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1977. Vol. 20, P. 1035-1044.

43. Sodium eddy diffusivity of heat measurements in a circular duct / Sheriff N. and O'Kane D.J. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1981. Vol. 24, P. 205211.

44. About the predictions of turbulent prandtl and schmidt numbers from modeled transport equations / Jischa M. and Rieke H.B. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1979. Vol. 22, P. 1547-1555.

45. Investigation on turbulent heat transfer to lead-bismuth eutectic flows in circular tubes for nuclear applications / Cheng X., Tak N. // Nuclear Engineering and Design. 2006. Vol. 236, P. 385-393.

46. A consideration on heat transfer in liquid metal / Aoki S.// Bull. Tokyo Inst. Technol. Vol. 54, P. 63-73.

47. The prediction of turbulent prandtl and schmidt numbers / Reynolds A.J. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1975. Vol. 18, P. 1055-1069.

48. On the experimental data and applied models of turbulent heat transfer in near-wall flows / Polyakov A.F. // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 1993. Vol. 64. № 6, P. 552-559.

49. Turbulent thermal diffusivity in a current of liquid with high thermal conductivity / Borishanskii V.M. and Zablotskaya T.V. // Soviet Atomic Energy. 1967. Vol. 22. № 2, P. 147-149.

50. Experimentally determined turbulent Prandtl numbers in liquid sodium at low Reynolds numbers / Bremhorst K. and Krebs L. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1992. Vol. 35. № 2, P. 351-359.

51. Temperature and eddy diffusivity profiles in NaK / Sleicher C.A., Awad A.S. amd Notter R.H. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1973. Vol. 16, P. 1565-1575.

52. A mechanism of turbulent heat transfer in liquid metals / Azer N.Z. and Chao B.T. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1960. Vol. 1, P. 121-138.

53. Turbulent heat transfer in liquid metals - fully developed pipe flow with constant wall temperature / Azer N.Z. and Chao B.T. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1961. Vol. 3, P. 77-83.

54. Turbulent Prandtl number in near-wall region of a turbulent channel flow / Antonia R.A. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1991. Vol. 34. №7, P. 1905-1908.

55. DNS of turbulent channel flow with conjugate heat transfer at Prandtl number 0.01/ Tiselj I., Cizelj L. // Nuclear Engineering and Design. 2012. Vol. 253, P. 153-160.

56. Direct and large eddy simulation of turbulent heat transfer at very low Prandtl number: Application to lead-bismuth flows / Bricteux L., Duponcheel M., Winckelmans G. [et al.] // Nuclear Engineering and Design. 2012. Vol. 246, P. 91-97.

57. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid / Kawamura H., Ohsaka K., Abe H. [et al.] // International Journal of Heat and Fluid Flow. 1998. Vol. 19, P. 482-491.

58. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects / Kawamura H., Abe H., Matsuo Y. // International Journal of Heat and Fluid Flow. 1999. Vol. 20, P. 196-207.

59. Direct numerical simulation of turbulent heat transfer in pipe flows: Effect of Prandtl number / Redjem-Saad L., Ould-Rouiss M., Lauriat G. // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2007. Vol. 28, P. 847-861.

60. Turbulent prandtl number. Where Are We? / Kays W. M. // Journal of Heat Transfer. 1994. Vol. 116, P. 284-295.

61. An extended Kays and Crawford turbulent Prandtl number model / Weigand B., Ferguson J.R., Crawford M.E. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1997. Vol. 40. №17, P. 4191-4196.

62. Субботин В.И и др. Гидродинамика и теплообмен в атомных энергетических установках (основы расчета). М.: Атомиздат, 1975. 408 с.

63. An application of the к - s model with variable Prandtl number to heat transfer computations in air flows / Rup K., Wais P. // Heat and Mass Transfer. 1999. Vol. 34. P. 503-508.

64. An improved low Reynolds number к -s model for heat transfer calculations / Rup K., Soczowka M. // Forschung im Ingenieurwesen. 2000. Vol. 65. P. 225-235.

65. Influence of turbulence model parameter settings on conjugate heat transfer simulation / Wang P., Li Y., Zou Z. [et al.] // Heat and Mass Transfer. 2013. DOI 10.1007/s00231-013-1253-5

66. Численный анализ коэффициента восстановления температуры на основе математической модели с изменяющимся турбулентным числом Прандтля /. Ковальногов Н.Н, Магазинник Л.М., Федоров Р.В. [и др.] // Вестник УлГТУ. 2008. Т. 1. С. 51-54.

67. Смирнов В.П., Захаров А.Г. Трехмерный теплогидравлический расчет ячеек тепловыделяющих сборок реактора БРЕСТ-0Д-300// Сборник докладов всероссийсокй конференции « XXI сибирский теплофизический семинар». 2014. С. 456-465.

68. Challenges in low-Prandtl number heat transfer simulation and modelling / Grotzbach G. // Nuclear Engeneering and Design. 2013. Vol. 264. P. 41-55.

69. Statistical modelling of passive-scalar diffusion in turbulent shear flows / Yoshizawa A. // Journal of Fluid Mechanics. 1988. Vol. 195. P. 541-555.

70. A Two-Equation Model for Heat Transport in Wall Turbulent Shear Flows / Nagano Y. and Kim C. // Journal of Heat Transfer. 1988. Vol. 110. № 3, P. 541-555.

71. A two-equation heat transfer model for predicting turbulent thermal fields under arbitrary wall thermal conditions / Youssef M.S., Nagano Y. and Tagawa M. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1992. Vol. 35. № 11, P. 3095-3104.

72. A Near-Wall Eddy Conductivity Model for Fluids With Different Prandtl Numbers / So R.M.C. and Sommer T.P. // Journal of Heat Transfer 1994. Vol. 116. № 4, P. 844-854.

73. A new turbulence model for predicting fluid flow and heat transfer in separating and rettaching flows - II. Thermal field calculations / Abe K., Kondoh T., Nagano Y. // International Journal of Heat and Mass Transfer 1995. Vol. 38. № 8, P. 1467-1481.

74. A nonlinear low-Reynolds-number к -s model for turbulent separated and reattaching flows - II. Thermal field computations / Rhee G.H. and Sung H. J. // International Journal of Heat and Mass Transfer 1996. Vol. 39. № 16, P. 3465-3474.

75. Development of a two-equation heat transfer model based on direct simulations of turbulent flows with different Prandtl numbers / Nagano Y. and Shimada M. // Physics of Fluids 1996. Vol. 8. № 12, P. 3379-3402.

76. Modeling the turbulent heat and momentum transfer in flows under different thermal conditions / Nagano Y., Hattori H., Abe K. // Fluid Dynamics Research 1997. Vol. 20, P. 127-142.

77. Calculation of impinging-jet heat transfer with the low-Reynolds-number q turbulence model / Gibson M.M. and Harper R.D. // International Journal of Heat and Fluid Flow 1997. Vol. 18. №1, P. 80-87.

78. Rigorous formulation of two-equation heat transfer model of turbulence using direct simulations / Hattori H. and Nagano Y. // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals: An International Journal of Computation and Methodology. 1998. Vol. 33. №2, P. 153-180.

79. A low Reynolds number two-equation ke - se to predict thermal fields / Hwang C.B., Lin C.A. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1999. Vol. 42, P. 3217-3230.

80. DNS and Modeling of Passive Scalar Transport in Turbulent Channel Flow with Focus on Scalar Dissipation Rate Modelling / Johansson A.V. and Wikstrom P.M. // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. Vol. 63, P. 223-245.

81. An anisotropic two-equation heat transfer model for turbulent heat transport under arbitrary wall thermal conditions / Deng B., Wu W., Xi S. // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals: An International Journal of Computation and Methodology. 2000. Vol. 38. № 4, P. 389-404.

82. An alternative two-equation turbulent heat diffusivity closure / Karcz M., Badur J. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2005. Vol. 48, P. 2013-2022.

83. Scalar turbulence model investigation with variable turbulent Prandtl number in heated jets and diffusion flames / Aouissi M., Bounif A., Bensayah K. // Heat and Mass Transfer. 2008. Vol. 44, P. 1065-1077.

84. Bna S., Bornia G., Cerroni D., [et al.]. Heat transfer numerical simulations with the four parameter k-w-kt-st model for low-prandtl number liquid metals. // XXX UIT Heat Transfer Conference. Bologna. 2012

85. A CFD four parameter heat transfer turbulence model for engineering applications in heavy liquid metals / Manservisi S., Menghini F. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2014. Vol. 69, P. 312-326.

86. Simulation of annular swirling turbulent flows with a new algebraic Reynolds stress model / Zhang J., Lu H., Zhou L. [et al.] // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals: An International Journal of Computation and Methodology. 1997. Vol. 31. № 2, P. 235-249.

87. On the Computation of Convective Heat Transfer in complex Turbulent Flows / Launder B.E. // Journal of Heat Transfer. 1988. Vol. 110. № 4(B), P. 1112-1128.

88. Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure / Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. // Journal of Fluid Mechanics. 1975. Vol. 68. № 3, P. 537566.

89. The accuracy and parametric sensitivity of algebraic models for turbulent flow and convection / Churchill S. W., Yu B., Kawaguchi Y. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2005. Vol. 48, P. 5488-5503.

90. On temperature prediction at low Re turbulent flows using the Churchill turbulent heat flux correlation / Le P. M., Papavassiliou D.V. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2006. Vol. 49, P. 3681-3690.

91. An explicit algebraic heat-flux model for the temperature field / So R.M.C. and Sommer T.P. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1996. Vol. 39. № 3, P. 455-465.

92. An Explicit Algebraic Model for Turbulent Heat Transfer in Wall-Bounded Flow With Streamline Curvature / Younis B.A., Weigand B. and Spring S. // Journal of Heat Transfer. 2007. Vol. 129. № 4, P. 425-433.

93. Second-momentum closure for turbulent scalar transport at various Prandtl numbers / Shikazono N. and Kasagi N. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1996. Vol. 39. № 14, P. 2977-2987.

94. Assessment of Heat Flux Turbulence Models for Flows Dominated by Buoyancy Effects / Vasic S., Lin C. A. and Delage Y. // Atmosphere-Ocean. 2001. Vol. 39. № 4, P. 471-484.

95. Investigation of heat transfer Prandtl number dependence by ut and vt solutions / Vilemas J., Uspuras E. and Poskas P. // International Journal of Heat and Fluid Flow. 1990. Vol. 11. № 1, P. 23-29.

96. A comparative of the performance of explicit algebraic models for the turbulent heat flux / Dietz C.F., Neumann S.O. and Weigand B. // Numerical Heat Transfer, Part A: Applications: An International Journal of Computation and Methodology. 2007. Vol. 52. № 2, P. 101-126.

97. Two-loop calculation of the turbulent Prandtl number / Adzhemyan L. Ts., Honkonen J., Kim T.L. [et al.] // Physical Review E. 2005. DOI: 10.1103/PhysRevE.71.056311

98. Influence of helcity on the turbulent prandtl number: two-loop approximation / Jurcisinova E., Jurcisin M. and Remecky R. // Theoretical and Mathematical Physics. 2011. Vol. 169. № 2, P. 1573-1582.

99. Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. Part 1. General discussion and the case of small conductivity / Batchelor G.K. // Journal of Fluid Mechanics. 1959. Vol. 5. № 2, P. 113-133.

100. A General Dynamic linear tensor-diffusitivity subgrid-scale heat flux model for large-eddy simulation of turbulent thermal flows / Wang B.-C., Yee E., Yin J. [et al.] // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals: An International Journal of Computation and Methodology. 2007. Vol. 51. № 3, P. 205-227.

101. Williamson N.J., Kirpatrick M.P., Armfield S.A. [et al.] Sub-Filter Scale Models for Scalar Transport in Large Eddy Simulations // 16th Australasian Fluid Mechanics Conference. Crown Plaza, Gold Coast, Australia. 2007. pp.1427-1431.

102. Revisiting the resolution requirements for turbulence simulation in nuclear heat transfer / Grotzbach G. // Nuclear Engineering and Design. 2011. Vol. 241, P. 43794390.

103. A mixed-timescale SGS model for thermal field at various Prandtl numbers / Inagaki M., Hatori H., Nagano Y. // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2012. Vol. 34, P. 47-61.

104. Heat transfer in liquid metals / Kutateladze S.S., Borishanskii V.M., Novikov I.I. // Soviet Atomic Energy. 1958. Vol. 4, P. 555-571.

105. Generalization of experimental data on heat transfer in molten metals / Kirillov P. L. // Soviet Atomic Energy. 1963. Vol. 13, P.1103-1106.

106. Liquid metal heat transfer in turbulent pipe flow with uniform wall flux / Lee S. L. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1983. Vol. 26. №3, P.349-356.

107. Analysis for low turbulence intensity liquid metal heat transfer / Lindon T. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1971. Vol. 14, P.1747-1750.

108. Heat transfer in turbulent pipe flow revisited: similarity law for heat and momentum transport in low Prandtl-number fluids / Tricoli V. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1999. Vol. 42, P.1535-1540.

109. Heat transfer to molten metals during flow in pipes / Borishanskii V. M., Zabolotskaya T. V. and Ivashenko N. I. // Soviet Atomic Energy. 1964. Vol. 14. № 3, P. 318-320.

110. Determination des coefficients de convection d'un alliage sodium-potassum dans un tube circulare / Skupinski E., Tortel J. et Valtrey L. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1965. Vol. 8, P.937-951.

111. A liquid metal heat-transfer experiment and it's relation to recent theory / Merriam R. L., Stein R. P., Richardson B.L. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1965. Vol. 11, P.769-772.

112. Investigation of heat transfer in the turbulent flow of liquid metal in tubes / Ibragimov M. Kh., Subbotin V. I. and Ushakov P. A. // Soviet Atomic Energy. 1961. Vol. 8, P.48-50.

113. Кириллов П.Л и др. Справочник по теплогидравлическим расчета в атомной энергетике, Том 1, М.: Энергоатомиздат, 1990. 360 с.

114. Molokov S. Magnetohydrodynamics - Hystorical Evolution and Trends, Springer, 2007. 410 p.

115. Velocity measurements at high temperatures by ultrasound Doppler velocimetry using an acoustic wave guide / Eckert S., Gerbeth G. and Melnikov V. I. // Experiments in Fluids. 2003. Vol. 35, P.381-388.

116. Flow measurements in liquid metals by means of the ultrasonic Doppler method and local potential probes / Cramer A., Eckert S. and Gerbeth G. // Eur. Phys. J. Special Topics. 2013. Vol. 220, P.25-41.

117. Ultrasound doppler system for two-dimensional flow mapping in liquid metals / Franke S., Buttner L., Czarske J. [et al.] // Flow Measurement and Instrumentation. 2010. Vol. 21, P.402-409.

118. Velocity measurements in the liquid metal flow driven by two-phase inductor / Pedchenko A., Bojarevics A., Priedl J. [et al.] // Experiments in Fluids. 2013. DOI 10.1007/s00348-013-1558-7

119. Flow measurement techniques in heavy liquid metals / Shulenberg T., Stieglitz R. // Nuclear Engineering and Design. 2010. Vol. 240, P.2077-2087.

120. Spatially resolved measurements in a liquid metal flow with Lorentz force velocimetry / Heinicke C.// Experiments in Fluids. 2013. DOI 10.1007/s00348-013-1560-0

121. Flow mapping of the mercury flow / Takeda Y., Kikura H. // Experiments in Fluids. 2002. Vol. 32, P.161-169.

122. Turbulent structure of isothermal and nonisothermal liquid metal pipe flow / Hochreiter L. E. and Sesonske A. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1974. Vol. 17, P.113-123.

123. Turbulent structure measurements in mercury pipe flow / Eyler L. L., Sesonske A. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1980. Vol. 23, P.1561-1572.

124. Turbulent heavy liquid metal heat transfer along a heated rod in an annular cavity / Lefhalm C. -H., Tak N. -I., Piecha H. [et al.] // Journal of Nuclear Materials. 2004. Vol. 335, P.280-285.

125. Experimental investigation of the turbulent heavy liquid metal heat transfer in the thermal entry region of a vertical annulus with constant heat flux on the inner surface / Marocco L., Loges A., Wetzel T. [et al.] // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2012. Vol. 55, P.6435-6445.

126. Thermal-hydraulic performance of heavy liquid metal in straight-tube and U-tube heat exchangers / Ma W., Kurbojian A., Sehgal B.R. [et al.] // Nuclear Engineering and Design. 2009. Vol. 239, P.1323-1330.

127. Temperature profiles in liquid metals and the effect of superimposed free convection in turbulent flow / Buhr H.O., Carr A.D. and Balzhiser R. E. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1968. Vol. 11, P.641-654.

128. Turbulent heat transfer in a flow of liquid metals / Subbotin V.I., Ibragimov M. K., Ivanovsky M. N. [et al.] // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1961. Vol. 4, P.79-87.

129. A study of heat transfer to molten sodium in tubes / Subbotin V.I., Papovyants A. K., Kirillov P. L. [et al.] // Soviet Atomic Energy. 1963. Vol. 13, P.991-994.

130. Heat transfer in a region of thermal stabilization in the turbulent flow of liquid metals in a tube / Subbotin V.I., Ibragimov M. K., Nomofilov E. V. // Soviet Atomic Energy. 1963. Vol. 13, P.754-760.

131. Turbulent temperature fluctuations in mercury and ethylene glycol in pipe flow / Subbotin V.I., Ibragimov M. K., Nomofilov E. V. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1966. Vol. 9, P.215-227.

132. Contribution a l'etude des ecchanges thermiques en ecoulement turbulent dans un tube lisse application aux metaux liquides / Taccoen L. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1967. Vol. 10, P.1649-1660.

133. Laminar and turbulent heat transfer in the pipe entrance region for liquid metals / Chen C. -J., Chiou J. S. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1981. Vol. 24, P.1179-1189.

134. The calculation of heat transfer in tubes for the turbulent flow of liquids with small prandtl numbers (Pr << 1) / Borishanskii V. M., Ivashenko N. I., Zabolotskaya T. V. // Soviet Atomic Energy. 1962.Vol. 11, P.1070-1074.

135. Heat transfer to molten metals during flow in pipes / Borishanskii V. M., Zabolotskaya T. V., Ivashenko N. I., // Soviet Atomic Energy. 1964.Vol. 14, P.318-320.

136. Heat transfer in turbulent liquid metal flow in channels with various wall conditions / Kader B. A.// Soviet Atomic Energy. 1980.Vol. 48, P.232-238.

137. Investigation of heat transfer from a lead heat carrier to a tube streamlined longitudally / Beznosov A. V, Molodtsov A.A., Nazarov A.V. [et al.] // Thermophysics and Aeromechanics. 2007.Vol. 14, P.411-418.

138. Characteristics of heat transfer of models of core and steam generator surfaces with regulation of impurity content in a loop with lead coolant/ Beznosov A. V, Novozhilova O.O., Molodtsov A.A. [et al.] // Atomic Energy. 2008.Vol. 104, P.100-107.

139. Экспериментальное исследование процессов теплообмена и профилей температур потока тяжелого жидкометаллического теплоносителя / Безносов А.В., Новожилова О.О, Савинов С.Ю. // Известия ВУЗов. Ядерная энергетика. 2008.Т. 3, С.80-90.

140. Numerical research on local heat transfer distribution of liquid sodium turbulent flow in an annulus / Wang M., Qiu S.Z., Wu Y.W. [et al.] // Progress in Nuclear Energy. 2013.Vol. 65, P.70-80.

141. Turbulent heat transfer in the thermal entrance region of concentric annuli with uniform wall heat flux / Quarmby A. and Anand R. K. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1970. Vol. 13, P.395-411.

142. Entrance region and variable heat flux effects in turbulent heat transfer to liquid metals flowing in concentric annuli / Chen J. C., Yu W. S. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1970. Vol. 13, P.667-680.

143. Loges A., Bauman T., Marocco L. Experimental investigation of turbulent heat transfer in liquid metal along a heated rod in a vertical annulus // NURETH-14, Toronto, Canada, 2011.

144. Влияние эксцентриситета на теплообмен жидких металлов в кольцевом зазоре/ Субботин В.И., Таланов В.Д., Ушаков П.А. // Жидкие металлы. Сборник статей под редакцией Кириллова П.Л. [и др.]., М.: Атомиздат, 1967, С. 111-112.

145. Heat transfer to a heavy liquid metal in curved geometry: code validation and CFD simulation for the Megapie lower target / Dury T. V. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A. 2006. Vol. 562, P.859-862.

146. Experimental investigation on transfer characteristics of temperature fluctuations from liquid sodium to wall in parallel triple-jet / Kimura N., Miyakoshi H., Kamide H. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2007. Vol. 50, P.2024-2036.

147. IAEA. Theoretical and experimental studies of heavy liquid metal thermal hydraulics. Vienna, 2006, IAEA-TECD0C-1520, 316 p.

148. A stepwise development and validation of a RANS based CFD modeling approach for the hydraulic and thermal-hydraulic analyses of liquid metal flow in a fuel assembly / Chandra L., Roelofs F., Houkema M. // Nuclear Engineering and Design. 2009. Vol. 239, P.1988-2003.

149. CFD analyses of liquid metal flow in sub-channels for Gen IV reactors / Chandra L., Roelofs F. // Nuclear Engineering and Design. 2011. Vol. 241, P. 43914403.

150. Method of calculating temperature irregularities in fuel element bundles cooled by liquid metals / Ibragimov M. K., Zhukov A. V. // Soviet Atomic Energy. 1968. Vol. 24, P. 642-645.

151. Evaluation of surrogate models in optimization of wire-wrapped fuel assembly / Raza W., Kim K. -Y. // Journal of Nuclear Science and Technology. 2007. Vol. 44, P. 819-822.

152. Comparative analysis of flow and convective heat transfer between 7-pin and 19-pin wire-wrapped fuel assemblies / Raza W., Kim K. -Y. // Journal of Nuclear Science and Technology. 2008. Vol. 45, P. 653-661.

153. Analysis of data and and recommendations on heat transfer by liquid metals in rod bundles / Bobkov V. P., Vinogradov V.N., Kozina N. V. // Soviet Atomic Energy. 1988. Vol. 65, P. 1007-1011.

154. Heat transfer to liquid metals in longitudinally wetted bundles of rods / Borishanskii V.M., Gotovskii M.A. and Firsova E.V. // Soviet Atomic Energy. 1969. Vol. 27, P. 1347-1350.

155. CFD-analysis of thermal-hydraulic behavior of heavy liquid metals in subchannels / Cheng X., Tak N. I. // Nuclear Engineering and Design. 2006. Vol. 236, P. 1874-1885.

156. The turbulent Prandtl number for temperature analysis in rod bundle subchannels / Huh B. G., Kim S., Cheng C. H. // Journal of Nuclear Science and Technology. 2005. Vol. 236, P. 183-190.

157. Investigation of flow and temperature field development in bare and wire-wrapped reactor fuel pin bundles cooled by sodium / Rasu N. G., Velusanuy K., Sundarurajan T. [et al.] // Annals of Nuclear Energy. 2013. Vol. 55, P. 29-41.

158. A CFD simulation process for fast reactor fuel assemblies / Hammond K.D., Berry R. A.// Nuclear Engineering and Design. 2010. Vol. 240, P. 2304-2312.

159. A dominant geometrical parameter affected the turbulent mixing rate in rod bundles / Jeong H. -Y., Ha K. -S., Kwon Y. -M. [et al.] // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2007. Vol. 50, P.908-918.

160. A scale analysis of the turbulent mixing rate for various Prandtl number flow fields in rod bundles / Kim S., Chung B. -J.// Nuclear Engineering and Design. 2001. Vol. 205, P. 281-294.

161. An innovate method for prediction of liquid metal heat transfer rate for rod bundles based an annuli / Ma Z., Wu Y., Qiu Z. [et al.] // Annals of Nuclear Energy.

2012. Vol. 47, P. 91-97.

162. Heat transfer to liquid metal: review of data and correlations for tube bundles/ Mikityuk K.// Nuclear Engineering and Design. 2009. Vol. 239, P. 680-687.

163. Subchannel thermal-hydraulic analysis of the fuel assembly for liquid sodium cooled fast reactor / Wu Y. W., Li X., Yu X. [et al.]// Progress in Nuclear Energy.

2013. Vol. 68, P. 65-78.

164. Simulating fuel assemblies with low resolution CFD approaches / Roelofs F., Gopala V.R., Chandra L. [et al.] // Nuclear Engineering and Design. 2013. Vol. 250, P. 548-559.

165. Температурное поле, теплоотдача и межканальный обмен в решетках твэлов активных зон реакторов с тяжелыми теплоносителями / Жуков А.В., Кузина Ю.А., Сорокин А.П. // Сборник докладов шестой Российской Национальной Конференции по Теплообмену (РНКТ-6). М. 2014.

166. Effect of Prandtl number on the turbulent thermal field in annular pipe flow / Ould-Rouiss M., Redjem-Saad L., Lauriat G. // International Communications in Heat and Mass Transfer. 2010. Vol. 37, P. 958-963.

167. DNS study of turbulent transport at low Prandtl numbers in a channel flow/ Piller M., Nolile E., Hanratty T. J. // Journal Fluid Mechanics. 2002. Vol. 458, P. 419-441.

168. Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to Ret = 1020 with Pr = 0.025 and 0.71/ Abe H., Kawamura H., Matsuo Y. // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2004. Vol. 25, P. 404-419.

169. Numerical simulation of turbulent temperature fluctuations in liquid metals / Grotzbach G. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1981. Vol. 24, P. 475490.

170. Direct numerical simulation of turbulent heat transfer in pipe flows with various prandtl numbers/ Rashid M., Hassan K., Islam M. [et al.] // Advanced in Natural and Applied Sciences. 2012. Vol. 6, P. 241-248.

171. Direct numerical simulation of passive scalar field in a turbulent channel flow / Kassagi N., Tomita Y., Kuroda A. // Journal of Heat Transfer. 1992. Vol. 114, P. 598606.

172. Direct simulation of turbulent heat transfer in swept flow over a wire in a channel / Ranjan R., Pantano C., Fischer P. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2011. Vol. 54, P. 4636-4654.

173. Математическая модель сопряженной задачи теплообмена закрученного турбулентного течения жидкости в пружинно-винтовом канале на основе модели турбулентности Ментера / Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. // Известия КГАСУ. 2012. Т. 20, С. 105-111.

174. Numerical analysis on double pipe heat exchanger with twisted tape induced swirl flow on both sides / Ranjith, Sheji K. // Procedia technology. 2016. Vol. 24, P. 436-443.

175. An experimental set-up for investigating swirling decaying flow in an annular pipe / Ho K., Abkar Y. A., Chan A. // International Communications in Heat and Mass Transfer. 2016. Vol. 38, P. 1253-1261.

176. Experimental study of heat transfer enhancement with wire coil inserts in laminar-transition-turbulent regimes at different Prandtl numbers / Garcia A., Vicente P.G., Viedma A. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2005. Vol. 48, P. 4640-4651.

177. Simulation of heat transfer in ring channels with turbulizers in the seven-layer model of a turbulent boundary layer/ Dreitser G.A., Lobanov I. E. // Doklady Physics.

2005. Vol. 50, P. 258-262.

178. An experimental study of swirling flow in a cylindrical annuli using the PIV technique / Chang T. -H., Lee K. -S. // Journal of Visualization. 2010. Vol. 13, P. 293301.

179. Интенсификация теплосъема в кольцевых каналах с закруткой потока. Конвективный теплообмен / Болтенко Э.А., Тарасевич С.Э., Обухова Л.А. // Изв. РАН. Энергетика. 2001. №. 3, С. 99-104.

180. Гидродинамика и теплообмен закрученных потоков в каналах с завихрителями / Митрофанова О.В. // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41. №. 4, С. 587-633.

181. Исследование теплообмена на вогнутой и выпуклой поверхностях кольцевого канала с закруткой теплоносителя / Болтенко Э.А. // Теплоэнергетика.

2006. №. 10, С. 61-65.

182. Исследование гидравлического сопротивления и теплообмена в однофазном закрученном потоке при одностороннем нагреве / Варава А.Н., Дедов А. В., Комов А.Т. [и др.] // Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. №. 5, С. 699708.

183. Теплоотдача в кольцевых каналах с закруткой потока / Ильин Г.К., Тарасевич С.Э. Яковлев А. Б. // Теплоэнергетика. 2010. №. 3, С. 60-64.

184. Исследование теплообмена на вогнутой и выпуклой поверхностях кольцевого канала с закруткой теплоносителя / Болтенко Э.А. // Теплоэнергетика. 2006. №. 10, С. 61-65.

185. Интенсификация теплообмена на выпуклой поверхности кольцевого канала методом взаимодействующих закрученных потоков / Комов А.Т., Варава А.Н., Дедов А.В. // Сборник докладов шестой Российской Национальной Конференции по Теплообмену (РНКТ-6). М. 2014.

186. Теплоотдача и гидравлическое сопротивление труб с оребренными скрученными ленточными вставками / Тарасевич С.Э., Яковлев А.Б., Гиниятуллин А.А. // Сборник докладов шестой Российской Национальной Конференции по Теплообмену (РНКТ-6). М. 2014.

187. Исследование кризиса теплоотдачи на выпуклых теплоотдающих поверхностях кольцевых каналов с закруткой теплоносителя/ Болтенко Э.А. // Сборник докладов шестой Российской Национальной Конференции по Теплообмену (РНКТ-6). М. 2014.

188. Экспериментальное исследование полей температуры при течении жидкого металла в кольцевом канале со спиральным ребром / Крылов С.Г., Генин Л.Г. // Сборник докладов шестой Российской Национальной Конференции по Теплообмену (РНКТ-6). М. 2014.

189. Экспериментальные исследования теплоотдачи и полей температуры в моделях, имитирующих тепловыделяющие сборки активной зоны ядерного реактора с тяжелым жидкометаллическим теплоносителем / Беляев И.А., Генин Л.Г., Крылов С.Г. [и др.] // Теплоэнергетика. 2015. №9, С. 34-40.

190. Экспериментальные исследования полей температуры в макете ячейки тепловыделяющей сборки активной зоны ядерного реактора с тяжелым жидкометаллическим теплоносителем / Генин Л.Г., Крылов С.Г., Разуванов Н.Г. [и др.] // Тепловые Процессы в Технике. 2017. Т.9. №5, С. 202-210.

191. Крылов С.Г. Экспериментальное исследование полей температуры при течении жидкого металла в вертикальном кольцевом канале с винтовым ребром: магистерская диссертация М. 2013.

192. Крылов С.Г. Экспериментальное исследование температурных полей в кольцевом канале со спиральным ребром при течении жидкого металла: дисс. канд. техн. наук. М., 2017.

193. Оценка влияния свободной конвекции на турбулентное течение / Янтовский Е.И. // Журнал технической физики. 1959. Т. 24, С. 6-8.

194. Кириллов П.Л. и др. Теплофизические свойства материалов ядерной энергетики. М.: ИздАТ, 2007. 200 с.

195. Захаров А.Г. Численное моделирование турбулентного течения и теплообмена жидкого металла в кольцевом канале с закрученной лентой: магистерская диссертация М. 2013.

196. Документация программного комплекса Star CCM+ [Электронный ресурс]: Star CCM+ Help. CD-adapco.

197. Документация программного комплекса FlowVision [Электронный ресурс]: FlowVision Help. ТЕСИС.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)

Подготовка расчетных моделей

Подготовка расчетных моделей имеет целью обеспечение достоверности получаемых расчетных результатов и состоит из следующего комплекса процедур: 1) Подбор оптимального уровня невязки, обеспечивающего достаточный уровень сходимости решения в процессе расчета; 2) Подбор оптимальной схемы пространственной дискретизации; 3) Проверка сеточной независимости расчетов

При этом действия 1) и 2) достаточно провести однократно для одного варианта модели геометрии и сетки, а действие 3) необходимо проводить каждый раз в случае изменения геометрии расчетной области.

А.1 Оценка допустимого уровня невязки при сходимости решения

Для тестирования расчетной модели (L = 1.1 м - длина расчетной области) по исследованию задачи о турбулентном течении ртути в кольцевом канале с закрученной лентой построим максимально грубую сетку со следующими параметрами: N = NrxNxxNx = 25x58x260 = 377000 элементов, y+ ~ 0.6 на смоченных поверхностях, по толщине стенок задается 3 контрольных объема (изображение данной сетки можно найти в пункте А.3 данного приложения). Режим Re = 14500. Задача решается с использованием схемы 1-го порядка точности Upwind при дискретизации уравнений движения, турбулентных характеристик и энергии, а при дискретизации давления использовалась схема Standard [35]. Расчеты проводились с использованием низкорейнольдсовой SST модели турбулентности, Prj = 1.2. В качестве контрольных отметок по оценке сходимости решения были выбраны следующие уровни невязок: 1) - 10-6 для

3 8 5

энергии, 10" для всех остальных переменных; 2) - 10" для энергии, 10" для всех

10 1

остальных переменных; 3) - 10" для энергии, 10" для остальных переменных; 4) - все невязки стабилизировались.

В таблице А.1 приведены данные для Ки и £, рассчитанные на выходе из расчетной области, полученные на разных уровнях невязок. На рис. А.1 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки полученные на различных уровнях невязок в сечении х = 904 мм.

Таблица А.1 - Зависимость £ и Ки от уровня невязок

Уровень £ Д£, % ш ДШ, %

невязок

1) 0.03366 " 8.04 "

2) 0.03308 "1.75 8.02 "0.25

3) 0.03308 0 8.02 0

4) 0.03308 0 8.02 0

Рисунок А.1 - Зависимость распределения 0^ от уровня невязок, х = 904 м: 1"4 соответствуют уровням невязок 1)"4) из таблицы А.1

Как следует из таблицы А.1 и рис. А.1, уровень невязок 2) обеспечивает достаточную степень сходимости решения. Для большей надежности, все расчеты (если это возможно) будут проводиться до достижения уровня невязок 3)

10 7

(10" для энергии, 10" для остальных переменных).

А.2 Подбор схемы пространственной дискретизации

Для подбора схемы пространственной дискретизации, проведем расчет задачи, описанной в А.1, с использованием трех схем дискретизации по пространству для всех переменных, за исключением давления: 1) - схема 1-го порядка точности Upwind; 2) - схема 2-го порядка точности Upwind; 3) - схема 3-го порядка точности MUSCL. При этом в случае 1) будет применяться схема дискретизации по давлению Standard, а для случаев 2) и 3) - Second Order [35]. Режим Re = 14500.

В таблице А.2 приведены данные по Nu и £, полученные на различных схемах дискретизации на выходе из расчетной области. На рис. А.2 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для различных схем дискретизации в сечении х = 904 мм.

Таблица А.2 - Зависимость £ и Nu от схемы пространственной дискретизации

Схема дискретизации £ A£, % Nu ANu, %

1) 0.03308 - 8.02 -

2) 0.03284 -0.73 7.91 -1.39

3) 0.03282 -0.06 7.91 0

градусы

Рисунок А.2 - Зависимость распределения от схем пространственной дискретизации, х = 904 мм: 1-3 соответствуют вариантам 1)-3) из таблицы А.2

Как следует из таблицы А.2 и рис. А.2, наибольшие отличия дает расчет с использованием схемы 1-го порядка точности. Различия в результатах между вариантами 2) и 3) минимальны. В дальнейшем, в расчетах (если это возможно) будут использоваться схема 3-го порядка точности MUSCL для пространственной дискретизации всех переменных, кроме давления. При этом для давления будет применяться схема Second Order.

А.3 Подбор расчетной сетки для кольцевого канала с закрученной ленточной

вставкой

Для расчетной области, состоящей из кольцевого канала с закрученной ленточной вставкой и описанной в А.1 и А.2, проведем подбор расчетной сетки. Будут использоваться три сетки: «грубая» (уже описанная в А.1 и А.2) -N = NrxNxxNx = 25*58x260 = 377000 элементов, по толщине стенок задается 3 контрольных объема; «средняя» - N = NrxNxxNx = 50x116x520 = 3016000 элементов, по толщине стенок задается 6 контрольных объемов; «мелкая» -N = NrxNxxNx = 100x232x1040 = 24128000 элементов, по толщине стенок задается 12 контрольных объемов. При этом для всех сеток на смоченных стенках -y+ ~ 0.6. Сетки построены неравномерными, со сгущением по закону геометрической прогрессии к смоченным стенкам. Для «грубой» сетки коэффициент прогрессии Rg = 1.3, для «средней» - Rg = 1.2, для «мелкой» -Rg = 1.1. Режим Re = 14500. На рис. А.3 приведены поперечные сечения трех типов сеток.

В таблице А.3 приведены данные по Nu и полученные на различных сетках на выходе из расчетной области. На рис. А.4 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для различных сеток в сечении x = 904 мм.

Таблица А.3 - Зависимость £ и Ки от расчетной сетки

Тип сетки £ Д£, % Ш ДШ, %

«грубая» 0.03282 - 7.91 -

«средняя» 0.03346 1.91 7.97 0.75

«мелкая» 0.03391 1.33 8.00 0.38

а) б) в)

Рисунок А.3 - Поперечное сечение исследуемых расчетных сеток: а) - «грубая»,

б) - «средняя»; в) - «мелкая»

<35

0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 * 0.12

0.11 0.1 0.09 0.08 0.07

\

\

\

\

\

г

А— А Л

А А Л2

ниЗ

60 120 180 240 300 360

Ф, градусы

Рисунок А.4 - Зависимость распределения 0^ от различных сеток, х = 904 мм: 1 - «грубая» сетка, 2 - «средняя» сетка, 3 - «мелкая» сетка

Как следует из таблицы А.3 и рис. А.4, «средняя» сетка обеспечивает достаточный уровень сеточной независимости результатов расчетов. В последующих расчетах будет использована именно «средняя» сетка.

Параметры сетки в поперечном сечении остаются постоянными при изменении длины расчетной области, также как и количество сеточных узлов по осевой координате, приходящееся на единицу длины.

Данная расчетная сетка построена в сеточном генераторе ICEM и будет использована при расчетах с помощью кода Fluent.

К сожалению, код FlowVision не имеет возможности работать с сетками, сгенерированными в ICEM. В нем имеется встроенный сеточный генератор, создающий декартовые сетки. Подобный принцип работы не позволяет подробно разрешать пристеночные области. Таким же образом происходит генерация сетки в коде ANES. Использование низкорейнольдсовых моделей турбулентности, в данном случае, не представляется возможным, ввиду огромного количества требуемых сеточных узлов. Поэтому, расчеты в кодах FlowVision и ANES проводятся с использованием стандартной k-s модели со стандартной пристеночной функцией, Prj = 1.2.

Проведем оценку сеточной независимости результатов расчетов по коду FlowVision для описанной в А.3 расчетной области. Расчеты будут проводиться на трех сетках: сетке 1 - N = 68000, y+ ~ 50; сетке 2 - N = 503000, y+ ~ 25; сетке 3 - N = 3794000, y+ ~ 12. Режим Re = 14500. При этом для пространственной дискретизации использовались схемы 2-го порядка точности. На рис. А.5 приведены поперечные сечения всех 3-х расчетных сеток.

Рисунок А.5 - Поперечные сечения исследуемых расчетных сеток: а) - сетка 1,

б) - сетка 2; в) - сетка 3

В таблице А.4 приведены данные по Ки и £, полученные на различных сетках на выходе из расчетной области. На рис. А.6 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для различных сеток в сечении х = 904 мм.

Таблица А.4 - Зависимость £ и Ки от расчетной сетки

Тип сетки £ Д£, % Ш ДШ, %

сетка 1 0.03605 - 7,82 -

сетка 2 0.03464 -4,08 7,67 -1,96

сетка 3 0.03447 -0,49 7,48 -2,54

Рисунок А.6 - Зависимость распределения от различных сеток, х = 904 мм:

1- сетка 1, 2 - сетка 2, 3 - сетка 3

Как следует из таблицы А.4 и рис. А.6, сетка 2 обеспечивает достаточный уровень сеточной независимости результатов расчетов. В последующих расчетах с использованием кода FlowVision будет применяться именно сетка 2. Также сопоставимые по количеству контрольных объемов сетке 2, сетки использованы при расчетах в коде ANES и в коде Fluent (для грубых сеток с пристеночными функциями).

А.4 Сравнение структурной и неструктурной сетки по качеству расчетов

Качество расчетов на гексагональной блочной сетке не вызывает никаких сомнений. Однако процесс построения блочной сетки сопряжен с множеством трудностей, занимает большое количество времени, и, наконец, подходит далеко не для всех расчетных областей. Удачно подобранная автоматически построенная сетка, состоящая из тетраэдральных элементов с призматическими слоями, несмотря на некоторую потерю в качестве расчетов может сэкономить значительные временные ресурсы и ускорить проведение исследований.

Была построена автоматическим методом сетка, с сопоставимым со «средней» сеткой из А.3 количеством элементов в поперечном сечении -Nr*Nx ~ 5500, Nx = 520 (суммарно N ~ 2860000 контрольных объемов), y+ ~ 0.6. Коэффициент сгущения по закону геометрической прогрессии в призматическом слое к стенкам не менее Rg = 1.2. На рис. А.7 приведено поперечное сечение данной сетки в сопоставлении со «средней» сеткой блочной структуры (см. пункт приложения А.3).

а) б)

Рисунок А.7 - Поперечные сечения расчетных сеток: а) - тетра-сетка,

б) - гекса-сетка

В таблице А.5 приведены данные по Ки и £, полученные на тетра и гекса -сетках на выходе из расчетной области. На рис. А.8 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для различных типов сеток в сечении х = 904 мм.

Таблица А.5 - Зависимость £ и Ки от типа элементов расчетной сетки

Тип сетки £ Д£, % Ш ДШ, %

гекса 0.03346 - 7.97 -

тетра 0.03359 0.39 8.08 1.36

0.17 0.16 0.15 0.14 0.13

0.11 0.1 0.09 0.08 0.07

0 60 120 180 240 300 360

ф, градусы

Рисунок А.8 - Зависимость распределения от типа элементов сеток,

х = 904 мм: 1 - гекса; 2 - тетра

Как видно из таблицы А.5 и рис. А.8, тетра-сетка с сопоставимым количеством элементов, практически не уступает по качеству расчета гекса-сетке. На графике сравнений 0^ между разными сетками наблюдается лишь слабое локальное отличие в области у ребра. В дальнейшем, для некоторых задач в силу большой трудоемкости создания гекса-сетки для описания ими расчетных областей, расчеты будут проводиться с использованием неструктурной тетра-сетки с призматическими слоями, обладающей параметрами, описанными в данном пункте приложения.

А.5 Подбор оптимальной сетки для задачи об исследовании влияния зонда на

температурное поле в измеряемом сечении

Геометрия расчетной области, включающей в себя измерительный зонд, становится слишком сложной для создания на ее основе качественной сетки с призматическими слоями. Попытка создания призматических слоев заканчивается катастрофической потерей качества расчетной сетки. Поэтому, для проведения расчетов было принято решение не использовать призматические слои. Построенные, при этом, сетки являются весьма грубыми (однако, SST модель турбулентности, возможно, использовать и при больших значениях у+ [35]). Для проверки правомерности использования сеток без призматических слоев было решено провести серию тестовых расчетов. Тестовая расчетная область представляла собой уже описанный выше кольцевой канал с закрученным ребром длиной Ь = 1.1 м без измерительного зонда. Были построены две тетра-сетки без призматических слоев: «грубая» - ~ 1100, Их = 520 (суммарно N ~ 570000

контрольных объемов), у+ ~ 50 и «средняя» - Nr*Nx ~ 4100, Nх = 520 (суммарно N ~ 2130000 контрольных объемов), у+ ~ 10. На рис. А.9 приведены поперечные сечения описанных сеток.

Рисунок А.9 - Поперечные сечения расчетных сеток без призматических слоев:

а) - «грубая», б) - «средняя»

На рис. А.10 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для «грубой» и «средней» сеток в сечении х = 904 мм. Результаты также сопоставлены с полученными данными на тетра-сетке с призматическими слоями, описанной в приложении А.4.

градусы

Рисунок А.10 - Зависимость распределения от типа сеток, х = 904 мм: 1 - тетра-сетка с призматическими слоями; 2 - «грубая» сетка; 3 - «средняя»

сетка.

Из рис. А.10 можно заключить, что результаты по 0^ , полученные на «средней» сетке мало отличаются от полученных на сетке с призматическими слоями. При дискретизации расчетной области, включающей измерительный зонд, возможно, использовать сетки без призматических слоев у стенок с параметрами, соответствующими «средней» расчетной сетке.

А.6 Подбор оптимальной сетки для задачи об исследовании влияния величины зазора между ребром и внешней трубкой

Ранее уже была подобрана оптимальная сетка для идеальной геометрии, исключающей наличие зазоров между ребром и внешней трубкой. Однако, в случае наличия таких зазоров, в них могут присутствовать сильные градиенты скорости, температуры и давления. Для получения адекватного решения в данной области, возможно, потребуется дополнительно измельчить сетку. Для подбора оптимальной сетки была проведена серия тестовых расчетов. Расчетная область представляла собой уже описанный выше закрученный кольцевой канал. Отличия - длина расчетной области составляла 5 м, наличие зазора ДН = 1.5 мм между ребром и внешней трубкой. Были использованы следующие расчетные сетки: сетка 1 - М-хЛХ ~ 5530, N = 2280 (суммарно N ~ 12600000 контрольных объемов), сетка 2 - ~ 6470, N = 2280 (суммарно N ~ 14750000

контрольных объемов), сетка 3 - NrxNx ~ 8560, Nx = 2280 (суммарно N ~ 19520000 контрольных объемов). На рис. А.11 приведены поперечные сечения всех трех исследуемых сеток.

а) б) в)

Рисунок А.11 - Поперечное сечение исследуемых расчетных сеток: а) - сетка 1,

б) - сетка 2; в) - сетка 3

В таблице А.6 приведены данные по Ки и £, полученные на трех разных сетках в выходном сечении расчетной области. На рис. А.12 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для различных сеток в сечении х = 904 мм.

Таблица А.6 - Зависимость £ и Ки от расчетной сетки

Тип сетки £ Д£, % Ш ДШ, %

сетка 1 0.03289 - 7.58 -

сетка 2 0.03296 0.21 7.57 0.13

сетка 3 0.03297 0.03 7.59 0.26

Рисунок А.12 - Зависимость распределения 0^ от типа сеток, х = 904 мм:

1 - сетка 1; 2 - сетка 2; 3 - сетка 3

Как видно из таблицы А.6 и рис. А.12, результаты расчетов по трем сеткам мало чем отличаются между собой. Наблюдаются лишь локальные отличия в поведении 0^ для сетки 3 от сеток 1 и 2 (особенно в областях у ребра). В дальнейшем, для большей надежности, все расчеты по исследованию влияния зазора АН на теплообмен будут проводиться с опорой на параметры сетки 3.

А.7 Подбор оптимальной сетки для задачи об исследовании влияния входного участка на теплообмен и гидродинамику

Расчетная область, построенная для задачи об оценке влияния входного участка на гидродинамику и теплообмен в кольцевом канале с закрученной лентой, включает в себя помимо самого кольцевого канала высотой Ь = 1.1 м нижний стакан смешения и подводящий патрубок и плюс к этому - всю трубопроводную систему до бачка постоянного уровня со ртутью (см рис. 2.1 и рис. 3.11). Положение ребра, при этом, соответствовало углу у = 180° относительно направления течения ртути из подводящего патрубка (см. рис. 3.11).

Для подбора расчетной сетки была проведена серия расчетов с использованием двух сеток, состоящих из гексагональных элементов: сетка 1 - N = 1500000 контрольных объемов, сетка 2 - N = 11000000 контрольных объемов. Режим течения Кв = 50000 (по скорости в кольцевом канале). Для обеих сеток у+ ~ 50 на смоченных стенках. В расчетах применялась стандартная к-е модель со стандартной пристеночной функцией, Рг^ = 1.2. На рис. А.13 приведены расчетные сетки в области нижнего стакана.

а) б)

Рисунок А.13 - Расчетные сетки в области нижнего стакана: а) - сетка 1;

б) - сетка 2

В таблице А.7 приведены данные по Ки и £, полученные для двух сеток в выходном сечении расчетной области. На рис. А.14 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для различных сеток в сечении х = 904 мм от входа в кольцевой канал.

Таблица А.7 - Зависимость £ и Ки от расчетной сетки

Тип сетки £ Д£, % ш ДШ, %

сетка 1 0.02259 - 13.39 -

сетка 2 0.02266 0.31 13.54 1.11

Рисунок А.14 - Зависимость распределения от типа сеток, х = 904 м:

1 - сетка 1; 2 - сетка 2

Исходя из результатов, представленных в таблице А.7, дробление сетки никак не отражается на величине интегральных характеристик £ и Ки. Однако, как видно из рис. А.14, по распределению 0^, разница между сеткой 1 и сеткой 2 местами достигает более чем 60 %. К сожалению, провести расчеты на более мелкой сетке не представляется возможным, исходя из ограниченности вычислительных ресурсов. В дальнейшем, при построении сеток для данной геометрии в качестве опорных параметров будут использоваться параметры сетки 2.

А.8 Подбор оптимальной сетки для задачи об исследовании влияния выходного участка на теплообмен и гидродинамику

Расчетная область, построенная для задачи об оценке влияния выходного участка на гидродинамику и теплообмен в кольцевом канале с закрученной лентой, включает в себя помимо самого кольцевого канала высотой Ь = 1.1 м верхний стакан смешения и участок отводящего патрубка длиной 100 мм

(см рис. 2.1 и рис. 3.16). Измерительная система, расположенная в верхнем стакане и кольцевом канале не моделировалась. Положение ребра, при этом, соответствовало углу у = 180° относительно направления течения ртути из отводящего патрубка (см. рис. 3.16). Для подбора расчетной сетки была проведена серия расчетов с использованием двух сеток, состоящих из полиэдральных элементов с призматическими слоями: сетка 1 - N = 3820000 контрольных объемов, сетка 2 - N = 5200000 контрольных объемов. Режим течения Re = 14500 (по скорости в кольцевом канале). Для обеих сеток у+ ~ 0.6 на смоченных стенках. В расчетах применялась низкорейнольдсовая SST модель турбулентности, Ргг = 1.2. На рис. А.15 приведены расчетные сетки в области верхнего стакана.

На рис. А.16 приведены распределения безразмерной температуры обогреваемой стенки для различных сеток в сечении х = 904 мм.

Как видно из рис. А.16, по распределению 0^, сетка 1 и сетка 2 дают практически тот же результат. При дальнейшем исследовании влияния выходного участка на гидродинамику и теплообмен будут использоваться параметры сетки 2.

а)

б)

Рисунок А.15 - Расчетные сетки в области верхнего стакана: а) - сетка 1;

б) - сетка 2

градусы

Рисунок А.16 - Зависимость распределения от типа сеток, х = 904 м:

1 - сетка 1; 2 - сетка 2