Численное моделирование термокапиллярных течений в расплавах металлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Юдахин, Роман Владимирович

• Юдахин, Роман Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юдахин, Роман Владимирович

Введение.

1. Особенности термокапиллярных течений в процессах обработки материалов.

1.1 Технологические аспекты электронно-лучевой обработки материалов.

1.2 Современное состояние исследований теоретическими методами процессов, происходящих в процессе электронно-лучевой обработки материалов.

1.3 Термокапиллярное течение при получении монокристаллов.

2. Постановка задачи о тепломассопереносе в металле при действии не его свободную поверхность концентрированного потока энергии (КПЭ), методика и метод решения.

2.1. Физическая постановка.

2.2. Математическая модель.

3. Исследование термокапиллярного течения в ванне прямоугольного сечения под действием концентрированного потока энергии.

3.1. Задача о течении в прямоугольной ванне расплава под действием стационарного теплового потока.

3.2. Сравнительный анализ решения с учетом и без учета естественной конвекции.

3.3. Исследование тепломассопереноса в ванне расплава при воздействии на ее свободную поверхность движущегося теплового потока.

4. Моделирование процессов тепломассопереноса в металле под действием концентрированного потока энергии с учетом образования ванны расплава.

4.1. Особенности моделирования процессов тепломассопереноса с учетом фазового перехода.

4.2. Задача о плавлении металла и термокапиллярном течении в образующейся ванне расплава при воздействии стационарного КПЭ.

4.3. Задача о плавление металла движущимся тепловым потоком.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование термокапиллярных течений в расплавах металлов»

Использование концентрированных потоков энергии (КПЭ), к числу которых относятся потоки ионов и электронов, плазменные струи и сгустки, лазерное излучение и др., в научных исследованиях и на практике непрерывно расширяется. Это обусловлено появлением новых технологических процессов, основанных на последних достижениях науки и техники, а также возможностью гибкого управления энергетическими и временными характеристиками концентрированных потоков энергии, относительной простотой автоматизации процессов и оптимизации их параметров.

Концентрированные потоки энергии в настоящее время широко используются для плавки, сварки, напыления и обработки поверхностей изделий из различных материалов.

Метод электроннолучевого нагрева имеет ряд преимуществ по сравнению с другими видами нагрева: низкое давление в рабочей камере, широкую возможность регулирования мощности и ее поверхностной плотности, возможность практически неограниченного времени выдержки жидкого металла, возможность значительного перегрева металла.

Свойства металлов определяются как их составом, так и содержанием в них газов и примесей. Материалы высокой чистоты можно получать путем их переплава в вакууме с помощью электронного пучка. Рафинирование происходит вследствие фракционнной дистилляции, обезгаживания, флотации и коагуляции. Весь процесс обработки состоит из трех основных стадий: получение жидкой ванны под действием электронного луча, перемешивание жидкого металла за счет конвективного движения, в процессе которого вредные примеси выводятся на свободную поверхность и удаляются посредством испарения, и охлаждения и затвердевания металла в связи с теплоотдачей. Скорость всего процесса очистки во многом 5 определяется интенсивностью перемешивания расплава, в большинстве технологических процессов при этом интенсивность стараются увеличить. При выращивании монокристаллов течение расплава наоборот является негативным фактором, которого стараются избежать или свести его влияние к минимуму.

Экспериментальные наблюдения показывают, что при воздействии электронного луча на свободную поверхность расплава металла наблюдается интенсивное течение последнего. Довольно долгое время оставался открытым вопрос о механизмах, управляющих массопереносом в материале под действием электронно-лучевого излучения. Изучение различных технологических процессов, выполняемых электронным лучом, позволило сделать вывод, что характер процессов тепломассопереноса в веществе подчиняется разным законам при различных удельных энергиях в луче. В частности, было выявлено, что в условиях электронно-лучевого переплава основным механизмом, определяющим течение расплава металла, является термокапиллярная сила.

Экспериментальное исследование особенностей процессов тепломассопереноса в материале при воздействии на его свободную поверхность концентрированного потока энергии, связано со значительными трудностями вследствие высоких температур протекания процесса и высокого вакуума, необходимого при использовании электронного луча.

Гидродинамические и теплофизические процессы, протекающие в ванне расплава металла, в значительной степени определяют структуру и свойства образующегося в результате обработки материала. Вследствие трудностей, связанных с экспериментальными исследованиями, и сложным комплексом различных физических явлений, реализующихся в условиях воздействия высокоинтенсивного электронно-лучевого излучения на свободную поверхность расплава и их совместного влияния на процессы, определяющие свойства получающегося материала, до последнего времени исследования в 6 этой области во многом принадлежали сфере накопления статистической информации, экспериментального материала, что связано с немалыми финансовыми, материальными и временными затратами, и созданию весьма упрощенных моделей, не позволяющих в полном объеме получать информацию, необходимую для более эффективного использования электронно-лучевой технологии.

Развитие компьютерной техники и численных методов решения задач математической физики, а также накопленный материал по экспериментальным исследованиям, на основе которого определены механизмы, управляющие процессами тепломассопереноса в материале при воздействии на него концентрированного потока энергии, позволяют создавать более сложные модели и с помощью них исследовать особенности процессов тепломассопереноса. Эти исследования интересны и с точки зрения фундаментальных знаний, и с позиции прикладного применения получаемой информации для оптимизации технологических процессов.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является создание модели, описывающей тепломассоперенос в расплаве металла в процессе электронно-лучевого переплава, с помощью которой провести исследования особенностей гидродинамических и теплофизических явлений в расплаве.

В соответствии с целью были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Создать численную модель, описывающую тепломассоперенос в ванне расплава при воздействии на ее свободную поверхность электронного луча.

2. Исследовать закономерности тепломассопереноса в ванне расплава прямоугольного сечения при воздействии стационарного электронного луча.

3. Исследовать особенности влияния естественной конвекции на 7 течение расплава при воздействии на него электронного луча.

4. Исследовать особенности течения в ванне расплава с фиксированными границами при воздействии на ее свободную поверхность движущегося потока энергии.

5. Разработать и реализовать численную модель плавления материала концентрированным потоком энергии и течения в образующейся ванне.

Научная и практическая ценность. В настоящей работе на основе метода конечных разностей разработана численная модель, описывающая термокапиллярное течение расплава при воздействии на его свободную поверхность электронного луча. Продемонстрированы возможности применения модели для исследования особенностей тепломассопереноса в расплаве для различных управляющих параметров задачи.

Результаты, полученные при исследованиях термокапиллярного течения в расплаве под действием электронного луча, позволяют расширить и углубить представления об особенностях процессов тепломассопереноса в данных условиях.

Разработанная модель плавления металла электронным лучом и термокапиллярного течения в образующейся жидкой ванне позволяет с помощью численных экспериментов исследовать особенности гидродинамических и теплофизических процессов при электронно-лучевом переплаве металлов, а также при электронно-лучевой наплавке при обработке поверхностей. Модель может служить прогностическим инструментом для оптимизации соответствующих технологических процессов. Кроме того, модель может быть модифицирована для описания гидродинамических процессов при получении монокристаллов в условиях пониженной гравитации.

Проведенные численные эксперименты по исследованию особенностей течений в расплаве при воздействии на него стационарного и движущегося 8 электронного луча позволили объяснить экспериментально наблюдаемое более интенсивное перемешивание расплава в случае движущегося луча.

Обоснованность и достоверность результатов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается проведением тестовых расчетов, сопоставлением с результатами других авторов, а также качественным и количественным согласием с экспериментальными данными.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

На Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, Россия, 1998 г.); на XVI международная школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости "Вычислительные технологии" (Академгородок, Новосибирск, Россия 1998 г.), на V-ой Всероссийской научно-технической конференции молодежи "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, Россия, 1998 г.); на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых имени академика М.А. Усова "Проблемы геологии и освоения недр" (Томск, Россия, 1998 г.); на IV-ом Всероссийском научно-техническом семинаре "Энергетика: экология, надежность, безопасность" (Томск, Россия, 1998 г.); на зимней школе-семинаре молодых ученых «Сопряженные задачи механики и экологии» (Томск, Россия, 1999 г.); на международной конференции «Математическое моделирование процессов в самоорганизующихся системах» (Улан-Удэ, Россия, 1999 г.); на П-ой Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, Россия, 2000 г.).

Положения, выносимые на защиту:

1. Численная модель, описывающая тепломассоперенос в ванне расплава при воздействии на ее свободную поверхность электронного луча.

2. Численная модель плавления материала концентрированным потоком 9 энергии и последующего течения в образующейся ванне расплава.

3. Особенность процесса воздействия быстро движущегося КПЭ заключается в образовании нестационарных полей скоростей течения расплава.

4. При плавления движущимся тепловым источником существуют режимы, при которых для учета массопереноса можно применять модель ванны с фиксированными границами без учета плавления.

Научная новизна работы. Проведен сравнительный анализ полей течения в ванне расплава при воздействии на ее свободную поверхность концентрированного потока энергии с учетом и без учета естественной конвекции. Показано, что при определенных условиях естественная конвекция может оказывать значительное влияние на поле течения. Показано, что при воздействии движущегося теплового потока возникает нестационарное поле течение, что объясняет большую интенсивность перемешивания расплава при воздействии движущегося теплового потока по сравнению со стационарным.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. Перечень их наименований представлен в списке цитируемой литературы (номера 76-86).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы; содержит 31 рисунок, библиографический список из 89 наименований - всего 108 страниц.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Юдахин, Роман Владимирович

Основные результаты, полученные в настоящей работе и выводы могут быть сформулированы следующим образом.

1. Разработана и реализована численная двумерная модель термокапиллярного течения расплава металла в ванне прямоугольного сечения под действием концентрированного потока энергии.

2. Показано, что при термокапиллярном течении в расплаве металла при воздействии на его свободную поверхность стационарного концентрированного потока энергии образуется стационарное поле течения с несколькими вихревыми ячейками, количество, размеры, положение и интенсивность которых зависят от параметров теплового потока и ванны расплава.

3. Показано, что в случае глубокой ванны при больших значениях плотности теплового потока силы Архимеда влияют на структуру течения, изменяя количество и расположение вторичных вихрей в нижней части ванны. В окрестности свободной поверхности, где развиваются максимальные скорости и температуры, влияние естественной конвекции практически не сказывается.

4. Результаты численных экспериментов, проведенных для задачи с подвижным источником тепла и большой скоростью сканирования, показал, что в этом случае образуется нестационарное поле течения, что может служить объяснением экспериментально наблюдаемого явления более интенсивного перемешивания расплава при воздействии движущегося теплового потока по сравнению со стационарным.

5. Разработана численная двумерная модель плавления металла

98 концентрированным потоком энергии и термокапиллярного течения в образующейся ванне расплава, которая позволяет определять поля температуры и скоростей в металле и служить прогностическим инструментом для задач переплава металлов концентрированными потоками энергии.

6. Анализ результатов, полученных для задачи плавления движущимся тепловым источником при различных скоростях сканирования и условий теплообмена на стенках изложницы, показал, что существуют режимы обработки, при которых для изучения особенностей течения в жидкой зоне можно применять модель ванны с фиксированными границами без учета плавления.

99

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юдахин, Роман Владимирович, 2001 год

1. БашенкоВ.В. Электронно-лучевые установки.-JL: Машиностроение, 1972.168 с.

2. Шиллер 3., Гайзиг У., Панцер 3. Электронно-лучевая технология: Пер. с нем.-М.: Энергия, 1980,- 528 с.

3. Мовчан Б.А., Тихоновский A.JI., Курапов Ю.А. Электроннолучевая плавка и рафинирование металлов и сплавов.- К.: Наукова думка, 1973, 240 с.

4. Зайкин А.Е. и др. Гидродинамические процессы в ванне расплава при лазерно-дуговом воздействии//Квантовая электроника, 1991 .-Т. 18.-№6.-с.699-704.

5. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Зуев И.В., Кокора А.Н. Лазерная и электроннолучевая обработка материалов: Справочник.- М.: Машиностроение, 1985.496 с.

6. Biswajit Basu. Numerical study of steady state and transient laser melting problems. 1. Characteristics of flow field and heat transfer// Int. Journal of Heat and Mass Transfer, 1990.-V.6.-№6.-pp. 1149-1163.

7. Боровский И.Б., Городский Д.Д. О поверхностном легировании Металлов с помощью непрерывного лазерного излучения// Физика и химия обработки материалов, 1984.-Т. 19.-№ 1 .-с. 19-24.

8. Лохов Ю.Н., Рожков Г.Н., Швыркова И.И. Кинетика образования жидкой фазы с учетом теплоты фазового перехода под действием точечного источника тепла// Физика и химия обработки материалов, 1972.- №3.- с.9-17.

9. Кабанов А.Н., Чернова-Столярова Е.Е. Исследование процессов, возникающих при действии интенсивного электронного пучка на жидкость// Физика и химия обработки материалов, 1971.- №6.-с. 45-51.

10. П.Бирих P.B. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости//ПМТФ, 1966.- №3.- с.69-72.

11. Любов Б.Я., Яловой Н.И. Математический анализ плавления тел// Известия АН СССР, Металлы, 1970.- №2.- с.152-162.

12. Ладохин С.В., Корнюшин Ю.В. Оценка температуры в зоне воздействия электронного луча// Известия АН СССР, Металлы, 1986.-№3.-с. 77-84.

13. М.Видин Ю.В. Расчет нагрева тел излучением тел конечных размеров// Известия вузов, Черная металлургия, 1989.- №5. -с.130-133.

14. Любов Б.Я., Соболь Э.Н. Процессы теплопереноса при фазовых превращениях под действием интенсивных потоков энергии// ИФЖ, 1983.- Т.45.- №4.- с.670.

15. Коляно Ю.М., Гай И.О. Обобщенная задача теплопроводности для полупространства, нагреваемого движущимся точечным источником тепла// ИФЖ, 1986.- Т.50.- №2.- с.34-39.

16. Углов А.А., Иванов В.В., Кореньков В.И. Расчет профиля лунки в жидкой фазе, образованной действием концентрированного источника тепла// Физика и химия обработки материалов, 1977.- №3.- с. 148-149.

17. Березовский А.А., Жерновой Ю.В., Сайчук М.Т. Расчет стационарного теплового режима при электронно-лучевой гарнисажной плавке в случае кругового сканирования луча// ИФЖ, 1997.- Т.70.- №3.- с.454-463.

18. Углов А.А., Чередниченко Д.И. Расчет профиля фазового перехода при поверхностном оплавлении подвижным источником тепла// Физика и химия обработки материалов, 1980.- №1.- с.3-8.

19. Углов А.А., Смуров И.Ю., Гуськов А.Г. О расчете плавления металлов концентрированным потоком энергии// Физика и химия обработки материалов, 1985.- №3.- с.3-8.101

20. Смуров И.Ю. Тепловые процессы при плавлении и абляции тел// Сб: Воздействие концентрированных потоков энергии на материалы,- М.: Наука, 1985.- 246с.

21. Рыкалин Н.Н., Углов А.А. Теплофизические процессы при взаимодействии лазерного излучения с поглощающими средами// Известия АН СССР, сер. физич., 1982.- Т.46.- №6.- с.1018-1025.

22. Трибельский М.И. О форме поверхности- жидкой фазы при плавлении сильнопоглощающих сред лазерным излучением// Квантовая электроника, 1978.- Т.5.- №4.- с.804-812.

23. Любов Б.Я., Соболь Э.Н. Процессы теплопереноса при фазовых превращениях под действием интенсивных потоков энергии// ИФЖ, 1983.- Т.45.- №4.- с.32-37.

24. Любов Б.Я., Соболь Э.Н. Расчет кинетики плавления и испарения твердого тела под действием потока энергии//Физика и химия обработки материалов, 1982.- №1.- с.13-18.

25. Глытенко А.Л., Любов Б.Я., Борисов В.Г. Аналитическое и численное решение задачи оплавления и кристаллизации тонкого поверхностного слоя металла// ИФЖ, 1987.- Т.52.- №5.- с.716.

26. Воробьев И.Л. Математическая теория кристаллизации отливок// в кн.: Проблемы автоматизированного производства отливок,- М.: Тр. МВТУ, 1980.-вып.ЗЗО.-с.31-51.

27. Сейдгазов Р.Д., Сенаторов Ю.М. Термокапиллярный механизм глубокого проплавления материалов лазерным излучением// Квантовая электроника, 1988.-Т. 15 .-№3 .-с.622-624.

28. Точилкин В.А. К модели формирования парогазового канала при лучевой сварке// Физика и химия обработки материалов, 1984.- №3.- с. 128-129.

29. Гладуш Г.Г., Красицкая Л.С. и др. Термокапиллярная конвекция в жидкости под действием мощного лазерного излучения// Квантовая электроника, 1982.- Т.9.- №4.- с.660-667.102

30. Язовских В.М., Осипенко М.А. О свойствах двумерной модели разрушения движущимся электронным лучом материала без теплопереноса// Физика и химия обработки материалов, 1995.- №2.- с.30-35.

31. Кабанов А.Н., Чернова-Столярова Е.Е. Исследование процессов, возникающих при действии интенсивного электронного пучка на жидкость// Физика и химия обработки материалов, 1971.- №6.- с.97^98.

32. Башенко В.В., Децик Н.Н., Фомин JI.K. О закономерностях поведения канала, образующегося в жидкости под воздействием электронного луча// Физика и химия обработки материалов, 1977.- №3.- с.146-147.

33. J. Srinivasan, Biswajit Basu. Numerical study of thermocapillary flow in a rectangular cavity during laser melting// Int. Journal of Heat and Mass Transfer, 1986.-V.29.-№4.-pp. 563-572.

34. Biswajit Basu. Numerical study of steady state laser melting problem// Int. Journal of Heat and Mass Transfer, 1988.- V.31.- №4.- pp. 2331-2338.

35. Bergman T.L. Simulation of pure metal melting with buoyancy and surface tension forces in the liquid phase// Int. Journal of Heat and Mass Transfer, 1990.-V.33.- №1.- pp. 184-189.

36. Калугин A.C. Электронно-лучевая плавка металлов.- M.: Металлургия, 1980.- 168 с.

37. Зайкин А.Е. Гидродинамические процессы в ванне расплава при лазерно-дуговом воздействии// Квантовая электроника, 1991.- Т.18.- №6.- с. 699704.

38. Углов А.А., Смуров И.Ю., Гуськов А.Г. К расчету плавления металлов концентрированными потоками энергии с образованием мелкой ванны расплава// Известия АН СССР, Металлы, 1989.- №4.- с.75-79.

39. Углов А.А., Смуров И.Ю., Гуськов А.Г. Нестационарный термокапиллярный массоперенос при лазерном легировании металлов// ИФЖ, 1989.- Т.56.- №5.- с.799-805.юз ;

40. Углов А.А., Смуров И.Ю., Тагиров К.И. и т.д. Термокапиллярный массоперенос при лазерном легировании металлов// Физика и химия обработки материалов, 1988.- №6,- с.24-29.

41. Гуськов А.Г., Смуров И.Ю., Углов А.А. Термокапиллярная конвекция в мелкой ванне расплава при плавлении твердого тела концентрированным потоком энергии// Известия АН СССР, МЖГ, 1988.- №1.- с.155-163.

42. Углов А.А., Смуров И.Ю., Гуськов А.Г. Нестационарная термокапиллярная конвекция в мелкой ванне расплава металла под действием концентрированных потоков энергии// ДАН СССР, 1988.-Т.302.- №4.- с.848-851.

43. Саночкин Ю.В. Установившееся термокапиллярное движение в горизонтальном слое жидкого металла, нагреваемого сверху// Изв. АН СССР, Мех. жид. и газа, 1984.- №6.- с. 146-152.

44. Саночкин Ю.В. Термокапиллярная конвекция в тонком слое жидкости, локально нагреваемом сверху//ПМТФ, 1983,- №6.- с.134-137.

45. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости// ПМТФ, 1966,- №3.- с.69-72.

46. Саночкин Ю.В. О режимах термокапиллярной конвекции в цилиндрическом столбе жидкости// Теплофизика высоких температур, 1989.- Т.27.- №5.- с.1029-1032.

47. Майоров B.C. Лазерный нагрев и конвективный массоперенос в слоях жидких растворов// Лазерные технологии.(Вильнюс), 1989.- №7.- с.62-70.

48. Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя при наличии растворимого поверхностно-активного вещества(ПАВ)//104

49. Известия АН РАН, Механика жидкости и газа, 1996.- №1.- с.3-9.

50. Полежаев В.И., Белло М.С., Верезуб Н.А. и др. Конвективные процессы в невесомости,- М.: Наука, 1991.- 240с.

51. Иванов Л.И., Земеков B.C., Кубасов В.Н. Плавление, кристаллизация и фазообразование в невесомости.- М.: Наука, 1979.- 856с.

52. Острач С. Влияние гидродинамики на рост кристаллов. Фримановская лекция// Теоретические основы инженерных расчетов, 1983.- Т.105.- №1.-с.89-107.

53. Белова И.В. Расчет напряжений, 'вызванных неравномерным распределением примеси при направленной кристаллизации в отсутствие силы тяжести// Вычислительная и прикладная гидродинамика, 1990.-вып.96.- с.21-29.

54. Белова И.В., Кузнецов В.В. Расчет концентрации примеси при направленной кристаллизации в отсутствие силы тяжести// Динамика сплошной среды, Н-ск, 1983.- вып.63.- с. 107-112.

55. Полежаев В.И., Простомолотов А.И. Исследование процессов гидродинамики и тепло- и массообмена при выращивании кристаллов методом Чохральского// Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1981,-№1.- с.55-65.

56. Бабский В.Г., Коначевский Н.Д., Мышкис А.Д. и др. Гидродинамика невесомости.- М.: Наука, 1976. 504с.

57. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика.- М.: Наука, 1959. 699 с.

58. Роуч П.Дж. Вычислительная гидродинамика,- М.: Мир, 1980. 616 с

59. Патанкар С.В. Численные методы решения задач теплообмена и105динамики жидкости.- М.: Энергоатомиздат, 1984.- 150 с.

60. Андерсон Д. и др. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах.-М.: Мир, 1990.

61. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов J1.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена.-М.: Наука, 1984.- 288с.

62. Полежаев В.И., Вальциферов Ю.В. Численное исследование нестационарной тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла// Сб-к: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике.-М.: МГУ, 1971.- вып.З.- с.137-174.

63. Калашников А.С. О некоторых задачах нелинейной теории теплопроводности с данными, содержащими малый параметр в показателях//Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995.- Т.35.- №7.- с.1077-1094.

64. Гущин В.А. Метод расщепления для решения задачи динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости// ЖВМ и МФ, 1981.- Т.21.-№4.- с.1003-1017.

65. Ильин В.П. О применении метода переменных направлений для решений квазилинейных уравнений параболического и эллиптического типов// Сб-к: Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики.- Н-ск, 1966.- с.101-114.

66. Штойан Г. К устойчивости аддитивных разностных схем по краевым данным// ЖВМ и МФ, 1971.-Т.11.- №4.- с.934-947.

67. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи// ЖВМ и МФ, 1964,- Т.4.- №6.- с. 1106-1112.

68. Кочубей А.А., Рядно А.А. Численное моделирование процессов конвективного переноса на основе метода конечных элементов.-Днепропетровск: ДГУ, 1991.- 223с.

69. Дейнеко В.В. Математические модели динамики вязкой жидкости и теплообмена.-Н-ск, 1996.-360с.106

70. Овчарова А.С. Метод расчета стационарных течений вязкой жидкости со свободной границей в переменных вихрь-функция тока// ПМТФ, 1998.-Т.30.- №2.- с.59-63.

71. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.JI. Численное исследование стационарной конвекции в полости прямоугольного сечения со свободной верхней границей//в кн: Гидродинамика.- Пермь, 1971.- вып.З.- с. 100-125.

72. Кускова Т.В. Численное исследование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости// В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике, вып. 3.- М.: МГУ.- 1971.- с. 4-47.

73. Юдахин Р.В., Масловский В.И. Численное моделирование термокапиллярного течения под действием концентрированного потока энергии// Изв. вузов. Физика. 1999. - т.42. - №3. - с. 111-115.

74. Юдахин Р.В., Масловский В.И. Численное моделирование течения расплава под действием электронного луча// Тезисы V-ой Всероссийской научно-технической конференции молодежи «Механика летательных107аппаратов». Томск: ТГУ.- 1998. - с 47-48.

75. Юдахин Р.В. Численное моделирование тепломассопереноса в ванне расплава при локальном воздействии высокоэнергетического потока// Материалы зимней школы-семинара молодых ученых «Сопряженные задачи механики и экологии», Томск: ТГУ.- 1999. с. 51.

76. Рядно А.А., Миносян Я.П. Сопряженные задачи теплопереноса в системах тел с подвижными границами.- Днепропетровск, 1983.-116с.

77. Завгородний П.Ф., Недопекин Ф.В., Повх И.Л. Гидродинамика и теплоперенос в затвердевающем расплаве// ИФЖ, 1977.-Т.ЗЗ.-№5.-с.922-930.

78. Воробьев И.Л. Математическая теория кристаллизации отливок// в кн.: Проблемы автоматизированного производства отливок.- М.: Тр. МВТУ, 1980.- вып.ЗЗО.-с.31-51.

79. Самойлович Ю.А., Ясницкий Л.Н. Сопряженная задача теплообмена, гидродинамики и затвердевания// ИФЖ, 1981,- Т.41.- №6.- с. 1109-1118.I