Численное моделирование в обратной динамической задаче вертикального сейсмического профилирования с выносным источником тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сильвестров, Илья Юрьевич

• Сильвестров, Илья Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сильвестров, Илья Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ИЗУЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СЕЙСМИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МЕТОДОВ.

Глава 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИНГУЛЯРНОГО

РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО ОПЕРАТОРА ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение линеаризованного оператора в однородной среде с использованием явного вида матрицы Грина.

2.3. Численный анализ сингулярного разложения.

Глава 3. РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.

3.1. Описание алгоритма решения обратной задачи.

3.2. Численное построение линеаризованного оператора и сопряженного к нему.

3.3. Реализация алгоритма и разработанное программное обеспечение.

3.4. Численные эксперименты для различных сред (с точечным рассеивателем; с горизонтальным слоем; с наклонным слоем; с несколькими наклонными слоями).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование в обратной динамической задаче вертикального сейсмического профилирования с выносным источником»

Актуальность. Одним из подходов к численному решению обратных задач сейсморазведки в сложноустроенных средах является применение оптимизационных методой. При этом задача рассматривается как операторное уравнение, в правой части которого стоит зарегистрированное волновое поле, а неизвестными являются сейсмические параметры среды. Оператор задачи, отображающий эти параметры в данные наблюдений, определяется математической моделью, описывающей распространение волн в среде, и неявно задается, как правило, волновым уравнением либо уравнениями линейной теории упругости. Учитывая различные помехи, происходящие при записи данных, и неточности задания самой модели, решение при этом ищется в смысле наименьших квадратов. Для его поиска применяются, как правило, локальные итерационные методы, привлекающие производную возникающего нелинейного оператора. Это может быть либо метод Ньютона решения нелинейного операторного уравнения, либо градиентные методы минимизации функционала, представляющего собой среднеквадратичное уклонение зарегистрированного волнового поля от рассчитанного для '.'пробной" модели среды. В том и в другом случае свойства данной производной играют ключевую роль в сходимости итерационного процесса. В связи с этим их изучение является необходимым этапом при разработке численных методов решения обратной задачи и их применении. Исследованием данного вопроса для традиционной поверхностной системы наблюдений, когда источники и приемники упругих колебаний находятся па поверхности земли, занимались В.А. Чеверда, В.И. Костин, G. Chavent, F. Clement, D. Lebrun, D. Mace, A. Nicolao, A. Tarantola и др. Было показано, что попытки решения обратной задачи "в лоб"могут приводить к результатам с невысокой степенью достоверности. Так, например, в работе F. Assous и F. Collino (1990) проведено исследование явления связанности" упругих параметров. Оказывается, что при численном решении обратной задачи существуют такие тройки параметров, описывающие упругую изотропную среду, что истинная неоднородность в среде только по одному из них восстанавливается как возмущение по всем параметрам. Это означает, что решение задачи получается абсолютно неверным.

Для широко внедряемой в последнее время геометрии наблюдений вертикального сейсмического профилирования (ВСП) с выносным источником, при которой приемники колебаний располагаются в скважине, а источник находится на поверхности, на некотором удалении от нее, исследование свойств производной исходного нелинейного оператора для уравнений теории упругости проведено не было. В то же время с использованием именно такой системы наблюдений связывают в настоящее время возможность решения актуальной прикладной задачи определения упругих параметров среды ниже забоя скважины при бурении на нефть и газ в регионах со сложным геологическим строением. Считается, что с использованием этих параметров возможно прогнозирование наличия зон аномального давления, отсутствие информации о которых влечет аварийные ситуации вплоть до полного выхода скважины из строя. Впервые применение оптимизационного подхода для решения данной задачи в рамках двумерных уравнений динамической теории упругости было проделано совсем недавно в работах М.А. Roberts (2006) и М.А. Roberts и В.Е. Hornby (2007). Однако эти работы имеют исключительно практический характер в силу того, что подход был применен в первом случае для сложных синтетических данных, модель которых автор не приводит, а во втором случае - для реальных данных. Поэтому оценить достоверность полученных результатов можно только по косвенным признакам.

В силу сказанного выше, с целью разработки эффективного численного алгоритма для решения рассматриваемой обратной задачи представляется актуальным прежде всего провести детальное исследование свойств численного решения обратной динамической задачи определения упругих параметров среды ниже забоя скважины по данным вертикального сейсмического профилирования с выносным источником получаемого методом Ньютона при заданном уровне помех, и только после этого разрабатывать алгоритм решения обратной задачи с учетом полученных свойств.

Цель исследования — обоснование, разработка и программная реализация эффективного алгоритма для численного решения обратной динамической задачи определения упругих параметров среды ниже забоя скважины по данным вертикального сейсмического профилирования с выносным источником на основе метода Ныотона.

Научная задача — численно решить обратную динамическую задачу для двумерных уравнений изотропной теории упругости с использованием метода Ньютона при условии, что волновое поле зарегистрировано методом вертикального сейсмического профилирования с выносным источником, а неизвестными являются параметры среды ниже забоя скважины.

Основные этапы исследования.

1. Для однородной среды получить явный вид линеаризованного оператора динамической теории упругости, являющегося формальной производной по Фреше исходного нелинейного оператора, отображающего упругие параметры ниже забоя скважины в данные наблюдений ВСП с выносным источником.

2. Выполнить численный анализ сингулярного разложения полученного линейного оператора и на его основе описать структуру решений обратной задачи определения упругих параметров среды ниже забоя скважины по данным ВСП с выносным источником, получающихся с использованием метода Ньютона при заданном уровне помех в данных.

3. С учетом этих свойств создать и программно реализовать алгоритм для численного решения рассматриваемой обратной динамической задачи теории упругости на основе итерационного метода LSQR решения систем линейных уравнений, с использованием для моделирования волнового процесса конечно-разностной схемы Вирьё на сдвинутых сетках и идеально согласованных слоев (PML).

4. Провести представительную серию численных экспериментов по решению обратной задачи на основе синтетических данных в средах различной степени сложности.

Фактический материал. Научные методы исследования.

Основным методом исследования является математическое моделирование.

Изучение свойства решения обратной задачи, получаемого методом Ньютона, происходило в рамках теории условно-корректных задач. При этом существенно использовалось обобщение понятия г-решения, возникающее в теории вычислительной линейной алгебры, на случай компактных оператором в гильбертовых пространствах, разработанное в работах В.И. Костина и В.А. Чеверды (1995, 1998).

При разработке численного алгоритма решения обратной задачи использовалась теория вычислительной линейной алгебры в части, касающейся итерационных методов решения систем линейных уравнений (метод LSQR). При модификации алгоритма решения прямой задачи использовалась теория конечно-разностных методов моделирования волновых полей в упругих средах (схема Вирьё, идеально согласованные слои (PML)).

Фактическим материалом для тестирования разработанного алгоритма обращения являлись синтетические данные для сред различной степени сложности (с одиночным рассеивателем, с горизонтальным слоем, с наклонным слоем, с несколькими наклонными слоями).

Результаты исследования свойств решений рассматриваемой обратной задачи, получаемые с использованием анализа сингулярного разложения линеаризованного оператора динамической теории упругости, сравнивались с результатами A. Tarantola, основанными на физических соображениях, а так же с результатами D. Lebrun и A. Nicolao полученными для других систем наблюдений.

На защиту выносятся

• описание структуры решения обратной динамической задачи для двумерных уравнений изотропной теории упругости получаемого методом Ньютона при заданном уровне помех в данных при условии, что волновое поле зарегистрировано методом вертикального сейсмического профилирования, а неизвестными являются параметры среды ниже забоя скважины;

• разработанный, программно реализованный и протестированный алгоритм численного решения обратной динамической задачи для двумерных уравнений изотропной теории упругости на основе метода Ньютона при условии, что волновое поле зарегистрировано методом вертикального сейсмического профилирования, а неизвестными являются параметры среды ниже забоя скважины.

• результаты решения обратной задачи на основе синтетических данных для сред различной степени сложности (с точечным рассеивателем, с горизонтальным слоем, с одним наклонным слоем, с несколькими наклонными слоями).

Новизна работы.

1. Впервые установлена структура решений обратной динамической задачи для двумерных уравнений изотропной теории упругости, получаемых методом Ньютона при заданном уровня помех в данных при условии, что дополнительная информация о решении получена методом ВСП с выносным источником, а неизвестными являются параметры среды ниже забоя скважины:

• опираясь на анализ поведения г-решения в зависимости от используемой параметризации среды обоснованно, что наименее связанными параметрами при численном решении обратной задачи с использованием метода Ньютона являются упругие импедансы;

• основываясь на анализе углов между тригонометрическим базисом в пространстве моделей и устойчивым подпространством, образованным правыми сингулярными векторами, соответствующими большим сингулярным числам, обоснованно, что:

- при заданном уровне помех в данных наиболее точно определяются высокочастотные компоненты упругих импедансов;

- гладкая составляющая решения при этом не может быть восстановлена, а следовательно, целесообразно выполнение только первого шага процесса Ньютона, то есть линейного обращения, в поставленной задаче;

- плотность оказывается "почти" ортогональной весьма большому числу старших векторов и поэтому не может быть определена при достигаемых на практике точностях.

• Исходя из полученной структуры численного решения обратной задачи разработан, программно реализован и протестирован оригинальный алгоритм определения местоположений и амплитуд разрывов (в линейном приближении) упругих импедансов среды на основе итерационного метода LSQR с использованием при моделировании волновых процессов конечноразпостной схемы Вирьё на сдвинутых сетках с ограничением расчетной области при помощи идеально согласованных слоев (PML).

Личный вклад.

Все опубликованные научные результаты, изложенные в диссертации, получены лично соискателем.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

Результаты исследования свойств сингулярного спектра линеаризованного оператора динамической теории упруг ости имеют теоретическую значимость для обоснования свойств численных решений обратной динамической задачи теории упругости, получаемых методом Ньютона для рассматриваемой системы наблюдений. Более того, использованный в работе подход может быть адаптирован для любой системы наблюдений, используемой в сейсморазведке, что, несомненно, играет важную роль в развитии теории численных методов решения обратных задач сейсмики, так как позволяет выявлять в каждом конкретном случае наиболее подходящие для обращения параметры и качественно предсказывать поведение решения еще на предварительном этапе разработки численного метода решения обратной задачи.

Практическая значимость проведенного исследования заключается в разработанном, реализованном и протестированном оригинальном алгоритме определения местоположений и амплитуд разрывов (в линейном приближении) упругих импедансов в средах достаточно сложного строения. При этом не накладываются ограничения ни на гладкую макроскоростную модель, ни на углы наклонов отражающих границ, так как моделирование волновых полей происходит конечно-разностным методом. Использование в алгоритме уравнений теории упругости позволяет не проводить необходимого для скалярных процедур разложения зарегистрированного волнового поля на продольные и поперечные волны, что зачастую является невыполнимой задачей. Созданное программное обеспечение целесообразно использовать при разработке промышленных обрабатывающих систем для определения упругих параметров среды ниже забоя скважины по данным ВСП с выносным источником.

Научные результаты диссертации докладывались на Международной конференции посвященной 75-летию академика М.М.Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Новосибирск, 2007); VII Международной конференции "Гальперинские чтения 2007" (Москва, 2007); 69-ой Международной конференции европейской ассоциации геофизиков и инженеров "69th EAGE Conference & Exhibition" (Лондон, Великобритания, 2007); III Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механика" (Абрау-Дюрсо, 2006); Международной конференции, организованной ассоциациями геофизиков ОЕА-ГО, EAGE, SEG "Geosciences - То Discover and Develop" (Санкт - Петербург, 2006); V Международной научно-практической геолого-геофизической конференции-конкурсе молодых ученых и специалистов Геофизика-2005 (Санкт - Петербург, 2005); XI Всероссийской школе-семинаре: "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2005)

Публикации.

Результаты исследования по теме диссертации изложены в 8 опубликованных работах. Из них - 2 статьи в ведущих российских рецензируемых журналах по Перечню ВАК, 1 работа - в трудах российской конференции, 2 работы - в расширенных тезисах докладов международных конференций, 3 работы - в тезисах российских и международных конференций.

Благодарности.

Работа выполнена в Лаборатории вычислительных методов геофизики Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН.

Автор выражает благодарность всем сотрудникам Лаборатории за полезные научные дискуссии в ходе выполнения работы. Успешному выполнению работы во многом способствовали ценные и критические замечания В.И. Костина. Хочется поблагодарить С.Б. Горшкалева и Г.В. Решетову за то, что они взялись за труд ознакомиться с работой и высказать о ней своё мнение.

Необходимо отметить неоценимую помощь, оказанную В.И. Самойловой при работе над рукописью.

Автор выражает искреннюю и глубокую признательность научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту В.А. Чеверде за всестороннюю поддержку и постоянное внимание в ходе выполнения работы.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 90 страниц, включая 28 рисунков. Список используемой литературы содержит 60 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сильвестров, Илья Юрьевич

Заключение

Обратная динамическая задача определения упругих параметров среды ниже забоя скважины по данным вертикального сейсмического профилирования с выносным источником решалась методом Ньютона на основе двумерных уравнений изотропной теории упругости. Предложенное в работе решение выгодно отличается от известных тем, что оно основано на анализе сингулярного разложения линеаризованного оператора динамической теории упругости. С помощью такого анализа в работе впервые было проведено строгое исследование структуры получаемых решений при заданном уровне помех в данных.

Преимуществом разработанного алгоритма численного решения обратной задачи является то, что он нацелен на определение исключительно положений и амплитуд разрывов упругих импедансов среды, так как именно они являются наиболее точно определяемыми параметрами при решении обратной задачи. Плотность среды при этом восстановлена быть не может. Теоретически доказано, что использование в качестве неизвестных в дополнение к плотности параметров Ламе, либо скоростей продольных и поперечных волн, как это делается в некоторых работах, дает для рассматриваемой системы наблюдений неверный результат, так как эти параметры являются сильно связанными друг с другом. Поэтому неоднородность в среде только по одному из них проявляется в решении на остальных параметрах. По-видимому, именно этот эффект ошибочно зачастую трактуется как правильное восстановление плотности среды. Созданный алгоритм выполняет только первый шаг процесса Ньютона, то есть работает в линейном приближении, так как было доказано, что применяемое другими авторами нелинейное обращение в решении поставленной задачи не дает улучшения результатов, а лишь затрачивает вычислительные ресурсы. Проведенный анализ сингулярного разложения показал, что с использованием только динамического подхода при рассматриваемой системе наблюдений невозможно восстановление скоростей распространения волн ниже забоя скважины. Поэтому последующие птаги не позволяют уточнить ни местоположения границ в среде, ни амплитуд разрывов в силу незнания геометрического расхождения.

Разработанное программное обеспечение основано на применении современных методов вычислительной математики. С целью решения задачи моделирования распространения волнового процесса используется эффективная конечно-разностная схема Вирьё на сдвинутых сетках. Ограничение расчетной области происходит при помощи идеально согласованных слоев (PML). Решение системы линейных уравнений выполняется широко используемым и зарекомендовавшим свою эффективность при решении многих задач итерационным методом LSQR,.

Путем решения обратной задачи на основе синтетических данных для различных сред была показана эффективность алгоритма и достоверность получаемых результатов как в простых средах (с точечным рассеивателем, с горизонтальным слоем, с одним наклонным слоем), так и в достаточно сложноустроенных средах (с несколькими наклонными слоями). При этом не накладываются ограничения ни на макроскорост-пую модель, пи на углы наклонов отражающих границ, так как используется конечно-разностное моделирование волновых полей. Естественно, что это требует существенных временных затрат, но, как было показано, при использовании небольшого количества источников задачу удастся решить на современных персональных компьютерах в реальные сроки. Увеличение числа источников влечет необходимость продолжения разработки алгоритма, основным аспектом которой должно быть построение эффективного предобуславливателя для линеаризованного оператора прямой задачи. Это позволит существенно снизить количество итераций LSQR, а следовательно сделает всю процедуру обращения гораздо более быстродейственной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сильвестров, Илья Юрьевич, 2008 год

1. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации данных. - М. - 1967. - С. 9-84.

2. Алексеев А.С., Авдеев А.В., Фатьянов А.Г., Чеверда В.А. Волновые процессы в вертикально-неоднородных средах: прямые и обратные задачи. Новосибирск, 1994. - (Препринт / РАН. Сиб. отд-пие. ВЦ;1035).

3. Бакушинский А. Б., Гончарский А.В. Итерационные методы решения некорректных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 128 с.

4. Бляс Э.А. Оптимизационное решение одномерной обратной динамической задачи (по данным ВСП) // Геология и геофизика. 1997. - Т. 38. - № 8. - С. 1398-1410.

5. Вишневский Д.М., Костин В.И., Чеверда В.А. Возбуждение сейсмических волн источником, расположенным в скважине, заполненной жидкостью // Физическая мезомеханика. 2003. - Т. 5 - № 5 - С. 85 - 92.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 395 с.

7. Воронина Т.А., Чеверда В.А. Обращение полных волновых полей при обработке данных метода сейсмического профилирования // Доклады Академии Наук. -1994. Т. 35. - № 4. - С. 408-412.

8. Воронина Т.А., Чеверда В.А. Оптимизационный подход к обработке данных метода вертикального сейсмического профилирования // Геология и геофизика. 1994. -Т. 35. - № 5. - С. 127-139.

9. Гальперин Е.И. Вертикальное сейсмическое профилирование. М.: Недра, 1982. -344 с.

10. Гальперин Е.И. Вертикальное сейсмическое профилирование: опыт и результаты. М.: Наука, 1994. - 320 с.

11. Голуб Дж.,Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. - 548 с.

12. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П. , Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск, Наука, 1990. - 352 с.

13. Доледенок В.Г., Костип В.И., Чеверда В.А. r-решение уравнения первого рода с компактным оператором: существование и устойчивость. Новосибирск, 1994. -(Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. ВЦ;1035).

14. Колмогоров А.Ф., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 624 с.

15. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / Под ред. В.Д. Купрадзе. М: Наука, 1976.

16. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984

17. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 с.

18. Сильвестров И.Ю. Прогнозирование строения среды ниже забоя скважины с помощью многокомпонентного обращения данных ВСП с выносным источником // Технологии сейсморазведки. 2007. - № 3. - С.44-50.

19. Сильвестров И. Ю. Анализ сингулярного разложения линеаризованного оператора динамической теории упругости для случая вертикального сейсмического профилирования // Вычислительные технологии. 2007. - Т. 12. - № 6. - С. 90-100.

20. Сильвестров И.Ю. О решении обратной задачи динамической теории вертикального сейсмического профилирования // Материалы XILV МНСК "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2006. С. 160-161.

21. Сильвестров И.Ю. Итерационный метод решения обратной динамической задачи вертикального сейсмического профилирования // Тез.докл. III Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механика". Абрау-Дюрсо. - 2006. - С.94-96.

22. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физикию М.: Наука, 1972. - 736 с.

23. F. Assous, F.Collino A numerical method for the exploration of sensitivity: the case of the identification of the 2D stratified elastic medium // Inverse Problems. 1990. -Vol.6. - N. 4. - P. 487-513.

24. Bamberger A., Chavent G., Lailly P. About, the stability of the inverse problem in 1-D wave equations. Application to the interpretation of seismic profiles // Appl. Math. Optim. 1979. - Vol. 5. - P. 1-47.

25. Boschetti F., M. C. Dentith, R. D. List Inversion of seismic refraction data using genetic algorithms // Geophysics. 1996. - Vol. 61. - R 1715-1727.

26. J.P. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of Сотр. Physics. 1994. - Vol. 114. - P. 185-200.

27. W. Chang and McMechan G. Reverse-time migration of offset vertical seismic profiling data using the exitation-time imaging condition. Geophysics. - 1986. - Vol. 51. - P. 67-84.

28. Cheverda V.A., Clement F., Khaidukov V.G., Kostin V.I. Linearized inversion of multi-offset data for vertically-inhomogeneous background // Journal of Inverse and Ill-Posed problems. 1998. - Vol. 6. - P. 455 - 477.

29. Claerbout, J. F. Toward a unified theory of reflector mapping // Geophysics. 1971. -Vol. 36 - P. 467-481.

30. Collino F., Tsogka C. Application of PML absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media // Geophysics. 2001. -Vol. 66. - P. 294 - 307.

31. Collino F. Perfectly matched layers for the paraxial equations //J. Comput. Phys. -1997. Vol. 131(1). - P. 164-180.

32. Esmersoy C. Inversion of P and SW waves from multicomponent offset vertical seismic profiles // Geophysics. 1990. - Vol. 55. - P. 39-50.

33. Gauthier O., Virieux J., Tarantola A. Two-dimensional nonlinear inversion of seismic waveforms. Numerical results // Geophysics. 1986. - Vol. 51. - P. 1387-1403.

34. Harlan W. Separation of signal and noise applied to vertical seismic profiles // Geophysics. 1988. - Vol. 53. - № 7. - P. 932 946.

35. Lebrun D., V. Richard, D. Mace, M. Cuer. SVD for multioffset linearized inversion: Resolution analysis in multicomponent acquisition // Geophysics. 2001. - Vol. 66. -P. 871-882

36. Kostin V.I., Tcheverda V.A., r-Pseudoinverse for compact operators in Hilbert space: existence and stability j j J.Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. - Vol. 3. - P. 131148.

37. W. S. Leaney, В. E. Hornby, A. J. Campbell, S. Viceer, M. Albertin, A. Malinverno Sub-salt velocity prediction with a look-ahead AVO walkaway // Extended abstracts "74th Meeting SEG". 2004.

38. Mace D, P. Lailly Solution of the VSP one-dimensional inverse problem // Geophysical Prospecting. 1986. - Vol. 34. - P. 1002-1021.

39. Mittet R., Ketil Hokstad, Jan Helgesen, Guy Canadas Imaging of offset VSP data with an elastic iterative migration scheme // Geophysical Prospecting. 1997. - Vol. 45. -№ 2. - P. 247-267.

40. Mora P. Nonlinear two-dimensional elastic inversion of multioffset seismic data // Geophysics. 1987. - Vol. 52. - P. 1211-1228.

41. Mora P. Elastic wave-field inversion of reflection and transmission data // Geophysics.- 1988. Vol. 53. - P. 750-759.

42. Nemeth Т., Chengjun Wu, Schuster G.T. Least-squares migration of incomplete reflection data // Geophysics. 1999. - Vol. 64. - P. 208-221.

43. Nicolao A., Drufuca G., Rocca A. Eigenvalues and eigenvectors of linearized elastic inversion // Geophysics. 1993. - Vol. 58. - P. 670-679.

44. Paige С. С., M. A. Saunders LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // TOMS. 1982. - Vol. 8. - № 1. -P. 43-71.

45. Roberts M. A. Elastic Parameter estimation from the 2d waveform inversion of a look-ahead walk-away VSP survey // Extended abstracts "68th Conference and Exhibition".- Viena. 2006.

46. Roberts M.A., B.E. Hornby Application of 2d full waveform inversion to walkaway VSP data for the estimation of sub-salt elastic parameters // Extended abstracts "69th Conference and Exhibition". London. - 2007.

47. Sambridge M. Monte Carlo methods in geophysical inverse problems // Reviews of Geophysics. 2002. - Vol. 40. - N. 3. - P. 1009

48. Silvestrov I. Full waveform inversion of multicomponent offset VSP data for recovery impedances bellow borehole bottom // Extended Abstracts 69th EAGE Annual Conference and Exhibition. 2007. - London. UK. - CD-ROM. - P.4. ISBN 978-9073781-54-2.

49. Snieder R., M. V. Xie, A. Pica and A. Tarantola. Retrieving both the impedance contrast and background velocity: A global strategy for the seismic reflection problem // Geophysics. -1989. Vol.54. - P. 991-1000.

50. Tal-Virsky B.B., Tabakov A. A. High-resolution prediction of acoustic impedances below bottom-of-hole // Geophysical Prospecting. 1983. - Vol. 31. - P .225-236.

51. A. Tarantola, B. Valette Generalized non linear inverse problems solved using the least-squares criterion // Rev. of Geophys.and Space Physics. 1982. - № 20. - P. 219-232.

52. A. Tarantola Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation // Geophysics. 1984. - Vol. 49. - P. 1259-1266.

53. A. Tarantola A strategy for nonlinear elastic inversion of seismic reflection data // Geophysics. 1986. - Vol. 51. - № 10. - P .1893-1903.59| Albert Tarantola Inverse problem theory and methods for model parameter estimation.- SIAM, 2005.

54. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress Finite difference method // Geophysics. 1986. - Vol. 51. - № 4. - P. 889-901.