Численное моделирование задач гравиразведки, представимых интегральными уравнениями в свертках, на искусственных нейронных сетях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Кучумов, Евгений Владимирович

• Кучумов, Евгений Владимирович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кучумов, Евгений Владимирович

Введение.

Глава 1 Постановка задачи, обзор и вспомогательные предложения

1.1 Постановка задачи и обзор.

1.1.1 Определение обратных задач гравиразведки.

1.1.2 Обзор уравнений в свёртках.,.

1.1.3 Некорректные задачи.

1.2 Теория аппроксимации.

1.2.1 Основные теоремы теории приближения функций.

1.2.2 Применение сигмоидальных функций и функций Гаусса к суперпозиции функций.

1.2.3 Задача интерполирования.

1.3 Преобразование Фурье и Лапласа.

1.4 Экстремумы функций многих переменных.

1.5 Итерационные методы Банаха и Обломской.

1.6 Итерационные методы решения уравнений в свёртках.

1.6.1 Обзор методов.

1.6.2 Итерационные методы решения уравнения (1.22).

1.6.3 Итерационные методы решения многомерных уравнений.

1.6.4 Метод регуляризации.

1.6.5 Численный метод.

1.6.6 Итерационные методы решения систем дискретных уравнений.

1.7 Классы функций.

1.8 Искусственные нейронные сети (ИНС).

Выводы по главе 1.

Глава 2 Представление функций многих переменных на ИНС.

2.1 Введение.

2.2 Метод локализации минимума функции многих переменных, основанный на сведении функции многих переменных к функциям одной переменной.

2.2.1 Периодические функции многих переменных.

2.2.2 Непериодические функции многих переменных.

2.2.3 Гармонические функции.

2.3 Об одном способе вычисления кратных интегралов на искусственных нейронных сетях.

2.4 Приближённое решение интегральных уравнений на ИНС.

2.5 Нахождение минимума функции двух переменных с помощью ИНС.:.

2.6 Решение прямых задач гравиразведки - картирование и т.д. на ИНС.

2.6.1 Постановка задачи.

2.6.2 Алгоритм решения с помощью ИНС.

Выводы по главе 2.

Глава 3 Итерационные методы решения операторных уравнений.

3.1 Решение операторных уравнений.

3.2 Решение интегрального уравнения в свёртках с помощью ИНС.

3.3 Итерационный метод решения интегральных уравнений Вольтерра.

3.3.1 Одномерные интегральные уравнения Вольтерра в свёртках

3.3.2 Многомерные интегральные уравнения Вольтерра в свёртках 142 Выводы по главе 3.

Глава 4 Приближённые методы решения обратных задач геофизики

4.1 Итерационно-проекционные методы решения обратных задач гравиразведки.

4.2 Решение обратных задач гравиразведки на искусственных нейронных сетях.

4.3 Моделирование задач сейсмической томографии уравнениями Вольтерра.

4.4 Приближённые методы решения обратных задач гравиметрии на искусственных нейронных сетях.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование задач гравиразведки, представимых интегральными уравнениями в свертках, на искусственных нейронных сетях»

Актуальность темы

В численных методах принято делить классы различных задач на прямые и обратные задачи. Пусть дан некоторый оператор и, действующий на элемент х и результатом этого действия является некоторый элемент у. Тогда прямую задачу можно представить как определение элемента у по данному элементу х для конкретного оператора и, т.е. 1Гх = у. Обратные задачи будут представлять обратный процесс: нахождение элемента х по заданному элементу у для данного оператора и.

Многие важные задачи физики, техники, экономики, социологии и т.д. представляют собой именно обратные задачи. Математически обратные задачи чаще всего выражаются с помощью интегральных или интегро-дифференциальных уравнений. Однако, без решения прямых задач постановка обратных задач невозможна.

Большим источником прямых и обратных задач является геофизика, ярким примером которых являются задачи гравиразведки и сейсморазведки (в частности, сейсмическая томография), чьи математические модель описываются нелинейными интегральными уравнениями первого рода.

Разработка точных методов решения указанных задач актуальная в связи с практической необходимостью определения локальной и глобальной структуры земной коры (строительство крупных сооружений, добыча полезных ископаемых, эволюция геологических структур и т.п.), а так же всей Земли в целом (геотектонические и магматические процессы, планетология), что осложняется невозможностью прямого измерения внутренних физико-химических параметров или экспериментальной проверки в силу экстремальности условий.

Главная сложность в решении обратных задач заключается в том, что они в подавляющем большинстве являются некорректными задачами в отличие от прямых задач. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений, что особенно критично в силу естественного наличия погрешностей у реальных данных.

С другой стороны, теория искусственных нейронных сетей (ИНС), возникшая в середине прошлого столетия, изначально позиционировала себя как средство решения неформализуемых или трудно формализуемых задач, к которым относят задачи распознавания образов, классификации и кластеризации, оптимального управления и т.д. ИНС зарекомендовали себя как перспективные средства решения вышеуказанных задач. Известно, что эти задачи, по сути, являются некорректными задачами и существенно перекликаются с обратными задачами.

В последнее время значительно возрос интерес к численным алгоритмам решения задач математической физики на ИНС1. В общем случае алгоритмы численного моделирования обратных задач сводятся к задачам аппроксимации и итерационным методам решения операторных (интегральных) уравнений.

Тем не менее, в настоящее время отсутствуют работы, посвященные решению интегральных уравнений первого (некорректная задача) и второго рода на ИНС. Практически отсутствуют методы и алгоритмы решения обратных задач на ИНС.

Перечисленные обстоятельства делают проблему решения прямых и в большей степени обратных задач на ИНС актуальной. В связи с этим, назрела необходимость применения ИНС в области решения обратных задач геофизики.

1 См. сборник трудов Первой Всероссийской конференции «Нейросетевые алгоритмы решения задач математической физики», г. Москва, 2007 г., атак же труды школы Горбаченко В.И.

Данная диссертация посвящена разработке методов решения прямых и обратных задач геофизики на ИНС.

Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в приближённом решении обратных задач гравиразведки на искусственных нейронных сетях.

Для достижения поставленной цели в диссертации необходимо решить следующие задачи:

• разработать методы приближенного представления функций многих переменных на ИНС;

• разработать численные алгоритмы локализации минимума функции многих переменных (как периодических, так и непериодических) и их программную реализацию на ИНС;

• построить формулы приближенного вычисления кратных интегралов на ИНС;

• разработать численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС с использованием формул приближенного вычисления кратных интегралов и дать программную реализацию данного алгоритма;

• построить оптимальные итерационные формулы решения интегральных уравнений в свёртках типа Фредгольма и Вольтерра и разработать алгоритмы их реализации на ИНС;

• Разработать методы решения обратных задач гравиразведки, характеризуемых нелинейными интегральными уравнениями, на ИНС.

Методы исследования. В работе использованы методы теории ИНС, математического моделирования, функционального анализа, прикладного функционального анализа, теории аппроксимации, квадратурных формул, теории линейных интегральных уравнений, интегральных преобразований. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач с использованием пакетов компьютерной математики, таких как МаЙаЬ и т.д.

Научная новизна работы состоит в следующем: построены алгоритмы численного решения обратных задач на ИНС; предложены алгоритмы представления функций многих переменных на ИНС; построены алгоритмы локализации минимума функции многих переменных на ИНС; предложены и обоснованы квадратурные формулы приближенного вычисления кратных интегралов на ИНС; построены численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС с использованием специальных квадратурных формул вычисления кратных интегралов; предложены и обоснованы итерационные методы решения интегральных уравнений в свёртках Фредгольма и Вольтерра. Теоретическая ценность заключается в следующем: предложены и обоснованы методы моделирования обратных задач гравиразведки на ИНС; предложены и обоснованы приближенные алгоритмы локализации минимума функции многих переменных на ИНС, основанные на сведении последних к функциям одной переменной; дано приложение этих алгоритмов к нахождению экстремумов потенциальных полей; предложены и обоснованы численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС, основанные на методе сведения многомерных интегралов к одномерным; предложены и обрснованы итерационные алгоритмы решения интегральных уравнений в свёртках Фредгольма и Вольтерра на ИНС. предложены и обоснованы новые итерационные схемы и алгоритмы решений уравнений Вольтерра. Практическая значимость.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 6 - в изданиях, рекомендованных ВАК.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Первой Всероссийской конференции «Нейросетевые алгоритмы решения задач математической физики» (Москва, 2007); Ш-ей Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008); VIII-ой Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (Пенза, 2008); XXVIII-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых учёных и специалистов «Датчики и системы - 2009» (Пенза, 2009); IV Международная научно-практическая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2010), XXIX-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых учёных и специалистов «Датчики и системы - 2010» (Пенза, 2010), ХХХ-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых учёных и специалистов «Датчики и системы - 2011» (Пенза, 2011).

Пакет прикладных программ «Приближенные методы решения уравнений динамики колебаний металлической струны» используется в производственной деятельности ОАО «НИИФИ» (акт о внедрении прилагается к диссертации).

Методы, разработанные в данной диссертации, использовались в НИР по проекту «Разработка теории функционирования волоконно-оптических лазерных интерферометрических систем на основе методов идентификации динамических систем с распределёнными параметрами» (Рособразование, Per. №2.1.2/937; мероприятие 2, раздел 2.1, подраздел 2.1.2, код ГРНТИ 59.03.05; 59.31.71; 59.45.37); срок выполнения 2009-2010 гг.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложений и изложена на страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кучумов, Евгений Владимирович

Заключение

В заключении обобщенны основные результаты теоретических и практических исследований.