Численное решение обратных задач для параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Су Линдэ

  • Су Линдэ
  • кандидат науккандидат наук
  • 2019, ФГАОУ ВО «Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова»
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 124
Су Линдэ. Численное решение обратных задач для параболических уравнений: дис. кандидат наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. ФГАОУ ВО «Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова». 2019. 124 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Су Линдэ

2.2.2 Вычислительный алгоритм

2.2.3 Численный эксперимент

3 Одномерная граничная обратная задача и задача продолжения

3.1 Постановка задачи продолжения

3.2 Вычислительный алгоритм

3.3 Вычислительный эксперимент

3.3.1 Задача продолжения

3.3.2 Граничная обратная задача

4 Ретроспективная обратная задача

4.1 Постановка задачи

4.2 Интерполяция радиальной базисной функции

4.3 Вычислительный алгоритм

4.4 Вычислительный эксперимент

Заключение

Литература

Публикации автора

Список рисунков

1.1 Графики финального решения ут(х) и функции f (x)

1.2 Max e и RMSE на каждом шаге итерации

1.3 Результаты восстановления с разным уровня шума

1.4 Решение u(x,T) прямой задачи

1.5 Точное решение f (x) и абсолютная ошибка

1.6 Max е и RMSE на каждом шаге итерации

1.7 Вычисленное f (x) с разным уровнем шума

2.1 Дополнительные условия и решение при t = Т

2.2 Численное и точное решение p(t) и q(t)

2.3 Решение u(x,t) и абсолютная ошибка

2.4 Решение p(t) и q(t) с разными

2.5 ^чное решение p(t) и q(t) с разными £

2.6 Вычислительная сетка из dolfin-2.xml.gz

2.7 Окончательное решение u(x,T) с ( =

2.8 Точные и численные решения p(t) и q(t) с разными (

2.9 Решение p(t) и q(t) с разными

2.10 Восстанавливаемые коэффициенты с различным параметром (

2.11 Вычислительная сетка

2.12 Окончательное решение u(x,T) с ( =

2.13 Численное и точное a(t) и b(t) с разными (

2.14 Решение a(t) и b(t) с разными

2.15 Вычислительная сетка

2.16 Окончательное решение u(x,T)

2.17 Численное и точное a(t) и b(t) с N =

2.18 Решение a(t) и b(t) с разными

3.1 Пространственно-временной график решения и(х,{)

3.2 Решение на левой границе и дополнительное условие

3.3 Численное и точное решение и( 1,£)

3.4 Решение и( 1, ¿) с уровнем шума 5 = 1%

3.5 Решение и(1,Ь) с уровнем шума 6 = 5%

3.6 Пространственно-временной график решения и(х,1)

3.7 Вспомогательная функция V для разных г

3.8 Численное и точное и(1,{) c различными точками наблюдения

3.9 Решение и(1, Ь) с разными 6 и разными х*

4.1 Семь локальных шаблонов с пятью узлами и с точками x¿c

4.2 Амебоподобная область с выбором точек разброса

4.3 Численные решения и абсолютные ошибки с Т =

4.4 Звездообразный домен с выбором точек разброса

4.5 Численное и точное решение с равномерными точками

4.6 Численные решения и абсолютные ошибки со случайными точками

Список таблиц

2.1 Две ошибки р(Ь) с разными временными шагами т

2.2 Две ошибки д(Ь) с разными временными шагами т

2.3 Две ошибки р(Ь) с разными точками наблюдения

2.4 Две ошибки д(Ь) с разными точками наблюдения

2.5 Две ошибки а(1) с разными временными шагами т

2.6 Две ошибки Ь(1) с разными временными шагами т

2.7 Две ошибки а(1) с разными точками наблюдения

2.8 Две ошибки Ь(1) с разными точками наблюдения

2.9 Две ошибки старшего коэффициента а{Ъ) с разными т

2.10 Две ошибки функции правой части Ь(1) с разными т

3.1 Две ошибки с разными временными шагами т

3.2 Две ошибки с другой точкой наблюдения х*

3.3 Две ошибки с разными временными шагами т

4.1 Некоторые часто используемые радиальные базисные функции

4.2 Две ошибки с RBFCM, MAPS и RBF-FD с разными Т

4.3 Ошибки для двух видов распределенных точек с разными т

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение обратных задач для параболических уравнений»

Введение

Под обратной задачей принято считать процесс идентификации неизвестных параметров задачи - причинных факторов, исходя из информации, полученной от ряда наблюдений, которые их породили. Обычно в прямой задаче задаются причины, чтобы найти результаты. В обратной задаче, наоборот, последствия известны, а причины неизвестны [16]. В последние десятилетия, теория и методы решения обратных задач стали одной из самых быстроразвивающихся областей прикладной и вычислительной математики. Они стали одними из наиболее важных математических проблем в физических и технических науках, по той причине, что они позволяют идентифицировать параметры, которые мы не можем непосредственно измерять. Поскольку эта проблема имеет широкий спектр важных областей применения, и её теория имеет явную новизну и сложность она привлекает внимание многих ученых. Обратные задачи превратились в междисциплинарную науку, популярное направление исследований в области вычислительной и прикладной математики.

Для того, чтобы решение задачи имело смысл в практических приложениях, математическая модель природного явления, технологического процесса в виде той или иной математической задачи должна быть корректно поставленной. Это означает, что задача имеет единственное и устойчивое решение. Теория краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными посвящена доказательству корректности постановки рассматриваемой задачи [28, 30, 68, 74]. Для решения таких краевых и начально-краевых задач предлагаются и применяются много методов, включая точный и численный метод [1,23,36,66,75,76,86,97].

Для дифференциальных уравнений с частными производными, в прямой задаче необходимо найти решение уравнения с частными производными, в которой заданы все параметры основного уравнения, а также начальные и граничные

условия. В обратной задаче некоторые из условий, которые мы упомянули выше, не указаны, поэтому приходится определять не только решение, но и некоторые отсутствующие коэффициенты или условия [42, 55, 88], т.е. необходимо определить решение и некоторые элементы математической модели.

В отличие от прямой задачи, в классическом смысле, как правило, обратные задачи являются некорректными. Обратная задача в большинстве случаев некорректна, это значит, что она не отвечает требованиям корректных задач, типичной их особенностью является нарушение требований непрерывной зависимости решения от входных данных [54,88]. Большинство стандартных численных методов не могут достичь хорошей точности при решении некорректной задачи, для приближенного решения этих задач основное внимание уделяется разработке устойчивых вычислительных алгоритмов, учитывающих особенности обратных

т-ч V-/ V-/

задач. В некоторых случаях, некорректная задача может перейти к корректной задаче с помощью сужения класса допустимых решений.

В 1902 году Адамар дал определение корректности задач для дифференциальных уравнений с частными производными [35]. По Дж. Адамару, если задача имеет единственное устойчивое решение, то она корректна. Это означает, что корректная задача должна удовлетворять трем условиям одновременно: решение должно существовать, быть единственным и удовлетворять условию устойчивости. В то же время, он также построил пример некорректной задачи Коши для уравнения Лапласа. В некоторых случаях, сузив класс допустимых решений некорректной задачи, можно привести ее к корректной (условно корректной) задаче. Эта особенность играет важную роль в решении некорректных обратных задач.

Некорректно поставленные задачи начали изучаться в начале 20-го века. Советский математик Андрей Николаевич Тихонов [102] в 1943 году установил возможность нахождения устойчивых решений некорректных задач. Благодаря этой работе появились множество новых подходов. Некорректные задачи привлекли

внимание многих математиков [7,80]. С развитием компьютерных вычислительных технологий, некорректно поставленные задачи привлекли пристальное внимание многих исследователей. Сегодня теория и методы решения некорректных задач бурно развивается и оказывает влияние на многие области математики и физики. Опубликовано много монографий посвященных некорректным задачам, например, [39,48,77].

Обратные задачи часто относят к классу некорректных в классическом смысле задач. Как правило, некорректные задачи имеют общее важное свойство -неустойчивость. На решение сильно влияют входные данные, малые зашумле-ния данных могут вызвать сколь угодно большое возмущение решения [10,81]. В этом и заключается трудность численного решения некорректных задач. Примеры некорректных задач можно найти в работах [54, 88].

Известно, что сужая множество допустимых решений можно превратить некорректную задачу в корректную задачу. Итак, существует подкласс задач, называемых условно корректной задачей по Тихонову. В таких задачах целесообразно искать решение принадлежащее некоторому классу решений.

Если заранее известно, что существует единственное решение задачи в каком-то классе, и решение непрерывно зависит от входных данных, мы называем эту проблему условной корректной по Тихонову задачей [78,103]. Понятие условно-корректной задачи имеет большое значение для поиска устойчивых методов приближенного решения некорректных задач.

Понятие прикладной обратной задачи введено Амбарцумяном [9]. Задача, которую он изучил в 1929 году, заключалась в определении параметров уравнения вибрации струны, в этой задаче известно частота вибрации системы, необходимо определить параметры модели. В конце второй мировой войны задача Амбар-цумяна заново поставлена Шведскими математиками [17], образуя отправную точку для всех обратных проблемных областей и становясь основой всей теории обратных задач.

С быстрым развитием технологии математического моделирования и методов расчета, быстрого развития сенсорной и измерительной техники, наряду с широким применением компьютерных технологий, обратные задачи математической физики стали привлекать все больше внимания [34, 43]. С постановкой обратной задачи в области медицинского применения технологий КТ в 1979 году произошел крупный прорыв, вследствие чего теория обратных задач вызвала всеобщее признание.

Обратная задача значительно более трудоемкая задача, нежели прямая задача, в математической физике прямая задача обычно используется для моделирования некоторых физических полей, процессов или явлений, таких как электромагнитная, сейсмическая, акустическая, теплопроводность [105], вообще говоря, в прямой задаче требуется найти функцию, которая описывает физический процесс или явления в любой момент времени в любой точке данной области. Таким образом, для уравнений с частными производными прямая задача формулируется с помощью основного уравнения, описывающего процесс, область определения, в которой исследуется процесс, граничные условия, для нестационарных задач также необходимы начальные условия.

Обратные задачи принято разделить на: геометрические обратные задачи, в которых область или часть её границы неизвестна; коэффициентные обратные задачи, в которых некоторые коэффициенты основного уравнения неизвестны [26]; граничные обратные задачи, в которых некоторая часть граничных условий неизвестна [116] и для нестационарных уравнений ретроспектиные обратные задачи (или обратная задача времени), в которых начальные условия неизвестны [89].

Изучение обратных задач имеет важное практическое значение. В прямых задачах условия и коэффициенты определяющих уравнений, обычно, считаются известными, но в практических ситуациях бывает, что эти условия трудно или невозможно определить. В то же время, несложно задавать дополнитель-

ные условия в виде информации о решении. Таким образом, возникает решение обратной задачи для определения некоторых неизвестных условий и коэффициентов. Хотя обратная задача имеет широкий диапазон приложений в науке и технике, нахождение ее решения сопряжено с многими трудностями.

Во-первых, обратная задача, как правило, является нелинейной задачей по существу. Обычно численное решение прямых задач для классических линейных уравнений математической физики сводится к решению систем линейных или нелинейных уравнений. Однако, в обратных задачах даже для линейных дифференциальных уравнений получаются сложные системы приводящие к использованию итерационных методов, поэтому определение решения обратной задачи представляет достаточно сложный процесс.

Во-вторых, необходимо обратить внимание на вычислительную неустойчивость решения обратной задачи. В этой связи отметим, что прямая задача для уравнений математической физики при правильном задании граничных и начальных условий является корректно поставленной.

В-третьих, некорректность решений обратной задачи. Обратные задачи, как правило, относятся к классу некорректных задач. Поэтому бывает нелегко построить устойчивый и более точный численный алгоритм для решения обратной задачи.

В-четвертых, вычислительные алгоритмы, используемые для решения обратных задач используют больше вычислительных ресурсов, нежели прямые задачи. Бывает, что численная реализация прямой задачи для дифференциального уравнения приводит к очень простой системе линейных уравнений. Может оказаться, что численная реализация соответствующей обратной задачи требует большого количества процессорного времени и памяти. При построении вычислительного алгоритма необходимо заботиться о сокращении объема вычислений и используемой памяти, сокращение времени работы процессора, поскольку они имеют решающее значение для численного исследования обратной задачи.

Обратные задачи очень важны в математике [21,95], физике [101], технике [41] и некоторых других областях [70,106]. Они также возникают при математическом моделировании в астрономии [8], радиолокации, акустике, теории коммуникации, обработке сигналов, оптике [13], медицинской визуализации, компьютерном видении [82], геофизике, океанографии [117], дистанционном зондировании, обработке на естественном языке, машиноведении [83], неразрушаю-щем тестировании и многие другие области имеют важные приложения [44,58]. Некоторые важные свойства сред описываются решениями обратных задач [6], такие как проводимость, параметры упругости [100,119], плотность и скорость распространения волны, диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость [14,46], свойства и местоположение неоднородностей в труднодоступных местах и т. д. В обратной задаче задаются последствия и должны быть найдены причины, т. е. необходимо идентифицировать математические модели из известных структур процессов. И обратные задачи часто относятся к типу некорректных задач из-за нарушения устойчивости решения, поэтому поиск устойчивого численного метода очень важен для решения обратных задач. Многие исследователи изучили обратную задачу, в том числе теоретические исследования и решения получены работах [12,42,78,88,104].

Актуальность работы. Диссертационная работа посвящена разработке численных методов решения обратных задач для параболических уравнений.

Разработка эффективных численных методов решения обратных задач для параболических уравнений является актуальной проблемой в силу их практической важности и связанной с этим необходимостью создания эффективных алгоритмов решения многомерных обратных задач.

Рассматриваемые в диссертации обратные задачи заключаются в идентификации неизвестных параметров задачи с помощью информации полученной от ряда наблюдений до причинных факторов, которые их породили. В последние десятилетия, теория и методы решения обратных задач стали одной из самых

быстро развивающихся областей прикладной и вычислительной математики.

В классическом смысле, обратная задача всегда рассматривается как некорректная задача, это означает, что многие стандартные численные методы не могут достичь высокой точности при решении обратных задач. Для приближенного решения этих задач основное внимание уделяется разработке устойчивых вычислительных алгоритмов, учитывающих особенности рассматриваемых обратных задач. Обратные задачи имеют широкий диапазон приложений в науке и технике, но, как правило, определение их решения сопряжено с трудностями:

• обратные задачи являются нелинейными по существу;

• обратные задачи некорректны, или условно корректны;

• вычислительные алгоритмы решения обратных задач требуют большие вычислительные ресурсы.

Степень разработанности. Теоретическое исследование, разработка эффективных численных методов решения обратных привлекло внимание многих исследователей. В 1960-х годах А. Н. Тихонов выпустил серию работ по обратным и некорректным задачам, разработал методы регуляризации некорректных задач. В 1980-х годах, Китайский математик Feng Kang приступил к исследованию численного метода решения обратной задачи. В 1994 году Per C. Hansen [38] и многие другие его сотрудники разработали пакет подпрограмм Matlab для проведения вычислительного эксперимента связанных с решением дискретных некорректных задач с помощью методов регуляризации. В последние годы, В. Исаков [47,49], D. Lesnic [70,71], R. S. Tikhonov [94], А. М. Денисов [2], A. L. Karchevsky [27, 63, 64], С. И. Кабанихин [3,56, 57], М. А. Шишленин [92, 93], П. Н. Вабищевич и В. И. Васильев [79,98, 108, 109, 114], Виталий Л. Камынин [59,61,62], Ali U. Sazaklioglu [4,90,91], M. Dehghan [24,25], M. Li и T. S. Jiang [51,72] и другие исследователи также изучили обратную задачу и внесли большой вклад в теорию и разработку приложений.

Целью диссертационной работы является разработка и численная реали-

зация эффективных вычислительных алгоритмов решения обратных задач для параболических уравнений на основе конечно-разностного метода, метод конечных элементов или бессеточный метод. Для достижения поставленной цели возникла необходимость решения следующих задач:

• разработать итерационный метод численного решения обратной задачи определения множителя правой части параболического уравнения, зависящей от пространственных переменных;

• разработать вычислительный алгоритм одновременной идентификации младшего (старшего) коэффициента и правой части параболического уравнения, зависящих от времени;

• разработать эффективный численный метод решения одномерной обратной задачи продолжения решения для параболического уравнения, в том числе, граничной обратной задачи;

• разработать численный метод решения ретроспективной обратной задачи для параболического уравнения, основанный на бессеточном методе, основанном на использовании локальных радиальных базисных функций.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

• Предложен итерационный метод сопряженных градиентов для численного решения обратной задачи определения множителя правой части параболического уравнения, зависящего от пространственных переменных;

• Разработан вычислительный алгоритм одновременной идентификации младшего (старшего) коэффициента и множителя правой части параболического уравнения, зависящих от времени. Метод заключается в представлении приближенного решения на верхнем временном слое в виде линейной комбинации трех краевых задач для эллиптического уравнения;

• Для численного решения задачи продолжения для параболического уравнения предложен численный метод основанный на суперпозиции решений двух краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений вто-

рого порядка.

• Для численного решения ретроспективной обратной задачи теплопроводности на нерегулярной вычислительной области предложены новые численные методы, основанные на взаимосвязи локальных радиальных базисных функций.

Соответствующие численные примеры показывают, что предложенные новые методы являются эффективными.

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в разработке новых численных методов решения обратных задач для параболических уравнений.

Практическая значимость диссертационной работы определяется возможностью применения разработанных алгоритмов и программ в решении обратных задач теплофизики, теории фильтрации и распространения загрязнений в сплошных средах.

Методология и методы диссертационного исследования. В работе использованы методы математической физики, теоретические основы численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, теории обратных задач, конечно-разностный метод и метод конечных элементов и метод локализованной радиальной базисной функции, язык высокого уровня Python и его библиотеки.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Новый итерационный метод численной идентификации правой части параболического уравнения, зависящего от пространственных переменных.

2. Новый метод одновременного определения правой части и коэффициентов параболического уравнения, зависящих от времени.

3. Эффективный метод решения обратной задачи продолжения решения одномерного параболического уравнения и граничной обратной задачи для параболического уравнения;

4. Создание нового численного метода решения ретроспективной обратной задачи для параболического уравнения.

Достоверность. Полученных результатов и выводов подтверждается использованием современных методов вычислительной математики, тестированием предложенных вычислительных алгоритмов решения обратных задач параболических уравнений на модельных обратных задачах с точными аналитическими решениями решениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и симпозиумах:

• Семинар «Математическое моделирование задач мультифизики в областях с трещинами» (Якутск), 2017;

• Семинар «Математическое моделирование сложных процессов» (Якутск), 2019;

• Шестая международная конференция по численному анализу и приложениям (Болгария), 2016;

• Международная конференция «Многомасштабные методы и высокопроизводительные научные вычисления» (Якутск), 2017;

• Международная конференция «Многомасштабные и высокопроизводительные вычисления для мультифизичных задач» (Якутск), 2018;

• IV Международная конференция «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования (СКТеММ'19)» (Москва), 2019;

• Международная конференция «Многомасштабные и высокопроизводительные вычисления для мультифизичных задач» (Якутск), 2019;

• Одиннадцатая международная молодёжная научная школа и конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск), 2019

Публикации автора. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, в том числе 3 статьях [Л1-Л3] в журналах, рекомендованных ВАК, 5

статьях [A4-A8] в журналах, индексируемых в Web of Science и 6 статьях [A3-A8] в журналах, индексируемых Scopus.

Личный вклад автора. Заключается в обсуждении постановок задач и выбора методов их численного решения, в разработке вычислительных алгоритмов, составлении и отладки компьютерных программ, проведении численных расчетов. Конфликт интересов с соавторами отсутствует.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 17-01-00689, № 17-0100732 и Мегагранта Правительства РФ Соглашение № 14.Y26.31.0013.

Краткое содержание работы. В работе разработаны и численно реализованы численные методы решения нескольких видов обратных задач. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность проведенных исследований в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, сформулированы цель, поставлены задачи, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы и приводится краткое изложение результатов диссертации. Формулируются основные положения, выносимые на защиту, а также дано краткое изложение содержания диссертации по главам.

В первой главе, мы используем построенный самосопряженный оператор в сочетании с итерационным методом сопряженных градиентов для решения обратной задачи идентификации пространственно-зависимой функции правой части в параболическом уравнении и приводим численные примеры для иллюстрации эффективности и устойчивости построенного алгоритма.

В второй главе, используя декомпозицию приближенных решений на новом уровне времени, приведем исходную обратную задачу на три стандартные эллиптические задачи с известными дополнительными условиями для решения обратной задачи одновременной идентификации единственного зависимого от времени более низкого коэффициента или старшего коэффициента и правой части в параболическом уравнении, для иллюстрации точности алгоритма приве-

дены соответствующие численные примеры.

т-ч о V-/

В третьей главе предлагается метод численного решения одномерной граничной обратной задачи для параболического уравнения, состоящей в идентификации функции зависящей только от времени. На каждом временном слое преобразуем обратную задачу в две стандартные эллиптические задачи с последующим определением искомого граничного условия из условия переопределения. Численное решение обратной задачи получено путем решения двух эллиптических задач с последующей идентификацией из дополнительного условия искомого граничного граничного условия, а также приведен соответствующий численный пример.

В последней главе мы рассмотрим численное решение обратной задачи теплопроводности с нерегулярно рассчитанными областями. Использование алгоритма без сетки на основе локальных радиальных базисных функций, а эффективность и точность алгоритма иллюстрируются соответствующими числовыми примерами. В заключение мы дадим краткое изложение последних результатов, полученных в работе.

Благодарности

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. И. Васильеву за многолетнюю поддержку и научное сотрудничество.

Автор выражает благодарность д.ф.-м.н., профессорам П. Н. Вабищевичу, Yalchin Efendiev и TongSong Jiang за постоянную поддержку, ценные советы и конструктивные замечания.

Автор благодарен сотрудникам Международной научно-исследовательской лаборатории «Многомасштабное математическое моделирование и компьютерные вычисления» Института математики и информатики Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова за поддержку, творческую и благожелательную атмосферу, в которой выполнена работа.

И последнее, но не менее важное, автор хотел бы поблагодарить своих родителей и невесту за их понимание, поддержку и воодушевление на протяжении многих лет.

Глава 1

Идентификация правой части параболического уравнения, зависящей от пространственных

переменных

В этой главе рассматривается обратная задача определения решения начально краевой задачи для параболического уравнения с неизвестной правой частью, зависящей от пространственных переменных с помощью известного значения решения в конечный момент времени. Она является одной из типичных обратных задач, которые часто встречаются во многих моделях математической физики, физической химии, окружающей среды, социологии и даже в экономике. Изучение подобных обратных задач имеет большое практическое значение и привлекает внимание многих исследователей. В работе Д.Лесника [52] для идентификации правой части, зависящей от пространственных переменных, предложен итерационный алгоритм решения дискретного аналога задачи, построенного методом граничных элементов. Итерационный метод проекции с фиксированной точкой был применен для численного решения пространственно-зависимого ведущего коэффициента в работе [29]. В работах П.Н.Вабищевича [110, 111] для определения пространственно-зависимого члена или младшего коэффициента предложен, обоснован итерационный процесс со специальным заданием начального приближения правой части с последующим его уточнением на каждой итерации. Цао и Лесник в работах [19,20] использовали метод сопряженных градиентов для восстановления младшего пространственно-зависимого коэффициента и одновременного восстановления коэффициента и начального условия. В [33] предложен численный метод для решения задачи одновременной идентификации младшего коэффициента и функции источника, зависящих от пространственной переменной, и т. д.

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим обратную задачу одновременного определения функции и^^) и множителя правой части / зависящего только от пространственных переменных, определенного на параллелепипеде О С ^ с границей дО, удовлетворяющих параболическому уравнению

ди

— - div(k(x,t)gтad и) = /^(х^), x е О, г е (0,Т], (1.1)

где x = (х\, х2, • • • , хл), д^^) - заданная функция и 0 < к\ ^ к^^) ^ к2. Задано начальное условие

и{х, 0)= и0(x), x е О (1.2)

и граничные условия Дирихле

и(х,г) = Н(х,г), x е дО, г е [0,т]. (1.3)

При рассмотрении обратной задачи необходимо задать дополнительное условие. В нашем случае для обратной задачи определения коэффициента, зависящего от пространственных переменных, в качестве дополнительного условия обычно задается измеренное значение решения в конечный момент времени (условие переопределения)

и(х,Т)= итx е О. (1.4)

При численном решении обратной задачи определения коэффициента, зависящего от пространственных переменных, часто используются итерационные методы. Здесь предлагается метод сопряженных градиентов [99], основанный на самосопряженности дискретного оператора перехода. Метод основан на решении на каждой итерации прямой задачи для исходного уравнения, итерационные параметры при переходе от итерации к к итерации к+ 1 вычисляются из решения стандартной начально-краевой задачи. Этот метод достаточно прост, эффективен и быстро сходится.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Су Линдэ, 2019 год

Литература

1. Самарский Александр Андреевич, Вабищевич Петр Николаевич. Вычислительная теплопередача. — ЛИБРОКОМ, 2009.

2. Денисов А. М. Обратная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 11. — С. 1756-1766.

3. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. — Издательство СО РАН, Новосибирск, 2018. —С. 511.

4. A.Ashyralyev, Sazaklioglu A. U. Investigation of a Time-Dependent Source Identification Inverse Problem with Integral Overdetermination // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 2017. — Vol. 38, no. 10.— P. 12761294.

5. Abdollah S., Ali Z. A numerical technique for backward inverse heat conduction problems in one-dimensional space // Applied Mathematics and Computation.—2005.—Vol. 171, no. 2.-P. 1016 - 1024.

6. Alexander G. R. Inverse Problems. Mathematical and Analytical Techniques with Applications to Engineering. — Springer-Verlag, 2005.

7. Alifanov O. M., Artyukhin E. A., Rumyantsev S. V. Extreme Methods for Solving Ill-posed Problems with Applications to Inverse Heat Transfer Problems. — Begell House, 1995.-ISBN: 9781567000382.

8. Ambartsumian R. V. A life in astrophysics : selected papers of Viktor Ambart-sumian. — Allerton Press, New York, 1998. — P. 279.

9. Ambartsumyan V. A. Über eine frage der eigenwerttheorie // Zeitschrift für Physik.-1929.-Vol. 53.-P. 690-695.

10. Ames Karen A. Improperly Posed Problems for Nonlinear Partial Differential Equations // Nonlinear Equations in the Applied Sciences / Ed. by W. F. Ames, C. Rogers. — Elsevier, 1992.— Vol. 185 of Mathematics in Science and Engineering. -- P. 1 - 29.

11. Aparicio N. D., Pidcock M. K. The boundary inverse problem for the Laplace equation in two dimensions // Inverse Problems. — 1996. — Vol. 12, no. 5. — P. 565-577.

12. Bakushinsky A. B., Kokurin M. Y. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems. Mathematics and Its Applications. — Springer Netherlands, 2004.

13. Bao G., Li P. J. Numerical solution of inverse scattering for near-field optics // Optics Letters, OSA Publishing. — 2007. — Vol. 32, no. 11.-P. 1465-1467.

14. Beilina L., Cristofol M., Niinimaki K. Optimization approach for the simultaneous reconstruction of the dielectric permittivity and magnetic permeability functions from limited observations // Inverse Problems & Imaging. — 2015. — Vol. 9, no. 1.-P. 1-25.

15. Belov Y. Y. Inverse Problems for Partial Differential Equations. — Marcel Dekker, Inc New York, 2002. — Vol. 32 of Inverse and Ill-Posed Problems Series.

16. Berard P. H. Spectral Geometry: Direct and Inverse Problems. — Springer, 1986.— Vol. 1207 of Lecture Notes in Mathematics.

17. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe: Bestim-

mung der Differentialgleichung durch die Eigenwertee // Acta Mathematica. — 1946.-Vol. 78.-P. 1-96.

18. Cannon J. R., Lin Y. P., Wang S. M. Simultaneous determination of time-dependent coefficients in the heat equation // Computers & Mathematics with Applications.-2014. —Vol. 67, no. 5. —P. 1065-1091.

19. Cao K., Lesnic D. Reconstruction of the space-dependent perfusion coefficient from final time or time-average temperature measurements // Journal of computational and applied mathematics.—2018.—Vol. 337. —P. 150-165.

20. Cao K., Lesnic D. Simultaneous reconstruction of the perfusion coefficient and initial temperature from time-average temperature measurements // Applied Mathematical Modelling.— 2019.— Vol. 68. —P. 523-539.

21. Cavalier L. Inverse Problems in Statistics // Inverse Problems and High-Dimensional Estimation. — Springer, Heidelberg, 2011. —Vol. 203 of Lecture Notes in Statistics. — P. 3-96.

22. Lecture Note: A Localized MAPS : Rep. / Department of Mathematics, University of Southern Mississippi, USA ; Executor: C. S. Chen : 2011.

23. Chen H. T., Zhang H. Q. New doubly periodic and multiple soliton solutions of the generalized (3+1)-dimensional KP equation with variable coefficients // Chinese Physics.— 2003.— Vol. 12, no. 11.-P. 1202-1206.

24. Dehghan M. Identification of a time-dependent coefficient in a partial differential equation subject to an extra measurement // Numerical Methods for Partial Differential Equations.— 2005.— Vol. 21, no. 3. —P. 611-622.

25. Dehghan M. Parameter determination in a partial differential equation from the overspecified data // Mathematical and Computer Modelling. — 2005. — Vol. 41, no. 2-3.-P. 196-213.

26. Denisov A. M. Iterative Method for Solving an Inverse Coefficient Problem for a Hyperbolic Equation // Differential Equations. — 2017. — Vol. 53, no. 7.— P. 916-922.

27. Determining kinetic parameters of a block coal bed gas by solving inverse problem based on data of borehole gas measurements / L. A. Nazarova, L. A. Nazarov, A. L. Karchevsky, M. Vandamme // Journal of Mining Science.-2015.-Vol. 51.-P. 666-672.

28. Evans L. C. Partial Differential Equations (Second Edition). Graduate Studies in Mathematics. — American Mathematical Society, 2010.

29. Fatullayev A. G., Cula S. An iterative procedure for determining an unknown spacewise-dependent coefficient in a parabolic equation // Applied mathematics letters. — 2009. — Vol. 22. - P. 1033-1037.

30. Felipe L., Gustavo P. Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. Univer-sitext. — Springer-Verlag New York, 2008.

31. Fourier J. B. The Analytical Theory of Heat. Landmarks of science. — Cambridge [Eng.] University Press, 1878.

32. Fu C. L., Xiong X. T, Qian Z. Fourier regularization for a backward heat equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. —2007. — Vol. 331, no. 1.-P. 472-480.

33. Gamzaev Kh., Huseynzade S. O., Gasimov G. A Numerical Method to Solve Identification Problem for the Lower Coefficient and the Source in the Convection-Reaction Equation // Cybernetics and Systems Analysis. — 2018. — Vol. 54, no. 6.-P. 971-976.

34. Gerver M. L. Inverse Problem for the One-dimensional Wave Equation // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. — 1970. — Vol. 21, no. 3. — P. 337-357.

35. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Princeton University Bulletin. — 1902. — Vol. 13. — P. 49-52.

36. Hamming R. W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. -- Dover Publications, 1987.

37. Han H., Ingham D. B, Yuan Y. The Boundary Element Method for the Solution of the Backward Heat Conduction Equation // Journal of Computational Physics. - 1995. — Vol. 116, no. 2. — P. 292-299.

38. Hansen P. C. REGULARIZATION TOOLS: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems // Numerical Algorithms. — 1994. — Vol. 6, no. 1.-P. 1-35.

39. Hasanoglu A. H., Romanov V. G. Introduction to Inverse Problems for Differential Equations. — Springer International Publishing, 2017.

40. Hon Y. C., Li M. A discrepancy principle for the source points location in using the MFS for solving the BHCP // International Journal of Computational Methods.-2009.-Vol. 6, no. 2.-P. 181-197.

41. Honjo Y., Kudo N. Matching objective and subjective information in geotech-nical inverse analysis based on entrophy minimization // Inverse Problems in Engineering Mechanics. — 1998. — P. 263-271.

42. An Introduction to Inverse Problems with Applications / F. Duarte, M. Neto, A. Jose, N. C. Silva. Computational Intelligence and Complexity. — SpringerVerlag Berlin, 2013.

43. Inverse Problem with Constraints / D. J. Ernst, J. E. Monahan, C. M. Shakin, R. M. Thaler // Physical Review Letters. — 1973. — Vol. 30. — P. 929-931.

44. Inverse Problems and Applications / Ed. by L. Beilina. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. — Springer International Publishing, 2015.

45. Inverse boundary value problem for the Helmholtz equation: Multi-level approach and iterative reconstruction / E. Beretta, M. V. de Hoop, L. Qiu, O. Scherzer // Proceedings of the Project Review, Geo-Mathematical Imaging Group (Purdue University, West Lafayette IN). — 2013. — Vol. 1, no. 2.— P. 185-203.

46. Inverse problems of electromagnetic sounding: Gradient medium and periodic boundary / N. Yashina, A. Brovenko, P. Melezhik et al. // International Kharkiv Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves (MSMW). — IEEE, 2016. —P. 21-24.

47. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. — Springer-Verlag New York, 1998. —Vol. 127 of Applied Mathematical Sciences.

48. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations (Edition 3). -Springer International Publishing, 2017.— Vol. 127 of Applied Mathematical Sciences.

49. Isakov V., Meyers J. On the inverse doping profile problem // Inverse Problems and Imaging. - 2012. - Vol. 6. — P. 465-486.

50. Ivanchov N. I. On the Determination of the Time-Dependent Leading Coefficient in a Parabolic Equation // Siberian Mathematical Journal. — 1998. — Vol. 39, no. 3.-P. 539-550.

51. Jiang T. S., Li M., Chen C. S. The Method of Particular Solutions for Solving Inverse Problems of a Nonhomogeneous Convection-Diffusion Equation With

Variable Coefficients // Numerical Heat Transfer Part A. -- 2012. -- Vol. 61, no. 5.-P. 338-352.

52. Johansson T., Lesnic D. Determination of a spacewise dependent heat source // Journal of computational and applied mathematics. — 2007. — Vol. 209. — P. 76-80.

53. Jonas P., Louis A. K. Approximate inverse for a one-dimensional inverse heat conduction problem // Inverse Problems. — 2000. — Vol. 16, no. 1. —P. 175185.

54. Kabanikhin S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of Inverse and Ill-posed Problems.— 2008.— Vol. 16. —P. 317-357.

55. Kabanikhin S. I. Inverse and Ill-posed Problems Theory and Applications. Inverse and Ill-Posed Problems Series 55. — Walter de Gruyter Berlin, 2011.

56. Kabanikhin S. I., Krivorotko O. I. An Algorithm for Source Reconstruction in Nonlinear Shallow-Water Equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics.-2018. —Vol. 58, no. 8. —P. 1334-1343.

57. Kabanikhin S. I., Shishlenin M. A. Recovering a Time-Dependent Diffusion Coefficient from Nonlocal Data // Numerical Analysis and Applications. --2018.-Vol. 11, no. 1.-P. 38-44.

58. Kaipio J., Somersalo E. Statistical and Computational Inverse Problems. Applied Mathematical Sciences. — Springer Science & Business Media, New York, 2005.-P. 340.

59. Kamynin V. L. The inverse problem of the simultaneous determination of the right-hand side and the lowest coefficient in parabolic equations with many space variables // Mathematical Notes. — 2015. — Vol. 97, no. 3-4.— P. 349361.

60. Kamynin V. L. Inverse problem of determining the right-hand side in a degenerating parabolic equation with unbounded coefficients // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2017. — Vol. 57, no. 5.— P. 833842.

61. Kamynin V. L. On the stabilization to zero of the solutions of the inverse problem for a degenerate parabolic equation with two independent variables // Mathematical Notes. —2017. —Vol. 101, no. 5-6. —P. 974-983.

62. Kamynin V. L., Saroldi M. Nonlinear inverse problem for a higher-order parabolic equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 1998.-Vol. 38, no. 10.-P. 1615-1623.

63. Karchevsky A. L., Oralbekova Z. O., Iskakov K. T. Solution of the inverse problem of subsurface electric exploration for horizontally stratified medium // Journal of Applied Mathematics.— 2013.— Vol. 2013. —P. 432121.

64. Karchevsky A. L., Turganbayev Y. M. amd Rakhmetullina S. J., Beldeubayeva Z. H. T. Numerical solution of an inverse problem of determining the parameters of a source of groundwater pollution // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications.— 2017.— Vol. 5, no. 1. —P. 53-73.

65. Kentaro I. Numerical solution of backward heat conduction problems by a high order lattice-free finite difference method // Journal of the Chinese Institute of Engineers. —2004. —Vol. 27, no. 4. —P. 611-620.

66. Kettle L. O. Numerical solution of partial differential equations. — 2011.—Access mode: http://espace.library.uq.edu.au/view/ UQ:239427.

67. Korshun K. V. On some Inverse Problem for a Parabolic Equation with a

Parameter // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2015.-Vol. 8, no. 3.-P. 281-290.

68. Krylov N. V. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces. Graduate Studies in Mathematics. — American Mathematical Society, 2008.

69. Kuttler C. Reaction-Diffusion Equations with Applications. — Sommersemester 2011.

70. Lesnic D., Elliott L., Ingham D. B. An inverse coefficient identification problem for the heat equation // Inverse Problems in Engineering Mechanics. -- 1998. -P. 11-16.

71. Lesnic D., Elliott L., Ingham D. B. An iterative boundary element method for solving the backward heat conduction problem using an elliptic approximation // Inverse Problems in Engineering. — 1998. — Vol. 6, no. 4. — P. 255 - 279.

72. Li M., Jiang T. S., Hon Y. C. A meshless method based on RBFs method for nonhomogeneous backward heat conduction problem // Engineering Analysis with Boundary Elements.— 2010.— Vol. 34, no. 9. —P. 785-792.

73. Liao W Y, Dehghan M, Mohebbi A. Direct Numerical Method for an Inverse Problem of a Parabolic Partial Differential Equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 232, no. 2. — P. 351-360.

74. Lieberman G. M. Second Order Parabolic Partial Differential Equations. — World Scientific, 1996.

75. Lions P. L. Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. — Pitman Publishing, 1982.

76. Liu X., Chen H. Tang, Yang Sh. H. Complexiton Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations Using a New Auxiliary Equation // British Journal of Mathematics & Computer Science.— 2014.— Vol. 4, no. 13. —P. 1815-1826.

77. Llibre J., Ramirez R. Inverse Problems in Ordinary Differential Equations and Applications. — Birkhuser Basel, 2016.— Vol. 313 of Progress in Mathematics.

78. Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems / A. N. Tikhonov, A. Goncharsky, V. V. Stepanov, A. G. Yagola. Mathematics and Its Applications. — Springer Netherlands, 1995.

79. Numerical solution of an inverse filtration problem / P. N. Vabishchevich, V. I. Vasil'ev, M. V. Vasil'eva, D. Ya. Nikiforov // Lobachevskii Journal of Mathematics. —2016. —Vol. 37, no. 6.-P. 777-786.

80. Osipov Y. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. — Gordon and Breach, 1995. — ISBN: 9782881249440.

81. Payne L. E. Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations.— Society for Industrial and Applied Mathematics, 1987. — Vol. 22 of CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics.

82. Pizlo Z. Perception viewed as an inverse problem // Vision Research. — 2001. — Vol. 41, no. 24.-P. 3145-3161.

83. Prato M., Zanni L. Inverse problems in machine learning: An application to brain activity interpretation // Journal of Physics: Conference Series. — 2008. — Vol. 135, no. 1.-P. 012085.

84. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. — Marcel Dekker, Inc New York, 2000. — Vol. 231 of Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics.

85. Reaction-Diffusion Equations with Applications to Economic Systems / S. Ganguly, U. Neogi, A. S. Chakrabarti, A. Chakraborti // Econophysics and Socio-physics: Recent Progress and Future Directions / Ed. by Frederic Abergel,

Hideaki Aoyama, Bikas K. Chakrabarti et al. — Springer International Publishing, 2017.-P. 131-144.

86. Rezzolla L. Numerical Methods for the Solution of Partial Differential Equations (Lecture Notes).— 2011.

87. Ruan Z., Sun H. Numerical Solution of a Kind of Boundary Inverse Problem for Parabolic Equation // 2010 Third International Joint Conference on Computational Science and Optimization. — Vol. 2. —IEEE, 2010. —P. 99-102.

88. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Inverse and Ill-Posed Problems Series 52. — Walter de Gruyter Berlin, 2008.

89. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Vasili'ev V. I. Iterative solution of a retrospective inverse problem of heat conduction // Matematicheskoe Mod-elirovanie. —1997. —Vol. 9, no. 5. —P. 119-127.

90. Sazaklioglu A. U., Ashyralyev A., Erdogan A. S. Existence and Uniqueness Results for an Inverse Problem for Semilinear Parabolic Equations // Faculty of Sciences and Mathematics.— 2017.— Vol. 31, no. 4. —P. 1057-983.

91. Sazaklioglu A. U., Ashyralyev A., Erdogan A. S. On the unique solvability of an inverse problem for a semilinear equation with final overdetermination // AIP Conference Proceedings.— 2017.— Vol. 1795, no. 1. —P. 020035.

92. Shishlenin M. A., Kasenov S. E., Askerbekova Z. A. Numerical algorithm for solving the inverse problem for the Helmholtz equation // Communications in Computer and Information Science.— 2019.— Vol. 998. —P. 197-207.

93. Solving of the coefficient inverse problem for a nonlinear singularly perturbed two-dimensional reaction-diffusion equation with the location of moving front data / D. V. Lukyanenko, V. B. Grigorev, V. T. Volkov, M. A. Shishlenin //

Computers and Mathematics with Applications. — 2019. — Vol. 77, no. 5.— P. 1245-1254.

94. Starostin N. P., Tikhonov R. S. Numerical solution of the inverse problem of thermal diagnostics of friction in a system of radial sliding bearings with an account of rotation of the shaft // Inverse Problems in Science and Engineering. --2019.-Vol. 6.-P. 1-12.

95. Steven N. E., Philip B. S. Inverse problems as statistics // Inverse Problems. — 2002.-Vol. 18, no. 4.-P. R55-R97.

96. Su L. D. Finite difference method for inverse problem of simultaneous determi-antion of right-hand side and lowest coefficient // Mathematical note NEFU. — 2015.-Vol. 22, no. 4.-P. 91-98.

97. Su L. D., Jiang Z. W., Jiang T. S. Numerical method based on radial basis functions for solving reaction-diffusion equations // Information Technology, Networking, Electronic and Automation Control Conference. -- IEEE, 2016. -P. 893-896.

98. Su L. D., Vabishchevish P. N., Vasil'ev V. I. The Inverse Problem of the Simultaneous Determination of the Right-Hand Side and the Lowest Coefficients in Parabolic Equations // Numerical Analysis and Its Applications / Ed. by Ivan Dimov, Istvan Farago, Lubin Vulkov. — Lecture Notes in Computer Science. — Springer International Publishing, 2017.— P. 633-639.

99. Su L. D., Vasil'ev V. I. Iterative identification of the spacewise right side of a parabolic equation // Mathematical note NEFU. — 2019. — Vol. 26, no. 1. — P. 81-92.

100. Tanaka M., Matsumoto T., Yamamura H. Parameters Identification of an Elastic Plate Subjected to Dynamic Loading by Inverse Analysis Using BEM and

Kalman Filter // Inverse Problems in Engineering Mechanics III. — 2002. — P. 169-180.

101. Tarantola A. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation. Other Titles in Applied Mathematics. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005.

102. Tikhonov A. N. On the stability of inverse problems // Doklady Akademii Nauk SSSR.-1943.-Vol. 39, no. 5.-P. 195-198.

103. Tikhonov A. N., Leonov A. S., Yagola A. G. Nonlinear Ill-Posed Problems. Applied Mathematical Sciences. — Springer Netherlands, 1998.

104. Tikhonov A. V., Arsenin V. Y. Solution of Ill-posed Problems. Scripta series in mathematics. -- Vh Winston, 1977.

105. PDEs, part 1: Introduction and elliptic PDEs : Rep. / KTH Royal Institute of Technology ; Executor: A. K. Tornberg : 2011.

106. Trenker M., Sobieczky H. Using the Gasdynamic Knowledge Base for Aerodynamic Design and Optimization in the Sonic Speed Regime // Inverse Problems in Engineering Mechanics III. — 2002. — P. 365-374.

107. A Uniqueness Result for the Identification of a Time-Dependent Diffusion Coefficient / A. Fraguela, J. A. Infante, A. M. Ramos, J. M. Rey // Inverse Problem.-2013. —Vol. 29, no. 12. —P. 125009.

108. Vabishchevich P. N. Numerical solution of the problem of the identification of the right-hand side of a parabolic equation // Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika).-2003.-Vol. 47, no. 1.-P. 27-35.

109. Vabishchevich P. N. Iterative computational identification of a space-wise dependent source in parabolic equation // Inverse Problems in Science and Engineering. —2017.-Vol. 25, no. 8. —P. 1168-1190.

110. Vabishchevich P. N. Iterative computational identification of a space-wise dependent source in parabolic equation // Inverse Problems in Science and Engineering.—2017.-Vol. 25, no. 8. —P. 1168-1190.

111. Vabishchevich P. N. Computational identification of the lowest space-wise dependent coefficient of a parabolic equation // Applied Mathematical Modelling.-2019.-Vol. 65.-P. 361-376.

112. Vabishchevich P. N., Klibanov M. V. Numerical identification of the leading coefficient of a parabolic equation // Differential Equations. — 2016. — Vol. 52, no. 7.-P. 855-862.

113. Vabishchevich P. N., Vasil'ev V. I. Numerically solving the identification problem for the lower coefficient of a parabolic equation // Mathematical notes of NEFU. —2014. —Vol. 21, no. 4. —P. 71-87.

114. Vabishchevich P. N., Vasil'ev V. I. Computational algorithms for solving the coefficient inverse problem for parabolic equations // Inverse Problems in Science and Engineering. —2016. —Vol. 24, no. 1. —P. 42-59.

115. Vabishchevich P. N., Vasil'ev V. I., Vasil'eva M. V. Computational identification of the right-hand side of a parabolic equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics.— 2015.— Vol. 55, no. 6. —P. 1015-1021.

116. Vasil'ev V. V., Vasily'eva M. V., Kardashevsky A. M. The Numerical Solution of the Boundary Inverse Problem for a Parabolic Equation // AIP Conference Proceedings.-2016.-Vol. 1773.-P. 100010.

117. Wunsch C. The Ocean Circulation Inverse Problem. — Cambridge University Press, New York, 1996. — P. 443.

118. Yang Ch. Y., Chen Ch. K. The boundary estimation in two-dimensional inverse

heat conduction problems // Journal of Physics D: Applied Physics. — 1996. — Vol. 29, no. 2.-P. 333-339.

119. Yeih W., Koya T., Mura T. An Inverse Problem in Elasticity With Partially Overprescribed Boundary Conditions, Part I: Theoretical Approach // Journal of Applied Mechanics. — 1993. — Vol. 60, no. 3. — P. 595-600.

120. Yin H. M. Solvability of a Class of Parabolic Inverse Problems // Advances in Differential Equations. — 1996.— Vol. 1, no. 6. —P. 1005-1023.

121. Zhou S. P., Cui M. A New Algorithm for Determining the Leading Coefficient of in the Parabolic Equation // International Journal of Computer and Information Engineering. — 2009. — Vol. 3, no. 7. —P. 1798-1802.

122. An iterative boundary element method for solving the one-dimensional backward heat conduction problem / N. S. Mera, L. Elliott, D. B. Ingham, D. Lesnic // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2001. — Vol. 44, no. 10.-P. 1937-1946.

Публикации автора

[A1] L.-D. Su Finite difference method for the inverse problem of the simultaneous determination of the right-hand side and the lower coefficient in parabolic equations // Mathematical Notes of NEFU, 22(4), pp. 91-98, 2015.

[A2] V. I. Vasiliev, L.-D. Su Numerical method for solving boundary inverse problem of one-dimensional parabolic equation // Mathematical Notes of NEFU, 24(2), pp. 108-117, 2017.

[A3] Л.-Д. Су, В. И. Васильев Итерационная идентификация стационарной правой части параболического уравнения // Математические Заметки СВФУ, 26(1), pp. 81-90, 2019.

[A4] L.-D. Su, Z.-W. Jiang, T.-S. Jiang. Numerical method based on radial basis functions for solving reaction-diffusion equations, in 2016 IEEE Information Technology, Networking, Electronic and Automation Control Conference (ITNEC) // Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., pp. 893-896, 2016. [A5] L.-D. Su, P. N. Vabishchevish, V. I. Vasiliev The inverse problem of the simultaneous determination of the right-hand side and the lower coefficient in parabolic equation, in Numerical Analysis and Its Applications // Springer International Publishing, pp. 633-639, 2017.

[A6] L.-D. Su, T.-S. Jiang Numerical method for solving nonhomogeneous backward heat conduction problem // International Journal of Differential Equations, Volume 2018, Article ID 1868921, 11 pages.

[A7] L.-D. Su A radial basis function (RBF)-finite difference (FD) method for the backward heat conduction problem // Applied Mathematics and Computation, 354(1), pp. 232-247, 2019.

[A8] L.-D. Su Numerical solution of two-dimensional nonlinear sine-Gordon equation using localized method of approximate particular solutions // Engineering Analysis with Boundary Elements, 108, pp. 95-107, 2019.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.