Численные исследования процессов тепло- и массопереноса в установках по выращиванию кристаллов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Цивинская, Юлия Сергеевна

• Цивинская, Юлия Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цивинская, Юлия Сергеевна

Введение.

Глава 1. Использование экспоненциальных схем в алгоритмах решения уравнений Навье-Стокса и конвективного теплопереноса.

§ 1.1. Экспоненциальная схема для решения уравнений Навье-Стокса и конвективного теплопереноса.

§ 1.2. Результаты расчетов двумерных тестовых задач.

§1.3. Использование экспоненциальных схем для решения трехмерных задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса.

§ 1.4. Выводы.

Глава 2. Исследование конвекции раствор-расплава при выращивании кристаллов в случае неоднородного разогрева боковых стенок ростового тигля.

§ 2.1. Математическая модель ростовой установки для получения кристаллов методом Чохральского при неоднородном разогреве боковых стенок тигля.

§ 2.2. Алгоритм численного решения.

§ 2.3. Анализ температурного поля и структуры течений в условиях циклически изменяющегося разогрева боковых стенок ростового тигля

§ 2.4. Анализ условий роста кристалла при стационарном неоднородном разогреве боковых стенок ростового тигля.

§ 2.5. Выводы.

Глава 3. Процессы тепло- и массопереноса при гидротермальном росте кристаллов.

§ 3.1. Математическая модель процессов конвективного тепло- и массопереноса в автоклаве.

§ 3.2. Описание численного алгоритма.

§ 3.3. Численные исследования процессов гидротермального синтеза при получении искусственных изумрудов.

§ 3.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные исследования процессов тепло- и массопереноса в установках по выращиванию кристаллов»

Настоящая работа посвящена численному моделированию и исследованию структур течений, процессов тепло- и массопереноса в установках по выращиванию монокристаллов, а также развитию и разработке алгоритмов реализации возникающих при этом задач.

Получение монокристаллов является сложной проблемой, так как на процесс влияет множество различных факторов, связанных с конвекцией, физическими и химическими свойствами веществ, особенностями технологических установок [21]. Вследствие повышения требований к качеству кристаллов для современной электроники и лазерных установок, становится важным управление ростовыми процессами, напрямую зависящими от конвективного тепломассопереноса.

Принципиальные трудности в управлении процессами гидродинамики, тепло- и массообмена при росте кристаллов вызваны тем, что все они взаимосвязаны. В то же время на практике во многих случаях достаточно иметь представление о структуре существующих течений, распределении температурных полей и их временных характеристиках. Изучение процессов в такой постановке является актуальным при разработке новых технологий ростовых процессов.

В настоящее время самое широкое распространение получили методы математического моделирования изучаемых процессов, так как проведение физических экспериментов с использованием реальных ростовых установок требует больших материальных затрат и сопровождается технологическими трудностями. Сложность рассматриваемых задач требует создания двух- и трехмерных моделей с использованием уравнений Навье-Стокса. В этих условиях для получения решений с нужной точностью используется аппарат численных методов с применением ЭВМ.

На сегодняшний день численное моделирование с использованием уравнений Навье-Стокса сформировалось как самостоятельное направление в механике жидкости, ее приложениях к гидродинамике, машиностроению, энергетике, а также к изучению природных явлений. Постоянные требования все более точных расчетов характеристик рабочих процессов при поиске оптимальных конструкторских и технологических решений делают необходимым развитие математических моделей, а также алгоритмов их реализации [22, 24, 78].

Целью диссертационной работы является исследование возможности использования экспоненциальных разностных схем в алгоритмах численной реализации уравнений Навье-Стокса и конвективного тепломассопереноса, а так же применение таких алгоритмов для анализа структуры течения и температурного поля в жидкости при получении кристаллов в ростовых установках.

Новизна исследований состоит в следующем:

1. Проведен анализ применения экспоненциальных разностных схем, полученных после преобразования уравнений Навье-Стокса к самосопряженному виду, в алгоритмах численной реализации многомерных задач.

2. Исследована структура пространственного (трехмерного) течения и процессов конвективного тепломассопереноса в раствор-расплаве при получении кристаллов методом Чохральского в условиях стационарного и нестационарного азимутально-неоднородного нагрева боковых стенок ростового тигля.

3. Впервые выполнено комплексное численное исследование пространственных полей температуры, структуры течения и концентрации растворенного вещества в установке гидротермального роста кристаллов при описании системы в виде цилиндрического сосуда, заполненного жидкостью и частично пористым слоем, при наличии затравки.

В первой главе диссертационной работы проводится анализ использования экспоненциальных схем в алгоритмах численной реализации уравнений Навье-Стокса и конвективного тепломассопереноса.

При описании поведения вязкой жидкости используются уравнения Навье-Стокса. Впервые эти уравнения были сформулированы Навье в 1821 году как обобщение уравнений Эйлера, полученных в 1751 году. Позднее, в 1845 году, Стоксом была представлена их окончательная запись. Однако до сих пор отсутствует общий аналитический метод получения решений уравнений Навье-Стокса.

В моделях, рассматриваемых в работе, предполагается, что жидкость вязкая и несжимаемая, что ее плотность зависит только от температуры и не зависит от давления, другие физические свойства вещества постоянны для рассматриваемого объема жидкости. Эти условия наряду с предположением о малости отклонений системы от состояния гидростатического равновесия составляют основу приближения Обербека-Буссинеска [5,12].

На сегодняшний день имеется большое количество методов решения уравнений Навье-Стокса, применяемых, главным образом, для решения двумерных задач. Чаще всего при этом используются переменные вихрь скорости - функция тока [3,18,22,24,38,40,64,85]. Однако в случае расчетов пространственных течений их описание через вихрь скорости и функцию тока приводит к большому числу зависимых переменных. К тому же постановка граничных условий для вихря скорости на твердой поверхности затруднительна. Поэтому, как правило, расчеты пространственных течений несжимаемой жидкости проводятся в простейших переменных - давление, составляющие скорости [11,47,56,58]. Существующая при этом проблема определения давления может быть разрешена одним из двух основных способов.

Во-первых, давление может вычисляться из уравнения Пуассона с использованием прямых или итерационных методов отдельно от б уравнений движения [24]. Другой способ заключается в том, что давление рассчитывается одновременно со скоростью. Например, метод искусственной сжимаемости, впервые описанный в [46], суть которого заключается в добавлении производной по времени от давления в уравнение неразрывности. При этом невязкая часть уравнений Навье-Стокса становятся гиперболической по времени и для нахождения стационарных решений модифицированной системы можно применять метод установления. Распространение данного подхода на нестационарный случай возможно с помощью так называемого "двойного шага по времени" [43,61]. Наряду с этим, для определения давления одновременно со скоростью в последние годы все более широкое применение находят так называемый алгоритм Узавы [41,44,45,53] и метод Gauge [16,48].

Исторически после появления вычислительных машин методы конечных разностей (МКР) были наиболее распространенным аппаратом решения задач математической физики. Однако впоследствии пальма первенства в теоретических исследованиях и практическом применении (особенно за рубежом) перешла к методам конечных элементов (MIO), основанном на аппроксимации вариационных постановок, что отражается в количестве статей и монографий (см. обширную библиографию в [1]).

За последние десятилетия активизировались исследования по методам конечных объемов (МКО) [65], или балансным методам. В определенном смысле эти алгоритмы сближают технологии методов конечных разностей и конечных элементов. Методологически же они представляют собой «новую волну» балансных, или консервативных, разностных схем, основанных на приближениях интегральных соотношений, являющихся следствием дифференциальных уравнений. Метод баланса (интегро-интерполяционный метод) был предложен Самарским A.A. в работе [28] в конце 50-х годов и активно используется в вычислительной практике [9,17,25].

Применению методов конечных разностей для решения задач механики жидкости и газа посвящена обширная литература. Упомянем наиболее известные монографии российских и зарубежных авторов С.К. Годунова и B.C. Рябенького [6], Р.Д. Рихтмайера и К.Мортона [23], В. Вазова и Дж. Форсайта [2], Г.И. Марчука [13-15] и A.A. Самарского [26,27,29-36] с соавторами, К. Флетчера [38], П. Роуча [24].

Как правило, сеточные методы обосновываются и применяются к численному решению дифференциальных задач, относительно которых известны существование, единственность, корректность и гладкость решения. Однако иногда вычисления приходится проводить в таких сложных случаях, когда теоретические вопросы являются открытыми. Тогда адекватность расчетов может основываться на методически грамотно построенных вычислительных экспериментах, когда разностные решения на последовательности сгущающихся сеток подтверждают практически и устойчивость, и сходимость результатов к предельным значениям.

На сегодняшний день нашли применение два направления при построении разностных уравнений. Одно из них заключается в раздельной аппроксимации первой и второй производных. При этом первая производная аппроксимируется направленными разностями против потока или центральными разностями, а вторая производная аппроксимируется стандартным оператором на трехточечном шаблоне [6,19,35]. Другое направление заключается в совместной аппроксимации первой и второй производных. Здесь схема строится после приведения уравнения к дивергентному виду, когда вводится суммарный поток, складывающийся из конвективного и диффузионного потоков [9], либо получение схемы обусловлено преобразованием исходного уравнения к самосопряженному виду[20,59].

Известно, что замена первых производных центральными разностями позволяет получить аппроксимацию второго порядка. Однако 8 такой подход непригоден при аппроксимации на трехточечном шаблоне второй производной с малым параметром при ней, так как для получения монотонной схемы существуют ограничения на шаг пространственной сетки [8]. Избежать трудностей позволяет использование направленных против потока разностей для аппроксимации первой производной. Однако, односторонние разности обеспечивают на равномерной сетке аппроксимацию лишь первого порядка. При этом появляется так называемая схемная вязкость, которая может превысить вязкость, описываемую дифференциальным уравнением [8].

Многие исследования посвящены разработке разностных схем, соединяющих достоинства схем с центральными разностями и схем с направленными разностями - второй порядок аппроксимации плюс безусловная монотонность [31]. Основным методом построения монотонных разностных схем для задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса и конвективного тепло- и массопереноса, стала их регуляризация. Принцип регуляризации заключается в том, что сначала для исходного уравнения строится простейшая разностная схема, не обладающая необходимыми свойствами аппроксимации, монотонности, устойчивости и т.д. Улучшение качества разностной схемы в необходимую сторону достигается за счет возмущения (регуляризации) коэффициентов, после чего она приводится к некой канонической форме, свойства которой исследованы [27].

Один из способов регуляризации, когда в качестве возмущающих функций используются экспоненциальные функции, называется методом экспоненциальной подгонки [7]. Первые исследования и применение полученных таким образом схем, имеющих коэффициенты в виде экспоненциальных функций, связано с именами A.M. Ильина [8,62], Шарфеттера и Гуммеля [63].

В настоящей работе рассматриваются схемы, получение которых обусловлено преобразованием исходных уравнений (записанных как в 9 дивергентной форме, так и в недивергентной) к самосопряженному виду [20,59]. Получаемые после аппроксимации преобразованных уравнений разностные схемы с учетом вида их коэффициентов называются экспоненциальными [31]. Достаточно подробно теоретический анализ таких аппроксимаций приведен в работе А.А. Самарского и П.Н. Вабищевича [31]. К их достоинствам надо отнести то, что на равномерной пространственной сетке они аппроксимируют уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска и конвективного теплопереноса со вторым порядком точности, а в случае использования неявного алгоритма являются монотонными при любом соотношении пространственных и временных шагов. Однако широкого применения на практике схемы такого вида пока не получили, и их использование требует своего дальнейшего изучения и анализа.

В первом параграфе настоящей главы структура предлагаемого алгоритма представлена на примере одномерной модельной задачи. После преобразования уравнений Навье-Стокса и конвективного теплопереноса, записанных в недивергентном виде, к самосопряженному виду и дальнейшей их аппроксимации можно получить разностную схему, которая является монотонной независимо от того, положительное или отрицательное значение имеет скорость, а также при любом соотношении пространственных и временных шагов. Аппроксимация уравнений Навье-Стокса записанных в дивергентном виде и преобразованных к самосопряженному виду, позволяет получить систему с диагональным преобладанием по столбцам. Показано, что на равномерной пространственной сетке рассмотренные разностные схемы имеют порядок о точности 0(т, к ). Проведено сравнение численного решения с точным на примере одномерной задачи на основе уравнения Бюргерса.

Предложенный алгоритм был апробирован при решении ряда тестовых задач. Во втором параграфе представлен результат, полученный при реализации двумерной тестовой задачи о конвекции жидкости со свободной поверхностью в полости прямоугольного сечения. Рассматривается решение широко известной тестовой задачи о конвективном переносе тепла в полости прямоугольного сечения при подогреве сбоку [22,37], полученное с помощью предложенного алгоритма. Дискретизация системы уравнений проводилась на разнесенных равномерных пространственных сетках (по аналогии с методами типа MAC и SIMPLE [52,114]). Для реализации системы линейных алгебраических уравнений применялись итерационные методы.

Численное решение уравнений конвективного теплопереноса является составной частью реализации моделей с использованием уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска. Поэтому во втором параграфе демонстрируются результаты решения еще одной модельной задачи описываемой двумерным уравнением конвективного теплопереноса в полярных координатах. Эта же задача была решена с использованием треугольных сеток. Использование экспоненциальных схем при численной реализации задач на треугольных сетках упрощает аппроксимацию уравнений и дает возможность получать результаты с высокой точностью.

В третьем параграфе исследуется использование экспоненциальных схем для решения трехмерных задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса. Рассматривается модельная задача о конвекции жидкости со свободной поверхностью в цилиндрическом сосуде.

Проводится анализ применимости экспоненциальных схем при реализации моделей, использующих трехмерные уравнения. С этой целью рассматривается реализация описанного алгоритма в случае решения тестовой задачи о конвекции жидкости со свободной поверхностью в объеме, имеющем форму куба. Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают возможность использования экспоненциальных схем для численной реализации уравнений Навье

Стокса в приближении Буссинеска, описывающих ламинарные течения. И

Вторая глава посвящена исследованию новых технологий управления процессами тепло- и массопереноса при получении монокристалла методом Чохральского. Изделия и элементы, изготовленные из монокристаллов, применяются в качестве различных преобразователей в радиоэлектронике, квантовой электронике, акустике, вычислительной технике и др. Первоначально в технике использовались природные монокристаллы, однако их запасы ограничены, а качество не всегда достаточно высоко. В то лее время многие ценные свойства были найдены только у синтетических кристаллов. Поэтому появилась необходимость искусственного выращивания монокристаллов.

Поиску способов управления конвективным тепломассопереносом в ростовых установках во всем мире уделяется большое внимание, поскольку именно эти процессы во многом определяют возможность получения кристаллов с заданными свойствами. Все способы можно разделить на две категории: контактные и бесконтактные. Первые реализуются путем механического вращения кристалла и/или тигля, установкой различных перегородок, мешалок, формообразователей и т. п. [71,76,78,88,89]. К контактным способам можно также отнести воздействие низкочастотных (десятки герц) вибраций, в результате которых в объеме жидкости возникают макротечения, что позволяет подавлять температурные осцилляции на фронте кристаллизации и контролировать распределение примесей в кристалле [67,87].

Вторая категория - бесконтактные способы - основывается на воздействии физических полей на процессы тепломассопереноса.

Таковыми могут быть: гравитационное поле, магнитное электромагнитное) и тепловое. Исследование влияния гравитационного поля на образование кристаллов связано, главным образом, с космическим материаловедением, которое выделилось в самостоятельную область научных исследований. Вместе с тем эксперименты показали, что существующие на борту космических аппаратов нерегулярные

12 микроускорения, связанные с работой двигателей ориентации и стабилизации, а также с жизнедеятельностью экипажей, существенно влияют на процессы кристаллообразования, приводя к неоднородности получаемых изделий [69,70,94]. Активно ведутся работы по экспериментальному исследованию и моделированию воздействия магнитных (электромагнитных) полей на конвективные процессы при выращивании кристаллов. Однако такой подход справедлив лишь в случае электропроводящих сред [68,75].

Несколько лет назад А.Е. Кохом была предложена, численно и экспериментально обоснована оригинальная идея выращивания кристаллов в азимутально распределенных стационарных и вращающихся (Heat Field Rotation Method - HFRM) тепловых полях. Суть HFRM заключается в разогреве ростового тигля вертикальными нагревательными элементами, равномерно расположенными по периметру его боковой стенки [72,73,90,91]. Последовательное переключение тепловых источников изменяет температурное поле в жидкости и способствует возникновению в ней азимутальных течений, усиливая перемешивание. Действенность такого подхода демонстрируют результаты, полученные при выращивании кристаллов CsLiB6Oio в циклически меняющемся тепловом поле [90]. Отказ от механического вращения кристалла открывает возможность частичной или полной герметизации ростового пространства, повышает стерильность процесса и избавляет установку от возможных вибраций.

В работе [80] рассмотрена структура течений в цилиндрическом сосуде при циклически меняющемся неоднородном разогреве его боковых стенок в приложении к технологии выращивания кристаллов. Результатами расчетов подтверждена возможность применения бесконтактного метода для гомогенизации раствор-расплава, что значительно упрощает технологию, так как отпадает необходимость переоснащения ростовой установки в разогретом состоянии - замена мешалки на затравкодержатель.

В [74,92,93] приводятся результаты численного моделирования нестационарной термогравитационной конвекции при получении монокристалла методом Чохральского в условиях циклически меняющегося температурного поля в расплаве. На основе анализа данных, полученных в ходе расчетов, сделаны выводы о существовании режимов теплового поля, обеспечивающих максимальное перемешивание кристаллизационной среды при Рг«1. Влияние НИУМ на процессы тепломассопереноса в расплавах может способствовать разрушению диффузионного слоя у поверхности кристалла и уменьшению неоднородности распределения примеси в получаемых изделиях.

Вместе с тем особенности конвекции и теплопереноса при использовании ПРИМ в процессе выращивания монокристалла требуют детального изучения. Проводить достаточно подробные исследования взаимосвязанных процессов конвективного тепломассообмена в расплавах в условиях реальной технологии сложно или невозможно. Это обусловливает, так как течения пространственные, необходимость разработки соответствующей трехмерной математической модели, алгоритма ее решения, позволяющего получать решения, хорошо совпадающие с экспериментальными данными, и проведение вычислительных экспериментов в широком диапазоне меняющихся параметров [79,83].

В первом параграфе второй главы рассматривается математическая модель применения НБИМ при получении монокристалла методом Чохральского. Во втором параграфе описан алгоритм ее реализации с использованием экспоненциальной схемы. Численное моделирование процессов конвекции во время роста кристалла основано на совместном решении нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска и теплопереноса при заранее определенных условиях нагрева на границе расчетной области.

В третьем и четвертом параграфах приведены результаты, полученные при исследовании зависимости конвективных течений в кристаллизационной среде, обладающей свойствами В^БЮго (В8О) с высокой вязкостью (Рг=26), от параметров внешнего теплового поля [77,81].

Третья глава диссертации посвящена исследованию процессов тепло- и массопереноса при гидротермальном росте кристаллов. Гидротермальный рост широко применяется при промышленном выращивании кристаллов [107,111,112]. В этом процессе используется водный раствор под высоким давлением при температуре, необходимой для растворения и рекристаллизации веществ, нерастворимых при обычных условиях. Привлекательность такой технологии заключается в том, что температура, при которой проходит рабочий процесс, сравнительно не высока, и поэтому растущий кристалл испытывает меньшую температурную деформацию, а также может содержать меньшую плотность дислокаций [107].

Обычно гидротермальная система состоит из высокого цилиндрического сосуда, частично заполненного пористым питающим веществом, растворителя, затравки (затравочный кристалл, выполняющий роль центра кристаллизации) и перегородки. Мелкие частицы питающего вещества находятся в нижней части сосуда, а затравки размещаются в его верхней части. В сосуд помещается перфорированная металлическая перегородка для разделения областей растворения и роста, и он наполняется определенным количеством жидкости. Затем его вертикально помещают в автоклав (аппарат для проведения различных процессов при нагреве и под давлением выше атмосферного), разогреваемый таким образом, чтобы нижняя часть с растворяющимся веществом была более горячей, чем верхняя область роста кристалла. При определенном давлении и температуре частицы вещества в нижней части сосуда начинают растворяться, постепенно насыщая раствор, который

15 переносится конвективными течениями в зону роста. Кристалл растет в результате осаждения растворенного материала на пластинки затравок, так как вследствие более низкой температуры концентрация насыщения в этой области ниже. Процесс является медленным и для получения полноразмерного кристалла требуется несколько недель. На сегодняшний день существующие знания о росте кристаллов в гидротермальной системе являются результатом, полученным после многочисленных проб и ошибок [109].

В последнее время были предприняты попытки численного моделирования процессов, происходящих в автоклаве. Например, Roux и др. [117] были разработаны двумерная и трехмерная модели гидротермального роста. Однако в этой работе рассматривается сосуд с квадратным сечением вместо используемого в реальных системах цилиндрического автоклава. Chen и др. [108-110] была предложена комплексная 3-хмерная модель гидротермального роста. Конвективная система в автоклаве рассматривается как комбинация жидкого и пористого слоев. Однако расчеты проведены при отсутствии затравок и без учета изменения концентрации вещества в сосуде. В работе Li и др. [112] рассматриваются двумерные и трехмерные осесимметричные модели для изучения процессов в промышленных автоклавах, которые имеют большое соотношение высоты к диаметру - до 20. В результате трехмерного моделирования авторы заключили, что поток не является трехмерным, поэтому в статье представлены только результаты двумерного моделирования. В работе исследован перенос тепла через перегородку, сделан вывод, что он пренебрежимо мал, а перенос тепла практически полностью осуществляется потоком. Перенос массы, как и у предыдущих авторов, не учитывается.

В третьей главе настоящей работы рассматриваются процессы в системе, которая используется для выращивания кристаллов берилла. До сих пор нет полного представления о характере циркулирующих потоков в

16 сосуде, который подогревается со стороны боковой вертикальной стенки, и почти изолирован сверху и снизу. Ввиду большой сложности, и даже невозможности, провести измерения в реальной гидротермальной системе, температурное и концентрационное распределения остаются неизвестными. Единственная доступная информация - это размер и качество полученных кристаллов, а также затраченное на их рост время. Поэтому цель исследования на основе численной реализации модели [109,116] - рассмотреть конфигурации течения, температурного поля, а также изменение концентрации растворенного вещества выше пористой среды при гидротермальном росте кристаллов [100,103,115].

В первом параграфе настоящей главы описана математическая модель гидротермальной системы на основе объединения уравнений Навье-Стокса и Дарси-Бринкмана-Форчхеймера для получения общего решения в жидком и пористом слое. Так как процесс протекает очень медленно, то он предполагается квазистационарным. Влияние растворимости и роста, а также концентрации питающего вещества на конвекцию не учитывается. Алгоритм численной реализации приведен во втором параграфе. В третьем параграфе представлены результаты анализа течения, распределения температуры и концентрации растворенного минерала.

Работа была выполнена при поддержке грантом РФФИ 02-05-64280.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Попову Владимиру Николаевичу за постоянное внимание и руководство работой.

Глава Использование экспоненциальных схем в алгоритмах решения уравнений Навье-Стокса и конвективного теплопереноса

Развитие механики жидкости и газа и ее приложений в последние годы связано с применением общих математических моделей, основанных на уравнениях Навье-Стокса. Из многих классов задач механики вязкой жидкости, которые изучались на основе уравнений Навье-Стокса, заметный прогресс был достигнут в области естественно-конвективного тепло- и массообмена и связанных с ним приложений. В настоящее время для численной реализации уравнений Навье-Стокса и конвективного тепломассопереноса используются десятки различных алгоритмов, включая параллельные алгоритмы для суперкомпьютеров [42,49,51,54,55]. Вместе с тем высокие требования к качеству и точности вычислительного эксперимента сохраняют актуальность дальнейшего развития методов решения моделей, описываемых уравнениями Навье-Стокса, поэтому поиск эффективных методов решения продолжается [18-24,31,59,82].

Для решения двумерных задач чаще всего используются переменные вихрь скорости - функция тока [3,18,20,22,24,38,40,64,85]. Однако, в случае расчетов пространственных течений несжимаемой жидкости, их описание через вихрь скорости и функцию тока приводит к большому числу зависимых переменных [50,64]. Поэтому, как правило, при реализации трехмерных моделей используются простейшие переменные -давление, составляющие скорости [47,56,58]. Существующая при этом проблема определения давления может быть разрешена одним из двух основных способов.

Во-первых, давление может вычисляться из уравнения Пуассона с использованием прямых или итерационных методов отдельно от уравнений движения [24]. Другой способ заключается в том, что давление рассчитывается одновременно со скоростью. Например, метод искусственной сжимаемости, впервые описанный в [46], суть которого заключается в добавлении производной по времени от давления в

18 уравнение неразрывности. При этом невязкая часть уравнений Навье-Стокса становятся гиперболической по времени и для нахождения стационарных решений модифицированной системы можно применять метод установления. Распространение данного подхода на нестационарный случай возможно с помощью так называемого "двойного шага по времени" [43,61]. Наряду с этим для определения давления одновременно со скоростью в последние годы все более широкое применение находят так называемый алгоритм Узавы [41] и метод Gauge[ 16,48]. Алгоритм Узавы состоит в коррекции значения давления на каждой итерации, при этом используется невязка, полученная из уравнения неразрывности с предыдущей итерации, затем поле скоростей вычисляется на основе скорректированного давления. Метод Gauge основан на изменении формы записи уравнений Навье-Стокса. При этом скорость расщепляется на две независимые части: векторную составляющую и градиент скалярной переменной, так называемой масштабной переменной. Давление исключается из уравнения движения путем замены на выражение, зависящее от масштабной переменной.

На сегодняшний день выбор той или иной методологии в научных расчетах, в том числе при реализации моделей, описываемых уравнениями Навье-Стокса и конвективного тепломассопереноса, - это компромисс между различными критериями, такими как точность решения и производительность программного обеспечения при заданной архитектуре ЭВМ, простота и гибкость метода. Сейчас широкое распространение, особенно при расчетах в областях со сложной геометрической формой, получил метод конечных элементов (см. обширную библиографию в [1]). В последние годы при аппроксимации на структурированных и неструктурированных сетках успешно применяется метод конечного объема [4,30,57], который способствует сближению техник конечных разностей и конечных элементов. Наряду с этим конечно-разностные методы сохраняют свою привлекательность и широкое распространение.

19

В настоящей главе рассматриваются сеточные операторы, аппроксимирующие дифференциальные операторы первой и второй производной на трехточечных шаблонах. На сегодняшний день нашли применение два направления при построении разностных уравнений. Первое - раздельная аппроксимация первой и второй производных. При этом первая производная аппроксимируется направленными разностями против потока или центральными разностями; а вторая производная аппроксимируется стандартным оператором на трехточечном шаблоне [6,19,35].

Замена первых производных центральными разностями, позволяет получить аппроксимацию второго порядка. Однако для уравнений с малым параметром при старшей производной, такой подход не пригоден, так как для получения монотонной схемы существуют ограничения на шаг пространственной сетки.

Использование направленных против потока разностей для аппроксимации первой производной дает возможность численно решать краевую задачу с малым параметром при старшей производной, однако, односторонние разности обеспечивают аппроксимацию лишь первого порядка. При этом появляется так называемая схемная вязкость, которая может превысить вязкость, описываемую дифференциальным уравнением [8].

Основным методологическим подходом к построению безусловно монотонных разностных схем стала их регуляризация [27], при этом улучшение качества достигается за счет возмущения (регуляризации) коэффициентов, после чего она записывается в некой общей канонической форме, свойства которой исследованы. Один из способов регуляризации, когда в качестве возмущающих функций используются экспоненциальные функции, называется методом экспоненциальной подгонки [7]. Первые исследования и применение таких схем, имеющих коэффициенты экспоненциального вида, связаны с именами A.M. Ильина [8,62], Шарфеттера и Гуммеля [63].

Второе направление - совместная аппроксимация первой и второй производных. Здесь дискретный аналог строится после приведения уравнения к дивергентному виду, когда вводится суммарный поток, складывающийся из конвективного и диффузионного потоков [9], либо получение схемы обусловлено преобразованием исходного уравнения к самосопряженному виду [20,59].

В настоящей главе рассматриваются схемы, получение которых обусловлено преобразованием исходных уравнений (записанных как в дивергентной форме, так и в недивергентной) к самосопряженному виду [59]. Получаемые после аппроксимации преобразованных уравнений разностные схемы с учетом вида их коэффициентов называются экспоненциальными. Описание и достаточно подробно теоретический анализ таких аппроксимаций приведен в работах A.A. Самарского и П.Н. Вабищевича [31,32]. К их достоинствам надо отнести то, что они на равномерной пространственной сетке аппроксимируют уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска и конвективного теплопереноса со вторым порядком точности, а в случае использования неявного алгоритма являются монотонными при любом соотношении пространственных и временных шагов. Однако, широкого применения на практике схемы такого вида пока не получили и их использование требует своего дальнейшего изучения и анализа.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Цивинская, Юлия Сергеевна

§ 3.4. Выводы

1. На основе трехмерного моделирования исследованы процессы конвективного тепло- и массопереноса в установке выращивания кристаллов гидротермальным способом в случае, когда система представлена как сочетание жидкого и пористого слоев при наличии пластины затравки.

2. При исследовании процессов в растворе использовалась модель переноса, основанная на теории суперпозиции жидкого и пористого слоев. При описании потока в питающем слое применялось приближение Дарси-Бринкмана-Форчхеймера.

3. Для численного исследования распределения тепла и течения в цилиндре с жидким и пористым слоями разработан алгоритм с использованием экспоненциальных разностных схем.

4. При анализе механизма переноса в гидротермальной системе рассмотрены поля температуры и концентрации, а также структура потоков при различных высотах и проницаемости пористого слоя. Полученные результаты показали существование ряда особенностей температурного поля и потока, которые оказывают непосредственное влияние на перенос примеси в растворе, осаждение питающего вещества, кинетику роста и качество кристалла.

5. Хотя исследование проведено только для небольшого диапазона параметров, оно демонстрирует основы механизма переноса при гидротермальном синтезе. Определено, что влияние пластины затравки на проходящие процессы очень значительно.

Заключение

1. На основе вычислительных экспериментов исследована и показана эффективность использования экспоненциальных схем для алгоритмов реализации двух- и трехмерных моделей, описываемых уравнениями Навье-Стокса в приближении Буссинеска и конвективного теплопереноса.

2. Впервые с использованием экспоненциальных схем построены алгоритмы для численной реализации математической модели получения кристаллов методом Чохральского, описываемой трехмерными нестационарными уравнениями Навье-Стокса в приближении Буссинеска, а также модели, описывающей получение кристаллов гидротермальным способом, в которой уравнения Навье-Стокса и Дарси-Бринкмана-Форчхаймера объединены для получения общего решения в жидкой и пористой средах при исследовании поля температуры, концентрации и структуры течения в установке.

3. По результатам численного моделирования процесса выращивания кристаллов методом Чохральского при неравномерном и циклически меняющемся неравномерном разогреве боковых стенок сосуда доказана возможность управления термогравитационной конвекцией в кристаллизационной среде со свойствами раствор-расплава В1128Ю2о (550) дополнительным ее перемешиванием в азимутальном направлении. Полученные результаты хорошо согласуются с натурными экспериментами.

4. На основе численного моделирования процессов тепломассопереноса в гидротермальной установке впервые показано, что уровень пористой среды и ее проницаемость, наличие затравки в сосуде гидротермальной установки формируют особенности течения, температурного и концентрационных полей, оказывающие непосредственное влияние на кинетику роста и качество кристалла.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цивинская, Юлия Сергеевна, 2006 год

1. Быкова Е.Г., Гилёва Л.В, Киреее КВ., Пятаев С.Ф., Рюде У., Шайдуров В. В. Уточнённые численные методы для задач конвекции-диффузии. Т.2. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2001. - 200с.

2. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 488с.

3. Воеводин А. Ф. Устойчивость и реализация неявных схем для уравнения Навье-Стокса//ЖВВМФ, 1993. Т.ЗЗ, № 1. С.119-130.

4. Волков КН. Применение метода контрольного объема для решения задач механики жидкости и газа на неструктурированных сетках // Вычислительные методы и программирование, 2005. Т.6, № 1. С.47-64.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 319с.

6. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.-440с.

7. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983. - 200с.

8. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Математические заметки, 1969. Т.6, № 2. С.237-248.

9. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ, 2001. - 318с.

10. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Физматлит, 1995. - 287с.

11. Ковеня В.М. Об одном алгоритме решения уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительные технологии, 2006. Т. 11, № 2. С.39-51.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 6.

13. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736с.

14. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.-456с.

15. Марчук Г.И. Методы расщепления и переменных направлений. -М.: ОВМ АН ССР, 1986. 334с.

16. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разносных схем. М.: Наука, 1979. - 320с.

17. Оседелец В.И. О новой форме записи уравнения Навье-Стокса. Гамильтонов формализм // Успехи математических наук, 1989. Т.44, вып.З. С.169-170.

18. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомидат, 1984. 149с.

19. Пасконое В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 288с.

20. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. JL: Гидрометеоиздат, 1986. - 352с.

21. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. -М.: Наука, 1987.-272с.

22. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 418с.

23. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616с.

24. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики. Новосибирск: НГТУ, 1998,- 120с.

25. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.-552с.

26. Самарский A.A. О регуляризации разностных схем // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1967, № 7. С.62-93.

27. Самарский A.A. Уравнения параболического типа и разностные методы их решения // Труды Всесоюзного совещания по дифференциальным уравнениям, 1958. Ереван: Изд. АН АрмССР, 1960. -С.148-160.

28. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352с.

29. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках // Математическое моделирование, 2001. Т. 13, № 2. С.7-16.

30. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.

31. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

32. Самарский A.A., Тулин A.B. Численные методы. М.:Наука 1989. -432с.

33. Самарский A.A., Маэ/суткин В.И., Матус П.П., Шишкин Г.И. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными // Математическое моделирование, 2001. Т. 13, № 2. С. 1926.

34. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592с.

35. Самарский А.А. и др. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск: Изд-во «Критерий», 1996. - 273с.

36. Тарунин E.JJ. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. - 228с.

37. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 2. -М: Мир, 1991.- 552с.

38. Шайдуров В.В. Вычислительные методы для уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости // Вестник КрасГУ, 2004. Вып. 3. -С.143-153.

39. Allen D.N. de G., Southwell R.V. Relaxation methods applied to determine the motion, in two dimensional, of a viscous fluid past a fixed cylinder // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1955. Vol.8. P.129-145.

40. Arrow K., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in linear and nonlinear programming. Stanford University Press, Stanford, 1958.

41. Averbuch A., Epstein В., loffe L., Yavneh I. Efficient parallelization of a three-dimensional Navier-Stokes solver on MIMD multiprocessors // The Journal of Supercomputing, 2000, № 17. P. 123-142.

42. Brewer M, Hanel D. A dual time-stepping method for 3-D, viscous, incompressible vortex flows // Сотр. and Fluids. 1993. V.22, № 4-5. P.467-484.

43. Cheng X.L. On the nonlinear inexact Uzawa algorithm for saddle point problem // SIAM J. Numer. Anal., 2000, № 37. P.1930-1934.

44. Cheng X.L., Han W. Inexact Uzawa algorithms for variational inequalities of the second kind // Computer Methods in Appl. Mech. And Engineering, 2003, № 192. -P.1451-1462.

45. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problem//J. Сотр. Phys, 1967. Vol.2. P. 12-26.

46. D'Ambrosio D., Marsilio R. A numerical method for solving the three-dimensional parabolized Navier-Stokes equations //Computers&Fluids, 1997. Vol.26, № 6. P.587-611.

47. E W., Liu J.-G. Gauge finite element method for incompressible flows // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2000. Vol.34, № 8. -P.701-710.

48. Garbey M, Vassilevski Yu.V. A parallel solver for unsteady incompressible 3D Navier-Stokes equations // Parallel Computing, 2001, № 27. -P.363-389.

49. Gatski T.B., Grosch C.E., Rose M.E. The numerical solution of the Navier-Stokes equations for 3-dimensional, unsteady, incompressible flows by compact schemes 11 Journal of Computational Physics, 1989, № 82. P.298-329.

50. Graham I.G., Spence A., Vainikko E. Parallel iterative methods for Navier-Stokes equations and application to stability assessment // Lecture Notes in Computer Science, 2002. Vol. 2400. P.705-714.

51. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. of Fluids. 1965. Vol.8, № 12. -P.2182-2189.

52. Henriksen M.O., Holmen J. Algebraic splitting for incompressible Navier-Stokes equations // J. Comp. Physics. 2002. Vol.175. P.438-453.

53. Kashiyama K., Tamai Ts., Inomata W., Yamaguchi S. A parallel finite element method for incompressible Navier-Stokes flows based on unstructured grids // Comput. Methods Appl. Mech. Energ, 2000, № 190. P.333-344.

54. Katti C.P., Srivastava D.K., Sivaloganathan S. Highly efficient parallel algorithm for finite difference solution to Navier-Stoke's equation on a hypercube // Applied Mathematics and Computation, 2002, № 130. P.311-316.

55. Kiris C., Kwak D. Numerical solution of incompressible Navier-Stokes equations using a fractional-step approach //Computers&Fluids, 2001, № 30. -P.829-851.

56. Kovenya V., Cherny S., Sharov S., Karamyshev V., Lebedev A. On some approaches to solve CFD problems // Computers&Fluids, 2001, № 30. -P.903-916.

57. Piquet J., Vasseur X. Multigrid preconditioned Krylov subspace methods for three-dimensional numerical solutions of the incompressible Navier-Stokes equations //Numerical Algorithms. 1998. № 17. P.1-32.

58. Popov V.N., Tsivinskaya Yu.S., Gaynova I.A. On one finite difference algorithm for solving Navier-Stokes equations // Proc. of the Intern. Conf. on Comput. Mathematics. Novosibirsk: ICM&MG Publisher, 2002. -P.674-678.

59. Pracht W.E. A numerical methods for calculating transient greep flows // J. Comput. Physics. 1971. Vol.7, № 1. P.46-60.

60. Rogers S.E., Kwak D. Upwind differencing scheme for the time-accurate incompressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1990. Vol. 28, № 2. -P.253-262.

61. Roos H.-G., Stynes M., Tobishka L. Numerical Methods for Singular Perturbed Differential Equations. Convection-Diffusion and Flow Problems. Berlin, Springer-Verlag, 1995.

62. Scharfetter D.L., Gummel H.K. Large-signal analysis of a silicon read diode oscillator // IEEE Trans, on Electron Devices, 1969. Vol. ED-16, № 1. -P. 64-77.

63. Shen W.-Z., Loc T.-P. Numerical method for unsteady 3D Navier-Stokes equations in velocity-vorticity form // Computers&Fluids, 1997. Vol.26, № 2. P.193-216.

64. Versteeg H.K., Malalaseker W. An introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. Longman Scientific& Technical, 1995.

65. Williams G.P. Numerical integration of the three-dimensional Navier-Stokes equations for incompressible flow // J. Fluid Mech. 1969. Vol.37, part 4. -P.727-750.

66. Гелъфгат Ю.М., Горбунов Л.А., Сорокин М.З. Электромагнитные методы воздействия на гидродинамику и тепломассообмен в процессах выращивания объемных монокристаллов (обзор) // Рост кристаллов. Т. XVI. М: Наука, 1988. - С.234-247.

67. Земское B.C., Раухман М.Р., Шалимов В.П. Особенности кристаллизации двухфазных сплавов InSb-InBi в условиях невесомости // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2001, № 10. С.54-59.

68. Картавых A.B. Микрогравитационная чувствительность легированных расплавов полупроводников при их кристаллизации в космосе // Кристаллография, 2000. Т.45, № 6. С.1108-1113.

69. Кервалишвили П.Д., Ремизов И.А. О возможности улучшения перемешивания расплава при выращивании кристаллов по методу Чохральского // Неорганические материалы, 1989. Т.16, № 10. С.1727-1732.

70. Кох А.Е., Кох В.Е., Кононова Н.Г. Установка для выращивания кристаллов в условиях вращения теплового поля // Приборы и техника эксперимента, 2000, №1. С. 157-160.

71. Кох А.Е. Миронова Л.А., Попов В.Н. Конвективные течения в расплаве при выращивании кристалла в условиях периодически меняющегося температурного поля // МЖГ, 2002, № 5. С.5-11.

72. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. - 542с.

73. Плаксин С.К, Попов В.Н., Цивинская Ю.С. Формирование конвективных течений при выращивании монокристалла BSO в условиях циклически меняющегося температурного поля // Аспирантский сборник НГПУ-2003, Ч. 2. Новосибирск: Изд. НГПУ, 2003. - С.204-211.

74. Попов В.П., Кох А.Е., Гайнова И.П., Цивинская Ю.С. Численный анализ конвекции в расплаве при циклическом подогреве боковых стенок ростового тигля // Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 2002. Т.5, № 1(16). - С.124-134.

75. Попов В.Н., КохА.Е., Мокрушников П.В. Конвекция в расплаве при ротации теплового поля вокруг тигля // Математическое моделирование, 2002. Т. 14, № 1,-С. 16-26.

76. SI. Попов В.П., Кох А.Е., Прушковский КВ., Циеинская Ю.С. Конвективные течения при выращивании кристалла BSO в условиях периодически меняющегося температурного поля в раствор-расплаве // Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 2001. Т.4, № 2(13). - С.25-36.

77. Попов В.П., Сагайдак Е.И., Циеинская Ю.С. Об одном решении задачи выращивания кристалла. Препринт Института теоретической и прикладной механики СО РАН, № 7-2002, Новосибирск, 2002. - 24 с.

78. Попов В.Н., Циеинская Ю.С., Кох А.Е. Исследование технологии выращивания кристалла в неоднородно разогретом тигле // Математическое моделирование, 2005. Т. 17, № 5. С.77-84.

79. Попов В.П., Циеинская Ю.С., Кох А.Е., Кох К.А. Конвекция расплава при неравномерном нагреве боковых стенок ростового тигля // Труды междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004. 4.2 -Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. С.608-612.

80. Простомолотов А.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при выращивании кристаллов вытягиванием из расплава (метод Чохральского) // Теплофизические процессы при кристаллизации веществ. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1987. С. 100-128.

81. Пшеничников А.Ф., Токменина Г.А. Деформация свободной поверхности жидкости термокапилярным движением // Изв. АН СССР. МЖГ, 1983, № 3. С.150-153.

82. Стрелое В.И., Сидоров B.C., Захаров Б.Г. Образование полос роста в монокристаллах Ge, выращиваемых в условиях слабой тепловой конвекции при вибрационных воздействиях на расплав // Кристаллография, 2001. Том 46, № 4. С.759-764.

83. Jafri I.H., Prasad V., Anselmo А.Р., Cupta K.P. Role of crusible partition in improving Cz melt conditions // J. Crystal Growth, 1995. Vol.154. -P.280-292.

84. Kokh A. Crystal growth through forced stirring of melt or solution in

85. Czochralski configuration // J. Crystal Growth, 1998. Vol. 191(4). P.774-778.108

86. Kokh A.E., Popov V.N., Mironova L.A. Heat field rotation method of crystal growth: numerical simulations // Advanced Computational Methods in Heat Transfer VII. WITpress, Southampton, Boston, 2002. - P.383-392.

87. Kokh A.E., Popov V.N,, Mokrushnikov P.W. Numerical modeling of contact-free control over crystal growth heat-mass-transfer processes through heat field rotation // J. Crystal Growth, 2001. Vol. 230, № 1-2. -P.155-163.

88. Nakamura Т., Nishinaga Т., Ge P., Ныо C. Distribution of Те in GaSb grown by Bridgman technique under microgravity // J. Crystal Growth, 2000. Vol.211.-P.441-445.

89. Santos M.T., Rojo J.C., Arizmendi L., Dueguez E. Changes in the solid-liquid interface during the growth of Bii2Si02o, Bii2Ge02o and LiNbo3 crystals growth by the Chochralski method //J. Crystal Growth, 1995. Vol.156. -P.413-420.

90. Граменицкий E.H., Котельников A.P., Батанова A.M., Щекина Т.И., Плечов П.Ю. Экспериментальная и техническая петрология. М.: Научный Мир, 2000. - 416с.

91. Кох А.Е, Влезко В.А., Кох К.А. Установка для выращивания кристаллов гидротермальным методом в условиях вращающихся тепловых полей // Приборы и техника эксперимента, 2003, № 3. С.151-156.

92. Михеев М.А., Михеева КМ. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1973.-319с.

93. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 472 с.

94. Плаксин С.К, Цивинская Ю.С. Численное моделированиетепломассопереноса в гидротермальной ростовой установке //109

95. Аспирантский сборник НГПУ-2005, Ч. 2. Новосибирск: Изд. НГПУ, 2005. - С.212-220.

96. Ривкин С.Л., Александров А.А. Термодинамические свойства воды и водяного пара. М.: Энергия, 1980. - 423с.

97. Хаджи В.Е., Цинобер А.И., Штеренлихт Л.М. и др. Синтез минералов, т.1. М.: Недра, 1987. - 487с.

98. Цивинская Ю.С., Попов В.Н., Кох А.Е., Беккер Т.Е., Мокрушников П.В. Исследование тепло- и массопереноса в гидротермальной ростовой системе. Препр. Ин-та теор. и прикл. механики СО РАН, 2004, № 3-2004. - 19 с.

99. Beckermann С., Ramadhyani S. and Viskanta R. Natural Convection Flow and Heat Transfer between a Fluid Layer and a Porous Layer inside a Rectangular Enclosure // Journal of Heat Transfer, 1987. Vol. 109. P.363-370.

100. Be.an A. Convection Heat Transfer. New York: John Wiley & Son, 1984. -P.388-416.

101. Bekker T.B., Kokh A.E., Popov V.N., Mokrushnikov P.V., Kokh K.A. Hydrothermal crystal growth under rotation of external heat field // Abstracts of the 14th Int. Conf. on Crystal Growth, 2004. Grenoble, France. - P.155.

102. Byrappa K. Hydrothermal Growth of Crystals // Handbook of Crystal Growth, 1994. Vol. 2. Amsterdam: Elsevier Science. - P.465-562.

103. Chen Q.-S., Prasad V. and Chatterjee A. Modeling of Fluid Flow and Heat Transfer in a Hydrothermal Crystal Growth System: Use of Fluid-Superposed Porous Layer Theory // IMECE '98, ASME HTD, 1998. Vol. 361-4. -P.119-129.

104. Chen Q.-S., V. Prasad V. and Chatterjee A. Modeling of Fluid Flow and Heat Transfer in a Hydrothermal Crystal Growth System: Use of Fluid-Superposed Porous Layer Theory // ASME Journal of Heat Transfer, 1999. Vol. 121, № 4. -P.1049-1058.

105. Chen Q.S., Prasad V., Chatterjee A., Larkin J. A porous media-based transport model for hydrothermal growth // Journal of Crystal Growth, 1999. Vol. 198/199.-P.710-715.

106. Larkin J., Harris M. and Cormier J.E. Hydrothermal Growth of Bismuth Silicate (BSO) // Journal of Crystal Growth, 1993. Vol. 128. P.871-875.

107. Li H., Evans E.A., Wang G.-X. Flow of solution in hydrothermal autoclaves with various aspect ratios // Journal of Crystal Growth, 2003. Vol.256.-P.146-155.

108. Luz Neto H., Quaresma J.N.N., Cotta R.M. Natural convection in three-dimensional porous cavities: integral transform method // Int. J. Heat and Mass Transfer, 2002. Vol.45. -P.3013-3032.

109. Patankar S.V., Spalding D.B. A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum Transfer in Three-Dimensional Parabolic Flows // Int. J. Heat Mass Trans, 1972. Vol.15. P. 1787-1806.

110. Popov V.N., Tsivinshaya Yu.S., Bekker T.B., Kokh K.A., Kokh A.E. Numerical investigation of heat-mass transfer processes in hydrothermal growth system // Journal of Crystal Growth, 2006. Vol.289, № 2. P.652-658.

111. Prasad V. Convective Flow Interaction and Heat Transfer Between Fluid and Porous Layers // Convective Heat and Mass Transfer in Porous Media, 1991. -Netherlands: Kluwer. -P.563-615.

112. Зам. директора Института геологии иг. Новосибирск2006

113. СПРАВКА о внедрении результатов численного моделирования процессов тепло- и массопереноса в установках по выращиванию кристаллов