Численные методы нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений и их применение для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Алексеева, Татьяна Леонидовна

• Алексеева, Татьяна Леонидовна
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Алексеева, Татьяна Леонидовна

Введение.

1. Методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем, их анализ и задачи исследования.

2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем.

2.1. Общая схема решения уравнений узловых напряжений для электроэнергетической системы.

2.2. Некоторые редукции к выпукло - вогнутым задачам с ограничениями в форме неравенств.

2.2.1. Первая редукция.

2.2.2. Вторая редукция.

2.3. Алгоритм поиска решений уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем, в случае существования кратных корней

2.4. Способы преобразования систем уравнений, заданных алгебраическими полиномами, к системам уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

2.5. Преобразование исходных уравнений электроэнергетической системы к уравнениям с выпуклыми функциями в левых частях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений и их применение для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем»

Современные электроэнергетические системы и электрические сети характеризуются увеличением мощностей источников и потребителей электроэнергии, укрупнением систем и увеличением протяженности электрических линий, многосторонним электроснабжением и кольцеванием электрических сетей, повышением гибкости управления режимами работы. К важной научно — технической проблеме относятся задачи обеспечения рациональных установившихся режимов в электроэнергетических системах (ЭЭС) и оценки статической устойчивости режимов, ввода режима в допустимую область изменения его параметра и оптимизации режима, а также другие задачи, связанные с функционированием этих сложных систем.

Установившиеся режимы ЭЭС при задании генерирующих и нагрузочных мощностей в узлах могут быть представлены математическими моделями в виде систем нелинейных алгебраических уравнений. При решении задач управления функционированием электроэнергетических систем, при расчетах электромагнитного поля в электрических машинах и других электротехнических устройствах, при расчетах нелинейных магнитных и электрических цепей, при операциях потокораспределения в гидравлических цепях, а также при решении целого ряда технических задач приходится многократно решать системы нелинейных алгебраических уравнений следующего вида: о, (в.1) на множестве

L = {x:fj(x)<0,j = lJ}, (В.2) где gj(x),fj(x) - дифференцируемые, скалярные функции векторного аргумента xgLcE" .

Поэтому методом расчета установившихся режимов ЭЭС, алгоритмом расчета и обеспечению сходимости итерационных решений посвящено большое количество научных работ в России и за рубежом.

Методы решения систем нелинейных уравнений как теоретически, так и алгоритмически разработаны достаточно давно и имеется практически необозримое число научных трудов, посвященных этим задачам [1-18]. Использование стандартной техники нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений, а именно, метода Ньютона, его различных модификаций, метода итераций, метода Бройдена и других дает лишь произвольное решение системы. Однако в интересующей нас задаче необходимо исследование проблемы неоднозначности решения систем уравнений, например, уравнений установившегося режима в электрических сетях. Такое исследование важно не только для задачи расчета стационарного режима, но и для эффективного решения задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов и исследования их устойчивости. Кроме того, в [15] было показано, что достаточные условия сходимости метода Ньютона по Канторовичу при решении уравнений установившегося режима электрических сетей могут не выполняться. Поэтому нельзя гарантировать его сходимость с любого исходного приближения. Следовательно, при практическом использовании метода Ньютона нужно иметь "хорошее" начальное приближение, так как в противном случае возможна расходимость метода.

При применении метода простых итерации алгоритм вычисления прост, но возможны случаи зацикливания итерационного процесса [12]. Применение таких методов, как метод простой итерации и метод Зейделя в энергетических расчетах также нецелесообразно ввиду их медленной сходимости [4].

Следует особо отметить, что все известные в классическом численном анализе методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений используются для решения задач без ограничений, наличие которых является одним из факторов усложняющих решение таких задач.

Для эффективного функционирования электроэнергетической системы необходимо обеспечивать экономичные способы передачи, распределения электроэнергии, высокую надежность с минимальными ущербами для электропотребителей и для предприятий электроснабжения, устойчивую работу системы [19-20]. Баланс мощностей в электрических сетях описывается системами квадратичных алгебраических уравнений, а такие системы, как правило, имеют множество решений. В [1] при решении систем квадратичных уравнений, моделирующих распределение нагрузок в электрических сетях, используется следующая редукция задачи (В.1) к задаче вогнутого программирования: тах{К*) = !>/(*)} (в-3) 1 при условии xeR = {x:gi(<x)<0,i = Un,xeL} (В.4)

Если значение локального максимума в задаче (В.3)-(В.4) отрицательно, то система уравнений (В.1)-(В.2) не имеет на множестве L решений. В противном случае множество ее решений совпадает с множеством точек локального максимума в задаче (В.3)-(В.4). К сожалению, задача (В.3)-(В.4) может обладать % множеством точек локального максимума, в которых значение у/(х) отрицательно и которые в процессе решения приходиться распознавать и отсекать, порождая при этом новые точки локального максимума.

В ряде работ [2, 3], [17, 21, 22] рассматривается вопрос анализа уравнений установившихся режимов электрических сетей и итерационных методов их расчета применительно к трехмашинной электроэнергетической системе. Следует отметить, что в приведенной выше литературе предлагаются способы нахождения области существования решений уравнений установившихся режимов.

Таким образом, результаты научных работ, а также накопленный опыт их применения для улучшения эксплуатации и совершенствования проектирования ЭЭС не обеспечивают в полной мере решение производственных и научно - технических проблем. Поэтому представляют значительный научный и практический интерес разработки методов расчета, обладающих широкими возможностями и высокой действенностью при решении задач надежного функционирования ЭЭС и повышения их эффективности.

Как правило, в практических ситуациях произвольное решение системы не удовлетворяет постановщика задачи. Особый интерес представляют методы построения всех решений системы или методы, позволяющие найти решение, удовлетворяющее некоторым заданным свойствам (надежности, устойчивости, экономичности и т. д.). В настоящее время нахождением всех корней системы (В.1)-(В.2) занимаются ученые С. A. Floudas и W. Forester [23-26], а определением для них гарантированной двусторонней области интервальными методами профессор С. П. Шарый [27]. Разработке численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений посвящены научные работы профессора В. П. Булатова [28-32].

В первом разделе диссертационной работы выполнен обзор научно-исследовательских работ, направленных на разработку методов и алгоритмов расчета установившихся режимов ЭЭС. Сформулированы цель работы и задачи исследования.

Во втором разделе диссертационной работы рассмотрены некоторые редукции задачи (В.1)-(В.2) к выпукло-вогнутым задачам с ограничениями в форме неравенств. Приведены алгоритмы поиска различных корней системы (В.1), а также алгоритм поиска решений систем нелинейных алгебраических уравнений специального вида, в случае существования кратных корней. Рассмотрен вопрос о преобразовании системы нелинейных алгебраических уравнений с знаконеопределенными квадратичными формами к системе с выпуклыми функциями в левых частях. Приведен способ сведения уравнений и систем уравнений, заданных алгебраическими полиномами, к эквивалентным системам уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

В третьем разделе описана модель распределительной электрической сети и приведен анализ решения и исследования этой задачи. Проведена проверка погрешности методов предложенных в первом разделе при рассмотрении задачи определения баланса мощностей электроэнергетических системах.

В четвертом разделе приведены результаты численных экспериментов, анализ сравнительной эффективности предложенных алгоритмов решения, а также их сравнение с методом Ньютона, для которого производилась случайная выборка начального приближения (мультистарт). Рассмотрены задачи определения баланса мощностей в электрических сетях.

Основные результаты, составляющие научную новизну и выносимые на защиту:

1. разработаны и теоретически обоснованы три редукции задачи нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений применительно к задачам математического программирования;

2. представлены и обоснованы способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функ-. циями к системам с выпуклыми функциями в левых частях;

3. разработаны вычислительные алгоритмы поиска корней системы нелинейных алгебраических уравнений;

4. представлен анализ результатов численных экспериментов и сравнительная эффективность различных алгоритмов решения исходной задачи;

5. обоснована возможность применения полученных результатов для решения задач расчета баланса мощностей в электрических сетях.

Практическая ценность:

- полученные в работе результаты могут рассматриваться как инструментальное средство для решения задач по нахождению корней систем нелинейных алгебраических уравнений;

- численные методы, разработанные в диссертации, позволяют решать большой класс практических задач, имеют широкие перспективы дальнейшего развития и могут быть использованы при реализации многих математических моделей, где возникает необходимость решения систем нелинейных алгебраичсских уравнений. К настоящему времени предложенные в диссертации алгоритмы нашли непосредственное практическое применение на задаче определения допустимых режимов электроэнергетических систем;

- математическая модель и алгоритмы расчетов установившихся режимов электроэнергетических систем применяются в учебном процессе при подготовке и повышении квалификации специалистов.

Достоверность математических моделей, численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений и алгоритмов расчета обоснована теоретически и подтверждена оценкой адекватности результатов расчета и визуального моделирования в среде MATLAB, а также результатами решения тестовых задач разработанным методом и классическими методами численного анализа.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и ее результаты докладывались и обсуждались на международных научных конференциях: "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.), "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2000 г.), "Математика, информатика и управление" (Иркутск, 2000 г.), "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2001 г.), на Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2002 г.), на 12-й Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 2003 г.), на научно-технической конференции "Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири" (ИрИИТ, 2000 г.), а также на научных семинарах и конференциях ИрГУПС.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 7 научных работ [16,30, 33 - 37].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 разделов, содержит 39 рисунков, 18 таблиц, выводы и список литературы из 132 наименований и приложений. Объем работы составляет 116 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Алексеева, Татьяна Леонидовна

102 ВЫВОДЫ

1. Разработанная схема расчета позволяет находить необходимое число корней систем нелинейных алгебраических уравнений, вызванных множеством состояний электроэнергетических систем и порождающих неоднозначность решений.

2. Разработанные способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функциями к системам с выпуклыми функциями в левых частях позволяют использовать технику отсечений, лежащую в основе предложенных редукций, к задачам определения допустимых режимов электроэнергетических систем.

3. Экспериментальными исследованиями установлено, что разработанные варианты алгоритмов позволяют находить множество решений и близки по скорости к лучшим, использующимся на практике, алгоритмам.

4. В ходе реализации разработанных редукций в виде вычислительных программ предложено введение мультистарта. В первой редукции он применяется для поиска допустимой точки множества, во второй - для исключения ложных решений, в третьей редукции для нахождения корня, отличного от ранее найденных.

5. Разработанные численные методы нахождения допустимых режимов в электроэнергетических системах применимы для решения более общих задач нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

6. Продемонстрировано, что решение задач анализа электрических режимов и определение параметров установившихся режимов в электроэнергетических системах с помощью визуального моделирования в s среде Matlab затруднено из-за его ограниченной действенности и значительных вычислительных сложностей. Поэтому данное моделирование можно рекомендовать для контроля адекватности результатов расчета параметрам установившихся режимов в реальных электроэнергетических системах.

7. Исследованиями установлено, что разработанные численные методы расчета системы нелинейных алгебраических уравнений обеспечивают достаточную точность расчетов для научно-исследовательских работ.

104

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Алексеева, Татьяна Леонидовна, 2003 год

1. Анциферов Е. Г., Тарасов В. И. К решению систем квадратичных уравнений моделирующих распределение нагрузок в электрических сетях // Изв. высших учебных заведений. Математика, 1994, № 12.

2. Анапольский JI. Ю., Тарасов В. И. Анализ уравнений установившихся режимов электрических сетей постоянного тока и итерационных методов их расчета // Изв. АН. Энергетика, 1994, № 4, С. 65-79.

3. Анапольский JI. Ю., Тимофеев С. В. Решение уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем с помощью рядов // Изв. АН. Энергетика, 1997, № 3, С. 146-156.

4. Арзамасцев Д. А., Бартоломей П. И., Скляров Ю. С. О методах решения систем уравнений узловых напряжений на ЦВМ // Изв. вузов СССР, Энергетика, 1997, № 8, С. 11-18.

5. Бартоломей П. И. Методы апроксимации и решения уравнений установившегося режима электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1985, № 1, С. 160-165.

6. Бартоломей П. И., Липес А. В. Применение новых способов записи и решения уравнений узловых напряжений // Электричество, 1971, № 1.

7. Горобец Г. Г. Еще раз о методе секущих для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений // Методы оптимизации и их приложения, Иркутск, 1989.

8. Гуревич В. Л., Тарасов В. И. Об одном методе решения систем квадратичных уравнений // Методы оптимизации и их приложения, Иркутск, 1988.

9. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -Москва.: Физматгиз, 1960. 660 с.

10. Дэннис Дж., мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.-440 с.

11. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 559 с.

12. Пульников А. А. Методы решения систем уравнений нелинейных электрических и магнитных цепей // Электричество, 1999, № 3.

13. Пуртов В. А. Методы Ньютоновского типа в задачах НЛП // Док. ВИНИТИ, 1985, №6416-85, 13 с.

14. Пуртов В. А. Решение задач нелинейного программирования методом Ньютона // Методы оптимизации и их приложения, Иркутск, 1988.

15. Черняк В. Я. О влиянии нелинейности решаемой системы на сходимость методов Якоби, ПВР и УВР — Ньютона // Численные методы анализа и их приложения'. - Иркутск, 1983.

16. Алексеева Т. Л., Волокитин С. С. О свойствах метода гипербол // Межвузовский сборник научных трудов. Иркутск, 1997. с. 141 - 145

17. Анапольский Л. Ю. Об области возможных режимов электроэнергетической системы в пространстве активных мощностей // Изв. АН. Энергетика, 1991, № 4, С. 92-100.

18. Крумм Л. А. Методы приведенного градиента при управлении электроэнергетическими системами. Новосибирск: Наука, 1977.

19. Баринов В. А., Совалов С. А. Режимы энергосистем: Методы анализа и управления. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 440 с.

20. Мурашко А. Н., Охорзин Ю. А., Крумм Л. А. и др. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1987.

21. Анапольский Л. Ю., Жолудев А. И. Экстремальные задачи для определения области возможных режимов электроэнергетической системы и путей утяжеления режимов // Изв. АН. Энергетика, 1992, № 3, С. 59-67.

22. Анапольский Л. Ю., Тарасов В. И., Тимофеев С. В. Анализ уравнений установившихся режимов трехмашинной электроэнергетической системы // Изв. АН. Энергетика, 1996, № 2, С. 138-151.23. http://citeseer.ni.nec.com

23. Pardalos P. M., Generation of Large-Scale Quadratic Programs, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 13. No. 2 (1993), p. 133.

24. Pardalos P. M., Construction of test problems in quadratic bivalent programming, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 17. No. 1 (1991), pp. 74-87.

25. Floudas C. A., Pardalos P. M., Recent Advances in Global Optimization, Princeton University Press, 1992.

26. Шарый С. П. Новый подход в интервальной глобальной оптимизации / Методы оптимизации и их приложения // Труды XII Байкальской международной конференции. Иркутск, 2001. - С. 289-295.

27. Булатов В. П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977.- 161 с.

28. Анциферов Е. Г., Ащепков Л. Т., Булатов В. П. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 1. Математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1990.- 158 с.

29. Булатов В. П., Алексеева Т. Л. Численные метода поиска всех вещественных корней систем алгебраических уравнений и их приложения // Труды XI международной Байкальской школы-семинара " Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 1998.- Т.1.- С. 21-31.

30. Булатов В. П. Необходимые условия экстремума и методы глобальной оптимизации // Труды XII Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2001. - С. 41-51.

31. Алексеева Т.Л. Методы отсечения в глобальной оптимизации и их применение к поиску всех решений систем нелинейных алгебраических уравнений // Материалы конференции "Дискретный анализ и исследование операций". Новосибирск, 2000. С. 117

32. Алексеева Т. Л., Хамисов О. В. К нахождению корней систем квадратичных уравнений / Методы оптимизации и их приложения // Труды XII Байкальской международной конференции. Иркутск, 2001. - С. 3-10.

33. Влычков П.М., Гамов Н.К. Повышение скорости и улучшение сходимости и надежности решения уравнений установившегося режима электрических систем // Электричество, 1982, №7, С. 63-66.

34. Смирнов К.А. О числе решений уравнений установившегося режима электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1983, №5, С. 75-83.

35. Автоматизация управления энергообъединениями / В.В. Гончуков и др. М.: Энергия, 1979. -432 с.

36. Автоматизированные системы диспетчерского управления в энергетике и пути их совершенствования / Л.Г. Мамиконянц и др. // Электричество, 1987, №3, С. 1-6.

37. Воропай Н.И., Ершевич В.В. и др. Управление мощными энергообъединениями / Под ред. С.А.Совалова. М.: Энергоатомиздат, 1984. -256 с.

38. Совалов С.А. Режимы единой энергосистемы. М.: Энергоатомиздат, 1983. -384с.

39. Технический прогресс энергетики СССР / А.А. Троицкий и др. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 224 с.

40. Автоматизированная система оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами / О.Н. Войтов, В.Н. Воронин, А.З. Гамм и др. Новосибирск: Наука, 1986. - 203 с.

41. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем / И.А. Мурашко и др. — Новосибирск: Наука, 1987.-239 с.

42. Семенов В.А. Автоматизированные системы диспетчерского управления. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. 100 с.

43. Leonidopoulos G. Fast linear method and convergence improvement of load flow merical solution method // Elec. Power Syst., 1989, 16, №1, P. 22-31.

44. Wi J.S., Chen J.F., Huang C.L., Pan C.T. A new approach for static load flow // Modell. Simul. and Contr. 1985, A3., №4, P. 29-31.

45. Амирикян P.А., Шарабханян И.И. Повышение эффективности расчета установившихся режимов сложных электрических систем // Изв. Вузов Энергетика, 1985, №5, С. 52-56.

46. Информационное обеспечение диспетчерского управления в электроэнергетике / Ю.И. Алимов, А.З. Гамм и др. — Новосибирск: Наука, 1985. -223с.

47. Математические методы и вычислительные машины в энергетических системах / Под ред. В.А. Веникова. М.: Энергия, 1975. - 216с.

48. Адонц Г.Т. Расчет установившихся режимов электрической системы, разделенной на многополюсники // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1971, №1, С. 82-91.

49. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния ЭЭС. М.: Наука, 1976.-220с.

50. Гамм А.З., Герасимов Л.Н., Голуб И.И. и др. Оценивание состояния в электроэнергетике. М.: Наука, 1983. - 302с.

51. Манусов В.З., Лыкин А.В. Вероятностный анализ установившихся режимов электрических систем // Электричество, 1981, №4, С. 7-12.

52. Бартоломей П.И. и др. Повышение эффективности метода Ньютона при расчетах установившихся режимов больших электрических систем // Электричество, №8, С. 1-5.

53. Давыдов В.В., Липес А.В. Усовершенствование алгоритмов расчета установившегося режима энергосистемы // Электричество, 1988, № 6, С. 54-58.

54. Kraft L.A., Heydt G.T. Adaptive acceleration factors for the Newton-Raphson power flow study // Elec. Mach. And Power Syst., 1986, v 11, №4, P. 337-346.

55. Vemura K. Approximated Jacobians in Newton's power flow method // Proc/ 4-th PSCC, Grenoble, 1972, v.l, P.3/2.

56. Бартоломей П.И., Окуловский C.K. Итерационное решение систем линейных уравнений в электроэнергетических задачах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1982, №4, С. 19-27.

57. Ерохин П.М. Итерационные и интегральные методы расчета установившихся режимов электрической системы. — Дис. канд. техн. наук,-Свердловск, 1975.- 185с.

58. Ковшар Л.Г., Коробчук К.В., Цукерник Л.В. К вопросу об однозначности результатов и сходимости итерационного расчета установившегося электрического режима энергосистемы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1966, №4, С. 108-110.

59. Шелухин Н.Н. О связи между сходимостью итерационного решения уравнений стационарного режима энергосистемы и ее устойчивостью // Проблемы технической электродинамики, 1972, №36, С. 24-29.

60. Galiana F.D., Banakar R. Approximation formulae for dependent load flow variables // IEEE. PAS-100, 1981, №3, P. 1128-1137.

61. Баламешов А.Б., Мамедяров O.C. Расчет установившегося режима сложных электрических сетей методом Гаусса-Зейделя с вторичной коррекцией И Электричество, 1985, №10, С. 7-11.

62. Применение вычислительных методов в энергетике / Ю.Ф. Архинцев и др. Под ред. В.А. Веникова. М.: Энергия, 1980. - 216с.

63. Стот Р. Обзор методов расчета потокораспределения // ТИИЭР, 1974, Т.62, №7, С. 64-80.

64. Васин В.П. Методы глобального анализа режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1990, №5, С. 26-39.

65. Применение вычислительных методов в энергетике / Под ред. В.А. Веникова и Ю.Ф. Архинцева. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 136с.

66. Горушкин В.И., Латышева Т.С. Исследование статической устойчивости энергосистемы с помощью уравнений установившихся режимов // Электричество, 1969, №5, С. 79-81.

67. Паламарчук С.И. Сходимость линеаризованного разделенного алгоритма расчета потокораспределения // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1983, №2, С. 143-149.

68. Журавлев В.Г., Розенкранц Е.А. Расчет установившихся режимов электрических сетей методом агрегирования // Электричество, 1984, №9, С. 5052.

69. Войтов О.Н. и др. Методы и алгоритмы расчета установившихся режимов ЭЭС при дефиците активной и реактивной мощности // Сб. науч. Тр. ЭНИН. — Фрунзе, 1988, С. 21-32.

70. Конторович A.M., Шелухин Н.Н. Расчет режимов энергосистем при больших небалансах мощности и изменениях частоты // Электричество, 1982, №7, С. 1-6.

71. Арутюнян С.Г. К расчету установившихся режимов сложных энергосистем // Изв. Вузов Энергетика, 1981, №3, С. 12-16.

72. Гуревич В.Л. и др. Критерий существования установившихся режимов сложных электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1991, №2, С. 37-45.

73. Калюжный А.Х., Лукашев Э.С., Соколов Ю.В. Анализ установившихся режимов и апериодической устойчивости ЭЭС с учетом изменения частоты // Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1977, №6, С. 70-76.

74. Рудницкий М.П., Красникова Т.Я., Павлова М.В. Анализ условий существования установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1990, №1, С. 98-104.

75. Горнштейн В.М. и др. Методы оптимизации режимов энергосистем, М.: Энергоиздат, 1981.-336с.

76. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 288с.

77. Bandler J.W., EI-Kady М.А. A new method for computerized solution of power flowequatrons //IEEE. PAS-101, 1982, №1, P. 1-9.

78. Андреюк B.A., Сказываева H.C. Метод расчета на ЭВМ установившихся режимов энергосистемы // Сб. научн. тр. НИИПТ. Л.: Энергия, 1980. С. 3-8.

79. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. - 536с.

80. Allam M.F. Fast exact state estimation algorithm based on quadratic equations using sparse matrix inversion // Elec. Power and Energy Syst., 1984, v.2, №2, P. 7982.

81. Воевода А.И., Воропай Н.И., Кроль A.M. и др. Восстановление электроэнергетических систем после крупных аварий // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1991, №1, С. 16-27.

82. Воропай Н.И. и др. Моделирование тяжелых послеаварийных режимов при исследовании живучести электроэнергетических систем // IX Всесоюзн. науч.-технич. Конф. По моделированию электроэнергетических систем. -Рига, 1987, С. 401-402.

83. Лисеев М.С., Шарафутдинов Х.Х. Метод расчета потокораспределения при имитации ремонтных и послеаварийных режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1987, №4, С. 80-87.

84. Методы решения задач реального времени в электроэнергетике / А.З. Гамм, Ю.Н. Кучеров, С.И. Паламарчук и др. Новосибирск: Наука, 1990.- 294с.

85. Ekwue О.Е., Adams R.N. Algorithmic development of the second order load flow for real-time applications // Proc. 8-th PSCC, Helsinki, 1984, P. 724-731.

86. Karfka R.J., Fink L.L., Bain N.J., Grin H.G. An advanced dispatch simulator with advanced dispatch algorithm // IEEE/ Comput. Appl. Power, 1989, v2, №4, P. 30-35.

87. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320с.

88. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погружений в выпуклом программировании // Журнал вычислит, математики и матем. Физики, 1987, Т.27, №3, С. 377-384.

89. Горнштейн В.М., Максимов Ю.А., ПетуховД.Г., Тимофеев В.А. Развитие методов расчета потокораспределения в электрической сети // Тр. ВНИИЭ, -М.: Энергия, 1971, №38, С. 39-50.

90. Тарасов В. И. Методы минимизации ньютоновского типа для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 2001.- 168 с.

91. Габриелян P.M. Учет обусловленности матриц при расчете установившихся режимов электрических систем // Электричество, 1980, №5, С. 49-51.

92. Коробчук К.В., Цукерник JI.B. Итерационный метод расчета установившегося режима и собственных и взаимных сопротивлений при анализе статической устойчивости сложной энергосистемы // Проблемы технической электродинамики, 1972, №36, С. 15-23.

93. Rao P.S.N., Rao K.S.P., Nanda J. An exact fast load flow method including second order terms in rectanqular coordinates // IEEE. PAS-101, 1982, №9. P. 32613268.

94. Адонц Г.Т. Алгоритм расчета установившегося режима энергосистемы с учетом нелинейных характеристик генераторов и нагрузок // Электричество, 1970, №2, С. 11-14.

95. Адонц Г.Т. О сходимости итерации к единственному решению в расчетах установившихся режимов электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1971, №3, С. 45-49.

96. Стот Р. Обзор методов расчета потокораспределения // ТИИЭР, 1974, Т.62, №7, С. 64-80.

97. Дорофеев В.М. и др. Программа расчетов потерь электроэнергии в питающих и распределительных сетях // Всесоюзн. науч. конф. Снижение потерь в электроэнергетических системах. Баку, 1981, С. 199-201.

98. Тарасов В.И. О выборе исходного приближения и вида переменных при расчете установившихся режимов электрических систем / Ирк. полит, инст. — Иркутск, 1986. -27 с. Деп. В Информэнерго 09.06.86, №2193.

99. Васин *В.П. Структура области существования самоустанавливающегося режима ЭЭС в пространстве активных мощностей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1981, № 1, С. 6-18.

100. Гуревич B.JL, Тарасов В.И. Метод расчета установившихся режимов электроэнергетических систем в прямоугольных координатах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1987, №5, С. 50-60.

101. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -Физматгиз, 1963.- 735 с.

102. Совалов С.А., Семенов В.А. Противоаварийное управление в энергосистемах. -М.: Энергоатомиздат, 1988. 416с.

103. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. -Москва: Мир, 1982.

104. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.-288 с.

105. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

106. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

107. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: Наука, 1972. 232 с.

108. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. Москва: Мир, 1983. - 384 с.

109. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. -Москва: Наука, 1970. 564 с.

110. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы // М.: Мир, 1997.

111. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях: Учеб. пособие для вузов / Ю. Н. Астахов, В. А. Веников, В. В. Ежков и др. / Под ргд. В. А. Веникова. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 504 с.

112. Гамм А.З., Колосок И. Н. Обнаружение грубых ошибок телеизмерений в электроэнергетических системах. Новосибирск: Наука, 2000. - 152 с.

113. Методическое пособие и сборник задач по теоретическим основам электротехники. Под ред. А. В. Баева. Челябинск: Челябинский политехнический институт им. Ленинского комсомола, 1972. - с.

114. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учебный курс. -Питер, 2000. 432 с.

115. A. Brooke, D. Kendrick, A. Meeraus GAMS. A user's guide. GAMS development corporation, 1996. 270 p.

116. Манзон Б. M. Maple V Power Edition. M.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. - 240 с.

117. Труды Иркутского политехнического института // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск, 1971. 225 с.

118. Колесниченко Б. В., Петренко JI. И. Расчеты электрических сетей на программируемых микрокалькуляторах. Киев: Выща школа, 1988. - 207 с.

119. Савина Н. В., Мясоедов Ю. В., Дудченко JI.H. Электрические сети в примерах и расчетах: Учебное пособие. Благовещенск, Издательство АмГУ, 1999.-238 с.