Численные методы решения операторных уравнений в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Штаркман, Анатолий Абрамович
- Специальность ВАК РФ05.13.18
- Количество страниц 93
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Штаркман, Анатолий Абрамович
Введение.
Глава 1. L-регуляризация нелинейных операторных уравнений.
1.1. Основные определения.
1.2. Метод L-регуляризации.
1.3. Об устойчивости L-регуляризованного решения.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Исследование сходимости конечномерных аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений2003 год, кандидат физико-математических наук Танана, Алексей Витальевич
Численное моделирование граничных обратных задач теплопроводности2009 год, кандидат физико-математических наук Колесникова, Наталья Юрьевна
Принцип невязки и его применение к численному моделированию некоторых обратных задач математической физики2007 год, кандидат физико-математических наук Япарова, Наталья Михайловна
Разработка и обоснование методов для решения обратных граничных задач теплообмена2010 год, кандидат физико-математических наук Сидикова, Анна Ивановна
Регуляризация неустойчивых задач в топологических векторных пространствах и конечномерная аппроксимация1998 год, доктор физико-математических наук Менихес, Леонид Давидович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения операторных уравнений в условиях неопределенности»
При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара [73], т.е. существования решения, его единственности и устойчивости. Следствием этого является непригодность для их исследования традиционных численных методов. Для создания новых методов, использующих особенности исходной математической модели, необходимо привлечение теории некорректно поставленных задач.
Теория таких методов была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В.К. Иванова. Развитие этой теории происходило в математических школах, созданных и возглавляемых этими выдающимися математиками. В развитии теории некорректно поставленных задач серьезный научный вклад был сделан в работах следующих математиков: В.Я. Арсенина, A.J1. Агеева, А.Б. Бакушинс-кого, A.J1. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, Ю.Л. Гапоненко, А.В. Гончарского, В.Б. Глас-ко, A.M. Денисова, В.И. Дмитриева, П.Н. Заикина, В.В. Иванова, А.С. Ильинского, А.С. Леонова, О.А. Лисковца, В.А. Морозова, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, A.M. Федотова, А.В. Чечкина, А.Г. Яголы и других математиков.
К настоящему времени накоплен значительный теоретический и практический материал, который частично отражен в известных монографиях М.М. Лаврентьева [32], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [67], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [27], В.А. Морозова [42], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и С.П. Шишатского [34], О.А. Лисковца [37], В.П. Тананы [51], А.Б. Бакушинского и
A.В. Гончарского [5], A.M. Федотова [69], А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яголы [68], В.В. Васина и А.Л. Агеева [12] и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики.
В теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления.
I. Теория регуляризуемости. В ней решается проблема существования хотя бы одного регуляризующего алгоритма. Общая проблематика этого направления связана с исследованиями В.А. Винокурова [14-16], Л.Д. Менихеса [41] и других математиков.
II. Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность — второе фундаментальное направление.
При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных оценок погрешности методов, а также построения оптимальных или близких к ним методов для решения данного класса задач.
Это направление, возникшее в работах В.К. Иванова [26],
B.Н. Страхова [50], нашло свое развитие в работах многих математиков, см [27, 37, 51, 12, 53]. В рамках этих исследований было замечено, что при численном решении конкретных задач, оптимальные методы не всегда дают желаемый результат.
Причины этого кроются в неоправданной сложности оптимального метода или недостаточном учете исходной информации задачи.
Кроме того, неудачная аппроксимация задачи может существенно снизить реальную точность метода. Эта проблематика связана с третьим основным направлением.
III. Построение специальных численных методов решения некорректных задач.
Отправной точкой этого направления являются работы А.Н. Тихонова [61], В.К. Иванова [22] и М.М. Лаврентьева [32]. В основу этого направления было положено численное решение конкретных задач математической физики. Особо здесь следует отметить класс задач, в которых искомое решение имеет сложную структуру, а также задач на определение "тонкой структуры" решения, играющих важную роль в физике твердого тела, см. [36, 29, 30]. К этому направлению примыкают исследования настоящей работы. В ней решаются два основных вопроса. Первый из них связан с обоснованием достаточно широкого класса методов, конечномерной и конеч-норазностной аппроксимации, второй — с выбором параметра регуляризации, позволяющим выявлять "тонкую структуру" решения.
Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.
Во введении дан краткий исторический экскурс в теорию некорректных задач и ее использование при построении численных методов.
Первая глава посвящена обобщению метода L-регуляризации на достаточно широкий класс нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах.
Первые работы в этом направлении принадлежали А.Н. Тихонову [61], в них был предложен метод регуляризации n-го порядка для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода.
Затем В.А. Морозовым и Н.Н. Кирсановой в [44] метод регуляризации n-го порядка был обобщен на класс линейных неограниченных операторов, удовлетворяющих условию дополнительности. Это обобщение было названо //-регуляризацией и в дальнейших исследованиях широко использовалось в работах многих авторов, см. [37, 41,51].
В настоящей работе сделана попытка обобщить этот метод и идею L-регуляризации на класс нелинейных операторов. Для этого понятие дополнительности было заменено более общим понятием Х-полузамкнутости сверху оператора А, которое позволило перенести известные в линейном случае результаты на достаточно широкий класс нелинейных задач.
Одна из таких задач приведена в первой главе. Кроме того в разделе 1.3 подробно исследуются вопросы устойчивости L-регуля-ризованных решений.
Вторая глава посвящена обоснованию сходимости конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений в классе линейных операторов.
Впервые необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций были опубликованы В.П. Тананой и А.Р. Данилиным в [54]. В этой статье был рассмотрен класс линейных ограниченных операторов, a L — тождественный оператор. В настоящей работе операторы А и L, вообще говоря, неограниче-ны. При этом найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при независимом возмущении операторов А и L, позволившие получить в этом направлении самые общие результаты.
Достигнутая в этой главе общность позволила перейти к обоснованию сходимости конечноразностных аппроксимаций в методе регуляризации п-го порядка. Решению этого вопроса посвящена следующая глава.
Третья глава посвящена исследованию метода конечноразност-ной аппроксимации регуляризованных решений. Основным здесь является тот факт, что метод регуляризации рассмотрен в общем виде, т.е. n-го порядка. Исследуемая конечноразностная аппроксимация, заимствована из работы А.Н. Тихонова [60].
Здесь доказана сходимость конечноразностных аппроксимаций к регуляризованному решению и это является одним из основных результатов главы.
В следующих параграфах формулируется принцип минимальных невязок [55]. Затем доказывается, что остальные принципы такие, как невязки и квазирешений являются частным случаем принципа минимальных невязок. В заключении предлагается еще один способ выбора параметра регуляризации на основе принципа минимальных невязок, успешно используемый при определении "тонкой структуры" решений в задачах физики твердого тела [51, 30, 28].
В главе 4 результаты предыдущих глав использованы для определения "тонкой структуры" энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Модифицированный метод регуляризации решения интегральных уравнений I рода в задачах математического моделирования2020 год, кандидат наук Ершова Анна Александровна
Регуляризующие алгоритмы на основе методов ньютоновского типа и нелинейных аналогов 𝛼-процессов2018 год, кандидат наук Скурыдина Алия Фиргатовна
Численные методы исследования математических моделей геофизики и тепловой диагностики на основе теории обратных задач2014 год, кандидат наук Боков, Александр Викторович
Моделирование процессов тепломассопереноса, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных на одно- и двумерных областях2013 год, кандидат наук Кутузов, Антон Сергеевич
Теория регуляризации сдвигом и ее приложения2013 год, доктор физико-математических наук Назимов, Акбар Багадурович
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.