Численный метод CSPH с корректировкой градиента сглаживающего ядра и его применение в механике деформируемых сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Рублев Георгий Дмитриевич

• Рублев Георгий Дмитриевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Рублев Георгий Дмитриевич

Введение

Глава 1. Моделирование вязких и упругопластических сред с возможностью учёта поверхностного натяжения в

декартовом и осесимметричном случаях

1.1 Используемые математические модели

1.1.1 Уравнения состояния

1.1.2 Модель поверхностного натяжения

1.1.3 Моделирование упругопластических сред

1.2 Метод сглаженных частиц ЯГИ

1.2.1 Традиционный метод БРИ

1.2.2 Контактный метод БРИ (СБРИ)

1.2.3 Метод МиБСЬ-БРИ

1.2.4 Сглаживающие ядра

1.3 Осесимметричный контактный метод БРИ

1.3.1 Условие вблизи оси симметрии

1.4 Задание граничных условий

Глава 2. Повышение точности контактного метода 8РЫ

2.1 Дисперсионный анализ метода СБРИ

2.1.1 Точное дисперсионное соотношение

2.1.2 Дисперсионное соотношение для метода СБРИ

2.2 Анализ ошибок аппроксимации контактного метода БРИ

2.2.1 Уравнение неразрывности

2.2.2 Уравнение движения

2.2.3 Уравнение энергии

2.2.4 Схемная вязкость метода СБРИ

2.3 Корректировка градиента сглаживающего ядра в методе СБРИ . 61 2.3.1 Консервативность схемы с корректировкой градиента

сглаживающего ядра

2.4 Корректировка градиента сглаживающего ядра при моделировании упругопластических сред

2.5 Анализ ошибок аппроксимации осесимметричного контактного метода SPH. Корректировка градиента сглаживающего ядра

2.6 Методы снижения схемной диффузии

Глава 3. Реализация разработанных алгоритмов в рамках

программного комплекса PyPHIA

3.1 Особенности программного комплекса

3.1.1 Основные модули

3.1.2 Использование интерпретатора Python

3.2 Расчёт правых частей уравнений

3.3 Граничные условия

3.4 Дробление/слияние SPH-частиц

3.4.1 Предварительный анализ задачи дробления/слияния SPH-частиц

3.4.2 Дробление SPH-частиц

3.4.3 Слияние SPH-частиц

3.5 Пример использования модулей автора для решения

прикладной задачи

3.6 Тестирование корректировки градиента сглаживающего ядра

3.6.1 Тест Сода

3.6.2 Распространение звуковой волны в воде

3.6.3 Задача Шу-Ошера

3.6.4 Расширяющийся в воде пузырёк воздуха

3.6.5 2D (цилиндрический) тест Сода

3.6.6 Моделирование взрывной волны (тест blast wave)

3.6.7 Взаимодействие воздушной полости в воде с ударной волной

3.6.8 Задача о распаде разрыва в упругопластическом материале

3.6.9 Распространение продольной звуковой волны

3.6.10 Цилиндрическая задача Верни

3.7 Тестирование процедуры управления схемной вязкостью

3.7.1 Диффузия импульса в сдвиговом потоке идентичных

жидкостей

3.7.2 Диффузия импульса в вязком сдвиговом течении различных жидкостей

3.7.3 Моделирование падения шара в вязкой жидкости

3.7.4 Согласованность метода корректировки вязкости для двумерных и трехмерных вязких течений

3.8 Тестирование осесимметричного контактного метода БРИ

3.8.1 Цилиндрическая задача Верни

3.8.2 Задача о распаде разрыва в идеальном газе (цилиндрический тест Сода)

3.8.3 Задача Седова о точечном взрыве

3.8.4 Тест Тейлора

3.8.5 Пробитие тонких преград

3.9 Верификация модели поверхностного натяжения

3.9.1 Установление давления Лапласа в капле под действием поверхностного натяжения

3.9.2 Период малых колебаний капли

3.9.3 Стягивание тонкой плёнки под действием поверхностного натяжения

Глава 4. Примеры применения разработанных численных

алгоритмов

4.1 Моделирование течений вязких жидкостей

4.1.1 Моделирование обтекания цилиндров

4.2 Моделирование развития неустойчивости Рэлея-Плато

4.3 Ослабление ударной волны разрушаемой песчаной преградой

4.3.1 Постановка задачи о взрыве в песчаном цилиндре

4.3.2 Результаты моделирования

Заключение

Словарь терминов, сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный метод CSPH с корректировкой градиента сглаживающего ядра и его применение в механике деформируемых сред»

Актуальность темы.

При моделировании задач механики сплошных многокомпонентных сред с большими относительными скоростями деформации использование сеточных численных методов затруднено ввиду быстрого изменения формы свободных границ и границ раздела материалов, возможного наличия таких явлений как откол и кавитация. К таким задачам относятся, например, пробитие преград, кумуляция, разрушение преград взрывом. При решении таких задач в рамках сеточного эйлерова подхода возникает необходимость расчёта смешанных ячеек, а лагранжев формализм невозможен без перестроения сетки. Оба метода требуют применения специальных методик.

В качестве возможной альтернативы рассматривается переход к бессеточным лагранжевым методам частиц, таким, как метод гидродинамики сглаженных частиц (БРИ). В методе БРИ среда представляется произвольным набором точек, каждая из которых связана со своим малым объёмом фиксированной массы (так называемые "сглаженные" частицы). Такие частицы не имеют постоянных связей, а отслеживание контактных и свободных границ происходит при расчёте автоматически.

Идея бессеточного метода гидродинамики сглаженных частиц БРИ была впервые высказана Люси [1] и Монаганом [2] в 1977 г. для астрофизических приложений (см., например, [3]). Частицы в методе БРИ не обладают заданной формой, они имеют объём, который меняется соответственно изменениям плотности. Значения физических величин приписываются к центрам БРИ-частиц. Система дифференциальных уравнений механики сплошных сред, выражающая законы сохранения массы, импульса и энергии, записывается в эйлеровых переменных с материальной производной в левой части. В настоящее время различные модификации метода БРИ широко применяются для моделирования сплошных сред [4—10] в инженерных и исследовательских целях.

На первоначальном этапе развития метода БРИ моделирование сжимаемых сред проводилось с использованием искусственной вязкости [11; 12].

В 1999 г. А.Н. Паршиковым в уравнения БРИ для сжимаемой невязкой нетеплопроводной среды было введено решение задачи Римана на контактах между частицами (контактный БРИ, СБРИ) [13] аналогично расчёту потоков че-

рез границы ячеек в сеточных методах Годунова [14]. Уравнения метода CSPH включают в себя потоки импульса и энергии в правых частях. Эти потоки вычисляются с использованием решения задачи Римана на контакте между базисной частицей и каждой из частиц её окружения. Изначально в методе CSPH использовались кусочно-постоянные функции при переносе значений физических величин на точку контакта. В работах [4; 15; 16] описано применение кусочно-линейных (contact Smoothed Particle Hydrodynamics with Monotonie Upstream-centered Scheme for Conservation Laws, MUSCL-SPH) функций для переноса значений физических величин на точку контакта.

В 2002 г. в работе [17] этот подход был распространён на сжимаемые упру-гопластические среды с теплопроводностью. Метод CSPH приводит к высокой схемной вязкости, которая является причиной сглаживания фронтов ударных волн и причиной физически не оправданного быстрого затухания колебаний в среде.

Шу-итиро Инуцука в 2002 году также предложил способ введения задачи Римана в уравнения метода SPH [18], однако его схема не нашла широкого применения, что, вероятно, связано с более сложным подходом к аппроксимации уравнений механики сплошных сред.

В традиционном методе SPH для задач с ударными волнами искусственная вязкость вводится с целью обеспечения устойчивости счёта. Стоит отметить, что Феррари и др. [19] предложили схему SPH без искусственной вязкости, где внутренняя численная вязкость потока "против ветра" в уравнении неразрывности используется для стабилизации поля давления. В методах го-дуновского типа неявно присутствует схемная (аппроксимационная) вязкость, что повышает устойчивость схемы.

Если источники различного рода погрешностей в конечно-разностных схемах исследованы достаточно полно (например, диссипативные механизмы в сеточных методах Годунова анализировались в работах [20; 21]), то природа схемных погрешностей в методах SPH всё ещё находится в стадии изучения.

Для снижения численной диффузии разными авторами было предложено несколько подходов, среди которых стоит выделить использование повышенного порядка реконструкции (MUSCL, WENO). Использование повышенного порядка реконструкции значений на контакте в методе SPH описано в работах [4; 15; 16].

В диссертационной работе подтверждено теоретически, что схемная вязкость метода СБРИ с кусочно-постоянной реконструкцией значений на контакте может рассматриваться как физическая вязкость с некоторым эффективным коэффициентом динамической вязкости. На основе численных экспериментов, а также теоретически, путём применения формулы Тейлора к физическим величинам в правой части уравнения движения, установлено, что коэффициент схемной вязкости линейно зависит от размера частиц и акустической жесткости материала. Получена формула для оценки коэффициента динамической схемной вязкости в СБРИ.

Кроме схемной диффузии в БРИ-схемах присутствуют также и погрешности, связанные с аппроксимацией дифференциальных операторов, стоящих в правых частях исходных уравнений. Для устранения таких погрешностей Рандлс и Либерски [22] предложили использовать формулу Тейлора для введения в уравнения корректирующей матрицы ренормализации. Такой подход нашел широкое применение в работах других авторов [23—25].

Теоретическому исследованию таких важных свойств традиционного метода БРИ как устойчивость, аппроксимация и сходимость посвящён ряд работ (см., например, [26—28]). В работе [29] проведено исследование механизмов возникновения численных неустойчивостей и предложен метод введения достаточного консервативного сглаживания для стабилизации схемы БРИ как по растяжению, так и по сжатию. В работах [30—32] проводился дисперсионный анализ традиционного метода БРИ. В работах [30; 31] предложены методы устранения неустойчивости при растяжении на основе результатов дисперсионного анализа. М.Б. Лиу и Г.Р. Лиу в работе [33], указали, что для неравномерно упакованных частиц и вблизи границ традиционный метод БРИ не обладает даже нулевым порядком аппроксимации вследствие нескомпенсированного вклада частиц в БРИ-суммы. Ряд работ был посвящен исследованию точности БРИ-аппроксимации и возможностям её повышения, а также вопросам сходимости метода БРИ. Среди таких работ стоит отметить [34; 35].

Менг с соавторами в работе [36] предложили вариант введения матрицы ренормализации в метод СБРИ, однако такая корректировка применялась только к уравнению неразрывности, чтобы метод оставался консервативным.

В диссертационной работе предлагается методика корректировки градиента сглаживающего ядра для методов БРИ типа Годунова (СБРИ, МИЯСЬ-БРИ), которая является расширением корректировки градиента сглаживающего ядра

для традиционного метода SPH, предложенного в работе [22]. В отличие от работы [36], разработанная корректировка применяется ко всем уравнениям (неразрывности, движения и энергии), из-за чего получила название полной корректировки ядра (Total Kernel Correction или TKC), и обеспечивает точное сохранение полного импульса и полной энергии. Разработанная корректировка позволяет снизить ошибки SPH-аппроксимации, однако сходимость метода SPH должна рассматриваться в пределе, указанном в работе [37].

Трёхмерное моделирование в декартовой системе координат требует большого числа частиц и может занимать продолжительное время. При этом для целого ряда практически важных задач можно использовать двумерное осесим-метричное моделирование, что позволяет существенно ускорить моделирование и снизить вычислительную нагрузку. Разработка осесимметричного контактного метода SPH в настоящее время является актуальной задачей.

Во-первых, осесимметричный метод CSPH требует во много раз меньших вычислительных ресурсов, чем 3Э-методы, а потому практически важен для моделирования некоторых задач; например, при моделировании пробития преград [38; 39], для моделирования осесимметричных течений жидкости, задач обжатия оболочек, пузырьков в жидкости [40], моделирования взрывов в атмосфере, под водой и под землёй. Осесимметричный метод SPH также может быть полезен при моделировании воздействия мощного лазерного излучения на вещество.

Во-вторых, многие особенности осесимметричного метода SPH недостаточно полно отражены в научной литературе. В большинстве работ рассматривается осесимметричный метод SPH с искусственной вязкостью. Впервые такой осесимметричный метод SPH был предложен в 1985 году Колеманом и Бикнелом [41]. В 1993 году в работе [42] был предложен осесимметричный вариант метода SPH, полученный прямым переходом от трёхмерного декартового случая с Гауссовым ядром к двумерному осесимметричному путём интегрирования по углу. В последующие годы было предложено ещё несколько вариантов осесимметричного метода SPH, где предполагалось использование искусственной вязкости (см., например, [40; 43; 44]). Выбор подходящих параметров искусственной вязкости не всегда тривиален, что создаёт трудности при использовании таких методов. Впервые осесимметричный метод SPH, основанный на решении задачи Римана, был предложен А.Н. Паршиковым в 2000 году в работе [38], однако предложенная схема не являлась консервативной. В 2022 году

Фэнг и др. в работе [45] предложили ввести реконструкцию MUSCL в осесим-метричный метод А.Н. Паршикова для моделирования подводного взрыва.

Для создания консервативного контактного осесимметричного метода SPH необходимо выбрать такую консервативную схему традиционного осесимметричного метода SPH, где, не нарушая консервативности схемы, можно произвести замену полусумм давления и скорости базисной частицы и каждой соседней на соответствующие контактные значения. В диссертационной работе получено семейство консервативных схем осесимметричного контактного метода SPH. Ввиду отсутствия аналитического решения задачи о распаде разрыва для течения в угле используется решение для одномерной плоской задачи. С помощью применения формулы Тейлора к правым частям SPH-уравнений в осесимметричном случае показано, что такой выбор значений на контакте позволяет аппроксимировать уравнения механики сплошных сред в осесим-метричном случае. На эту схему также распространён метод корректировки градиента сглаживающего ядра [46].

Одной из актуальных проблем метода SPH является поиск способов задания граничных условий. Методы задания граничных условий входят в перечень основных вызовов, с которыми сталкивается метод SPH по версии SPHERIC (SPH Grand Challenges) [6]. В диссертационной работе предложен новый способ задания граничных условий через взаимодействие граничных частиц с фиктивными частицами. Предложенное граничное условие позволяет моделировать поверхностное натяжение, воздействие внешнего давления, а также, при необходимости, наличие вакуума.

Моделирование поверхностного натяжения основано на модели Continuum Surface Force (CSF) Брэкбилла [47]. Модель CSF впервые была применена к методу SPH Моррисом в 2000 году в работе [48]. Далее подход был развит другими авторами [49; 50]. В отличие от ранее опубликованных подходов, в диссертационной работе сила, действующая на поверхностные частицы, задаётся за счёт взаимодействия поверхностных частиц с фиктивными частицами. Такой подход является более гибким, так как за счёт задания параметров фиктивных частиц (скорость, давление, плотность и скорость звука) можно задавать комбинированные условия на границе.

Стоит также отметить, что некоторые исследователи рассматривают принципиально другие подходы к моделированию поверхностного натяжения в методе SPH. Эти подходы основаны на введении межчастичных сил

взаимодействия с использованием различных потенциалов по аналогии с методом молекулярной динамики [51—53]. Такие модели просты в реализации, позволяют точно сохранять полный импульс, тривиально обобщаются на взаимодействие различных материалов, однако у них есть ряд существенных недостатков. Во-первых, результирующее поверхностное натяжение необходимо откалибровать с помощью численного эксперимента. Во-вторых, поверхностное натяжение зависит от разрешения и не стремится к фиксированному значению при увеличении разрешения [50]. В-третьих, точность моделирования при использовании таких моделей значительно хуже, чем при использовании моделей типа CSF [50].

В диссертации также обсуждается задача о динамическом расщеплении (дроблении) и слиянии SPH-частиц. Первоначально динамическое дробление частиц в SPH было выполнено для астрофизического моделирования с использованием плотности в качестве критерия адаптации [54]. С расширением области применения адаптации в SPH появились различные критерии дробления. Наиболее часто дробление применяется в заранее определённых областях [55—58], однако существуют критерии связанные с градиентом скорости [59], обобщенной функцией поля расстояний [60], с деформацией [61], с напряжениями [57].

При реализации динамической адаптации в SPH частица может быть разделена на конечное число более мелких частиц (так называемых "дочерних") или объединена с одной или несколькими соседними частицами. При этом необходимо удовлетворять как можно большему числу законов сохранения. Как правило, при адаптации стремятся минимизировать ошибки, связанные с изменением упаковки частиц [55; 56].

Задача прохождения ударных волн через среды с препятствиями представляет собой сложную задачу для современных численных методов, хотя имеет важное прикладное значение. Например, в работах [62; 63] исследуется эволюция формы ударной волны при взаимодействии с различными преградами. В диссертационной работе проводится моделирование ослабления ударной волны разрушаемой песчаной преградой [64]. Идея ослабить воздействие взрыва на защищаемый объект с помощью разрушаемой преграды низкой прочности, состоящей из песка, достаточно проста: вследствие скоростной неравновесности низкоплотная "лёгкая" среда за ударной волной (воздух и продукты взрыва) передают свой импульс к мелкодисперсной, низкоскоростной "тяжёлой" фракции (песок), образовавшейся при разрушении преграды. Ударная волна и поток сре-

ды за ней ослабевают до безопасных защищаемому объекту величин, а песчаная фракция разгоняется, но тоже до безопасных защищаемому объекту значений.

Компьютерное моделирование такого эксперимента представляет собой сложную задачу. Сеточные лагранжевы методы неприменимы вследствие неприемлемых для расчёта требований к перестройке сетки, а использование сеточных эйлеровых методов требует привлечения уравнений двухскоростной гидродинамики, так как фрагменты разрушаемой преграды (песчинки) будут приобретать скорость в обгоняющих их продуктах взрыва вследствие силового и вязкого взаимодействия с последними. В этом случае песчаная субстанция и продукты взрыва должны моделироваться сплошными взаимопроникающими континуумами, и необходимо разработать модель взаимодействия этих континуумов для построения обменных членов в правых частях уравнений двухскоростной гидродинамики. В этом случае корректность решения всей задачи будет зависеть исключительно от правдоподобия допущений, принятых при построении модели обменных членов.

Предпочтительным представляется использовать бессеточный метод гидродинамики сглаженных частиц (БРИ). В этом случае каждая из контактирующих сред (продукты взрыва, песок, воздушная среда) занимает свою область пространства и описывается своим сортом лагранжевых частиц. Таким образом, справедливо односкоростное приближение, а скоростная неравновесность между продуктами взрыва и песчаными фрагментами формируется автоматически.

Целью данной работы является развитие семейства контактных методов гидродинамики сглаженных частиц СБРИ с компенсацией ошибок аппроксимации и создание соответствующих модулей в рамках программного комплекса РуРИ1А, разработанного при участии автора диссертации, для достоверного моделирования вязких течений, поверхностных явлений, а также задач механики упругопластических сред в условиях больших деформаций.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих задач:

1. Формулировка моделей вязких и упругопластических сред для последующего применения метода СБРИ.

2. Формулировка дискретной модели в соответствии с методом СБРИ, определение источников ошибок аппроксимации и разработка подходов для их устранения.

3. Разработка осесимметричного метода СБРИ, обеспечивающего сохранение полного импульса и полной энергии в замкнутых системах, для моделирования задач с осевой симметрией с высокой точностью пространственной дискретизации.

4. Разработка модели и алгоритма учёта поверхностного натяжения для семейства методов СБРИ.

5. Создание модулей для программного комплекса РуРИ1А для моделирования методом СБРИ с компенсацией ошибок аппроксимации.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались: контактный метод гидродинамики сглаженных частиц для сжимаемой среды с использованием приближенных решений задачи Римана при аппроксимации законов сохранения массы, импульса и энергии, явный метод Эйлера для интегрирования по времени, дисперсионный анализ и формула Тейлора для исследования свойств численной схемы.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными, а также результатами, полученными ранее другими авторами.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. В ходе анализа свойств схемы СБРИ впервые установлено теоретическим путём, что схемная вязкость при моделировании сдвигового течения аналогична физической. Получена формула для оценки коэффициента схемной динамической сдвиговой вязкости метода СБРИ.

2. Впервые процедура корректировки градиента сглаживающего ядра, которая улучшает аппроксимацию пространственных производных, распространена на семейство контактных методов СБРИ.

3. Впервые получено семейство осесимметричных схем контактного метода СБРИ, отвечающих законам сохранения импульса и энергии.

4. Впервые предложен алгоритм учета внешнего давления и поверхностного натяжения для семейства контактных методов СБРИ с корректировкой веса фиктивных частиц, в том числе в осесимметричной постановке.

5. Созданы программные модули в рамках комплекса РуРН1А для моделирования вязких течений, поверхностных явлений, а также задач механики упругопластических сред в условиях сильной деформации как в декартовой, так и в осесимметричной геометрии.

Практическая значимость. Расширена область применимости контактного метода СБРН на вязкие сжимаемые среды. Использование компенсирующих слагаемых в правых частях уравнений позволяет снизить схемную вязкость до уровня физической вязкости среды.

Предложенная корректировка градиента сглаживающего ядра ТКС позволяет обеспечить лучшую аппроксимацию пространственных производных и сходимость к точному решению при уменьшении размера частиц, что важно при верификации расчетов с различным пространственным разрешением.

Осесимметричный контактный метод СБРН позволяет решать прикладные задачи с осевой симметрией с высоким пространственным разрешением, недоступным для трёхмерного моделирования.

Реализованный алгоритм учета внешнего давления позволяет расширить область применимости метода СБРН на задачи с поверхностным натяжением, в том числе в осесимметричном случае.

Реализация предложенных методов и алгоритмов в рамках программного комплекса РуРН1А позволяет использовать передовые возможности моделирования на современных высокопроизводительных вычислительных системах в массивно-параллельном режиме и проводить расчеты с использованием миллиардов частиц.

Положения, выносимые на защиту:

1. Способ моделирования вязкой сжимаемой среды с использованием корректирующего тензора вязких напряжений в рамках метода СБРН.

2. Методика повышения точности аппроксимации пространственных производных путем корректировки градиента сглаживающего ядра ТКС для семейства контактных методов СБРН.

3. Осесимметричная численная схема СБРН, обеспечивающая сохранение полного импульса и полной энергии, для моделирования сжимаемых сред с высоким пространственным разрешением.

4. Алгоритм учета внешнего давления с корректировкой веса фиктивных частиц для моделирования поверхностного натяжения, в том числе в осесимметричной постановке.

5. Модули программного комплекса PyPHIA для математического моделирования вязких течений, поверхностных явлений, а также задач механики упругопластических сред в условиях сильной деформации как в декартовой, так и в осесимметричной геометрии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: XXXVIII Fortov international conference on equation of state for matter (Эльбрус, Кабардино-Балкария, Россия, 2022); XVI Международная конференция "Забабахинские научные чтения" (Сне-жинск, Россия, 2023); XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Санкт-Петербург, Россия, 2023); CFD-Уикенд 2023 (Москва, Россия,

2023); XXXIX Fortov international conference on equation of state for matter (Эльбрус, Кабардино-Балкария, Россия, 2024); CFD-Уикенд 2024 (Москва, Россия,

2024); XIX Международная конференция "Супервычисления и математическое моделирование" (Саров, Россия, 2024); Всероссийская конференция "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений", (пос. Вишневка, Россия, 2024); "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (пос. Шерегеш, Россия, 2025); XVII Международная конференция "Забабахинские научные чтения" (Снежинск, Россия, 2025); Научно-технический семинар ЦФПИ ВНИИА (Москва, Россия, 2025); семинар В.Ф. Тишкина и А.А. Кулешова в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2025); семинар ЛаПлаз в НИЯУ МИФИ (Москва, Россия, 2025).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 4-х научных статьях [46; 65—67], в трёх статьях [46; 65; 67] в изданиях, индексируемых в базах данных Scopus и Web of Science.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность за всестороннюю поддержку и ценные советы своим старшим коллегам д.ф.-м.н. Паршикову А. Н., к.ф.-м.н. Жаховскому В. В., к.ф.-м.н. Григорьеву С. Ю., к.ф.-м.н. Мур-зову С. А.

Личный вклад. Все изложенные в диссертации оригинальные результаты получены автором лично, либо при его непосредственном участии. Автор принимал непосредственное участие в выборе подходов к исследованию, разработке численных алгоритмов, реализации алгоритмов в рамках программного комплекса PyPHIA, а также в обсуждении результатов моделирования. Численное моделирование проводилось лично автором.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 167 страниц, включая 60 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 108 наименований.

Глава 1. Моделирование вязких и упругопластических сред с возможностью учёта поверхностного натяжения в декартовом и

осесимметричном случаях

1.1 Используемые математические модели

Динамика течений в сжимаемых жидких средах описывается уравнениями, выражающими законы сохранения массы, импульса и энергии:

(¡£ 1 ф

, , V • и, (1.1)

(И р (И к '

£ = -1 V* (12)

аЪ р

ж = —1у •(РИ)' (13)

где £ = — 1п (р/ро) - объёмная деформация, р0 и р - начальная и текущая плотности вещества, Р - давление, и = (их,иу,иг)т - скорость движения среды в неподвижной лабораторной системе координат, Е = е + И2/2 - полная энергия единицы массы вещества, - внутренняя энергия единицы массы вещества. Система (1.1) - (1.3) замыкается уравнением состояния в виде

Р = Р (р,е). (1.4)

В более общем случае для описания сплошных сред далее будут использоваться приведённые ниже уравнения:

| = (15)

и 1

Iй = рV • (16)

^ = — рV ••И), (17)

где а - тензор напряжений, который представляется в виде суммы шаровой части —РI (I - единичный тензор), тензора-девиатора упругих напряжений 8 и тензора-девиатора вязких напряжений т:

а = -Р1 + 8 + т.

Девиатор напряжений в упругой среде вычисляется как:

^ = 2 С (£ - 11Г (£) Л , (1.8)

(И \(И 3 \(И) ) v '

где С - модуль сдвига, а - тензор скоростей деформаций:

§ = 2 (V ® и + (V 0 и)т) . (1.9)

Тензор-девиатор вязких напряжений т имеет вид [68]:

т = П (2£ - ^ • И)х) ,

где п - коэффициент динамической вязкости. Гидродинамическое давление считается равным среднему арифметическому нормальных напряжений, взятому со знаком "минус":

Р = -3

1.1.1 Уравнения состояния

В диссертации использовано четыре вида уравнений состояния.

1. Уравнение состояния идеального газа. Оно имеет вид:

Р = (у - 1)ре, (1.10)

где у — показатель адиабаты.

Для расчёта распада в акустическом приближении необходимо знать скорость звука в материале взаимодействующих БРИ-частиц. Для приведённого

уравнения состояния она выражается как:

°=

2. Линейное уравнение состояния. Оно имеет вид:

Р = Со(р - ро),

(1.11)

где Со = В/р0 = const - объёмная скорость звука, В - модуль объёмного сжатия, р0 - равновесная плотность.

3. Логарифмическое уравнение состояния. Оно имеет вид:

Р = В \n{Vo/V), (1.12)

где V = 1/р, V = 1/р0. Объёмная скорость звука при этом равна

Со = Д Vр

4. Уравнение состояния в форме Ми-Грюнайзена с двумя опорными кривыми. Оно имеет вид:

Р = Pref + ур(е - eref), (1.13)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рублев Георгий Дмитриевич, 2026 год

Список литературы

1. Lucy, L. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis / L. Lucy // The Astronomical Journal. — 1977. — Vol. 82, no. 12. — P. 1013—1024.

2. Gingold, R. A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / R. A. Gingold, J. J. Monaghan // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1977. — Vol. 181, no. 3. — P. 375—389.

3. Monaghan, J. J. A refined particle method for astrophysical problems / J. J. Monaghan, J. C. Lattanzio // Astronomy and Astrophysics. — 1985. — Vol. 149, no. 1. — P. 135—143. — ISSN: 0004-6361.

4. An improved model for compressible multiphase flows based on Smoothed Particle Hydrodynamics with enhanced particle regeneration technique / M.-K. Li [et al.] // Journal of Computational Physics. — 2022. — Vol. 458. — P. 111106.

5. Marrone, S. An accurate SPH modelling of viscous flows around bodies at low and moderate Reynolds numbers / S. Marrone [et al.] // Journal of Computational Physics. — 2013. — Vol. 245. — P. 456—475.

6. Grand challenges for Smoothed Particle Hydrodynamics numerical schemes / R. Vacondio [et al.] // Computational Particle Mechanics. — 2021. — Vol. 5, no. 3. — P. 575—588.

7. DualSPHysics: from fluid dynamics to multiphysics problems / J. Domínguez [et al.] // Computational Particle Mechanics. — 2021.

8. Computational and experimental studies of penetration resistance of Ceramic-Metal composites / V. R. Ikkurthi [et al.] // Materials Today: Proceedings. — 2023. — May. — Vol. 87.

9. Sapozhnikov, F. A. Influence of initial particle configuretion upon sphericity of shock loaded density interface in SPH modellong of Richtmyer-Meshkov instability / F. A. Sapozhnikov, V. S. Rykovanov // Journal of Physics: Conference Series. — 2022. — Vol. 2154. — P. 012004.

10. Rykovanov, V. S. Choosing the thermal conduction equation solution method in SPH / V. S. Rykovanov, F. A. Sapozhnikov // Journal of Physics: Conference Series. — 2022. — Vol. 2154. — P. 012003.

11. Monaghan, J. J. Shock Simulation by the Particle Method SPH / J. J. Monaghan, R. A. Gingold // Journal of Computational Physics. — 1983. — Vol. 52. — P. 374—389.

12. Monaghan, J. An introduction to SPH / J. Monaghan // Computer Physics Communications. — 1988. — Vol. 48. — P. 89—96.

13. Parshikov, A. N. Application of a solution to the Riemann problem in the SPH method / A. N. Parshikov // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. — 1999. — Vol. 39, no. 7. — P. 1216—1225.

14. Toro, E. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics / E. Toro. — Springer Berlin, 2013.

15. Smoothed particle hydrodynamics: Methodology development and recent achievement / Z. Chi [et al.] // Math. Meth. Appl. Sci. — 2022. — Vol. 34, no. 5. — P. 767—805.

16. Xiaoyan, H. A MUSCL smoothed particles hydrodynamics for compressible multi-material flow / H. Xiaoyan, J. Song, W. Ruili // Math. Meth. Appl. Sci. — 2016. — Vol. 39. — P. 1093—1100.

17. Parshikov, A. N. Smoothed Particle Hydrodynamics Using Interparticle Contact Algorithms / A. N. Parshikov, S. A. Medin // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 180, no. 1. — P. 358—382.

18. Inutsuka, S.-i. Reformulation of Smoothed Particle Hydrodynamics with Riemann Solver / S.-i. Inutsuka // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 179. — P. 238—267.

19. A new 3D parallel SPH scheme for free surface flows / A. Ferrari [et al.] // Computers and Fluids. — 2009. — Vol. 38. — P. 1203—1217.

20. Kun, X. Dissipative mechanism in Godunov-type schemes / X. Kun, L. Zuowu // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2001. — Vol. 37.

21. Янилкин, Ю. Об аппроксимационной вязкости разностных схем и расчёты течений вязкой жидкости / Ю. Янилкин [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. Серия: математическое моделирование физических процессов. — 2016. — № 3. — С. 3—17.

22. Randles, P. Smoothed Particle Hydrodynamics: Some recent improvements and applications / P. Randles, L. Libersky // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1996. — Vol. 139. — P. 375—408.

23. An improved SPH method: Towards higher order convergence / G. Oger [et al.] // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2007. — Vol. 225. — P. 1472—1492.

24. Incompressible smoothed particle hydrodynamics for free-surface flows: A generalized diffusion-based algorithm for stability and validations for impulsive flows and propagating waves / S. Lind [et al.] // Journal of Computational Physics. — 2012. — Vol. 231. — P. 1499—1523.

25. An accurate SPH Volume Adaptive Scheme for modeling strongly-compressible multiphase flows. Part 1: Numerical scheme and validations with basic 1D and 2D benchmarks / P.-N. Sun [et al.] // Journal of Computational Physics. — 2021. — Vol. 426.

26. Vila, J. On particle weighted methods and smooth particle hydrodynamics / J. Vila // Math. Models Methods Appl. Sci. — 1999. — Vol. 9, no. 2. — P. 161—209.

27. Franz, T. Convergence of the smoothed particle hydrodynamics method for a specific barotropic fluid flow: constructive kernel theory / T. Franz, H. Wendland // SIAM J. MATH. ANAL. — 2018. — Vol. 50, no. 5.

28. Moussa, B. B. On the convergence of SPH method for scalar conservation laws with boundary conditions / B. B. Moussa // Methods Appl. Anal. — 2006. — Vol. 13, no. 1. — P. 29—62.

29. Hicks, D. Conservative smoothing with B-splines stabilizes SPH material dynamics in both tension and compression / D. Hicks, L. Liebrock // Applied Mathematics and Computation. — 2004. — Vol. 150. — P. 213—234.

30. Gray, J. P. SPH elastic dynamics / J. P. Gray, J. J. Monaghan, R. P. Swift // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2001. — Vol. 190. — P. 6641—6662.

31. Monaghan, J. J. SPH without a Tensile Instability / J. J. Monaghan // Journal of Computational Physics. — 2000. — Vol. 159. — P. 290—311.

32. Dispersion Analysis of Smoothed Particle Hydrodynamics to Study Convergence and Numerical Phenomena at Coarse Resolution / O. Stoyanovskaya [et al.] // Computational Science and Its Applications - ICCSA 2022. — 2022. — P. 184—197.

33. Liu, M. B. Smoothed particle hydrodynamics (SPH): an overview and recent developments / M. B. Liu, G. R. Liu // Arch. Comput. Methods Eng. — 2010. — Vol. 17. — P. 25—76.

34. Francomano, E. Highlighting numerical insights of an efficient SPH method / E. Francomano, M. Paliaga // Applied Mathematics and Computation. —

2018. — Vol. 339. — P. 899—915.

35. A new insight into the consistency of the SPH interpolation formula / L. D. G. Sigalotti [et al.] // Applied Mathematics and Computation. —

2019. — Vol. 356. — P. 50—73.

36. Meng, Z.-F. A shock-capturing scheme with a novel limiter for compressible flows solved by smoothed particle hydrodynamics / Z.-F. Meng [et al.] // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2021. — Vol. 149, no. 1. — P. 135—143.

37. Quinlan, N. J. Truncation error in mesh-free particle methods / N. J. Quinlan, M. Basa, M. Lastiwka // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 2006. — Vol. 66. — P. 2064—2085.

38. Impruvements in SPH method by means of interparticle contact algorithm and analysis of perforation tests at moderate projectile velocities / A. N. Parshikov [et al.] // International Journal of Impact Engineering. — 2000. —Vol. 24. — P. 779—796.

39. Johnson, G. R. Incorporation of an SPH option into the EPIC code for a wide range of high velocity impact computations / G. R. Johnson, H. E. Peterson, R. A. Stryk // Int. J. Impact Engng. — 1993. — Vol. 14. — P. 385—394.

40. An axisymmetric multiphase SPH model for the simulation of rising bubble / M.-K. Li [et al.] // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2020. — Vol. 366. — P. 113039.

41. Coleman, C. Jets with entrained clouds - I. Hydrodynamic simulations and magnetic field structure / C. Coleman, G. V. Bicknell // Mon. Not. R. Astr. Soc. — 1985. — Vol. 214. — P. 337—355.

42. Petschek, A. Cylindrical Smoothed Partical Hydrodynamics / A. Petschek, L. Libersky // Journal of computational physics. — 1993. — Vol. 109. — P. 76—83.

43. Omang, M. SPH in spherical and cylindrical coordinates / M. Omang, S. B0rve, J. Trulsen // Journal of Computational Physics. — 2006. — Vol. 213, no. 1. — P. 391—412.

44. Блажнов, И. Д. Полностью консервативные SPH-системы газодинамики и схема их численного интегрирования / И. Д. Блажнов [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. Серия: математическое моделирование физических процессов. — 2020. — № 2.

45. An accurate and robust axisymmetric SPH method based on Riemann solver with applications in ocean engineering / X.-L. Fang [et al.] // Ocean Engineering. — 2022. — Vol. 244. — P. 110369.

46. Rublev, G. D. Improving approximation accyracy in Godunov-type smoothed particle hydrodynamics methods / G. D. Rublev, A. N. Parshikov, S. A. Dy-achkov // Applied Mathematics and Computation. — 2024. — Vol. 488.

47. Brackbill, J. A continuum method for modeling surface tension / J. Brackbill, D. Kothe, C. Zemach // Journal of Computational Physics. — 1992. — Vol. 100. — P. 335—354.

48. Morris, J. P. Simulating surface tension with smoothed particle hydrodynamics / J. P. Morris // Int. J. Numer. Methods Fluids. — 2000. — Vol. 33, no. 3. — P. 333—353.

49. Adami, S. A new surface-tension formulation for multi-phase SPH using a reproducing divergence approximation / S. Adami, X. Y. Hu, N. A. Adams // Journal of Computational Physics. — 2010. — Vol. 229.

50. An overview of smoothed particle hydrodynamics for simulating multiphase flow / Z.-B. Wang [et al.] // Applied Mathematical Modelling. — 2016. — Vol. 40, no. 23. — P. 9625—9655.

51. Nugent, S. Liquid drops and surface tension with smoothed particle applied mechanics / S. Nugent, H. A. Posch // Phys. Rev. E. — 2000. — Oct. — Vol. 62, issue 4. — P. 4968—4975.

52. Tartakovsky, A. Modeling of surface tension and contact angles with smoothed particle hydrodynamics / A. Tartakovsky, P. Meakin // Phys. Rev. E. — 2005. — Aug. — Vol. 72, issue 2. — P. 026301.

53. Kondo, M. Surface tension and wettability calculation using density gradient potential in a physically consistent particle method / M. Kondo, J. Mat-sumoto // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2021. — Vol. 385. — P. 114072.

54. Kitsionas, S. Smoothed particle hydrodynamics with particle splitting, applied to self-gravitating collapse / S. Kitsionas, A. Whitworth // Mon. Not. R. Astron. Soc. — 2002. — Vol. 330, no. 1. — P. 129—136.

55. Feldman, J. Dynamic refinement and boundary contact forces in SPH with applications in fluid flow problems / J. Feldman, J. Bonet // Int. J. Numer. Methods Eng. — 2007. — Vol. 72. — P. 295—324.

56. Adaptive particle refinement and derefinement applied to the smoothed particle hydrodynamics method / D. A. Barcaroloa [et al.] //J. Comput. Phys. — 2014. — Vol. 273. — P. 640—657.

57. A local adaptive discretization algorithm for smoothed particle hydrodynamics / F. Spreng [et al.] // Comput. Part. Mech. — 2014. — Vol. 1. — P. 131—145.

58. Omidvar, P. SPH for 3D floating bodies using variable mass particle distribution / P. Omidvar, P. K. Stansby, B. D. Rogers // Int. J. Numer. Methods Fluids. — 2013. — Vol. 72. — P. 427—452.

59. Lastiwka, M. Adaptive particle distribution for smoothed particle hydrodynamics / M. Lastiwka, N. Quinlan // Int. J. Numer. Methods Fluids. — 2005. — Vol. 47. — P. 1403—1409.

60. Yan, H. Real-time fluid simulation with adaptive SPH / H. Yan, Z. Wang // Comput. Animat. Virtual Worlds. — 2009. — Vol. 20. — P. 417—426.

61. Yaidel, R. L. Dynamic particle refinement in SPH: application to free surface flow and non-cohesive soil simulations / R. L. Yaidel, D. Roose // Comput. Mech. — 2013. — Vol. 51. — P. 731—741.

62. Modeling of shock wave propagation over the obstacles using supercomputers / V. A. Shargatov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — 2018. — Vol. 1099. — P. 012014.

63. Regimes of shock wave propagation through comb-shaped obstacles / A. P. Chugainova [et al.] // AIP Conference Proceedings. — 2018. — Vol. 2025. — P. 080002.

64. Blast wave attenuation by lightly destructable granular materials / V. Golub [et al.] // Jiang, Z. (eds) Shock Waves. Springer, Berlin, Heidelberg. — 2005. — P. 989—994.

65. Numerical viscosity control in Godunov-like smoothed particle hydrodynamics for realistic flows modeling / A. Parshikov [et al.] // Physics of fluids. — 2024. — Vol. 36, no. 1.

66. Рублев, Г. Д. Моделирование прохождения ударной волны через пористую медь с помощью метода подвижного окна для сглаженных частиц с корректировкой градиента сглаживающего ядра / Г. Д. Рублев, С. А. Мурзов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: математическое моделирование физических процессов. — 2025. — № 1. — С. 51—69.

67. Rublev, G. D. Surface tension modeling using the axisymmetric contact smoothed particle hydrodynamics method / G. D. Rublev // Journal of Applied and Computational Mechanics. — 2025. — Vol. 11, no. 1.

68. Кочин, Н. Теоретическая гидромеханика. Часть вторая / Н. Кочин, И. Ки-бель, Н. Розе. — 1963.

69. Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействий / A. B. Бушман [и др.]. — АН СССР, Черноголовка, 1988. — С. 33.

70. Johnson, G. R. A constitutive model and data for metals subjected to large strains, high strain rates and high temperatures / G. R. Johnson, W. H. Cook. — 1983.

71. Wilkins, M. L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena / M. L. Wilkins. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1999.

72. Walsh, J. M. Equation of State of Metals from Shock Wave Measurements / J. M. Walsh, R. H. Christian // Phys. Rev. — 1955. — Mar. — Vol. 97, issue 6. — P. 1544—1556.

73. Жермен, П. Курс механики сплошных сред / П. Жермен. — М.: Высшая школа, 1983.

74. Wendland, H. Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree / H. Wendland // Adv Comput Math. — 1995. — Vol. 4. — P. 389—396.

75. Fast free-surface detection and level-set function definition in SPH solvers / S. Marrone [et al.] // Journal of Computational Physics. — 2010. — Vol. 229. — P. 3652—3663.

76. Implicit iterative particle shifting for meshless numerical schemes using kernel basis functions / P. Rastelli [et al.] // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2022. — Vol. 393.

77. On particle shifting techniques (PSTs): Analysis of existing laws and proposition of a convergent multi-invariant law / J. Michel [et al.] // Journal of Computational Physics. — 2022. — Vol. 459.

78. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. — Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва, 1947.

79. Zhang, C. A weakly compressible SPH method based on a low-dissipation Riemann solver / C. Zhang, X. Hu, N. Adams // Journal of Computational Physics. — 2017.

80. A multiphase SPH model based on Roe's approximate Riemann solver for hydraulic flows with complex interface / Z.-F. Meng [et al.] // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2020. — Vol. 365.

81. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программный комплекс для массивно-параллельного моделирования задач механики сплошной среды методом гидродинамики сглаженных частиц «Pyphia» / Ф. «ВНИИА», — 2020666101 (Рос. Федерация).

82. Pybind11 — Библиотека для разработки Python-интерфейса к C/C++ программам [Электронный ресурс]. — Дата обращения: 01.09.2024. Режим доступа: https://github.com/pybind/pybind11.

83. Зоммерфельд, A. Механика / A. Зоммерфельд. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. — С. 368.

84. Самарский, А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. Самарский, Ю. Попов. — М.: Наука, 1992.

85. Shu, C.-W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, II / C.-W. Shu, S. Osher //J. Comput. Phys. — 1989. — Vol. 83, no. 1. — P. 32—78.

86. Shyue, K.-M. An efficient shock-capturing algorithm for compressible mul-ticomponent problems / K.-M. Shyue //J. Comput. Phys. — 1998. — Vol. 142. — P. 208—242.

87. Terashima, H. A front-tracking/ghost-fluid method for fluid interfaces in compressible flows / H. Terashima, G. Tryggvason //J. Comput. Phys. — 2009. — Vol. 228. — P. 4012—4037.

88. Liu, C. Adaptive THINC-GFM for compressible multi-medium flows / C. Liu, C. Hu // J. Comput. Phys. — 2017. — Vol. 342. — P. 43—65.

89. Bempedelis, N. A simplified approach for simulations of multidimensional compressible multicomponent flows: the grid-aligned ghost fluid method / N. Bempedelis, Y. Ventikos //J. Comput. Phys. — 2009. — Vol. 205.

90. Олдер, Б. Вычислительные методы в гидродинамике / Б. Олдер, С. Ферн-бах, М. Ротенберг. — М.: Издательство «Мир», 1967. — С. 212—220.

91. Меньшов, И. C. Численное моделирование упругопластических течений методом Годунова на подвижных эйлеровых сетках / И. C. Меньшов, A. B. Мищенко, A. A. Серёжкин // Математическое моделирование. — 2013. — Т. 25, № 8. — С. 89—108.

92. Howell, B. A Free-Lagrange Augmented Godunov Method for the Simulation of Elastic-Plastic Solids / B. Howell, G. Ball // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 175. — P. 128—167.

93. Ben Richou, A. Correction factor of the Stokes force undergone by a sphere in the axis of a cylinder in uniform and Poiseuille flows / A. Ben Richou, A. Am-bari, J. K. Naciri // The European Physical Journal — Applied Physics. — 2003. — Vol. 24, no. 2. — P. 153—165.

94. Седов, Л. Методы подобия и размерности в механике / Л. Седов. — М.: Главная редакция физико-математической литературы "Наука", 1987. — С. 432.

95. Backman, M. The mechanics of projectoles and targets / M. Backman, W. Goldsmith // Int. J. Engng. Sci. — 1978. — No. 16. — P. 1—99.

96. Beissel, S. Hypervelocity impact computations with finite elements and mesh-free particles / S. Beissel, C. Gerlach, G. Johnson // International Journal of Impact Engineering. — 2006. — Vol. 33. — P. 80—90.

97. Piekutowski, A. Debris clouds produced by the hypervelocity impact of non-spherical projectiles / A. Piekutowski // International Journal of Impact Engineering. — 2001. — Vol. 26.

98. Reyleigh, L. On the capillary phenomena of jets / L. Reyleigh // Proceedings of the Royal Society. — 1879. — Vol. 29, no. 196. — P. 71—97.

99. Taylor, G. I. S. The dynamics of thin sheets of fluid. II. Waves on fluid sheets / G. I. S. Taylor // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1959. — Vol. 253. — P. 296—312.

100. Thilo, M. Low Reynolds number drag and particle collision efficiency of a cylindrical fiber within a parallel array / M. Thilo, J. Meyer, G. Kasper // Journal of Aerosol Science. — 2014. — Vol. 77. — P. 50—66.

101. Reyleigh, L. On The Instability Of Jets / L. Reyleigh // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1878. — Vol. s1—10, no. 1. — P. 4—13.

102. Взаимодействие ударной волны с гранулированной разрушаемой перегородкой / С. Головастов [и др.] // Журнал технической физики. — 2025. — Т. 95, № 4.

103. Shock Wave Effect on Protective Sand Screens of Different Thickness / O. A. Mirova [et al.] // High Temperature. — 2015. — Vol. 53, no. 1. — P. 145—147.

104. A Study of Detonation Propagation and Diffraction with Compliant Confinement / J. Banks [et al.] // Combustion Thepry and Modelling. — 2008. — Vol. 12, no. 4. — P. 769—808.

105. Shock initiation of composition B and C-4 explosives: Experiments and modelling / P. Urtiew [et al.] // Russian Journal of Physical Chemistry B. — 2008. — Vol. 2. — P. 162—171.

106. Lee, E. L. Phenomenological model of shock initiation in heterogeneous explosives / E. L. Lee, C. M. Tarver // Physics of Fluids. — 1980. — Vol. 23, no. 12. — P. 2362.

107. Shock initiation of composition B and C-4 explosives; Experiments and modeling / P. A. Urtiew [et al.] // International Conference on Shock Waves in Condensed Matter. — 2006.

108. Jhonson, G. R. An improved computational constitutive model for brittle materials / G. R. Jhonson, T. J. Holmquist // High-pressure science and technology. — 2008. — Vol. 309. — P. 981—984.