Численный метод исследования моделей упругих пластин, связанный с ортогональными финитными функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Красильников, Антон Рястамович

• Красильников, Антон Рястамович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Красильников, Антон Рястамович

2.2.1. Определение системы функций

2.2.2. Ортогональность финитных функций, заданных на треугольной сетке

2.2.3. Аппроксимирующие свойства функций

§2.3. Обобщение двумерных ортогональных финитных функций

2.3.1. Триангуляция области, определение системы функций

2.3.2. Ортогональность функций

2.3.3. Аппроксимирующие свойства функций

Глава III. Смешанный вариационно-сеточный метод, основанный на применении ортогональных финитных функций на треугольных сетках

§3.1. Вариационный принцип и вариационносеточные уравнения

§3.2. Коэффициенты вариационно-сеточных уравнений

Глава IV. Исследование смешанного вариационно-сеточного метода, связанного с применением ортогональных финитных функций на треугольных сетках

§4.1. Исследование точности приближенных решений вариационно-сеточного метода и их сходимости в краевых задачах изгиба однородных и неоднородных пластин с различной формой границ

4.1.1. Изгиб квадратной пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.2. Изгиб квадратной пластины, шарнирно опертой по всей границе

4.1.3. Изгиб треугольной пластины, шарнирно опертой по всей границе

4.1.4. Изгиб эллиптической пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.5. Изгиб неоднородной квадратной пластины переменной толщины, жестко защемленной по всей границе

4.1.6. Изгиб крестообразных пластин со смешанными граничными условиями

4.1.7. Изгиб квадратной пластины со смешанными граничными условиями

4.1.8. Изгиб неоднородной крестообразной пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.9. Изгиб треугольной пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.10. Изгиб эллиптической пластины, шарнирно опертой по всей границе

4.1.11. Изгиб пластины, имеющей форму кругово го сектора и шарнирно опертой по всей границе

§4.2. Апостериорная оценка точности приближен ного решения краевой задачи изгиба пластины Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный метод исследования моделей упругих пластин, связанный с ортогональными финитными функциями»

Вариационно-сеточные методы (ВСМ) являются одним из основных инструментов исследования математических моделей - краевых задач теории пластин [6, 9, 10, 37, 43, 57, 86, 87]. Основное развитие ВСМ теории пластин было связано с использованием вариационных принципов Ла-гранжа и Кастильяно [1, 47]. Экстремальные функционалы Лагранжа и Кастильяно позволяют вводить так называемые энергетические нормы [39] и исследовать сходимость решений, а также давать при совместном использовании функционалов апостериорную оценку точности приближенных решений [1]. Недостатками ВСМ, построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, являются: высокие требования к базисным функциям, необходимость выполнения кинематических краевых условий на этапе формирования аппроксимирующих линейных комбинаций базисных функций, пониженная гладкость и точность приближенных решений для деформаций и напряжений, вызванная численным дифференцированием приближенных решений для перемещений. Основной недостаток ВСМ, основанных на вариационном принципе Кастильяно, состоит в необходимости использования тензоров напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям. В вариационном принципе Рейсснера [85, 110] независимо аппроксимируются и варьируются перемещения и напряжения, что является причиной отсутствия недостатков, которые характерны методам, основанным на вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно, и указаны выше. Независимой аппроксимацией точных решений для перемещений и напряжений создаются предпосылки для сближения гладкости и точности приближенных решений для кинематических и силовых функций. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и продолжается в настоящее время (см., например, [7, 8, 11, 48, 49, 51, 52, 61, 63, 66, 68, 73, 74, 75, 81, 83, 84]). Функционал Рейсснера не имеет экстремума и не порождает норму, что затрудняет исследование сходимости приближенных решений. Указанным недостатком смешанных функционалов не обладают экстремальные смешанные функционалы В.И.Сливкера [52], но они сохраняют недостатки вариационного принципа Лагранжа: высокий порядок входящих в функционал производных, принадлежность кинематических условий группе главных краевых условий.

Актуальность темы исследования. При решении краевых задач теории пластин наиболее часто применяются методы, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Однако определение напряжений посредством дифференцирования полученного для перемещений приближенного решения приводит к приближенным решениям для напряжений, которые характеризуются пониженными точностью и гладкостью (см. [48]). В теории пластин при использовании вариационного принципа Лагранжа переход от приближенных решений для перемещений к приближенным решениям для изгибающих и крутящего моментов определяется вторыми частными производными и является причиной значительного снижения гладкости и точности силовых решений по сравнению с решениями для перемещений. Вариационный принцип Рейсснера является основой для построения численных методов, дающих в теории пластин приближенные решения для перемещений и напряжений, которые характеризуются одинаковой гладкостью и одним порядком точности. Особенно актуальным это является для задач с большими градиентами перемещений и напряжений. Развитие смешанных ВСМ началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время (см., например, [15, 17, 20, 62, 66, 67, 69, 71, 72, 75, 76, 89, 90, 91, 92, 93, 95, 96, 97, 99, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 112, 117]). Основной недостаток ВСМ - высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин, обостряется в смешанных ВСМ, так как независимая аппроксимация перемещений и напряжений дает увеличение числа сеточных неизвестных. На устранение этого недостатка смешанных методов направлено использование здесь

• систем ортогональных финитных функций (ОФФ). Исключение силовых неизвестных, возможное благодаря применению ортогональных финитных функций, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. При этом приближенные решения для перемещений и их частных производных (моментов, сил) характеризуются одинаковой гладкостью и точностью одного порядка.

До работ I.Daubechies [12, 79] считалось [54, с. 258], что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с наличием у функций компактных конечных носителей. Последнее является основным у функций, применяемых в вариационно-сеточных методов, поскольку делает матрицы системы сеточных уравнений разреженными. В работах [12, 79] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями. Но функции [12, 79] обладают сложной структурой, их симметрия (за исключением базиса Хаара), как показано в [12, 79], невозможна. Снижение степени несимметрии функций порождает [12, с. 342] увеличение длин конечных носителей функций и таким образом ведет к утрате основного свойства базисных функций, предназначенных для использования в алгоритмах численных методов. Регулярность этих функций возрастает с ростом длин их конечных носителей, что также приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений численных методов. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями [12, 79], не записываются в аналитической форме, что осложняет использова

• ние таких базисных функций в численных методах. Вейвлеты созданы для использования в цифровой обработке сигналов, изображений и не отвечают ряду требований алгоритмов численных методов. Применение таких базисных функций в алгоритмах численных методов решения краевых задач в областях с переменными характеристиками и с криволинейными границами порождает значительные трудности. Поэтому разработка ортогональных финитных функций двух переменных, связанных с треугольными сетками в областях со сложными границами, является актуальной задачей. Такие функции дают более точную аппроксимацию искомого точного решения краевой задачи в случаях областей с переменными геометрическими и физическими параметрами, в случаях областей со сложной границей за счет адаптивной геометрии треугольной сетки. Ортогональные финитные функции построены на треугольных сетках на основе функций Куранта таким образом, что эти ортогональные финитные функции отличаются от функций Куранта в меньшей части их конечного носителя. Вследствии этого аппроксимационные свойства ортогональных финитных функций на треугольных сетках определяются аппроксимацион-ными свойствами функций Куранта, а модификация связана только с приданием функциям свойства ортогональности. При сгущении треугольных сеток в аппроксимирующих линейных комбинациях ортогональных финитных функций повышается степень взаимной компенсации дополнительных финитных функций, деформирующих функции Куранта. Уменьшение размеров конечных носителей этих дополнительных функций является актуальной задачей, поскольку уже на редких сетках такие ортогональные финитные функции дают аппроксимацию, в большей части области близкую к аппроксимации функциями Куранта. При этом такие функции являются ортогональными и могут быть использованы для устранения основного недостатка смешанных вариационно-сеточных методов - повышенного по сравнению с вариационно-сеточными методами "в перемещениях" числа узловых неизвестных. Решение этой задачи создает фундамент для построения смешанных вариационно-сеточных методов, обладающих эффективными алгоритмами и не имеющих основных недостатков классических смешанных вариационно-сеточных методов.

Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов и

• численных методов механики деформируемого твердого тела, входящими в число основных методов математического моделирования и исследования математических моделей механики деформируемого твердого тела, внесли: Н.П.Абовский, В.И.Агошков, Н.П.Андреев, В.Б.Андреев,

B.И.Астафьев, Н.С.Бахвалов, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, К.З.Галимов,

A.П.Деруга, Л.М.Зубов, Ю.Г.Исполов, Л.М.Качанов, В.П.Кандидов, Г.М.Кобельков, В.Г.Корнеев, В.Л.Леонтьев, А.И.Лурье, Г.И.Марчук,

C.Г.Михлин, Л.А.Оганесян, Б.Е.Победря, В.А.Постнов, В.Л.Рвачев,

B.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, Л.А.Руховец, А.А.Самарский, Ю.Н.Санкин, Л.И.Седов, В.И.Сливкер, И.Г.Терегулов, В.С.Чернина, К.Ф.Черных, В.М.Фридман, J.H.Argiris, I.Babuska, G.Birkhoff, J.H.Bramble, F.Brezzi, P.G.Ciarlet, R.Courant, G.Fix, L.R.Herrmann, E.Hellinger, H.C.Hu, J.L.Lions, J.T.Oden, T.H.H.Pian, W.Prager, C.A.Prato, P.A.Raviart, J.N.Reddy, E.Reissner, G.Strang, R.Temam, E.Tonti, R.S.Varga, F.deVeubeke, K.Washizu,

A.Zenisek, O.C.Zienkiewicz, M.Zlamal. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G.Battle, C.K.Chui, R.R.Coifman, A.Cohen, I.Daubechies, P.G.Lemarie, S.Mallat, Y.Meyer, J.O.Stromberg, Ph.Tchamitchian, K.G.Wilson. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли: Н.М.Астафьева, М.З.Берколайко, В.А.Желудев, В.Г.Захаров,

B.Ф.Кравченко, Р.А.Лоренц, Т.П.Лукашенко, С.М.Машарский, В.Н.Малоземов, И.Я.Новиков, А.П.Петухов, В.И.Пустовойт, В.А.Рвачев, А.А.Саакян, М.А.Скопина, С.Б.Стечкин, Н.А.Стрелков, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных. Теория ортогональных финитных функций, являющаяся

• обобщением теории В-сплайнов и дополнением теории вейвлетов, создана в работах В.Л.Леонтьева [21, 22, 27, 31]. Эта теория и ее применение в смешанных вариационно-сеточных методах решения краевых задач получили развитие в работах В.Л.Леонтьева и его учеников [23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 94].

Цель работы: разработка ортогональных финитных непрерывных ку

• сочно-билинейных базисных функций на треугольных сетках, их исследование; создание на их основе эффективного смешанного вариационно-сеточного метода решения краевых задач теории пластин, его исследование.

Научную новизну составляют следующие результаты работы.

1. Развитие теории ОФФ, связанное с построением новых ОФФ на треугольных сетках.

2. Разработка нового численного метода - смешанного вариационно-сеточного метода решения задач изгиба однородных и неоднородных упругих пластин переменной толщины, имеющих сложную геометрию границы.

Положения выносимые на защиту.

1. Создание новых систем параметрических финитных функций на треугольных сетках, исследование их аппроксимирующих свойств. Определение значений параметров ортогональных финитных функций.

2. Новый численный метод исследования математических моделей упругих пластин, который

- основан на смешанном вариационном принципе;

- связан с использованием ОФФ;

- является эффективным инструментом изучения изгиба неоднородных пластин, имеющих переменную толщину и сложную геометрию границы;

- позволяет находить приближенные решения краевых задач изгиба упругих пластин для основных неизвестных функций (прогиба пластины),

• для их первых частных производных (углов поворота нормали к срединной плоскости пластины), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов), третьих частных производных (перерезывающих сил), характеризующиеся одинаковой гладкостью и точностью одного порядка;

- обеспечивает определение приближенных решений для кинематиче

• ских и силовых факторов за счет примерно такого же числа арифметических операций, как в ВСМ «в перемещениях», позволяющем на первом (основном) шаге алгоритма метода находить только приближенные решения для перемещений.

3. Исследование точности и характера сходимости силовых и кинематических приближенных решений, получаемых с помощью смешанного ВСМ в задачах теории однородных и неоднородных пластин, имеющих сложную границу.

Теоретическое значение диссертационной работы заключается в создании новых параметрических систем ортогональных непрерывных базисных ОФФ, связанных с последовательностями сгущающихся треугольных сеток, и на их основе - смешанного ВСМ решения краевых задач теории пластин, у которого отсутствует основной недостаток, имеющийся у классических смешанных ВСМ и связанный с увеличенным числом узловых неизвестных. Приближенные решения для перемещений и для их первых производных (углов поворота нормали), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов) и третьих частных производных (перерезывающих сил), которые дает такой ВСМ, характеризуются тем, что они имеют одинаковую гладкость и точность одного порядка. Получение таких решений достигается, в отличие от классических смешанных методов, решением систем сеточных уравнений, имеющих более чем в два раза меньшее число узловых неизвестных. Это число неизвестных совпадает с числом неизвестных в методе "в перемещениях", основанном на вариаци

• онном принципе Лагранжа. Но данный метод превосходит метод "в перемещениях", поскольку дает приближенные решения для перемещений и моментов, сил (производных перемещений) одинаковой гладкости и точности. Таким достоинством метод "в перемещениях" не обладает, поскольку при определении приближенного решения для моментов и сил требует численного дифференцирования, приводящего к значительному снижению точности, характеризующей приближенной решение для перемещений, и к появлению разрывов. Численное дифференцирование может привести к статически неуравновешенной системе внутренних сил и моментов в задаче статики. Таким образом, предлагаемый вариационно-сеточный метод обладает качественными и количественными преимуществами перед классическими смешанными численными методами и перед численными методами "в перемещениях". Предлагаемый вариационно-сеточный метод может быть использован также для решения краевых задач математической физики, теории упругости и др. Для этого следует использовать соответствующие вариационные принципы или проекционные условия.

Предложенные ортогональные финитные функции, с помощью которых строятся ВСМ, основанные на вариационном принципе Рейсснера, могут быть также использованы в ВСМ, связанных с другими вариационными принципами, а также при построении геометрических моделей механических устройств.

Практическое значение диссертационной работы состоит, во-первых, в том, что построенный ВСМ является эффективным инструментом исследования пластинчатых элементов механизмов и конструкций, в которых необходимо проводить анализ основных неизвестных функций (перемещений) и их производных (деформаций, напряжений), и, во-вторых, в том, что созданные системы ортогональных финитных функций являются средством математического моделирования механических устройств.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Красильников, Антон Рястамович

Заключение

1. Разработаны две новые параметрические системы ортогональных финитных функций двух переменных на треугольных сетках, исследованы их аппроксимирующие свойства, определены значения параметров, для которых сеточные финитные функции являются ортогональными на каждой конкретной треугольной сетке.

2. Построен алгоритм нового численного метода - смешанного вариационно-сеточного метода, основанного на использовании вариационного принципа Рейсснера и ортогональных финитных функций, связанных с треугольными сетками, предназначенный для исследования математических моделей изгиба упругих пластин.

3. Создан комплекс компьютерных программ на языке программирования С++, реализующих данный смешанный вариационно-сеточный метод исследования краевых задачах изгиба упругих пластин, имеющих сложную, криволинейную границу, переменные физические свойства и переменную толщину.

4. С помощью этого вариационно-сеточного метода с использованием комплекса программ получены последовательности приближенных решений ряда задач, выполнено их взаимное сравнение и сравнение с известными решениями, приведены результаты исследования практической сходимости кинематических («основных» неизвестных функций) и силовых приближенных решений (частных производных «основных» неизвестных функций) и апостериорные оценки их сходимости. Показана высокая эффективность смешанного вариационно-сеточного метода в исследованиях математических моделей указанного класса упругих пластин, подтверждено, что кинематические и силовые приближенные решения имеют одинаковые характеристики гладкости и точности. Приближенные решения характеризуются высоким качеством.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Красильников, Антон Рястамович, 2005 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978, 288 с.

2. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физич. наук, т. 166, N11, 1998, с.1145-1170.

3. Астафьев В.И. Смешанная формулировка метода конечных элементов в задачах изгиба тонких пластин при установившейся ползучести // В книге: Деформирование и разрушение твердых тел. М.: изд-во МГУ, 1977, с. 71-77.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973, 631 с.

5. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Пер.с англ. М.: Мир, 1987. 542 с.

6. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956, 419 с.

7. Ворошко П.П. Формулировка вариационных принципов типа Рейсснера для классических задач термоупругости // Доклады АН УССР, N3, 1984, с. 31-34.

8. Ворошко П.П. Смешанные вариационные формулировки задач теории упругости и их реализация методом конечных элементов // Проблемы прочности, N1, 1985, с. 100-105.

9. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки // Вестник инженеров, т. 1, N 19, 1915, с. 897-908.

10. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 512 с.

11. К.З.Галимова, 80-летию проф. М.С.Корнишина, 26-30 июня 2000 г., Казань, 2000, с. 36.

12. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001,464 с.

13. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1982, 568 с.

14. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН, Механика твердого тела, N3, 1992, с. 48-64.

15. Заботина Л.Ш., Карчевский М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории непологих оболочек // Матем. моделир. и краевые задачи: Труды 8-й Научной межвуз. конф., Самара, 26-28 мая, 1998, часть 1, Самара: СамГТУ, 1998, с. 64-66.

16. Исполов Ю.Г., Сливкер В.И. Об одном эффекте возникающем при использовании метода конечных элементов в смешанной форме // Строительная механика и расчет сооружений, N1, 1984, с. 43-48.

17. Карчевский М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории тонких оболочек // Журнал вычислит, математики и матем. физики, т. 38, N2, 1998, с. 324-329.

18. А. С. Калманок, Расчет пластинок. М: Гос. издат. лит. по строит., архит. и строит, матер., 1959, 212 с.

19. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Ортонормированные системы типа wavelet на основе атомарных функций // Доклады РАН, т. 351, N1, 1996, с. 16-18.

20. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Контактная задача для многослойной анизотропной оболочки вращения // Прикл. проблемы механики тонкостенных конструкций: Сб. научн. ст., Ин-т мех. МГУ, М: МГУ, 2000, с. 205-223.

21. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов теории упругости. Смешанныевариационные формулировки. Ульяновск: изд-во Средневолжского научн. центра, 1998, 168 с.

22. Леонтьев В.Л., Лукашанец Н.Ч.О сеточных базисах ортогональных финитных функций // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1999, т. 39, N7, с. 1158-1168.

23. Леонтьев В.Л., Леонтьев А.В. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные колебания упругих оболочек // Математическое моделирование, т. 12, N3, 2000, с. 31-32.

24. Леонтьев В.Л., Яшин Д.А.Ортогональные финитные функции на тетраэдральных сетках // Обозрение прикл. и промышл. математики, т.8, вып. 2, 2001, с. 633.

25. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные значения // Журнал вычислит, математики и матем. физики, том 41, N6, 2001, с. 874-880.

26. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Ортогональные финитные функции в вариационно-сеточных методах теории криволинейных стержней // Математическое моделирование, т. 14, N 2, 2002, с. 39-50.

27. Леонтьев В.Л., Ортогональные сплайны и вариационно-сеточный метод // Математическое моделирование, т. 14, N 3, 2002, с. 117-127.

28. Леонтьев В.Л. О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода // Сибирский журнал вычислит, математики, т. 5, N1, 2002, с. 25-34.

29. Леонтьев В.Л. Вариационно-сеточный метод решения задач о собственных колебаниях упругих трехмерных тел, связанный с использованием ортогональных финитных функций // Известия РАН. Механика твердого тела. N3, 2002, с. 117-126.

30. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Сеточные методы теории криволинейных стержней // Математическое моделирование, т. 15, N10, 2003, с. 95-104

31. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // Прикладная математика и механика, т. 4, N 2, 1940, с. 7-34.

32. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1981, 416 с.

33. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, 1957, 476 с.

34. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Физматгиз, 1966, 432 с.

35. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977, 455 с.

36. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук, т. 53, N 6 (324), 1998, с. 53-128.

37. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962, 431 с.

38. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. 4.1 Дифф. уравнения и их применение, 1973, вып. 5, Вильнюс, 394 с.

39. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: изд-во МГУ, 1981, 343 с.

40. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999, 132 с.

41. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1978, 224 с.

42. Розин Л.А. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов // Известия вузов. Стр-во, N8, 1999, с. 22-28

43. Ромашов Ю.В., Сало В.А. Метод двусторонней оценки численных решений задач теории упругости, полученных при помощи функционала Рейсснера // Вестник Харьков, политехнич. ун-та, N53, 1999, с. 25-30.

44. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1987, 288 с.

45. Санкин Ю.Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами. Саратов: изд-во СГУ, 1977, 312 с.

46. Сливкер В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем // Известия АН СССР, Механика твердого тела, N4, 1982, с. 88-97.

47. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976,248 с.

48. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1977, 349 с.

49. Субботин Ю.Н. Почти-ортогонализация в методе конечных элементов // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 36, N3, 1996, с. 101-108.

50. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. / Под ред. Галимова К.З. -Казань: изд-во Казан, ун-та, 1977,211 с.

51. Тимошенко С.П Пластинки и оболочки. Пер. с англ. / M.-JL: Гостехиздат, 1948, 460 с.

52. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Пер. с англ. /М.: Физматгиз, 1966, 636 с.

53. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. / Под ред. Шапиро Г.С. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1979, 560 с.

54. Тимошенко С.П. Курс теории упругости / Под ред. Григолюка Э.И. Киев: Наукова думка, 1972, 501 с.

55. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости // В сб. переводов "Механика", N5 (117), 1969, с. 124-138.

56. Фаворский А.П. Об использовании вариационных принципов в численном моделировании // В книге: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, с. 312-320.

57. Фридман В.М., Чернина B.C. Видоизменение метода Бубнова-Галеркина-Ритца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1969, N1, с. 64-78.

58. Чуй К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001, 412 с.

59. Antoine J.P., Bagarello F. Wavelet-like orthonormal bases for the lowest Landau level // J. Phys. A., 27, N7, 1994, p. 2471-2481.

60. Auricchio F., Taylor R.L. A mixed-enhanced finite elements for the analysis of laminated composites // Int. J. Numer. Meth. Eng., 44, 1999, p. 1481-1504.

61. Batoz J.-L., Katili I. On a simple triangular Reissner-Mindlin plate element based on imcompatible modes and discrete constraints // Int. J. Numer. Meth. Eng., 35, N8, 1992, p. 1603-1632.

62. Beltran F.J., Alarcon E. Accuracy estimates based on multifield variational principles // Eur. J. Mech. А., П, N4, 1992, p. 487-518.

63. Bergmann V.L., Mukherjee S. A hybrid strain finite element for plates and shells // Int. J. Numer. Meth. Eng., 30, N2, 1990, p. 233-257.

64. Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Comput., 24, 1970, p. 809-821.

65. Brezzi F., Bathe K.J., Fortin M. Mixed-interpolated elements for Reissner-Mindlin plates // Int. J. Numer. Meth. Eng., 28, N8, 1989, p. 1787-1801.

66. Campbell J.S., Horgan B. A curved triangular plate bending element for Kirchhoff plates using a CO coharmonic mixed two-field formation // Commun. Appl, Numer. Meth., 6, N5, 1990, p. 351-358.

67. Carrera E. Developments, ideas and evaluations based upon Reissner's mixed variational theorem in the modeling of multilayered plates and shells // Applied Mechanics Review, 54, 2001, p. 301-329.

68. Carrera E. A Reissner's mixed variational theorem applied to vibration analysis of multilayered shells // J. Applied Mechanics, 66, No. 1, 1999, p. 69-78.

69. Carrera E, Demasi L. Sandwich plate analysis by finite plate element and Reiss-ner mixed theorem // V Int. Conf. Of Sandwich Construction, I, 2000, p. 301-312, Zurich, Sept. 5-7.

70. Celigoy C.C. A strain-and-displacement-based variational method applied to geometrically non-linear shells // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N13, 1996, p. 2231-2248.

71. Ciarlet P.G. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the plate problem // Lect. Notes Math., 363,1974, p. 21-31.

72. Cohen A., Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets III: Better frequency localization // SIAM J. Math. Anal., 24, 1993, p. 520-527.

73. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. « Pure and Appl. Math., 41, 1988, p. 909-996.

74. Daubechies I. Wavelet transforms and orthonormal wavelet bases // Differ. Per-spect. Wavelets: Amer. Math. Soc. Short Course. San Antonio, Tex., Jan. 11-12, 1993. Providence (R.I.), 1993, p. 1-33.

75. Dost S., Tabrrok B. A mixed variational formulation for large deformation analysis of plates // Appl. Math, and Mech., 10, N7, 1989, p. 611-621.

76. Harvey J.W., Kelsey S. Triangular plate bending element with enforced compatibility//AIAA J., 9, N6, 1971, p. 1023-1026.

77. He J.-H. Further study of the equivalent theorem of Hellinger-Reissner and Hu-Washizu variational principles // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 20, N5, 1999, p. 545-556.

78. He J.-H. Generalized Hellinger-Reissner principle // Trans. ASME J. Appl. Mech., 67, N2,2000, p. 326-331.

79. Hellinger E. Dir allegemeinen Ansatze der Mechanik der Kontinua // In: Ency-clopadie der Mathematischen Wissenschaften, Bd.4, Teil 4, Teubner, Leipzig, 1914, p. 601-694.

80. Herrmann L.R. A bending analysis for plates // Proc. (First) Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.- AFFDL -TR-66-80, Oct. 1965, p. 577-604.

81. Herrmann L.R. Finite element bending analysis of plates // J. Engng. Mech. Div. ASCE, 93, No. EM-5, 1967, p. 13-26.

82. Ни H.C. On some variational principles in the theory of elasticity and plasticity // Scintia Sinica, 4, N1, 1955, p. 33-54.

83. Johnson C. On the convergence of a mixed finite element method for plate bend-» ing problems // Numer. Math., 21, N1, 1973, p. 43-62.

84. Kim Y.Y., Kim J.G. A simple and efficient mixed finite element for axisymmet-ric shell analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N11, 1996, p. 1903-1914.

85. Kim J.G., Kim Y.Y. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N5, 1998, p. 925-940.

86. Kikuchi F., Ando Y. Rectangular finite element for plate bending analysis based on Hellinger-Reissner's variational principle // J. Nuclear Sci. and Tech., 9, 1972, p. 28-35.

87. Kikuchi F., Ando Y. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending // Nuclear Engin. and Design, 24, 1973, p. 357-373.

88. Li X.K.,Cescotto S., Duxbury P.G. A mixed strain element method for pressure-dependent elastoplasticity at moderate finite strain // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N1, 1998, p. 111-129.

89. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Trans. Amer. Math. Soc., 315, N1, 1989, p. 69-87.

90. Meftah F., Reynouard J.M. A multilayered mixed beam element in gradient plasticity for the analysis of localized failure modes // Mech. Cohesive-Friction. Mater., 3, N4, 1998, p. 305-322.

91. Meyer Y. Ondelettes sur l'intervalle // Rev. Math. Iberoamericana, 7, 1992, p. 115-133.

92. Nakazawa M. A note on the convergence of nonconforming finite element solutions in plate bending // J. Faculty Textile Science and Technol. Shinshu University, N70, 1976, p. 15-40.

93. Nataraj N., Brattacharyya P.K., Balasundaram S., Gopalsamy S. On a mixedhybrid finite element method for anisotropic plate bending problems // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N23, 1996, p. 4063^1089.

94. Noor A.K., Andersen C.M. Mixed isoparametric finite element models of laminated composite shells // Сотр. Meth. Appl. Mech. and Eng., 11, N3, 1977, p. 255-280.

95. Pereira E.M.B.R., Freitas J.A.T. A mixed-hybrid finite element model based on orthogonal functions // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N8, 1996, p. 1295-1312.

96. Pian T.H.H. Variational and finite element methods in structural analysis // Isr. J. Technol., 16, N1-2, 1978, p. 23-33.

97. Piltner R., Taylor R.L. A systematic construction of B-bar functions for linear and non-linear mixed-enhanced finite elements for plane elasticity problems // Int. J.r

98. Numer. Meth. Eng., 44, N5, 1999, p. 615-639.

99. Prato C.A. Shell finite element method via Reissner's principle // Int. J. Solids and Struct., 5, N10, 1969, p. 1119-1133.

100. Quadrelli B.M., Atluri S.N. Analysis of flexible multibody systems with spatial beams using mixed variational principles // Int. J. Numer. Meth. Eng., 42, N6, 1998, p. 1071-1090.

101. Reissner E. The effect of transverse-shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech., 12, No. 2, 1945, p. A.69-A.77.

102. Reissner E. On a variational theorem in elasticity // J. Math. Phys., 29, No. 2, 1950, p. 90-95.

103. Reissner E. A note on variational principles in elasticity // Int. J. Solids and * Struct., 1, N 1, 1965, p. 93-95.

104. Rigby F.H., Webster J.J., Henshell R.D. Hybrid and Hellinger-Reissner plate and shell finite elements // Hybrid and mixed finite elem. meth. Int. Symp., Atlanta, 8-10 Apr., 1981, Chichester e.a., 1983, p. 73-92.

105. Strang G. Approximation in the finite element method // Numer. Math., 19, 1972, p. 91-98.

106. Strang G. Wavelets // Amer. Sci., 82, N3, 1994, p. 250-255.

107. Washizu K. On the variational principles of elasticity and plasticity // Massachusetts Institute of Technology, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Cambridge, Massachusetts, March 1955.

108. Zenisek A. Interpolation polynomials on the triangle // Numer. Math., 15, 1970, p. 283-296.

109. Zenkour Ashraf M. Natural vibration analysis of symmetrical cross-ply laminated plates using a mixed variational formulation // Eur. J. Mech. A., 19, N3, 2000, p. 469-485.

110. Zhou Y., Wang J., Zheng X. Application of wavelet Galerkin fem to bending of beam and plate structures // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 19, N8, 1998, p. 745-755.

111. Научные работы автора диссертации:

112. О сходимости вариационно-сеточного метода // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия: Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 1 (11), 2002, с. 103-110. Соавтор: Леонтьев В.Л.

113. Об ортогональных сплайнах, связанных с треугольными сетками // Труды Средневолжского Математического Общества. Т. 3-4, №1, 2002, с. 168-174. Соавтор: Леонтьев В.Л.

114. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных квадратных пластин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 10, вып. 2, 2003, с. 489-491.

115. О сходимости вариационно-сеточного метода // Труды Тринадцатой Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (29-31 мая, 2003 г.). Самара: СамГТУ, 2003, с. 94-97. Соавтор: Леонтьев В.Л.

116. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных крестообразных пластин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 11, вып. 3, 2004, с. 654-656. Соавтор: Леонтьев В.Л.

117. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных крестообразных пластин // Практика и перспективы применения ИЛИ технологий в производстве: Труды научно-практического семинара (9-10 сентября, 2004 г.). Ульяновск: УлГУ, 2004, с. 60-61.

118. О вариационно-сеточном методе теории пластин // Математическое моделирование. Т. 17, №3, 2005, с. 23-34. Соавтор: Леонтьев В.Л.

119. Апостериорная оценка точности приближенного решения краевой задачи изгиба пластины // Труды Второй Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (1-3 июня, 2005 г.). Самара: СамГТУ, 2005, с. 157-160. Соавтор: Леонтьев В.Л.