Cm-продолжение субголоморфных функций с замкнутых областей в С тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Зорина, Ольга Александровна

• Зорина, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зорина, Ольга Александровна

Введение.

Глава 1. Непрерывное продолжение субголоморфных функций с замкнутых кругов

§1.1. Субголоморфные функции и их свойства.

§1,2. Формулировка и доказательство теоремы 1.

§1.3. Замечания.

Глава 2. Ст-продолжение субголоморфных функций # с замкнутых жордановых областей

§2.1. Формулировка теоремы 2.

§2.2. Теорема о сопряженной гармонической функции.

§2.3. Доказательство теоремы 2.

§2.4. Примеры и следствия теоремы 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Cm-продолжение субголоморфных функций с замкнутых областей в С»

Вначале приведем результат Дж. Вердеры, М.С. Мельникова и П.В. Парамонова, позволяющий понять: какой тип задач рассматривается в диссертации.

Теорема ВМП ([1]). Пусть В — открытый шар в M.N. Тогда всякую субгармоническую в шаре В функцию g (Е С1 (В) можно продолжить до субгармонической функции G £ С1(ШМ) с оценкой равномерной нормы ее градиента: ||VG||rjv < где с € (0,+оо) зависит только от N.

Перейдем к общей постановке задач нашей тематики (см. [2]). Пусть L — однородный эллиптический дифференциальный оператор в в частных производных с постоянными комплексными коэффициентами. Обобщенная функция / называется L-субаналитической на открытом множестве Q С М^, если всюду в Q выполняется неравенство Lf > 0 в обобщенном смысле. Через L+(Q) обозначим класс L-субаналитических на О (обобщенных) функций, причем, если L имеет вещественные коэффициенты, то будем считать, что класс L+(Q) состоит из вещественнозначных обобщенных функций. Так, при L = Д (оператор Лапласа) получаем: L+(fi) = SH(Q) — класс субгармонических функций, а при L = d/dz (оператор Коши-Римана в R2) L+(Q) = Л+(0) — класс субголоморфных функций (последний термин введен в работе автора [Z1]).

При m £ {0,1,. } через BCm(Q) обозначается класс всех комплексно-значных функций /, имеющих непрерывные ограниченные частные производные (по вещественным переменным) в Q до порядка т включительно. При нецелых положительных т = [т] + р, (где [т] — целая часть тп) через BCm(Q) обозначается класс функций / G у которых все

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты №00-01-00618 и №04-01-00720) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации" (проект IIIII-2040.2003.1). частные производные порядка [т] принадлежат замыканию в BLip»(Q) пространства C°°(Rn)\q. Нормы ||/||т,п в пространствах BCm(Q) определяются стандартным образом. Для произвольного т > О обозначим через Cm(Q) класс всех функций / в Г) таких, что / £ ВСт(Е) для любого ограниченного открытого множества Е с условием ЕсП. Пространства стандартным образом наделяются топологиями Фреше. Пусть X — компакт в через Ст(Х) обозначим класс функций / на X, которые допускают продолжения до функций класса Норма ||/||т,л: в пространстве Ст(Х) равна inf{||F||miKJv}, где указанный infimum берется по всем возможным продолжениям F G ВСт(Шм), F\x = /■ Подробные определения всех перечисленных пространств и их норм приведены в §2.1 (главы 2) диссертации.

Задача 1. Каковы условия на компакт X (с внутренностью Х°) в WN и функцию / £ L+(X°) П Ст(Х), необходимые и достаточные для существования функции F G L+(RN) П Cm(RN) такой, что F\х = /.

Задача 2. Каковы условия на компакт X в необходимые и достаточные для того, чтобы для всякой функциии f G L+(X°) П Ст(Х) нашлась F е L+(Rn) П Cm(RN) такая, что F\х = /.

Отметим, что задачи 1 и 2 существенно упрощаются, если ограничиться функциями / G L+(U) П Cm(U), где U — зависящая от / окрестность компактаХ (см. [3]).

Насколько известно автору, задачи 1 и 2 пока рассматривались только для классов субгармонических функций (см. работы [1], [4], [5] и литературу в них) и для классов субголоморфных функций (см. [Z1] и [Z2]).

В работе М.С. Мельникова и П.В. Парамонова [4] получен аналог теоремы ВМП для двумерных областей типа Дини-Ляпунова. Напомним, что жорданова область D С С называется областью типа Дини-Ляпунова, если некоторое (а, значит, любое) конформное отображение к области

D на единичный круг В удовлетворяет следующим свойствам: функция к продолжается до СЯ-диффеоморфизма D на В, причем модуль непрерывности x(t) функции k'(z) в D (t > 0) удовлетворяет условию Дини:

JoVWAM* <

Теорема МП ([4]). Пусть D — область типа Дини-Ляпунова. Тогда найдется константа с = c(D) > 0 такая, что для любой функции g G SH(D) П Cl(D) существует G G SH(С) П С1 (С) с условиями G\d = g и ||VG||c < c||V^|b.

В случае ш 6 (1,3) теорема о Ст-продолжении субгармонических функций установлена П.В. Парамоновым для более широкого класса плос-ф ких областей — так называемых Б-областей. Напомним [5], что жорданова область D в С называется В-областью, если конформное отображение к внешности области D на внешность единичного круга с условиями Иоо) = оо и lim (k(z)/z) > 0 является билипшицевым, т.е. существует г->оо константа со > 1 такал, что

Cq1\z\ - z21 < \k(z{) - k(z2)| < col^i - z2\ при всех z\,z2 G С\D.

Теорема П ([5]). Пусть D - произвольная В-область, m G (1,3). Тогда найдется константа с = c(D,m) > 0 такая, что для любой функции g G SH{D)nCm(D) существует G G SH(C)nCm(C) с условиями G\s = 9 ||VC7||ralfC <

В работе [5] приведены примеры, показывающие, что случаи т G [0,1) U [3, оо) в контексте задачи 2 интереса не представляют. Точность теоремы МП (случай ш = 1) подтверждена в [4] соответствующим примером. Точность теоремы П не обсуждалась. Кроме того, в [5] доказывается локализационная теорема о Ст-продолжении субгармонических функций с произвольных плоских жордановых областей и рассматривается задача о £(рт-продолжении субгармонических функций.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зорина, Ольга Александровна, 2006 год

1. Вердера Дж., Мельников М.С., Парамонов П.В. ^-аппроксимация и продолжение субгармонических функций // Матем. сборник. 2001. Т.192. т. С.37-58.

2. Парамонов П.В. О Ст-продолжении решений однородных эллиптических неравенств.//Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 2002. С.149-150.

3. Gauthier P.M. Subharmonic extention and approximation. // Canadian Math. Bull. 1994. V.3T. P 4G-53

4. Мельников M.C., Парамонов П.В. СЯ-продолжение субгармонических функций с замкнутых жордановых областей в R2.//Известия РАН (Сер. матем.). 2004. Т.68. №6. С. 105-118.

5. Парамонов П.В. О Ст-продолжении субгармонических функций. // Известия РАН (Сер. матем.). 2005. Т.69. №6. С. 139-152.

6. O'Farrell A.G. Rational approximations in Lipschitz norms. П.// Proc. Royal Irish Acad. 1979. V. 79A. P. 104-114.

7. Verdera J. Cm-approximations by solutions of elliptic equationsand Calderon-Zygmund operators. // Duke Math J. 1987. V.55. №1. P. 157187.

8. Парамонов П.В. О гармонических аппроксимациях в С1 -норме. // Матем. сборник. 1990. Т.181. №10. С.1341-1365.

9. Hardy G.H. Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals.//n. Math. Z. 1932. V.34. P.403-439.

10. Gehring F.W., Martio О. Lipschitz classes and quasiconformal mappings.// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1985. V.10. P. 203-219.

11. Dyakonov K.M. Holomorphic functions and quasiconformal mappings with smoth moduli.//Adv. Math. 2004. V.187. P. 146-172

12. Dyakonov K.M. Strong Hardy-Littlewood theorems for analythic functions and mappings of finite distortion. //Math. Z. 2005. V 249. P. 597611.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Мир, 1976.

14. Garnett J. Analytic capacity and measure. //Lecture Notes in Math. 297. Springer-Verlag. 1972.

15. Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений.// УМН. 1967. Т.22. №6. С.141-199.

16. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.:Мир, 1973.

17. Альфорс JI. Лекции по квазиконформным отображениям. М.:Мир, 1969.

18. Pommerenke С.Н. Boundary behavior of conformal maps. Springer-Verlag. Berlin. 1992.

19. Долженко Е.П. О конформных отображениях жордановых областей. //Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. №4. С.66-68.

20. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

21. Либ Э., JIocc М. Анализ. Новосибирск. Научная книга. 1998.