D - устойчивость матриц и знакопостоянство полиномов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Кановей, Григорий Владимирович

• Кановей, Григорий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кановей, Григорий Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.Я- МАО-УСТОЙЧИВОСТЬ МАТРИЦ.

§ 1. б- и ао-устойчивые матрицы в математических моделях в экологии.

§ 2. Свойства Б- и аО-устойчивых матриц.

§ 3. вопросы характеризации множеств О- и аО-устойчивых матриц.

ГЛАВА 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ.

§ 4. необходимое условие положительности действительного полинома.

§ 5. достаточные условия положительности действительного полинома.

ГЛАВА 3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ Б- И АО-УСТОЙЧИВОСТИ МАТРИЦ.

§ 6. необходимые условия б- и ао-устойчивости матриц.

§ 7. достаточные условия б- и ао-устойчивости матриц.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «D - устойчивость матриц и знакопостоянство полиномов»

Для моделирования экологических систем часто используют математический аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных.

Одной из важных задач математического исследования моделей является задача анализа устойчивости равновесных (или стационарных) состояний системы, в которых численности популяций остаются практически неизменными.

Математическая теория устойчивости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ведущая свое начало от трудов A.M. Ляпунова, широко известна и изложена в монографиях и учебниках (см. например [1]).

Одним из методов анализа устойчивости стационарного решения автономной системы дифференциальных уравнений является метод линеаризации (первый ^етод Ляпунова). В соответствии с этим методом для анализа устойчивости исследуется спектр матрицы Якоби линеаризованной в окрестности равновесия системы. Если действительные части всех собственных значений матрицы Якоби отрицательные, то имеет место устойчивость данного стационарного состояния. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то стационарное состояние неустойчиво.

Действительные матрицы, все собственные значения которых имеют отрицательные действительные части, называются устойчивыми.

Метод линеаризации в задаче устойчивости, обобщающий результаты Ляпунова для широкого класса систем уравнений в частных производных, разработан В.И. Юдовичем. Эти результаты в частности применимы к диффузионной задаче, рассматриваемой в § 1 данной работы.

При построении модели часто возникает ситуация, когда при возмущении начальных данных модели или некоторых ее параметров нарушается устойчивость равновесных состояний модели, имевшая место до возмущения. Таким возмущением, к примеру, может служить погрешность в измерениях данных или неточность в выборе параметров модели. Вследствие этого модель может давать неверные выходные данные, неадекватные реальному развитию экосистемы.

Поэтому возникает задача построения методов, позволяющих определить, сохраняется ли устойчивость равновесных состояний модели при возмущениях ее определенных параметров или данных. К числу таких методов относятся анализ £>-устойчивости и аИ-устойчивости матрицы Якоби линеаризованной системы дифференциальных уравнений модели.

Понятие И-устойчивости матриц впервые появилось в конце 50-х годов в работах по математической экономике, а в дальнейшем и в математической экологии. Матрицу называют Э-устойчивой, если она устойчива в произведении с любой диагональной матрицей с положительными элементами на главной диагонали.

Понятие аддитивной й-устойчивости возникло несколько позже, в середине восьмидесятых годов. Ранее, в литературе по математической экологии матрицы, обладающие этим свойством, называли сильно устойчивыми. Понятие и термин происходили из так называемых "диффузионных" моделей, или уравнений "реакции -диффузии", - непрерывных пространственных обобщений локальных (или "точечных") популяционных моделей. Устойчивая матрица называется сшъно устойчивой (или аддитивно й-устойчивой, или короче, аИ-устойчивой), если она сохраняет устойчивость при вычитании из нее диагональной матрицы с любыми неотрицательными элементами на главной диагонали.1

Из определений £>- и а£>-устойчивости матриц не ясно, существует ли возможность проверить их за конечное число шагов. Поэтому возникает задача построения конструктивных, т.е. проверяемых за конечное число шагов, критериев принадлежности произвольной матрицы множеству Б- и а£>-устойчивых матриц.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица позволяет свести проблему характеризации £>- и ¿^-устойчивости к вопросу, являются ли положительными всюду в положительном ортанте некоторые действительные полиномы от многих переменных. Благодаря элементарности соответствующих полиномов для матриц 2x2 и 3x3, данная проблема для матриц этой размерности решена достаточно давно, см. [2]; характеризация £)-устойчивых матриц 4x4 получена автором в работе [3] и приведена в § 3 данной работы. Также известны некоторые необходимые условия и достаточные условия £>- и а.0-устойчивости, см. например [2,4,5,6].

Задача проверки положительности действительного полинома от одной переменной в положительном ортанте может быть решена с помощью теоремы Ж. Штурма [7, 8]. Аналогичная задача для действительных полиномов от многих переменных может быть решена за конечное число шагов с помощью алгоритмов исключения переменных из полиномиальных задач. Существование таких алгоритмов

1 Строгие определения И- и а£>-у стойчивости будут даны ниже, в §1. доказывает теорема Зайденберга-Тарского (см. [9,10,11]), подробное описание алгоритма исключения переменных в полиномиальных задачах приведено в [12].

Однако, с практической точки зрения алгоритмы исключения переменных реально применимы лишь для полиномов от двух переменных и для полиномов от трех переменных небольших степеней, поэтому с помощью данных алгоритмов не удается (ввиду их трудоемкости) исследовать свойства D- и ^-устойчивости для матриц размерности большей 4x4.

В работе [13], а также в § 4-5 данной работы приводятся необходимые условия и достаточные условия положительности действительного полинома в положительном ортанте, которые могут быть применены к достаточно сложным полиномам, т.е. с большим числом переменных и с высокими степенями переменных. Данные условия получены с помощью метода квазиоднородных полиномиальных форм или укорочений полиноме?, сущность которого заключается в выделении в исследуемом полиноме более простых полиномов, являющихся суммами части его членов, неотрицательность которых является необходимым условием положительности всего полинома, а положительность которых при некоторых дополнительных условиях влечет положительность всего полинома. Квазиоднородные полиномиальные формы, по сути, являются обобщением общеизвестных однородных полиномиальных форм. Основные свойства квазиоднородных форм описываются в § 4 данной работы.

В § 6-7 данной работы на основе необходимых и достаточных условий положительности действительного полинома из § 4-5 строятся конструктивно проверяемые необходимые условия и достаточные условия D- и aD-устойчивости, которые оказываются применимыми для анализа D- и aD-устойчивости матриц размерности более 4x4.

В § 2 данной работы исследуются свойства множеств D- и aD-устойчивых матриц, строится картина включений и пересечений этих множеств с множеством устойчивых матриц и множеством Р^-матриц3, доказывается звездность множества aD- устойчивых матриц любого порядка и D- устойчивых матриц порядка 2 и 3.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность доценту А.Г. Кушниренко, доценту С.А. Богатому и к.ф.-м.н A.C. Кочурову за полезные советы по теме диссертации.

2 Термин укорочение полинома введен А. Д. Брюно в работе [14]. Термин квазиоднородная полиномиальная форма введен позднее В.Н. Нефедовым в работе [15]

3 Определение Р0-матриц будет дано ниже, в §2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кановей, Григорий Владимирович, 2000 год

1. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, // М. Наука, 1969.

2. Cross, G.W., Three types of Matrix Stability// Linear Algebra and Its Applications 20,253-263 (1978).

3. Кановей Г.В., Логофет Д.О. D-устойчивость матриц 4х4//Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, т. 38, №9,1429-1435 (1998).

4. Д.О. Логофет, Свикобианы компартментальных моделей и DaD-устойчивость свикобианов,// Доклады Академии Наук, т.360, №2, стр 167-170, 1998.

5. Johnson С. R. Second, third and fourth order D-Stability//Journal of Research of the National Bureau of Standards 8. Mathematical Sciences, Vol 788, No 1, Jan-March 1974.

6. Johnson, C.R. Sufficient conditions for D-Stability // J. Econom. Theory, 1974. V.9, P. 53-62.

7. Shturm J. Ch„ "Bull de Ferussac",I829, t.l 1.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 11 изд.// М., 1975.

9. Tarski, A. A decision method for elementary algebra and geometry, 2nd edition// Univ. of California Press, Berkeley Los Angeles (1951).

10. Seidenberg, A. A new decision method for elementary algebra,// Ann. of math. Ser.2,1954, v. 60, p.356-374.

11. Кушниренко А.Г., Коркина О. Еще одно доказательство теоремы Зайденберга-Тарского// Сибирский математический журнал, 1985 г. т.26, вып. 5.

12. Нефедов В.Н. Полиномиальные задачи оптимизации //Журнал вычислительной математики и математической физики, т.21, № 5 стр. 661 675 (1987).

13. Кановей Г.В., Нефедов В.Н. О некоторых необходимых условиях и достаточных условиях положительности действительного полинома от нескольких переменных в положительном ортанте. //Деп. в ВИНИТИ, 07.02.2000 г., №281-В00.

14. А.Д. Брюно. Степенные асимптотики решений нелинейных систем. //Известия АН СССР. Сер. матем. 1965, т. 2, вып. 2, с. 329-364.

15. Нефедов В.Н. Об оценивании погрешности в выпуклых полиномиальных задачах оптимизации.// Ж. Вычисл. Мат. И мат. Физ., 1990, т.30, № 2, стр. 200-216.

16. Arrow К.J., McManus М. A note of dynamic stability // Econometrica, 26, 448-454(1958).

17. Quirk J., Ruppert R. Qualitative economics and the stability of equilibrium // Review of Economic Studies, 32, 311-325 (1965).

18. Johnson, C.R., Olesky, D.D., Van den Driessche, P. Stability of M-matrix products.// Linear and Multilinear Algebra, 1985, Vol.18: 67-76.

19. Segel, L.A. and Jackson, J.L. Dissipative Structure: an explanation and ecological example // J. Theor. Biol, 1972. V.37, No.3. P. 545-559.

20. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. // М: Наука, 1978, 352 стр.

21. Одум Ю. П. Экология: в 2 томах. Т.1. Пер. с англ.// М.: Мир, 1986.-328 е., главы 3,4.

22. Завалишин Н.Н., Логофет Д.О. Моделирование экологических систем по заданной диаграмме "запасы потоки", //Математическое моделирование,.т.9, №9, 1997 г.

23. Togawa, Y. A Geometric Study of D-Stability Problem// Linear Algebra and Its Applications 33, 133-151 (1980).

24. Кановей Г.В., Логофет Д.О. Соотношения, свойства и инвариантные преобразования D- и aD-устойчивых матриц// поступила в ред. ж. Вестник МГУ в июне 1999 г.

25. Красносельский М. А. Об одном критерии звездности.//Математический Сборник, т. 19 (61), №2 309-310, (1946).

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц // М.: Наука (1966).

27. Бренстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. //Москва, Мир,1988.

28. С.Г. Гиндикин Энергетические оценки, связанные с многогранником Ньютона. //Тр. Моск. мат об-ва, 1974, т. 31, с. 189-236.

29. А.Д. Брюно, Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, //М. Наука, 1998, 288 с.

30. Нефедов В.Н. Об одном методе глобальной максимизации функций нескольких переменных на параллелепипеде. //Деп. в ВИНИТИ 14.01.85 №377-85 ДЕП.

31. Нефедов В.Н. Некоторые вопросы решения липшицевых задач глобальной оптимизации с использованием метода ветвей и границ. //Ж. Вычисл. Мат, И мат. Физ. 1992, т. 32, №4.Список литературы. 73

32. Logofet D. О, Matrices and Graphs Stability Problems in Mathematical Ecology// Boca Raton, FL. CRC Press, 1993, 308 pp.

33. Логофет Д.О. Об иерархии подмножеств устойчивых матриц.//ДАН, 1986, т.290, №1.

34. Jeffries С., Klee V., Van den Driessche P. When is a matrix sign stable? Can. J. Math., 1977,29,315-326.Рис. 11Рис. 3