Дефекты в суперсимметричных теориях поля и теории струн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Галахов Дмитрий Максимович

• Галахов Дмитрий Максимович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Галахов Дмитрий Максимович

1.2.1 Описание модели

1.2.2 Солитонный спектр на Кулоновой ветви

1.2.3 Солитонный спектр на Хиггсовой ветви

1.2.4 Инстантоны и граничные операторы

1.3 Категорификация аналитического продолжения гипергеометрических рядов

1.3.1 Описание модели

1.3.2 Аналитическое продолжение в терминах группы Гротендика

1.3.3 Параллельный перенос и инвариантные браны Хербста-Хори-Пейджа

1.3.4 Преобразование Фурье-Мукаи

2 Ю-браны на торических многообразиях Калаби-Яу

2.1 Торические многообразия Калаби-Яу, колчаны и кристаллы

2.1.1 Колчанная квантовая механика и БПЗ состояния

2.1.2 Локализация на Хиггсову ветвь и кристаллизация

2.1.3 Операторы сдвигов Гекке

2.1.4 Алгебра БПЗ: колчанный янгиан

2.1.5 Пример построения: У({}11) - колчанный Янгиан для С3

2.2 Сдвинутые колчанные янгианы

2.2.1 Представления из подкристаллов

2.2.2 Неприводимость

2.2.3 Обрамление колчанов

2.2.4 Приводимые представления и ИК-сингулярности

2.3 Обобщения колчанных янгианов

2.3.1 Вихри на эллиптических кривых

2.3.2 БПЗ алгебра в подпространстве нулевой завихренности

2.3.3 Вихри и четырехмерные кристаллы

2.3.4 Тригонометрические и эллиптические алгебры, ассоциированные с колчанными янгианами

2.3.5 Сравнение с известными тригонометрическими/эллиптическими алгебрами

2.4 Четырехмерные многообразия Калаби-Яу

2.4.1 БПЗ Б-браны на торических трехмерных многообразиях Калаби-Яу

2.4.2 Твердотельные разбиения

2.4.3 Зарядовая функция для твердотельных разбиений

3 Алгебры рассеяния состояний Ю-бран

3.1 Локализация на Кулонову ветвь

3.1.1 Вклад узлов колчана

3.1.2 Вклад морфизмов колчана

3.1.3 Молекула БПЗ

3.1.4 Формула для индекса Манскота-Пьолина-Сена

3.2 Когомологическая алгебра Холла

3.2.1 Обрамленные молекулы БПЗ

3.2.2 Алгебра рассеяния

3.2.3 Формулы пересечения стен маргинальной стабильности

3.2.4 Сравнение БПЗ алгебр: алгебра Холла и колчанный янгиан

3.2.5 Обобщенные когомологии

3.3 Алгебра инстантонов

3.3.1 Янгиан и квантовая теория поля

3.3.2 Классическая И,-матрица из инстантонов

3.3.3 Алгебра БПЗ как алгебра инстантонов

4 Вопросы дуальности калибровочных и интегрируемых теорий

4.1 Простая модель дуальности калибровочных и интегрируемых теорий

4.2 Ко-произведение в алгебрах колчанных янгианов

4.2.1 Инстантонные поправки к ко-произведению

4.2.2 Различные ко-произведения для колчанных Янгианов

4.2.3 И,-матрица и уравнения Янга-Бакстера

4.2.4 Оператор Лакса

4.3 Интегрируемость, уравнения анзаца Бете

4.3.1 Теорема запрета для колчанных Янгианов со сдвигом

4.3.2 Анзац Бете

4.4 Фоковские модули алгебр БПЗ и гладкие 4-циклы

4.4.1 О гладких колчанных многообразиях и Фоковых модулях

4.4.2 Явные выражения для матричных коэффициентов и эйлеровых классов

4.4.3 Супер-обобщение диаграмм Юнга

4.4.4 Бозонизация

5 Физические модели категорифицированных инвариантов узлов

5.1 Краткий обзор комологий зацепления Хованова

5.2 Группа кос в модели ВЗВН

5.2.1 Группа кос

5.2.2 Модель ВЗВН

5.2.3 Монодромия Пикара-Лефшеца

5.3 Симплектическая А-модель Ландау-Гинзбурга

5.3.1 Спектральный анализ Лефшецевых наперстков

5.3.2 Вырождение ВКБ сетей: когомологии в модели Ландау-Гинзбурга

5.3.3 Спектральные кривые и классификация вакуумов

5.3.4 Реализации дефектов переплетений и замыканий

5.3.5 Сравнение когомологий Хованова с когомологиями в модели Ландау-Гинзбурга

5.4 Алгебро-геометрическая В-модель

5.4.1 Спектральная дуальность на пространствах модулей колчанов

5.4.2 Изоморфизм Маффеи

5.4.3 Кристаллические фиксированные точки

5.4.4 Действие группы кос на колчанных многообразиях

5.4.5 Построение категорифицированного переплетающего дефекта: ядро Фурье-Мукаи

5.4.6 Замечания о декатегорификации

5.5 Замечания о категорификации инвариантов узлов для старших групп

5.5.1 Классификация вакуумов

5.5.2 Переплетающие интерфейсы

5.5.3 Замыкающие интерфейсы

5.5.4 Инвариант зацепления

Заключение

Список литературы

А Суперсимметрия в теориях Янга-Миллса-Хиггса

А.1 Трехмерная суперсимметричная N =2 теория в криволинейном пространстве

А.2 N = (2, 2) суперсимметрия в двух измерениях

А.2.1 Двумерная N = (2, 2) калибровочная сигма-модель

А.2.2 А-твист и В-твист

А.2.3 Модель Ландау-Гинзбурга

А.3 Граничные условия В-типа

А.3.1 Фермионы на границе и граничный заряд

А.3.2 Граничные условия, отвечающие бране

А.4 Одномерная N = 4 суперсимметричная матричная квантовая механика

А.5 N = (0, 2) суперсимметричная эффективная теория Б8-Б0 бран

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дефекты в суперсимметричных теориях поля и теории струн»

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена исследованию геометрических свойств пространств модулей и параметров, находящих отражение в физических показателях спектров возбуждений для соответствующих квантовых теорий поля и теории струн, имеющих топологическую симметрию либо содержащих топологический сектор. Невозможно переоценить влияние понятия симметрии на прогресс в теоретической и математической физике и, тем более, на современную форму этих областей знания. Неудивительно, что в литературе можно наблюдать повышенный интерес мирового научного сообщества к обновленным и обобщенным понятиям симметрии [1], позволяющим расширить понятие и роль теории групп в современной теоретической физике до более абстрактного понятия категории.

Исследование в диссертационной работе направлено на область физических теорий, где топологические свойства достигаются за счет суперсимметрии. В данном контексте теория категорий сменяет теорию представлений групп симметрий, возникающую, например, при классификации типов элементарных частиц на основе симметрий Стандартной модели. Так эффективные квазичастичные и граничные состояния, например, доменные стенки, солитоны, ин-стантоны, монополи, а также порождающие их дефекты и дефектные операторы, соответствуют объектам и морфизмам некоторых п-категорий. В теориях с суперсимметрией выделяются особые классы таких дефект-состояний, сохраняющих часть суперсимметрии и находящихся на пороге ограничительного энергетического условия Богомольного-Прасада-Зоммерфельда (БПЗ), их обычно классифицируют как БПЗ состояния.

Наличие суперсимметрии как нельзя лучше подходит для круга задач ка-тегорификации, поскольку суперсимметрия позволяет естественным образом подавить, или даже в некоторых случаях сократить совсем обычные квантовые флуктуации в форме петлевых поправок в квантовой теории поля. Этот механизм, известный также как механизм локализации, позволяет проводить точные вычисления различных физических характеристик БПЗ состояний и сравнивать соответствующие спектры со спектрами объектов и морфизмов различных математических категорий. Более того, Нетеровы операторы суперзарядов, отвечающих суперсимметрии, приобретают форму дифференциалов на пространствах полей, что открывает непосредственный путь к геометризации физических задач и их точному аналитическому решению: физические объекты, дефекты, квази-частицы приобретают геометрический смысл на пространствах полей, модулей, параметров или деформаций соответствующей теории.

Актуальность темы исследования

Пожалуй наиболее канонической задачей категорификации в современной математической физике [2], стоящей перед научным сообществом на протяжении последних двадцати лет, можно назвать построение физической модели категорификации инвариантов узлов и зацеплений. Своими корнями эта задача уходит в каноническую низкоразмерную топологию. Узлом называется класс отображений Б1 ^ Б3 с точностью до объемлющей изотопии, или замкнутая линия в трехмерном пространстве простым языком. Зацеплением называется зацепление нескольких узловых компонент (Б 1)хп ^ Б3. Несмотря на сложность формулировки, такие отображения легко кодируются графически с помощью узловых диаграмм - проекций на двумерную плоскость, где в пересечениях нить, которая находится ближе к наблюдателю, изображается сплошной, а нить, которая дальше, разрывной линией (см. рис. 1). При этом становится очевидной основная задача теории узлов: установить, отвечают ли две различные диаграммы одному и тому же узлу, или зацеплению. Так в примере на рис. 1 изображены две визуально непохожие узловые диаграммы для одного и того же узла 41 согласно классификации Рольфсена.

Рисунок 1 - Две узловые диаграммы для узла-«восьмерки»

В современной трактовке задача различения диаграмм узлов сводится к построению так называемых инвариантов узлов - отдельных чисел [3; 4] и групп чисел, которые являются инвариантами движений Редемейстера [5] - преобразований диаграмм, следующих из объемлющей изотопии и не меняющих соответствующий узел. Особый интерес в физических приложениях эта задача приобрела после построения инвариантных полиномов Джонса Зк(?) [6; 7] и их физической интерпретации [8—10]:

Зк (?) = №(К)) (0.1)

как вакуумных средних Вильсоновских петель

Wд(K) = Тгд Рехр ^г ^ Аф^ (0.2)

в трехмерной теории Черна-Саймонса с действием:

^(А) = I Тг (Агд3Ак + А^ , (0.3)

Б 3

где мы выбрали калибровочную группу Би(2) и ее фундаментальное представление □ , а параметр ? связан с константой связи к, называемой уровнем, следующим образом:

? = ехРк+2 ' (0.4)

В таких терминах легко представить простой аргумент, почему среднее Вильсоновской петли вдоль узла К является инвариантом относительно объемлющих изотопий. Действительно, вариация вложения узла К в объемлющее пространство пропорционально кривизне калибровочного поля , а на

классических уравнениях движения для действия (0.3) эта величина зануля-ется Fij = 0. В квантовой теории поправки и «обрамляющая» аномалия не портят это классическое рассуждение - среднее Вильсоновских петель вдоль компонент зацепления L является инвариантом зацепления L - полином по q -с точностью до общего мономиального множителя qa.

Физическая интерпретация полиномов Джонса и связь трехмерной теории Черна-Саймонса с двумерной теорией Весса-Зумино-Виттена-Новикова позволила построить эффективный механизм вычисления инвариантов узлов [11; 12] с помощью сплетающих операторов R-матриц на тензорной категории представлений квантовых групп и обобщить на случаи произвольных представлений и групп. Каноническим инвариантом на сегодняшний день в данной терминологии является полином Хосте-Окнеану-Миллета-Фрейда-Ликориша-Иттера-Пржитицки-Тращука (ХОМФЛИ-ПТ) [13; 14] для фундаментального представления группы SU(N) - многочлен по двум переменным а и q:

2ni 2niN . .

q = exp--—, а = exp--— . (0.5)

4 yk + N' yk + N v 7

Иное обобщение полиномов Джонса - категорификация - было предложено в работах М.Хованова [15], а затем и обобщение полиномов ХОМФЛИ в работах Хованова-Рожанского [16; 17]. В новом подходе по зацеплению L строится биградуированный комплекс, чьи когомологии - инвариант зацепления, а производящая функция для соответствующих чисел Бетти называется полиномом М.Хованова (соответственно Хованова-Рожанского):

Kh£(t, q) = ^ tFqz dim HF'Z . (0.6)

f,z

Градуировка F является гомологической градуировкой, а данный полином обобщает полином Джонса (ХОМФЛИ) в том смысле, что последний является Эйлеровой характеристикой комплекса Хованова:

Kh£(t = —1, q) = Jc(q). (0.7)

С момента публикации работ М.Хованова начался поиск физической теории, которая описывала бы математическую конструкцию полиномов Хованова-Рожа-

нского, как теория Черна-Саймонса описывает конструкцию полиномов Джонса. Ожидается, что такое физическое представление позволит естественным образом обобщить конструкцию Хованова-Рожанского и категорификацию Хова-нова-Лауды-Рокира [18—20] для алгебр Би(п) на неминускульные представления и алгебры Ли прочих серий Дынкина.

Несмотря на то, что в конструкции Хованова-Рожанского используются элементы топологической квантовой теории поля, тем не менее, физическая конструкция, где инвариантность наблюдаемых при деформациях объемлющей изотопии зацепления С была бы наглядна, как в теории Черна-Саймонса, оставалась неявной в течение двадцати лет.

Изначально предложения решения данной задачи строились на различных способах компактификации М-теории в присутствии дефекта [21—27], определяющего зацепление, однако, отсутствие необходимых вычислительных техник для характеристик БПЗ состояний на тот момент не позволяло ни проверить работоспособность этих конструкций, ни соотнести инварианты, построенные физическими методами, с инвариантами, построенными математическими методами. Определенный прогресс в данном направлении был достигнут в относительно недавней работе [28].

Также данная задача появляется в современных исследованиях гомологической зеркальной симметрии [29—31].

Нельзя также обойти стороной тот факт, что мы могли бы прийти к этому актуальному кругу задач о свойствах и поведении БПЗ состояний в суперсимметричных теориях поля, начав с иной стартовой точки. Роль пространства БПЗ состояний в суперсимметричных теориях поля и струн как носителя дополнительных богатых алгебро-геометрических структур, в частности БПЗ алгебры, были отмечены в работах Дж.Харви и Г.Мура [32; 33]. В основе этого метода лежит отождествление структурных констант алгебры с коэффициен-

тами Б-матрицы рассеяния:

* • * : Нбрб ® Нбрб —> Нбрб Ф, • Ф3 = 5*Фк .

(0.8)

Подход Дж.Харви и Г.Мура к построению структур на БПЗ пространствах был удачно применен в различных системах, см. обзор в [34]. Однако для систем Э-бран, параметризуемых колчанами, М.Концевичем и Я.Сойбельманом в [35] был разработан оригинальный подход к построению алгебраической структуры, основанный на геометрических свойствах колчанных многообразий. Связь этих диаметрально различных подходов была в выявлена в работе [36]. А в дальнейшем было показано, что результирующая алгебра - когомологическая алгебра Холла, принадлежащая к семейству алгебр перетасовок Одесского-Фейгина

[37]. Она отвечает положительной по Борелю подалгебре колчанного янгиана

[38] - обобщения аффинного янгиана для супералгебр Ли.

Появление янгиана в этой задаче говорит о связи с теорией интегрируемых систем [39], также известной как дуальность калибровочных и интегрируемых теорий [40—42]. Таким образом становится актуальной задача выяснить, все ли БПЗ алгебры для различных систем имеют дуального партнера в интегрируемых системах, и не представляют ли новые БПЗ алгебры, например, не содержащие в своей основе подалгебры Ли, новые интегрируемые системы, не описанные ранее в литературе.

Связь с интегрируемостью предполагает, что для данных систем может быть разработана трансфер-матрица и Я-матрица, перемешивающая представления БПЗ алгебры в тензорном произведении. Графически Я-матрица может изображаться как простое переплетение двух нитей, отвечающих представлениям:

Ь а

Яаь : Уа ® Уь Уь ® Уа, X . (0.9)

а

Ь

Ожидается, что R-матрица удовлетворяет кубическому уравнению Янга-Бакстера:

Rab ◦ Rae ◦ Rbc = Rbc ◦ Rae ◦ Rab , b b

ac

ca

Ь Ь

Также Я-матрица, или точнее Я-функтор, появляется в задаче о кате-горификации инвариантов зацеплений, Я-матрица отвечает элементарной косе из двух нитей. В обоих случаях Я-матрице придается смысл переплетающего действия на пространстве параметров суперсимметричной теории, реализованного в форме интерфейса. Уравнение Янга-Бакстера (0.10), в свою очередь, естественным образом следует из того факта, что суперсимметрия делает параллельный перенос плоским для БПЗ состояний вдоль интерфейса. Таким образом оба сюжета исследования переплетаются в один, отражая различные свойства спектров БПЗ состояний на фоне дефекта интерфейса. Исследования свойств интерфейс-дефектов занимают внушительную часть [43—50] среди современных направлений теоретической и математической физики в связи с богатой картиной применимости методологии в смежных областях, как было показано выше, а также в свете возможности разработки и применения новых методов непертурбативных вычислений в квантовой теории поля и теории струн.

Целью работы является построение новых методов вычисления и классификации суперсимметричных состояний в теории поля и теории струн, а также исследование их свойств и, в первую очередь, связи с математическими объектами на пространствах модулей и других параметров.

Для достижения поставленной цели в работе предстояло решить следующие задачи:

1. Разработать методы локализации для суперсимметричных теорий поля в присутствии дефектов типа «интерфейс», имитирующих поведение парал-

лельного переноса на пространстве параметров.

2. Разработать методы построения исчерпывающего низкоэнергетического описания таких систем, методы вычисления эффективных волновых функций.

3. Применить разработанные результаты к проверке следующих гипотез:

3.1. Дефект типа «интерфейс» отвечает функтору параллельного переноса (категорификация связности Берри) на категории граничных условий (Э-бран).

3.2. БПЗ сектор в теории компактификации М5-браны с дефектом, отвечающем зацеплению С, является инвариантом С и эквивалентен теории Хованова для инвариантов зацеплений.

3.3. БПЗ алгебра рассеяния в системах Э-бран на трехмерных торических многообразиях Калаби-Яу эквивалентна колчанному янгиану, априорно разработанному в математических работах.

4. Построить физическую теорию тригонометрической и эллиптической деформаций БПЗ алгебр.

5. Построить интегрируемые системы для новых БПЗ алгебр и изучить их поведение относительно дуальности калибровочных и интегрируемых систем.

Научная новизна. Полученные в диссертационной работе результаты являются оригинальными разработками автора диссертации. Все результаты опубликованы в отечественных и иностранных научных журналах, были представлены в докладах на различных международных конференциях. Результаты автора регулярно используются различными исследовательскими группами, известны в научном сообществе.

Результаты, представленные в диссертационном исследовании, имеют большую значимость в теоретических исследованиях топологических физических моделей квантовой теории поля и теории струн, суперсимметричных моделях с топологическими дефектами, в программе категорификации, построения новых инвариантов многообразий, а также в современной программе геометризации непертурбативных физических явлений. Полученные результаты позво-

ляют описывать сложные физические явления в сильно скореллированных системах в терминах современных математических теорий и методологий, что, безусловно, способствует быстрому прогрессу в различных областях современной теоретической и математической физики.

Методология и методы диссертационного исследования. Результаты, представленные в диссертации, получены с помощью аналитических и численных вычислений. Для исследования низкоэнергетического поведения различных суперсимметричных физических систем использовались методы струнно-калибровочных дуальностей и методы локализации. Для математической классификации состояний БПЗ использовались методы алгебраической и симплек-тической геометрий, а также алгебраической топологии. Для вычисления квантовых операторов, волновых функций и эффективных действий использовались методы квантовой теории поля. Для описания и исследования низкоэнергетических свойств Э-бран на многообразиях Калаби-Яу использовались методы теории колчанов. Для описаний свойств интегрируемости для новых алгебраических результатов, получаемых в диссертационном исследовании, использовались методы интегрируемых систем. Также были применены методы теории групп и теории представлений алгебр и групп.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построен механизм дуальности в описании низкоэнергетического физического поведения дефектов типа «интерфейс». Классификация БПЗ решений и граничных условий в задаче осуществляется посредством объектов математических категорий. Так дуальность отвечает гомологической зеркальной симметрии между категориями Фукаи-Сайдела для специальных симплектических Лагранжевых подмногообразий и (производными) категориями когерентных пучков.

2. С помощью спектральной дуальности разработана новая физическая модель из семейства линейных калибровочных сигма-моделей, реализующая категорифицированное действие группы кос на пространствах модулей кол-

чанов. С помощью техник, упомянутых в предыдущем пункте, вычислены спектры БПЗ состояний, отвечающих элементарным сплетающим дефектам, генерирующим группу кос. Вычислено ядро преобразования Фурье-Мукаи в функториальном представлении этих дефектов. Показано, что результирующая алгебра сплетающих дефектов эквивалентна алгебре Хова-нова-Лауды-Рокира для sl2.

3. Разработаны методы построения солитонных и инстантонных спектров в зеркально дуальной модели Ландау-Гинзбурга. Показано, что физическая модель компактификации М-бран для категорифицированных инвариантов зацеплений эквивалентна математической модели, предложенной М.Хо-вановым для sl2. Предложены пути обобщения полученных результатов на случай более общих алгебр sln.

4. Вычислены коэффициенты рассеяния эффективных БПЗ состояний D-бран на многообразиях Калаби-Яу в молекулярной модели. С их помощью построена так называемая БПЗ алгебра рассеяния. Показано соответствие полученной алгебры когомологической алгебре Холла, предложенной М.Кон-цевичем и Я.Сойбельманом.

5. Предложен способ вычисления коэффициентов рассеяния БПЗ состояний бран в моделях с сингулярными пространствами модулей. По соответствующим моделям построены новые БПЗ алгебры, обобщающие алгебры аффинных янгианов, - колчанные янгианы. Новые алгебры классифицируются не диаграммами Дынкина, а колчанными диаграммами для торических трехмерных многообразий Калаби-Яу. Построены и явно описаны «кристаллические» представления этих алгебр. Показана связь с когомологической алгеброй Холла и дуальность молекулярного и кристаллического описаний.

6. Предложены тригонометрические (тороидальные алгебры) и эллиптические обобщения колчанных янгианов. Физические модели в иерархии рациональных, тригонометрических и эллиптических алгебр отвечают компактификации дополнительных измерений системы D-бран в точку, на окружность и на тор соответственно. Что, в свою очередь, отвечает локализации

основного состояния на эквивариантные когомологии, К-теорию или эллиптические когомологии пространства модулей. Показана потенциальная возможность расширения построенной системы на абстрактные обобщенные когомологии Эйленберга-Стинрода.

7. Предложен метод вычисления структуры ко-произведения и Я-матрицы для колчанных янгианов с помощью дефектов параллельного переноса вдоль сплетений параметров на пространствах модулей - обобщении понятия связности Берри. Доказана теорема запрета для колчанных янгианов со сдвигом. Для колчанных янгианов без сдвигов построены трансфер-матрицы и вектора Бете. Показано, что корни Бете отвечают вакуумам в дуальной модели.

8. Получено выражение для зарядовой функции твердотельных разбиений, отвечающих классическим вакуумам в эффективной модели Э-бран на четырехмерных многообразиях Калаби-Яу.

Достоверность полученных результатов проверяется обоснованностью методов, примененных в исследовании, обеспечивается публикуемостью результатов в престижных отечественных и международных журналах со строгой рецензионной политикой, а также подтверждается соответствием иным независимым результатам, полученным другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах в ИТЭФ, ККТЭФ НИЦ «Курчатовский институт», МФТИ, Сколтех, в университете Кавли физики и математики Вселенной (Кашиваноха, Япония), в университете Калифорнии в Беркли (Беркли, США), в университете Калифорнии в Дэвисе (Дэвис, США), в Калифорнийском технологическом университете (Пасадена, США), в университете Северной Каролины (Чапел-Хилл, США), в лаборатории Ангстрема при университете Уппсалы (Уппсала, Швеция), в Швейцарском Федеральном институте технологий (Цюрих, Швейцария), в университете Сорбонны (Париж, Франция). Также полученные результаты обсуждались на международных онлайн-семинарах, организованных научными группами ИТФ им. Ландау, центра математических

исследований им. Яу (Пекин, Китай), университета Канзаса (Канзас, США). Помимо прочего результаты обсуждались на международных конференциях:

- Workshop on quantum fields, knots and integrable systems (Эдинбург, Великобритания, 2017),

- The XXVIIIth International Conference on Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions (SUSY 2021) (Пекин, Китай, 2021),

- «Strings and Fields 2021» (Киото, Япония, 2021),

- «Number Threory, Strings and Quantum Physics» (Токио, Япония, 2021).

- «Fields & Strings 2024» (Москва, Россия, 2024).

- «Problems of the Modern Mathematical Physics» (Дубна, Россия, 2024).

Личный вклад. Все результаты, включенные в диссертацию, получены лично соискателем или при его прямом участии. Соискатель принимал непосредственное участие в выполнении всех работ и написании текстов всех публикаций. Имена соавторов указаны в соответствующих публикациях.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus, [51] (разд. 5.4.6), [52](разд. 5.3, 5.5), [36] (разд. 3.1, 3.2), [53] (разд. 2.1), [54] (глава 1, разд. 5.4), [55] (разд. 2.2), [56] (разд. 2.3), [57] (разд. 4.1, 4.2, 4.3), [58] (разд. 3.2.5, 3.3.2, 3.3.3), [59] (разд. 4.4), [60] (разд. 2.4), [61] (разд. 3.3.1).

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 351 страницу, включая 42 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 264 наименования.

1 Суперсимметричные дефекты типа «интерфейс»

1.1 Локализация на мировом листе с границей и БПЗ состояния

1.1.1 Локализация и ренорм-групповой поток

Локализация в квантовой механике

Канонический подход к локализации в квантово-механической системе с суперсимметрией был предложен в фундаментальной работе [62] (см. также обзоры [28; 63]). Здесь мы лишь упомянем основные шаги необходимые в нашем исследовании.

Для применения этих методов к квантовой теории поля (КТП) рассмотрим ее как квантово-механическую систему на бесконечномерном пространстве полей, или, иными словами, отображений:

Tqm = Map (Vd-i T).

Суперсимметрии отвечают Нетеровские суперзаряды Q и Q*, которые действуют на гильбертовом пространстве состояний и удовлетворяют следующим алгебраическим соотношениям:

{Q, Q*} = 2 (H — |Qtop|) > 0, (1.1)

где H - гамильтониан системы, а Qtop - топологический заряд класса полевых конфигураций. На собственные значения гамильтониана существует ограничение снизу:

H > |Qtop|.

Это неравенство называется неравенством БПЗ. Состояния, насыщающие неравенство БПЗ, так что собственное значение гамильтониана принимает наимень-

шее возможное значение в фиксированном топологическом классе полей, называются БПЗ состояниями, волновые функции этих состояний аннигилируются суперзарядами:

0|Фврв) = 0|ФВРВ) =0. (1.2)

Также говорят, что БПЗ состояния сохраняют О-суперсимметрию.

Предположим, что таргет-пространство 7дм параметризовано координатами хг. Суперсимметрия смешивает бозонные поля хг с соответствующими фермионными партнерами ^ и ^. Фермионные операторы ведут себя подобно дифференциальным формам, таким образом мы можем построить следующее соответствие:

^ dxгA, фг ^ д1] 1д/дх3, (1.3)

где ¿ - оператор внутреннего произведения (свертки формы с векторным полем), а д^^ - метрика на пространстве 7дм. Это соответствие позволяет отождествить некоторые квантово-механические величины с геометрическими величинами.

В частности, суперзаряды О и О имеют смысл обобщенного дифференциала и дуальной по Ходжу пары к нему. В зависимости от геометрических структур, изначально представленных на пространстве 7дм, таких как Риманова метрика, комплексная структура, эквивариантное действие группы, дифференциал-суперзаряд наследует соответствующие свойства: так он приобретает вид дифференциала де Рама, Дольбо, эквивариантного дифференциала в модели Картана, и т.д. В дополнение суперзаряд может приобрести вклад скалярной функции, характеризующей потенциал в системе. Волновые функции БПЗ состояний могут быть интерпретированы как гармонические формы на пространстве 7дм.

В качестве примера рассмотрим упрощенную версию данной модели, где таргет-пространство 7дм допускает действие группы Ли О, а также возможен выбор Морсовой функции высоты Н. Суперзаряд в такой системе будет иметь

следующий вид:

Q = d + (dH) + iv = 4 dX + 41(ЗД) + Vj, (1.4)

где V - Киллингово векторное поле, индуцированное G-действием на 7Qm. Механизм локализации можно разбить на четыре этапа:

1. Генераторы абелевой гомологической группы отождествляются с гармоническими формами, которые зануляют Q и Q* одновременно:

HBPS = H *(Q).

2. Рассматривается изоморфизм когомологий:

ф(н) : H*(Q) —^ H*(Q(fc)),

где отображение ф(н) - лишь обычное сопряжение следующим оператором:

Фн := exp ^ — (а-1 — 1) H + (log К) ^ . (1.5)

Для преобразованного суперзаряда находим следующее выражение:

Q(K) := КФйQФ—1 = Кd + (dH) + iv.

Новый суперзаряд относится к иной физической системе, неэквивалентной изначальной. Гамильтониан такой системы дается выражением:

Н(К) :=|Qtop(K)| + 1 {Q(K), Qt(K)} =

2 (1.6)

=К2А +

V H

у

+ фермионы.

+

3. С одной стороны оператор Фп восстанавливает явный вклад постоянной Планка, часто опускаемый в вычислениях, связанных с КТП, с другой стороны он указывает на инвариантность БПЗ подпространства Гильберта относительно изменений параметра П:

Нврв(а)^ Нврв(^).

4. Используя эту инвариантность мы вычисляем волновые функции БПЗ состояний в квазиклассическом пределе:

П—> 0.

Процесс вычислений в квазиклассическом пределе имеет свои сложности - необходимость в определенных ситуациях рассматривать непертурбативные инстантонные поправки [28; 64]. В предложенной нами ситуации вычисление НВрб сводится к вычислению когомологий комплекса Морса-Смейла-Виттена

(МСВ) (М*, д).

Значения поля, зануляющие потенциальный член (1.6) соответствуют классическим вакуумам системы, потому мы будем называть геометрическое место этих нулевых значений локусом вакуумов и обозначать как V. Предположим сначала, что V - множество изолированных точек. В каждой точке р € V применим замену координат х на пространстве 7дм следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Галахов Дмитрий Максимович, 2025 год

- - + -

- + + -

+ - + -

(5.77)

Если рассмотреть эти вклады более детально, то можно заметить, что это ровно четыре вклада тривиального тождественного интерфейса для вакуумов (+, +), (-, -), (-, +) и (+, -), соответственно. В каждом случае набор обходов можно модифицировать до простого пустого обхода на поверхности Е. Продемонстрируем это утверждение на примере (+, +) вакуума. Модифицируем кривую и соответствующие обходы следующим образом:

> Р

_

Р

(5.78)

Таким образом, путь р дает единственный пустой обход - подъем р на соответствующий лист. р пересекает два разреза. Первый разрез дает перестановку (+, +, +, -) ^ (+, +, -, +), немодифицированному обходом решению соответствует поворот (+, +, -, +) ^ (+, -, +, +) и, наконец, другой разрез производит отображение (+, -, +, +) ^ (-, +, +, +). Этот обход эквивалентен простому решению, соответствующему (+, +) вакууму. Аналогично можно проверить, что любой инстантон для этого интерфейса соответствует инстантонному решению для этого модифицированного интерфейса с использованием аргумента «имплантата» из [90].

Этап 2

Для проверки второго пункта нашего списка просто построим действие локальных дифференциалов и сравним его с правилами (5.3) и (5.4).

Первый шаг в этом направлении, который необходимо сделать, - это присвоить векторы у+ и у- двум типам циклов. Это легко сделать, рассматривая тривиальный узел, он дается ровно двумя вкладами с Р-степенью ±1, используя (5.74а), получаем:

у+ = +о

У_ =

О

+

(5.79)

Мы представляем форму отображений в виде солитонных диаграмм зацеплений и изображаем ноль-сети, ответственные за эти отображения:

- Умножение:

— у+ 0 у- ^ у-: в этом случае ноль-сеть появляется в линиях-потомках ВКБ (новую линию мы обозначаем как £):

- + - +

12

21

+ - + -

- + - +

+ -

06

Ч-

+01-21+ 21

+ - + -

ш =

21

у- 0 у+ ^ у-: в этом случае ноль-сеть появляется в линиях-потомках ВКБ (новую линию мы обозначаем как £)

- + - +

+ +12

+ +

-+-+

+06 ч-

+01-21+ 2 1

+ - + -

+-+-

ш =

0

— у+ 0 у+ ^ у+: в этом случае ноль-сеть является одной из

наиболее простых (см. раздел 5.3.2):

- + - +

- +12

+ - + -

+

+

12

- +12 05

-03+

+-+

ш =

— г- 0 г- ^ 0: член г- 0 г- имеет наименьшую Р-степень -3, для него нет парного члена той же степени, поэтому д = 0 в этой ситуации.

Ко-умножение:

— г- ^ г- 0 г- в этом случае ноль-сеть является одной из

наиболее простых (см. раздел 5.3.2): - + - +

Г7 Г7

-+

-21+

-+

05

-ь

03+ -21+

ш =

03

05

+-

+-

г+ ^ г+ 0 г- + г- 0 г+:

-+

-+

-+

И

+12-

+-

+12-

0

03+ -21+

-+

04

+-

и и

+-

+-

+-

21

ш =

о

03

0 04

До сих пор мы построили систему дифференциалов , действующих в пересечениях диаграмм. Комплекс м можно рассматривать как гиперкуб разрешений в полной аналогии с комплексом Хованова: вершины представлены разными разрешениями пересечений диаграмм зацеплений х в (5.74а), ребра -Действие суперзаряда образует алгебру Фробениуса, заданную соотношениями (5.3) и (5.4) и удовлетворяющую (5.6), поэтому для ребер суперзаряды

антикоммутируют. Однако, чтобы утверждать (5.6), нужно сделать еще один шаг и доказать, что не существует других дифференциалов, кроме (х.

Предположим, существуют другие типы дифференциалов. Рассмотрим куб разрешений, для простоты ограничимся наглядным трехмерным кубом:

Е=0

Г/

^01

4

^001

Ф111

V

Фц

Ф110

I

Е=1

Ф

Ф010

I

Ф000

100 р=2

Е=3

Вершины куба отмечены в соответствии с выбором разрешения. Существует три типа дифференциалов, каждый из которых меняет одно из разрешений:

: Фь* ^ Ф0**, ( : Ф*и ^ Ф*0*, Оз : Ф** 1 ^ Ф

0

(5.80)

Эти дифференциалы образуют ребра куба. Предположим, существует какой-то новый тип дифференциала, он дает новое отображение ( : Ф110 ^ Ф001. Это можно представить как более элементарные перемещения, последовательно сдвигающие все разрешения ( — О2О1О-1. Эту комбинацию нельзя рассматривать как комбинацию инстантонов, поскольку один из них является антиинстан-тоном О-1, однако где-то на границе пространства модулей этой конфигурации может присутствовать одномодульный инстантон БПЗ. Существует еще один путь (1О2О-1, соединяющий Ф110 и Ф001. Все эти пути обозначены на схеме жирными стрелками. Тогда отображение ( должна получать вклады от обоих путей

О - (2(1Оз-1 + (1(2Оз-1 - 0 .

В общей ситуации все такие члены содержат числа ( и (-1 противоположной четности, поэтому они суммируются с результатом, равным нулю. В качестве альтернативного вывода мы можем рассмотреть матричный элемент О2, кото-

рый должен быть равен нулю. Он задается суммой по всем возможным путям:

(5.81)

о = <Фоо1|д2|Фш) = <ф(ш IQ1Q2 + Q2Q1 + (эдз|Фш> =

= (Ф001|<ЭФз|Фш) = (Фш|<2|Ф110> .

5.4 Алгебро-геометрическая В-модель

Колчанные многообразия Накаджимы

Разновидности колчанных многообразий Накаджимы параметризуют классические ветви Хиггса суперсимметричных теорий Янга-Миллса-Хиггса. В этом разделе мы будем рассматривать разновидности колчанов так называемого Лк-типа:

Ри

Pi P2

U Ai fJ Á2 Ak-i

^- Sv2l > . ' <-

Г1

Bi Ai Г2

B2

A2

Bk-i rfc

Ak

(5.82)

Wi

W 2

Wk

Эта теория сопровождается каноническим суперпотенциалом:

к

№ = £ Тг Р (ВА - Аг+1Вг+1 - ГД). (5.83)

¿=1

Здесь и далее мы подразумеваем, что поля с индексами г вне интервала 1,..., к равны нулю.

Обозначим массовые параметры е1, б2 как каноническую параметризацию деформации ^-фона [99; 197; 220]:

МЛ) = 61, МВ)= е2, М(Гг) = 0, М(Дг) = 61 +62, д(Р) = -61 -б2. (5.84)

Эти массы вводятся как дополнительные твистованные массы - ароматические мультиплеты и(1), связанные с колчанными стрелками.

Классическая Хиггсова ветвь описывается множеством киральных полей,

удовлетворяющих условиям Э-члена и Р-члена: Б-член: Л-^}- + В В + Г<Г|-

- - В]-1В<-1 - д!д< = г<, г = 1,..., к;

< < 1 < (5.85)

Е-член: = А+1В+1 - Г<Д<, г = 1,..., к;

Р = 0, г = 1,..., к.

Последнее ограничение = 0 очень простое и отображения Р< больше нигде не встречаются, поэтому в каноническом описании колчанных многообразий Накаджимы эти условия и поля Р< обычно опускаются, мы будем действовать в этом разделе аналогичным образом. Также мы допускаем следующее обычное упрощение обозначений. Поскольку все узлы соединены двойным набором стрелок, мы заменяем этот дублет одной связью:

О^О ^ О—О .

Классические вакуумы, удовлетворяющие (5.85), связанные действием калибровочной группы, эквивалентны. Поэтому вакуумное многообразие - классическая ветвь Хиггса - в этом случае описывается следующим фактором:

к

Я(У, Я) := {Б-член, Е-член}/ ^ и (у). (5.86)

¿=1

Это многообразие является гладким при значениях , принадлежащих определенным камерам стабильности. В дальнейшем мы будем в основном использовать камеру стабильности, называемую циклической камерой:

> 0, г = 1,..., к.

Условие Б-члена можно заменить на условие устойчивости и расширение калибровочной группы до ее комплексифицированного аналога, поэтому пространство модулей представления колчана допускает изоморфное описание:

к

Я(У, гг) = {стабильность, Е-член}/ ^ С). (5.87)

¿=1

Для колчанных многообразий Накаджимы эта теорема доказана в [221]. Стабильное представление многообразия колчана Накаджимы, соответствующее

циклической камере, будем обозначать как R+(v, w). Это гладкое алгебраическое многообразие комплексной размерности:

dimC R(v, w) = 2(W, v) - 2(v, v) + (v, Av), (5.88)

где A - матрица смежности колчана:

A«j = ^¿+1 + .

5.4.1 Спектральная дуальность на пространствах модулей

колчанов

Спектральная дуальность устанавливает изоморфизм вакуумных пространств модулей для некоторых теорий (см., например, [222]). Нас будет интересовать случай трехмерных теорий [223; 224]. Эта дуальность также тесно связана с трехмерной зеркальной симметрией (см., например, [225—227]) и q-соответствием Лэнглэндса (см., например, [183; 228—232]).

Можно получить эквивалентность решений уравнений анзаца Бете, описывающих вакуумные пространства модулей, для теорий с таргет-пространствами, связанными с двойственной парой колчанов Q и Q!. Эта дуальноть проявляет себя в наиболее простом виде, когда и Q, и Q! описывают так называемые теории T[SU(k)] [224; 233]:

к к-1 к-2 2 1 T[SU(k)] = □-о-о---------о-о . (5.89)

Дуальность меняет роли комплексных массовых параметров д, связанных с узлами обрамления, и комплексных параметров ФИ ri — i$i, связанных с калибровочными узлами.

Подобным образом спектральная дуальность [223] связывает теорию с таргет-пространством, заданным кокасательным расслоением к грассманиану:

m n

T*Gr(n,m) = □-о , (5.90)

с теорией определенного типа, который мы обозначим как £п;т—п:

т — 1 узлов

(--\

1 2 п—1 п п п п п—1 2 1

£п,т—п = о-о----о-о-о----о-о-о----о-о . (5.91)

В инфракрасном режиме эти теории испытывают явление нарушения симметрии. Эффективные поля, оставшиеся в ИК-описании на Кулоновой ветви, являются собственными значениями скаляров а в калибровочном мультиплете. Мы можем обозначить эти поля двумя индексами Е^Т', где индекс а пробегает узлы а = 1,..., т — 1 и а = 1,..., г>а.

Процедура генерации эффективного суперпотенциала аналогична описанной в разделе 1.1.3 (см. также [234]). Мы могли бы редуцировать суперпотенциал в трехмерной теории [223] или взять логарифм подынтегральной функции дисковой статсуммы [68, раздел 10], заменив гамма-функции их аппроксимациями Стирлинга. Результат для колчанного многообразия Накаджимы имеет следующий вид:

N N N

-4° + ЕЕ ™ (4" —

а=1 а=1 а,в=1

а=в

^ 1 «а+1 ^ 1 «а+1

N N N

И'ьс = Е ^ + ЕЕ ™ (4' — —— +

+ ЕЕ Е™ (ЕТ — х1а) — + ЕЕ Е™ (4' — ЕГ — +

а=1 а=1 в=1 а=1 а=1 в=1

N N

+Е ЕЕ ™ (Е.а)—4а))+ее: ™ —^——^,

а=1 р=1 а=1 р=1

(5.92)

где дРа), р = 1,..., и>а - массы, связанные с узлами обрамления, ¿а - комплек-сированные параметры ФИ:

¿а = Га — ¡0а,

™ - элементарный одиночный киральный суперпотенциал (4.1).

Аналогичная размерная редукция Т*Сг(п,ш) даст эффективную теорию с суперпотенциалом (5.20). Спектральная двойственность между Т*Сг(п,ш) и

1

1

£п,то_п указывает на то, что соответствующие пространства вакуумных модулей изоморфны, в частности, в множествах критических точек фазы Ландау-Гинзбурга. (5.20) и (5.92) изоморфны при следующей идентификации параметров:

*а =: е а, и = Та - та_1. (5.93)

Здесь рассмотрим легкое доказательство этого факта для простейшего случая п = 1. Полное аналитическое доказательство этого соотношения дуальности для общих т и п весьма сложно технически, оно описано в работе [235].

В случае п = 1 теория £1?т-1 отвечает следующей колчанной диаграмме:

111111

51,т-1 = □-о-о----о-о-□ . (5.94)

Соответствующий суперпотенциал имеет следующий вид:

т-1 т-1 т-1

№ьс = £ w (£(а) - £(а+1)) + £ w (£(а+1) - £(а) - ^ + ££а£(а), (5.95)

а=0 а=0 а=1

где мы сдвинули поля £(а) ^ £(а) + аб1,

6 = 61 + 62, (5.96)

и предполагаем граничные, что условия для узлов представлены следующим образом:

£(0) = М+, £(т) = М-,

где комплексные массы и связаны с узлами оснащения и и>т-1 соответственно.

В наших обозначениях вакуумные уравнения имеют следующий вид:

е2ПТа-^1 - Е(а-1) - £(«)) = ^ (1 - -£(«+1)) . (5.97)

Правая часть этого уравнения эквивалентна левой части со сдвигом индексов на единицу. Заметим, что оба выражения в левой и правой частях не зависят

от индекса а. Введем новую переменную:

x := е2птД 1 — -п—. (5.98)

Легко решить уравнение (5.98) для переменных E(a), тогда можно прийти к единственному условию для E(a), соответствующему граничным условиям:

m—1

Д+ - Д- - m + V = 0. (5.99)

О» ' J Гv> - 'V

Jj n Jj ^ a

a=0

Последнее уравнение описывает критические точки дуального суперпотенциала теории T*Gr(1,m) (см. (5.20)):

/ — \ m—1

Wlg = е М— — m log x + е ^ log(x — Za). (5.100)

V 6 / a=0

5.4.2 Изоморфизм Маффеи

Рассмотрим многообразие N-ступенчатого флага гиперплоскостей Fa в d-мерном комплексном пространстве (см. [236]):

Fd:= iC = Fo^F 2F2...22fn+i ={0} I. (5.101)

" ( dimFa — dimFa+i = qa > 0, a = 0,...,N J

Касательное расслоение к многообразию флагов получается добавлением нильпотентного элемента z:

Nd := {(z,F0 G End(Cd) x Fd | z(Fa) С Fa+i} . (5.102)

Положим, что z - элемент типа Л, где Л = |Л1 > Л2 > ... > Лр} -разбиение целого числа d, если нильпотентная матрица z в своем жордановом разложении содержит блоки размеров Л1,... ,Лр. Срез в Np, где z - элемент типа Л, обозначим как Л/^л.

Кокасательное расслоение Np изоморфно колчанному многообразию На-каджимы с размерными векторами

v = (dim F1, dim F2,..., dim FN), w = (d, 0, 0,...)

в циклической камере [221; 231]. Чтобы установить этот изоморфизм, полезно отождествить ^ с V и отобразить:

А :=Г1, £ :=ДЬ

Если векторное пространство С отождествить с У0, то гиперплоскости получаются как

^ = 1т Я«, (5.103) где отображения Н« имеют следующий вид:

н« = А0 • ... • А«-1 : V« V). (5.104) Нильпотентный элемент г определяется в этой структуре как:

г = (£0^. (5.105)

Следует отметить, что согласно нашим предписаниям элемент г имеет эк-вивариантный вес 6 = 61+62. Векторы из У0, принадлежащие одному жорданову

подпространству, образуют модуль, порожденный циклическим вектором и:

23

и, ги, г и, г и,....

Это накладывает ограничение на нединамические средние значения поля а, связанного с обрамляющим узлом . Чтобы сгенерировать нильпотентный элемент типа Л, оно должно иметь следующий вид:

а = diag(д1,д1 - 6,...,д1 - 6Л1, д2,...,д2 - 6Л2, ...,др - 6ЛР). (5.106)

Изоморфизм Маффеи [237] связывает колчанные многообразия Накаджи-мы и срезы в кокасательном расслоении к многообразию флагов:

Я+ = ^йл, (5.107)

где

а

Я« = -V« + ^«+1 + £ ^ ,

3=1

а Л - разбиение типа 2^-1... N, ё = ^« я«. В общем виде изоморфизм Маффея довольно сложен, тем не менее, его можно значительно упростить для эквивариантных неподвижных точек.

Многообразие А-д описывает поперечный срез в точке, заданной нильпо-тентным элементом г в представлении пространства свертки разрешения замыкания орбиты Сг^ в аффинном грассманиане РСЬ2 [29; 30; 238—240].

5.4.3 Кристаллические фиксированные точки

Для ЛКСМ с таргет-пространством, заданным колчанным многообразием, мы ввели нетривиальный суперпотенциал (5.83). Теория локализуется в критическом локусе функции высоты и суперпотенциала, фиксированных относительно калибровочной симметрии. Суперпотенциал W усложняет рассмотрение модели ЛКСМ, вводит нетривиальное граничное условие для граничного суперзаряда, приводящее к эффекту матричной факторизации [68; 88; 241]:

02^ = W • Ы .

Мы попытаемся обойти эту трудность, используя прием эквивариантной локализации. Мы разделяем потоки локализации, как это было предложено в разделе 1.1.1, так что сначала мы локализуем теорию на локус (5.85), чтобы таргет-пространство в ИК представляло собой кокасательное расслоение к (5.85), затем продолжаем локализацию к эквивариантным неподвижным точкам. К счастью, на критическом локусе (5.85) W = 0, и нет необходимости рассматривать матричную факторизацию для когерентных пучков в эффекивном таргет-пространстве. Для других типов колчанов с сингулярными пространствами модулей этот трюк не сработает, поскольку вклад будут вносить более высокие квантовые поправки.

Эквивариантные неподвижные точки на колчанном многообразии Нака-джимы в циклической камере представлены ^ ^-наборами Ж-цветных диа-

г

грамм Юнга. В случае теории £п,то-п этот набор представляет собой просто пару диаграмм Юнга У = {У1,У2}. Более того, для заданных размерностей

колчана две диаграммы Юнга дополняют друг друга, так что реальная неподвижная точка помечается одной диаграммой Юнга, которую можно вложить в поле ячеек (т — п) х п. Если Ух заполняет белую область на диаграмме, изображенной на рис. 5.8(а), то У2, транспонированная и впоследствии отраженная вдоль обеих осей относительно начала координат, заполняет дополнительную серую область. Имеется дополнительная раскраска диаграмм, связанных с узлами колчана. Мы нумеруем/раскрашиваем узлы диаграммы (5.91) слева направо, начиная с цвета 1, так, чтобы узлы, связанные с узлами обрамления, имели цвета п и т — п, соответственно. Раскраска ячеек поля происходит диагональными рядами, как показано на рис. 5.8(а), начиная с цвета 1 в верхнем левом углу и заканчивая цветом т — 1 в правом нижнем углу.

Мы промаркировали левый нижний угол как «—», и вдоль белой области используем координаты хх и ух так, чтобы самая нижняя левая ячейка имела координаты (0,0). Также верхний правый угол обозначается как «+», вдоль серой области используются координаты х2 и у2, так что самая верхняя правая ячейка имеет координаты (0, 0).

У2

1 2 п т—п 1 2 3 4 5 6 7

У1 2 п т—п 2 3 4 5 6 7 8 9

п т — п 3 4 5 6 л 7 г 8 9 10

п т—п т—2 Х2 4 5 7 8 9 10 11

п т — п т — 2 т — 1 Р- 5 6 7 8 9 10 11 12

р+

Х1

(б)

Рисунок 5.8 - Диаграмное изображение эквивариантных фиксированных точек на

многообразии 8пт-п.

В разделе 5.2.2 мы уже отождествили набор таких диаграмм Юнга со спиновой цепочкой Уп,т—п.

На дуальной стороне трехмерной зеркальной симметрии Уп,т—п определяют ячейки Шуберта для грассманиана Сг(п,т) (см., например, [242]).

Существует простая процедура представления вакуумных средних полей в соответствующем постоянном вакууме с помощью схематического обозначения эквивариантной неподвижной точки. В ИК-вакууме калибровочная группа нарушена до группы Вейля, а скалярное поле а в калибровочных мультиплетах приобретает диагональные средние порядка комплексных масс:

(а)\ _ / а(а) >) а(а)

= diag (а^,^,...,^) , a — 1,...,m - 1.

О i — diag , ,...,wVa

Ненарушенная остаточная группа Вейля калибровочной группы действует на эти средние значения перестановками:

m—1

п S>. ■

¿=1

Следовательно, вакуумные значения , отличающиеся переупорядочением

aia) внутри каждой a-группы, не различаются на физическом уровне. Эти средние можно извлечь непосредственно из диаграмм, как показано на рис. 5.8(а). Каждая ячейка на диаграмме соответствует определенному вакуумному ожиданию. Обозначим комплексную массу, связанную с узлом оснащения wn, как M+, а массу, связанную с узлом wm—n, как м—. Связь между ячейками и средними a(a) зависит от типа области, к которой принадлежит ячейка, а также от ее координат x, y и цвета с:

Белая ячейка с (x1,y1,c) <—> o(c) — м— + ж1е1 + y1e2 ; (5 108)

Серая ячейка с (x2, y2, с') <—> o(c/) — + x2e1 + y2e2.

После нарушения симметрии компоненты киральных полей ведут себя как независимые эффективные ИК-поля. Для их индексов можно было бы ввести следующие обозначения:

ф(6,в)(а,а).

Это поле является компонентой кирального поля, представленного стрелкой a ^ b, соединяющей узлы a и b. Индексы а и в являются матричными индексами соответствующего линейного отображения, сопоставленного стрелке a ^ b. Эффективная ИК-масса такого поля равна:

M (Ф(б,в)(a,a)) = ^ — — ^(стрелка a ^ b). (5.109)

Теперь в наших возможностях описать обратное отображение изоморфизма отображающее неподвижную точку на £п,то-п в спиновую конфигурацию. Изоморфизм Маффеи отображает £п,то-п в многообразие флагов с да = 1 (см. (5.101)), другими словами, в срез пространства модулей полного флага Т^и(т)]. Обозначим соответствующее кокасательное расслоение к многообразию флагов как Мп,т-п, а векторные пространства, связанные с калибровкой и узлами обрамления для исходного £п,то-п и его образа Маффеи, как V, W и V, W, соответственно. Для самого большого пространства имеем:

V, = Wl = Ст = W0n 0 wm-тn), (5.110)

где W®n - это всего лишь п копий одномерного пространства Wn. Оператор г в этом базисе имеет следующий вид:

я ={ ^ 0

у 0 Jm—r

где ^ - жордановы блоки соответствующих размеров.

Сопоставим Wn и Wm-n одномерные пространства, натянутые на проективные векторы спина-1/2:

' 11

Wn = Span

{ +2, , Wm-n = Span I

2'2/ , (5'111)

или просто |+) и |—) для краткости. Тогда векторы W®n и W^—n n) можно обозначить как | +,a), a = 1,... ,n и | —, b), b = 1,... ,m — n соответственно. Также введем забывающий морфизм:

£ : |+,i)^|+), | —,i)^|—). (5.112)

Кокасательное расслоение к флагу Nn,m—n допускает ортогональное разложение по прямым с естественной нормой на V0:

V0 = Cm = £o 0 £i 0 ... 0 £m—1, dim £a = 1, £a ± £b for a = b;

m—1 (5.113)

Fa = ^J) £k. k=a

Оказывается, что для неподвижных точек £параллелен либо |+), либо |-). Таким образом, мы строим следующее отображение на диаграммах Юнга У Е ^п,т-п. Сначала мы строим колчанное представление £п,т—п на основе неподвижных точек, затем применяем к нему изоморфизм Маффеи для получения точки на кокасательном расслоении к флагу Лгп,т-п и, наконец, мы применяем забывающий морфизм к ортогональному разложению многообразия флагов:

У ^ (£ (4),£ (4),...,£ (С-1)). (5.114)

В результате получается слово, представляющее собой набор спинов, с п (+)-спинами и т — п (—)-спинами, а 2 является изоморфизмом. Как и следовало ожидать, 2 эквивалентен изоморфизму (5.18), построенному в разделе 5.2.2.

5.4.4 Действие группы кос на колчанных многообразиях

Предположим, что параметры конформного блока модели ВЗВН расположены на цилиндре так, как изображено на схеме (5.17):

|яь| < 1 < Ы < ... < кт—1|. (5.115)

В этом случае параметры та (5.93) упорядочены по их действительным частям:

Ие то < Ие т1 < Ие т2 < ... < Ие тт—1. (5.116)

Тогда дуальная модель £п,т—п находится в циклической камере пространства параметров:

Г1 > 0, Г2 > 0, ..., Гт—1 > 0. (5.117)

Путь ра,а+ъ заданный элементом косы Ьа,а+ъ переставляет местами та и та+1 и проходит вне циклической камеры к новой камере:

Г1 > 0, ..., га > 0, га+1 < 0, га+2 > 0, ..., Гт—1 > 0. (5.118)

На локусе в пространстве параметров, разделяющем две камеры, колчаное многообразие может стать сингулярным. Физически мы можем наблюдать явление,

подобное обсуждаемому в разделе 1.3, когда описание ветви Хиггса не может имитировать эффективное поведение теории, и приходится переключиться на описание кулоновской ветви с помощью модели Ландау-Гинзбурга. Нам хотелось бы рассчитать категорированный параллельный перенос, индуцированный ра,а+1, однако, работать в камере (5.118) оказывается неудобным. Не известно, существует ли хороший комбинаторный способ подсчета фиксированных точек в этой камере, как мы это делали с циклической камерой. К счастью, существует изоморфизм ^ исходного колчанного многообразия пространства модулей £п,т-п в камере (5.118) в другое многообразие З'пт-п, находящееся в циклической камере:

(5.119)

Действительно, обе теории двойственны одной и той же модели Ландау-Гинзбурга только с перетасованными индексами проколов га. При построении параллельного переноса, если он идет по пути, проходящему через сингулярное многообразие, невозможно действовать напрямую, приходится дуализировать теоретические наблюдаемые в модель Ландау-Гинзбурга, а затем отображать их обратно. На этом пути вместо того, чтобы напрямую дуализировать модель ЛГ к новой камере Бпт-п, мы просто перетасовываем индексы проколов га и отображаем теорию в Б'пт-п, изображенную на диаграмме (5.119). Эта идентификация дает точное отображение между параметрами моделей £п,т-п и З'пт-п:

Га = Га + Га+1, Га +1 = -Га+1, Га+2 = Га+2 + Га+1,

если Ь < а или Ь > а + 2, г^ = гь.

(5.120)

Для модели ЛГ, вообще говоря, отклонения эффективных ИК-полей 2 от вакуумных значений подавляются поведением эффективного суперпотенциала, это подавление гораздо мягче, чем квантовое подавление отклонений полей а

от вакуумных значений. Позаимствовав аналогию из физики конденсированного состояния, мы могли бы назвать кулоновскую фазу, в которую включено описание модели ЛГ, «жидкой»4, переход от фазы ЛКСМ к фазе ЛГ мы могли бы назвать «плавлением», а обратный процесс - «затвердеванием». Используя эту терминологию, мы получаем живописание процесса параллельного переноса: при изменении параметров на пути через жидкую фазу кристаллическое состояние сначала плавится, а затем затвердевает, по существу, в новый кристалл.

Чтобы получить представление о том, как этот изоморфизм может работать на исходных многообразиях, рассмотрим простой случай £1,т_1. Если мы ищем постоянный вакуум, доминирующая часть функции высоты, определяющей этот вакуум, не имеет производных:

Нгеа = _ [ Ахх Е Тг (|Аб-1|2 + |Въ|2 _|Аъ|2 _ |Въ_1|2 _ Ие 1Ъ) . (5.121)

^ Ъ

Очевидно, выражение (5.121) инвариантно относительно следующей замены координат:

ta—1 ^ ta—l + ta, ta У ta, ^а+1 ^ ^а+1 +

а(а_1) ^ а(а_1), а(а) ^ а(а_1) + ^(а+1) _ ^(а), ^(а+1) ^ а(а+1). (5.122)

Аа ^ Аа+1, Ва ^ Ва+1, Аа+1 ^ Аа, Ва+1 ^ Ва.

Полный переход от £п,т_п к £Пт_п обозначим как Фа,а+1, как показано на диаграмме (5.119):

Фа,а+1 = ^ ◦ а . (5.123)

Морфизм Фа,а+1 также можно представить как преобразование Фурье-Мукаи с определенным ядром. Далее мы вычислим это ядро.

4 В качестве физической аналогии можно было бы позаимствовать сходство между конформными блоками, заданными дисковыми амплитуды в теории с суперпотенциалом и средними матричных моделей типа Пеннера (или в-ансамблей) [243—248]. В каноническом пределе больших N эффективные частицы -собственные значения матрицы - образуют вигнеровские капли, заключенные в потенциальных экстрему-

5.4.5 Построение категорифицированного переплетающего

дефекта: ядро Фурье-Мукаи

В этом подразделе мы изучим свойства параллельного переноса вдоль пути ра,а+1 в пространстве параметров и вычислим морфизм Фа,а+1 в виде преобразования Фурье-Мукаи на кокасательном расслоении к пространству флагов ассоциированное с теорией £пт_п. На пути раа+1, переводящем га+1 > 0 в га+1 < 0, многообразие становится сингулярным в точке га+1 = 0, однако, это может не влиять на эквивариантные фиксированные точки. Эквивариантная локализация может предотвратить попадание значений поля в сингулярность и коллапс эффективного описания. На самом деле ситуация зависит от расположения спинов в неподвижной точке и именно от двух спинов, находящихся в узлах а и а + 1.

Введем следующее обозначение (где мы использовали ортогональное разложение (5.113)):

Существует 4 возможные конфигурации спинов, разделенные на две группы, когда спины параллельны и антипараллельны. Жорданово разложение оператора г, ограниченного на Еа, а+1, для этих двух групп различно:

Заметим, что в первом случае, когда спины сонаправлены, информацию о самом многооборазии флагов можно восстановить по информации о Еа,а+1 и операторе г, можно построить обе линии £а и £а+1 как ядро г и его ортогональное дополнение:

В последнем случае, когда спины противонаправлены, информация о вложении £а ^ Еа,а+1 не сохраняется ни в Еа,а+1, ни в г, а многообразие становится син-

Еа,а+1 := Ра+1/^а-1 = £а ф £а+1.

(5.124)

(-, -) (+, +) (-, +) (+, -)

(5.125)

гулярным. Заметим, что все £а являются прямыми, поэтому их можно рассматривать как элементы СР1. В физической теории все эти СР1 имеют конечные объемы, контролируемые средними значениями киральных конденсатов, определяющих вложение линий в Ст (5.104). Обозначим соответствующие объемы иа, в конечном итоге они являются функциями и (г) параметров устойчивости ФИ Га.

При стремлении га+1 к нулю вдоль ра,а+1 векторы объема в случаях сона-правленных и противоположных спинов ведут себя по-разному:

и^ = (0(1),...,0(1),...,0(1)),

(5 126)

им = (о(1),..., о(1), - ^го+т, о(1),..., о(1)). 1 ■ ;

а а+1 а+2

В первом случае классический вакуум находится вдали от сингулярности на всем пути ра,а+1, поэтому переход плавный и не требует склейки через разрешение Кулоновой ветви. В случае, когда спины противонаправлены, некоторые классические средние значения полей исчезают в точке га+1 = 0, как и в случае конической сингулярности, обсуждаемой в разделе 1.3. В этом случае описание Хиггсовой ветви не отражает ИК-поведение, и нам приходится перейти к описанию Кулоновой ветви. Рассмотрим ситуацию противонаправленных спинов более подробно.

Если две конфигурации спинов отличаются перестановкой:

(_, + ) _^ (+, _),

а а+1 а а+1

соответствующие диаграммы Юнга отличаются на одну ячейку цвета а + 1 на границе диаграммы Юнга, которая переходит из белой области в серую область (см. пример на рисунке 5.8(б)) для пары неподвижных точек, где мигрирующая

ячейка выделена жирной рамкой:

(_,+,_,+,_,_,_,+,_,_,+,+,_)

^ . (5.127)

(_,+,_,+,_,_,+,_,_,_,+,+,_)

0 1 2 3 4 5 6 Щ 8 9 10 11 12

Обозначим вектора, указывающие на мигрирующую ячейку из углов + и —, как р+ и р-, соответственно. Согласно сопоставлению (5.109) эти вершины соответствуют операторам, обозначим эти операторы как у+ и у_, соответственно. Это именно те операторы, чьи вакуумные средние стремятся к нулю по мере приближения к сингулярности в точке га+1 = 0:

(|у+|2) - Га+1, <|у— |2> - Га+1. (5.128)

Поскольку средние значения этих полей приближаются по порядку к Н, поля более не считаются классическими.

Отклонения калибровочных мультиплетов от классических значений (а), расположенных в позициях ячеек диаграмм Юнга, подавляются массами полей, соответствующих касательному расслоению и генерируемых через механизм Хиггса средними значениями киральных полей. Когда поля у± становятся квантовыми, масса Хиггса калибровочного поля, соответствующего мигрирующей ячейке, становится равной нулю. Соответствующий скаляр в этом калибровочном мультиплете обозначим как а0.

Эффективные массы или эквивариантные веса полей у± имеют следующий вид: