Диаграммный подход в статистической теории фазового перехода газ-жидкость в решеточном приближении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Данилова Любовь Петровна

  • Данилова Любовь Петровна
  • кандидат науккандидат наук
  • 2019, ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»
  • Специальность ВАК РФ01.01.03
  • Количество страниц 174
Данилова Любовь Петровна. Диаграммный подход в статистической теории фазового перехода газ-жидкость в решеточном приближении: дис. кандидат наук: 01.01.03 - Математическая физика. ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет». 2019. 174 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Данилова Любовь Петровна

Оглавление

Список обозначений

Введение

Глава 1. Равновесная статистическая механика классических систем

одноатомных молекул

1.1. Статистическая механика классических непрерывных систем

в большом каноническом ансамбле

1.2. Термодинамическая устойчивость и экстенсивность

систем одноатомных молекул

1.3. Групповые разложения

1.4. Проблема статистического описания фазового перехода газ-жидкость

1.5. Выводы

Глава 2. Решеточное приближение и построение разложений

по эффективному малому параметру

2.1. Решеточное приближение в статистической механике одноатомных молекул

2.2. Групповые разложения в модели решеточного газа

2.3. Вириальные разложения в модели решеточного газа

2.4. Основания аналитического метода изучения фазового перехода

в модели решеточного газа

2.5. Погружение модели решеточного газа в расширенный класс решеточных систем

2.6. Принципы диаграммного анализа фазового перехода газ-жидкость

2.7. Теорема о критической точке

2.8. Выводы

Глава 3. Приближение бесконечного радиуса взаимодействия

3.1. Давление в нулевом приближении

3.2. Критическая точка

3.3. Скачок плотности и фазовые диаграммы

3.4. Выводы

Глава 4. Корреляционное приближение

4.1. Давление в корреляционном приближении

4.1.1. Описание класса пар (©, Ф) с m(G, Ф) =

4.1.2. Расчетная формула для коэффициентов @П\т)

4.1.3. Вычисление комбинаторных функций Nlm^ и S^'i1

4.1.4. Вычисление функции Q(i) (p,T)

4.1.5. Вычисление давления

4.2. Анализ параметров фазового перехода в корреляционном приближении

4.2.1. Сдвиг критической точки

4.2.2. Изменение критического значения активности

4.2.3. Сдвиг давления p(T) фазового перехода по плотности

4.2.4. Изменение скачка плотности

4.3. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Графы с помеченными вершинами

Приложение 2. Алгебры коэффициентных функций

Приложение 3. Графы и симметричные функции

Приложение 4. Функции, порождаемые графами без вершин сочленения

Приложение 5. Алгебраические формулы для произведений сумм

Список обозначений

В работе мы придерживаемся следующих правил при употреблении шрифтов для обозначения математических объектов и операций над ними.

Для обозначения стандартных функций (операторов, функционалов и т.д.), для которых в математике имеются устоявшиеся аббревиатуры на основе букв латинского алфавита, мы употребляем шрифт roman.

В остальных случаях мы, вводя обозначения, руководствуемся следующими положениями:

• для обозначения математических структур используются прописные латинские буквы A, B, C,... ажурного шрифта;

• графы обозначаются большими буквами F, G, H, ••• готического шрифта;

• прописными греческими буквами S, Е, Г,... обозначаются множества;

• для обозначения числовых функций используются прописные латинские буквы A, B, C,... шрифта italic;

• для обозначения классов множеств мы употребляем прописные латинские буквы F, G, H,... в шрифте calligraphic;

• операторы, отображения, функционалы обозначаются прописными A, B, C,..., а векторы в бесконечномерных пространствах строчными a, b, c,... буквами шрифта sanserif;

• для обозначения числовых величин (параметров, функций и их аргументов), принимающих значения в R и C, используются строчные буквы греческого алфавита, а также следующие строчные буквы латинского алфавита в шрифте italic: a, b, c, f, g, h;

• кроме того, строчные буквы i, j,..., n,p, q, s, t в шрифте italic обозначают целые числа;

• векторы в R3 обозначаются строчными жирными латинскими буквами;

• знак тильда, поставленный над математическим объектом, указывает на его случайность;

• математические ожидания случайных величин a обозначаются посредством двойных угловых скобок ^â)).

• а - постоянная кубической решетки

• Ьп - п-й групповой коэффициент разложения

• сп - п-й вириальный коэффициент

• - гиббсовская плотность распределения в фазовом пространстве N частиц

• О - распределение Гиббса в большом каноническом ансамбле

• Е - внутренняя энергия системы

• И^ - гамильтониан системы из N частиц

• 1п = {1, ...,П}

• к - волновой вектор

• Ь - линейный размер кубической области О,, которую занимает образец среды

• т0 - масса молекулы

• N - число частиц

• Р - давление

• р(°) - давление в приближении самосогласованного поля

• р - импульс молекулы

• гс - радиус корреляций системы

• Го - радиус взаимодействия

• Т - температура в энергетических единицах

• иN - потенциальная энергия системы из N частиц

• и - потенциал взаимодействия

• W - парная функция Урселла

• Wn - функция Урселла системы п частиц

• Ж (к) - фурье-образ парной функции Урселла

• ТУо = Що)

• х, у, г, и, V, w - радиус-векторы пространственных точек и вершины графов

• Хм = (Х1,..., хя>

• г - активность

• 2 - статистическая сумма системы в большом каноническом ансамбле

• ZN - статистическая сумма системы N частиц в каноническом ансамбле

• /Зп(Т) - п-й неприводимый коэффициент разложения

• - символ Кронекера

• Л - кубическая решетка с постоянной решетки а

• Л(Т) - обратная величина значения активности, при котором происходит фазовый переход

• д - химический потенциал системы

• V - эффективный малый параметр теории

• О - кубическая область, которую занимает образец среды

• р - плотность числа частиц

• (рс, Тс) - параметры критической точки на фазовой (р, Т)-диаграмме

Введение

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке аналитического метода изучения, в рамках формализма статистической механики, фазового перехода газ-жидкость в средах, состоящих из одноатомных сферически симметричных молекул.

Статистическая термодинамика или, в современной терминологии, статистическая механика возникла, как раздел теоретической физики, в связи с поиском теоретического подхода к изучению функциональных экспериментально измеряемых зависимостей между термодинамическими и кинетическими параметрами, характеризующих различные физические среды. С момента своего зарождения этот раздел приобрел две характерные черты. Во-первых, ввиду недоступности визуального контакта с объектами исследования (молекулами), теоретические построения в этой области и рассуждения с ними связанные являлись довольно абстрактными, и поэтому, с самого начала, эту область исследований можно было рассматривать как раздел математической физики, а, во-вторых, математические объекты, которые использовались в процессе исследования, имели прямое отношение к теории вероятностей. Однако, термин статистическая математическая физика (см., например, [1]), указывающий на научное направление, предназначением которого является разработка математических методов решения задач статистической механики, появился только лишь где-то в конце 40-х годов прошлого столетия.

Что касается той части статистической математической физики, которая связана с равновесной статистической механикой, то объектом ее изучения являются гиббсовские вероятностные меры и ее основная задача состоит в том, как по заданному функционалу, который называется гамильтонианом системы, определенному на фиксированном фазовом пространстве вычислить значения полной системы статистических характеристик системы, определяющих ее термодинамические функции. В частности, решение этой задачи предполагает вычисление т.н. фазовых диаграмм, описывающих области в пространстве термодинамических параметров, в которых система обнаруживает одинаковое с качественной точки зрения поведение. Мы не станем здесь конкретизировать с математической точки зрения употребленные в этой формулировке понятия, ввиду большого разнообразия систем статистической ме-

ханики. Те конкретные системы, изучению которых посвящена настоящая работа, будут определены в первой главе диссертации.

В рамках математической физики продолжает оставаться нерешенной задача о разработке, в рамках представлений статистической механики, сколько-нибудь общего аналитического метода исследования различного рода фазовых переходов, происходящих в системах, описывающих конденсированные среды. Эта задача оказалась крайне сложной с математической точки зрения.1) Именно необходимость математического анализа фазовых переходов дало толчок к возникновению, собственно, статистической математической физики. Обратимся к истории развития научного направления в рамках статистической механики, которое возникло в связи с исследованием фазовых переходов. При этом нам придется использовать физическую терминологию.

Уже сразу после установления общих принципов статистической механики, в 20-х годах прошлого столетия появились сомнения в применимости этих принципов для описания происходящих в средах термодинамических фазовых переходов. Эти сомнения, в частности, были порождены работой Э.Изинга [2]. Автором была сделана попытка описания на языке статистической механики одного из простейших фазовых переходов - появления в ионных кристаллах ферромагнитного упорядочения при достаточно низких температурах, если ионы, составляющие кристаллическую решетку, обладают собственным магнитным моментом, а взаимодействие между их магнитными моментами является притягивающим. Э.Изинг сконструировал очень простой гамильтониан системы ионов, взаимодействие которых обладает очень сильной одноосной анизотропией. Оказалось, что т.н. статистическая сумма системы с таким гамильтонианом вычисляется в явном виде в терминах элементарных функций в том случае, когда ионы решетки выстроены в цепочку, т.е. «кристалл» является одномерным. Вычисленная на основе статистической суммы термодинамическая функция, называемая спонтанной намагниченностью, оказалась равной нулю при любой ненулевой температуре, несмотря на то, что состояние системы с минимальной энергией вырождено. Это означает, что в системе отсутствует фазовый переход в ферромагнитное состояние.

1) При этом мы здесь оставляем за скобками ставшие в настоящее время модными методы компьютерного моделирования (методы т.н. молекулярной динамики).

Несмотря на то, что исследованная чисто математическая модель не была связана с какой-либо физической системой, полученный Изингом результат оказал шокирующее воздействие на физиков-теоретиков того времени. Дело в том, что к моменту появления работы Изинга уже была в достаточной мере общепринятой концепция теории П.Вейсса [3] для объяснения явления ферромагнетизма на основе понятие среднего поля и качественные рассуждения этой работы были применимы к системе, рассмотренной Изингом, то есть с точки зрения теории Вейсса в этой системе в отсутствие магнитного поля также должна существовать ненулевая намагниченность при достаточно низкой температуре. Возникшее противоречие поставило под вопрос применимость статистической механики для изучения фазовых переходов. В дальнейшем, эти сомнения усилились вследствие появления работы Г.Бете [4], которую можно рассматривать уже как работу по статистической математической физике. В ней был вычислен спектр гамильтониана квантовой системы магнитных моментов ионов, аналогичной системе Изинга, с отталкивающим взаимодействием между ними, которая должна описывать появление т.н. антиферромагнитного упорядочения. Было показано, что она не только не обладает таким упорядочением при любой ненулевой температуре, но оно отсутствует также и в состоянии с минимальной энергией.

Разрешение указанного противоречия и устранение возникших сомнений в применимости статистической механики началось с появлением работы Р.Пайерлса [5], где на качественном уровне было выявлено существенное различие между одномерной и двумерной системами магнитных моментов с точки зрения возможности возникновения ферромагнитного упорядочения. В связи с этим, в конце 30-х годов прошлого столетия в статистической механике на повестку дня встал вопрос о создании математически корректного аналитического метода расчета термодинамических характеристик модели Изинга, который бы подтвердил рассуждения Пайерлса и позволил анализировать простейшие системы статистической механики, аналогичные этой модели.

В 1938г. появилась работа Дж.Г. Кирквуда [6], в которой он предложил приближенный метод расчета статистических характеристик системы статистической механики, описывающей структурный фазовый переход в бинарных сплавах. Эта физическая система описывалась моделью, аналогич-

ной модели Изинга. Работа интересна тем, что примененный Кирквудом метод показал, как зависимость намагниченности от температуры, полученная Вейссом на основе рассуждений о самосогласованном поле намагниченности, может рассматриваться как приближение к точно рассчитанной зависимости и представляет собой, говоря современным языком, своеобразный метод усреднения.

Однако, так как рассуждения работы Кирквуда были применимы в равной степени и в одномерном случае, то есть они в этом случае также приводят к утверждению о наличии фазового перехода, то они не решают главной проблемы о том, что такое фазовый переход с математической точки зрения. Тем не менее, в последующем, идея построения приближения посредством выделения самосогласованного поля оказалась доминирующей при анализе конкретных систем статистической механики, имеющих прикладное значение. Построение такого приближения сводит анализ фазового перехода в системе большого числа частиц к вполне осязаемой задаче математической физики, решение которой не требует численного моделирования. Это обстоятельство подало надежду на то, что изучение фазовых переходов в рамках статистической механики допускает математическую обработку.

Важной исторической вехой в развитии теории фазовых переходов является работа Л.Онсагера [7], в которой ему удалось вычислить, на основе довольно изощренной алгебраической техники, точное выражение для свободной энергии двумерного варианта модели Изинга в отсутствии внешнего магнитного поля. Оказалось, что в аналитической функции, полученной Онсагером, описывающей зависимость свободной энергии от обратной температуры Т-1, имеется особенность, которая приводит к тому, что вторая производная по Т свободной энергии имеет точку разрыва. Это обстоятельство кажется, на первый взгляд парадоксальным, так как распределение вероятностей по микроскопическим состояниям системы является мероморфной аналитической функцией от Т-1. Объяснение этого парадокса состоит в том, что при расчете измеряемых величин в статистической механике принято производить переход к т.н. термодинамическому пределу в математических ожиданиях, рассчитываемых на основе распределения вероятностей Гиббса, т.е. возникшая в расчетах Онсагера неаналитичность проявляется в предельных значениях последовательности мероморфных функций.

Наличие особенности по Т, обнаруженное Онсагером, еще не означало, что соответствующее значение температуры является точкой фазового перехода 2-го рода, но оно показало, что в моделях статистической механики при термодинамическом предельном переходе могут, в принципе, возникать неаналитические зависимости термодинамических функций от параметров моделей, несмотря на то, что распределения вероятностей, определяющие эти модели, зависят от этих параметров аналитическим образом.

Для того чтобы показать, что в точке неаналитичности, обнаруженной Онсагером, действительно, реализуется фазовый переход, необходимо вычислить спонтанную намагниченность системы. Эту задачу Л.Онсагер также, по-видимому, решил, но не успел опубликовать результат, а доложил его на конференции по фазовым переходам. Полное решение задачи представил Янг Чжэньнин [8], и полученная им формула совпала с формулой, предложенной Онсагером. Заметим, что полное решение задачи Онсагера было впоследствии осуществлено альтернативным методом в работах [9,10]. Наконец, в завершение исторического обзора развития статистической теории фазовых переходов, связанной с моделью Изинга, укажем, что несмотря на многочисленные неудачные попытки выразить свободную энергию трехмерной реализации этой модели в терминах стандартных специальных функций математической физики, Р.Л. Добрушин дал математически корректное доказательство существования фазового перехода [11, 12], использовав для этого рассуждения, аналогичные тем, которые были предложены в [5].

Таким образом, начальный период развития статистической теории фазовых переходов показал, что каждый фазовый переход, с необходимостью, сопровождается возникновением особенностей в аналитической зависимости от термодинамических параметров, определяющих распределение вероятностей, и что такие особенности могут возникать только в асимптотических выражениях для термодинамических функций при переходе к термодинамическому пределу. Фазовый же переход, помимо наличия особенности в функциональной зависимости, обязательно сопровождается появлением ненулевых отклонений некоторых математических ожиданий при подходящих сколь угодно малых изменениях самого распределения вероятностей. Именно возникновение этих ненулевых математических ожиданий связывается с появлением нового физического качества в системе. С математической точки зрения такое

положение означает, что фазовый переход должен трактоваться как появление неустойчивости распределения вероятностей системы по отношению к некоторым малым возмущениям. При этом в случае фазовых переходов 2-го рода возникает неоднозначность термодинамически предельных значений математических ожиданий, которая зависит от выбора типа возмущения распределения вероятностей. Таким образом, в этом случае мы имеем дело с бифуркацией этого распределения. На это обстоятельство обращали внимание уже в самом начале развития статистической теории фазовых переходов во всех уже процитированных выше работах. Однако, общая концепция о математической трактовке фазового перехода 2-го рода, была сформулирована в работах Н.Н. Боголюбова, который ввел понятие о т.н. квазисредних при вычислении измеряемых физических величин в рамках статистической механики (см. [13]).

Степень разработанности темы исследования. Оставляя в стороне, общий обзор дальнейшего развития теории фазовых переходов, обратимся непосредственно к обзору развития статистической теории фазового перехода газ-жидкость в средах, состоящих из одноатомных молекул, которая является темой настоящей диссертации. Даже при условии одноатомности молекул соответствующие системы статистической механики оказываются гораздо более сложными по сравнению с теми решеточными системами, к которым относится модель Изинга. Изучение термодинамики системы большого числа взаимодействующих между собой частиц с учетом фазового перехода газ-жидкость началось с диссертации Ван-дер-Ваальса [14]. Рассуждения Ван-дер-Ваальса, хотя и использовали микроскопические молекулярно-кинетические представления, нельзя признать полностью статистическими. Это связано с тем, что она возникла тогда, когда представления статистической механики еще не сформировались. Мы упоминаем здесь эту работу, так как полученный в ней результат, с одной стороны, хорошо описывает экспериментальные данные, а, с другой стороны, есть основания ожидать, что он также является осмысленным в контексте последовательных статистико-механических построений.

Итак, к концу 40-х годов прошлого столетия, после создания математического формализма исследования статистических систем одноатомных молекул [15], а также после приобретения некоторого опыта описания в рамках статистической механики фазовых переходов в более простых с математиче-

ской точки зрения системах теории магнетизма, о которых речь шла выше, возник вопрос о построении статистической теории фазовых переходов, описывающих изменения агрегатных состояний. Для этого потребовалось выяснить природу математического механизма, посредством которого появляются неаналитические зависимости от температуры у термодинамических функций, соответствующие фазовым переходам. Такой механизм был выявлен в работах [17,18]. В первой из этих работ была предложена общая концепция появления таких неаналитических особенностей, во второй [17] (см. также [18]) была доказана теорема о расположении нулей статистических сумм решетчатых систем с притягивающим взаимодействием. Оказалось, что статистические суммы, рассматриваемые как аналитические функции от специального параметра г, связанного с интенсивными термодинамическими параметрами системы, располагаются на единичной окружности в комплексной плоскости. С увеличением объема системы, число нулей на окружности возрастает неограниченно. Тогда, в термодинамическом пределе, нули статистических сумм начинают плотно заполнять дугу единичной окружности, которая не пересекается с положительной полуосью изменения параметра г. Однако, при понижении температуры происходит растяжение самой дуги, на которой расположены нули, так, что, при переходе температуры через некоторую величину Тс, происходит смыкание концов дуги друг с другом в точке г = 1, которая является предельной для множества расположения всех нулей. В результате, комплексная плоскость изменения параметра г расщепляется на две несвязанных друг с другом области, в которых аналитические зависимости термодинамических функций, выражающиеся через логарифмические производные от статистической суммы, становятся совершенно различными. Это обстоятельство как раз и указывает на то, что описанное поведение нулей статистических сумм обуславливает появление у соответствующих решетчатых систем неаналитических зависимостей от параметра г.

На основе проделанного математического исследования Ли и Янг разработали общую математически обоснованную теорию конденсации т.н. решеточного газа - системы статистической механики, которая, с одной стороны, оказывается более простой в математическом отношении, чем исходная система одноатомных молекул, допускающая их непрерывное пространственное расположение, а, с другой стороны, она «очень похожа» на решетчатые си-

стемы теории магнетизма так, что многие результаты, полученные для магнитных систем, допускают переформулировку и интерпретацию для решеточного газа. Эти результаты и методы, использованные при их получении, обусловили то обстоятельство, что дальнейшее развитие теории конденсации происходило на основе модели решеточного газа. В настоящем исследовании также изучается решеточная модель, которая является модификацией модели решеточного газа. Использование этой модели для изучения перехода газ-жидкость, мы называем решеточным приближением к системе статистической механики с непрерывным пространственным расположением частиц.

Укажем на важнейшие работы [19-29], непосредственно примыкающие к теме диссертации, выполненные на основе модели решеточного газа, и полученные в них результаты. В работе [20] было доказано наличие критической точки в общих двумерных моделях решеточного газа, у которых доминирует притягивающая часть взаимодействия, а в работе [21] этот результат был распространен на трехмерный случай. В работах [22, 23], при тех же ограничениях на потенциал взаимодействия, было доказано наличие скачка плотности решеточного газа при температурах, меньших критической, то есть наличие фазового перехода 1-го рода. Наконец, в работах [19] и [25-28] было исследовано явление разделения фаз в решеточном газе при Т < Тс. Работы [24] и [29] посвящены распространению результатов о существовании фазовых переходов в решеточном газе в случае потенциалов взаимодействия общего вида.

Заметим, что во всех указанных выше работах, несмотря на то, что наличие фазового перехода газ-жидкость устанавливалось посредством подходящих математически точных оценок на значения термодинамических функций, характеризующих фазовый переход, в них не предлагалось никаких конструктивных методов для приближенного вычисления этих функций с контролируемой точностью. В частности, не предлагалось методов расчета т.н. фазовых диаграмм системы. Более того, во всех указанных работах не затрагивался вопрос о наличии в исследуемых моделях фазового перехода, соответствующего переходу решеточного газа в твердотельную фазу, в частности, в кристаллическое состояние и не изучался связанный с этим вопрос о наличии на фазовой (Р, Т)-диаграмме т.н. тройной точки (см., например,

[30]).2) Такое положение, вообще, характерно для современного состояния статистической математической физики [18]. Единственным исключением в этом смысле является, пожалуй, метод модельных гамильтонианов Н.Н. Боголюбова, который направлен на построение аппроксимирующих гамильтонианов в квантовой теории твердого тела [32].

В связи с описанной ситуацией в статистической теории конденсации, актуальным является создание метода приближенного расчета с контролируемой точностью термодинамических характеристик состояния среды в области изменения температуры, в которой система испытывает фазовые превращения. Такой метод, с необходимостью, подразумевает, что в генерируемой им последовательности приближений связанные с фазовыми переходами особенности термодинамических функций должны проявляться уже в низших приближениях.

Подсказкой для создания метода, обладающего указанным свойством, могут служить работы [33-35]. В этой серии статей3) авторы предложили вычисление термодинамических характеристик специальной одномерной системы статистической механики с непрерывным пространством расположения конфигураций частиц. В этой модели радиус г0 притягивающей области потенциала парного взаимодействия после перехода к термодинамическому пределу устремлялся к бесконечности. Можно думать, что такая процедура соответствует введению самосогласованного поля в теории конденсации. В результате, оказалось, что, в указанном пределе, давление в системе принимает вид уравнения Ван-дер-Ваальса с наложением на график зависимости давления от плотности горизонтального участка, соответствующего фазовому переходу первого рода. Причем, горизонтальный участок (или скачок плотности), подчиняется т.н. правилу Максвелла. В работах [37, 38] аналогичный технический прием был применен для исследования фазового переходов к статистической системе, описывающей термодинамику идеального одноосного ферромагнетика. Авторы аналогичным образом ввели в гамильтониан системы параметр

2) Что касается статистической теории кристаллизации, то в настоящее время в статистической механике известен только подход, идейно близкий к теории Вейсса в теории магнетизма. В рамках такого подхода формулируется нелинейное интегральное уравнение для пространственной плотности распределения частиц, которое обладает периодическими решениями ниже некоторой температуры, которую интерпретируют как температуру кристаллизации (см, например, [31]).

3) Перевод этих статей см. в книге [36]

г0. Переход к пределу г0 ^ то на заключительной стадии вычислений приводил к уравнению состояния ферромагнетика в теории Вейсса [14]. Заметим, что в обоих случаях исследуемый фазовый переход проявляется в нулевом приближении по параметру г-1.

Описанные примеры дают основание предположить, что построение членов степенных асимптотических разложений по параметру г0-1 должно приводить к таким последовательным приближениям значений термодинамических характеристик, которые учитывают наличие фазового перехода. Неприятным обстоятельством является лишь то, что парные взаимодействия в реальных системах одноатомных молекул не обладают большим радиусом. В связи с этим в настоящей работе мы несколько видоизменяем выбор малого параметра. За основу берется тот факт, что, в отличие от радиуса взаимодействия, зависящий от температуры корреляционный радиус гс(Т), действительно, становится большим в той области значений температуры, где происходит фазовый переход, так, что в критической точке он обращается в бесконечность. Поэтому, для количественного описания фазовых переходов при построении степенных разложений для термодинамических характеристик правильнее использовать отношение г0/гс.

В конце представленного обзора развития статистической теории фазовых переходов и, в частности, теории конденсации, укажем на то, что направление, которому посвящена диссертация, не связано напрямую со статистической теорией критических явлений, в которой был достигнут определенный прогресс в 80-е годы прошлого столетия. Последняя теория направлена на определении асимптотического вида зависимостей термодинамических функций от интенсивных термодинамических параметров в окрестности критической точки пространства термодинамических состояний системы, но она не предназначена для вычисления фазовых диаграмм и, в частности, расположений самих этих критических точек.

В настоящей работе разрабатывается метод построения аналитических приближений для зависимости давления Р от температуры Т и плотности частиц р среды из одноатомных молекул. Этот метод применим в области изменения этих параметров, где происходит фазовый переход газ-жидкость. В основу метода положена диаграммная техника Майера. Он основан на классификации диаграмм посредством приписывания каждой из них степенного

веса Vт в соответствии с порядком п малости по специальным образом введенному параметру V. Этот вес вводится согласно вкладу каждой из диаграмм в рассчитываемое приближение для термодинамической функции при дальнодействующих корреляциях.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая физика», 01.01.03 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диаграммный подход в статистической теории фазового перехода газ-жидкость в решеточном приближении»

Целью работы является:

Разработка, в рамках формализма равновесной статистической механики, математически обоснованного аналитического метода приближенного расчета уравнения термодинамического состояния и фазовых диаграмм для модели решеточного газа с суммируемым парным потенциалом взаимодействия произвольного вида в области температур, в которой происходит фазовый переход газ-жидкость.

Тема диссертации находится в соответствии с п.6 паспорта специальности «Математические проблемы термодинамики, кинетики и статистической физики».

Задачи исследования. Исходя из указанной общей цели исследования, в диссертации решались следующие задачи:

1. Разработать метод вычисления давления в системе решеточного газа на основе степенных разложений по специальному малому параметру;

2. Решить комбинаторные задачи, возникающие при вычислении коэффициентов разложения по степеням малого параметра;

3. Вычислить с точностью до первого порядка по малому параметру давление в модели решеточного газа с суммируемым парным потенциалом взаимодействия произвольного вида;

4. На основе определенной с точностью до первого порядка формулы для давления вычислить критическую точку на фазовой (Р, Т)-диаграмме исследуемой системы и линию фазового перехода первого рода;

5. Вычислить величину скачка плотности числа частиц и точку фазового перехода газ-жидкость на (р, Р)-диаграмме в модели решеточного газа с суммируемым парным потенциалом взаимодействия.

Научная новизна. В результате проведенного исследования, в рамках формализма решеточных моделей равновесной статистической механики, создан аналитический метод вычисления давления с учетом фазового перехода

газ-жидкость в модели решеточного газа с суммируемым потенциалом взаимодействия произвольного вида. Метод позволяет производить расчет уравнение состояния (зависимость плотности от давления и температуры) и фазовых диаграмм для модели решеточного газа с различными потенциалами взаимодействия между частицами. В рамках развитой в диссертации теории научную новизну составляют:

1. Уравнение связи между активностью г и плотностью р решеточного газа с произвольным суммируемым парным потенциалом взаимодействия.

2. Доказательство обобщения теоремы Ли-Янга, определяющего значение химического потенциала решеточного газа, при котором происходит фазовый переход.

3. Формула для давления решеточного газа с точностью до первого порядка по малому параметру, которым является отношение радиуса взаимодействия к радиусу корреляций.

4. Формула для критической температуры на (р, Т)-фазовой диаграмме с точностью до первого порядка по малому параметру.

5. Формула для линии фазового перехода первого рода на (Р, Т)-диаграмме в модели решеточного газа при температурах, меньших критической, но превосходящих т.н. тройную точку, с точностью до первого порядка по малому параметру.

6. Формула для скачка плотности числа частиц при фазовом переходе в модели решеточного газа с точностью до первого порядка по малому параметру.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность с точки зрения развития математических методов равновесной статистической механики. Полученные результаты могут представлять ценность при проведении расчетов фазовых диаграмм сред, состоящих из одноатомных сферически симметричных молекул, на основе представлений равновесной статистической механики.

Методология и методы исследования. В процессе решения поставленных задач используются теоретические методы и представления статистической физики. Для конструирования адекватных математических моделей и их исследования используются методы математического анализа, а также методы комбинаторного анализа и теории графов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Получена формула для функции г(р, Т), которая выражает зависимость активности г от плотности р решеточного газа с суммируемым парным потенциалом взаимодействия.

2. Получена формула для химического потенциала, при котором происходит фазовый переход в системе решеточного газа.

3. Получена формула для давления в системе решеточного газа с точностью до первого порядка по малому параметру.

4. С точностью до перового порядка по малому параметру вычислена критическая точка вместе с линией фазового перехода первого рода на (Р, Т)-диаграмме при температурах, меньших критической, и скачок плотности числа частиц в системе решеточного газа.

Степень достоверности полученных научных результатов обусловлена корректностью доказательств математических утверждений и проведенных вычислений; согласованностью полученных в диссертации результатов с результатами, полученными ранее.

Апробация работы. Материалы, включенные в диссертацию, опубликованы в 17 работах автора, в том числе 12 из них в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, как самостоятельных, так и выполненных совместно с научным руководителем, а также в материалах 5 международных и всероссийских научно-технических конференций. Опубликованные работы, материал которых включен в диссертацию, вышли из печати на протяжении 2015-2019гг. и представлены в общем списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации.

Материалы работы докладывались и обсуждались на:

1. Международной конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2016», Воронеж, Россия.

2. III Международной научно-практической конференции «Современные проблемы физико-математических наук» 23-26 ноября 2017 г. Орел.

3. Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и информатики», 17-22 октября 2016, Нальчик-Терскол, КБР, Россия.

4. IV Международной научно-практической конференции «Современные проблемы физико-математических наук» 22-25 ноября 2018 г. Орел.

5. International Conference "Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems г. Воронеж 17-19 декабря 2018 г.

6. V Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», 4-7 декабря 2018, Нальчик, КБР, Россия.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения, списка литературы, который содержит 87 наименований и пяти приложений. Каждая глава делится на разделы. В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом их нумерация является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер раздела, третья - на номер формулы в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Формулы в Заключении нумеруются двумя цифрами с первой цифрой пять.

При ссылках на формулы в пределах текущей главы, первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры. Каждая глава заканчивается разделом «Выводы», в котором подводятся итоги исследованию, проведенному в этой главе.

Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников из приложенного в конце диссертации списка. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в порядке их появления в тексте диссертации.

Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводятся в отдельном списке.

Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов, а также даваемые по ходу изложения математические определения понятий выделены наклонным шрифтом. Согласно своему значению в тексте, их формулировки, соответственно, предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание, записанными жирным шрифтом. Нумерация этих структурных единиц текста сплошная на протяжении каждой главы диссертации. Таким образом, она является двойной. Первая цифра указывает на номер главы, вторая нумерует утверждение в пределах главы. При этом ссылки на утверждения, в процессе изложения, даются полностью, вне зависимости от того, в какой главе они находятся.

Начало каждого доказательства в тексте отмечается знаком □, а конец -

Первая глава посвящена описанию научного направления, к которому относится диссертация и постановке возникающей в рамках этого направления задачи, решению которой посвящено представленное исследование. В этой главе кратко излагаются основы равновесной статистической механики классических систем большого числа одноатомных молекул в объеме, необходимом для теоретического описания фазового перехода газ-жидкость.

Во второй главе вводится понятие о решеточном приближении при решении основной задачи равновесной статистической механики, в рамках которого существенно упрощается процедура «исключения объема молекул».

С этой целью вводится решеточная система статистической механики с произвольной постоянной решетки, которая модифицирует известную модель решеточного газа. Эта модифицированная модель определяется таким образом, чтобы при стремлении постоянной решетки к нулю ее термодинамические функции стремились к соответствующей непрерывной модели. Все дальнейшее изложение в работе производится в рамках решеточного приближения. Для изучения решеточной модели в этой главе развит метод степенных групповых разложений, полностью аналогичный тому, который используется в статистической механике реальных систем с непрерывным фазовым пространством.

Далее, в главе развит формализм вириального разложения по степеням плотности частиц. С этой целью для коэффициентов вириального разложения системы решеточного газа доказана формула, связанная с использовани-

ем т.н. неприводимых интегралов, которая ранее была известна в статистической механике непрерывных систем.

Наконец, во второй главе, на основе анализа асимптотического поведения неприводимых интегралов при стремлении радиуса парного потенциала взаимодействия частиц к бесконечности, вводится класс решеточных систем, параметризованный посредством дополнительного параметра V так, что изучаемая решеточная система, связанная с решеточным приближением, является элементом этого класса при значении V =1. Эта процедура погружения исходной решеточной системы позволяет развить в последующих главах метод аналитического исследования, основанный на изучении асимптотических разложений по степеням параметра V.

Третья и четвертая главы содержат главные результаты диссертации, связанные с получением конкретных формул для термодинамических характеристик изучаемой системы в рамках решеточного приближения.

Третья глава посвящена вычислению давления в нулевом приближении по параметру V, что, как оказалось, соответствует т.н. приближению самосогласованного поля.

Наконец, в четвертой главе проведены вычисления давления в следующем приближении по степени параметра V, которое названо в диссертации корреляционным и которое является уточнением приближения самосогласованного поля. В главе также проведен анализ полученного уравнения состояния: вычислена критическая точка (р = 1/2,Тс), линия фазового перехода первого рода на (Р, Т)-диаграмме - величина давления р(Т), при котором происходит скачок плотности, а также величина самого скачка р+(Т) — р_(Т) в указанном приближении.

В Заключении перечислены результаты проведенного в диссертации исследования.

В Приложениях приведена математическая информация, использованная при проведения исследования диссертации: сведения из теории графов с помеченными вершинами, коммутативных алгебрах коэффициентных функций, симметричных функциях, порождаемых графами и, в частности, графами без вершин сочленения, вспомогательный алгебраический материал о преобразованиях произведений сумм в симметрические полиномы.

Глава 1. Равновесная статистическая механика классических систем одноатомных молекул

В этой главе мы кратко изложим математические основы равновесной статистической механики в применении к системам большого числа одноатомных сферически симметричных молекул, называемых далее частицами, которые не обладают собственным магнитных моментом. Примерами таких систем являются среды, состоящие из благородных газов. Таким образом, излагаемая в этой главе теоретическая схема непосредственно применима к таким средам. Формулировка формализма статистической механики дается в рамках классического описания механических состояний составляющих систему частиц. Применение такого формализма предполагает, что изучаемая термодинамическая система обладает достаточно большой с квантовой точки зрения температурой. Если принимать во внимание только атомы веществ 7-й и 8-й групп таблицы Менделеева [41], то уже начиная с атомного веса выше 25 а.е., температуры, большие 1К можно считать большими.4) Следовательно, схема равновесной статистической механики классических систем применима в данном случае для всех элементов 8-й группы, за исключением атомов Не. В рамках изложенного в главе формализма будет сформулирована проблема описания изменения агрегатных состояний сред указанного выше типа.

1.1. Статистическая механика классических непрерывных систем в большом каноническом ансамбле 5)

В этом разделе мы излагаем общий метод статистического описания термодинамически равновесных состояний в рамках т.н. большого канонического ансамбля статистической механики классических систем одноатомных молекул. Приводятся известные установленные в статистической математической физике ограничения на потенциал взаимодействия между частицами каждой из систем, которые гарантируют применимость описываемого метода.

Рассмотрим систему из N одинаковых одноатомных молекул, расположенную в ограниченной пространственной области Эту пространственную область мы, далее, будем полагать кубической с ребром длины Ь так, что объем

4) Для сред, состоящих из одноатомных молекул указанного типа, не имеет смысла вводить в рассмотрение понятие электронной компоненты среды.

5) Здесь мы следуем терминологии монографии [18].

|П| этой области будет равен Ь3. Если система частиц находится в газообразном (или жидком) состоянии, то мы будем считать, что область П представляет собой сосуд с абсолютно непроницаемыми для частиц стенками. Стенки сосуда в этом случае являются абсолютно гладкими и абсолютно твердыми так, что каждая частица, сталкиваясь со стенкой, испытывает от нее отражение по законам геометрической оптики, которое является абсолютно упругим (без потери энергии) и происходит за нулевое время. Если система находится в твердом состоянии, то предположения относительно стенок и их наличие становятся излишними. В этом случае, будем только лишь пренебрегать процессами, при которых какие-либо из частиц покидают систему, то есть будем считать, что работа выхода каждой частицы из системы (ее ухода из области П) бесконечна.

В рамках статистической механики одноатомные молекулы рассматриваются сферически симметричными. Более того, когда их размерами можно пренебречь по сравнению со средним расстоянием между ними, с математической точки зрения они моделируются материальными точками с общей для них массой т0. В том случае, когда такое пренебрежение размером частиц недопустимо, они моделируются абсолютно твердыми шарами фиксированного радиуса, равного, по порядку величины, размеру каждой из частиц. При этом мы полностью пренебрегаем, с физической точки зрения, любыми внутренними степенями свободы каждой из частиц, в частности, их собственным вращением.

Фазовое механическое состояние каждой частицы полностью характеризуется вектором импульса р £ К3 и пространственным расположением в П соответствующей материальной точки (либо центром тяжести шара), которое описывается радиус-вектором х £ П. Таким образом, фазовое пространство 3 одной частицы представляет собой множество К3 х П. Тогда фазовое механическое состояние всей совокупности N частиц полностью характеризуется упорядоченным набором QN = ) из N пар qj = (р^-, Xj), ] = 1 ^ N.

Он определен с точностью до произвольной перестановки номеров ], ввиду тождественности (неразличимости) частиц. Тогда фазовым пространством 3(П, N) системы из N > 1 частиц при описанных выше условиях является фактор-пространство 2м по группе перестановок Р^, 3(П^) = 2м/Р^.

В основе статистической механики одноатомных молекул в т.н. малом ан-

самбле лежит представление о том, что фазовое пространство ) клас-

сической механической системы N материальных точек (шаров) с массой т0 представляет собой пространство элементарных случайных событий с естественной для векторов в евклидовом пространстве структурой измеримости, на котором определяется специальная вероятностная мера. Она конструируется на основе гамильтониана Им, соответствующего этой системе.

Гамильтониан Им механической системы из N частиц, рассматриваемый как функция на фазовом пространстве, имеет вид

м р2

Ндг = + им(хм), N е N (1.1.1)

3=1

и И0 = 0, и%(х%) = 0, где введено обозначение Xм = (х!5...,хм) для упорядоченного набора, описывающего пространственное расположение N частиц, называемое далее конфигурацией.

Будем полагать, что потенциальная энергия им(Хм) системы, находящаяся в конфигурации Хм, N > 2 состоит из суммы потенциальных энергий Ц2(х^, х3-) = и(х{ — хз) каждой из N^ — 1)/2 пар {¿,]} частиц, то есть

Цм(Хм)= ^ и(хг — хз), N > 2 , (1.1.2)

(2)

где /М обозначает множество всех пар номеров из /м = {1, 2,..., N}, а функция и(г) называется потенциалом (парным) взаимодействия. Она предполагается центрально-симметричной, и (г) = и (—г). Если частицы рассматриваются как материальные точки, то функция и, для простоты, будет считаться непрерывной, за исключением может быть, точки г = 0, а в случае, если они представляются шариками с радиусом г*, то эту функцию будем считать непрерывной при |г| > г*. Дальнейшие ограничения на потенциал взаимодействия и, связанные с физической постановкой изучаемой нами задачи, будут даны в следующем разделе.

Распределение вероятностей на 2м/Рм в статистической механике определяется плотностью распределения Ом(дь...,дм), которая является функцией, симметричной относительно всех перестановок Рм пар д3-, ] = 1 ^ N в наборе ^м. Каждая такая плотность предполагается подчиненной условию

нормировки

^у / = 1, N = 1 Е N , (1.1.3)

где (Щу = ¿ху - лебегова мера 2 я, то есть это условие норми-

ровки записывается в виде

1

У 1>лг(р1,х1,...,рлг,хлг)сгр1сгх1...сгрлг^хлг = 1, А^еМ. (1-1-4)

7ГЫ

Далее, мы, по техническим соображением, предпочитаем работать с системами статистической механики, у которых число частиц ТУ является случайным, принимающим значения в Н+ = {0} и Н, с фиксированным средним числом частиц ((ТУ)). Для каждой из таких систем фазовое пространство

представляется в виде = ), а распределение вероятностей на

N=0

таком фазовом пространстве определяется посредством бесконечного упорядоченного набора Э = (Ду; N Е Н+) плотностей распределения, в котором Ду(Оу) - плотности распределения фиксированного числа N Е N частиц, а Д0 > 0 - вероятность того, что частицы в системе вообще отсутствуют. Вся совокупность плотностей в этом случае подразумевается нормированной следующим образом,

гс 1 »

= (1.1.5)

N=0 "

где здесь и далее интеграл по 0) от Д0 понимается как значение этого числа.

Определение 1.1. Вероятностное пространство, представляемое парой Э), которая состоит из фазового пространства с естественной структурой измеримости и заданного нам распределения вероятностей Д, называется системой статистической механики одноатомных молекул в большом ансамбле.

Для системы статистической механики и любой функции /у (^у), которая представляет физическую характеристику системы, и поэтому является

измеримой функцией на ) определено среднее значение

оо

ШОм)} = Е Ш [ 1м(Ян)Он(Ян)<1Ян. (1.1.6)

Любая макроскопическая, с физической точки зрения, экспериментально измеряемая характеристика системы представляется такого рода математическим ожиданием. В частности, средняя энергия системы, которая интерпретируется как термодинамическая функция, называемая внутренней энергией, и среднее число частиц даются следующими средними значениями

^ 1 „

Е = ((нйШ} = Е М / , (1.1.7)

N=1 ' ¿П

гс 1 Г

{Ы)) = Е ТдГТГТй / • (1.1.8)

N =1 ( )! ¿П

При некоторых дополнительных условиях на потенциал взаимодействия (см. [18]) математические ожидания, даваемые формулами (7), (8), конечны. При этом сходимость ряда в формуле понимается как абсолютная. Эта оговорка необходима ввиду того, что потенциальная энергия UN взаимодействия может принимать значения разного знака.

Термодинамически равновесная система статистической механики определяется следующим набором Э = (Ду; N Е Н+) плотностей распределения

= г-1 ехр ( - ^(Ндг - МА0) , N Е , (1.1.9)

где параметр д называется химическим потенциалом, а Т - статистическая температура или, просто, температура, которая здесь представляется в энергетических единицах измерения. В дальнейшем, для простоты изложения, мы будем всюду использовать именно такие единицы. Для перевода результатов вычислений в терминах температуры, измеряемой в градусах шкалы Кельвина нужно произвести в формулах замену Т ^ к Т, где к -постоянная Больцмана.

Определение 1.2. Вероятностное пространство, представляемое парой Э) с распределением вероятностей Д , называется системой равновесной статистической механики в большом каноническом ансамбле.

Нормировочный множитель в формуле (9) находится подстановкой выражений (9) в условие нормировки (5). В результате, получается функция от параметров д и Т

гс 1 „ 1

2 = /ехр -»юу<2м, (1.1.Ю)

N=0 ' ^

называемая большой статистической суммой (см., например, [18], [42-44]). Представив в этой формуле, на основании (1), гамильтониан Ия в виде

N р2

^ 2то

3=1

и вычисляя интегралы по импульсным переменным,

4 3'=1

Т 33=1 2то

3=1

где ¿Ря = , находим следующее представление для 2,

00 П Р

2 = / ехр(1ЛЛ1)

я=0 ' ПАТ

где ¿Хя = ¿х^.^хя и параметр г, называемый активностью, определяется формулой г = (2пт0Т)3/2е^/т.

1.2. Термодинамическая устойчивость и экстенсивность систем одноатомных молекул

В этом разделе мы обсудим вопрос о математической возможности описания термодинамически равновесных систем на основе большого канонического ансамбля.

Для постановки задач равновесной статистической механики систем одноатомных молекул необходимо уточнить те свойства потенциала, при выполнении которых имеет смысл распределение вероятностей большого канонического ансамбля. Явный вид потенциала взаимодействия получается в результате решения задачи квантовой механики о взаимодействии двух одноатомных молекул. Эта задача в общем виде не имеет точного решения, даже в относительно простом случае одноатомных молекул. Это связано с необходимостью учета взаимодействия электронных оболочек молекул, состоящих

из довольно большого числа электронов. Однако, имеется возможность установить асимптотическое поведение потенциала взаимодействия на расстояниях, намного превосходящих размеры самих атомов. Напротив, на близких расстояниях, при решении задач статистической механики, потенциал взаимодействия приходится моделировать, учитывая при этом его характерные, с точки зрения физики, свойства. В практике расчетов в рамках статистической механики используют модельные потенциалы следующего вида. Пример 1.1.

а) потенциалы Ленард-Джонса

и (ъ) = 4е

б) потенциалы Морзе и (ъ) = е\( ехр[2(г° - |ъ|)/а] - 2ехр[(г° - |ъ|)/а] , а,е,г° > 0 . (1.2.2)

а \ 12 /а

|ъ|У V |7|

а, е, г° > 0; (1.2.1)

Эти два типа потенциалов содержат свободные параметры а, е, г°, значения которых подбирают посредством сравнения предсказаний теории с результатами эксперимента.

в) модельные потенциалы с твердой сердцевиной, когда частицу представляют твердым шариком с радиусом г°. При этом формально считают, что при |ъ| < г° потенциал и(ъ) = то. При 171 > г° потенциал обычно полагают отрицательным и стремящимся к нулю экспоненциально.

Все перечисленные потенциалы сферически симметричные, и(ъ) = ^(|ъ|) и характеризуются тем, что каждый из них разделяет пространство на область притяжения и(ъ) < 0 при |ъ| < г° и область отталкивания и(ъ) > 0 при |ъ| > г°. У потенциалов классов а) и в) это отталкивание очень жесткое так, что потенциалы неинтегрируемы в окрестности нуля. Ввиду наличия некоторой неопределенности при выборе подходящего потенциала для обработки экспериментальных данных, в статистической механике, обычно, справедливость утверждений, имеющих основополагающее значение для этого научного направления, стремятся устанавливать при довольно общих предположения о потенциале взаимодействия. Ниже мы обсудим предположения такого рода.

Прежде всего, будем считать, что для одноатомных молекул потенциал и(ъ) является центрально симметричным, и(—ъ) = и(ъ), в частности, сферически симметричным. Введем, далее, ограничение на потенциал, которое

гарантирует существование распределения вероятностей большого канонического ансамбля.

Определение 1.3. Потенциал и взаимодействия назовем термодинамически устойчивым,6) если для него существует постоянная В > 0 такая, что для любого N имеет место неравенство

и(хг - х3) >-ВТ. (1.2.3)

Свойство термодинамической устойчивости потенциала гарантирует существование для системы с таким потенциалом нижней границы для удельной энергии связи на одну частицу.

Теорема 1.1. (см., например, [49]) Статистическая сумма системы с термодинамически устойчивым потенциалом является целой функцией комплексного переменного г.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая физика», 01.01.03 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Данилова Любовь Петровна, 2019 год

Список литературы

Минлос Р.А. Введение в математическую статистическую физику / М.: МЦНМО, 2002. -112 с.

Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus // Zeitschrift fur Physik.- 1925.- 31.- P.253-258.

Weiss P. L'hypothese du champ moleculaire et la propriete ferromagnetique // J. Phys. Theor. Appl.- 1907.- 6.- P.661-690.

Bethe H. Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette // Zeitschrift fur Physik.- 1931.- 71.- S.205-226.

Peierls R. On Ising's model of ferromagnetism // Proc. Camb.Phil.Soc. - 1936. - 32. - P.477-481. Kirkwood J.G. Order and disorder in binary solid solutions // Journ.Chem.Phys.- 1938.- 6.-N1.- C.70-75.

Onsager L. Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition // Phys. Rev.- 1944. - 65.- P.117-149.

Yang C.N. The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model // Phys. Rev. 1952. - 85. - P.808-816.

Вдовиченко Н.В. Вычисление статистической суммы плоской дипольной решетки // ЖЭТФ.- 1964.- 47;2.- С.715-731.

Вдовиченко Н.В. Спонтанная намагниченность плоской дипольной решетки // ЖЭТФ. -

1965. - 48;2. - C.526-530.

Добрушин Р.Л. Существование фазового перехода в двумерной и трехмерной моделях Изинга // Докл. АН СССР. - 1965. - 1[40];5. - С.1046-1048.

Добрушин Р.Л. Существование фазового перехода в двумерной и трехмерной моделях Изинга // Теория вероятностей и ее применения. - 1965. - 10. - C.209-230. Боголюбов Н.Н. Квазисредние в задачах статистической механики // Собрание сочинений в 3-х томах. т.3.- Киев: Наукова думка, 1971. (Препринт R1451 ОИЯИ, Лаборатория теоретической физики. Дубна.- 123с.) van der Waals J.D. Phys. D. Thesis, Univ. Leiden. - 1873.

Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика / М.: Мир, 1980. -546 c. (Mayer J.E., Goeppert-Mayer M. Statistical mechanics / New York: John Wiley & Sons, Inc., 1977.) Yang C.N., Lee T.D. Statistical Theory of Equation of State and Phase Transitions. I. Theory of Condensation // Phys. Rev. 1952. - 87. - P.404-409.

Yang C.N., Lee T.D. Statistical Theory of Equation of State and Phase Transitions. II. Lattice Gas and Ising Model // Phys. Rev. 1952. - 87. - P.410-419.

Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / М.: Мир, 1971. - 368 c. (Ruelle D. Statistical Mechanics. Rigorous Results / Ney York-Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc., 1969.) Fisher M.E. Correlation Functions and the Coexistence of Phases //J. Math. Phys. - 1965 - 6. - P.1643-1653.

Ginibre J. Grossman A., Ruelle D. Condensation of Lattice Gases // Commun. Math. Phys.-

1966.- 3.- P.187-193.

Fisher M.E. The Theory of Condensation and the Critical Point // Physics. - 1967.- 3. - P.255-283.

Dobrushin R.L. Existence of phase transition in models of a lattice gas // Proc. V Berk. Symp. Mat. Stat. Prob.- 1967.- VII A.- P.73-87.

Березин Ф.А., Синай Г.Я. Существование фазового перехода для решетчатого газа с притяжением между частицами // Труды Моск. Мат. Общ-ва.- 1967.- 17.- С.197-212.

24,

25,

26,

27,

28,

29,

30,

31.

32,

33,

34,

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

Gallavotti G., Miracle-Sole S., Robinson D.W. Analiticity Properties of a Lattice Gas // Physics Letters. - 1967. - 25A. - P.493-494.

Минлос Р.А., Синай Я.Г. Явление разделения фаз при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа // Докл. АН СССР.- 1967.- 175;№2.- С.323-326. Минлос Р.А., Синай Я.Г. Явление разделения фаз при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа I // Матем.сб..- 1967.- 73;№2.- C.375-448.

Минлос Р.А., Синай Я.Г. Явление разделения фаз при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа II // Тр. Москов. матем. общ.- 1968.- 19.- C.113-178. Минлос Р.А., Синай Я.Г. Новые результаты о фазовых переходах 1-го рода в моделях решеточного газа с притяжением между частицами // Тр. Москов. матем. общ.- 1967.- 17.-C.213-242.

Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с попарным взаимодействием // Функциональный анализ и его приложения.- 1968.- 4.- С.31-43. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления/ М.: Мир, 1973.. - 424 c. (Stanley H.E. Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena / Oxford: Clarendon Press, 1971.)

Власов А.А. Статистические функции распределения / М.: Наука, 1966.- 356с. Боголюбов Н.Н. (мл.) Метод исследования модельных гамильтонианов // М: Наука, 1978.176 с.

Kac M., Uhlenbeck G.E., Hemmer P.C. On the van der Waals theory of the vapor-liquid equilibrium. I. Discussion of a onedimensional model // J.Math. Phys.- 1963.- 4;2.- C.216-228. Kac M., Uhlenbeck G.E., Hemmer P.C. On the van der Waals theory of the vapor-liquid equilibrium. II. Discussion of the distribution functions // J.Math. Phys.- 1963.- 4;2.- C.229-247. Kac M., Uhlenbeck G.E., Hemmer P.C. On the van der Waals theory of the vapor-liquid equilibrium. III. Discussion of the critical region // J.Math. Phys.- 1964.- 5;1.- C.60-74. Кац М., Уленбек Г.Е., Хеммер П.К. Теория Ван-дер-Ваальса о равновесии между газом и жидкостью // в кн. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике / М.: Мир, 1965. -408 с. (Kac M. Probability and Related Topics in Physical Sciences / New York: Interscience Publishers, Inc., 1958).

Вакс В.Г., Ларкин А.И., Пикин С.А. О методе самосогласованного поля при описании фазовых переходов. // ЖЭТФ.- 1966.- 51;1(7).- C.361-375.

Вакс В.Г., Ларкин А.И., Пикин С.А. Термодинамика идеального ферромагнетика // ЖЭТФ. - 1967. - 53. - С.281.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов (Строгие результаты) / М.: Наука, 1988.

Синай Я.Г. Автомодельные распределения вероятностей // Теория вероятностей и е

применения.- 1976.- 21;№1.- С.63-80.

Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей / М.: Изд. Иностранная литература, 1961.- 932с. // Hirschfelder J.O., Curtiss Ch.F., Bird R.B. Molecular theory of gases and liquids / New York: John Wiley and Sons, Inc., 1954.

Исихара А. Статистическая физика / М.: Мир, 1973.- 472с. (Isihara A. Statistical physics / New York: Academic Press, 1971.)

Минлос Р.А. Лекции по статистической физике // УМН.- 1968.- 1.- С.133-190. Feynman R.P. Statistical Mechanics / Benjamin, Massachussets (1972).

Lenard A., Sherman S. Stable potentials I // Comm. Math. Phys.- 1969.- 16;3.- P.201-207; Stable potentials II // Comm. Math. Phys.- 1970.- 17;2.- P.91-97;

Fisher M.E., Ruelle D. The Stability of Many-Particle Systems // J.Math. Phys.- 1966.- 7.-P.260-270.

47. Dyson F.J., Lenard A. Stability of Matter, I // J.Math. Phys. - 1967.- 8. - P.423-434; Stability of Matter, II // J.Math. Phys. - 1968.- 9. - P.698-711.

48. Дайсон Ф. Устойчивость материи //в сб. Устойчивость и фазовые переходы. - М.: Мир, 1973.- C.164-244.

49. Ursell H. D. The evaluation of Gibbs phase-integral for imperfect gases // Proc. Cambridge Philos. Soc.- 1927.- 23.- P.685y697.

50. Гурвитц А., Курант Р. Теория функций / М.: Наука, 1968 (Hurwitz A., Courant R. Allgemeine Funftionentheorie und Elliptosche Funktionen / Berlin: Springer-Verlag, 1964).

51. Lebowitz J.L., Penrose O. Convergence of Virial Expansions //J. Math. Phys. - 1964.- 5.-P.841-847.

52. Groeneveld J. Two Theorems of Many-Particle Systems // Physics Letters.- 1962.- 3.- P.50-51.

53. Penrose O. Convergence of Fugacity Expansions for Fluids and Lattice Gases //J. Math. Phys. - 1963.- 4.- P.1312-1320.

54. Penrose O. The Reminder in Mayer's Fugacity Series //J. Math. Phys. - 1963.- 4.- P.1488-1494.

55. Ruelle D. Correlation Functions of Classical Gases // Ann. Phys. - 1963.- 25. - P.109-120.

56. Пастур Л.А. Спектральная теория уравнений Кирквуда-Зальцбурга в конечном объеме // Теорет. и матем. физика.- 1974.- 18;2.- а233Ц242

57. Гейликман Б.Т. Статистическая теория фазовых превращений // М.: ГТТЛ, 1954. - 120 с.

58. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной / М. : Физматлит, 2005. - 336 c.

59. Кац М. Математические механизмы фазовых переходов // в сб. Устойчивость и фазовые переходы. - М.: Мир, 1973.- C.164-244. (Kac M. in Statistical Physics, Phase Transitions and Superfluidity // ed. M.Chretiln et. al./ New York: Gordon and Breach Science Publishers, Vol.2, 1968.)

60. Mermin N.D., Wagner H. Absence of Ferromagnetism and Antiferromagnetism in One- and Two-Dimensional isotropic Heisenberg Models // Phys. Rev. Letters.- 1966.- 17.- P.1133-1136.

61. Пирогов С.А. Гиббсовские случайные поля и проблема сосуществования фаз// Успехи мат. наук. 1975.- 30;2.- С.223-224.

62. Пирогов С.А. Сосуществование фаз для решетчатых моделей// Известия АН СССР, сер. матем. 1975.- 39;6.- С.1404-1433.

63. Пирогов С.А., Синай Я.Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем, I// Теор. матем. физика. 1975.- 25;3.- С.358-369.

64. Пирогов С.А., Синай Я.Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем, II// Теор. матем. физика. 1976.- 26;1.- С.61-76.

65. Mittag-Leffler G. En metod att analytisk framstalla en funktion at rational karakter //Of vesigt Kongl. Vetenskaps - Akad. Fahandlingar.- 1876.- 33;6.- P.3-16.

66. Mittag-Leffler G. En metod att analytisk framstalla en funktion at rational karakter // Acta math.- 1884.- P.1-79.

67. Шварц Л. Анализ, т.2 / пер. с франц. / М.: Мир, 1972.- 824 с.

68. Mayer J., Harrison S.F. Statistical mechanics of condensing systems. III // Journal of Chemical Physics.- 1938.- 6.- P.87-100.

69. Mayer J., Harrison S.F. Statistical mechanics of condensing systems. IV // Journal of Chemical Physics.- 1938.- 6.- P.101-104.

70. Born M., Fuchs K., The statistical mechanics of condensing systems // Proc. Roy. Soc.- 1938.-A166; 929.- P.391-414.

71. Kahn B. and Uhlenbeck G.E. On the theory of condensation. Physica.- 1938.- 5.- S.399-416.

72. Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход в одноосных сегнетоэлектриках // ЖЭТФ.- 1969.- 56(6).- C.2087-2098.

Larkin A.I., KhmelYnitskii D.E. Phase Transition in Uniaxial Ferroelectrics // Sov. Phys. JETP.- 1969.- 29(6).- P.1123-1128.

73. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ / М.: Мир, 1963. // Riordan J. An introduction to combinatorial analysis / New York: John Wiley & Sons, Inc.; London: Chapman & Hall, Limited, 1958.

74. Холл М. Комбинаторный анализ / М.: Иностр.лит., 1963. - 100 c. ( Holl M., jr. A survey of combinatorial analysis / New York: John Wiley & Sons, Inc., 1958).

75. Harary F. Graph Theory / London: Addison-Wesley Publishing Company, 1969. (пер. на рус. яз. Харрари Ф., Теория графов. М.: Мир, 1973. - 304 с.)

76. Harary F., Palmer E.M. Graphical Enumeration / New York: Academic Press, 1973. (пер. на рус. яз. Харрари Ф., Палмер Э., Перечисление графов. М.: Мир, 1977. - 328c.)

77. Oystein O. Theory of graphs / American Mathematical Society, Colloquium Publications V. XXXVIII, 1962. (пер. на рус. яз. Оре О. Теория графов / М.: Наука, 1980. - 336 c.)

78. Ван дер Ваден Б.Л., Алгебра / М. : Наука, 1979. - 648 с. (Van der Waerden B.L. Algebra, vol.1 / Berlin: Springer, 1938).

79. Gallavotti G., Miracle-Sole S. Statistical Mechanics of Lattice Systems // Commun. Math. Phys.-1967.-5.- C.317-323.

80. Gallavotti G. Statistical mechanics / Roma; Dipartimento di Fisica Universita di Roma , 1999.348 p.

81. Arovas D. Lecture Notes on Thermodynamics and Statistical Mechanics (A Work in Progress) / University of California, San Diego November 14, 2013.

82. Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля / М.: Наука, 1985.

83. Добрушин Р.Л. Минлос Р.А. Существование и непрерывность давления в классической статистической физике // Теория вероятностей и ее применения.- 1967.- 12.- P.526-618.

84. Ginibre J. Rigorous Lower Bound of the Compressibility of a Classical System // Phys.Letters.-1967.- 24A.- P.223-224.

85. Tonks L. The Complete Equation of State of One, Two and Three-Dimensional Gases of Hard Elastic Spheres // Phys. Rev.- 1936.- 50.- P.955-963.

86. Takanishi H. / in Mathematical Physics in One-Dimension. eds. Lieb E.H., Mattis D.C./ New York: Academic Press, 1966.- 25p.

87. Вирченко Ю.П. Описание фазы с нарушенной симметрией в модели Изинга методом квазисредних // Теор. и мат. физ.- 1982.- 52;3.- P.473-490.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ГРАФЫ С ПОМЕЧЕННЫМИ ВЕРШИНАМИ

В этом приложении поясняется терминология, связанная с графиками Майера в равновесной статистической механике, а также излагается теория, связанная с перечислением графов, не содержащих вершин сочленения. При этом мы используем понятия, принятые в монографиях [75-77].

1. Графы с помеченными вершинами. Пусть V - конечное множество элементов, которые называются вершинами. Мы обозначаем их далее малыми латинскими буквами. Таким образом, вершины, как элементы множества V, различимы. Обозначим посредством V (2) множество всех пар (ж, у} С V. Графом с помеченными вершинами (далее, просто графом) над множеством V называется упорядоченная пара © = (V, Ф), в которой Ф - подмножество из V(2), Ф С V(2). Ф называется множеством смежности графа, а его элементы - ребрами графа (V, Ф).

Данное определение графа предполагает, что два графа ©1 = (VI, Ф1) и ©2 = (^2, Ф2) совпадают в том и только в том случае, когда VI = V2 и Ф1 = Ф2. Отсюда, в частности, следует, что два графа над одним и тем же множеством V различны, если они отличаются своими множествами смежности Ф1 и Ф2.

Множество смежности Ф С V(2) графа © определяет бинарное симметричное отношение смежности на V. Каждое такое бинарное отношение порождает бинарное отношение связности на V, которое обладает свойствами симметричности и транзитивности. Оно конструируется на основе понятия пути на графе © = (V, Ф). Путем на графе © = (V, Ф) называется каждая последовательность 7(ж,у) = (ж, Ж1, Ж2,..., жп-1, у) вершин из V такая, что (ж?,ж?+1} € Ф, ] = 0,1,..., п — 1, жо = ж, жп = у. Множество вершин, входящих в состав пути 7(ж,у) будем обозначать (7(ж,у)}.

Пара (ж, у} С V является связной на графе ©, если существует путь (ж, ж1, ж2,..., жп-1, у), связывающий эти вершины. Получаемое таким образом подмножество пар из V (2) определяет бинарное отношение. Если же это подмножество связных пар (ж, у) с ж = у дополнить парами (ж, ж), ж € V, то отношение связности становится рефлексивным. Тогда такое отношение превращается в отношение эквивалентности.

Так как каждое отношение эквивалентности на V разбивает это множество на непересекающиеся подмножества эквивалентных между собой вершин, то отношение связности разбивает множество V на непересекающиеся подмножества (компоненты) связных между собой вершин.

Граф (V, Ф) называется связным, если у него, при указанном разбиении, имеется только одно подмножество эквивалентности, то есть он состоит из одной связной компоненты. Если в указанном разбиении имеется более одной компоненты V!, У2, ..., Vm так, что имеет место дизъюнктивное разложение 1^)^=1 V? = V, то такое разбиение индуцирует разбиение на компоненты Ф1, Ф2, ..., Фт, т > 1 множества смежности Ф так, что

т

Ф = У Ф? , Ф? П Фк = 0 при ] = к ?=1

(2)

и Ф? С V? , ^ = 1 + т. В этом смысле можно говорить, что граф © состоит из несвязанных между собой графов ©? = (V?, Ф?), ] = 1 + т, каждый из которых называется связной компонентой исходного графа.

Путь 7(ж,у) = (ж, ж1, ж2, •••, жп-1, у) на графе с п > 3 такой, что ж = у называется циклом. Если на графе (V, Ф) отсутствуют циклы, то такой граф называется древесным.

Граф 0' = (V', Ф'), у которого V' С V, Ф' = Ф П У/(2) называется подграфом графа 0. При этом если граф 0 - связный, то граф 0' не обязательно является связным.

Пусть 01 = (VI, Ф1) и 02 = ("^2, Ф2) - связные подграфы связного графа 0 = (V, Ф), причем

VI П V) = {ж} , V = V! и V); Ф = Ф1 П Ф2 = 0 , Ф = Ф1 и Ф2 • (1)

Тогда ж называется вершиной сочленения графа 0, а сам этот граф называется графом склеенным по этой вершине. При этом граф 0, по определению, является склейкой графов 01 и 02, 0 = 01 V 02, где символ V здесь и далее обозначает операцию склейки.

Если граф не обладает вершинами сочленения, то его, в дальнейшем, будем называть блоком. По определению, любой одновершинный граф {ж} не имеет вершины сочленения. На рис. 1 указаны все топологически различные блоки с числом вершин п = 1, 2, 3, 4. Внутри каждого графа с п = 4 указано число блоков с этим топологическим типом, отличающихся нумерацией вершин.

МЛ = 1

м, = 1

м,= 1

М, = 10

Рис. 1.

Если вершина ж является вершиной сочленения в графе 0, и этот граф представляется в виде склейки графов 0; = (V;, Ф;), где j = 1 + р,

таких, что

0 = V 0;

3 = 1

V; П ^ = {ж} , Ф; П Фк = 0 , j = Л; = 1 + р

(2)

и 0;, j = 1 + р являются связными графами, в которых вершина ж не является вершиной сочленения, то число р называется степенью вершины сочленения ж на графе 0. При этом графы 0; будем называть компонентами, соответствующими, вершине сочленения ж. Если вершина

х не является вершиной сочленения то, по определению, будем считать, что ее степень равна 1. Вершина сочленения в связном графе © характеризуется следующим свойством.

Теорема 1. Для того чтобы вершина х связного графа © = (V, Ф) была вершиной сочленения, необходимо и достаточно чтобы существовала такая пара вершин у! € V, € V, у, = х, 3 = 1, 2, для которой любой путь 7(у1, У2) из у! в у2 обязательно содержит вершину х.

□ Необходимость. Если имеет место разложение (1) графа © на два подграфа ©1 = (VI, Ф1) и ©2 = (^2, Ф2), то для любых двух вершин у! € V! и у2 € У2, отличных от х, во всяком пути (у!,..., у2) содержится вершина х. В самом деле, рассмотрим произвольный путь 7 = (у1,...,у2) и х € {7}. Найдем в этом пути вершину г, которая является первой из непринадлежащих V! вершин. Пусть вершина V, предшествует г в пути 7. Допустим, что она не совпадает с х. Тогда, с одной стороны, связь {V, г} € Ф, а, с другой стороны, эта связь не может принадлежать ни одному из множеств Ф,, 3 = 1, 2. В самом деле, по построению, V € и, следовательно, {V, г} € Ф2. Кроме того, г € V! и поэтому {V,,?} € Фь В результате, получаем противоречие с равенством Ф = Ф! и Ф2.

Достаточность. Пусть у,, 3 = 1, 2 - вершины, указанные в условии теоремы графа ©. Нужно доказать существование разложения (1). Пусть V - множество всех вершин, предшествующих вершине х в пути 7 = (у!, ...,х, ...,у2). Определим V! = {V : 3(и € V : 3(7^,и) : х € {7^, и)}))} и {х} и = (V\ V!) и{х}. Для этих множеств V! и определим и Ф, = {{и, V} € Ф : {и, V} С V,}, 3 = 1, 2. Тогда, по построению V! и V2 = V, V! П V2 = {х}, Ф! ПФ2 = 0. Покажем, что Ф! иФ2 = Ф. Допустим противное, что существует связь {Ш!,Ш2} € Ф,, 3 = 1, 2 и {Ш!,Ш2} € Ф. Это возможно только в том случае, когда ш,, 3 = 1,2 содержатся в разных множествах, — € V!, Ш2 € У2, и не совпадают с х. В силу определения V!, существует путь 7(у!,Ш!) на графе ©, полностью расположенный в V!. Если пара {-!,-2} содержится в Ф, то существует путь 7(у^ Ш!) V (-!,-2), который не проходит через вершину х, что противоречит тому, что — € V!. Определив графы ©, = (V,, Ф,), 3 = 1, 2, получим, что ©! V ©2 и склейка происходит по вершине х. I

Докажем, что для любого связного графа и имеющейся у него вершины сочленения х имеет место разложение (2).

Теорема 2. Пусть х - вершина сочленения связного графа © = (V, Ф). Тогда существуют число в > 2 и однозначным образом определенный набор связных графов ©, = (V,, Ф,), 3 = 1 в каждом из которых вершина х уже не является вершиной сочленения, и при этом имеют место следующие соотношения

V = V! и V) и ... и V* , V П V, = {х}, г = 3; г, 3 = 1 - в ; Ф = Ф! и Ф2 и ... и Ф5 , Ф, П Ф, = 0, г = 3; г,3 = 1 - в.

□ Построим указанное в условиях теоремы разложение. Так как х - вершина сочленения графа ©, то имеется два графа ©,!) = , Ф,!)), 3 = 1, 2, содержащих каждый более одной вершины и таких, что и У2(!) = V, ^ П У2(!) = {х} и Ф(!!) П ф2!) = 0, Ф(!!) П ф2!) = Ф.

Если в графах ©,!), 3 = 1, 2 вершина х не является вершиной сочленения, то построение закончено и, согласно определению, в = 2. Если же, по крайней мере, в одном из этих графов

вершина х является вершиной сочленения, то для каждого такого графа с номером 3!, равным

(2) (2) (2)

1 или 2, существует пара графов , = ,, Ф^/,), 3 = 1, 2, содержащих каждый более одной вершины и таких, что ^ и ,2)2 = ,!), У,2) П ^ = {х} и Ф^ П ф(2)2 = 0, Ф,2)! и Ф,2)2 = Ф^).

Если же у графа ©31 вершина х с номером .1 не является вершиной сочленения, то графу ©31

сопоставим пару графов ©^^ = ©31 и ©Л^ = {{х}, 0). Таким образом, для каждого .1 = 1, 2

(2)

имеется пара графов ©^^, .2 = 1, 2 и, по крайней мере, один из них не является одновершинным. Далее, если у обоих вновь построенных графов Ф31,32; .1.2 = 1, 2 вершина х не является

вершиной сочленения, то построение заканчивается и, по определению, в равно числу тех графов

(2)

©71 32, у которых множество связности Ф3Ь32 не пусто. Если же среди всех вновь построенных графов найдутся такие, у которых вершина х является вершиной сочленения, то построение продолжается.

(2) (3)

Каждому графу ©3 , обладающему вершиной сочленения, сопоставим пару графов ©3 ■ =

1 2 1 2

(3) (3) (3) (3)

72 3, Ф1,32 з), . = 1, 2, содержащих каждый более одной вершины и таких, что 3 ^ 1 ^^^ ^ 2 =

,1 П Л ,2 = {х} и ФЛ)32 , 1 п ФЛ)32 ,2 = 0 Ф31 и ф(3 ,2 = . Для тех же гра-

(2) (3) (2)

фов ©з1з2, у которых вершина х не является вершиной сочленения, положим ©)1'з2 1 = ©}/32

(3)

и ©З1 32 2 = {{х}, 0). Если у всех построенных неодновершинных графов вершина х не является вершиной сочленения, процедура построения новых графов останавливается. Если же это не так, то переходим к новому шагу построения.

Описанный алгоритм построения все более мелких графов, у которых вершина х является вершиной сочленения, должен завершиться на каком-то шаге т, так как множество вершин исходного графа © конечно. При завершении описанного процесса построения набора подграфов исходного графа ©, выберем из всех полученных графов ©(т) • = (vjm^ , Ф(т) ); 7ь = 1, 2,

71,3т х ./1,3т ./1,3т ' ^

к = 1 — т те, у которых Ф^ 3т = 0. Пусть число таких графов равно в. В результате, получен набор неодновершинных графов, каждый из которых содержит вершину х, которая у каждого из них не является вершиной сочленения. Обозначим эти графы, занумеровав их произвольным образом, посредством ©(1) = {V(1), Ф(1)), ..., ©(а) = {V(а), Ф(в)). Для этого набора графов, по построению, выполняется

V(1) и V(2) и ... и V(в) = V, Ф(1) и Ф(2) и ... и Ф(в) =Ф; (3)

V(3) П V(к) = {х} , Ф(3) П Ф(к) = 0 при . = к ;к = 1 — в . (4)

Покажем, что набор графов ©(1), ..., ©(а) выбирается однозначным образом. Допустим противное, что имеется два разных набора неодновершинных графов, удовлетворяющих (3) и (4): уже указанный набор ©(3) = {V(3), Ф(3)), . = 1,...,в и набор графов ©(3)' = {V(3)', Ф(3)'), . = 1,...,в', удовлетворяющий аналогичным условиям, а именно

V(1)' и V(2)' и ... и V^ = V, Ф(1)' и Ф(2)' и ... и Ф^' = Ф ; (3')

V(3)' П V(к)' = {х} , Ф(3)' П Ф(к)' = 0 при . = к ;к = 1 — в'. (4')

Не ограничивая общности будем считать, что в < в'. В противном случае, поменяем штрихованный и нештрихованный наборы графов ролями в нижеследующих рассуждениях.

Возьмем любую вершину у1 из V(1), отличную от х, и найдем номер того графа среди ©(3)', . = 1 — в', в котором она содержится. Не ограничивая общности, можно считать, что таковым является граф Тогда V(1) П V(1)' Э {х,у1}. Допустим, что V(1) = V(1)'. Следовательно,

(V(1) \ V(1)') и (V(1)' \ V(1)) = 0. Положим для определенности, что не пуста первая компонента объединения и ¿1 € V(1) \V(1)'. Тогда, так как объединение всех множеств V(3), . = 1 —в совпадает с объединением всех множеств V(3)', . = 1 — в', то найдется такой номер к1 = 1, для которого ¿1 € V(к1)'. Так как ¿1 и у1 принадлежат одному и тому же множеству V(1), то существует путь

7(уъ,!), расположенный в V и не проходящий через вершину х. Но это противоречит тому, что у! и 2! содержатся в различных множествах V(!)' и V(^2)', склеенных в вершине х. Это противоречие указывает на то, что V (!) = V (!)' . Удалив эти блоки V(!) и каждый из своего набора, применим всю описанную для блока V(!) процедуру к блоку V(2), то есть найдем вершину у2 = х, у2 € Т/2; найдем по этой вершине соответствующий граф в наборе штрихованных графов и обозначим его посредством

©(2)'. В результате аналогичных рассуждений покажем, что V (2) = V (2)' . Продолжим описанную процедуру вплоть до исчерпания всего набора графов ©(,), 3 = 1—в. Таким образом, в результате проведенных рассуждений мы установили, что каждый из графов ©(,), 3 = 1 — в совпадает с соответствующим графом ©(,)'. Так как при этом исчерпается весь запас вершин из множества V, то в = в' и оба набора графов совпадают. I

Следствие. В любом неодновершинном конечном графе имеется, по крайней мере, две вершины, которые не являются его вершинами сочленения.

□ Доказательство следует из алгоритма построения полного графа ©, который склеивается вершиной сочленения, представленного в доказательстве теоремы, и конечности графа, которая гарантирует остановку этого алгоритма. I

Пусть граф © = (V, Ф) и пусть в этом графе имеется подграф ©в = (В, Фв), который не имеет вершин сочленения и для которого существует набор {©(г) = (V(г), Ф(,)); г € В} связных попарно несвязных друг с другом подграфов графа © таких, что это граф представим в виде

© = ©в V [У ©(*)] , (5)

¿ев

где допускается, что некоторые из подграфов ©(г), г € В могут быть пустыми. Тогда будем говорить, что подграф ©в является блоком в составе графа ©.

Следующее утверждение, ввиду существования в каждом графе вершины, не являющейся вершиной сочленения, гарантирует существование содержащегося в нем блока.

Теорема 3. Пусть х - вершина графа © = (V, Ф), не являющаяся вершиной сочленения. Тогда в графе © найдется единственный блок ©в = (В, Фв), для которого справедливо представление (5) и который содержит х.

□ Пусть у - множество вершин сочленения графа © и х € У - вершина, о которой идет речь в формулировке теоремы. Если у = 0, то В = V, то есть © - блок и в этом случае теорема доказана. Если у = 0, то выделим тот блок, о котором идет речь в формулировке теоремы, посредством последовательного применения алгоритма дробления графа ©. Опишем этот алгоритм.

Возьмем первую из вершин у!, принадлежащих у. Пусть она имеет степень в!. Тогда представим граф © в виде склейки © = ©!!) V ©2!) двух графов ©!!) = (V!, Ф!) и ©2!) = (Р2, Ф2) так, что V! П = {у!}, V = V! и Р2. Выберем из этих двух графов тот, в котором содержится вершина х. Так как х не является вершиной сочленения, то только один граф из представленных двух графов обладает таким свойством. Положим, что этим свойством обладает граф ©!!). При этом множество V! является собственным подмножеством у. Кроме того, если вершина у! имеет степень сочленения в! = 2, то она в графе ©!!) не является вершиной сочленения. Если же она обладает степенью, большей 2, то она является вершиной сочленения в графе ©!!) и имеет степень, меньшую в!.

В результате применения описанного построения мы получили граф ©!!). Если он является блоком, то есть не имеет вершин сочленения, то теорема доказана. Если же он не является блоком,

то применим к нему повторно построение перехода к подграфу, содержащему вершину ж. При этом мы будем использовать вершину у1 в качестве вершины сочленения, если она осталась таковой в графе ©(1), либо возьмем новую вершину сочленения которая, по предположению, должна содержаться в графе ©11 и обладает некоторой степенью ^

В результате повторного применения построения выделения более мелкого связного графа,

(2)

содержащего вершину ж, получим новый граф ©1 , в котором содержится вершина ж ив котором множество его вершин сочленения является собственным подмножестсвом множества V!, а

степень вершины сочленения у2 в этом графе меньше §2- Причем граф ©11) представим в виде

(1) (2) (2) (2) 1 склейки ©1 = ©1 V ©2 , где ©2 - некоторый связный граф. Таким образом, исходный граф

© представим в виде склейки © = ©21) V ©22) V ©21)-

Продолжим применение алгоритма блока до тех пор пока на каком-то шаге вновь полученный граф ©1т) не будет иметь вершин сочленения, однако при этом он содержит вершину ж. Кроме того, так как для этого графа справедлива формула (5), которая в данном случае имеет вид © = ©1т) V (©2т-1) V... V ©21)). ■

Следующее утверждение уточняет формулу (5).

Теорема 4. Пусть ж - вершина связного графа © = (V, Ф), которая не является его вершиной сочленения, и ©в = (В, Фв) - единственный блок в этом графе, который содержит эту вершину. Тогда граф © представим в виде

р(-)-1

© = ©в ^^ V ©.(*)), (6)

-гев .7 = 1

где В - блок в графе ©, которому принадлежит ж, и для каждой вершины г € В числа р(г) являются их степенями в графе ©, а связные графы ©.(г), з = 1 — р(г) - компонентами сочленения, соответствующими вершине г.

□ Пусть ©в - блок в графе ©, содержащий вершину ж, существование которого утверждается в Теореме 3. Он обладает набором вершин В. Сопоставим каждой вершине г € В блока ©в число р(г), равное степени сочленения этой вершины в графе ©. Если вершина г € В не является вершиной сочленения в графе ©, то, как и ранее, полагаем р(г) = 1. Поэтому компоненты склейки графов в формуле (6), соответствующие таким вершинам, отсутствуют в (6).

Рассмотрим вершину г € В, которая является вершиной сочленения в © и имеет степень р(г) > 2, то согласно Теореме 3, ей, однозначным образом, сопоставляется набор связных графов ©.(г) = (V.(г), Ф.(г)), з = 1 —р(г). Среди всех графов ©.(г), з = 1 — р(г) содержится блок ©в = (В, Фв). Не ограничивая общности, можно считать, что блок ©в имеет номер р(г) в указанном списке связных подграфов.

Для каждой вершины г € В и для каждой пары связных графов ©. (г) и ©^ (г) из набора графов, соответствующих этой вершине, имеет место V.(г) П V;(г) = {г}, Ф.(г) П Ф&(г) = 0 з = к, где з, к = 1 — р(г) — 1. Кроме того, для любых двух различных вершин г1 и г2 из В все графы ©71 (г1), 31 = 1 — р(г1) — 1 и ©.(г2), з = 1 — р(г2) — 1 из наборов графов, соответствующих этим различным вершинам, являются несвязанными друг с другом, ввиду несвязанности графов ©(г), которые соответствуют различным вершинам сочленения в представлении (5), то есть

V. (г1) П V. (г2) = 0 , Ф.1 (г1) П Ф. Ы = 0 , Л = 1 — рЫ — 1, 3 = 1 — РЫ — 1. ■

Замечание 1. Из (6) непосредственно следует, что

|В| < Ер(г) < IVI .

¿ев

Замечание 2. Каждый из графов

р(*0-1

©(г) = {V(г), Ф(г)), ©(г) = \/ ©3(г), (7)

3=1

р(г)-1 р(*0-1

V(г) = и V?(г), Ф(г) = и Ф3(¿)

3=1 3=1

имеет выделенную вершину г с характеристикой

Р(^)-1

ф) = IV(г)| = £ IV}(г)| — р(г) + 1 = IV|. (8)

3=1 ¿ев

При этом V(г) = {г}, если р(г) = 1, д(г) = IV(г)| = 1.

Обозначим ) класс дизъюнктивных разложений множества /п, состоящих из в компонент, и 65п = и™=1 - класс всех дизъюнктивных разложений этого множества. Элементы класса бп будем обозначать буквой А. Символом |А| будем обозначать число компонент в разложении А.

Пусть 3 [V; г] - класс всех связных графов над множеством вершин V и {г} с отмеченной вершиной г. Этот класс является подклассом среди класса всех связных графов над V и {г}. Он характеризуется свойством инвариантности относительно перенумераций вершин из V. Это означает следующее. Пусть Р - перестановка из группы Р|у| перестановок множества V. Она определяет такую перенумерацию PV и {г} множества вершин V и {г}, при которой вершина г остается без изменений. Такая перенумерация индуцирует преобразование РФ = {{Рх, Ру} : {х, у} € Ф} множества смежности Ф у каждого графа © = {V и {г}, Ф) и, следовательно, -преобразование Р© = {PV и {г}, РФ) любого графа © € и {г}]. Тогда свойство инвариантности класса ; г] относительно Р означает, что Р {¿[V; г] = {Р©; © € 3^; г]} = 3^; г].

Следующие технические леммы нам понадобятся в Приложении 4.

Лемма 1. Класс 3[/п; п +1], п € N представим в виде дизъюнктивного объединения

п

3[/„; п + 1] = и3м[1п; п + 1], (9)

«=1

где 3(а) [/п; п + 1] - класс всех связных графов с множеством вершин /п+1, у которых отмеченная вершина является вершиной сочленения степени в = 1 — п.

□ Доказательство очевидно. ■

Замечание 3. Очевидно, что Р 3(5)[!п; п + 1] = 3м[1п; п + 1].

Лемма 2. Если отмеченная вершина п + 1 является вершиной сочленения со степенью в > 1, то класс 3(в)[/п; п + 1] представим в виде следующего дизъюнктивного объединения

3(5)[/п; п + 1]= и 3м [1п; А] (10)

яебп

с непустыми компонентами, каждая из которых представляет собой класс всех связанных графов над множеством 1п+1 с отмеченной вершиной п + 1 со степенью сочленения з. При этом номера вершин, отличные от п + 1, у связных графов ©3, ; = 1 — з - компонент сочленения в вершине п + 1 образуют разложение А € бп с числом компонент з, а вершина п + 1 не является вершиной сочленения в графах ©3.

□ Проклассифицируем все графы этого класса 3 (8)[1п; п + 1], распределив их по попарно непересекающимся классам 3(8)[1п; А], А € бП8). Для этого рассмотрим граф © = (1п+1, Ф) из класса 3(8)[1п,п + 1] с выделенной вершиной п + 1, которая является вершиной сочленения степени з € {1, ...,п}.

Рассмотрим случай з > 1. Согласно утверждению Теоремы 2, для выделенной вершины п +1 имеется однозначным образом определяемый набор связных графов ©3 = (А3 и {п + 1}, Ф3), ; = 1 — з, в каждом из которых вершина п + 1 уже не является вершиной сочленения, то есть имеют место следующие соотношения:

1п = А1 и А2 и ... и Л,, А П А3 = 0; Ф = Ф1 и Ф2 и ... и Ф8 , Ф, п Ф3 = 0, г = ;; г,; =1 - з.

При этом граф © представим в виде склейки графов ©3, ; = 1 — з:

© = V ©з . (11)

3=1

Так как набор множеств {А1,..., А,} образует разложение множества 1п, то этому графу однозначным образом сопоставляется фиксированное разложение

А € . При

этом каждому элементу

А3 € А сопоставлен граф ©3, ; = 1 — з над множеством вершин А3 и{п + 1}, в котором п + 1 уже не является вершиной сочленения. Согласно описанному построению, классы 3 [1п; А1 ],3(8)[1п; А2], соответствующие различным разложениям А1 и А2 не пересекаются, даже если |А1| = |А21.

Покажем, что все компоненты разложения (9) не пусты. Рассмотрим произвольное разложение А = {А1,..., А,} € бП8) с числом компонент 2 < з < п. Пусть 3 = |А3-1 > 1 - числа элементов в каждой компоненте разложения. Выберем для каждого ; = 1,..., з произвольный связный граф ©3 с числом вершин 3 + 1 и занумеруем вершины этих графов номерами из множества А3 П{п +1} так, что вершина с номером п + 1 не была вершиной сочленения (это возможно, так как в каждом графе существует, по крайней мере, две вершины, которые не являются вершинами сочленения). Все графы ©3 склеим в вершине п + 1, которая, таким образом, имеет степень сочленения з. Построенный граф содержится в классе 3(8)[1п; А]. I

Замечание 4. Каждый из классов 3(8)[1п;А], А € бП^ инвариантен относительно таких перенумераций Р € Рп множества 1п, которые не изменяют разложения А, т.е. РА = (РА3;; = 1 — з) = (Аз;; = 1 — з) = А.

Лемма 3. Для любого дизъюнктивного разложения А = {А1,...,А8} € бП8) класс графов 3(8)[1п; А], п > з > 1 эквивалентен декартову произведению

3(8)[1п; А] = ®3(1)[А; п + 1], (12)

Лея

где 3(1) [А; п + 1] - класс связанных графов с множеством вершин А и {п + 1}, А € А, у которых вершина п + 1 не является вершиной сочленения.

Замечание 5. Каждый из классов 3(1)[А] инвариантен относительно таких перенумераций Р € Рп вершин, которые переводят множество А € А в себя, РА = А, А € А.

□ Здесь, по определению, считается что графы, составляющие прямое произведение, образуются в результате склейки графов, находящихся в каждой из компонент прямого произведения. Тогда справедливость утверждения вытекает из этого определения. ■

Лемма 4. Класс S(1)[1n; n + 1], n > 2 представим в виде следующего дизъюнктивного объединения

S(1) [In; n + 1]= U U ^ в; C] (13)

BC/n:|B|>1 CCB

непустых классов S[1n; B; C] графов с отмеченной вершиной n + 1, которая не является вершиной сочленения. Здесь у каждого графа из фиксированного класса S[1n; B; C] непустое множество B составляют номера вершин из того блока графа, который содержит вершину n +1; C - множество вершин сочленения графа со степенью сочленения, большей 1, которые содержатся в блоке с множеством вершин B.

□ Доказательство очевидно. ■

Замечание 6. Каждый из классов S[1n; B; C] инвариантен относительно перенумераций P вершин, которые переводят множества B и C в себя.

Для каждой пары множеств B С /п и C С B обозначим посредством D(B,C) класс функций {B(z); z € C} на C, где совокупность значений составляет дизъюнктивное разложение UzeC B(z) = In \ B, B(z) = 0, z € C и B(z1) П B(z2) = 0 при z1 = z2. Тогда справедливо следующее утверждение.

Лемма 5. Каждый класс S[1n; B; C], n > 2 представим в виде дизъюнктивного объединения

S[/n; B; C]= U S[/n; B |{B(z), z € C}], (14)

{B(z);z€ C}€ D(B,C)

непустых классов S[1n; B |{B(z),z € C}], {B(z); z € C} € D(B,C). Здесь каждый граф из фиксированного класса S[1n; B |{B(z),z € C}] c множествами B и C, определенными в Лемме 4, обладает блоком B, в котором содержится множество C вершин сочленения и для каждого z € C граф, приклеенный к блоку B в этой вершине построен на множестве вершин B(z).

□ Доказательство очевидно. ■

Замечание 7. Каждый из классов S[1n; B |{B(z),z € C}] инвариантен относительно перенумераций P вершин, которые переводят множества B и C в себя и при этом не изменяют элементов разложения {B(z),z € C}, PB(z) = B(z), z € C.

Лемма 6. Каждый класс S[1n; B|{B(z),z € C}], n > 2 представим в виде прямого произведения

S[/n; B|{B(z), z € C}] = F[B; n + 1] ® Í0S[B(z); z] ) (15)

Vzec /

класса F[B; n + 1] всех графов без вершин сочленения над множеством вершин B U {n + 1} и набора непустых классов S[B(z); z], z € C, где каждый класс состоит из всех связных графов над множеством вершин B(z) U {z} с выделенной вершиной z.

□ Возможность представления каждого графа из S(1) [In; n+1] в виде склейки графов, которая соответствует прямому произведению классов, указанному в формулировке леммы, следует из формулы (6), где множество C составляют те вершины z из B, у которых p(z) > 1. I

Замечание 8. Каждый из классов S[B(z); z] для фиксированной вершины z € C инвариантен относительно перенумераций P вершин, которые переводят множество B(z) в себя.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

АЛГЕБРЫ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

Настоящее приложение посвящено изложению специальной алгебраической техники (см., например, [18]), с использованием которой строятся групповые и вириальные разложения в равновесной статистической механике. Эта техника основана на бесконечномерных алгебрах Гурвица. Этим термином мы называем коммутативные алгебры, для элементов каждой из которых, не принадлежащих максимальному идеалу этой алгебры, определена операция деления.

Пусть фиксировано множество П, элементы которого будем обозначать буквами ж,у, ..., а упорядоченные наборы (ж1,ж2, ...,жп) € будем обозначать как Хп. Функция /П(ХП), п > 2 на со значениями в С называется симметричной, если для любой перестановки Р из группы Рп перестановок множества /га, п € N имеет место формула /П(РХП) = /П(ХП). Множество всех симметричных функций на образует линейное алгебраическое многообразие 1П(П). Рассмотрим прямую сумму

Ьте(О) = 0 ып)

п=0

линейных многообразий: 1о(П) = С, 1,1 (П) - многообразие произвольных функций на П и 1П(П), п > 2 - многообразия симметричных функций. Оно состоит из последовательностей f = (/п; п € N+) симметричных на функций /п.

На линейном многообразии вводится отображение х м- которое каждой

паре последовательностей f(1) = (/П^; п € N+) и f(2) = (/П2); п € N+) сопоставляет однозначным образом последовательность f = (/п; п € N+), элементы которой определяются формулой

/п(Хп) = Е /|Г|(Х(Г))/^|Р|(Х(/„ \ Г)), п € N+ , (1)

ГС/п

где введено обозначение X (Г) = (ж^, ...,ж^-в) для Г = {^1,...,ж8}, в = |Г|. При этом мы будем рассматривать, что f является результатом применения бинарной операции, обозначаемой нами далее посредством *, к упорядоченной паре ^(1), f(2)) последовательностей из

Легко проверяется, что операция * коммутативна и ассоциативна. Она, кроме того, является, очевидно, дистрибутивной по отношению к сложению элементов в и билинейна по отношению к умножению элементов f € на число. В связи с этим мы будем называть ее умножением на Линейное многообразие, снабженное операцией умножения *, превращается в алгебру, которую мы будем обозначать тем же символом В имеется нейтральный элемент - последовательность е = (¿га,о; п € N+). В этой алгебре всякий элемент f, у которого /о = 0 имеет обратный к нему элемент, который мы обозначаем Г-1, так, что f * Г-1 = е, т.е. в алгебре определена операция деления на такие элементы. По этой же причине, множество элементов

€ : /о = 0}, которое является подалгеброй в представляет

собой максимальный идеал в [78].

Для описания результата операции «возведения в степень», порождаемой умножением *, нам потребуется понятие разложения.

Разложением А множества /га называется дизъюнктивный набор {Г1,...,Г5} подмножеств из /га, Г П Г д. = 0 при ] = к, для которого 1^=1 Г = . Здесь в - порядок разложения, который

мы будем обозначать посредством | А|. Класс всех разложений порядка з множества /„ будем обозначать посредством ©„ а класс всех разложений - посредством © = У„= ©П^. Здесь классы бП1 и бП^ состоят из одного разложения, соответственно, ©П1) = {/„} и = {Г = {;};; = 1 — п}.

Теперь мы в состоянии написать выражение для компонент элемента (^)(Х„) алгебры Ь^(О) в том случае, если он принадлежит максимальному идеалу Ь^о(О).

Лемма 1. Для любого элемента f € Ь^(О) при п < 1 имеет место равенство (/)„(Х„) =0 и при п > 1 справедлива следующая формула

I

(/)„(Х„) = 1! Е |(Х(Г)). (2)

л={гь...,гг}ее(г) з=1

□ Так как /о = 0 при f € Ь^(О), то

(f * 0„(Х„) = £ ^|г|(Х (Г))fn_|г| (X (/„ \ Г)) =2 £ (Г^^Х (Г2))

г%гС=- я={г1,г2}ее(2)

с п > 2 и (^)(х1) = 0. Далее, формула (2) доказывается индукцией по 1. I

Ввиду того, что элементами алгебры Ь^(О) являются функции с числовыми значениями, то в ней допустимо рассмотрение степенных рядов. В частности, вводится экспоненциальная функция

^ 1

ехР* = £ 77 ^ > (3)

1=о 1!

где ^ = е. В качестве следствия Леммы 1, получается утверждение относительно этой функции.

Лемма 2. Для любого элемента имеет место формула

| я|

(ехр*^„(Х„) = £ Ц/|г.|(Х(Гз)). (4)

п я={гь..., г| я| }ее„ з=1

□ Доказательство очевидно. I

Введем линейные операторы д*, х € О на Ь^(О) посредством следующей формулы:

(д*^)„(Х„) = /п+1 (х, Х„). (5)

Лемма 3. Каждый оператор д* является оператором дифференцирования, то есть для любой пары элементов f и g из Ь^(О) имеет место тождество Лейбница

д*^ * Й = ^) * g + f * (д*g). (6)

□ Очевидно, что, согласно определению оператора, для любых элементов f и g выполняется д*(Оо = 0, д*^)о = 0. Полагая (Х„,х) = Х„+1, для п > 0 имеем, согласно определению,

д*Р * g)n(Xn) = £ /|г|(Х(Г))рп+1_|г| (X(/„+1 \ Г)) = гс/п+1

£ /|р|(Х(Г))5п+1-|г|(X(/га+1 \ Г))+ £ /|г+1(Х(Г и{п + 1}))0га_|г|(X(/„ \ Г))

ГС/п ГС/п

= £ /|Г|(X(Г))(д*5)П_|Г|(Х(/„ \ Г))+ £ (д/)|Г|(Х(Г))5га-|Г|(Х(/„ \ Г)) =

ГС/п Гс/п

= ((д*0 * §) (Хп) + (V * (д*§)) (Хп). ■

V / п V /га

Следствие. Для любого х € П и любого элемента V € ^(П) имеет место формула

дх ехр* V = (дхV) * ехр* V. (7)

Далее, будем полагать, что на множестве П определена структура измеримости и на этой структуре измеримости задана конечная мера Тогда, вводя для каждого значения п € N произведение мер ^(х1)^(х2)---^(хп) на Пп и ограничивая каждое из функциональных пространств Ьп(П) только измеримыми функциями /п(Хп), определим для каждой измеримой ограниченной функции ((х) на П линейный функционал

„ п

Еп[(; /п] = ( И С(х,Л /п(Хп)Й^(х1)...^^(хп) .

(8)

Рассмотрим такое сужение многообразия Ьте(П), которое мы будем обозначать тем же символом и в котором содержатся только элементы V = (/п € Ьп(П);п € N+) € Ьте(П) с компонентами /п интегрируемыми функцией на Пп, п € N, причем будем требовать, чтобы сходится ряд

1

У2~,М'П |/га(Хга)|ф(Ж1)...ф(Жга) <ОС, М>0. (9)

п=0 П!

Если функция ( ограничена постоянной М > 0, (х)| < М, х € П. Для таких элементов V определено значение функционала

те 1

р[С;А = £^Рга[С;/„]. (Ю)

п=0 '

Этот функционал обладает свойством мультипликативности, а именно справедлива

Теорема 1. Если элементы V(1) и V(2) обладают свойством (9) с функцией ((х), для которой имеет место (х)| < М, то их произведение ^ * f2 также обладает свойством (9) и имеет место формула

Р[С; V(1) * V(2)] = Р[С; V(1)] ■ Р[С; V(2)]. (11)

□ Доказательство осуществляется прямым вычислением

~ п

Рп[С; V(1) * V(2)] = У^ (П С(х,-)) (V(1) * V(2))га(Хп)^^(х1 )...^^(хп)

п

/ ( П С(х,)) £ /|(Г|(Х(Г))/п2_)|Г|(Х(1п \ Г)ф(х1)...^(хп) =

,Упп ,=1 ГС/п

n

= E / ( IlZ(XjO) /|(р1|)(Х(Г))/П2-)|Р|(Х(/п \

rc/n JQn j=1 n / \ Г n

= E J / (Ш (Xj )) /l(1)(Xl)/n2)l(X (In \ /l)d^(xi)...d^(xn ) ¿=0 V / ./nn j=i

E (n) fX ( IIе(Xj))/i(1)(Xi)d^(xi)j x

n—l

ПС (yj )) /n2)i(Yn—1ЖУ1)..-Ф(Уп—i) j=1

n / \

= E (!) ; /i(1)] ■ Fn—; /n2-i].

Тогда, подставляя полученное выражение в F[Z; f(1) * f(2)], находим

СО 1 СО 1 n / \

НС; f(1) * f(2)] = Е ^ f(" *= E Ь E (I) № /,(1)] • F.-aC; &]

n=0 ' n=0 ' ¿=0 ^ '

СС

= E л F'K; f^ ' E t^aTfn-Л = HC; f(1)] • FK; f(2)] • ■

l=0 n=l

Следствие 1. Справедлива формула

Р[С;ехр, f]=exp Р[С; А. (12)

□ Воспользовавшись свойством линейности и мультипликативности функционала Р[£; ■],

те ^ те ^ те

FK;ехр,f] = F|C; =Е^FK;f™] = Е ^ргаК;f] = ехрf]

n'

1 _ _ v2- 1

n' "" *J i n'

п=0 п=0 п=0

Следствие 2. Имеет место формула дифференцирования

Р[С; дх ехр, f] = Р[(; д*А ■ ехр Р[(; f]. (13)

□ Воспользовавшись формулами (7), (11) и (12), находим

Р[С; дх ехр, А = Р[С; д^ * (ехр Р[(; f)] = Р[С; д*А ■ ехр Р[(; f]. ■

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ГРАФЫ И СИММЕТРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть П - множество, на основе которого определяется алгебра коэффициентных функций Приложения 2. Рассмотрим следующую конструкцию. Пусть /(ж, у) - произвольная симметричная функция П2, которую мы будем называть порождающей. Зафиксируем п € N п > 2. Сопоставим паре (/ € 12(П), © = (1п, Ф)) с п > 2 функцию на определяемую формулой

/га(Х„; ©) = Ц /(ж*, ж,-). (1)

{¿,ЛеФ

Каждую такую функцию будем называть функцией на 0п, ассоциированной с графом ©.

На основе функций /п(-; ©), ассоциированных с графами, строятся симметричные функции, которые являются элементами пространства Ьп(0). Это осуществляется посредством следующей конструкции.

Пусть зафиксирован какой либо класс ^ графов над который обладает свойством инвариантности относительно перестановок (см. по этому поводу Приложение 1), то есть для каждой перестановки Р € Рп и графа © € ^ имеет место Р© = (/п, РФ) € Определим функцию

/п(Хп) = £ /п(Хга; ©) (2)

©еЗ-

на 0п, которая, очевидно, является симметричной, так как для любой перестановки Р € Рп справедливы равенства

/п(РХга) = Е /п(РХп; ©) = £ П /(Рх^, Рж,) = Е П /) =

©е? ©е?{г,,}еФ ©е? р-^г^еФ

= Е П / (ж*,ж, )= Е П / (ж*,ж, )= Е П / (ж*,ж, ) =

©е? {г,,}еРФ Р-1©е^ {г,,}еФ ©еР^ {г,,}еФ

= Е П /) = /п(Хп).

©е? {г,ЛеФ

Каждую такую функцию /п(Хп) на 0п будем называть ассоциированной с классом

Пусть 3 п - класс всех графов над /п.

Лемма 1. Пусть /(ж, у) - симметричная функция на 02. Тогда функция, ассоциированная с классом 3п на основе функции /(ж, у) равна

/п(Хп)= Е П /(ж*, ж,-)= П (1 + /(ж*, ж,-)). (3)

©=Оп;Ф)ед„ {*,,}еФ {*,Ле42)

□ Доказательство проводится индукцией по п на основе формулы

Е П /(ж*,ж,)= Е П /(ж*,ж,)+

©=</п+1;Ф)е9п+1 {*,,}еФ ©=(/п;Ф)еЗп {*,,}еФ

+ Е ЕП/(жп+1,ж,^ П /(ж*,ж,Ц ,

©=(/„;Ф)еЗп гс/п ,ег {*,,}еФ

обеспечивающей индукционный шаг. Здесь первая сумма соответствует графам, у которых вершина п + 1 не связана ни с одной вершиной из /п, а вторая сумма учитывает все графы класса 3 п+1, у которых вершина п+1 связывается с вершинами графов класса 3 п, которые имеют номера из множества Г. ■

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.