Дифференциально-геометрические аспекты некоторых классов картановых слоений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шеина Ксения Игоревна

• Шеина Ксения Игоревна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Шеина Ксения Игоревна

с картановым слоением

1.5 Связность Эресмана для слоения

1.6 Полные картановы слоения

1.7 Две структурные алгебры Ли полного картанова слоения

2 Группы базовых автоморфизмов полных картановых слоений

2.1 Леммы

2.2 Доказательство Теоремы

2.3 Доказательство Следствия

2.4 Доказательство Теоремы

3 Структура хаотических картановых слоений со связностью Эресмана

3.1 Поднятое е-слоение

3.2 Доказательство Предложения 1 о структуре хаотического картанова слоения

3.3 Критерий хаотичности картанова слоения со связностью Эресмана

4 Картановы слоения, накрытые расслоениями, и их группы базовых автоморфизмов

4.1 Классы слоений, накрытых расслоениями

4.2 Свойства регулярных накрывающих отображений

4.3 Доказательство Предложения

4.4 Доказательство Предложения

4.5 Доказательство Теоремы

4.6 Примеры вычисления групп базовых автоморфизмов

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциально-геометрические аспекты некоторых классов картановых слоений»

Введение

Актуальность исследования Одним из основных объектов, ассоциированных с геометрической структурой на гладком многообразии, является его группа автоморфизмов. Во введении к монографии Ш. Кобаяси [23] подчеркнуто, что вопрос о существовании структуры конечномерной группы Ли на группе автоморфизмов многообразия с геометрической структурой является одной из центральных проблем дифференциальной геометрии.

Как известно, решенная 5-ая проблема Гильберта посвящена нахождению условий, при которых топологическая группа допускает структуру группы Ли [33]. Из многочисленных работ Э. Картана, Р. Майера, Н. Стин-рода, К. Номидзу, Ш. Кобаяси, Ш. Эресмана и других авторов известно, что группы автоморфизмов многих геометрических структур являются группами Ли преобразований (см. обзор [10]).

Естественным образом возникла проблема существования структуры конечномерной группы Ли на группе автоморфизмов пространства слоев слоения, допускающего трансверсальную геометрическую структуру.

Мы исследовали указанную проблему для картановых слоений, то есть слоений с трансверсальной картановой геометрией.

Пространства, которые сейчас называются картановыми геометриями, были введены Э. Картаном в 1920-х гг. Теория картановых геометрий изложена в монографиях А. Чапа, Я. Словака [12], Р.В. Шарпе [34], М. Крам-пина и Д. Саундерса [14]. В настоящее время картановы геометрии и кар-тановы слоения исследуются многими математиками и находят применение в различных физических теориях, см. например, [4], [31], [11] и [19].

Изучение картановых слоений мотивировано также тем, что такие широкие классы слоений как параболические, конформные, проективные, псевдоримановы, лоренцевы, вей левы, трансверсально однородные слоения и слоения с трансверсальной линейной связностью принадлежат к классу картановых слоений. Поэтому исследование картановых слоений позволяет с единой точки зрения изучать общие свойства указанных слоений, в то время как многие авторы изучают их по отдельности.

Таким образом, широта области исследования и большое количество публикаций, посвященных теме диссертации, свидетельствует об актуальности исследования.

Степень разработанности темы исследования Мы исследуем группы базовых автоморфизмов различных классов картановых слоений и находим достаточные условия для существования на группе базовых автоморфизмов этих слоений структуры конечномерной группы Ли.

Дж. Лесли [25] впервые решил подобную задачу для гладких слоений на компактных многообразиях и рассмотрел приложение к слоениям с транс-версальной G-структурой. Для слоений с полными трансверсально проектируемыми аффинными связностями данная проблема решалась И.В. Белько [5]. Группы базовых автоморфизмов полных слоений с эффективными трансверсальными жесткими геометриями исследованы Н.И. Жуковой [36]. Ею введен алгебраический инвариант, названный структурной алгеброй Ли слоения, и доказано, что равенство данного инварианта нулю является достаточным условием для того, чтобы группа базовых автоморфизмов данного класса слоений допускала структуру конечномерной группы Ли. В статье A.B. Багаева и Н.И. Жуковой [3], а также в кандидатской диссертации А.В Багаева [1], доказано существование и единственность структуры конечномерной группы Ли на группе всех автоморфизмов G-структур конечного типа на орбифолдах и найдены точные оценки размерности этой группы в зависимости от стратификации орбифолдов.

Дальнейшее развитие данное направление получило в работе автора и Н.И. Жуковой [41], где исследовано существование структуры группы Ли на группах базовых автоморфизмов картановых слоений, моделируемых на неэффективных картановых геометриях. Диссертантом в [42] были исследованы группы базовых автоморфизмов картановых слоений, накрытых расслоениями. Группы базовых автоморфизмов хаотических картановых слоений со связностью Эресмана исследованы автором в совместной с Н.И. Жуковой работе [43].

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы состоит в нахождении достаточных условий для существования структуры конечномерной группы Ли на группе базовых автоморфизмов картановых слоений. Для достижения поставленных целей рассматривались следующие задачи:

- исследование групп базовых автоморфизмов полных картановых слоений, моделируемых на неэффективных картановых геометриях;

- доказательство существования структуры группы Ли на группе базовых автоморфизмов хаотических картановых слоений со связностью Эресма-па;

- выяснение специфики групп базовых автоморфизмов картановых слоений, накрытых расслоениями.

Методы исследования. Для достижения заявленных целей и решения поставленных задач диссертантом применялись методы локальной и глобальной дифференциальной геометрии, методы топологии слоений; методы математического анализа, а также методы теориии слоений с транс-версальными геометриями.

Практическая и теоретическая значимость Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в фундаментальных исследованиях по геометрии и топологии слоений, по геометрии в целом многообразий, наделенных геометрическими структурами: картано-вой, включающей в себя проективную, конформную, риманову, псевдори-манову структуры, а также линейную связность; О-структурои конечного типа.

Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований по геометрии и топологии слоений, в теоретической и математической физике.

Структура и содержание работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Объем

диссертации составляет 77 страниц, включает 3 рисунка. Список литературы состоит из 43 наименований.

В первой главе диссертации определены категория картановых геометрий и категория картановых слоений, описана конструкция слоеного расслоения, построены две структурные алгебры Ли 0о и 01 для картановых слоений, моделируемых на неэффективной картановой геометрии и доказано, что они являются инвариантами в категории картановых слоений.

Во втором разделе исследуются группы базовых автоморфизмов полных картановых слоений моделируемых на неэффективной картановой геометрии. Для полных картановых слоений, моделируемых на эффективной картановой геометрии, понятие структурной алгебры Ли введено Н. И. Жуковой [20] как естественное обобщение понятия структурной алгебры Ли для римановых слоений на компактных многообразиях, принадлежащего П. Молино [28]. В диссертационной работе построены два алгебраических инварианта 0о и 01, названных структурными алгебрами Ли для исходной и ассоциированной картановой геометрии и показано, что, в случае эффективности трансверсальной картановой геометрии, они совпадают со структурной алгеброй Ли, введеной Н. И. Жуковой. Установлено, в частности, что равенство нулю структурной алгебры Ли 01 является достаточным условием для существования и единственности структуры конечномерной группы Ли на группе базовых автоморфизмов полных картановых слоений. Найдены точные оценки размерности данной группы при дополнительных условиях на топологию слоев этого слоения.

Третья глава диссертации посвяшена описанию структуры хаотических картановых слоений, моделируемых на эффективной картановой геометрии. Следуя [4], мы называем слоение (М, Г) хаотическим, если оно тран-зитивно (т. е. имеет плотный слой) и объединение замкнутых слоев всюду М

лем [15]. Оба эти понятия инициированы определением хаоса в смысле Дивани [16].

Применение конструкции слоеного расслоения для картанова слоения (М, Г), обычно используемой в теории слоений с трансверсальной гео-

метрией, позволило нам доказать предложение, описывающее структуру хаотических картановых слоений. Нами также установлено, что группа базовых автоморфизмов любого хаотического картанова слоения со связностью Эресмана допускает структуру группы Ли и найдены оценки размерности этой группы. В частности, доказано, что если множество замкнутых слоев счетно, то группа базовых автоморфизмов такого слоения счетна. Также доказан критерий, согласно которому хаотичность карта-нова слоения типа (О, Н) эквивалентна хаотичности локально свободного действия группы Н па ассоциированном параллелизуемом многообразии. Таким образом, проблема существования хаоса в картановых слоениях со связностью Эресмана сведена к той же проблеме для локально свободного действия группы Ли на параллелизуемых многообразиях.

В четвертой главе исследован класс картановых слоений, накрытых расслоениями. Говорят, что картаново слоение (М, Г) накрыто расслоением, если слоение (М,^Р), индуцированное на пространстве универсального накрывающего отображения к : М ^ М, образовано слоями локально тривиального расслоения г : М ^ В. Класс картановых слоений, накрытых расслоениями, достаточно широк, он содержит, в частности, картановы (X, О)-слоения, картановы слоения с нулевой трансверсаль-ной кривизной, а также картановы слоения с интегрируемой связностью Эресмана. В работе найдены достаточные условия для того, чтобы группа базовых автоморфизмов картанова слоения, накрытого расслоением, допускала структуру конечномерной группы Ли. Получены оценки размерности этой группы. Более того, для некоторых классов картановых слоений с интегрируемой связностью Эресмана получена характеризация группы базовых автоморфизмов с помощью глобальной группы голоно-мии.

Основные результаты исследования

В рамках исследования были получены следующие результаты.

I. Введены две структурные алгебры Ли для картановых слоений, моделируемых на неэффективной картановой геометрии.

Для полного картанова слоения (М, Г) нами построены два слоеных

расслоения: поднятое е-слоение (Я, Т) и ассоциированное поднятое е-слоение

(77, Т).

е

дующая теорема.

Теорема 1. Пусть (М,Г) — полное картаново слосние, (Я, Т) — поднятое е-слоение и (71, Т) — ассоциированное поднятое е-слоение. Тогда:

(г) замыкания слоев слоений (Я, Т) и (77, Т) являются слоями некоторых локально тривиальных расслоений щ: Я ^ Ш и тгь : Я ^ Ш, соответственно;

(и) слоения, (С¡(С), Т\с1(с)) и (С¡(С), индуцированные на замы-

каниях С ¡(С) и С ¡(С) соответственно, являются слоениями Ли со

0о 01

торые не зависят от выбора, слоев С € Т и 'С € Т соответственно;

(т) алгебры Ли 0О(М, Г) и 01(М, Г) являются инвариантами в категории картановых слоений,

(т) для картанова слоения, (М,Г), моделируемого на эффективной кар-тановой геометрии £ = (Р(^,И),ш), структурные алгебры Ли 0О(М,Г) и 01(М,Г) совпадают.

Определение 1. Структурные алгебры Ли 0О и 01 слоений Ли (С¡(С), Т\с1(с)) и (С¡(С), Т\С1^) соответственно, называются структурными

(М, Г)

0о(М,Г) и 01(М,Г).

(М, Г)

(М, Г)

во слоение, моделируемое на эффективной картановой геометрии, при,-

0о(М, Г) но [29].

II. Описана структура полных картановых слоений, моделируемых на неэффективных картановых геометриях, и исследованы их группы базовых автоморфизмов.

Пусть (М, Г) — картаново слоение, моделируемое на трансверсальной картановой геометрии £ = (Р(М, Н),ш). Группа всех автоморфизмов кар-тапова слоения (М, Г) в категорни есть группа

Л^(М, Г) := {Г е тц(П) | Г О яа = яа о г Уа е Н; Г*ш = ш}.

Следовательно, для каждого автоморфизма Г е Л^(М,Г) определена проекция 7 е (М), удовлетворяющая равенству п о Г = 7 о п.

Определение 2. Пусть Л^(М,Г) — группа всех автоморфизмов слоения (М, Г) с трансверсальной картановой геометрией £ в категории Группа

ЛЬ(М, Г) := {/ е Л^(М, Г) | /(С) = СУСеТ}

является нормальной подгруппой группы, Л^(М, Г).

Фактор-группа Л^(М, Г) := Л^(М, Г)/Л^(М, Г) называется группой

(М, Г)

(М, Г)

картановой геометрией £ и пусть Л^(М,Г) — группа, всех автоморфизмов слоения, (М,Г). Обозначим чсрез Л(М,Г:= {7 е РгЦ(М) | Г е Л^(М, Г) : п о Г = 7 о п} проекцию группы Л^(М, Г) на, М. Группа

Ль(М, г)е := {/ е Л(М, г)е | /(ь) = ь уь е г}

— нормальная подгруппа группы Л(М, ГФактор-группа

Лв(М, Г)е := Л(М, Г)е/Ль(М, Г)е

называется проекцией, группы, базовых автоморфизмов карт,а,нова, слое-(М, Г)

Неэффективные картановы геометрии имеют нетривиальные калибровочные группы, которые играют важную роль в физических теориях [26]. Например, спинорные геометрии основаны на неэффективных моделях [18]. Представленью в диссертации результаты описывают общий случай,

при котором калибровочная группа трансверсальной геометрии может

10

быть недискретной, в отличие от [34], где допущения подразумевают дискретность калибровочной группы.

В [20] доказано, что картановы слоения, моделируемые на неэффективных картановых геометриях, допускают также эффективную трансвер-

0о

01

на неэффективных картановых геометриях £, и показано, что в случае эффективности £ алгебры Ли 0О и 01 совпадают. Таким образом, для любого картанова слоения можно построить ассоциированное слоеное расслоение, соответствующее эффективной трансверсальной картановой геометрии, и вопрос существования структуры группы Ли на группе базовых автоморфизмов картановых слоений сводится к исследованию слоений, моделируемых на эффективных картановых геометриях.

В [41] доказана следующая теорема о достаточном условии для существования единственной структуры группы Ли на группе базовых автоморфизмов полных картановых слоений, моделируемых на неэффективной картановой геометрии.

(М, Г)

на картановой геометрии £ тип а 0/Ь- Если структурная алгебра Ли 0О(М,Г) равна нулю, то группа АВ(М,Г) базовых автоморфизмов этого слоения является группой Ли, размерность которой удовлетворяет неравенству

&т(АВ(М,Г)) < &ш(0), (1)

причем структура группы Ли на Ав (М,Г) единственна. Оценка (1) являет,ся точной (т. е. лучшей из возможных).

Напомним, что слой Ь слоения (М, Г) называется собственным, если Ь — вложенное подмногообразие в М. Слоение называется собственным,

ЬЬ

М

ется собственным. В частности, компактные слои являются собственными.

11

Следующее утверждение доказано на основании Теоремы 2 и дает оценку размерности группы базовых автоморфизмов при некоторых дополнительных предположениях на топологию слоения.

Следствие 1. Пусть (М,Г) — полное картаново слоение, моделируемое на картановой геометрии £ тип а 0/§, и пуст ь £ — ассоциированная эффективная картанова геометрия. Предположим, что обе структурные алгебры Ли 0О(М, Г) и 01 (М, Г) равны нулю. Тогда,

(г) группа, базовых автоморфизмов ЛВ (М,Г) и ее проекция Лв (М,Г допускают единственную структуру группы, Ли, причем,

¿[ш(Лв(М, Г)е) < &ш(0) - &ш(к), (2)

где к — ядро пары алгебр Ли (0, ());

(И) если существует изолированный собственный слой (или, существует изолированный замкнутый слой) или, если множество собственных слоев (или, множество замкнутых слоев) счетно, то

¿[ш(Лв(М, г)е) < а1ш(Лв(М, г< а1ш(^) - &ш(к); (з)

(%%%) если множество собственных слоев (или, множество замкнутых

М

(Иш(Лв(М, Г)е) = а1ш(Лв(М, Г)?) = 0. (4)

Оценки (2), (3) — точные (т.е. лучшие из возможных) и существует (М, Г)

Замечание 2. Наблюдение показывает, что утверждения, доказанные в Теореме 2 и Следствии 1 верны, и в более общем контексте — для картановых слоений, со связностью Эресмана.

В разделе 4.6 нами построены примеры, показывающие точность оценок в Следствии 1.

Теорема 3. Пусть (M, F) — полное картаново слоение с трансверсаль-нои картановой геометрией £ тип a g/h и пуст ь £ — ассоциированная картанова геометрия. Предположим, что ядро пары алгебр Ли (g, h) равно нулю и g\(M,F) = 0. Тогда, g0(M,F) = 0, а группы AB(M, F); AB(M, FAB(M, F) и AB(M, Fдопускают единственную структуру группы, Ли одной и той же размерности.

III. Исследованы группы базовых автоморфизмов хаотических карта-новых слоений со связностью Эресмана.

(M, F)

зитивно (т. е. имеет плотный слой) и объединение замкнутых слоев всюду M

лем [15].

Оба эти понятия инициированы определением хаоса в смысле Ди вини [16]. Чувствительность слоений со связностью Эресмана вводится и исследуется в [39], где показано, что чувствительность таких слоений вытекает из транзитивности слоения и всюду плотности объединения замкнутых слоев.

Применяя конструкцию слоеного расслоения для картанова слоения (M, F)

рией, мы доказываем утверждение, описывающее структуру хаотических картановых слоений.

(M, F)

эффективной картановой геометрии типа (G,H); со связностью Эресмана и (R, F) — его поднятое е-слоение. Тогда, если (M, F) — хаотическое слоение, то:

(1) структурная алгебра Ли go = g0(M,F) слоения, (M, F) равна, нулю;

(2) слои слоения, (R, F) образуют локально тривиальное расслоение nb : R ^ W над гладким, параллелизуемым многообразием W;

(3) индуцируется локально свободное действие группы, Ли H на, W и

существует гомеоморфизм d : M/F ^ W/H пространства слоев

13

слоения (М, Г) на пространство орбит группы Н, удовлетворяющий коммутативной диаграмме

П (*)

M W

r k

M/F-d-- W/H,

где r : M ^ M/F и k : W ^ W/H - фактор-отображения.

Второй пункт Предложения 1 содержит следующее ключевое утверждение.

(M, F)

мерности q на n-мерном многообразии M, обладающее связностью Эре-смана, хаотическое, то его структурная алгебра Лид0 = 0о(M, F) равна, нулю.

Применяя Предложение 1, описывающее структуру хаотического кар-танового слоения, мы доказываем следующий критерий, сводящий проблему существования хаоса па картановом слоении типа (G, H) к анало-

H

W

Теорема 4. Пусть (M, F) — картаново слоение типа (G, H) со связно-

(M, F)

необходимо и достаточно, чтобы индуцированное действие группы, Ли

HW

ным и хаотическим.

W

из Теоремы 4 вытекает следующее утверждение.

Следствие 2. Исследование хаоса, в ка,рта,новых слоениях со связностя-ми Эресмана сводится к изучению хаотичности локально свободных гладких действий групп Ли на параллелизуемых многообразиях.

Одним из основных результатов работы является следующая теорема.

(М, Г)

стью Эресмана с эффективной трансверсальной картановой геометрией £ тип а, (С,И). Тогда группа базовых автоморфизмов АВ (М,Г) допускает единственную структуру конечномерной группы Ли размерности

&т(АВ(М, Г)) < &т(С). (5)

Более того, если множество замкнутых слоев счетно, то группа базовых автоморфизмов АВ(М, Г) этого слоения счетна (конечна или бесконечна).

IV. Исследованы группы базовых автоморфизмов Ав(М,Г) картано-вых слоений Ав (М, Г), накрытых расслоениями, и найдены достаточные условия для существования на Ав(М, Г) структуры конечномерной группы Ли. При этом трансверсальные картановы геометрии предполагаются эффективными.

(М, Г)

если слоение (М,Г), индуцированное на пространстве универсального накрывающего отображения к : М ^ М, образовано слоями гладкого локально тривиального расслоения г : М ^ В.

Доказано следующее утверждение, описывающее глобальную структуру картанова слоения, накрытого расслоением.

(М, Г)

£

нием г : М ^ В, где И : М ^ М — универсальное накрытие. Тогда:

(1) существует регулярное накрывающее отображение к : М ^ М такое, что индуцированное слоение Г на М образовано слоями локально тривиального расслоения г : М ^ В над односвязным многообразием В, причем £ индуцирует на В картанову геометрию ц,

£

(2) определен эпиморфизм х : п\(М,х) ^ Ф фундаментальной группы п\(М,х), х € М, на подгруппу Ф группы Ли автоморфизмов АпЬ(Б,Г!) картанова многообразия (Б,п);

(3) группа, накрывающих преобразований, накрытия к : М ^ М изоморфна группе Ф.

Определение 5. Группа Ф = Ф(М, Г)7 удовлетворяющая, Предложению 3, называется глобальной группой голономии карт,а,нова, слоения, (М, Г)7 накрытого расслоением.

Далее устанавливается связь между группой базовых автоморфизмов Ав(М,Г) картанова слоения (М,Г), накрытого расслоением, и его гло-

Ф

(М, Г)

слоением г : М ^ Б , где Б — односвязное картаново многообразие.

Ф

подгруппой группы, Ли АпЬ(Б ,п) ■ Пуст ь N (Ф) — нормализатор Ф в группе АпЬ(Б,Г!)- Тогда, группа базовых автоморфизм,ов Ав(М,Г) является группой Ли, изоморфной открыто-замкнутой подгруппе Ли факторгруппы N(Ф)/Ф и &ш(Ав(М,Г)) = (Ф)/Ф). Структура группы, Ли на группе Ав(М,Г) единственна.

Характеризация для нахождения группы базовых автоморфизмов кар-тановых слоений с интегрируемой связностью Эресмана с помощью глобальной группы голономии этого слоения получена в следующей теореме.

(М, Г)

ностью Эресмана Ш. Тогда,

1. Существует регулярное накрытие к : М ^ М такое, что М = Ь0 х Б, где Ь0 — многообразие, диффеоморфное любом,у слою слоения, (М, Г) Б

разие, причем, индуцированное слоение Г = к*Г образовано слоями канонической проекции г : Ь0 х Б ^ Б на второй сомножитель, а на Б индуцирована картанова геометрия ц, относительно которой к — мор-физм картановых слоений, (М,Г) и (М,Г).

2. Слоение (М,Г) является (АпЬ(В,Г1),В)-слоением.

3. Если, кроме того, глобальная группа голономии Ф является дискретной подгруппой группы Ли АпЬ(В,Г1) и нормализатор N(Ф) равен централизатору Z(Ф) группы Ф в АпЬ(В, г), то имеет место равенство

Ав(М, Г) = N(Ф)/Ф.

Применяя Теорему 6, нами построен пример вычисления группы базо-

(М, Г)

ной коразмерности д на (д + 1)-мерном многообразии М.

На защиту выносятся следующие результаты:

(1) Введение двух структурных алгебр Ли для карта новых слоений, моделируемых на неэффективной картановой геометрии, и доказательство их инвариантности в категории картановых слоений. Для слоений, моделируемых на эффективной картановой геометрии, эти алгебры Ли совпадают с алгеброй Ли, введенной Н.И. Жуковой, а в случае римановых слоений — с алгеброй Ли, введенной П. Молино.

(2) Нахождение достаточных условий для того, чтобы группа базовых автоморфизмов картановых слоений, моделируемых на неэффективной картановой геометрии, допускала единственную структуру группы Ли и получение точных оценок размерности этой группы в зависимости от топологии слоения.

(3) Для картановых слоений, моделируемых на эффективной картановой геометрии типа (О, Н), доказательство критерия хаотичности на

Н

W. Доказательство того, что группа базовых автоморфизмов хаотических картановых слоений, моделируемых на эффективной карта-новой геометрии, всегда допускает единственную структуру группы Ли и получение точных оценок размерности этой группы.

(4) Нахождение достаточных условий для существования структуры конечномерной группы Ли на группе базовых автоморфизмов карта-новых слоений, накрытых расслоениями. Получение характеризации группы базовых автоморфизмов с помощью глобальной группы голо-номии для некоторых классов картановых слоений с интегрируемой связностью Эресмана

Научная новизна Все результаты соискателя, выносимые на защиту, являются новыми.

Апробация результатов исследования Результаты работы были представлены на следующих конференциях, в том числе международных:

1. Доклад "Chaotic complete Cartan foliations "на VI International Conference Topological Methods in Dynamics and Related Topics, г. Нижний Новгород, НИУ ВШЭ (2023)

2. До кал ад "Структура группы базовых автоморфизмов полных карта-новых слоений" на Международном геометрическом семинаре "Лап-тевские чтения - 2020"

3. Доклад «Criteria for foliations with transverse linear connection to be pseudo-Riemannian and Riemannian» на международной конференции NOMA-2017, г. Нижний Новгород, (2017).

4. Доклад "Полные картановы слоения и группы их автоморфизмов" на International Conference on Algebra, Analysis and Geometry, r. Казань, КФУ. (2016)

5. Доклад «Структура конечномерной группы Ли в группах базовых автоморфизмов картановых слоений» на Международной конференции, посвященной памяти М.В. Лосика, г. Переславль-Залесский, (2015)

6. Доклад "Группы базовых автоморфизмов картановых слоений, накрытых расслоениями "на XIII Всероссийской школы-конференции «Лобачевские чтения 2015» в секции «Геометрия и топология», г. Казань, КФУ. (2015)

Список статей, представленных к защите по теме диссертации.

1. Жукова Н. П., Шеина К. И., Группы базовых автоморфизмов хаотических картановых слоений со связностью Эресмана // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2024. - Т. 32, No. 6. - С. 897-907.

2. Шеина К. П., Базовые автоморфизмы картановых слоений, накрытых расслоениями // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2021. - Т. 1, No. 1. - С. 49-65. (С 28.12.2018 по 16.10.2022 журнал входил в Список ВАК).

3. Sheina К. I., Zhukova N. I., The Groups of Basic Automorphisms of Complete Cartan Foliations // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2018. - V. 39, No. 2. - P. 271-280.

4. Жукова H. И., Шеина К. И., Группы базовых автоморфизмов кар-тановых слоений моделируемых на неэффективных картановых геометриях // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. -2015. - Т. 52. - С. 73-74.

5. Жукова Н. И., Шеина К. И., Группы базовых автоморфизмов карта-новых слоений, накрытых расслоениями // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - 2014. - Т. 50. - С. 74-76.

Личный вклад. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены диссертантом единолично. Научному руководителю принадлежит постановка задачи и консультации во время выполнения работы.

Гранты Работа автора по теме диссертации поддерживалась следующими грантами:

Работа [41] частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 16-01-00312) и программой фундаментальных исследований Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики "в 2018 году (проект № 95).

Работа [42] выполнена при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ, соглашение № 075-15-2009-1931.

Работа [43] выполнена при поддержке РНФ, грант No 23-71-30008.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность профессору Жуковой Нине Ивановне за постановку задачи и полезные консультации в процессе обучения в аспирантуре и при подготовки диссертации.

1 Картановы слоения: определение и структура

1.1 Категория картановых геометрий

Пусть С и Н — группы Ли с алгебрами Ли $ и ^ соответственно, причем Н — замкнутая подгруппа группы С.

Определение 6. Пусть N — гладкое многообразие. Главное Н-расслоение Р^, Н) с проекцией р : Р ^ N и д-значной 1-формой ш € Р, называется картановой геометрией на N типа (С,Н) или, типа д/Ь, если выполнены следующие условия:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шеина Ксения Игоревна, 2025 год

Список литературы

[1] Багаев A.B., Группы автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях: дне. канд. ф.-м. наук: 01.01.04 / Багаев Андрей Владимирович. Нижний Новгород. - 2007. - 126 С.

[2] Багаев A.B., Жукова Н. И., Группы изометрий римановых орбифол-дов // Сиб. Мат. Жури. - 2007. - Т. 48, No. 4. - С. 723-741.

[3] Багаев А. В., Жукова Н. И., Группы автоморфизмов G-структур конечного типа на орбиобразиях // Сиб. Матем. Жури. - 2003. - Т. 44, No. 2. - С. 203 278.

[4] Bazaikin Y. V., Galaev A. S., Zhukova N. I., Chaos in Cartan foliations // Chaos. - 2020. - V. 30. - P. 1-9.

[5] Белько И. В., Аффинные преобразования трансверсальной проектируемой связности на многообразии со слоением // Мат. сборник. 1982. Т. 117, No. 2. - С. 181-195.

[6] Blumenthal R., Cartan submersion and Cartan fliations, 111. J. Math. -1987. - V. 31, No. 2. - P. 327-343.

[7] Blumenthal R., Transversely homogeneous foliations // Ann. Inst. Fourier. - 1979. - V. 29, No. 4. - P. 143-158.

[8] Blumental R. A., Hebda J. J., Ehresmann connections for foliations // Indiana Univ. Math. J. - 1984. - V. 33, No. 4. - P. 597-611.

[9] Busemann H., The geometry of geodesies // Academic Press, New York. - 2011.

[10] Chu H., Kobayashi S., The automorphism group of a geometric structure // Trans. Amer. Math. Soc. - 1964. - V. 113. - P. 141-150.

[11] Cap A., Gover A. R., and Hammerl M., Holonomy reductions of Cartan geometries and curved orbit decompositions // Duke Math. J. - 2014. -V. 163. - P. 1035-1070.

[12] Cap A., Slovak J., Parabolic Geometries. I. Background and General Theory. Mathematical Surveys and Monographs // American Mathematical Society. - Providence, RI, - 2009. - 154 P.

[13] Conlon L., Transversally parallelizable foliations of codimension 2// Trans. Amer. Math. Soc.- 1974. - V. 194. - P. 79-102.

[14] Crampin M., Saunders D., Cartan Geometries and their Symmetries //A Lie Algebroid Approach. ATLANTIS Press Atlantis Studies in Variational Geometry 4. - 2016.

[15] Churchill R. С., On defining chaos in the absence of time // In:Deterministic Chaos in General Relativity, NATO Science Series B, Springer. Boston. MA. - 1994. - V. 332. - P. 107-112.

[16] Devaney R. L., An introduction to chaotic dynamical systems. The Benjamin // Cummings Publishing Co., Inc., Menlo Park, CA, - 1986.

[17] Fedida E., Sur les feuilletages de Lie // С. R. Ac. Paris. - 1971. - V. 272.

- P. 999-1001.

[18] Frances С., Sur le groupe d'automorphismes des geometries paraboliques de rang 1 // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 2007. - V. 40. - P. 741-764 .

[19] Jennen H. Cartan geometry of spacetimes with a nonconstant cosmological function A // arXiv:1406. 2621v2[gr-qc]. Physics. REV. D 90, 084046. - 2014.

[20] Жукова H.И., Минимальные множества карта новых слоений // Труды МИАН. - 2007. - Т. 256, No. 1. - С. 115-147.

[21] Hermann. R., The differential geometry of foliations // Ann. of Math. -1960. - V. 72. - P. 445-457.

[22] Kashiwabara S., The decomposition of differential manifolds and its applications // Tohoku Math. J. - 1959. - V. 11, No. 1. - P. 43 53.

[23] Кобаяси III.. Группы преобразований в дифференциальной геометрии // M.: Наука. - 1995.

[24] Кобаяси Ш.. Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии I.// Международное Изд. Нью-Йорк-Лондон. - 1969.

[25] Leslie. J., A Remark on the Group of Automorphisms of a Foliation Having a Dense Leaf // J. Diff. Geom. - 1972. - V. 7. - P. 597-601.

[26] Manin Y., Strings // Math. Intelligencer. - 1989. - V. 11, No 2. - P. 59-65.

[27] Meshcheryakov M. V., Zhukova N. I., Dynamical Properties of Continuous Semigroup Actions and Their Products // Regular and Chaotic Dynamics.

- 2025. - V. 30, No. 1. - P. 141-154.

[28] Molino P., Riemannian Foliations // Progress in Mathematics. Birkhauser, Boston. - 1988. - V. 73. - 339 P.

[29] Molino P., Propriétés cohomologiques et propriétés topologiques des feuilletages a connexion transverse projetable // Topology. - 1973. - V. 12. - P. 317-325.

[30] Nitezki Z., Differentiable Dynamics: an Introduction to the Orbit Structure of Diffeomorphisms // The MIT Press: Cambridge, Mass. -1971.

[31] Pecastaing V., Om two theorems about local automorphisms of geometric structures // Ann. Int. Fourier, Grenoble. - 2016. - V. 66, No. 1. - P. 175-208.

[32] Reinhart В., Foliated manifolds with bundle-like metrics // Ann. Math. Ser. 2. - 1959. - V. 69. - P. 119-132.

[33] Скляренко Е.Г., К пятой проблеме Гильберта // Проблемы Гильберта, под редакцией П. С. Александрова. - 1969. - С. 101-115.

[34] Sharpe R.W., Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Progpam. Graduate Texts in Mathematics // Springer-Verlag, New York. - 1997.

[35] Tamura I., Topology of foliations // Translations of math, monograph. AMS: Publishing House, New York. - 1992.

[36] Zhukova N. I., Complete foliations with transverse rigid geometries and their basic automorphisms // Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Ser. Math. Information Sci. Phys. - 2009. - V. 2 - P. 14-35.

[37] Zhukova N. I., Global attractors of complete conformai foliations // Sbornik: Mathematics. - 2012. - V. 203, No. 3. - P. 380-405.

[38] Zhukova N. I., Rogozhina E. A., Classification of compact Lorentzian 2-orbifolds with noncompact isometry group // Siberian Mathematical Journal. - 2012. - V. 53, No. 6. - P. 1037-1050.

[39] Zhukova N.I., Chaotic foliations with Ehresmann connection // Journal of Geometry and Physics. - 2024. - V. 199. - Article 105166.

[40] Жукова H. И. Структура римановых слоений со связностью Эресмана // Журнал СВМО. - 2018. - Т. 20, No. 4. - С. 395-407.

[41] Sheina К. I., Zhukova N. I., The Groups of Basic Automorphisms of Complete Cartan Foliations // Lobachevskii J. Math., - 2018. - V. 39. - P. 271-280.

https://doi.org/10.1134/S1995080218020245

[42] Шеина К. И., Базовые автоморфизмы картановых слоений, накрытых расслоениями // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2021. - Т. 1, No. 1. - С. 49-65.

[43] Жукова Н. И., Шеина К.И., Группы базовых автоморфизмов хаотических картановых слоений со связностью Эресмана // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2024. -Т. 32, No. 6. - С. 897-907.