Дифференциальные игры с неопределенными моментами переключений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Е Пэйчэнь

• Е Пэйчэнь
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Е Пэйчэнь

Введение

Глава 1 Кооперативная инвестиционная дифференциальная игра с неизвестным моментом переключения функции выигрыша

1.1 Постановка проблемы

1.2 Пример модели

1.3 Оценка совместного момента переключения

1.3.1 Выигрыши игроков в случае совместной оценки

1.3.2 Оптимальная оценка в случае совместного оценивания

1.4 Различные оценки момента переключения

1.4.1 Выигрыши игроков в случае различных оценок

1.4.2 Оптимальные оценки в случае различных оценок

1.5 Оптимальная оценка для гибридных стратегий в кооперативной

игре

1.6 Заключение к главе

Глава 2 Некооперативная инвестиционная дифференциальная игра с неизвестным моментом переключения функций выигрыша

2.1 Инвестиционная игра

2.2 Оценка моментов переключения

2.3 Оптимальные оценки

2.4 Числовой пример

2.4.1 Симметричные параметры

2.4.2 Асимметричные параметры

2.5 Сравнительный анализ оптимальных оценочных моментов

переключения в кооперативных и некооперативных сценариях

2.5.1 Сравнение результатов оптимальной оценки

2.5.2 Сравнение влияния на результаты игры

2.6 Оптимальная оценка для гибридных стратегий в некооперативной игре

2.7 Заключение к главе

Глава 3 Модель добычи невозобновляемого ресурса с неопределённостями

3.1 Постановка задачи

3.2 Равновесие по Нэшу

3.3 Оценка момента переключения

3.4 Оптимальная оценка

3.5 Случай переключения, зависящего от состояния

3.6 Неопределённость информации

3.7 Пример: нефтяное месторождение с модернизацией оборудования100

3.8 Заключение к главе

Заключение

Литература

Введение

Актуальность темы диссертационного исследования

Значение теории игр в оптимальном принятии решений для управляющих систем проистекает из её внутренней связи с теорией управления, где обе области используют строгие математические модели для описания динамических взаимодействий. Однако, в то время как традиционная теория управления часто фокусируется на одноагентных или пассивных системах, теория игр расширяет эту структуру, включая стратегическое принятие решений среди автономных игроков.

Дифференциальные игры, в частности, предоставляют естественную парадигму для моделирования стратегических взаимодействий в непрерывное время, где эволюция состояния управляется дифференциальными уравнениями, а игроки динамически корректируют свои стратегии для оптимизации индивидуальных или кооперативных целей. Эта структура особенно актуальна в реальных системах, таких как управление ресурсами, экологическая политика и экономическая конкуренция, где игроки действуют в динамично неопределённых средах и должны адаптироваться к внезапным структурным изменениям в параметрах системы или целях.

Интеграция механизмов переключения в дифференциальные игры позволяет эффективно моделировать реальные сложности и структурные мутации в динамических системах. Эти мутации могут происходить по различным причинам: (1) экзогенные изменения в динамике, связанные с внезапными экологическими катастрофами или социально-политическими реформами [5, 22], (2) ненамеренные внутренние изменения, вызванные, например, антропогенными катастрофами или банкротством фирм [6], (3) намеренные (управляемые) изменения, такие как технологические инновации, слияния компаний или появление технологий-заменителей [80, 91], (4) изменения в предпочтениях или целях участников, связанные, например, с экологической повесткой или

переходом от индивидуальных к кооперативным стратегиям [77], что ведёт к дискретным трансформациям структуры выигрыша, уравнений состояния или условий окончания игры. Развитие теории режимных изменений в задачах управления изначально было обусловлено многочисленными инженерными приложениями. Эта теория охватывает так называемые переключаемые системы и является частью теории гибридных систем, характеризующихся тем, что дискретные события в подзадачах сводятся к относительно простым законам переключения от одной динамики к другой. Параллельно с перечисленными выше пунктами (1)-(3), время переключения и закон мгновенного перехода состояния в момент переключения могут порождаться как внутренними, так и внешними факторами.

Теория переключаемых систем, связанная с инженерными приложениями, развивается с различных точек зрения: управляемость, стабилизация, условия оптимальности, динамическое программирование и т.д. С другой стороны, модели, возникающие в экономике, использовании ресурсов, динамике популяций и социальных науках, ставят ряд задач, связанных с режимными переключениями, которые выходят за рамки традиционных инженерных приложений. Многие модели в этих областях требуют исследования бесконечного горизонта, множественных решений, периодического оптимального поведения, чаттеринг и т.д. Соответствующие теоретические инструменты всё ещё находятся в стадии разработки, часто ограниченные узкими классами проблем с переключениями. Более того, во всех упомянутых выше научных областях естественным образом возникает необходимость учитывать более одного лица, принимающего решения. Таким образом, актуальность дифференциальных игр для систем с переключениями в динамике становится очевидной.

Неопределённость дополнительно усиливает сложность этих систем. Практические дифференциальные игры часто разворачиваются в сложных, динамически неопределённых средах [38, 92], таких как сценарии с физическими ограничениями, стохастическими возмущениями от некооперативных или враждебных целей, а также неполной информацией о динамике системы. Неопределённость, как ключевой фактор, влияющий на выбор стратегии игроков и формирование равновесия игры, возникает из частичного понимания механики системы, поведенческих паттернов противников или внешних переключений среды. Представительным примером является модель диффе-

ренциальной игры низкоуглеродной цепочки поставок [87], где производители и ритейлеры должны сбалансировать усилия по сокращению выбросов с неопределённой политикой субсидий и рыночными реакциями. Точно так же в задаче добычи невозобновляемых ресурсов, момент остановки процесса добычи может быть случайным, что отражает значительную неопределённость, возникающую из-за изменений регулирования, экологических порогов и непредсказуемой рыночной динамики. В таких условиях критическими задачами становятся, выполнение оценки и прогнозирования в реальном времени неизвестных переменных окружающей среды и состояний или стратегий противников, а также динамическая оптимизация управляющих политик. Введение теории неопределённости в дифференциальные игры со сменой режимов, при которой моменты переключения характеризуются как случайные величины или неопределённые параметры, позволяет создать надёжную основу для решения внутренних неопределённостей и оптимизации стратегий в условиях риска.

В существующей литературе большинство исследований сосредоточено на дифференциальных играх с детерминированными моментами переключения или с моментами переключения, являющимися реализациями случайной величины с известным законом распределения. Однако в ситуациях, когда информация о распределении вероятностей отсутствует, для получения решения требуются иные подходы. Данная диссертация направлена на разработку метода построения оптимальной оценки неизвестных параметров модели исходя из чисто детерминированных соображений, что позволяет преодолеть значительный пробел в существующих исследованиях. Важным направлением работы также является углублённый анализ чувствительности полученных оптимальных оценок к другим параметрам моделей.

В заключение, изучение неопределенных моментов перелючений в дифференциальных играх имеет важное значение для развития теории принятия решений в мире, который становится всё более нестабильным. Формализуя стратегии оценки и адаптации к неопределённым структурным изменениям, данная диссертация обладает как теоретической, так и практической значимостью, решая актуальную задачу в области теории управления, экономики и экологии.

Степень разработанности проблемы в литературе

В области дифференциальных игр исследования моделей с неопределенными моментами переключения параметров занимают важное место и имеют принципиальное значение. Эти работы интегрируют характеристики неопределённости и динамических систем, что существенно расширяет теорию дифференциальных игр и способствует решению множества сложных реальных задач. Данное направление не только обогащает теоретическую базу дифференциальных игр, но и открывает инновационные аналитические перспективы и практические подходы для различных дисциплин, сталкивающихся с комплексными динамическими средами. В дальнейшем будет представлен всесторонний и глубокий обзор существующих результатов по данной теме.

Теория игр, важная ветвь операционного анализа, исследует, как несколько рациональных принимающих решения субъектов с взаимозависимыми выгодами или конфликтами оптимизируют свои стратегии на основе полученной информации с целью максимизации индивидуальной выгоды [56, 58]. Формирование современной теории игр можно проследить с начала XVIII века, когда начались исследования стратегической взаимозависимости. Например, в 1713 году Уолдгрейв предложил минимаксное решение в смешанных стратегиях для игры двух лиц. В 1881 году Эджуорт ввел основную идею кооперативной игры [21]. XX век ознаменовал формальное основание теории игр. В 1928 году Джон фон Нейман опубликовал работы, связанные с теорией социальных игр [40]. В этих работах он нашел минимаксное решение для решения задач принятия решений в играх двух лиц. Рассматривая максимальные возможные потери для обоих игроков и все возможные стратегии, он выбрал "оптимальную" стратегию, минимизирующую максимальный убыток, что соответствует получению оптимального решения со статистической точки зрения. Одновременно он описал ситуации с несколькими игроками. Впоследствии фон Нейман и экономист Моргенштерн совместно написали книгу "Теория игр и экономическое поведение" [79]. В этой книге была изложена начальная модель кооперативных игр, заложив фундамент для теории игр и став "Библией" в этой области. После 1950-х годов развитие теории игр началось на новом пути. Джон Нэш открыл новую область исследований теории игр. В 1950 году он разработал обобщенный метод и точку равновесия для минимаксного решения [48]. В 1951 им была предложена концепция равновесия по Нэшу в некоопера-

тивных играх [49]. Исследования Нэша охватили ключевую проблему теории игр и способствовали развитию некооперативной теории игр. Одновременно кооперативные игры достигли своего пика, включая исследования в 1960-х годах, когда Зельтен ввел концепцию равновесия по Нэшу в анализ динамических игр и предложил "Совершенное равновесие по Нэшу" [65]. Харшани ввел неполную информацию в изучение теории игр, определил "Байесовское равновесие по Нэшу", разработал и применил байесовскую теорию принятия решений для создания игр с неполной информацией [28, 29, 30]. Харшани был одним из пионеров, развивших теорию игр в инструмент экономического анализа. Этот период был зрелой стадией теории игр. Расширение таких понятий, как игры с неполной информацией и игры с нетрансферабельными полезностями, сделало теорию более широко применимой. На данный момент теория игр стала полноценной и систематичной теоретической структурой. С 1970-х годов по настоящее время она продолжает развиваться, что проявляется в значительных прорывах в исследованиях и мощном влиянии на другие дисциплины.

Теория игр включает множество ветвей. Например, в зависимости от того, изменяются ли ограничивающие условия, поведение и т.д. с течением времени, её можно разделить на статические игры и динамические игры [13, 16] (дифференциальная игра, рассматриваемая в данной статье, относится ко второму типу). В зависимости от степени информации, которую игроки имеют друг о друге, её можно разделить на игры с полной информацией и игры с неполной информацией. В зависимости от формы стратегий выделяются чистые стратегии и смешанные стратегии. В зависимости от того, существует ли обязательное соглашение между игроками, игры делятся на кооперативные [51, 57] и некооперативные [23, 39]. Также, учитывая количество игроков, различают игры с одним участником, двумя или игры п лиц. В контексте статических игр игра с одним участником деградирует в задачу оптимизации, тогда как в динамических играх она превращается в задачу оптимального управления. Поскольку представление и вычисление равновесия по Нэшу включает решение индивидуальных задач оптимизации для каждого игрока, инструменты, разработанные для оптимального управления, такие как динамическое программирование и принцип максимума, также применимы к динамическим играм [95].

С увеличением сложности практических проблем и продолжением углубления исследований традиционные модели теории игр постепенно показывают ограничения при решении задач, связанных с непрерывным временем и динамическими процессами изменений. В реальном мире многие процессы принятия решений не завершаются мгновенно, а разворачиваются непрерывно во времени, и состояние системы меняется непрерывно с течением времени. Например, в таких областях, как военные столкновения [32], экономический рост [9] и управление ресурсами, решения необходимо принимать, учитывая не только текущее состояние, но и предсказывая будущие тенденции изменений. Это ставит новые задачи перед развитием теории игр. На этом фоне и появились дифференциальные игры. Они объединяют теорию игр с дифференциальными уравнениями и теорией оптимального управления и используются для изучения динамических игровых задач, в которых решения принимаются непрерывно во времени [15, 37, 52]. Возникновение дифференциальных игр предоставило новый подход и метод для решения таких сложных динамических задач принятия решений и стало важным направлением в развитии теории игр.

Руфус Айзекс признан основоположником дифференциальных игр. В 1969 году Айзекс выпустил классическую работу "Дифференциальные игры" [33]. Наряду с работой Беллмана "Теория динамического программирования" [10], опубликованной в 1954 году, и работой Понтрягина "Математическая теория оптимальных процессов" [60], опубликованной в 1962 году, эти работы заложили теоретическую основу для дифференциальных игр. На начальной стадии исследований дифференциальных игр результаты в основном основывались на применении результатов теории оптимального управления для решения задач дифференциальных игр. В 1964 году Берковиц использовал вариационный метод для изучения решений дифференциальных игр в чистых стратегиях [11]. В 1966 году Понтрягин представил метод решения на основе принципа максимума [61]. В 1967 году Лейтман и Монд углубленно исследовали геометрические аспекты дифференциальных игр [41]. Также в развитие теории дифференциальных игр значительный вклад внесли такие исследователи, как Н.Н. Красовский, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, Л.А. Петросян, Э. М. Вайсборд, Р.В. Гамкрелидзе, Н. Л. Григоренко, В.И. Жуковский, А. Ф. Клейменов, А. Ф. Кононенко, А.В. Кряжимский, А. Б. Куржанский, В.Н. Лагунов,

Н.Ю. Лукоянов, С.С. Кумкова, О. А. Малафеев, Е.Ф. Мищенко, В.С. Пацко, Н. Н. Петров, Н. Никандр. Петров, Н.Н. Субботина, А.М. Тарасьев, Н.Т. Тынян-ский, В.Н. Ушаков, А.А. Чикрия, С. В. Чистяков, А. Г. Ченцов. В настоящее время дифференциальные игры широко применяются в различных областях, включая столкновения военно-морских судов [42], воздушные бои [43], управление ракетами [73], спутниковые формирования [44], распределение огневой мощи [24], антитеррористические операции [50], рекламу [34], оптимальные инвестиции, финансирование и вопросы дивидендов [36], а также управление рынком [46]. В работах С. Йоргенсена, Е. Докнера, Н. Лонга, Г. Соргера, Дж. Заккура, В.В. Захарова, В.В. Мазалова, Г.А. Угольницкого и многих других исследователей рассмотрено множество прикладных экономических моделей, основанных на теории дифференциальных игр. В 1977 году Л.А. Петросян впервые предложил математическую формулировку динамической устойчивости кооперативных решений [53]. Этот подход стал важной вехой в развитии теории кооперативных игр. В последующие годы, в 1979 году, Петросян совместно с Даниловым предложили метод построения динамически устойчивых кооперативных решений с помощью специальной схемы распределения выплат, известной как процедура распределения дележа (ПРД) [54], что значительно расширило теоретическую основу данного направления.

Изучение стратегий управления является ключевым аспектом в теории дифференциальных игр. То, как игроки принимают эффективные решения, а именно, какие стратегии управления они применяют, напрямую влияет на результат игры. Управление в таких играх подразделяется на два основных класса в зависимости от основания для принятия решений: программные и позиционные. Оба класса играют важную роль в теоретических исследованиях и практических приложениях. Позиционные стратегии являются функциями текущего времени и состояния в каждый момент времени, в то время как программные стратегии являются лишь функциями времени. При использовании программных стратегий игроки заранее фиксируют свои управляющие действия на весь ход игры, то есть решения предопределены с самого начала. Математически программные стратегии проще и широко применяются в теоретическом анализе оптимального поведения систем. Например, Шми-тендорф исследовал существование оптимальных программных стратегий в дифференциальных играх [64]. Абоу-Кандил и Бертран, а также Симан

и Круз независимо изучали проблемы существования точек равновесия по Нэшу и оптимальных решений в линейных квадратичных дифференциальных играх в классе программных стретагий [1, 71]. Рейнганум рассмотрел класс дифференциальных игр, где равновесие по Нэшу в программных и позиционных стратегиях совпадают [62]. Йоргенсен исследовал структуру игры и достаточные условия для равновесия по Нэшу в дифференциальных играх в классе программных стратегий [35].

Тщательный анализа особенностей и областей применения классов стратегий игроков в дифференциальных играх дает возможность глубже понять механизмы принятия решений игроками в ходе игрового процесса. Однако в реальных динамических системах зачастую необходимо учитывать также дополнительные сложности в виде множества вариантов изменения режимов работы системы. Такие феномены переключений системы часто встречаются в различных практических сценариях [83, 97]. Например, в интеллектуальных транспортных системах переключение светофоров влияет на стратегии движения автомобилей; в процессах промышленного производства переключение производственных режимов изменяет метод распределения ресурсов. Эти явления переключения существенно воздействуют на результаты дифференциальных игр, создавая новые вызовы и открывая дополнительные возможности для их исследования. Такое обстоятельство подчеркивает необходимость расширения исследовательского взгляда на проблему переключений в дифференциальных играх, а также изучения внутренних правил и механизмов их воздействия на общий игровой процесс. Ян и Чжу, основываясь на концепции случайного процесса, разработали модель оптимального управления с учетом неопределенности для переключающихся систем [84]. Они исследовали задачу оптимального управления для неопределенных линейных переключающих систем с подсистемами, подверженными неопределенным возмущениям [85]. Доннелли проанализировал стохастический принцип максимума для оптимального управления в диффузионных моделях с переключением состояний [19]. Чжу и соавт. исследовали задачу линейной квадратичной стохастической дифференциальной игры с марковским переключением параметров и получили равновесие для игр с нулевой суммой и не-нулевой суммой [96]. Оптимальная динамика переключающих систем также была широко изучена в теории гибридного оптимального управления. Например, см. Болтянского [12],

Ажмякова и соавт. [7], Шейха и Кейнеса [66] и других. Применение переключающихся систем широко распространено как в реальных инженерных системах, так и в экономической сфере. Например, такие задачи, как ценообразование опционов в финансовой сфере [86] и выбор портфеля [20, 93], имеют значимое прикладное значение для области управления рисками, инвестиционного анализа и принятия решений в условиях неопределенности.

В последние годы активно обсуждаются переключения в динамических системах, обусловенные различными причиными: экологическими [75], политическими [2], организационными [78] и др. Поласки и соавт. проанализировали, как угроза будущих изменений режима влияет на оптимальное управление природными ресурсами [59]. Исследования Хунга [31] согласуются с многошаговым оптимизационным анализом переключений режима Томияма [74] и Амита [4], которые также эндогенно определяют моменты переключений. Ученые проявляют значительный интерес к дифференциальным играм с переключениями, в частности, исследования Громова и Громовой [26], Лонга и его соавторов [45], а также других авторов внесли важный вклад в развитие этой области. В этих работах предложены различные типы условий переключений и различные типы решений. Стоит отметить, что многие экономические явления естественно соответствуют динамике переключений: переход к новым производственным технологиям, изменение лидерства на олигополистичных рынках с имитацией, игры по извлечению ресурсов или рекламные игры. Балас и Тур изучали модель извлечения невозобновляемого ресурса, где конечное время является случайной величиной, определяемой с использованием составной функции распределения [8]. Ву и соавт. исследовали задачу гибридного управления загрязнения для п игроков, в которой рассматривались поведение переключений и неопределенная продолжительность игры [82]. Заремба представила общую формализацию класса игр со случайным моментом переключения функции выигрыша [94]. Похожая игра также была описана в [17]. Общей чертой всех этих работ является применение методов многошагового оптимального управления, впервые разработанных в экономике Томиямой [74].

Поведение переключений придаёт процессу дифференциальных игр дополнительную сложность и разнообразие, в то время как неопределённость выступает в качестве фактора, существенно повышающего сложность при-

нятия решений и непредсказуемость результатов. Будь то колебания на финансовых рынках или недостаток разведывательной информации в военных конфликтах, неопределённость присутствует повсеместно. Она оказывает влияние не только на выбор стратегий управления игроками, но и на решения о переключениях. Поэтому проведение углубленных исследований неопределенности в дифференциальных играх стало важной частью всестороннего понимания и эффективного решения сложных задач дифференциальных игр. По сути, ее происхождение в основном связано с тремя аспектами. С одной стороны, внешние факторы окружающей среды играют доминирующую роль. Во многих практических сценариях применения, таких как экономика, экология и окружающая среда, системы, описываемые моделями дифференциальных игр, подвержены воздействию внешней среды. Эти внешние факторы часто сложны, изменчивы и трудно предсказуемы с высокой точностью. Например, колебания рыночного спроса и воздействие изменения климата на экосистемы могут сделать параметры модели неопределенными. С другой стороны, неполная информация является важной причиной неопределенности. В процессе принятия решений игроки обычно не могут получить полную информацию о системе. Например, в военных столкновениях каждая сторона может иметь неполные данные о военных развертываниях противника, боевых возможностях и других аспектах. В бизнес-конкуренции компании также могут не иметь полной информации о структурах затрат своих конкурентов, рыночных стратегиях и других данных. Эта неполнота информации ведет к неопределенности в переменных состояния и параметрах модели. Более того, упрощение модели и аппроксимация также могут вызвать неопределенность. Для упрощения анализа и решения задач моделей дифференциальных игр часто требуется упростить и аппроксимировать реальные системы. Однако такие упрощения могут упустить некоторые сложные факторы, что приводит к неопределенности. Например, при построении модели экономического роста могут быть проигнорированы индивидуальные различия и случайные факторы на микроуровне, что приводит к тому, что параметры модели не могут точно отражать реальное положение дел.

Особенно важным классом динамических игр являются игры в условиях неопределенности [3, 67]. Что касается выражения неопределенности, то случайные величины являются широко используемым средством, рассматривая

неопределенные параметры как переменные, которые следуют определенным распределениям вероятностей. Например, Петросян и Шевкопляс [55], Громов и Громова [25], Шевкопляс [68] рассматривали продолжительность игры как случайную переменную. Шевкопляс и Костюнин [69, 70] и Ву и соавт. [81] объяснили случайность времени завершения через жизненный цикл технического оборудования. Мазуди и соавт. исследовали динамическую игру по загрязнению окружающей среды с экологической неопределенностью, где способность природы поглощать выбросы считается случайной [47]. Однако в случаях, когда нет информации о распределении вероятности, необходимо использовать другие методы для получения решения. В отличие от вероятностной модели, существует подход, ориентированный на построение оптимальной оценки параметров модели на основе чисто детерминированных соображений. Таким образом, Чеботарева и соавт. ввели концепцию стоимости информации для неизвестных параметров модели [14]. Линия этого исследования была продолжена в работах Су и Тур [72], Громовой и Болатбек [27]. Тур и соавт. [76] посвятили свою работу вычислению оптимальной оценки начальных запасов ресурсов в задаче извлечения ресурсов, если единственной доступной информацией являются нижние и верхние границы запасов ресурсов.

В заключение, эволюция дифференциальных игр представляет собой непрерывный процесс адаптации к усложняющимся условиям реальных сценариев принятия решений. Разработка стратегий управления, исследование переключений системы и анализ влияния неопределённости обогащают теоретическую базу и способствуют решению актуальных практических задач. Данные направления не только раскрывают ключевые механизмы динамических стратегических взаимодействий, но и предоставляют мощные инструменты для анализа и решения сложных проблем в различных областях. По мере дальнейшего развития дифференциальных игр ожидается углубление интеграции теоретических достижений с практическими приложениями, что будет способствовать значительному прогрессу как в теории, так и в практике принятия решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные игры с неопределенными моментами переключений»

Цели работы

Целью данной диссертации является исследование дифференциальных игр с неизвестными моментами переключения и построение оценки неизвестных

параметров, минимизирующей возможные потери игроков, в таких играх. Целью исследования является также построение оценок неизвестных параметров в практических моделях, таких как дифференциальная инвестиционная игра и дифференциальная игра по извлечению невозобновляемых ресурсов как в кооперативных, так и в некооперативных сценариях.

Указанные цели достигаются через выполнение следующих задач:

1. Ввести определение оптимальной оценки неизвестных параметров в дифференциальной игре.

2. Разработать метод построения оптимальной оценки неизвестных параметров для кооперативных и некооперативных дифференциальных игр.

3. Построить оптимальные кооперативные стратегии и равновесия по Нэшу игроков в дифференциальной инвестиционной игре с переключающимися функциями выигрыша.

4. Получить оптимальные оценки неизвестного момента переключения функций выигрыша в дифференциальной инвестиционной игре для кооперативного и некооперативного случаев.

5. Провести сравнительный анализ полученных оценок.

6. Построить оптимальные кооперативные и некооперативные стратегии игроков в дифференциальной игре по извлечению невозобновляемого ресурса с составной функцией распределения случайной продолжительности игры.

7. Получить оптимальную оценку неизвестного момента переключения составной функции распределения случайной продолжительности игры в дифференциальной игре по извлечению невозобновляемого ресурса.

Научная новизна

Данная диссертация вносит значительный и оригинальный вклад в область динамической теории игр, предлагая и решая новую категорию проблем: дифференциальные игры с неопределенными моментами переключения параметров. Основная научная новизна заключается в разработке комплексной теоретической и методологической базы для анализа стратегического принятия решений в условиях структурной неопределенности, при этом выявлены

глубокие различия между кооперативной и некооперативной средой в двух моделях дифференциальных игр.

Первый аспект научной новизны заключается в пионерском формулировании и систематическом анализе класса дифференциальных игр, в которых момент структурного изменения рассматривается как неизвестный параметр. Это расширяет рамки традиционной неопределенности в динамических играх, которая в основном фокусировалась на продолжительности игры или начальных условиях, и включает эндогенные структурные изменения в основные динамики самой игры.

Второе нововведение заключается в оригинальном синтезе принципа максимума Понтрягина с минимаксной оптимизацией для решения задачи гибридного оптимального управления с неопределенностью. Эта методология позволяет выводить оптимальные стратегии и траектории, сегментированные по оценочным моментам переключения, предоставляя строгую аналитическую основу для работы с структурной неопределенностью в динамических играх.

Третий элемент новизны фокусируется на практическом применении теоретических достижений. В рамках моделей инвестиционной деятельности и добычи невозобновляемых ресурсов данное исследование впервые предлагает явные решения для оптимальной оценки времени переключения. Это представляет собой четкое и краткое правило для практических приложений, эффективно преодолевая разрыв между теоретическим исследованием и реальной реализацией.

Резюмируя, данная диссертация подчеркивает необходимость учёта переключений при построении динамических моделей, уделяя особоещение проблеме неопределённости моментов переключения. Работа предлагает новую теоретическую основу для работы с неопределённостью в сложных логических системах и стратегическом принятии решений. Преобразуя задачу оценки моментов переключения в проблему оптимизации по минимизации максимальных потерь, данное исследование открывает новые горизонты в теории дифференциальных игр, обладая значительной теоретической ценностью и практическим потенциалом. Она не только подтверждает важность включения переключений в динамическое моделирование, но и предлагает целенаправленное решение для смягчения трудностей, вызванных неопределённостью моментов переключения. Это, в свою очередь, повышает адаптивность и

надёжность предложенного подхода в реальных сложных сценариях.

В данной диссертации подчеркивается необходимость учёта переключений при построении динамических моделей, с особым вниманием к проблеме неопределённости моментов переключения. Работа предоставляет новую теоретическую основу для обработки неопределённости в сложных логических системах и стратегическом принятии решений. Благодаря преобразованию задачи оценки моментов переключения в задачу оптимизации на минимизацию максимальных потерь, данное исследование открывает новые направления в теории дифференциальных игр, обладающие значительной теоретической ценностью и практическим потенциалом. Оно не только подтверждает важность включения переключений в динамическое моделирование, но и предлагает целенаправленное решение для смягчения вызовов, вызванных неопределённостью моментов переключения, что, в свою очередь, повышает адаптируемость и надёжность предложенной концептуальной основы в реальных сложных сценариях.

Методы исследования

В данной диссертации используются методы из теории динамических и дифференциальных игр (включая моделирование дифференциальных игр, определение равновесия по Нэшу, кооперативные решения), теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина), оптимизации (минимаксная оптимизация и анализ наихудшего случая), а также теории вероятностей (составные функции распределения).

Теоретическая и практическая значимость

Данная диссертация вносит значительный и оригинальный вклад в область теории динамических игр, с теоретическим значением и практической ценностью, проявляющимися на нескольких уровнях.

Теоретическая значимость данного исследования заключается, во-первых, в его прорыве в расширении области динамической теории игр для рассмотрения давно упускаемого из виду "неопределенности моментов переключения" в практических сценариях. Традиционные модели дифференциальных игр в основном фокусировались на неопределенности продолжительности игры, конечного времени или начального времени, но редко — на переключении основных коэффициентов, таких как переключение функции выигрыша в

инвестиционных играх или изменение интенсивности отказов в проблемах извлечения ресурсов. Включив эту "неопределенность моментов переключения" в единую рамку дифференциальной игры, исследование заполняет критический пробел в теории, позволяя динамическим моделям игр более точно учитывать нестационарный характер реальных систем.

Второй основной теоретический вклад — это разработка строгой, специфической для сценария методологии для оценки оптимального момента переключения, как для кооперативных, так и для некооперативных сценариев игры. Глава 1 и Глава 2 выводят универсальную оптимальную оценку момента переключения в кооперативных и некооперативных сценариях, соответственно, в рамках инвестиционной задачи. Оказалось, что в кооперативном случае оптимальная оценка не зависит от параметров системы. Это свойство "независимости от параметров" бросает вызов традиционному мнению, что оценка неопределенности требует настройки на контекстно-зависимые переменные, предоставляя надежную теоретическую основу для скоординированного принятия решений при неполной информации. В Главе 3 приводятся оптимальные оценки как для момента переключения, так и для состояния в модели извлечения невозобновляемого ресурса. Также доказано, что при определенных условиях кооперативное решение в этой игре также является равновесием по Нэшу.

Кроме того, исследование инновационно устанавливает строгий математический инструментарий для решения проблем "неопределенности моментов переключения". Эта методологическая интеграция не только предоставляет единый аналитический путь как для контекстов инвестиций, так и для извлечения ресурсов, но также обобщается на другие динамические системы с структурной неопределенностью, такие как управление загрязнением или гонки технологических инноваций, расширяя методологический арсенал динамической теории игр за пределы ее традиционных рамок.

С практической точки зрения, данное исследование предлагает приложения в области экологической экономики и управления ресурсами. Модели предоставляют практические результаты для управления, извлечением ресурсов и инвестициями в условиях неопределенности регуляторных или рыночных условий. Методология минимаксной оптимизации предоставляет конкретные правила принятия решений, которые позволяют осуществлять надежное

планирование в условиях наихудших сценариев, что особенно ценно для стратегических инвестиционных решений и разработки политики.

Сравнительный анализ между кооперативными и некооперативными решениями предоставляет практические рекомендации для реальных переговоров и соглашений. Демонстрируемое превосходство кооперативных подходов подчеркивает ценность координации в международных экологических соглашениях, государственно-частных партнерствах и совместном управлении ресурсами. Явные решения, полученные для оценки времени переключения, служат практическими инструментами для улучшения стратегического принятия решений в динамичных средах со структурной неопределенностью. Более того, механизмы переключения, зависящие от времени и состояния, дополнительно усиливают его адаптивность к различным практическим сценариям, позволяя моделировать более сложные реальные ситуации. Эта гибкость позволяет разрабатывать более тонкие стратегии, которые могут лучше учитывать специфические особенности различных контекстов применения.

Краткое описание работы

Диссертация состоит из введения, трех основных глав, заключения и библиографии. Каждая глава начинается с построения теоретической основы, определения основных понятий и формулирования исследовательских задач. Ключевые результаты представлены с использованием строгих теоретических выкладок (включая теоремы, доказательства и математические формулы) и примеров практического применения (сосредоточенных на моделях инвестиционной деятельности и добычи невозобновляемых ресурсов), что обеспечивает ясность и доступность сложных концепций. Диссертация содержит 113 страниц, включая 3 таблицы и 16 рисунков, которые визуально поддерживают анализ. Библиография включает 97 источников, упорядоченных в алфавитном порядке.

Первая глава посвящена кооперативной дифференциальной игре с неопределенным моментом переключения функции выигрыша. Раздел 1.1 строит математическую модель: введение дифференциальной игры для п игроков на фиксированном интервале времени с переключающимися функциями полезности, формулировка уравнений динамики системы и построение интегральной функции выигрыша, которая изменяется до и после момента переключения.

Раздел 1.2 рассматривает задачу инвестирования в качестве примера, применяя принцип максимума Понтрягина для решения задачи оптимальных кооперативных управляющих стратегий и траекторий состояний на двух временных интервалах. Приводятся аналитические выражения для оптимальных управлений и траекторий путем максимизации общего выигрыша всех игроков. Предполагается, что игроки остаются полностью неосведомленными о фактической величине момента переключения до конца игры, и разделы 1.3 и 1.4 подробно рассматривают основную задачу оценки момента переключения. Эти главы рассматривают два различных сценария: один, когда все игроки совместно оценивают момент переключения, и другой, когда два игрока делают независимые оценки. В обоих случаях формулируется минимаксная задача для минимизации наибольших потерь. Строго доказано, что несмотря на различие в подходах к оценке, оптимальная оценка момента переключения имеет единую структурную форму и зависит от времени окончания игры. Раздел 1.5 рассматривает случай, когда игроки становятся осведомленными о моменте переключения именно в тот момент, когда оно происходит. Оказалось, что оптимальная оценка момента переключения в этом случае также зависит от момента окончания игры. Раздел 1.6 подводит итоги, подчеркивая универсальность и независимость от параметров оптимальной оценки момента переключения в кооперативных сценариях.

Вторая глава расширяет исследование на некооперативные дифференциальные игры с неопределенными моментами переключения функции выигрыша, сравнивая результаты с кооперативным сценарием в главе 1. Раздел 2.1 строит модель некооперативной игры: сохраняются динамика и форма функции выигрыша инвестиционной игры, и определяются стратегии равновесия по Нэшу. Выводятся аналитические выражения для стратегий равновесия по Нэшу и траекторий состояния на двух временных интервалах. Разделы 2.2 и 2.3 фокусируются на оценке момента переключения в некооперативном сценарии: каждый игрок формулирует минимаксную задачу для минимизации собственных наихудших потерь. Результат показывает, что в симметричном случае оптимальная оценка чувствительна к параметрам. Раздел 2.4 анализирует результаты как симметричного, так и несимметричного случаев с использованием численных примеров. Раздел 2.5 проводит сравнительный анализ: противопоставление универсальной, независимой от параметров оцен-

ки в кооперативном сценарии игры и чувствительной к параметрам оценки в некооперативном, обсуждая преимущества кооперативных стратегий и ограничения некооперативных. Раздел 2.6 рассматривает оптимальную оценку в гибридном сценарии, доказывая, что оценка остается чувствительной к параметрам. Раздел 2.7 подводит итоги, излагая вклад работы и закладывая основы для главы 3, в которой будут рассмотрены более сложные сценарии с неопределенными моментами переключения.

Третья глава углубляется в модель многопользовательской дифференциальной игры по извлечению невозобновляемых ресурсов со случайной продолжительностью. Теоретический подход из глав 1 и 2 распространяется на системы со составной функцией распределения случайной продолжительности. Раздел 3.1 строит модель игры. Раздел 3.2 исследует условия, при которых кооперативное решение также является равновесием по Нэшу, расширяя теоретическую основу от фиксированной продолжительности к более сложной и реалистичной задаче со случайной продолжительностью. Разделы 3.3 и 3.4 предполагают, что игроки не знают момент переключения функции распределения, и мы получаем оптимальные оценки момента переключения. Разделы 3.5 и 3.6 рассматривают задачу, в которой момент переключения зависит от состояния системы, что означает, что переключение не происходит в фиксированный момент времени, а срабатывает, когда выполняется определенное условие на траектории. Раздел 3.7 представляет детальный пример, связанный с реальным развитием нефтедобывающих объектов. Наконец, раздел 3.8 завершает главу, подводя итоги теоретических достижений, практических приложений и ограничений.

В заключении диссертации представлена всесторонняя синтезированная оценка всей работы. Это включает в себя подробное внимание к ключевым открытиям и значительным вкладом, сделанным в ходе исследования. Кроме того, рассматриваются перспективные пути для будущих исследований, выдвигаются рекомендации для дальнейшего развития области и возможных реальных приложений предложенных теоретических моделей.

Положения, выносимые на защиту

1. Описаны и исследованы модели дифференциальных игр с неизвестными моментами переключений, включая построение оценок неизвестных па-

раметров в дифференциальной инвестиционной игре и игре по добыче невозобновляемого ресурса, как в кооперативном, так и в некооперативном сценариях.

2. Получена оптимальная оценка моментов переключения в кооперативной дифференциальной инвестиционной игре. Показано, что оптимальная оценка зависит только от момента окончания игры и не зависит от других параметров модели, независимо от того, совместно или нет производится оценивание (Теорема 1; Теорема 2; Теорема 3).

3. Получена оптимальная оценка моментов переключения в некооперативной дифференциальной инвестиционной игре. Показано, что оптимальная оценка в этом случае зависит от параметров модели (Теорема 4).

4. Получены точные условия, при которых кооперативное решение удовлетворяет условию равновесия по Нэшу в модели дифференциальной игры по добыче невозобновляемого ресурса с составной функцией распределения случайной продолжительности игры (Предложение 3.1).

5. Выведено правило для получения оптимальной оценки неизвестного момента переключения функции распределения случайного момента окончания в дифференциальной игре по добыче невозобновляемого ресурса для сценариев, где момент переключения зависит от времени и состояния (Теорема 5).

Основные научные результаты

Основные результаты данной диссертации следующие:

1. Разработан единый метод оптимальной оценки неизвестных моментов переключения функций полезности в кооперативной дифференциальной инвестиционной игре. Показано, что оптимальная оценка соответствует фиксированному значению, определяемому исключительно моментом окончания игры, независимо от того, совместно или нет игроки принимают решение. (Глава 1, стр. 25-51, личный вклад: > 70%; см. [90]).

2. В некооперативной дифференциальной инвестиционной игре оптимальная оценка момента переключения зависит от параметров. Анализ симметричных и несимметричных сценариев показывает, что эгоистичные решения

могут привести к различным оценкам (например, некоторые игроки предпочитают раннее переключение, в то время как другие откладывают его), в отличие от устойчивых, независимых от параметров оценок, достижимых через кооперацию. (Глава 2, стр. 52-74, личный вклад: > 70%; см.

3. В модели дифференциальной игры по добыче невозобновляемого ресурса, где продолжительность игры является случайной величиной с составной функцией распределения, получены оптимальные оценки неизвестного момента переключения. Это достигнуто посредством построения минимаксных задач оптимизации, применимых как к сценариям с переключениями, зависящими от времени, так и от состояния. Получены условия, при которых кооперативное решение также является равновесием по Нэшу. (Глава 3, стр. 75-102, личный вклад: > 60%; см. [89]).

Апробация результатов

Основные результаты диссертации были представлены на следующих мероприятиях: LV международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (CPS'24) (Санкт-Петербург, 2024); XVII международной конференции "Теория игр и менеджмент" (Санкт-Петербург, 2024); XVIII международной конференции "Теория игр и менеджмент" (Санкт-Петербург, 2025); XIV семинаре Международного общества динамических игр (ISDG) (Ереван, 2025).

Публикации

Автором было опубликовано 3 научные статьи [88, 89, 90], непосредственно связанных с темой диссертации. Две из них — это научные статьи [89, 90], опубликованны в изданиях, индексируемых в Scopus или Web of Science.

[88] Ye, P. A differential investment game with unknown utility switching moment // Contributions to Game Theory and Management. 2024. Vol. 17. P. 219-230.

[89] Ye, P., Tur, A. & Wu Y. Non-renewable resource extraction model with uncertainties // Games. 2025. Vol. 16. N. 5. P. 52.

[90] Ye, P., Tur, A. & Wu, Y. On the estimation of the switching moment of utility functions in cooperative differential games // Kybernetes. 2024.

Благодарности

Завершение данной диссертации было бы невозможно без неизменной поддержки, руководства и вдохновения со стороны многих людей, которым я хотела бы выразить свою глубочайшую признательность.

Прежде всего, выражаю искреннюю и сердечную благодарность моему научному руководителю, Тур Анна Викторовна. Её тщательная работа отразилась на каждом этапе данного исследования. От первоначального замысла темы до финальных правок диссертации — её глубокое научное видение, строгий методологический подход и терпеливое руководство стали основой моего профессионального роста и личного развития. В периоды неопределённости и трудностей она всегда предоставляла мягкое, но точное направление, с вниманием указывала на возможности для совершенствования и с исключительной ясностью объясняла сложные идеи. Её неизменная преданность делу, интеллектуальная щедрость и доброжелательность не только привели данную работу к завершению, но и оказали глубокое влияние на моё становление как исследователя. Я бесконечно благодарна ей за веру в меня — её поддержка является самым ценным источником вдохновения в моей жизни.

Моя признательность также адресована всем преподавателям нашего факультета. Я благодарена за их конструктивные замечания и вдохновляющие обсуждения, сопровождавшие каждое из моих научных выступлений. Созданная ими атмосфера сотрудничества и академического обмена существенно обогатила мой исследовательский опыт и расширила мои научные горизонты. Кроме того, выражаю благодарность Китайскому государственному совету по стипендиям (China Scholarship Council, №202209010240) за финансовую поддержку, а также административному персоналу университета за их эффективную помощь.

Наконец, мои самые искренние благодарности адресованы моей семье и друзьям за их безграничную любовь, понимание и эмоциональную поддержку. Их непоколебимая вера в меня поддерживала меня в самые трудные периоды этого пути, придавая силы и мотивацию продолжать движение вперёд.

Глава 1

Кооперативная инвестиционная дифференциальная игра с неизвестным моментом переключения функции

выигрыша

Эта глава использует классические методы, включая принцип максимума Понтрягина и минимаксную оптимизацию, чтобы решить критическую проблему в теории динамических кооперативных игр. Несмотря на использование классических методических подходов, изучается оригинальная проблема для теории дифференциальных игр, связанная с неопределенностью в переключениях функций выигрышей игроков. Ключевое теоретическое достижение состоит в детерминированной оценке неизвестных параметров времени переключения, которые по своей природе недоступны для игроков в процессе стратегического принятия решений [90]. Предложенная структура решения включает подход минимаксной оптимизации для получения оптимальных оценок, минимизирующих наихудшие потери, обеспечивая устойчивость к параметрическим возмущениям модели через строгую квантификацию неопределенности.

1.1 Постановка проблемы

Рассмотрим дифференциальную игру Г^(х0,Ь0,Т) п лиц, которая начинается в начальный момент времени ¿0 из начального состояния х0 и развивается на фиксированном временном интервале [¿0,Т]. Множество игроков обозначим как N = {1, 2,... ,п}, где | = п. Вводится следующее предположение:

Динамика процесса описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

х = д(х(г),щ (г),... ,чп(г)), х(г0) = Хо, (1.1)

где х(г) Е X с Яш обозначает переменные состояния игры, и{(г) Е и{ управляющая переменная игрока %,% Е N. Функция д(х, и1,... , ип) непрерывно дифференцируема по переменным х и и{, % Е N, и{ Е СотрЯк.

Игроки используют программные стратегии.

Предположим, что функция мгновенного выигрыша каждого игрока изменяется в момент времени г1 Е [г0,Т]. Мы называем этот момент моментом переключения.

• Пусть и(т) = (и1(т),..., ип(т)) и Н{1(х(т ),и(т)) обозначает функцию мгновенного выигрыша в игре Г^ (х0, г0, Т) игрока % в момент времени т до момента переключения г1, т.е. для т Е [г0,г1]. Аналогично, к{22(х(т),и(т)) обозначает функцию мгновенного выигрыша в игре Г^(х0, г0,Т) игрока % в момент времени т после момента переключения г1 для т Е [г1,Т]. Предполагаем, что функции Н{1(х(т),и(т)) и к{22(х(т),и(т)) определены и интегрируемы на всем рассматриваемом временном интервале [г0,Т].

Для удобства будем использовать сокращение Н{к(х(т),и(т)),к Е {1, 2}.

• Функция выигрыша игрока % определяется как:

К{(х0,г0,Т,и) = Н{1(х(т),и(т)^т +/ Н{2(х(т),и(т% = 1,...,п.

¿0 с/ ¿1

(1.2)

1.2 Пример модели

Рассмотрим модельный пример в рамках формулировки дифференциальной игры, представленной выше. Пусть N — множество агентов, каждый из которых осуществляет инвестиционные действия в объекты общественного капитала. Переменная состояния х(г) отвечает за количество капитала в момент времени г, а управление и{(г) — за инвестиционную стратегию игрока % в момент времени г. Пусть г0 — начальный момент времени, а Т — конечный момент времени.

Определим динамику системы следующим образом [94]:

п

¿(¿) = = Хо.

¿=1

Предположим, что функции мгновенных выигрышей линейны по переменной состояния, квадратичны по управлениям и отличаются только значениями параметров. Этот тип функции выигрыша диктуется линейной зависимостью дохода от размера инвестиции в текущий момент времени ж(£) с определенными коэффициентами д^,^. Стоимость приобретения активов растет квадратично с коэффициентами г^1,г^2.

^1(ж(£),м(£)) = Яг1ж(£) - гг1М2(£), ^2(ж(£),М(£)) = Яг2Ж(£) - Гг2М2(^).

Функция выигрыша игрока г определяется как:

кг(ж0,г0,т,и) = [ йа(ж(г),и(г))аг + [ ^2(ж(г),и(г))аг. (1.3)

«/ ¿0 с/ ¿1

В рассматриваемой дифференциальной игре цель каждого игрока заключается в максимизации своего выигрыша:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Е Пэйчэнь, 2026 год

Литература

[1] Abou-Kandil, H. & Bertrand, P. Analytic solution for a class of linear quadratic open-loop Nash games // International Journal of Control. 1986. Vol. 43. N. 3. P. 997-1002.

[2] Acemoglu, D. & Robinson, J. A. Economic origins of dictatorship and democracy // Cambridge University Press. 2006.

[3] Amir, R. Stochastic games in economics and related fields: an overview // Stochastic Games and Applications. 2003. Vol 570. P. 455-470.

[4] Amit, R. Petroleum reservoir exploitation: switching from primary to secondary recovery // Operations Research. 1986. Vol. 34. N. 4. P. 534-549.

[5] Andres, J. Wage and strikes determination in an economy with two trade unions. A differential game approach // Facultad de Ciencias Economicas y Empresariales. Decanato. 1987.

[6] Anevlavis, T., Papavassilopoulos, G., Engwerda, J. & Van Aarle, B. Debt stabilization in the presence of endogenous risk premia: A dynamic game approach // Macroeconomic Dynamics. 2019. Vol. 23. N. 7. P. 2616-2648.

[7] Azhmyakov, V., Attia, S. A., Gromov, D. & Raisch, J. Necessary optimality conditions for a class of hybrid optimal control problems. In: Bemporad, A., Bicchi, A. & Buttazzo, G. (eds) Hybrid Systems: Computation and Control // Springer Berlin Heidelberg. 2007. Vol. 4416. P. 637-640.

[8] Balas, T. & Tur, A. The Hamilton-Jacobi-Bellman equation for differential games with composite distribution of random time horizon // Mathematics. 2023. Vol. 11. N. 2. P. 462.

[9] Beamon, B. M. Supply chain design and analysis: Models and methods // International Journal of Production Economics. 1998. Vol. 55. N. 3. P. 281-294.

[10] Bellman, R. The theory of dynamic programming // Bulletin of the American Mathematical Society. 1954. Vol. 60. N. 6. P. 503-515.

[11] Berkovitz, L. D. A variational approach to differential games // Princeton University Press. 1964. Vol. 52.

[12] Boltyanski, V. The maximum principle for variable structure systems // International Journal of Control. 2004. Vol. 77. N. 17. P. 1445-1451.

[13] Bressan, A. Noncooperative differential games // Milan Journal of Mathematics. 2011. Vol. 79. N. 2. P. 357-427.

[14] Chebotareva, A., Su, S., Tretyakova, S., & Gromova, E. On the value of the preexisting knowledge in an optimal control of pollution emissions // Contributions to Game Theory and Management. 2021. Vol. 14. P. 49-58.

[15] Clemhout, S. & Wan, H. Y. Differential games-economic applications // Handbook of Game Theory with Economic Applications. 1994. Vol. 2. P. 801-825.

[16] De Giovanni, P. The state of the art in static and dynamic games // European Business Review. 2009. Vol. 21. N. 6. P. 547-566.

[17] De Zeeuw, A. & He, X. Managing a renewable resource facing the risk of a regime-shift in the ecological system // Resource and Energy Economics. 2017. Vol. 48. P. 42-54.

[18] Dockner, E. Differential games in economics and management science // Cambridge University Press. 2000.

[19] Donnelly, C. Sufficient stochastic maximum principle in a regime-switching diffusion model // Applied Mathematics & Optimization. 2011. Vol. 64. N. 2. P. 155-169.

[20] Donnelly, C. & Heunis, A. J. Quadratic risk minimization in a regime-switching model with portfolio constraints // SIAM Journal on Control and Optimization. 2012. Vol. 50. N. 4. P. 2431-2461.

[21] Edgeworth, F. Y. Mathematical psychics: An essay on the application of mathematics to the moral sciences // Kegan Paul. 1881.

[22] Engwerda, J., Mahmoudinia, D. & Dalali Isfahani, R. Government and central bank interaction under uncertainty: A differential games approach // Iranian Economic Review. 2016. Vol. 20. N. 2. P. 225-259.

[23] Fujiwara-greve, T. Non-cooperative game theory // Springer Japan. 2015.

[24] Gao, Y. & Xiang, J. Simulation of optimal firepower assignment strategy in multi-target attack with system dynamics // Journal of System Simulation. 2006. Vol. 18. N. 2. P. 120-125.

[25] Gromov, D. & Gromova, E. Differential games with random duration: a hybrid systems formulation // Contributions to Game Theory and Management. 2014. Vol. 7. P. 104-119.

[26] Gromov, D. & Gromova, E. On a class of hybrid differential games // Dynamic Games and Applications. 2017. Vol. 7. N. 2. P. 266-288.

[27] Gromova, E. & Bolatbek, A. Value of information in the deterministic optimal resource extraction problem with terminal constraints // Applied Sciences. 2023. Vol. 13. N. 2. P. 703.

[28] Harsanyi, J. C. Games with incomplete information played by "Bayesian"players, I-III Part I. The basic model // Management Science. 1967. Vol. 14. N. 3. P. 159-182.

[29] Harsanyi, J. C. Games with incomplete information played by "Bayesian"players, I-III Part II. Bayesian equilibrium points // Management Science. 1968. Vol. 14. N. 5. P. 320-334.

[30] Harsanyi, J. C. Games with incomplete information played by "Bayesian"players, I-III Part III. The basic probability distribution of the game // Management Science. 1968. Vol. 14. N. 7. P. 486-502.

[31] Hung, N. M., Kemp, M. C. & Long, N. V. On the transition from an exhaustible resource-stock to an inexhaustible substitute // Contributions to Economic Analysis. 1984. Vol. 150. P. 105-122.

[32] Isaacs, R. Differential games: a mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization // Courier Corporation. 1999.

[33] Isaacs, R. Differential games: Their scope, nature, and future // Journal of Optimization Theory and Applications. 1969. Vol. 3. P. 283-295.

[34] J0rgensen, S. A survey of some differential games in advertising // Journal of Economic Dynamics and Control. 1982. Vol. 4. P. 341-369.

[35] J0rgensen, S. Sufficiency and game structure in Nash open-loop differential games // Journal of Optimization Theory and Applications. 1986. Vol. 50. N. 1. P. 189-193.

[36] J0rgensen, S., Kort, P. M. & Geert-Jan, C. Optimal investment, financing, and dividends: a Stackelberg differential game // Journal of Economic Dynamics and Control. 1989. Vol. 13. N. 3. P. 339-377.

[37] J0rgensen, S. & Zaccour, G. Differential games in marketing. // Springer Science & Business Media. 2003. Vol. 15.

[38] Kennedy, A. P., Sethi, S. P., Siu, C. C. & Yam, S. C. P. Cooperative advertising in a dynamic three-echelon supply chain // Production and Operations Management. 2021. Vol. 30. N. 11. P. 3881-3905.

[39] Khan, M. A. & Sun, Y. Non-cooperative games with many players // Handbook of Game Theory with Economic Applications. 2002. Vol. 3. P. 1761-1808.

[40] Kjeldsen, T. H. John von Neumann's conception of the minimax theorem: A journey through different mathematical contexts // Archive for History of Exact Sciences. 2001. Vol. 56. N. 1. P. 39-68.

[41] Leitmann, G. & Mon, G. Some geometric aspects of differential games // Journal of the Astronautical Sciences. 1967. Vol. 14. P. 56.

[42] Li, D. & Liu, D. Study on modeling of warship confrontation differential Games // Operations Research and Management Science. 2000. Vol. 9. N. 3. P. 47-50.

[43] Liu, D. & Jiang, Y. X. Extending research on mechanics-criterion for attack-defence in air combat // Flight Dynamics. 1998. Vol. 16. N. 3. P. 7-11.

[44] Liu, J. & Cui, N. Collision-avoiding research based on barrier theory for satellites formation flying // 2006 Chinese Control Conference. Harbin, China. 2006. P. 663-667.

[45] Long, N. V., Prieur, F., Tidball, M. & Puzon, K. Piecewise closed-loop equilibria in differential games with regime switching strategies // Journal of Economic Dynamics and Control. 2017. Vol. 76. P. 264-284.

[46] Martin-Herran, G. & Rubio, S. J. On coincidence of feedback and global Stackelberg equilibria in a class of differential games // European Journal of Operational Research. 2021. Vol. 293. N. 2. P. 761-772.

[47] Masoudi, N., Santugini, M., & Zaccour, G. A dynamic game of emissions pollution with uncertainty and learning // Environmental and Resource Economics. 2016. Vol. 64. N. 3. P. 349-372.

[48] Nash, J. F. Equilibrium points in n-person games // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1950. Vol. 36. N. 1. P. 48-49.

[49] Nash, J. F. Non-cooperative games // Annals of Mathematics. 1951. Vol. 54. N. 2. P. 286-295.

[50] Novak, A. J., Feichtinger, G. & Leitmann, G. A differential game related to terrorism: Nash and Stackelberg strategies // Journal of Optimization Theory and Applications. 2010. Vol. 144. N. 3. P. 533-555.

[51] Peleg, B. & Sudholter, P. Introduction to the theory of cooperative games // Springer Berlin Heidelberg. 2007.

[52] Petrosyan, L. A. Differential games of pursuit. // World Scientific. 1993.

[53] Petrosyan, L. A. Time-consistency of solutions in multi-player differential games // Astronomy. 1977. Vol. 4. P. 46-52.

[54] Petrosyan, L. A. & Danilov, N. N. Stability of solutions in non-zero sum differential games with transferable payoffs // Viestnik of Leningrad Universtiy. 1979. Vol. 1. P. 52-59.

[55] Petrosyan, L. A. & Shevkoplyas, E. V. Cooperative solution for games with random duration // Game Theory and Applications. 2003. Vol. 9. P. 125-139.

[56] Petrosyan, L. A. & Yeung, D. W. K. Game theoretic analysis // World Scientific. 2019.

[57] Petrosyan, L. A. & Yeung, D. W. K. Multiplayer cooperative stochastic differential games. In: Cooperative stochastic differential games // Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer, NY. 2006. Vol 1. P. 157-198.

[58] Petrosyan, L. A. & Zenkevich, N. A. Game theory // World Scientific. 1996.

[59] Polasky, S., De Zeeuw, A. & Wagener, F. Optimal management with potential regime shifts // Journal of Environmental Economics and Management. 2011. Vol. 62. N. 2. P. 229-240.

[60] Pontryagin, L. S. Mathematical theory of optimal processes // Routledge. 2018.

[61] Pontryagin, L. S. On the theory of differential games // Russian Mathematical Surveys. 1966. Vol. 21. N. 4. P. 193.

[62] Reinganum, J. F. A class of differential games for which the closed-loop and open-loop Nash equilibria coincide // Journal of Optimization Theory and Applications. 1982. Vol. 36. N. 2. P. 253-262.

[63] Riedinger, P., lung, C. & Kratz, F. An Optimal Control Approach for Hybrid Systems // European Journal of Control. 2003. Vol. 9. N. 5. P. 449-458.

[64] Schmitendorf, W. E. Existence of optimal open-loop strategies for a class of differential games // Journal of Optimization Theory and Applications. 1970. Vol. 5. N. 5. P. 363-375.

[65] Selten, R. Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games // International Journal of Game Theory. 1975. Vol. 4. N.1. P. 25-55.

[66] Shaikh, M. S. & Caines, P. E. On the hybrid optimal control problem: Theory and algorithms // IEEE Transactions on Automatic Control. 2007. Vol. 52. N. 9. P. 1587-1603.

[67] Shapley, L. S. Stochastic games // Proceedings of the national academy of sciences. 1953. Vol. 39. N. 10. P. 1095-1100.

[68] Shevkoplyas, E. V. The Hamilton-Jacobi-Bellman equation for a class of differential games with random duration // Automation and Remote Control. 2014. Vol. 75. N. 5. P. 959-970.

[69] Shevkoplyas, E. V. & Kostyunin, S. Y. A Class of Differential Games with Random Terminal Time // Game Theory and Applications. 2013. Vol. 16. P. 177-192.

[70] Shevkoplyas, E. V. & Kostyunin, S. Y. Modeling of environmental projects under condition of a random time horizon // Contributions to Game Theory and Management. 2011. Vol. 4. P. 447-459.

[71] Simaan, M. & Cruz, J. B. On the solution of the open-loop Nash Riccati equations in linear quadratic differential games // International Journal of Control. 1973. Vol. 18. N. 1. P. 57-63.

[72] Su, S. & Tur, A. Estimation of initial stock in pollution control problem // Mathematics. 2022. Vol. 10. N. 19. P. 3457.

[73] Tang, S. T. Performance comparison of differential game and improvement proportional navigation guidance laws // Journal of Astronautics. 2002. Vol. 23. N. 6. P. 38-42.

[74] Tomiyama, K. Two-stage optimal control problems and optimality conditions // Journal of Economic Dynamics and Control. 1985. Vol. 9. N. 3. P. 317-337.

[75] Tsur, Y. & Zemel, A. Optimal transition to backstop substitutes for nonrenewable resources // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. Vol. 27. N. 4. P. 551-572.

[76] Tur, A., Gromova, E. & Gromov, D. On the estimation of the initial stock in the problem of resource extraction // Mathematics. 2021. Vol. 9. N. 23. P. 3099.

[77] Vahlo, J., Kaakinen, J. K., Holm, S. K. & Koponen, A. Digital game dynamics preferences and player types // Journal of Computer-Mediated Communication. 2017. Vol. 22. N. 2. P. 88-103.

[78] Vallee, T. & Moreno-Galbis, E. Optimal time switching from tayloristic to holistic workplace organization // Structural Change and Economic Dynamics. 2011. Vol. 22. N. 3. P. 238-246.

[79] Von Neumann, J. & Morgenstern, O. Theory of games and economic behavior: 60th anniversary commemorative edition // Princeton University Press. 2007.

[80] Wei, J. & Wang, C. A differential game analysis on green technology innovation in a supply chain with information sharing of dynamic demand // Kybernetes. 2023. Vol. 52. N. 1. P. 362-400.

[81] Wu Y., Tur A. & Wang, H. Sustainable optimal control for switched pollution-control problem with random duration // Entropy. 2023. Vol. 25. N. 10. P. 1426.

[82] Wu, Y., Tur, A. & Ye, P. Sustainable solution for hybrid differential game with regime shifts and random duration // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2025. Vol. 55. P. 101553.

[83] Yan, H., Sun, Y. & Zhu, Y. A linear-quadratic control problem of uncertain discrete-time switched systems // Journal of Industrial & Management Optimization. 2017. Vol. 13. N. 1. P.267-282.

[84] Yan, H. & Zhu, Y. Bang-bang control model for uncertain switched systems // Applied Mathematical Modelling. 2015. Vol. 39. N. 10-11. P. 2994-3002.

[85] Yan, H. & Zhu, Y. Bang-bang control model with optimistic value criterion for uncertain switched systems // Journal of Intelligent Manufacturing. 2017. Vol. 28. N. 3. P. 527-534.

[86] Yang, L., Zhang, C. & Zhu, H. Stochastic differential game for linear Markov switching system with Poisson jumps and its application to financial market // Journal of Systems Science & Mathematics. 2018. Vol. 38. N. 5. P. 537-552.

[87] Yang, L., Zhang, C., Zhuang, Y. & Xu, M. Study on the uncertain differential game of low-carbon supply chains with government participation // Journal of Financial and Economics Theory. 2024. Vol. 218. N. 3. P. 1-9.

[88] Ye, P. A differential investment game with unknown utility switching moment // Contributions to Game Theory and Management. 2024. Vol. 17. P. 219-230.

[89] Ye, P., Tur, A. & Wu Y. Non-renewable resource extraction model with uncertainties // Games. 2025. Vol. 16. N. 5. P. 52.

[90] Ye, P., Tur, A. & Wu, Y. On the estimation of the switching moment of utility functions in cooperative differential games // Kybernetes. 2024. Vol. ahead-of-print. N. ahead-of-print. P. ahead-of-print.

[91] Yin, S. & Li, B. A stochastic differential game of low carbon technology sharing in collaborative innovation system of superior enterprises and inferior enterprises under uncertain environment // Open Mathematics. 2018. Vol. 16. N. 1. P. 607-622.

[92] Yin, S. & Li, B. Transferring green building technologies from academic research institutes to building enterprises in the development of urban green building: A stochastic differential game approach // Sustainable Cities and Society. 2018. Vol. 39. P. 631-638.

[93] Yiu, K. F. C., Liu, J., Siu, T. K. & Ching, W. K. Optimal portfolios with regime switching and value-at-risk constraint // Automatica. 2010. Vol. 46. N. 6. P. 979-989.

[94] Zaremba, A. P. Cooperative differential games with the utility function switched at a random time moment // Automation and Remote Control. 2022. Vol. 83. N. 10. P. 1652-1664.

[95] Zhang, B.J.F. Challenges and opportunities facing game theory and control: an interview with Tamer Basar // National Science Review. 2020. Vol. 7. N. 7. P. 1142-1146.

[96] Zhu, H., Zhi, J., Zhang, C. & Ning, B. Linear quadratic zero-sum stochastic differential games with Markov regime switching // Journal of Systems Science & Mathematics. 2013. Vol. 33. N. 12. P. 1391-1403.

[97] Zhu, Y. Optimal control for switched uncertain systems. In: uncertain optimal control // Springer Uncertainty Research. Springer, Singapore. 2018. P. 121155.