Дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Бесселя и решение задач для многомерных сингулярных уравнений Гельмгольца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Джабраилов Ахмед Лечаевич

• Джабраилов Ахмед Лечаевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Джабраилов Ахмед Лечаевич

Введение

1. Итерированное сингулярное уравнение Гельмгольца и обобщенный потенциал Бесселя

1.1 Пространства, специальные функции, преобразование Ханкеля, операторы преобразования

1.2 Сингулярное уравнение Гельмгольца

1.3 Обобщенное ядро Бесселя и его свойства

1.4 Определение обобщенного потенциала Бесселя и его свойства

1.5 Применение обобщенного потенциала Бесселя к решению неоднородного итерированного сингулярного уравнения Гельмгольца

2. Сингулярное уравнение Гельмгольца дробного порядка

2.1 Представление обобщенного потенциала Бесселя через ядро Пуассона общего вида

2.2 Представление обобщенного потенциала Бесселя через обобщенный интеграл Гаусса-Вейерштрасса и сингулярное уравнение теплопроводности

2.3 Первое определение дробного В-дифференцирования Гельмгольца

2.4 Второе определение дробного В-дифференцирования Гельмгольца

2.5 Решение сингулярных уравнений Гельмгольца дробного порядка

3. Дифференциальные свойства и пространства обобщенных потенциалов Бесселя

3.1 Определение и элементарные свойства весового интеграла Дирихле

о

3.2 Нахождение подходящей нормы для С^и функциональное пополнение

3.3 Классы обобщенных потенциалов Бесселя

3.4 Совершенное функциональное пополнение класса Т^

3.5 Определение ёмкости, основанное на обобщенном потенциале Бесселя

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Бесселя и решение задач для многомерных сингулярных уравнений Гельмгольца»

Введение

Актуальность темы диссертации. Данная диссертация посвящена изучению классов многомерных сингулярных дифференциальных уравнений как целого, так и дробного порядков, а также пространств, связанных с такими уравнениями. В качестве основного инструмента для решения этих уравнений и определения соответствующих пространств используются обобщенные потенциалы Бесселя. Метод потенциалов изначально применялся к решению задач для уравнения Лапласа, а затем был распространен на решение задач для волнового уравнения, а также для уравнения Гельмгольца и Пуассона. В настоящее время метод потенциалов является важным и широко используемым инструментом для решения дифференциальных уравнений, особенно в таких областях, как физика, механика, электродинамика, гидродинамика и других.

Степень разработанности темы исследования. Дробные отрицательные степени операторов Лапласа и Даламбера были введены М. Риссом. Такие операторы теперь называются потенциалами Рисса и классифицируются на эллиптические и гиперболические. Дальнейшее изучение свойств и приложений потенциалов Рисса, а также обращение эллиптических потенциалов, было проведено Л. Шварцем, И. Стейном, С. Хелгасоном, С. Г. Самко и В. А. Ногиным. Потенциалы Бесселя рассматривали Н. Ароншайн, К. Т. Смит и Кальдерон.

Следует отметить, что потенциалы Бесселя порождают пространства функций дробной гладкости, которые применяются для исследования некоторых уравнений в частных производных. С помощью потенциалов Бесселя строятся пространства Соболева дробного порядка. Первые результаты о пространствах бесселевых потенциалов были получены И. Стейном и П. И. Лизоркиным. Обращение бесселевых потенциалов впервые было получено В. А. Ногиным с использованием гиперсингулярных интегралов.

В работах Я. И. Житомирского и М. И. Матийчука были разработаны методы для решения задач параболических линейных уравнений в частных производных, содержащих оператор Бесселя. Методы решения задач для уравнений гиперболического типа с оператором Бесселя, действующим по времени, развивались в работах Р.В. Кэрролла, Р.И. Шоултера, Д.В. Брестерса, А. Ванштейна, М.М. Смирнова, С.А. Терсенова и других. Эллиптические сингулярные дифференциальные уравнения в частных производных с оператором Бесселя рассматривались И. А. Киприяновым, Л. А. Ивановым и другими.

Цели и задачи исследования. Основная цель диссертационной работы состоит в решении задач для многомерных сингулярных уравнений Гельмгольца как целого, так и дробного порядков, а также в изучении дифференциальных свойств обобщенных потенциалов Бесселя.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Рассмотреть принцип максимума и минимума для решения задачи для сингулярного уравнения Гельмгольца.

2. Изучить обобщенное ядро Бесселя, обобщенный потенциал Бесселя и их свойства, а также применить обобщенный потенциал Бесселя к решению неоднородного итерированного сингулярного уравнения Гельмгольца.

3. Исследовать обобщенные ядра Пуассона и Гаусса-Вейерштрасса и их связь с обобщенным потенциалом Бесселя и с сингулярным уравнением теплопроводности.

4. Определить дробное В-дифференцирование Гельмгольца и решить сингулярные уравнения Гельмгольца дробного порядка

5. Ввести нормы в пространстве обобщенных бесселевых потенциалов. и показать, что классы обобщенных потенциалов Бесселя с введенной нормой являются функциональным пространством.

6. Построить функциональное пополнение класса финитных, четных, бесконечно дифференцируемых на ортанте функций. Определить ёмкости, основанные на обобщенном потенциале Бесселя.

Научная новизна. В диссертационной работе представлен комплексный подход к исследованию многомерных сингулярных уравнений Гельмгольца, как целого, так и дробного порядков, с использованием обобщенных потенциалов Бесселя. Результаты диссертационной работы представляют собой важные шаги в развитии теории сингулярных уравнений и потенциалов Бесселя, и имеют значительное значение как для теоретических исследований, так и для практических приложений.

Методология и методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием известных методов теории сингулярных дифференциальных уравнений, теории интегральных уравнений, теории операторов и теории потенциалов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории начальных и краевых задач для уравнений с операторами Бесселя, а также соответствующих пространств. Институтом математики, физики и компьютерных технологий ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет им. А.А. Кадырова», материалы данного исследования были включены в дисциплину по выбору «Дополнительные главы математического анализа», направления обучения «Математика», уровень подготовки магистратура, а также факультетом физики, математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «Чеченский государственный педагогический университет», материалы данного исследования были включены в дисциплину по выбору «Дополнительные главы математического анализа», направления обучения «Математическое образование», уровень подготовки магистратура.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказан принцип максимума и минимума для решения задачи для сингулярного уравнение Гельмгольца. Доказана теорема о единственности решения краевой задачи для сингулярного уравнения Гельмгольца.

2. Получены свойства обобщенного потенциала Бесселя. Обобщенный потенциал Бесселя применен к решению неоднородного итерированного

сингулярного уравнения Гельмгольца.

3. Исследованы обобщенные ядра Пуассона и Гаусса-Вейерштрасса. Доказаны теоремы о выражении обобщенного потенциала Бесселя через эти ядра и теорема о выражении решения сингулярного уравнения теплопроводности через обобщенное ядро Гаусса-Вейерштрасса.

4. Определено дробное В-дифференцирование Гельмгольца и решены сингулярные уравнения Гельмгольца дробного порядка.

5. Введены новые нормы в пространстве обобщенных бесселевых потенциалов и показано, что классы обобщенных потенциалов Бесселя с введенной нормой являются функциональным пространством.

6. Построено функциональное пополнение класса финитных, четных, бесконечно дифференцируемых на ортанте функций. Определена ёмкость, основанная на обобщенном потенциале Бесселя, и доказаны ее свойства.

Степень достоверности и апробация результатов исследования.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются российскими и международными базами данных.

Основные результаты автора докладывались им на следующих международных и всероссийских научных конференциях, а также на семинарах:

1. Грозный, II Международная научно-практическая конференция, «Современная математика и ее приложения», доклад «Обращение и свойства обобщенного потенциала Бесселя», 2021;

2. Белгород, International Conference «Differential Equations, Mathematical Modeling and Computational Algorithms», доклад «Обобщенный потенциал Бесселя и его свойства», 2021;

3. Воронеж, «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», доклад «Обобщенный потенциал Бесселя и его

обращение», 2021;

4. Ростов-на-Дону, «Modern Methods and Problems of Operator Theory and Harmonic Analysis and Applications-2022», (OTHA-2022), доклад: «Понятие ёмкости, основанное на обобщенном потенциале Бесселя», 2022;

5. Воронеж, Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», доклад: «Применение обобщенного потенциала Бесселя к решению неоднородного сингулярного уравнения Пуассона», 2022;

6. Владикавказ, Международный научный семинар «Теория операторов, дифференциальные уравнения и их приложения» (OTDE-Seminar). Доклад на тему: «Об обобщенном потенциале Бесселя и сингулярном уравнении теплопроводности», 2023;

7. Санкт-Петербург, Международная научно-практическая конференция «76-е Герценовские чтения. Современные проблемы математики и математического образования». Секция «Современные проблемы теории дифференциальных уравнений». Доклад на тему: «Об обращении обобщенных потенциалов Бесселя», 2023.

Публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, изложены в следующих работах [7-19,64]. Из них 6 статей опубликованы в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК (см. [9-11,14,15]). Статья [64] входит в международную базу Web of Science, а переводные версии статей [11, 15] входят в международную базу SCOPUS. Научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. Из совместных статей [7-13, 15, 16, 64] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 119 страниц. Список литературы содержит 100 наименований.

Первая глава диссертации посвящена свойствам обобщенного потенциала Бесселя и его применению к решению итерированного сингулярного уравнения Гельмгольца.

В разделе 1.1 рассматриваются пространства, специальные функции, преобразование Ханкеля, операторы преобразования.

Будем иметь дело с п-мерным евклидовым пространством 1п, открытым ортантом К+={ж=(ж1,..., хп) Е 1п, Ж1>0,..., жп>0} и замкнутым ортантом К +={ж=(ж1,... , жп) Е 1п, ж1>0,..., жп>0}. Пусть 7=(7ь ..., 7п) — мультииндекс, состоящий из положительных действительных чисел 7, > 0, ¿=1,..., п, и, пусть, |71=71+.. .+7п.

В диссертации теория строится вокруг сингулярного дифференциального оператора Бесселя вида

/ ^ ч V ^ ,

(Д,)« = ^ + Ш, (>0 "> 0. (001)

Оператор Лапласа-Бесселя имеет вид

А =У — + ^ А. (0.0.2)

7 дж;2 ж, дж

¿=1 1

Пусть Ь7(1+) = Ь7, 1<р<то — пространство измеримых на 1+ функций, четных по каждой из переменных ж,, г = 1,...,п при х Е 1п, таких, что

п

/ |/(ж)|рж7¿ж < то, ж7 = П х74. Для вещественного р > 1, Ь7-нормафункции

1+ ¿=1

/ определяется равенством

||/||ьр(1+) = ||/||ьр = ||/||р,7 = ( J |/(х)|Рх7.

1+

Пусть О — конечное или бесконечное открытое множество в 1п, симметричное относительно каждой гиперплоскости х,=0, г = 1,..., п, О+ = О П 1+ и О+ = О П 1+, где 1 +={х=(ж1,...,Хп)ЕКп,Х1 >0,..., Хп>0}. Будем иметь дело с классом функций Ст(О+), состоящим и т-раз дифференцируемых на О+ функций. Обозначим через Ст(О+) подмножество Ст(О+) функций, таких, что все существующие производные этих функций

по ж, для всех г = 1,...,п непрерывны вплоть до х,=0. Класс С^^(О+)

- д2к + 1£ |

состоит из всех функций из Ст(О+), таких, что дх2к+1 |х=0 = 0 для всех

неотрицательных целых к < т-1. Далее класс Ст (1+) будем обозначать Ст.

_ 00 _ _

Положим С~(О+) = р| Ст(О+), С-(1+) = С~.

т=1

Пусть СТО— пространство всех функций /еСТОс конечным носителем.

В разделе 1.2 рассматривается краевая задача для сингулярного уравнения Гельмгольца и доказывается теорема о единственности решения.

Пусть С — ограниченная область с ляпуновской границей дП+. Граница дявляется ляпуновской, если в каждой точке х е дсуществует вектор нормали V и существуют положительные константы Ь и а такие, что угол 6(х,у) между нормалями удовлетворяет условию 6(х,у) < Ь|х — у|а, для всех х, у е д

Пусть Д7 определен равенством (0.0.2).

Лемма 0.0.1. Для ф < 0 (ф > 0) решение уравнения и — Д7и = ф не может достигать своего локального положительного (отрицательного) максимума (минимума) во внутренней точке области

Теорема 0.0.1. Краевая задача

и — Д7и = ф; и(х) = ^(х).

в неограниченной области С может иметь не более одного

решения из класса функций О^ (П+), равномерно стремящихся к нулю на бесконечности.

В разделе 1.3 рассмотрено обобщенное ядро Бесселя, которое порождает обобщенный потенциал Бесселя и доказаны его свойства.

Нормированная функция Бесселя первого рода определяется формулой

, , 2Г(v + 1)

з(г) = —2 Jv3"(0) = 1.

Здесь — функция Бесселя первого рода, которая при нецелых V имеет вид

то

Л (г)= Е

(—1)т /г\2т+

т!Г(т + V + 1)12/

т=0 4 / \ /

При целых V функция получается предельным переходом. Для х е

+

будем использовать обозначение

п

Ь (ж,£ ^ Ь7 (0,£) = 1

¿=1

как

Многомерное преобразование Ханкеля функции /еЬ7 (1+) определяется

[/](£) = [/(ж)](е) = Ж) = /(ж) Ь7 (ж; £)ж7¿ж.

Формула обращения преобразования Ханкеля имеет вид

2п"Ы

Г-'[Ж )](ж) = / (ж) =

IV

П Г2( ^):

^' = 1

Ь(ж,£)/(£)£7

Обобщенное ядро Бесселя представляет собой прообраз преобразования Ханкеля функции (1 + |£|2)-а/2:

са(ж) = Е-1[(1 + |£|2)-а/2](ж).

Лемма 0.0.2. Для С7(ж) следующие утверждения являются верными

(1) с (ж) =

2-2-

+1

п+| 7|— а

К

п+17|— а

^г(а) п г()

1=1

функция Бесселя второго рода

(|ж|), где К — модифицированная

(2) С7 (ж) бесконечно дифференцируема вне начала координат,

(3) для |ж| —У 0 функция С7(ж) допускает оценку

С7(ж)

2п-|7|

' г( "+|т|—а Ч

1 ( 2 ) |а-п-|7|

2

2а—|7| 1п

-1 ж |

п

г (а )п г (^)

¿=1

21-п (1п (Н) + ^ ,

< —

Г ¡' а—п—17

X —2—ц) 2п

0 < а < п + |71; а = п + |71; п + |71 < а.

($ — постоянная Эйлера-Маскерони),

(4) для |ж| — то функция С7(ж) допускает оценку

са (ж)

__ п—Ы—а+1

2 2—

-М

I | п+|7|—а+1

|ж| 2

п

г (а) п г (^)

¿=1

(5) d(x) e LY(R+).

Многомерный обобщенный сдвиг определяется равенством

(Y T If )(x) = Y T If (x) = (TX1...Yn Tyn f )(x),

где ТУ®, i=1, ...,n действует по формуле

Г (Yi±I ) (YTy f )(x)= (x

x J f (x,.....x:-,, + Tf - 2.x!y,: cos ф, xi+1, ..., x„) sin-' ф d*,

0

Далее будем использовать обозначение

n Г(Y±1 \

C )=n—n в w ■

Обобщенная свертка, порожденная 7Tx, имеет вид

(f * g)7(x) = (f * g)7 = J f (y)(YTXg)(x)yY dy. (0.0.3)

R+

Лемма 0.0.3. Для обобщенного ядра Бесселя справедливы следующие свойства

(1) (G * G)Y = G^+e, а > 0, в > 0, где (G * G)Y — обобщенная свертка (0.0.3),

(2) (I - Д7)kGa±?k = G, k e N,

(3) f G(x)xYdx = 1.

R+

В разделе 1.4 рассмотрен обобщенный потенциал Бесселя и доказаны его свойства.

Определим обобщенный потенциал Бесселя соотношением (G?*)(x) = (G(x) * p(x))7 = J G(y)(YTX^(x))yYdy.

R+

Потенциал Ga представляет собой дробное интегрирование, которое является дробной степенью (I — Д7)-a/2, а > 0, где I — единичный оператор,

Д7 — оператор Лапласа-Бесселя (0.0.2). Принимая во внимание лемму 2

имеем: G^G^ф,

Линейный оператор A имеет слабый тип (p,q)Y, если он определен на Lp (R+), имеет значения из LY (R+) и выполняется неравенство Mf || SLY (R+) <к || f || Vf GLY(R+).

Теорема 0.0.2. (1) Для всех a > 0 оператор Ga отображает Lp(R+) в себя с нормой || • ||i,7.

(2) Для всякой функции фeLY(R+), 1<p<q<<x>, где 1=1—, 0<a<n+|Y|

а,

Y ф II <

существует константа С=С(n,Y,a,p) < ж, такая, что ||Gaф\|< С ||ф||р,7.

(3) Если фeLY(R+), то (G^,р)<Лпла (||ф||1?7/в)9, для всех в>0.

Другими словами, отображение ф ^ имеет слабый (1,д)7 тип

11 а

пРи 1=1-п+ог^Т •

В разделе 1.5 обобщенный потенциал Бесселя применен к решению неоднородного итерированного сингулярного уравнения Гельмгольца.

Лемма 0.0.4. Пусть к е N ф е С2^(К+) и ф е (К+), 1 < р < ж, тогда

Са+2к (I - д^)кф = Саф,

где Д7 — оператор Лапласа-Бесселя (0.0.2).

Теорема 0.0.3. Пусть кеМ, хеК+, ф=ф(х), и=и(х), феС2ки феЬр(К+), 1<р<ж, тогда u=GYkф есть решение уравнения

(I - Д7)ки = ф, к = 1,2,...

При этом u=GYkф е Ьр (К+).

Вторая глава диссертации посвящена сингулярному уравнению Гельмгольца дробного порядка.

В разделе 2.1 показано, что обобщенный потенциал Бесселя функции, интегрируемой в р-й степени со степенным весом, может быть представлен одномерным интегралом при помощи ядра Пуассона.

Функцию

2«г (п+Ы+Л

(х, 6) = 3 2 \ 6 (62 + |х|2)-^, 6 > 0.

уп П г(+)

¿=1 4 ;

будем называть общим ядром Пуассона.

Лемма 0.0.5. Преобразование Ханкеля функции е-имеет вид

Г7 [е-5|х|](^)

п

2|7|^ г Г

¿=1

п+Ы+1

11 ПЧ' уп(62 + |« р) ^ ■

Лемма 0.0.6. Функция Р7(х,6) обладает свойствами

1. р(х,6)](0 = е-,

2. § Р7(х,6)х7¿х = / Р7(х, 1)х7¿х = 1,

м+ м+

3. Р7(х, 6) е Ь7, 1 < р < то.

Лемма 0.0.7. Если / е Ь7, 1 < р < то или / е Со С ЬТО, то || (Р7)й/)(х) — /(х) ||р)7 ^ 0 при 6 ^ 0, где (Р7)Й])(х) = (/(х) * Р7(х,6))7.

Пусть г > 0. Рассмотрим интеграл вида

(рф)(х) = / Р7(у,г)(7Т^ф(х))у7¿у.

м+

Здесь Р7(у, г) ядро, которое имеет вид

(х, 6) = 3 2 \ 6 (62 + |х|2)-^, 6 > 0.

уп ПП г(+)

¿=1 4 ;

Интеграл р7 будем называть обобщенным интегралом Пуассона.

Теорема 0.0.4. Пусть ф е Ь7(К+), 1 < р < то, 0 < а < 2(п + |т| + 1). Тогда

, 00 2 ^ Г а-1

(С?ф)(х) = г--1 Ла-1 (г)(Р7ф)(х)^г,

где р7 — обобщенный интеграл Пуассона.

2

В разделе 2.2 рассмотрено обобщение ядра Гаусса-Вейерштрасса, являющееся решением сингулярного уравнения теплопроводности, и соответствующий ему интеграл.

Лемма 0.0.8. Для ядра типа Гаусса-Вейерштрасса

2-М е-

(х,£) =

п и+\1\

п .....

¿=1

10 , , Пг () £ -Т

справедливы следующие свойства:

(1) ядро (2.2.1) допускает оценку вида

0 < \¥7(х,г) <

£ 2

для всех х € К±, Ь > 0 и (х,£) является решением сингулярного уравнения теплопроводности вида

щ = Д7и, и = и(х, Ь),

(2) если Ь > 0, п > 0 и д — измеримая на (0, ж), то

ж

д(|х|2)Жт (х,£)х7 ¿х = —т-^ д(4Ьа)е-8з

] Г /п+Ы\ ]

|ж|>п V 2 / П2

44

всякий раз, когда интеграл справа существует. В частности, Ж7(х,Ь) является усредняющим ядром

/ Жу(х, £)х7¿х = 1

и

Г/|х|2\а Г^ + « / ЧМ (х, £)х7¿х = -^.

у V 4£ У 7( , ) г (п±ЬП

М+ Г V 2 )

Лемма 0.0.9. Пусть ф — измеримая на К± функция такая, что обобщенный интеграл Гаусса-Вейерштрасса вида

(V?ф)(х) = и7(х,£)= ( Ж7(у,£)(7Т^ф(х))у7<!у

от ф существует в точке (а, Ь), а € М+, Ь > 0 и пусть Б = М+ х (0, Ь). Тогда и7(ж,£) существует для всех (ж,£) € Б и и7(ж,£) — есть решение уравнения теплопроводности вида щ = Д7и, и = и(ж,£) на Б.

Теорема 0.0.5. Пусть а > 0, 1 < р < то, ф € Ь7 и и7(ж,£) — обобщенный интеграл Гаусса-Вейерштрасса функции ф на Тогда обобщенный потенциал Бесселя С7ф почти для всех ж совпадает с интегралом

00

С?ф(ж) = ГТ^У У ^ 1 е Ч(ж,£)^.

V ^ 0

В разделе 2.3 основным результатом является вывод одной из форм обращения обобщенного потенциала Бесселя, полученная в терминах аппроксимативного обратного оператора с использованием метода улучшающего множителя. Это обращение примем за первое определение дробного В-дифференцирования Гельмгольца.

Пусть

Бе^ = /€С~ : вир |жаВв/(ж)| <то Уа,в€Ж

п

жбМ" +

где а=(а1,..., ап), в = (въ— , вп), а1,..., ап, въ..., вп — целые неотрицательные

д

числа, жа=ж?1 ж?2... жа-, =М...В", .

; 12 п > х1 ^ дж

Лемма 0.0.10. Пусть

о1-|7| Г

<£(ж)=--—-^^ I -1(г|ж|)(1+г2)а/2 е-£г гп+|7|-1^г, ф € Бе^.

о

=1

Тогда оператор

П Г (^т1) Г (

(са,£)-1ф = (С * ф)7 = д1Ш тХф(ж))^7 ^

ограничен в Ь7, 1 < р < +то.

Теорема 0.0.6. Пусть ф € Б^. Тогда справедлива формула

((са>е )-1с7аф)(ж) = (р7>еф)(ж),

где (Р7,£ф)(ж) = (ф(ж) * Р7(ж,е))7.

Дробное В-дифференцирования Гельмгольца первого типа

определим посредством предельного перехода

i(1 -Д7)аф(х) =l| (f-1[(1 + |2)f/2 • e-^](x) * ,

где предел понимается в смысле нормы в LY.

В разделе 2.4 строится оператор, обратный к В-потенциалу Бесселя, при помощи введенного Адамаром понятия «конечной части» сингулярного интеграла.

Введем функцию

2 п-Ы+а +1 +

w-ал(|x|) =-n-|x|^^ Kn+ы+а(|x|). (0.0.4)

Г (-а )П г ( ) 2

i=1

Теорема 0.0.7. Пусть ф(х) G Sev и а > 0. Тогда справедливо представление

/^(Ы) \ Г YT Уф) - (Р1-1ф)(х) p.f. {* ф) = J -|у|-+Ы+а-^-а.7(|У|) У7 dy+

Y R+

n

22|m| П Г (^f + т{)Г (|m| - f)

+ £ Ст(Вутф)(х)-^---,a<£eN,

|2т|<1-1 Г (-f) П Г

i=1

где

/ 7 \P— 1 \ / \ X ^ >y / -i^im \ ,

1

(P-V)(*)= £ ст(втФ)(х)у2т

у ууу / / ^ >т\^х

|2т|<1-1

— отрезок ряда Тейлора-Дельсарта функции ф, т=(т1, ...,тп) мультииндекс, состоящий из неотрицательных целых чисел,

у2т=у2т; ...уПтп, (В^ф)(х) = в;;1 ...в7т„пф(хь...,хп),

. n Г(Y+1) Z Y = 1 П ^ 2 )

Zm 22|т|т! 1=1 Г (mi + Yä+i),

и т! = т1! • ... • mn!.

Дробное В-дифференцирования Гельмгольца второго типа

определим формулой

7ТХф(х) - (р1-У)(ж)

|у|п+Ы+« (

2(1 - А7 ) 22 ф = / -- ^-«,7 (|У |) У7 (У +

22|ш^ г + г (|т| -

+ Е ст(ВхтФ)(х)

_ 5т\ Ж г/у / п

|2т|<1-1 Г (-|) П Г

¿=1

В разделе 2.5 решаются два сингулярных уравнения дробного порядка с дробным В-дифференцированием Гельмгольца первого и второго типа.

Теорема 0.0.8. Пусть , 1<р<+то. Тогда м(ж)=Саф(ж) является решением дифференциального уравнения дробного порядка вида

1(1 -Д7)а и(ж) = ф(ж).

Теорема 0.0.9. Пусть фЕб^. Тогда м(ж)=Саф(ж) является решением дифференциального уравнения дробного порядка вида

2(1 -Д7 ) а и(ж) = ф(ж).

Третья глава диссертации посвящена классам функций, подходящим для рассмотрения в них краевых задач для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя (0.0.1), а также определение ёмкости, основанное на обобщенном потенциале Бесселя.

В разделе 3.1 определяется и выражается через функцию и ее производные весовой интеграл Дирихле по К±.

Пусть г = (¿1,...,£т) — мультииндекс, состоящий из целых чисел от

т

1 до п КНт ^=(^1,...,^п) С= П , и в»=(в7гткт...(в7г1 К, где к,

к=1

— оператор Бесселя вида (0.0.1), к=1,...,т. Для целого числа а>0 весовой интеграл Дирихле порядка а определяется формулой

(1ал(и) = J |®*и|2ж7(ж.

|г|=а Кп

о

Лемма 0.0.11. Для 0 <а< 1/2 и функции и е С ТО (^+) справедливо равенство

(а,7 (и) = ^ |£ ^^ [и](£ )|^7 ¿С =

= с (Ла)/ / |и(У'- и(ж)|2 (7 т |у |»±-,1+4<>) ж'7У7

где

21-|7 |-4ап

С (п, 7, а) =

в1п(2ап)Г(2а + 1)Г (^ + 2а) П Г ()

^ ' ¿=1

В разделе 3.2 рассматривается вопрос о том, в каком пространстве и с

о

какой нормой множество С ТО (^+) плотно.

±1 I о

Лемма 0.0.12. Если а > п±р|, то пространство СТО нормированное у/(а,7, не является функциональным пространством относительно любого исключительного класса.

\ 1/2

Лемма 0.0.13. Нормы у7^ и |и|а,7= ( / (1 + |С|4а)|Г7[и](С)|2С7(С '

о

эквивалентны на С ТО (^+).

Рассмотрим нормированный функциональный класс , полученный

о

введением в классе С ТО ) нормы |и|а,7.

Теорема 0.0.10. ^ имеет функциональное пополнение относительно исключительного класса множеств весовой лебеговой меры нуль.

В разделе 3.3 рассматриваются классы обобщенных потенциалов Бесселя.

о -

Одна из простейших норм на СТО(^+), эквивалентная |и|а,7 и у(а,7, имеет вид

/ V2

1и1|а,7 —

(1 + 1С |2)2а|Е7 [и](С )|2с ^ (^

/

Лемма 0.0.14. Норма ||м||а,7 может быть представлена с помощью сверточных ядер (0.0.4), порождающих обобщенный потенциал Бесселя

n

= 2|Y|-n+1 П Г, 2

¿ = 1

|u||L. = 2|-'|_n+1TTГ2( х

(

X

| YТУхи{х)+ U{y)|2 (|х|) - (0))xYdxyYdy_

|x|n+lY l+4

\

| 7ТХХ(Х)- - Ua(y) 2 (^_4а,7(|х|)+ ^_4«,7(0))xYdx yYdy

/

В разделе 3.4 показано, что нормированный функциональный класс Т^ имеет совершенное функциональное пополнение.

Будем говорить, что некоторое свойство для множества Е выполняется ехс. А, если множество, на котором оно не выполняется, принадлежит А.

Для а > 0 обозначим через А2а класс всех множеств А таких, что для некоторой функции ф € Ь?2, такой, что ф > 0 выполняется

A с У(х G R+ : (GY»(x) = +œ}.

Пусть P^ обозначает класс всех функций и, определенных exc. AYa, таких, что для некоторой функции ф G L'Y выполняется u(x) = (G>)(x)exc. .

Лемма 0.0.15. Класс A.2a является исключительным классом. Класс Ра есть полное функциональное пространство относительно A^a.

Лемма 0.0.16. Класс Р^ есть полное функциональное пространство относительно А\а.

Теорема 0.0.11. Класс Р^ является совершенным функциональным пополнением класса Т^.

Раздел 3.5 посвящен понятию ёмкости, основанном на обобщенном потенциале Бесселя.

Точная нижняя граница величины ||ф||р7, взятая по множеству всех

таких, что ф)(х) >

функций ф G LY(R+) таких, что (Gaф)(x) > 1 для всех x G E называется

(а,р)7-ёмкостью множества Е. Будем использовать обозначение Ва р(Е) для (а,р)7-ёмкости множества Е. Можно записать

Ва,р(Е) = 1п£{||ф||р,7 : (С?ф)(ж) > 1 на Е, ф > 0}.

Лемма 0.0.17. Для 0 < а < п + |71 и р > 1 справедливы следующие утверждения

1. Ва,р(0) = 0,

2. если Е1 С Е2, то В^ДЕ^ < Ва^),

ТО \ ТО

3. если Е С К±, г = 1,...,п, то Ва р( и ЕЛ <Е Ва р(Е<).

\г=1 / ¿=1

Из леммы 0.0.17 следует, что Ва р(Е) является внешней мерой множества Е.

Лемма 0.0.18. Пусть Е — произвольное множество в и феЬ^(К±) — неотрицательная функция такая, что (Саф)(ж)>£>0 для всех жеЕ. Тогда Ва ,р(Е)< 1 ||ф||р,7.

Теорема 0.0.12. Для р>1, ар<п+|71 существует такая константа С=С(а,р, п,7), такая, что

1 гп+|7|-ар < Ва,р(В±(п)) < Сгп+|7|-ар при 0 < г < 1. С ' 2

1. Итерированное сингулярное уравнение Гельмгольца и обобщенный потенциал Бесселя

В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения Гельмгольца с операторами Бесселя вида

и - д7и = ф, х €

и его итерированное обобщение

(I - д7)ки = ф, к € М,

где

д =у Я- +

7 Эх2 х4 дх

г=1 4

— оператор Лапласа-Бесселя. Для построение решений этих уравнений и изучения их свойств определяется обобщенный потенциал Бесселя.

1.1. Пространства, специальные функции, преобразование Ханкеля, операторы преобразования

Будем иметь дело с п-мерным евклидовым пространством Кп, открытым ортантом

и замкнутым ортантом

К+={х=(хь ...,хп) € Кп, Х1>0,..., хп>0}

К+={х=(хь ...,хп) € Кп, х1>0,..., хп>0}.

Пусть 7 =(71,..., 7п) представляет собой мультииндекс, состоящий из положительных действительных чисел 74 > 0, 1=1,...,п, и, пусть, |71=71+. ..+7п.

Пусть Ь7(1+) = Ь7, 1<р<то — пространство измеримых на 1+ функций, четных по каждой из переменных ж^, г = 1, ...,п при ж е 1п, таких, что

J |/(ж)|7ж7(ж < ТО.

1+

Здесь и далее

п

ж7 = ^ ж/4.

¿=1

Для действительного р > 1, Ь7-норма функции / определяется равенством

||/(1+) = ||/||ьр = ||/||р,7 = ( J |/(ж)|Рж7.

1+

Известно (см. [25]), что Ь7 банахово пространство. Имеет место неравенство Юнга

||(/ * ||г,7 < ||/1|7,71|^||?,7. (1.1.1)

Пусть О — конечное или бесконечное открытое множество в 1п, симметричное относительно каждой гиперплоскости ж^=0, г = 1,..., п, О+ = О П 1+ и О+ = О П 1+, где 1 ±={ж=(ж1,...,жп)еКп,ж1 >0,..., жп>0}. Будем иметь дело с классом функций Ст(О+), состоящим из т-раз дифференцируемых на О+ функций. Обозначим через Ст(О+) подмножество Ст(О+) функций, таких, что все существующие производные этих функций по ж^ для всех г = 1,..., п непрерывны вплоть до ж^=0. Класс Ст(О+) состоит из всех функций из Ст(О+), таких, что |х++т|х=0 = 0 для всех неотрицательных целых к < т-1 (см. [25], стр. 21). Далее класс Ст(1+) будем обозначать Ст. Положим

ТО

сто (О+) = п Сет (О+),

т=1

где пересечение берется по всем конечным т и СТО (1+) = СТО.

о ___

Пусть СТО(О+) — пространство всех функций /еСТО(О+) с конечным носителем. Будем использовать обозначения

¿◦ТОГО(О+)=р+(О+), СОТОГО(1+) = ¿ТО.

Пусть С — указанная выше частично замкнутая область и пусть шев7(^+) — весовая мера Лебега множества

шев7(^+) = J х1 (х. п

Для любой измеримой функции /(х), определенной на введем обозначение

д7(/,г) = шев7{х € : |/(х)| > г} = J х1(1х. (1.1.2)

{х: |/(х)|>*}+

Функцию д7 = д7(/, г) будем называть весовой функцией распределения |/(х)| или, сокращая, в.распределением |/(х)| (см. [34], с. 51). Очевидно, что это убывающая функция. На симметричное отражение этой области относительно весовых координатных плоскостей = {х : |/(х)| > г}- эта мера распространяется с четным весом (х')7 = (х'2)7/2.

Для любой функции / € Ь7 (Ку)

/с» \ 1/7

II/= Ы г7-1д7 (/,г)(г\ . (1.1.3)

В качестве пространства основных функций будем использовать подпространство пространства быстро убывающих (шварцевых) функций:

= / € С» : вир \хаБв/(х)I < с Уа,в € Ж

п

жем™ +

где а = (а1,...,ап), в = (в1,...,вп), аь ..., ап, въ ..., вп — целые

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Джабраилов Ахмед Лечаевич, 2025 год

Список литературы

1. Бесов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. — М.: Наука, 1975. — 480 с.

2. Брело, М. Основы классической теории потенциала / М. Брело; пер. с франц. — М., 1964. — 148 с.

3. Буренков, В.И. Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных на всем пространстве /В.И. Буренков // Итоги науки и техники. Математический анализ. — 1966. — С. 71-155.

4. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. — М.: Изд-во иностр. лит., 1949. — 728 с.

5. Витушкин, А.Г. Современные проблемы математики / А.Г. Витушкин // Итоги науки и техники. — 1975. — Т. 4. — С. 5-12.

6. Деллашери, К. Ёмкости и случайные процессы / К. Деллашери; пер. с франц. — М., 1975. — 192 с.

7. Джабраилов, А.Л. Обращение и свойства обобщенного потенциала Бесселя / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Современная математика и ее приложения. Сборник материалов II Международной научно-практической конференции. — Грозный, 2021. — С. 98-105.

8. Джабраилов, А.Л. Обобщенный потенциал Бесселя и его свойства / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Дифференциальные уравнения, математическое моделирование и вычислительные алгоритмы. Сборник материалов международной конф. — Белгород, 2021. — С. 96-98.

9. Джабраилов, А.Л. Представление обобщенного потенциала Бесселя посредством ядра Пуассона общего вида / А.Л. Джабраилов // Таврический вестник информатики и математики. — 2022. № 1 (54). — С. 40-52.

10. Джабраилов, А.Л. Связь обобщенных потенциалов Бесселя и решения сингулярного уравнения теплопроводности / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Прикладная математика & Физика. — 2022. — Т. 54, № 2. — С. 89-97.

11. Джабраилов, А.Л. К теории пространств обобщенных потенциалов Бесселя / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Владикавказский математический журнал. — 2022. — Т. 24, № 3. — С. 62-77.

12. Джабраилов, А.Л. Обобщенный потенциал Бесселя и его обращение / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов Международной научной конференции. — Воронеж, 2022. — С. 63-69.

13. Джабраилов, А.Л. Понятие ёмкости, основанное на обобщенном потенциале Бесселя / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Уравнения в частных производных и смежные проблемы. Сборник материалов международной конференции. — Белгород, 2022. — С. 66-69.

14. Джабраилов, А.Л. Об обобщенных потенциалах Бесселя в весовом пространстве Лебега / А.Л. Джабраилов // Прикладная математика & Физика. 2023. — Т. 55(1). — С. 39-48.

15. Джабраилов, А.Л. Об обобщенных потенциалах Бесселя и совершенных пополнениях / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Вестник Санкт-Петербургского университета. — 2023. — Т. 10(68). Вып. 2. — С. 200-211.

16. Джабраилов, А.Л. Расходящиеся ряды в смешанной задаче для волнового уравнения на графе / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы междунар. конф. «Воронежская зимняя математическая школа». — Воронеж, 2023. — С. 137-139.

17. Джабраилов, А.Л. Решение дифференциального уравнения 2-го порядка специальной структуры / А.Л. Джабраилов // Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения — XXXV. Матер. междунар.

«Воронежской весенней математической школы». — Воронеж, 2024. — С. 112-114.

18. Джабраилов, А.Л. Интегро-дифференциальное уравнение с сингулярностью по фазовой координате / А.Л. Джабраилов // Математическое моделирование и краевые задачи. Материалы XII всеросс. науч. конф. с междунар. участием. — Самара, 2024. — Т. 1.

— С. 100-102.

19. Джабраилов, А.Л. Исследование обобщенной краевой задачи для дифференциального уравнения бесконечного порядка / А.Л. Джабраилов // Уфимская осенняя математическая школа — 2024. Материалы междунар. науч. конф. — Уфа, 2024. — Т. 2. — С. 58-60.

20. Джабраилов, А.Л. Обращение обобщенного потенциала Бесселя методом регуляризации расходящихся интегралов / А.Л. Джабраилов, Э.Л. Шишкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Сборник трудов Международной научной конференции.

— Воронеж, 2023. — С. 137-139.

21. Джабраилов, А.Л. Об обращении обобщенных потенциалов Бесселя / А.Л. Джабраилов // Современные проблемы математики и математического образования. Сборник научных статей под науч. ред. В.В. Орлова, М.Я. Якубсона. — Санкт-Петербург: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2023. — С. 223-229.

22. Джабраилов, А.Л. Применение обобщенного потенциала Бесселя к решению неоднородного сингулярного уравнения Пуассона / А.Л. Джабраилов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов Международной научной конференции. — Воронеж, 2023. — С. 48-52.

23. Карлесон, Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств / Л. Карлесон; пер. с англ. — М., 1971. — 126 с.

24. Катрахов, В. В. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений / В.В. Катрахов, С.М. Ситник // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2018. — Т. 64, № 2. — С. 211-426.

25. Киприянов, И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов. — М.: Наука-Физматлит, 1997. — 204 с.

26. Кравченко, В.В. О представлении в виде ряда интегральных ядер операторов преобразования для возмущенных уравнений Бесселя / В.В. Кравченко, Э.Л. Шишкина, С.М. Торба // Математические заметки.

— 2018. — Т. 104, № 4. — С. 552-570.

27. Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала / Н.С. Ландкоф.

— М., 1966. — 515 с.

28. Левитан, Б.М. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б.М. Левитан // Успехи математических наук. — 1951. — Т. 6, № 2(42). — С. 102-143.

29. Левитан, Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля / Б.М. Левитан. — М.: Наука, — 240 с.

30. Ляхов, Л.Н. Обращение В-потенциалов Рисса / Ляхов Л.Н. // Докл. АН СССР. — 1991. — Т. 321(3). — С. 466-469.

31. Ляхов, Л.Н. Пространство весовых потенциалов Бесселя / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. — 2005. — Т. 250. — С. 192-197.

32. Ляхов, Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л.Н. Ляхов // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 315(2). — С. 291-296.

33. Ляхов, Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Л.Н. Ляхов. — Воронеж: ВГТА, 1977.

— С. 145.

34. Ляхов, Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию пространств Киприянова дробной В-гладкости и интегральным

уравнениям с В-потенциальными ядрами / Л.Н. Ляхов. — Липецк: Изд-во ЛГПУ, 2007. — 234 с.

35. Мамчуев, М.О. Функция Грина задачи с локальным смещением для дробного телеграфного уравнения / М.О. Мамчуев // Доклады АМАН.

— 2023. — Т. 23, № 4. — С. 34-42.

36. Марченко, В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля / В.А. Марченко. — Киев: Наукова Думка, 1972. — 220 с.

37. Марченко, В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В.А. Марченко. — Киев: Наукова Думка, 1977. — 331 с.

38. Платонов, С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямойе / С.С. Платонов // Сиб. матем. журн. — 2009. — Т. 50, № 1. — С. 154-174.

39. Платонов, С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой / С.С. Платонов // Изв. РАН. Сер. матем. — 2007. — Т. 71, № 5. — С. 149-196.

40. Платонов, С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые обратные теоремы теории приближения функций на полупрямой / С.С. Платонов // Труды ПГУ. Математика. — 2007. — Т. 14. — С. 44-57.

41. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сёге; пер. с англ. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1962. — 336 с.

42. Решетняк, Ю.Г. О понятии ёмкости в теории функций с обобщенными производными / Ю.Г. Решетняк // Сибирский математический журнал.

— 1969. — Т. 10, № 5. — С. 1109-1138.

43. Ситник, С.М. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя / С.М. Ситник, Э.Л. Шишкина. — М.: Физматлит, 2019. — 224 с.

44. Abramowitz, M. Handbook of mathematical functions with formulas / M. Abramowitz, I.A. Stegun // Graphs and Mathematical Tables. — New York (NY): Dover Publ. Inc., 1972. — 1060 p.

45. Adams, D.R. Function spaces and potential theory / D.R. Adams, L.I. Hedberg. — Berlin, Heidelberg, Springer, 1996. — 379 p.

46. Aliev, I.A. Inversion of Bessel potentials with the aid ofweighted wavelet transforms / I.A. Aliev, M. Eryigit // Math. Nachr. — 2002. — Vol. 242. — P. 27-37.

47. Aliev, I.A. On a rate of convergence of truncatedhypersingular integrals associated to Riesz and Bessel potentials / I.A. Aliev, M. Eryigit //J. Math. Anal. Appl. — 2013. — Vol. 406. — P. 352-359.

48. Aliev, I.A. On approximation properties of a family of linear operators at critical value of parameter / I.A, Aliev, A.D. Gadjiev, A. Aral //J. Approx. Theory. — 2006. — Vol. 138, no. 2. — P. 242-253.

49. Aliev, I.A. On inversion of Bessel potentialsassociated with the Laplace-Bessel differential operator / I.A. Aliev, S. Uyhan-Bayrakci // Acta Math. Hung. — 2002. — Vol. 95. — P. 125-145.

50. Aliev, I.A. Some generalizations of Bessel and Flett potentials associated to the Laplace-Bessel differential operator / I.A. Aliev, S. Yucel // Integr. Transforms Spec. Funct. — 2018. — Vol. 29, no. 3. — P. 235-251.

51. Aronszajn, N. The Rayleigh-Ritz and A. Weinstein methods forapproximation of eigenvalues. I. Operators in a Hilbert space. II. Differential operators / N. Aronszajn // Proc. Nat. Ac. Sci. — 1948. — Vol. 34. — P. 474-480.

52. Aronszajn, N. Theory of reproducing kernels / N. Aronszajn // Trans. Am. Math. Soc. — 1950. — Vol. 68. — P. 337-404.

53. Aronszajn, N. Functional spaces and functional completion / N. Aronszajn, K.T. Smith // Annales de l'institut Fourier. — 1956. — Vol. 6. — P. 125-185.

54. Aronszajn, N. Theory of Bessel potentials I. / N. Aronszajn, K.T. Smith // Annales de l'institut Fourier. — 1961. — Vol. 11. — P. 365-475.

55. Banach, S. Sur la convergence forte dans lee champs L / S. Banach, S. Saks // Studia Mathematica. — 1930. — P. 51-57.

56. Вrеlоt, М. Lectures on potential theory / M. Brelot. — Bombay, 1960. — 158 p.

57. Byczkowski, T. Bessel potentials, hitting distributions and Green functions / T. Byczkowski, J. Malecki, M. Ryznar // Transactions of the American Mathematical Society. — 2009. — Vol. 361, no. 9. — P. 4871-4900.

58. Calderon, A.P. Lebesgue spaces of differentiable functions and distributions / A.P. Calderon //In Proc.: Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc. Providence R.I. 1961. — Vol. 4. — P. 33-50.

59. Calkin, J.W. Functions of several variables and absolute continuity / J.W. Calkin // I. Duke Math. Journ. — 1940. — Vol. 6. — P. 170-186.

60. Carroll, R.W. Transmutation and operator differential equations // Mathematics Studies. — North Holland, Amsterdam-New York-Oxford. 1979.

— Vol. 37. — 245 p.

61. Carroll, R.W. Transmutation, scattering theory and specialfunctions / Carroll R.W. // Mathematics Studies. North Holland, Amsterdam-New York-Oxford.

— 1982. — Vol. 69. — 456 p.

62. Delsarte, J. Sur une extension de la formule de Taylor / J. Delsarte //J. Math. Pures et Appl. — 1938. — Vol. 17. — P. 213-230.

63. Delsarte, J. Sur certaines transformations fonctionnelles relativesaux equations lineaires aux derivees partielles du second ordre / J. Delsarte // C.R. Acad. Sc. — 1938. — Vol. 206. — P. 178-182.

64. Dzhabrailov, A. Two forms of an inverse operator to the generalized Bessel potential / A. Dzhabrailov, Y. Luchko, E. Shishkina // Axioms. — 2021. — Vol. 10, no. 3. — P. 1-20.

65. Ekincioglu, I. Fractional weighted spherical mean and maximal inequality for the weighted spherical mean and its application to singular PDE / I. Ekincioglu, V.S. Guliyev, E.L. Shishkina // Journal of Mathematical Sciences.

— 2023. — Vol. 269, no. 3. — P. 1-21.

66. Ekincioglu, I. Estimates for the Riesztransforms assicated with Laplace-Bessel operator / I. Ekincioglu, C. Keskin, S. Guner //J. Nonlinear Sci. Apply.

— 2018. — Vol. 11. — P.832-840.

67. Erdelyi, A. Higher Transcendental Functions. V. 2. / A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F.G. Tricomi. — New York: McGraw-Hill Book Co, 1953.

— 316 p.

68. Flett, T.M. Temperatures, Bessel potentials and Lipschitz spaces / T.M. Flett // Proc. London Math. — 1971. — Soc. (3) 22. — P. 385-451.

69. Fuglede, B. Extremal length and functional completion / B. Fuglede // ActaMath. — 1957. — Vol. 98. — P. 171-219.

70. Friedrichs, K.O. Spektraltheorie halbbeschraenkter operatoren und anwendung auf die spektralzerlegung von dinerentialoperatoren / K.O. Friedrichs // Math. Ann. — 1934. — Vol. 109. — P. 465-487.

71. Friedrichs, K.O. On differential operators in Hilbert spaces / K.O. Friedrichs // Amer. J. Math. — 1939. — Vol. 61. — P. 523-544.

72. Friedrichs, K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators / K.O. Friedrichs // Trans. Amer. Math. Soc. — 1944. — Vol. 55.

— P. 132-151.

73. Goldman, M.L. Integral properties of generalized Bessel potentials / M.L. Gol'dman // Doklady Mathematics. — 2007. — Vol. 75. — P. 361-366.

74. Gol'dman, M.L. Rearrangement-invriant spans for generalized Besseland Riesz Potentials / M.L. Gol'dman // Doklady Mathematics. — 2008. — Vol. 78, no. 3.

— P. 814-818.

75. Gol'dman, M.L. The cone of rearrangements for generalized BesselPotentials / M.L. Gol'dman // Tr. Mat. Inst. Steklova. — 2008. — Vol. 260. — P. 151-163.

76. Guliev, V.S. Bk,n-Bessel potentials and certain imbeddingtheorems in Bk,n-Sobolev-Liouville spaces / V.S. Guliev, Z.V. Safarov // Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb. — 2001. — Vol. 15. — P. 68-80.

77. Guliyev, V.S. Nikol'skii-Besov and Lizorkin-Triebel spaces constructed on the base ofthe multidimensional Fourier-Bessel transform / V.S. Guliev, A. Serbetci, A. Akbulut, Y.Y. Mammadov // Eurasian Math. J. — 2011. — Vol. 2(3). — P. 42-66.

78. Guliyev, V.S. On boundedness of thegeneralized B-potential integral operators in the Lorentz spaces / V.S. Guliyev, A. Serbetci, I. Ekincioglu // Integral Transforms and Special Functions. — 2007. — Vol. 18, no. 12. — P. 885-895.

79. Hormander, L.H. On the theory of general partial differential operators / L.H. Hormander // Acta Math. — 1955. — Vol. 94. — P. 161-248.

80. Kamrin, K. Nonlocal constitutive relation for steady granular flow / K. Kamrin, G. Koval // Physical Review Letters. — 2012. — Vol. 108, no 17.

— P. 17-27.

81. Kravchenko, V.V. Direct and Inverse Sturm-Liouville Problems. A Method of Solution. In series: Frontiers in Mathematics / V.V. Kravchenko. — Springer Nature Switzerland AG, Birkhauser, Cham., 2020. — 154 p.

82. Lizorkin, P.I. Characterization of the spaces Lp(Rn) in terms ofdifference singular integrals / P.I. Lizorkin // Russian Mat. Sb. — 1970. — Vol. 81, no. 1.

— P. 79-91.

83. Morrey, C.B. Functions of several variables and absolute continuity II / C.B. Morrey // Duke Math. Journ. — 1940. — Vol. 6, no. 1. — P. 187-215.

84. Morel, J.M. Screened poisson equation for image contrast enhancement / J.M. Morel, A.B.Petro, C. Sbert // Image Processing On Line. — 2014. — Vol. 4.

— P. 16-29.

85. Nikodym, O. Sur une classe de fonctions considerees dans l'etude du probl'eme de Dirichlet / O. Nikodym // Fund. Math. — 1933. — Vol. 21. — P. 129-150.

86. Nogin, V.A. Inversion and characterization of the parabolic potentials with Lp-densities / V.A. Nogin. Rostov-on-Don. Dep. in VINITI 30.03.81, no 1395.

87. Nogin, V.A. Inversion of Bessel potentials / V.A. Nogin // Differ. equat. — 1982. — Vol. 18, no. 8. — P. 1407-1411.

88. Nogin, V.A. Inversion of Bessel potentials by means of hypersingulrintegrals / V.A. Nogin // Soviet Math. (Iz. VUZ.) — 1985. — Vol. 29, no. 3. — P. 73-83.

89. Polyanin, A.D. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists / A.D. Polyanin. — London: Chapman & Hall / CRC, 2002.

— 667 p.

90. Prudnikov, A.P. Integrals and series: Elementary functions / A.P. Prudnikov, Y.A. Brychkov, O.I. Marichev. — New York (NY): Gordon & Breach Sci. Publ., 1992. — Vol. 1. — 808 p.

91. Prudnikov, A.P. Integrals and series: Special functions. / A.P. Prudnikov, Y.A. Brychkov, O.I. Marichev. — New York (NY): Gordon & Breach Sci. Publ., 1992.

— Vol. 2. — 756 p.

92. Samko, S.G. Hypersingular integrals and their applications / S.G. Samko. — London: Taylor & Francis, 2002. — 359 p.

93. Samko, S.G. A new approach to the inversion of the Riesz potential operator / S.G. Samko // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1998. — Vol. 1, no. 3. — P. 225-245.

94. Shishkina, E.L. Generalized Bessel potentialand its application to non-homogeneous singular screened Poissonequation / E.L. Shishkina, I. Ekincioglu, C. Keskin // Integral Transforms and Special Functions.

— 2020. — P. 1-16.

95. Shishkina, E.L. Transmutations, singular and fractional differential equations with applications to mathematical physics / E.L. Shishkina, S.M. Sitnik. — Cambridge: Elsevier. Academic Press, 2020. — 592 p.

96. Sitnik, S.M. Transmutations and applications: a survey / S.M. Sitnik // http://arxiv.org/abs/1012.3741, 2010. — 141 p.

97. Stein, E.M. The characterization of functions arising as potentials / E.M. Stein // I. Bull. Amer. Math. Soc. — 1961. — Vol. 67, no. I. — P. 102-104.

98. Triebel, H. Theory of function spaces II / H. Triebel. — Birkhauser. 1992.

— 372 p.

99. Watson, G.N. A Treatise on the theory of Bessel functions / G.N. Watson. — Cambridge: University Press, 1922. — 811 p.

100. Weyl, H. The method of orthogonal projection in potential theory / H. Weyl // Duke Math. J. — 1940. — Vol. 7. — P. 411-444.