Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Борздыко, Вероника Ивановна

• Борздыко, Вероника Ивановна
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Борздыко, Вероника Ивановна

Введение.

Глава I. Нестационарные системы с гистерезисом . . . , :

§ I. Основные понятия. Преобразователь статический

• гистерон.

I 2. Переменный гистерон.

§ 3. Дифференциальные уравнения с гистерезисными нелинейностями.

§ 4. Доказательство утверждений

§2.

Библиографические замечания к главе I.,

Глава 2. Условия единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

§ 5.Условия единственности решения задачи Коши для скалярных дифференциальных уравнений.

§ 6. Условия единственности для систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

§ 7. Доказательство утверждений из

§§ 5 и 6.

Библиографические замечания к главе 2.

Глава 3. Положительные периодические решения систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

§ 8. Основные понятия.

§ 9. Периодическая задача для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа

§ 10. Принцип родственности для задачи о положительных периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ II. Положительные периодические решения

§ и.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностями»

Многие задачи механики, физики, управления, экологии ж др. приводят к необходимоетж расомотреяия ежетем оо олошшмж нелж-жейноотяш той шт иной природа. Иоеледоваше дшашкй Ааких систем требует изученш новых классов эволюционнах уравнений.

Настоящая работа посвщана методш нсследованш двух классов ЭВ0Ш1ЩНННХ уравнений, первый жз которых связан е описанием .данамики систем,' содержащх гиотеревжсныв мелинейноотиА а второй ~ с описанием дршашки систем запаздыващего тша.

К уравненжш, содержащим нелинейные зависимости гжстерезя-сного типа, приводят многочисленные задачи физики, механики, управления, биологии и др.; здесь достаточно упомянуть магнитный гистерезис, диэлектрический гистерезис, пластический гистерезис и т.д.

Основы общей математической теории систем с гистерезжсны-т нелинейностяш были заложены М.А.Красносельским и его учен

В этой теории каждая гжстерезжс-най нелинейность трактуетсяА'как независимая система со своим пространством состояний, операторами "вход-выход". Она основана на общей методологии теории систем а^/Д|'аа Адуулу/ 7 ж охватывает основные феноменологические модели гистерезиса: люфты ж упоры, моделаа Нрандтля, Прейсаха, Ипшинского, Бессе-линга

Разработанная математическая теория систем с гистерезжсом позволяет избавиться от неопределенности, характерной дая обычных феноменологических описаний гжстерезжсных явленжй и дает возможность применять технику функщонаЕьного анализа и дифференциальных уравненй! дая изучения процессов в системах с гистерезисом.

Она позволила реять ряд классических задач о вынужденных колебательных режимах функцжоиировайЕя ужршляемых систем, об автоколебаниях в таких системах, о применимости пршцжпа ус-редаенжя ж др.

Дальнейшее развитие математической теории систем с гистерезисом представляется актуаяьным ж важным, так как многие её разделы остаются недостаточно жлж даже совершенно не изученными. Необходимость изучения этих разделов диктуется как потреб-ноотяш самой теории, так ж практическим интересом. ъ/ЛМ.А.Красносельским ж А.В.Пбкровскш предаожена общая схема для опжсаяжя нелинейных систем с гжстерезжсом, ха-рактериетики которых меняются со временем, ж иоставлеиа проблема выделения классов входов, для которых эта схема (содержащая операцию предельного перехода) реализуется. Примером нестационарной гжстерезисной нелинейности является упрутопласти-ческжй элемент, характеристики которого (пределы текучести, модуль упругости) меняются в результате изменения со временем параметров внешней среды. Существуют шогочжсленные экспериментальные наблюдения, показывающие, что различные материалы изменяют свеж унругопластжческже ж ферромагнитные свойства (ж, следовательно, форму гжетерезжсной петлж) при изменении температуры внешней среды, под влиянием переменного радаацион-ного облучения, электромагнитного поля (см., например,А/УААА 1:5Л

Исследоваше проблемы Красносельского-Покровского актуально как для указанной вьше схемы описания нестационарных гисте-резисных нелинейаостей, характеристики которых меняются вследствие изшнения параметров внешней среды, так и для преддожен-ной ъ/'^ 6 Л/7У ЛМ.А.Красносельским и В.ВЛерноруцким конструкции, описывающей нестационарные риотерезнсные нелинейности, характеристики которых меняются вследетвже фзшкцнонировшшя самой системы.

Сдаиш из 1Ааиболее важных в теории систем с гистерезисом являются вопросы построения теоретических положений о дифференциальных уравнениях с гистерезисными нел&шейностями. Ряд таких вопросов (существование решений, существование периодических решений, устойчивость решений) рассматривались А.Х.Гели-гом, П.П.Забрейко, В.И.Зубовым, М.А.Красносельским, А.В.Пок-ровсюш, В.А.Якубовичем и др. (ш,[ЗАЛ6 (>А, 10^13:^^ У У 6 А ) . Актуальным представляется вопреиз о постановке задачи Коши для дифференциального уравнения с гис-терезисной нелинейностью общего вида (которая может быть и не- ' стационарной) в пространствахА/АА а1ад уАогАА исследование для этой задачи вопроса о существовании и единственности решения.

Хорошо известно, что дафференщальны© уравнения, явлшщи-еоя штематжческшш моделями реальных процессов, могут не удовлетворять стаад.ртным условиям существования и единственности решения задачи Коши. Дяя обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо изучено много условий единственности решения задачи Кошж менее ограничительных, чем условия Лишащ.

Таете условия едийстаешоест бшт дазаш, нацржшр, B.f .Осгу-дом, 0.Перроном, М.йагумо, А.Розенблаттом, М.А.Красноселвокйи и 0.Г.1рейном, Т.Роджерсом, Ю.Витте, В.Лакшшкантамом, Т.Щ.Гардом ж ф. ААп,[Ю£р3/РА,иА9^3,АЮе,т,щ^)'

В ряде работ нризяаш еджиственности формулируются в общем виде в терминах сравштельннх фунщи! Камке ж'функщй тша дяну-новскйх (см. с«атьи Е.Камке, СР.БерЕрльд, Р.Д.Драйвер, В .1а

Значйтелвннй интерес представлшт и работы, в которшг обобщенные условия Лишшщ зашняются некоторыми уеловиями полоштельности и шнотонннос-тж правых частей (см. статьи JA.M.Бoyждcay5A;AУ7л7'и Д.В.В.Ве-н далУл -JJAJ). Важными являются формулировки условий типа Каратеодори, обеспечивающие не только существование, но и единственность решения задачи Коши (см., например, статью П. 0. Бондаренко//у/).

Представляется актуальным ж важным разработка указанных методов исследования применительно к задаче Коши дет диффврей-циальных уравнений с гистерезжсныш нелинейностямй.

В последние дасятилетия все возрастающий интерес исследователей вмзьшагот эволюционные уравнения и другой пр1фоды: это дифференциальные уравнения с нелинейностямй, содержащиш запаздывания той или иной природы. ,

Основы общей теорий дифференщальннх уравнений с запаздывающим аргрзентом или, в более общей форийулировке, фзшкщсона-льно-дифференщальных уравнений запаздашающего типа (ШДУ) были заложены А.Д.Шшкисом, Л.Э.Эльегольцом, Р.Беллмшом, А.Халшаем ж др. )• Ор|вственшй вклад в развитие таких, уравнений внесли работы А.Ю.Мжтроно-льского, Д.И.Мартышока, В.Б.Колмановского, В.Р.Носова, Н.В.Аз-белева, лЛеРша ж др. (см. а/а/а. уАу/А/АА.

Одним из сшлых важных при исследовании нелинейных систем является вопрос о существовании периодических решений; этому вопросу посвящены многочисленные исследования (см., нал

Большинство известных методов приводят к достижению значительных результатов при исследовании слабо нелинейных систем с запаздыванием (систем, содержащих так называемый малый параметр) . Ддя изучения сильно нелинейных систем применение этих методов не всегда возможно; здесь более эффективны топологические методы.

В основе значительной части топологических методов доказательства существования периодических решений у ШЛУ лежит понятие оператора сдвига по траекториям таких уравнений (см., например,АД//АА у/ /а ААуу ). При этом приходится предполагать, что для ШШ имеет место существование, единственность и нелокальная продолжшлость решения основной начальной задачи, что требует определеяшх ограниченшй на правые части уравнения (ом. [А9А УЗАуАу ) •

ВААМ,А.Красносельским был предложен в общей форме топологический метод ("альтернативный принцип") доказательства теорем существавания периодических решений у ШДу, основанный на переходе к специальным нелинейным интегральным уравненжям, содержащим вспомогательный параметр, и не исподьзующжй рассмотрение оператора сдвига. Им же в б ы л а поставлена задача о выделении классов ШДу, дая которых возможна реализация л 9 этого метода. В,ВХтржш/УА"Ащеможш способ реализации метода "альтернативного принципа" дш некоторого 1слассаа систем ЗЩУ о сосредоточеннтш запаздываниями. Однако, этот способ нельзя перенести на ЗФДУ с распределешымж запаздываншши. Дредставляет интерес реализация "альтернативного принципа" для общего вида ЗЩУ , включая уравнения с распределенными запаздыванЕямй.

Особенно большое расцространенже ЗФДУ получили при описании различных процессов в экологии, медицине, биологии и др. ( ом.улл тЛУ/лл у у л ) . При исследовании штематическшс моделей этих процессов часто возникает вопрос о существовшши положительных периодических решений. В связи с этим актуальна задача о модификации метода "альтернативного принципа" дяят доказательства существования у систем ШДУ общего вида периодических решений, траектории которых лежат в некотором конусе пространства

Перейдем к краткому изложению основных результатов работы. Диссертация посвящена анализу и методам исследования дифференциальных уравнений со сложными нелине1Й10стями: гистерезисного типа или содержащими запаздывания. Работа состоит из трех глав ж двенадцати параграфов.

В первой главе (§§ 1-4) изучаются условия, при которых реализуется предаженная, в лу/конструкция дая описания нестационарных систем с гистерезисом, изучаются свойства переменного гистерона - преобразователя, .который возникает при описании нестационарных систем с гистерезжеом, ставится задача Кошж дш дифференциального у|тшенЕЯ общего вида с гистерезисной нелинейностью, да этой задачи дошзывается теореш существования и едйжствешости типа теореш Кош.

В § I приводятся известше сведения о ристерезиснБК нели-нейностях. В основе штештичеоко! теории систем с гистерезисом, разщтой в [АЛ] , находится понятие оператора-гжстеро-на. ДЙ описания конкретного гистерона Jz (Иуопредвляют область возможных состояний, представляющрз собой некоторр) область на плоскости скалярных переменных 7АА XJ ' А операторы хШ - wet, K.xJfj, соЕоставлдаще входам Y^J выхода X /AyAJ , когда преобразователь-гистерон ]/]/ находится в начальном состоянии л "Aoj' а-аааа 7а /и X/2J - скалйрные функции. Для кусочно монтоннах входов А /Авыходы X/iA определштся с помощью некоторой системы кривых, расположенных в обжсти возможных состошм! и шзмваешх определящей системой кривых гистерона \а/ • Затем для определения преобразователя-гистерона ]/]/ на жещэернвных входах А//АуАпршленяется предельная консофукцш.

Если все фушАщи, графики которых участите s оаределвшя гистерона, удовлетворяют общему условию Лшшаца, то гистврон / ] / также удовлетворяет условию Липшица.

В качес!твв примера в § I рассмотрены упор ж pipyronmcTH-ческое волокно npanfe. Приводятся также сведения о многомерных гжетеронах: пстеронах о векторными входаш а внходаА.ш. Даются 01#еД8ления люфта (2) ж упора 7A /2J <i характеристикой Z , где Z - некоторое огршшчвнное выпуклое замкнутое множество в евклидовом пространстве А

2 - Ш01'0Г|Ш1НЯЕ, то Z (2>) ^^/^fl-j)удовлет-воряют условию 1ишшца.

В § 2 изучаются условия, при которнх предоюженная в '[ллл охвш да описания квстащоиарнш: систем с гистерезисом. реализуется шт. люёото входа, удовлетвордащего уожтт Липшица. Изучаются также свойства шременного гйстерона - преобразователя, возникающего при описании иестацйояарннх систем с гйстврезиоош.

Ъ [А/Л] предложена общая схема для озгределения гйстерона, характеристики которого меняются во времеш. Иредполагается, что задано однопараметричвекое семейство гиотеронов

В СЛЬ параметра т/ нгхает вреш. При этом если ллл л л ' областей возможннх состоянии J2 [\А/лжстеронов / / К л справедливо включение С

В С**] првдашгается некоторая общая схема - схеш ( аналогичная построению мультипликативного интеграла, с помощью которой семейству (0.1), непрерывному входу 7*/т*Уи жачальтщ СОСТОЯНИЕ Ул 7ZJy } ствие некоторая фуЕ!Кпия

Л Л А

А А ится в соответх(7)

И / А л/йу , / , 7 л / у / С 0 . 2 )

Эту функцию считают выходом переменного гйстерона ] / / при входе 77 /¿5Л и начальном состоянии /Т-С{ТХ)Л л . Конструкция, при которой определяется выход (0.2), содержит операцию предельного перехода, который, вообще говоря, может не осуществляться для произвольного непрерывного входа 77 •

Если эта схема осуществима при данном входе 77 и данном начадьном состоянии '{77^ } лл] [\7/^) > будем говорить, что схемареализуется для входа Л ж начального состояижя 7477/7^^ ^У' А этом случае будем называть допустимым дая гйстерона | д / .

В § 2 исследуется проблема: какими свойствами должна обладать функция А , чтобы схемаА/АА реализовывалась для некоторого класса входов

Обозначил через некоторое подмножество пространства непрерывных функций

Теорема 2.1. Пусть ддя любого входа ¿^/¿^^¿/^ существуют такие постояняыеА<с£А < ааа о<§а<-Аа оС<-лС> АА 5

77^/\<-Л а ? 0АС<аа, что при любых 2аа а а/77а на отрезке имеет место неравенство

7 Г и/7У,г} и/77 л схема реализуется для любог© входа 17. ж любого начальжого состояния АТС (СС)Л л / /

В этой теореме условия реализуемости схемы лрлллдлйл в терминах близости выходов гйстерона И/ при различных В последующих двух теоремах § 2 эти условия формулируюА тся в виде непосредственных ограничений на системы кривых, определяющих гистероны И/л л'

Сформулируем одну из этих теорем. С этой целью через /У обозначим кяаес функ -цйй, удовжетворяюцщх на отрезке £СЬЛ г£/ условию Липшица, а через 7л [И,л - некоторую кривую, принадлежащую системе кривых, определшощйх гжстерон ]7\/ и проходящую через очку Р =/т А,,)(о}е[1(У[/ V.

Теорема 2,3. Пусть все определяющие кривые всех гжстеронов. входящих в семейство , удовлетворяют общему условию Лкпшица о одной и той же постоянной. Пусть найдутся также положительные константы с£А об ж неотрицательные /1 и С , что неравенство /и, А к , М) - Т*'-[ло Ю / А • выполнено при любых . любом Л (11гЫ оС) и любых что 4 а таких,

Тогда схема аа2. реализуется для .дюбого входа 17лл)л 7/а/(2, -л' ^л любого начального состояния в § 2 изучаются также свойства переменного гжстерояа ¡4Л (см. (0.2)). Показано, что если все определяювде кривых всех гжстероноБ (0.1) удовлетворяют условию Липшица с одной и той же постоянной, то гжстерон / \ / удовлетворяет условжо Липшица.

В I 3 сформулирована задача Коши дася дифферешиального уршнения с гйстерезжсной нелинейностью общего вида; для этой задачи доказана теорема существования ж единственности типа теоремы Кош.

Рассматривается задача

0.3) где а

Л/ а и ¿7/скадярные непрерывные на /

АЛЛ стве л л

Оператор Т / Т лллу ллуллри фиксированных однозначен, он действует в каждом простран

У/ / / ( £</</л. Опералорлллл каждой функции %/а/А//2л 2Л/1М> шетеоАрштЖ условию

А/7Х1,/ А , ставит в соответствие функцию

7А'А/АТАу АС/аАр дал-ллтворяющую условшоь /л7/2;А'а/71а

Предполагается, что оператор / у л л ллудовлетворяет условию Липшица

Ао-А-А А (0.6) при / V ' л'лл ~ некоторая постоянная, 1 л , (4 /7Х=ААЮ=А. ) - произвольны© функции.

Под оператором / л у можо понимать статический шш переменный гистерон.

В предположении, что функция А/А2А АУ удовлетворяет условию Липшжщ по л ж ¿л , даш задачи (0.3)-(0.5) в § 3 доказана теорема существования и единствен-неоти типа теоремы Коши.

В § 4 приведены доказательства утверждений из § 2.

Во ВТСРСИ главе (§§ 5-7) изучаются условия, обеспечивающие единственность решения задачиКоши (0.3)-(0.5) даш случая, когда функция лтл//} АJ Ау > вообще говоря, не удовлетворяет условш Липшица по л ж л . Рассмотрены также условия единственности решения задачи Коши для ежотемы дифференциальных уравнений о гжстерезионымж н©линв13ностяш1.

В § 6 получены критерии единствешости дан задачи (0.3)--(0.9), содержащие обобщения условия Липшида для функщй //т.А ао % л а ¿л являющиеся аналогами известных теорем единственности для обыкновенных дифференциальиых уравнении. Доказаны:

I) Признак единствениоотж типа теоремы Осгуда.

Теорема 5.1. Пусть фААпщ-/-/АА АА и/у, заданная на шожествб

7 : 7у7лТJл,лJiл,/мJ<7

Л 'Л непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет неравенству

Здесь функцж ¿ 7 непрерывна, не убывает при

УГ < А и, кроме того.

Ух с{ > О - некоторое число). Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения.

2) Признак единственности типа теоремы Перрона.

Теорема 5.3. Пусть функция х 1и л % А А^>у непрерывна по совокупности переменных на множестве а (см. (0.7)) и удовлетворяет условию / У . Л у - / У Ах/- х м

ЛЛУ//ЛЛЛ-ЛЛ/у/АА-йуЛХ,

0.8)

Пусть оператор / л / л л удовлетворяет условшо Липшица (0.6) с постояшой /77 А. Тогда задача л*з'0~(%'-5) имеет не более одного решения.

3) Признак единственности типа теоремы М.А.Красносельского и С.Г.Крейна. Положим j/yl А 7П777'Х/:7А 777} а (0.9) где /"77 - постоянная в условии (0.6).

Теорема ЪЛ. Пусть функция л л / л а 7(7) непрерывна по совокупности переменных на множестве л (см. (О.?)) ж удовлетворяет условиям: if (7, г,у.)-7Х,х™.)777Х)'

7> <с7 < У . Пусть А у — Л • ча (0.3)-(0.5) имеет на отрезке/А Ул/ не более одного решения.

4) Признаки единственности типа теорем Ю.Витте и Т.Родаер-са.

Теорема 5.7. Пусть функция а / а а а непрерывна по оовокушостж перемешьк на множестве

И удовлетворяет на условЕям

У. . - / У ЛУЛ< где ^ ^ н /2/а - некоторые непрерывные соответственно н а / 2 а а / 1 / и Lyл0J 7" / фгА1кщи, при тш1АЦ)>0 (гУллл Т]л и ^ А; определено равенством (0.9). Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения.

Подбирая в теореме 6.7 различны© фзшкции /тАможо получить некоторые более конкретные признаки единственноотЕ для задачи (0.3)-(0.5). Положив А/Т-У~ / / А аС >А ж > О > получаем признак единственности тина теоремы Т.Родасерса.

В § 5 рассмотренЕ также теорема единственностЕ решения задачи (0.3)-(0.5) типа теоремы Венда. В этой теореме обобщенные условия Липшищ дм функции л л л ои) , которые имеют место в теореглах 5.1, 5.3, 5.4 и 5.7, заменяются уело-вияма положительности жш монотонности .

В § 6 рассштривается вопрос о едашственностж решенж задачи Коши для системы дифференциальных уравнений, правая часть которой содержит етстерезисную нелинейность.

Задача (0.3)-(0.5) в § 6 рассштривается в случае, когда * У)* Ш */** да шбош 2* е /лл . Предполагается, что оператор /А /А А аааа при фиксированных А у А у является однозначным, причем действующим в кавдом пространств С//*с л Т***У Л 2Л <2^-^/ ), непрерывных на У л J - л вектор-функщй со значениями в У> * . Каддой вектор-функда * * С/*0* 7**7* удовлетворяющей условиюА тА// а а оператор / /ТО , Л*)* ш*/0,шшт-ъ соответствие вектор-фушщшо {кУ /т) л о 2А/А удовлетворяющуж) условию Ш ( л л л При 71 > У иод опвратором7/2аа^Уо) можно понимать многомерный гиотерон с характеристикой - выпуклым многогранником а с • (см. § I).

Для задачи (0.3)-(0.5) в случае /2а >а получены признаки едйнствешости решения аналогичные некоторнм известным теоремам единственности дш обыкновенных дифференциальных уравнений.

В п. 6.2 получен признак единственности, переходящий в случае ©быкновеняых джффере ища льных уравнений в теорему С Р . Бернфельда, Р.Д. Драйвера ж В. Л&ктишшвтвмал. Предполагается, что вектор-1унктдия АуА 6сАА определена и непрерывна на множестве

Пусть функция АуААуАопределена, непрерывна ж неотржца ~ те льна на /7Л / / , причем Р У) У1 О 2Л л 2Л *

•о •)

Пусть функция непрерывна; у (,А) л — 7ЛЛ ааллл функция ЪСАО пусть будет едаственным неотрицательным решением уравнения при > 2А I удовлетворяющим условию

Теорема 6.1. Пусть сзлцествз?"ет непрерывная функция такая, что, во-шрвнх:, равенство вышолнено еслж ж только если л л и С<УЛ-=<Л(Л , во

-вторых, для любых двух решений а у х ; , / / у л Щйх* у ; / ХМ.^ задаш (0.3)-Ш.5) справедливо соотношение

К / / ./ / у / / у л ХАУ4)А„ и, наконец, в-третьих, при лхх, V /у, лх/2мХМ 7Л< справедлива односторонняя оценка

Тогда задача ('0.3)~(0.5) имеет не более одного решения на любом отрезке / УЛЛ ( 2 л <7Т.

В п. 6.3 получены теоремы типа 0.Перрона и Т.Роджерса для случая 71 X и когда оператор / / ' л л л¿^ л/л^от-ветствует модели уиругопластического волокна Прандтля.

В § 7 приведены доказательства утверждений из §§ 5 и 6.

В третьей главе (§§ 8-12) рассматриваются дифференщальные уравненш с нелшейностяш, содержащшж сосредоточенные иди распределенные залаздыванин. Глава посвящена исследованию вопросов существования периодических и положтельных периодических решений у функциональяо-дифференпиальных уравнений запаздывающего типа (ШШ)

В носящем вспомогательный характер § 8 приводятся известные сведения об используемых в последуюпрос построениях понятиях.

В § 9 для широкого класса ЗШЖ предлагается реализация топологического метода "альтернативного принципа", предложенного в общем виде М.А.Красносельским/АЛу, доказана теорема о оуществоважш периодических решений у ШЩ, Рассматривается ШШ вида

0.12)

Здесь сиводом обозначена вектор-функция X > бпределешая щъ-сх: ><АХ А '£ . с о значежиями в и относящаяся к некоторому классу УА , содержащему множество ~ 00 -пврнбдичеекжх и кусочно-непрерывных Цгишрй. Правая часть уравнения (0.12) определяет отображение

Г Х х ,) Х 7 2 ) ~ ~ А Х

Предполагается, что в (0Д2) оператор /-~У ХА) является (у) -периодичным по .

Обозначим через Г п глП пространство непрерывных на 10у (А7ц вектор-функций со значениями в И с нормой I 1ХХ —ГГМХ //Х0// где //X/ - евклидова норма в л .

Общая идея "альтернативного принципа" состоит в рассмотрение, наряду с (0.12), также уравнения а зависящего от скалярного параметра А таким образом, чтобы при /\ а х это уравнение совпадало с (0.12), а при л := ¿? переходило в некоторое обыкновенное дифференциальное уравнение, при этом оператор где -периодическое продолжение вектор-пункции

Xf¿) с полуинтервала f¿}j У/ на всю ось, был вполне непре« рывен как оператор из топологического произведения^.^'¿3íA в cío, COj . в § 9 предлагается следр)щая реализация этой идеи. Пусть У у) 1 AAJAÑ-" некоторая непрерывная Л по совокупности переменных и й/ тор-функция. Рассмотрим систему

-периодическая по 2A век

F[t \ 4 Н Ш , ] л

НХ fít X

4)1 где вектор-функция

0 4 A Ai Л

0.14) определяется равенством

При /) / система (0.14) совпадает с (0.12), а при :1г У - переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнении

Будем говорить, что существует априорная оценка для ¿кУ -периодических решений системы (0.14), если джя некоторого

У <У<л сх:? каждое -периодическое решение системы (0.14) при любом / / У / а удовлетворяет сцен

Будем считать, что систею (0.15) нев1фождена на бесконечности, т.е. для нее определен оператор сдвига за период ¿4Л , вое а/ -периодические решения системы (0.15) равномерно ограничены и на сферах У большого радиуса в.а пространстве а вращение УЛ /А7JА векторного поля у fXJ — Х~7/Х отлично от нуля.

Реализация метода "альтернативного принципа" ддя уравнения (0.12) заключается в следующем утверждении.

ЗГтверждежй© 0.1. Пусть ср1ествует априорная олрмка джя а -периодических решений системы (0.14). Пусть система (0.15) невырождена на бесконечности. Тогда систеш (0.12) имеет, по крайней мере, одао -периодическое решение.

Для конкретных уравнений вида (0.12) системы (0.14) ж (0.15) легко выписываются.

В § 10 дается понятие квазшвращенжя векторного поля, являющееся модификацией понятия вращения векторного поля для случая, когда соответствующий оператор положителен относительно некоторого конуса /\ в бадаховом пространстве У На основе этого понятия формулируется теорема о принципе родственности применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Эта теорема важна в последующих построениях.

В § II изучается вопрос о существовании у ШЩ (0.12) положительных си -периодических решений. При этом уравнение (0.12) рассматривается в пространстве / Р а , полуупорядо-чениом телесным конусом /\ ; решениеи Л'системы (0.12) будем называть неотрицательным, если ХУ)Л /\ дан всех 2А" ; неотрицательное нетривиальное решение будем называть положительным.

Будем говорить, что правые части-систеш--(Л.12-)--удовлетво-ряют условию "втекания в конус У если ддя каздого лшнейн-ого положительного функционала У и любой непрерывной вектор-функции X (АХ), удовлетворяющей соотношениям имеет место неравенство

ХХ х")] А 7 х А А А х

Условие "втекания в конус " обеспечивает дяя уравнения (0.12) существоваже для начальных функций а у д о -влетворяющих условию А /\ {—С>А<7ААА) неотрицательного решения. в § ЦЛиспользуя понятие квазйвращения полейЛконструиру-ется модификация метода "альтернативного принципа" для задачи о неотрицательных периодических решений системы (0.12), На этой основе формулируются достаточные признаки существования положительных периодических решений у системы (0.12). Приведем один из них.

Пусть вектор-функция -у л хл из системы (0.14) удо-вявтворяет условию: для любого линейного положительного функционала ¿л из условия

О (0.16) /4Л принадлежит границе конуса /<С ) следует неравенство

Будем предполагать, что дж системы (0.15) на конусе/л определен оператор 2А сдвига за период лло .

Теорема 11.4, Пусть правые части системы (0.12) удовлет^ воряют условию "втекания в конус ", а вектор-функиия

X) удовлетворяет условию (0.16) и (0.17), Пусть существуют положительные числа Х-А и такие, что тжж X а) - это положите.яьное 00 - периодическое решение системы (0.14) при некотором \л ['лул ' -лл

11X11лялл. Пусть существует >/) такое, что для любого положительного СО - периодического решения X, /тЛ/сис-темы (0.15) имеет место неравенство НХ([?)1(лул* Пусть,наконец, оператор ]/[, дая системы (0.15) сжимает или растягш

- 27 вает конус К • Тогда система (0.12) имеет по кражей мере одно положительное сО -периодическое решение.

В § 12 рассмотрежн приложения и примеры. На основ© теоремы 11.4 доказаны теоремы о существовании нестационарных положительных периодических решений у уравнения Хатчинсона и у системы Важгерскй и Каннижгэма? При этом в этих зфавнежиях коэффициенты предполагаются зависящими от времени 2а , что соответствует обобщению этих моделей ма случай нестационарных сред.

Основные результаты получены автором самостоятельно и опубликованы в статьях

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Борздыко, Вероника Ивановна, 2000 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18. - 12.-С. 2027-2050.

2. Антоновский М.Я., Болтянский В.Г., Сарымсаков Т.А. К теории полуупорядоченных пространств // Труды IV Всесоюзной топологической конференции. Ташкент, 1967. - С. 10-22.

3. Бабицкий В.М., Крупенин Б.М. Колебания в сильно нелинейныхсистемах. М.: Наука, 1985. - 260с.

4. Бабский В.Г.,Мышкис А.Д. Математические модели в биологии,связ-анные с учетом последействия//Марри Дж.Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моде лях.-М.: Мир, 1983.-0.383-394.

5. Барабанов Н.Е., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. - Ш 12. - С.5-12.

6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548с.

7. Березовский А.А.,Нижник Л.П.Математические модели гистерезиса//TA.V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям.-Киев, 1970.-Т.4.-С.69-71.

8. Боголюбов H.H., Митропольский ЮА Асимптотические методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 501с.

9. Возорт Р. Ферромагнетизм. М.: Мзд-во МЛ, 1956. - 784с.

10. Боли В., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.:Каратеодор1//В1сник Ки1вського университету. Оер1я математики та механ1ки. 1972. - № 14. - С.34-42.

11. Борисович Ю.Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля // ДоклАН СССР. 1963. - Т. 153. - I. - С. 12-15.

12. Борисович Ю.Г. О методе Пуанкаре Андронова в задаче о периМир, 1964. 517с. 11. Бондаренко П.С. Зауваження до умов 1снування таодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием // Докл.АН СССР. 1963. - Т. 152. - М 4. - С. 779-782.

13. Борисович Ю.Г.,Субботин В.Ф.Теоремы существования полуположительных решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргу-ментом//Тр. семинара по функц. анализу. -Воронеж, ВГУ, 1967. -Вып. 9.- С. 111-115.

14. Бзфиев Т.И., Шарипов Ш.Р., Эргашев В.Э. Качественное исследование обобщенной модели Лотка-Вольтерра с учетом эффектов насыщения и конкуренции // Качеств, и анал. методы в динам, систем. Самарканд, 1987.-С.14-23.

15. Вайнер Л.А. , Разов М.А. Влияние нейтронного облучения на сопротивление деформированию и хрупкому разрушению стаж // Материалы I Всесоюзного совещ. "Радиац. эффекты изм. мех. свойств конструкц. материалов и методы их исслед.'* Киев, 1976. - С.77-84.

16. Валле-Пуссен ШЖ Курс анализа бесконечно малых. Л.-М.% Гостехиздат, 1933.-Т.I. - 464с.

17. Васильев Н.Г., Зверев В.А. Электронное моделироваание гисте-резисных характеристик ферромагнитных материалов // Известия ВУЗов. Электромеханика. 1956. - Л 6. - С. 3-17.

18. Вейнер Дж., Ландау Г. Температурные напряжения в упруго-пластических телах // Пластичность и термопластичность. М., 1962. - С. 70-91.

19. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении интегральных кривых для разрывного поля направлений // Математический сборник. -1954. Т. 34. - Л 2. - С- 213-248.

20. Владимиров A.A., Клепцын А.Ф., Козякин B.C., Красносельский M.Ä., Лифшщ Е.А., Покровский A.B. Векторные гистерезисные нелинейности типа Мизеса-Треска // Докл.АН СССР. I98I. -Т. 257. - JS 3. - С. 506-509.

21. Владимиров A.A., Клепцын А.Ф. О некоторых гистерезисных звеньях // Автоматика и телемеханжа.- 1982. â 7. -С. 165-169.

22. Вонсовский C.B. Магнетизм . М.: Наука, I97I. - 1032с.

23. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. М.: Энергоиздат,1980.- T.I. - 309с.,Т.2.- ЗЮс; I98I.- Т.З.- 303с.

24. Вужх Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. -М.: Физматгиз, I96I. 407с.

25. Гежг А.X.,Леонов Г.А.,Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. - 400 с.

26. Гильман Т.О. , Покровский A.B. Вынужденные колебания систем с простейшими гистерезисными нелинейностями // Докл.АН СССР. -1982. Т.263. - 4. - С.790-793.

27. Грачев Н.М. Некоторые свойства нелинейных звеньев с гистерезисом // Тезисы докладов 8-го Всесоюзного совещания по проблемам управления. Таллин,1980.- T.I. - С.40-42.

28. Давиденков H.H. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал теоретич. физики 1938. - Т.8. - â 6. - С.37-38.

29. Давиденков H.H., Лихачев В.А. Необратимое формоизменение металлов при циклическом тепловом воздействии. М.: Машгиз, 1962. - 222с.

30. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с банаховом пространстве.-М.: Наука,1970.-534с.

31. Дезоер Ч.,Заде Л. Теория линейных систем. (Метод пространствасостояний).-М.: Наука, 1970.-690с.

32. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 511с.

33. Доброславский В.Л. О моделях и математическом описании упругих связей с гистерезисом // Рассеяние энергии при колебаниях систем. Киев, 1968. - С. 155-160.

34. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.:Наука, 1980. 3 83с.

35. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 33 5с.

36. Забрейко П.П., Красносельский М.А., Лифшпц E.i. Осциллятор на упруго-пластическом элементе // ДоклАН СССР. 1970. -Т.190.- J* 2. - C.2I7-220.

37. Зубов В.М. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Мзд.2.-Л.-.Машиностроение, 1974. 33 5с.

38. Икюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории.- М.: Наука, 1963. 271с.

39. Иона Ф., Ширине Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965. - 555с.

40. Мшлинский АЮ. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв.АН СССР, ОТН. 1944. - JÉ 9,- С.580-590.

41. Шплинский АЮОбшая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математический журнал. -195 ■4. -Т. е.-Ш. -С.430-441.

42. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете мжронапряжений в теории пластичностиУ/Механика твердого тел а.-1968.3.-С.17-32.

43. Калман Р. Об общей теории систем управления // Труды 1-го конгресса МФАК М., I96I.- Т.2. - С. 521-547.

44. Калман Р.,Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Наука, 1973. - 400с. ,

45. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Мзд.З. -М.: Наука, 1984. 752с.

46. Канторович Л.В.,Вулих Б.З.,Пинскер А.Г.Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.-М.-Л.'.Гостехиздат, 1950.-548с.

47. Качанов Л.М. Основы теории пластичности.-М.: Наука,1969.-420с.

48. Квапиш М. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с 8апаздывающ|ш аргументом в банаховом пространстве //Труда семинара по теории уравнений с отклоняющимся аргументом. УДН М., 1967.-С.96-110.

49. Киренский Л.В. Магнетизм. Л.-М.: Наука, 1967. - 196с.

50. Киренский Л.В., Дрокин A.M., Лаптей Д.А. Температурный магнитный гистерезис ферромагнетиков и ферритов. Новосибирск: Сибирское отд.АН СССР, 1965. - 159с.

51. Киселевский В.Н. Изменение механических свойств сталей и сплавов при радиационном облучении. Киев: Наук.дужа, 1977.-ЮЗс.

52. Клепцын А.Ф. Свойства преобразователя Мизеса // Исследование операторных уравнений. Куйбышев,1983.-С.45-52.

53. Клепцын А.Ф., Покровский A.B. Виброкорректность некоторых гистерезисных звеньев // Динамика неоднородных систем. Материалы семинара.-М.: ^НИИ системных исследований, 1982.-С.62-69.

54. Коваленко А.Д. Основы термоупругости // Избранные труды.-Киев.: Наук.думка, 1976. С.399-685.

55. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мзд-во МЛ, 1958.-474с.

56. Козякин B.C., Красносельский М.А., Покровский A.B. Виброустойчивые гистероны //Докл. АН СССР. -1972. -Т.206. ~М. -С. 800-803.

57. Колосов Ю.С. Положительные периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Канд. дисс.,ВГУ,1966.

58. Колесов Ю.С, Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздаванием.- Вильнюс: Москлас, 1979. 147с.

59. Колмановский В.В.,Носов В.Р.Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.-М.: Наука,I981.-448с.

60. Кравченко A.A. О модели Кадашевича-Новожилова гистерезисных нелинейностей //Методы исследования нелинейных систем управления. М., 1982. - С.43-48.

61. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающцм аргументом //Докл.АН СССР.-1963.-Т.152.-М.-С.801-804.

62. Красносельский М.А. Математическое описание колебаний материальной точки на упруго-пластическом элементе //Дифференциальные уравнения с частными производными.-М., 1970.-С. 146-149.

63. Красносельский М.А. О некоторых новых методах в теории периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной ме-ханике.-М., 1965. Вып.2.-С.81-97.

64. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 32 9с.

65. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962.-394с.

66. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.-392с.

67. Красносельский М.А. Уравнения с гистерезисными нелинейностями //VII Internationale Konferenz über nicht lineare Schwingungen. -Berlin: Akademie Verlag, 19T7.-B.I.-S.437-458.

68. Красносельский М.А.,Даринский Б.М.,Емелин М.В.Забрейко П.П., Лифшиц Е.А.Покровский A.B. Оператор-гистерант //Докл.АН СССР. 1970.- Т. 190.-JÉ I. - С.34-37.

69. Красносельский М.А.,Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 510с.

70. Красносельский М.А.,Крейн С.Г. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Тр.семинара по функц.анализу. Воронеж, ВГУ, 1956.- Вып.2.-С.3-23.

71. Красносельский М.А.,Крейн С.Г. Нелокальные теоремы существования и теоремы единственности для систем обыкновенных дифферен-щальных уравнений //Докл.АН СССР.-1955.-Т. 102.-Jfel.-С. 13-16.

72. Красносельский М.А.,Крейн С.Г. Об одном классе теорем единственности для уравнения у' = f(x,y) // Успехи мат.наук.-1956.- T.II. Вып. I.- С.209-213.

73. Красносельский М.А.,Лифшиц Е.А. Об одном принципе двойственности // Украинский матем.журнал.-1965.-Т.17.-Л 5.-C.II9-I22.

74. Красносельский М.А., Маергойц М.Д. (США), Покровский A.B., Рачинский Д.М. Переменные состояния континуальных систем реле //ДОКЛ.РАН.-1993.-Т.330.- 4.- С.427-430.

75. Красносельский М.А.,Перов A.M. Об одном принципе существования ограниченнык, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Докл.АН СССР.- 1958.-Т. 123.-Ji 2.-С.235-238.

76. Красносельский М.А.,Покровский A.B. Виброустойчивые дифференциальные уравнения с непрерывной правой частью //Труды Московского матем.об-ва. -М., 1972. -Т .27 .-С .'93-112.

77. Красносельский М.А.,Покровский A.B. Виброустойчивость решений дифференциальных уравнений //Докл.Ан СССР.-1970.-Т. 195.-ЖЗ.-С. 544-547.

78. Красносельский М.А., Покровский A.B. Метод блок-схем в математическом моделировании систем со сложными нелинейностями // Труды 8-го конгресса МФАК.-Киото, 1981.-С.88-97.

79. Красносельский М.А.,Покровский A.B. Периодические колебания в системах со сложными нелинейностями // IX Международная конф. по нелинейным колебаниям. Киев,1984.-Т.I.-С.189-193.

80. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы гистеронов // Докл.АН СССР. -I971 .-Т.200.^0.-С.286-289.

81. Красносельский М.А. .Покровский A.B. Системы с гистерезисом. -М.'.Наука, 1983.-271с.

82. Красносельский М.А. .Покровский A.B., Троне ль Ж. ,Черноруцкий В .В. О динамике систем управления, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями //Автоматика и телемеханика. -1992.- £ II.- С.65-72.

83. Красносельский М.А.,Стрыгин B.B. О вычислении вращения вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений // ДоклАН СССР.-1963. Т. 152.-Je 3. - С.540-543.

84. Красносельский М.А., Стрыгин В.В. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений //Докл.АН СССР.-1964.-Т.156.- Ш>.- C.I022-I024.

85. Красносельский М.А. ,Черноруцкий В.В.Об одном классе гистерези-сных нелинейностей//Докл.АН CCCP.-I989.-T.305.-J5.-C.I065-I068.

86. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движений. -М.: Физматгиз., 1959.-211с.

87. Крейн М.Г.,Рутман М.А. Линейные операторы , оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве // Успехи матем. наук. -1948.-Т.3.-Вып.1.

88. Кудрявцев В.А.,Партон В.В. Магнитотермоупругость//Итоги науки и техники.Механика деформ.тела.-М.: BMHMTM,I98I.-T.I4.-C.3-59.

89. Куксин СБ. Применения монотонных полугрупп в теории идеально-упруго-пластичности//Успехи мат .наук. -1982. -Т.37 .-М 5. С. I89-190.

90. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.-М.:Гостехиздат, 1953.- 788с.

91. Латипов Х.Р.,Носиров Ф.У. О влиянии запаздывания на нелинейные системы.- Ташкент: "ФАН", 1988.-С. 116.

92. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения// Успехи мат. наук. -1946. Т. I. -Вып. 3-4. - С. 7 1-95. 'у

93. Лифшиц Е.А. О принципах двойственности для задачи Ь периодических решениях дифференциальных уравнений высших цо рядков // ДоклАН СССР.-1965.-Т. 165.- JE 2.- С277-280. •

94. Лурье А.И. Теория упругости.-М.: Наука, 1970.-939с.

95. Марченко Н.В. О продолжении оператора и существовании неподвижных точек //Докл.АН СССР.-1962.-Т. 147.-Je 5.-CI026-1028.

96. Мартьшюк Д.М., Коломиец В.Г. Периодические решения сильно нелинейных систем с запаздыванием // Матем. физика.-Киев, 1968.-Вып.4.-С.55-65.

97. Мартынюк Д.М., Самойленко 1.М. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием // Матем. физика.-Киев, 1967.-Вып.3.-С.128-145.

98. Мартынюк Д.М. ,Фодчук В.М. Периодические решения дифференциального уравнения п-го порядка с запаздыванием //Матем. физика. -Киев, 1969.-Вып.4.- С.90-92.ЮО.Мессарович М.,Такахара Я.Общая теория систем.-М.:Мир,1978.-311с

99. Митропольский ЮА Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наук. думка,I97I.-440с.

100. Митропольский Ю.А.,Мартынюк Д.М. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием.-Киев:Мзд-во АН УССР, 1969.-309с.

101. Митропольский Ю.А.,Мартынюк Д.М. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием.- Киев: Вища школа, 1979.-247с.

102. Митропольский Ю.А.,Самойленко А.М.,Мартынюк Д.М. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами.-Киев :Наук. думка, 1984 .-213 с.

103. МШИН В.В.Пластичность при переменных нагружениях.-М.:Мзд-во МГУ, 1968.-263с.

104. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды //Прикладная мат. и мех.-1965. -T.29.-J« 3.- С.468-492.

105. Натансон М.П.Теория функций вещественной переменной.Мзд.2.-М.: Гостехиздат.1957.-552с.

106. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории колебаний.М.: Наука, 1972.-471с.

107. Нетушил A.B. Автоколебания в системах с отрицательным гистерезисом // Труды 5-й Международной конференции по нелинейным колебаниям.- Киев,1970.-Т.4.- С.393-407.

108. Нетушил A.B. Нелинейное звено типа упор //Автоматика и теле-механика.-1968.-7.- С. 175-179.

109. Новожилов В.В. О сложном Нагружении и перспективах феноменелогйче ского подхода к исследованию микронапряжений //Прикладная мат. и мех.-'1964.-Т.28.-Л 3.- Q.393-400.

110. Пальмов В.А.Колебания упругопластических те л.-М.: Наука, 1976. -328с.

111. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем.-М.:ФизматгизД960.-193с.

112. Перестюк Н.А.,Щ1дыло К.В. О периодических решениях одного класса систем дифференциалБНо-разноетных уравнений //Материалы ИГ Всесоюзн.межвуз.конф.по теории и приложениям диф. уравнений с отклоН.аргументом.-Киев, 1972.-С.154-155.

113. Петрова 1.П. ,Садовский В.Н. К математической теории электрических цепей с диодными преобразователями тока/Воронежск .гос. ун-т. -Воронеж, 1982. -22с. -Рукопись деп. в ЕМШМ 10.08.82,М403.

114. Петровский М.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1970.-279с.

115. Шсаренко В.Г. Периодические решения одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом//Анажтически© и качественные методы теории дифференциальных уравнений.-Киев, 1972.-О.-175-186.

116. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. -Киев: Мзд-во АН УССР, 1962.-436С.

117. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала.-Киев:Изд-во АН УССР,Р970.-377с.129.11исаренко Г.СКиселевский В.Н. Прочность и пластичность материалов в радиационных потоках.-Киев: Наук.думка, 1979.-282с.

118. Писаренко Г.С. ,МожаровскиЙ Н.С. ,Антипов Е.А. Сопротивление жаропрочных материалов нестационарным температурным воздействиям.- Киев: Наук.думка,1974.-198с.131 .Плисе В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний.-М.-Л. :Наука, 1964. -368с.

119. Покровский A.B. К теории гистерезисшх нелинейностей//Докл.АН СССР.-1973.-Т.210.6.-С.896-900.

120. Покровский A.B. Нелокальная продолжимость решений виброустойчивых дифференциальных уравнений //Докл.АН СССР.-1973.-Т.208.6.-C.I286-I289.

121. Покровский A.B. Об одном классе разрывных систем //Автоматика и телемеханика.- 1981.-Л7.-С.47-51.

122. Покровский A.B. Системы с сильными нелинейностями //Математическая теория систем.-М.:Наука,1986.-С.96-112.

123. Потапов В.Н. Мультипликативная структура J-нерастягивающих матриц-функций. -Труды Московок .мат. об-ва. -1955. -Т. 4. -С. 125-236.

124. Прагер В. Неизотермическое пластическое деформирование //Сб. переводов"Механика".-М.,1959.-5(57).- С. 795-101.

125. Прагер В.,Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел.-М.: Мзд-во МЛ 1956.-398с.

126. Привальский В.В. Задача Коши для систем с простейшими гистерезисными нелинейностями //Качественные и прибжженные методы исследования операторных уравнений.-Ярославль:Изд-во ЯГУ,1980.-С.112-118

127. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.:Гостехиздат, 1947.-392с.

128. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.--М.: Наука,1969.-287с.

129. Рябов ЮА Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием //Труды семинара по теории дифф.ур-ний с отклон.аргументом.УДН.-М. ,1962.-Вып.1.- C.I03-II3.

130. Рябов Ю.А., Хусанов Д.Х. Построение и оценки по тригонометрической норме периодических решений интегро-дифференциальных уравнений в теории вязкоупругости / / Матем.физика.-Киев, 1983.-Вып.34.- С. 36-42.

131. Самойленко A.M. ,Ронто Н.М. Численно-аналитические метода исследования периодаческих решений.-Киев :Вища ж. ,1976.-179с.

132. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т.И.-М. : Мзд-во М, 1954. -415с.

133. Седов Л.М. Механика сплошной среда.-М.:Наука,1976.-Т.I.-535с.; 1976.-Т.2.- 573с.147. смит Дж.М. Модели в экологии.-М.: Мир,1976.-182с.

134. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем.- М.:Госстройиздат,1960.-131с.

135. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // Успехи матем.наук .-1966.-Т.21 .-Вып.5.-С.265-267.

136. Стрыгин В.В. О зависимости от параметра одного интегрального оператора //Докл.АН СССР.-1964.-Т.-159.-Л I.- С.28-31.

137. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов.-М. : Наука,1965.-Т. 2.-480с.

138. Филатов А.Н.,Шарова Л.В. Мнтегральные неравенства и теория нелинейных колебаний.- М.:Наука, 1976.- 152с.

139. Филиппов А.Ф.Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью //Матем.сб.-1968.-Т.51.-JÉ I.-С.99-108.

140. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнений с разрывной правой частью.-М.: Наука,1985.-224с.

141. Фодчук B.I. Деяк! теореми 1снування 1 ВДНО для диферен-ц1альних р1внянь 1з зап1знюючим аргументом // Доп.АН УРСР.--1962.-Ш2.-С. I54I-I545.

142. Фодчук В.М. Об интегральных многообразиях для систем с запаз-даванием //Тр. V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям. -Киев,1970.-ТЛ.- С.558-564.

143. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти периодических систем с запаздаванием //Revue de math.pures et appl., Acad. RPR.-1964.- 9,7.-P.667-675.

144. Халанай A. Системы с запаздаванием. Результаты и проблемы //Сб.переводов "Математика".-М.,1966.- 10,5.-0.85-102.

145. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Мир, 1970.-7200.

146. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. -1965. -JÉ 5.- С753-763.

147. Bañas J., HaAnosz А., Wedrychowlcz St. Relations among various criteria of uniqueness for ordinary differential equations // Comment, math. Univ. Carol. 1981. - V. 22. - JÉ 1. - P. 59-70

148. Becker R. Elastische Nachwirkung und Plastizität //Zeitschrift fur Physik. 1925. - В. 33. - H.5. - S. 185-212.

149. Bernfeld S.R., Driver R.D., Lakshmlkantham V. Uniqueness of ordinary differential equations //Math. Systems Theory.-1976.-Y.9.-JÉ 4.-Р.359Ч36Т.

150. Bouc R. Modele mathématique d'hysteresis application au circuit oscillant a sell sa tupable//Tp. V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям. -Киев,1970.-T.4.-С.100-113.

151. Bownds J.M. A Uniqueness Theorem for y'-f(x,y) Using a CertainFactorization of f//Jörn».of Diff.Equations.-1970.-V.7.-P.227-23 1.

152. Bownds J.M. A Uniqueness Theorem for Non-Llpschitzian Systems of Ordinary Differential Equations // Punkciala:! EkyacloJ.-1970.-V.13.-P.61-65.

153. Caratheodory С .Vorlesungen über reelle Punktionen é -Leipzig, 1927.

154. Chernorutskli V.V. ,Krasnosel'skli M.A:. Hysteresis systems with variable characteristics //Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Appllcatlons.-1992.-V.t8.-JÉ 6.-P.543-557.

155. Coleman B.D.,Noll W. -'Poundations of linear vlscoelastlcity // Rev. Modern Phys.-r961 .-V.33.-P.239-249.

156. Conti R. Sulla prolungabliitla délie soluzlone dl ш sistema del equasloni dlfferenslall ordlnarle // Boll.Unlone Mat. ital.-1956.-V.11 4.-P.510-514.V

157. Driver R.D. Existence Theory for a Belay-Dlfferentlal System // GOntrib. toDlff. Eq.-1.963-.-V.1.-JÉ3.-P.317-336.

158. Dugünd;il J. An extension of Tietze's theorem //Рас. J.Math. -1951.-V. 1.-JÉ 3.-P .353-367.

159. Gard Т.е. A generalization of the Nagumo uniqueness criterion //Proc.Affler.Math.S0Cv-1978.-V.70w-JÉ 2.-P.167-172.

160. Grafton R. A periodicity theorem for autonomous functionaldlfierentlal equations // J.DifferentlalEqns.-1969.-V.6.-P. 87-109.

161. S.Groger G. Zur Theorie des quaslstatlsclien Verhultens von elastisch plastischen Körpern // Zelt. ing. Math. Mech. -1978.- B.58.- H.H. - S.36-41.

162. Haie J.K. Averaging Methods for Differentlal.Equations with Retarded Argmentsmd a Small Parameter // J. Different. Equat.-1966.-V.2.- W 1.-P.57-73.

163. Heldel J.W. Uniqueness, continuation, and nonosclllatlon for a second order nonlinear differential equation //Pacific J. Math.- 1970.-V.32.-P,715-721.

164. Hutchlnson G.E. Circular causal systems In ecology // Ann. N.Y.Acad.Scl.-1948.-Y.50.-P.221-246.187.1wan W.D., Lutes L.D. Response of the bilinear hysteretlc system to stationary random excitation // Joum.Accust.Soc. Amer.- 1968.-V.43.-JE3,-Pv545-553.:

165. Jones G. The existence of periodic solutions of f'(x)= -af(x-1)1+f(X). // J.Math. Ana. Appl.-1962.-V.5.-P.435-450.

166. Kamke E. Differentlaiglelchungen reeler Punktionen.-Leipzig: Academ.Verlags-gesellschaft, 1930;New York:Chelsea, 1947.

167. Karnopp D.,Scharton T.D. Plastic deformation in random vlhrat ion//Journ. Acoust. Soc .Amer.-1966.-V. 39.-JE. 6.-P. 1154-11 A

168. Kronmuller 1. Nachwirkung In Perromagnetlka. -Bonn: Sprlnger--Verlag,1968.

169. Lakshmlkantham V. Uniqueness theorems for ordinary and hyperbolic differential equatlons/ZMlchigan Math. J.-1962.-V.9.-P.161-166.

170. Lakshmlkantham V.,Leela S:. Dlfferantlal and Integral Inequali-ties.-New York: Academic Press, 1969.-Vol. 1.

171. Lere J. Theorie das points fixes. Indice total et nombre de1.i sehetz// Bull.Soc.Math.Prance.-I959.-V.87.-P.221-233.

172. Lions Y.-L. Inequations varlatlomielles d'evolutlon/ZIntonaa-tlonal Congress of Mathematicians.-Nice, 1970.

173. Lutes L.D. Approximate technique for treating random vibration of hlsteretlc systems//Journ.Acoust.Soc,Amer.-1970.-V.48.-J* 1. -P.299~306.

174. Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresls.-B. .-Springer -Verlag, 1991.

175. Montel P. Sur l'Intégrale supérieure et l'Intégrale Inférieure d'une equation différentielle// Bull.des Sciences Math.-1926.-V.50. P.205-217.199.loyer R.D. A general uniqueness theorem// Proc. Amer.Math.Soc.-1966.-V.17.-JÉ 3.-P.602-60T.

176. Nagumo M. Eine hinreichende Bedingung fur die Unltat der Losung von Dlffrentlalglelchungen erster Ordnung//Jap, Journ. of Math.-1926.-V.3.-P.107-112.

177. Perron 0. Eine hinreichende Bedingung fur die Unltat der Losung von Differentialgleichungen erster Ordnung // Math. Zelt sehr. -1928. -B.2&.-S.216-219.

178. Prager W. A new method of analysing Stresses and strains In work-hardening plastic solids//J.Appl.Mech.-1956.-V.23.-JÉ 4 -P.493-496.

179. Prager W. On Ideal locking matherlals.-Soc.Rheology.-1957.-V.1 .-P.169-175.

180. Rogers T. On Nagumo's concLltlonZ/CanâçL. Matli.Bull.-1972.-V.15.-JE 4.-P.609-611.

181. Rosenblatt A. Ueber die Existenz von Integralen gewöhnlicher Differentialgleichungen//Arch, for Matem.Astr.och Pyslk. -1909.-B.5.-JÉ 2.-S.4.

182. Salnt-Venant M. Sur I'etabllssment des equations des mouvements Intereurs opères dans les corps ductiles au-dela des limites d'elastlslte//C.R.Acad.Scl., Paris. 1870.-V.70.-P.473-480.

183. Saint-Venant M. Sur les equations du mouvement In ter leur du solides ductlles//J.Math.Pures et Appl.-1871 .-V. 16.-P.373-382.

184. Smith H.L. On periodic solutions of delay Integral equations modeling epldemdcs and population growth.-Ph D. Thesis,Univ. of Iowa, May 1976.

185. Tresca H.-C.R.Âcad.Scl.Parls.-1864.-V.59.-P.54-112.

186. Vlzlntln A. Mathematical models of hysteresis. Topics In nonsmooth analysis.-B.:Blrkhauser Verlag, 1988.

187. Volterra E. Vibration of elastic systems having hereditary characteristics//J. Appl.Mech.-1950.-V.I 7.-P.363-371.

188. Volterra V. Sulle equazlonl Integro-dlfferenzlall della elasclta nel caso della lsotroplcca//Rend.Acad.Llncel.-1909.-V.5.-JÉ 18.-P. 577-586.

189. Vol terra V. Sur la théorie mathématique des phehomenas heredl-tlres//J.Math.Pures et Appl.-1928.-V. 1 .-P.249-298.

190. Wângersky P.J., Cunningham W.J. Time lag In preypredator population models//Ecology.-1957.-V. 38.-P. 136-139.

191. Wend D.V.V. Existence and uniqueness of solutions of ordinary differential equatlons//Notlces Amer.Math.Soc.-1968.-V. 15.-JÉ 89.

192. Wend D.V.V. Existence and uniqueness of solutions of ordinary differential equatlons//ProG.Amer.Math.Soc.-1969.-V.23.-P.27-33.

193. Wend D.V.V. Uniqueness of solutions of ordinary differential equat lons//Amer. Math.: Ion thly. -1967.-V .74. -P. 948-950.

194. Wlntner A, The nonlocal existence problem of ordinary dlffe-rentlal equationsZ/Amer. J.Math.-1946.-V.68.-Jfe 1.-P .277-284.

195. Wlteman I.R. A mathematical model depleting the stress-strain diagram and the hysteresis loopZZJoum.Appl.Mech. (Trans.ASME series E)-1959.-V.26.-JSI.-P.95-100.

196. Wltte J. Eln Elndeutlgk:eltssatz fur die Differentlalgleichung y '=f(x,y) //Math. Zeltschr.-1974.-B.160.-H.3.-S.281-287.

197. Борздыко В.М.Положительные периодические решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся apгyмeнтoмZZДoкл.АН ТаджССР. -1966.-Т.9.4.-С.3-5.

198. Борздыко В.М.Положительные периодические решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом прос-тpaнcтвeZZДoкл.AH ТаджССР.-1968.-ТДи 7.-С. 3-6.

199. Борздыко В.М. Об альтернативном принципе существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающим apгyмeнтoмZZДoкл. АН ТаджССР.-1976.-Т. 19.10.-С.6-9.

200. Борздыко В.М. Применение топологических методов в теории положительных периодических решений функционально-дифференциальных ypaBHennftZZ Мзв.АН Тадж.ССР. Отд.физ.-мат. и геол.-хим. наук.-1979.-1 2.-С.22-30. •

201. Борздыко В.М. Положительные периодические решения функционально-дифференциальных ypaBHeHHEZ/MsB.AH ТаджССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. наук.- 1979.J 4.- C.II-I9.

202. Борздыко В.М. О существовании ненулевых положительных периодических решений у функционально-дифференциальньк уравнений//Мзв. АН ТаджССР.Отд.физ.-мат.и геол.-хим. наук. -1 982. I.-27-3 6»

203. Борздыко В.М. Об исследовании популяционной модели Хатчинсона //Дифференц. уравнения .-1985 ,-Т .21 2. С. 316-318. V

204. Борздыко В.М. О некоторых классах теорем единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Докл. М ТаджССР.- 1985.- Т.28.- а 10.- С.547-551.

205. Борздыко В.М. Теоремы единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Дифференц.уравнения.- 1987.-Т.23.-Л 6.- 0.937-941.

206. Борздыко В.М. Теорема единственности типа теоремы С.Р.Берн-фельда, Р.Д.Драйвера и В.Лакшмикантама для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями// Докл.АН ТаджССР.-I987.-T.30.-J« 2.- С.74-77.

207. Борздыко В.М. Условия существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Докл.АН ТаджССР.- 1987.-Т.30.-1 12.- С.766-770.

208. Борздыко В.М. Условия единственности для систем дифференциальных уравнений с гистерезисными членами// Дифференц. уравнения. -1988.- Т.24.- J« 8.- С. 1291--1295. ;

209. Борздыко В.М. Теорема единственности типа теоремы Венда для дифференциальных уравнений с гистерезисными: нелинейностями// МзвАН ТаджССР. Отд. физ—мат. и геол.-хим. наук.- 1988.J« 2.- С. 63-65.

210. Борздыко В.М. Об одном топологическом методе доказательства существования положительных,периодических решенийАу нально-дифференциальных уравнений// Дифференц.уравнеш|я.-I990.-T.26.-J« 10.- С. 1671-1678. >

211. Борздыко В.М. Переменный гистерон//Докл.Ш1.-1994.-Т.324.-^ 2.-С.269-272.

212. Борздыко В.М. Признаки единотве1Шобти для дйфе уравнений с гистерезисными нелш1Йнрстями//Докл.РАН.-1992.-Т. 324.- }6 I.- 0.56-59.

213. Борздыко В.М. Нелинейные нестационарные системы с гистерезисом// Автоматжа и телемехаш1ка.-1994.-1« 5.- С.20-26.

214. Борздыко В.М. Существование положительных периодических решений у функционально-дифференциальных уравнений//Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений.-Душанбе,I987.-4.I.-С.56-57.

215. Борздыко В.М. Теорема единственности для системы дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. -Душанбе, 1987. -Ч. I. -С. 58-59.

216. Борздыко В.М. Задача Коши дифференциального уравнения с гистерезисной нелинейностью // Украинская конференция "Модеж-рование и исследование устойчивости систем". Тезисы докладов конф. -Киев, 1994.- С. 13-14.

217. Борздыко В.й. Об исследовании моделей ,Ахищник-жертва" // Конф» "Математическое &/юдепирование в естественных и гуманитарных науках Тезисы докладов конф. Воронеж, 2000. -с. 34,