Диффузионные модели со случайным переключением параметров. Расчёты и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Данилова, Наталья Викторовна

• Данилова, Наталья Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данилова, Наталья Викторовна

Список сокращений и аббревиатур.

Введение.

Глава 1. Расчёты для общих бинарных моделей с одним и с двумя источниками случайности.

§1.1. Описание общей бинарной модели с одним источником случайности.

§1.2. Конструкция мартингальной меры.

§1.3. Стохастическая экспонента.

§1.4. Понятие о дискретном преобразовании Гирсанова.

§1.5. Постановка задач и алгоритмы решения.

§1.6. «Модель с барьером».

§1.7. «Модель с коридором».

§1.8. «Модель с ^порогами».

§1.9. Модель с двумя источниками случайности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диффузионные модели со случайным переключением параметров. Расчёты и приложения»

Актуальность темы.

Отметим, что в последние сорок лет наблюдается бурное развитие методов стохастического анализа, связанных с математическим моделированием многих важных процессов, протекающих в различных сферах: от финансовых рынков до трафиков компьютерных сетей. В основе многих исследований этого направления лежит теория случайных процессов и теория мартингалов. В нашей стране глубокие результаты, связанные с теорией мартингалов и методами стохастического анализа, получены членом-корреспондентом РАН, профессором А.Н.Ширяевым, его учениками и участниками руководимых им научных семинаров в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН и Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. В список этих учёных входят А.А.Гущин, Ю.М.Кабанов, Д.О.Крамков, А.В.Мельников, А.А.Новиков, В.Н. Тутубалин, В.М. Хаметов, А.С.Чёрный и др. На юге России в указанном направлении активно работают Г.И.Белявский, И.В.Павлов, Д.Б.Рохлин и др. Среди иностранных учёных выделим Ф. Делбаена, Ж.Жакода, Д.Зондермана, М.Йора, И. Каратзаса, М.Мадана, Ю.Мишуру, К. Стрикера, X. Фельмера, В. Шахермайера, А. Шида, С. Шрива.

Уравнение Блэка-Шоулса [38, стр. 912] является одним из значительных в стохастическом анализе. Его решением является экспоненциальный процесс, принимающий по своему определению неотрицательные значения. Данный процесс может использоваться при описании флуктуации цен акций, трафика и во многих других реальных ситуациях.

Для лучшего описания динамики различных явлений требуются более сложные модели, например, с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Поэтому в диссертации рассматриваются оптимизационные задачи на траекториях, которые являются решениями стохастических дифференциальных уравнений с изменяющимися в случайные моменты времени коэффициентами, и приводятся различные алгоритмы их решения. Данные алгоритмы строго обоснованы и реализованы в программном обеспечении, что делает работу актуальной как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Объектами исследования настоящей диссертации являются модели, связанные со стохастическими дифференциальными и стохастическими разностными уравнениями, а также параллельные вычислительные алгоритмы и программные комплексы.

Целью диссертационной работы является получение и реализация алгоритмов решения задач, связанных со стохастическими дифференциальными уравнениями с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Для этого потребовалось решить следующие задачи:

1) построить модель, описываемую стохастическими дифференциальными уравнениями с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами;

2) разработать численные методы нахождения решений задач, связанных с данными уравнениями;

3) создать программный комплекс, реализующий эти вычисления.

Методика исследований.

При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных. В качестве основного алгоритмического языка выбран объектно-ориентированный язык С++.

Научная новизна.

Построены и полностью изучены новые модели, основанные на стохастических дифференциальных уравнениях с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Приводятся и реализуются алгоритмы решения задач, связанных с данными уравнениями. Рассматриваются приложения данных алгоритмов к финансовой математике.

Выносимые на защиту результаты:

1) Модели с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами и их анализ. Численные методы решения оптимизационных задач для рассматриваемых моделей, использующие аналитический подход, метод аппроксимации, метод Монте-Карло.

2) Модели с двумя источниками случайности и их анализ. Численные методы решения оптимизационных задач для рассматриваемых моделей, использующие метод нахождения оптимальной меры в случае среднеквадратического критерия.

3) Параллельные алгоритмы решения оптимизационных задач.

4) Программная реализация алгоритмов.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в работе теоремы представляют ценность для развития аппарата стохастического анализа в приложении к решению оптимизационных задач математического моделирования на траекториях. Результаты диссертации могут быть применены при работе на рынке ценных бумаг для построения хеджей в случае Европейских и Американских платёжных обязательств. Полученные в работе алгоритмы могут быть использованы и в других сферах человеческой деятельности при решении задач математического моделирования, использующих стохастические дифференциальные уравнения.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) строгими доказательствами утверждений, результатами численного моделирования;

2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах.

Реализация результатов работы.

Полученные в работе теоретические и практические результаты применяются в образовательном процессе при чтении курса «Финансовая математика» на кафедре «Высшая математика и исследование операций» Южного федерального университета (ЮФУ). Диссертация поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» Г/К 02.740.11.0208. Полученный в работе программный комплекс «Программная реализация параллельного метода расчёта оптимальных стратегий на бинарном графе» присутствует в банке учебно-методических разработок ЮФУ (рег.№555).

Апробация диссертации.

Результаты, относящиеся к диссертации, были изложены автором на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Конференция проводилась с 9 по 15 сентября 2008 года в пос. Абрау-Дюрсо. Название доклада «Об оптимальной стратегии мягкого скупщика акций».

2. Научно-практическая конференция «Неделя науки». Конференция проводилась с 20 по 27 апреля 2008 года в ЮФУ (г. Ростов-на-Дону). Название доклада «Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков».

3. Международный Российско-Абхазский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Симпозиум проводился с 1 по 8 мая 2009 года в Абхазии. Название доклада «Преобразование Эшера для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности».

4. Международная научно-практическая конференция «Инфоком-2009». Конференция проводилась с 10 по 11 мая

2009 года в Северо-Кавказском филиале Московского технического университета связи и информатики (г. Ростов-на-Дону). Название доклада «Теорема Гирсанова для одной модели в непрерывном времени».

5. Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-2009». Конференция проводилась с 20 по 22 апреля 2009 года в Ростовском государственном университете путей сообщения. Название доклада «Теорема Гирсанова для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности».

6. Десятый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 16 по 23 октября 2009 года в г. Сочи-Дагомыс. Название доклада «Об одной общей бинарной модели (В,8)-рынка».

7. Одиннадцатый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Конференция проводилась с 1 по 8 мая 2010 года в г. Кисловодске. Название доклада «Об одной модели (В,8)-рынка со случайным изменением коэффициента тренда».

8. Двенадцатый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 16 по 23 октября 2010 года в г. Сочи-Дагомыс. Название доклада «Расчёты для диффузионной модели с переключением параметров».

По теме диссертации было сделано несколько докладов на семинарах кафедр «Высшая математика и исследование операций», «Математическое моделирование» факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Публикации по теме диссертации.

К теме диссертации относятся следующие статьи автора: [113]-[125]. То есть, по теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 2 без соавторов. Из них 7 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в совместных публикациях таков. В [113] автор разработал алгоритм построения хеджа в модели со случайными моментами переключения параметров, применив метод Монте-Карло. В [114] автор разработал алгоритм построения хеджа в модели со случайными моментами переключения параметров, найдя плотность совместного распределения моментов переключения. В [115] автор вычислил оптимальную стратегию мягкого скупщика акций. В [116] автор сформулировал необходимые и достаточные условия для существования преобразования Эшера для модели с двумя источниками случайности. В [117] автор вычислил оптимальную мартингальную меру в случае среднеквадратического критерия для модели со стохастической волатильностью. В [118] автор сформулировал необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять параметры модели для существования преобразования Гирсанова. В [119] автор сформулировал необходимые и достаточные условия на параметры модели с двумя источниками случайности для существования переобразования Гирсанова. В [120] автор разработал алгоритм построения хеджа для модели со случайными моментами переключения параметров, применив метод дискретной аппроксимации. В [121] автор разработал алгоритм построения оптимальных стратегий для «модели с коридором». В [124] автор построил верхний, нижний и среднеквадратический хеджи для класса моделей неполных рынков. В [125] автор построил верхний, нижний и среднеквадратический хеджи для модели с «мягкой скупкой».

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы (125 наименований). Каждая глава состоит из параграфов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Данилова, Наталья Викторовна

4.8. Основные результаты работы программы по расчёту среднеквадратического хеджа в модели с двумя источниками случайности в случае Европейского опциона Call. I I

Пусть начальные данные имеют следующий вид: N = 5,К = 40,S0 = 29. I

Проведем несколько экспериментов для одних и тех же исходных данных и выясним, как зависит цена хеджа от величины цены исполнения и количества дней, на которое строится хедж. '

Сначала проследим, как изменятся цена хеджа при изменении цены исполнения опциона, число дней, на которое строится хедж, оставляем неизменным — 5 дней:

Цена исполнения опциона Цена хеджа

36 8,5126

38 6,7091

40 4,9056

42 3,4904

44 2,8140

46 2,1375

48 1,4611

50 0,7906

52 0,5429

54 0,4302

56 0,3174

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключение приведём основные результаты нашего исследования, выносимые на защиту:

1)Модель, состоящая из двух стохастических дифференциальных уравнений, с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами.

2)Дискретная аппроксимация модели, состоящая из двух стохастических разностных уравнений.

3)Постановка важных для практики оптимизационных задач. Получение алгоритмов решения, программная реализация и сравнение.

4)Модель с двумя источниками случайности, её дискретная аппроксимация, решение оптимизационных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данилова, Наталья Викторовна, 2010 год

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. 600 с.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977.

3. Боди 3., Мертон Р.К. Финансы. М.:Вильямс, 2003.

4. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.:Наука, 1986.

5. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.:Физматлит, 2005. 408 с.

6. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. М.: Инфра-М, 1996.

7. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные контракты. М.: Тривола, 1995.

8. Вентцелъ А.Д. Курс теории случайных процессов. М., 1996.

9. Волков И.К., Зуева С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М.: МГТУ им. Баумана, 1999.

10. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.:ТВП, 1997. т.4. №1.с. 18-65.

11. Голиц Л. Финансовая инженерия. Инструменты и способы управления финансовым риском. М.:ТВП, 1998. 576 с.

12. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.:Наука, 1969.400 с.

13. Дейтел Х.М., Дейтел П.Дж. Как программировать на С++. М.: Бином, 2005. 1248 с.

14. Джекел П. Применение методов Монте-Карло в финансах. М.: Интернет-Трейдинг, 2004.

15. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М.: Иностранная литература, 1956.

16. Ермаков C.M. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: ТВиМС, 1975.472 с.

17. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1,2. М.:Физматлит, 1994.

18. Крамков Д.О., Ширяев А.Н. О расчётах рациональной стоимости «русского опциона» в симметричной биномиальной модели (B,S)-рынка. Теория вероятн. и её примен., т.39, в.1, 1994. с. 191-200.

19. Крылов Н.В. Введение в стохастическое исчисление. // Стохастическое исчисление. / Под ред. Ю.В.Прохорова, А.Н.Ширяева. -М.:ВИНИТИ, 1989. (Серия соврем, проблемы матем. Фундаментальные направления, т.45. гл.1)

20. Леей П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.:Наука, 1972. 376 с.

21. Липпман С. Б. Основы программирования на С++. М.: Вильяме, 2002. 256 с.

22. Мельников A.B. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчётпроизводных ценных бумаг. М.:ТВП, 1997.

23. Мельников A.B., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.:ГУ ВШЭ, 2001.

24. Мельников A.B., Нечаев В.Л. К вопросу о хеджировании платёжных обязательств в среднем квадратическом // Теория вероятн. и её примен. 1998. т. 43. с. 672-691.

25. Мельников A.B., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчётов с ценными бумагами. — Препринт. М.: Научно-иссл. актуарно-финансовый центр, 1996, №3, 13 с.

26. Минакова H.H., Невская Е.С., Угольницкий Г.А., Чекулаева A.A.,

27. Чердынцева М.И. Методы программирования. Учебное пособие. 2-ое издание. М.: Вузовская книга, 2000. 280 с.28)29)I30)31)32)33)34)35)36)37)38)39)40)

28. Новиков A.A. Расчёт опционов американского типа: минимаксныйстатистический подход. — Теория вероятн. и её примен., 1998. Павлов И.В., Красий Н.П. Стохастическая финансовая математика. РГСУ, 2005. 60 с.

29. Первозванский A.A. Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчёт ириск. М.: Инфра-М, 1994. Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. М.:

30. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. 2-е изд.

31. М.:ФАЗИС, 2004. т. 1,2. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. 1. Дискретное время. // Теория вероятн. и её примен., 39, 1994, в.1, с.23-79.

32. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников A.B. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. 2. Непрерывное время. // Теория вероятн. и её примен., 39, 1994, в.1, с.80-129.

33. Эндрюс Г.Р. Основы многопоточного, параллельного ираспределённого программирования. М.: Вильяме, 2003.

34. Amin К., Khanna A. Convergence of American option values from discreteto continious- time financial models. Math. Financ., 289-304, 1994.

35. Amin K.L. On the computation of continious time option prices usingdiscrete approximations. J. Financ. Quant. Anal. 26, 477-495, 1991.

36. Bachelier L. Theorie de la speculation. Ann. Ecole Norm. Sup., 1900,v.17, p. 21-86.

37. Bardhan J., Chao X. Pricing options on securities with discontinuousreturns. Stoch. Process. Appl., 1993, v. 48, №1, p. 123-137.

38. Barndorff-Nielsen O.E. Exponentially decreasing distributions for thelogarithm of particle size // Proceedings of the Royal Society. London. Ser. A. 1977. v. 353. p. 401-419.

39. Barndorff-Nielsen O.E. Gaussian \\ Inverse Gaussian processes and themodeling of stock returns. Preprint. Aarhus University, October, 1994.

40. Bjoerk T. Arbitrage theory in continious time. 2nd edn. Oxford University1. Press, Oxford, 2004. I

41. BlackF. The holes in Black-Scholes. // RISK-magazin. March, 1988.

42. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. //

43. Journal of Political Economy, 81, 1973, №3, p.637-659.

44. Boyle P., Broadie M., Glassermann P. Monte-Carlo methods for securitypricing. Journal of Economic Dynamics and Control, 21 (8/9): 12671322, 1997.

45. Boyle P.P., Evnine J., Gibbs S. Numerical evaluation of multivariatecontingent claims. Rev. Financ. Stud. 2, 241-250, 1989.

46. Boyle P.P., Lau S.H. Bumping up against the barrier with the binomialmethod. J. Deriv. 1, 6-14, 1994.

47. Brandimarte P. Numerical methods in finance and economics with1. MATLAB. 2nd, Wiley, 2006.

48. Capasso V., Bakstein D. An introduction to continuous-time stochasticprocesses. Birkhauser, 2005.

49. Chang L., Palmer K. Smooth convergence in the binomial model. //

50. Springer-Verlag, 2006. p. 91-105.

51. Ciesielski Z. Holder conditions for realizations of Gaussian processes. //

52. Transactions of the American Mathematical Society. 1961. v.99.p.403-413.

53. Colwell D.B., Elliot R.J. Discontinuous asset prices and non-attainablecontingent claims and corporate policy. — Math. Finance, 1993, v. 3, №3, p. 295-368.

54. Copeland T., Westen J. Financial theory and corporate policy. Reading:1. Addison-Wesley, 1983.

55. Cox J. C., Rubinstein M. Option markets. Prentice-Hall, 1985.

56. Cox J.C., Ross S.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. J.

57. Financ. Econ. 7, 229-263, 1979.

58. Diener F., Diener M. Asymptotics of the binomial formula for optionpricing. http://www-math.umce.frf00000708-LG)< 1999.

59. Diener F., Diener M. Asymptotics of the price oscillations of a Europeancall option in a tree model. Math. Financ. 14, 271-293, 2004.

60. Duffie D. Dynamic asset pricing theory. 3d ed. Princeton: Princeton1. University Press, 2003.

61. Duffie D., Richardson H.R. Mean-variance hedging in continuous time //

62. Ann. Appl. Probab. 1991. v. 1. p. 1-15.

63. Eberlein E., Keller U. Hyperbolic Distributions in Finance. Bernoulli, Vol.1, No. 3, p. 281-299. Freiburg, 1995.

64. Follmer II, Schweizer M. Hedging of contingent claims under incompleteinformation // Applied stochastic analysis (London, 1989). Gordon & Breach, New York, 1991. (Stochastic Monogr.; v.5). p. 389-414.

65. Follmer H., Schweizer M. Hedging by sequential regression: An introductionto the mathematics of option trading // Astin Bulletin. 1989. v. 18. p. 147160.

66. Follmer H., Sondermann D. Hedging of non-redundant contingent claims //

67. Contributions to mathematical economics. North-Holland, Amsterdam, 1986. p. 206-223.

68. He H. Convergence from discrete- to continious-time contingent claimprices. Rev. Financ. Stud. 3, 523-546, 1990.

69. Heston S., Zhou G. On the rate of convergence of discrete-time contingentclaims. Math. Financ. 10, 53-75, 2000.

70. Hsia C.C. On binomial option pricing. J. Financ. Res. 6, 41-50, 1983.

71. Hubalek F., Schachermayer W. When does convergence of asset priceprocesses imply convergence of option prices? // Mathematical Finance, vol.8, №4, 1998. p.385-403.

72. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities

73. Journal of Finance. 1987. v. 42. p. 281-308.

74. Hull J.C. Options, futures, and other derivatives. 5th ed. NJ:Prenticc Hall,2000.

75. Jarrow R., RuddA. Option Pricing. Irwin, Homewood, 1983.

76. Jiang L., Dai M. Convergence of binomial tree method for Americanoptions. In: Chen H., Rodino L. (eds.) Partial differential equations and their applications (Proceedings of the conference, Wuhan, China), p. 106118. World Scientific, Singapore, 1999.

77. Karasozen D.,B., Kohler M., Korn R. Recent developments in appliedprobability and statistics. Physica-Verlag, 2010.

78. Klebaner F. Introduction to stochastic calculus with applications. Second

79. Edition. Monash University, 2005.

80. P., Xia J. Minimal martingale measures for discrete-time incomplete financial markets // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 2002. v. 18, №2, p. 349-352.

81. Markowitz H. Portfolio selection. // Journal of Finance, 7, 1952. p. 77-91.

82. Melnikov A.V., Shiryaev A.N. Criteria for the absence of arbitrage in the financial market. — В кн.: Успехи теории вероятностей и её применений II. / Под ред. А.Н.Ширяева и др. М.:ТВП, 1996, №3, 13 с.

83. Merton R.S. Theory of rational option pricing. // Bell Jounal of Economics and Management Science, 1973, №4, p. 141-183.

84. Metropolis N., Ulam S. The Monte-Carlo method. Journal of the American Statistical Association, 44 (247):335-341, September, 1949.

85. Nelson D.B. ARCH models as diffusion approximations.// Journal of Econometrics. 1990. v. 45. p. 7-38.

86. Oksendal B. Stochastic differential equations. Springer-Verlag, 1995.

87. Paley R.E.A. C., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. // American Mathematical Society Colloquium Publications. 1934. v. 19.

88. Pliska S.R. Introduction to mathematical finance. Discrete time models. Blackwell, Oxford, 1997.

89. QianX., Xu C., Jiang L., Bian B. Convergence of binomial tree method for

90. American options in a jump-diffusion model. SIAM, J. Numer. Anal. 42, 1899-1913,2005.

91. Rendleman R.J., Bartter B.J. Two-state option pricing. J. Finance. 34, 10931110, 1979.

92. Rogers L.C.G., Stapleton E.J. Fast accurate binomial pricing. Finance Stoch.2,3-17, 1998.

93. Rubinstein M. Guiding force. In: from Black-Scholes to Black Holes: Newfrontiers in options, Risk Magazine, November, 1992.

94. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management

95. Review. 1965. v.6. p. 13-31.

96. Schal M. On quadratic cost criteria for option hedging // Math. Oper.

97. Research. 1994. v. 19. p. 121-131.

98. Schweizer M. A Guided tour through quadratic hedging approaches // Option

99. Pricing, interest rates, and risk management / E. Jouini, M. Musiela, J.

100. Cvitanic, eds. Cambridge University Press, Cambridge, 2001. p. 538-574.i

101. Schweizer M. Hedging of options in a general semimartingale model. Diss.1. ETH Zurich, №8615, 1988.

102. Schweizer M. Risk-minimality and orthogonality of martingales //

103. Stochastics Stochastics Rep. 1990. v. 30. p. 123-131.

104. Schweizer M. Variance-optimal hedging in discrete time // Math. Oper. Res.1995. v. 20. p. 1-32.

105. ScottL.O. Option pricing when the variance changes randomly: Theory,estimation and an application // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. v. 22. p. 419-438.

106. Sharpe W.P. Capital asset prices: A theory of market equilibrium underconditions of risk. //Journal of Finance, 19, 1964, p. 425-442.

107. Tian Y.S. A Flexible binomial option pricing model. J. Futures Mark. 19,817.843,1999.

108. Tian Y.S. A modified lattice approach to option pricing. J. Futures Markets.13, 563-577, 1993.

109. Uspensky J. V. Introduction to Mathematical Probability. McGraw-Hill, New1. York, 1937.

110. Walsh J.B. The rate of convergence of the binomial tree scheme. Financ.

111. Stochastics. 7, 337-361, 2003.

112. Walsh J.B., Walsh O.D. Embedding and the convergence of the binomialand trinomial tree schemes, 2003.

113. Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. Math. Inst.

114. Tech. 1923. v. 2. p. 131-174.

115. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatility. Theory and empiricalevidence// Journal of Financial Economics. 1987. v. 19. p. 351-372.

116. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Об одном методе вычисления капиталапортфеля для модифицированной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып. 4, 2009. с. 621622. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

117. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Об оптимальной стратегии мягкогоскупщика акций. // В сб. «Труды международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова», пос. Абрау-Дюрсо, 2008. с. 105-106.

118. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Среднеквадратичное хеджирование дляодной модели неполного рынка с двумя источниками случайности. // Вестник РГУПС, №3, 2009. с. 129-134. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

119. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Теорема Гирсанова для одной модели внепрерывном времени. // В сб. «Труды международной научно-практической конференции Инфоком-2009», Ростов-на-Дону, СКФ МТУСИ, 2009. с. 105-106.

120. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Теорема Гирсанова для одной моделинеполного рынка с двумя источниками случайности. // В сб. «Труды всероссийской научно-практической конференции Транспорт-2009», Ростов-на-Дону, РГУПС, 2009. с. 251-253.

121. Белявский Г.И., Данилова Н.В., Кондратьева Т.Н. Расчёты для общейбинарной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып.6, 2009. с. 982-993. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

122. Данилова Н.В. Расчёты для диффузионной модели с переключениемпараметров. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 17, вып. 4, 2010. с. 547-549. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

123. Данилова Н.В. Хеджирование сверху для класса моделей неполныхрынков. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 15, вып. 5. 2008. с. 877-878. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

124. Данилова Н.В., Никоненко НД. Различные виды хеджирования длякласса моделей неполных рынков. // В сб. «Труды научнопрактической конференции Неделя науки-2008», Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2008. с. 51-54.

125. Данилова Н.В., Никоненко Н.Д. Различные виды хеджирования для одной модели неполного рынка. // В сб. «Труды международной научно-практической конференции Инфоком-2008», Ростов-на-Дону, СКФ МТУСИ, 2008. с. 107-110.