Динамическая эволюция двупланетных систем на космогонических интервалах времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, доктор физико-математических наук Кузнецов, Эдуард Дмитриевич

• Кузнецов, Эдуард Дмитриевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кузнецов, Эдуард Дмитриевич

Введение

1 Орбитальная эволюция больших планет Солнечной системы

1.1 Задача о движении планет: от математики к физике.

1.2 Теория Лагранжа-Лапласа.

1.3 Развитие метода осреднения

1.4 Современные численные теории

1.4.1 Первые численные теории движения больших планет

1.4.2 Высокоточные численные теории движения больших планет

1.4.3 Численные теории, описывающие эволюцию больших планет Солнечной системы на длительных интервалах времени

1.4.3.1 От Юпитера до Плутона: численное интегрирование уравнений движения пяти внешних планет Солнечной системы.

1.4.3.2 От Юпитера до Плутона: проект ЬОКСЗТОР

1.4.3.3 Все девять планет.

1.4.3.4 Интегрирование на миллиарды лет: хаос в движении планет.

1.4.3.5 Запас устойчивости Солнечной системы: варьирование масс планет.

1.5 Современные аналитические и численно-аналитические теории

1.5.1 Общие теории движения планет.

1.5.2 Аналитические теории движения планет для расчета эфемерид

1.5.2.1 Теории движения внутренних планет: от Меркурия до Марса

1.5.2.2 Теории движения внешних планет.

1.5.2.3 Теории движения восьми планет: от Меркурия до Нептуна.

1.5.2.4 Общие теории движения планет, использующие разложения эллиптических функций.

1.5.3 Численно-аналитические теории движения планет для исследования эволюции Солнечной системы на больших интервалах времени.

1.5.4 Хаос в Солнечной системе: причины и проявление в движении планет.

1.6 Долгопериодическая эволюция двупланетных систем.

1.6.1 Применение КАМ-теории для исследования устойчивости двупланетных систем.

1.6.2 Динамическая эволюция двупланетных систем.

1.7 Выводы.

Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам

2.1 Координаты Якоби.

2.2 Функция Гамильтона АГ-планетной задачи

2.3 Системы оскулирующих элементов.'.

2.4 Разложение функции Гамильтона АГ-планетной задачи.

2.5 Функция Гамильтона двупланетной задачи.

2.6 Разложение гамильтониана двупланетной задачи Солнце — Юпитер — Сатурн в ряд Пуассона по всем элементам с помощью пуассоновского процессора РЭР.

2.6.1 Оценка границ суммирования.

2.6.2 Оценка числа слагаемых.

2.6.3 Выбор значений постоянных.

2.6.4 Разложение гамильтониана с помощью пуассоновского процессора РБР.

2.6.5 Разложение гамильтониана Кч

2.7 Разложение гамильтониана Кч с символьными параметрами

2.8 Анализ полученных рядов.

2.9 Об одном свойстве коэффициентов разложения.

2.10 Выводы.

Построение осредненных уравнений движения слабовозмущенной двупланетной задачи

3.1 Неканоническая параметризация скобок Пуассона.

3.2 Алгоритм процедуры осреднения.

3.3 Выполнение преобразований Ли

3.3.1 Разложения с численными значениями параметров, соответствующими системе Солнце — Юпитер — Сатурн

3.3.2 Разложения с символьными параметрами.

3.4 Выводы.

4 Орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн на космогонических интервалах времени

4.1 Численное интегрирование уравнений движения в средних элементах

4.2 Эволюция средних элементов орбит Юпитера и Сатурна

4.3 Оценки точности численного интегрировани51 уравнений движения в средних элементах.

4.4 К вопросу о сохранении интегралов площадей при осредняю-щих преобразованиях.

4.4.1 Первый способ: использование интеграла площадей в замкнутом виде.

4.4.2 Второй способ: вычисление скобок Пуассона с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPSP

4.5 Оценки короткопериодических возмущений.

4.6 Сравнение параметров орбитальной эволюции двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн, полученных разными методами

4.7 Использование разложений с символьными параметрами

4.8 Выводы.

5 Орбитальная эволюция слабовозмущенных двупланетных систем

5.1 Исследование устойчивости планетных систем в зависимости от масс планет.

5.1.1 Запас устойчивости системы Солнце — Юпитер — Сатурн: варьирование масс планет.

5.1.2 Запас устойчивости планетной системы 47 UMa.

5.2 Резонансы в двупланетных системах.

5.2.1 Внутренний случай.

5.2.2 Внешний случай.

5.2.3 Внесолнечные двупланетные системы.

5.2.3.1 Резонансные свойства двупланетных систем: внутренний случай

5.2.3.2 Резонансные свойства двупланетных систем: внешний случай.

5.2.3.3 Резонансные свойства двупланетных систем: промежуточный случай.

5.3 Динамическая эволюция внесолнечной двупланетной системы

47 иМа.

5.3.1 Внесолнечная планетная система 47 11Ма.

5.3.2 Орбитальная эволюция двупланетной системы 47 11Ма

5.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая эволюция двупланетных систем на космогонических интервалах времени»

Исследование орбитальной эволюции Солнечной и других планетных систем является одной из фундаментальных задач небесной механики.

Развитие наблюдательной и вычислительной техники привело к заметному прогрессу в изучении движения основных тел Солнечной системы (Солнца и больших планет) в двух взаимосвязанных направлениях. Первое — представление движения с наибольшей возможной точностью на коротком интервале времени (порядка 10 - 103 лет). Второе — качественное описание основных свойств движения на космогонических временах (порядка 104 - Ю10 лет).

Согласно исследованиям Ласкара (Laskar, 1994, 2008), Ито и Таникавы (Ito, Tanikawa, 2002b), Батыгина и Лафлина (Batygin, Laughlin, 2008) движение планет-гигантов на космогонических временах почти-периодично. Но вопрос об эволюции произвольных планетных систем типа Солнечной остается открытым.

Устойчивость Солнечной системы — ее жизненно важное для нас свойство. Только устойчивые планетные системы могут служить прибежищами жизни и космической цивилизации.

За редчайшими исключениями устойчивость системы N тел на космогонических временах обеспечивается двумя факторами: иерархией масс и иерархией расстояний. Иерархия расстояний типична для систем кратных звезд, но встречается и в Солнечной системе.

Пример 1: кратная система а Близнецов (Кастор). Система состоит из трех тесных двойных систем: Кастор А (массы компонент 2.98 и 0.24 М0, расстояние 0.127 а. е.), Кастор В (2.76 и 0.47 MQ, 0.059 а. е.) и Кастор С (0.59 и 0.58 М©, 0.018 а. е.) (Tokovinin, 1997). Расстояние между барицентрами пар А и В составляет 104 а. е. Пара С удалена от центра масс А и В на 1145 а. е.

Пример 2: система Солнце — Земля — Луна. Отношение больших полуосей гелиоцентрической орбиты барицентра системы Земля — Луна и геоцентрической орбиты Луны равно примерно 390. Масса системы Земля — Луна составляет 1/328900 массы Солнца, а масса Луны — 1/81.3 массы Земли.

В планетных системах основную роль играет иерархия масс. Так, масса Юпитера на три порядка меньше массы Солнца. Удаленность планетных орбит друг от друга также вносит некоторый вклад в устойчивость, но он не 6 столь существен. Отношение больших полуосей орбит Сатурна и Юпитера равно примерно 2, а для Земли и Венеры (имеющими существенно меньшие массы) оно составляет всего 1.4.

Иерархия масс наблюдается и в известных внесолнечных планетных системах. В системе звезды 55 Спс обнаружено пять планет (Schneider, 2010). Масса наиболее массивной планеты 55 Спс d составляет 0.0036 массы звезды 55 Спс. Отношения масс планет на соседних орбитах равны 24, 4.9, 1.2, 27, а соответствующие им отношения больших полуосей орбит — 3.0, 2.1, 3.3, 7.4.

В системе v And известно три планеты (Schneider, 2010). Наиболее массивная V And d — 0.003 массы v And. Отношение масс соседних планет — 2.9 и 2.0, а отношения больших полуосей их орбит — 14 и 3 соответственно.

Аналогичные примеры можно привести и для других внесолнечных планетных систем.

Малость масс планет по сравнению с массой центральной звезды играет важную роль в устойчивости планетных систем. Соотношения между большими полуосями планетных орбит могут дополнительно влиять на устойчивость в случае их близости к резонансным.

Актуальность темы определяется тем, насколько хорошо двупланетная модель приближает реальные многопланетные системы. В Солнечной системе масса Юпитера на три порядка меньше солнечной. Масса Сатурна еще в три раза меньше. Масса Урана, который вдвое дальше Сатурна от Солнца, составляет 15% от массы Сатурна, а Нептуна, еще в полтора раза более далекого, — 18%. Массы планет земной группы существенно меньше. Так что двупланетпое приближение Солнце — Юпитер — Сатурн вполне приемлемо для выяснения качественной картины орбитальной эволюции Солнечной системы.

Вероятно, подобная картина наблюдается в большинстве внесолнечных планетных систем. Действительно, из 385 открытых к 15 апреля 2010 г. планетных систем лишь у 45 известно более одной планеты, из них у 16 обнаружено более двух планет (Schneider, 2010; Marcy et al., 2010; Mayor et al., 2010). Безусловно, это — эффект селекции. Скорее всего, массы остальных планет малы, так что в большинстве случаев допустимо двупланетное приближение.

Цели работы. Основные цели настоящей работы — разработка новых численно-аналитических методов исследования орбитальной эволюции слабовозмущенных двупланетных систем на космогонических интервалах времени, получение качественных свойств и количественных характеристик параметров, описывающих орбитальную эволюцию Солнечной системы и некоторых внесолнечных планетных систем.

Научная новизна работы. Настоящая диссертация посвящена разработке новых численно-аналитических методов решения планетной задачи трех тел и получению на этой основе новых результатов о качественных свойствах и количественных характеристиках орбитальной эволюции двупланетных систем.

Новыми являются.

1. Метод представления гамильтониана задачи в виде ряда Пуассона по всем элементам и его реализация с помощью пуассоновского процессора PSP, описанного в работе (Иванова, 1997).

2. Алгоритм вычисления производящей функции осредняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри и гамильтониана в средних элементах: для системы Солнце — Юпитер — Сатурн с точностью до /J?, для произвольной системы при сохранении в символьном виде параметров, задающих масштабы и массы — до fi2, и его реализация с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPSP, описанного в работе (Ivanova, 2001).

3. Алгоритм построения функций замены переменных на основе производящей функции осредняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри и его реализация с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPSP.

4. Вывод о несохранении х и у-компонент интеграла площадей в системе, определяемой конечным отрезком разложения в ряд Пуассона осреднен-ного гамильтониана.

5. Метод исследования устойчивости по Лагранжу двупланетных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам.

6. Алгоритм оценки ширины резонансных зон, основанный на использовании мажоранты функции замены переменных для большой полуоси.

7. Метод описания резонансных свойств двупланетных систем.

Научная и практическая ценность работы. В настоящей работе предложен, разработан и реализован метод представления гамильтониана задачи в виде ряда Пуассона по всем кеплеровым элементам. В отличие от обычно применяемых чрезвычайно сложных алгоритмов, виртуозно использующих различные специальные функции, предложенный нами алгоритм предельно прост. Однако этот алгоритм требует больших затрат машинной памяти и, в 8 меньшей степени, процессорного времени, почему он pi не был никем ранее предложен и реализован. Быстрый прогресс вычислительной техники делает эти недостатки терпимыми.

Выполнение осредняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри для системы Солнце — Юпитер — Сатурн с точностью до позволило получить разложения, пригодные для описания орбитальной эволюции на космогонических интервалах времени.

Разложения, в которых сохранены в символьном виде параметры, задающие масштабы и массы планетных систем, пригодны для исследования орбитальной эволюции слабовозмущенных систем с малыми эксцентриситетами и наклонами.

Мажоранты функций замены переменных позволяют найти и оценить отклонения оскулирующих элементов от средних (короткопериодические возмущения), уточнить размеры резонансных зон.

При численном интегрировании уравнений движения в средних элементах шаг интегрирования существенно (приблизительно в раз, где ¡1 — малый параметр) увеличивается, поскольку независимой переменной вместо времени t фактически становится «медленное время» fit.

Применение метода исследования устойчивости по Лагранжу двупланет-ных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам показало, что сближения обнаруживаются при анализе оскулирующих элементов, в средних элементах сближений пет.

Простой и универсальный метод описания резонансных свойств двупланетных систем, использующий оценки резонансных значений больших полуосей и ширины резонансных зон, выраженные в относительных единицах, позволяет классифицировать и описывать резонансные свойства планетных систем в зависимости от значения малого параметра.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Метод представления гамильтониана задачи в виде ряда Пуассона по всем элементам и его реализация с помощью пуассоновского процессора PSP.

2. Алгоритм вычисления производящей функции осредняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри, гамильтониана в средних элементах, правых частей уравнений движения в средних элементах, функций замены переменных. Реализация алгоритма с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPSP.

3. Характеристики орбитальной эволюции двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн на космогоническом интервале времени 10 млрд. лет на основе численного интегрирования уравнений движения в средних элементах. Доказательство несохранения х и ?у-компонент интеграла площадей в системе, определяемой конечным отрезком разложения в ряд Пуассона осредненного гамильтониана.

4. Метод исследования устойчивости по Лагранжу двупланетных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам. Условия распада планетных систем при увеличении масс планет. Оценки сверху масс планет системы 47 11Ма.

5. Алгоритм оценки ширины резонансных зон, основанный на использовании мажоранты функции замены переменных для большой полуоси. Метод описания резонансных свойств двупланетных систем.

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 231 с. состоит из пяти глав, введения, заключения и списка литературы, содержащего 268 названий. Число рисунков — 25, таблиц — 61.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации докладывались на объединенном семинаре кафедры астрономии и геодезии и Астрономической обсерватории УрГУ, на семинаре обсерватории Туорла Университета Турку, на всероссийских и международных конференциях.

1. 29-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 31 января — 4 февраля

2000 г.

2. Конференция «Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века». Санкт-Петербург, 19-23 июня 2000 г.

3. 30-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 29 января — 2 февраля

2001 г.

4. Всероссийская астрономическая конференция. Санкт-Петербург, 6-12 августа 2001 г.

5. 31-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 28 января — 1 февраля

2002 г.

6. Международная конференция «Небесная механика — 2002: результаты и перспективы» («Celestial Mechanics — 2002: Results and Prospects»). Санкт-Петербург, 10-14 сентября 2002 г.

7. 32-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г.

8. Международная конференция «Порядок и хаос в звездных и планетных системах» («Order and chaos in stellar and planetary systems»). Санкт-Петербург, 17-24 августа 2003 г.

9. Международная конференция «Journées - 2003. Астрометрия, геодинамика и динамика Солнечной системы: от миллисекунд дуги к микросекундам дуги» («Journées - 2003. Astrometry, Geodynamics and Solar System Dynamics: from milliarcseconds to microarcseconds»). Санкт-Петербург, 22-25 сентября 2003 г.

10. 33-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.

11. Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004 «Горизонты Вселенной». Москва, 3-10 июня 2004 г.

12. Коллоквиум MAC №197 «Динамика населения планетных систем» («Dynamics of Populations of Planetary Systems»). Белград, Сербия и Черногория, 31 августа — 4 сентября 2004 г.

13. Международный симпозиум «Астрономия — 2005: состояние и перспективы развития». Москва, 30 мая — 6 июня 2005 г.

14. Международный семинар «Задача нескольких тел: теория и компьютерное моделирование» («Few-body problem: theory and computer simulations»). Турку, Финляндия, 4-9 июля 2005 г.

15. Четвертая конференция по небесной механике «CELMEC IV». Сан-Мар-тино-аль-Чимино, Витербо, Италия, 11-16 сентября 2005 г.

16. 36-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 29 января — 2 февраля 2007 г.

17. Международная конференция «Аналитические методы небесной механики» («Analytical methods of celestial mechanics»). Санкт-Петербург, 8-12 июля 2007 г.

18. Международная научная конференция «Астрономия и астрофизика начала XXI века». Москва, 1-5 июля 2008 г.

19. Международная конференция «Приложения компьютерной алгебры — 2008» («Applications of Computer Algebra (АСА) 2008». Session «Computer Algebra for Dynamical Systems and Celestial Mechanics»). Хагенберг, Линц, Австрия, 27-30 июля 2008 г.

20. 38-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 2-6 февраля 2009 г.

21. Всероссийская астрометрическая конференция «Пулково-2009». Санкт-Петербург, 15-19 июня 2009 г.

22. Пятая конференция по небесной механике «CELMEC V». Сан-Мартино-аль-Чимино, Витербо, Италия, 6-12 сентября 2009 г.

Основные идеи и результаты настоящей диссертации опубликованы в работах

1.1. Холшевников К.В., Греб A.B., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам (теория) // Астрон. вестн. 2001. Т. 35, т. С. 267-272.

1.2. Холшевников К.В., Греб A.B., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: оценка и прямое вычисление коэффициентов // Астрон. вестн. 2002. Т. 36, №1. С. 75 87.

1.3. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Эффект селекции в больших полуосях орбит внесолнечных планет // Астрон. вестн. 2002. Т. 36, № 6. С. 504- 515.

1.4. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Разложение гамильтониана двуила-нетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: применение пуассо-новского процессора // Астрон. вестн. 2004. Т. 38, №2. С. 171-179.

1.5. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Динамическая эволюция слабовозмущенной двупланетной системы на космогоническом интервале времени: система Солнце — Юпитер — Сатурн // Астрон. вестн. 2006. Т. 40, №3. С. 263-275.

1.6. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы // Астрон. вестн. 2007. Т. 41, Ж. С. 291-329.

1.7. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 1. С. 139-149.

1.8. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Запас устойчивости двупланетных систем по массам планет // Астроп. вестн. 2009. Т. 43, №3. С. 230-239.

1.9. Кузнецов Э.Д. Резонансные свойства внесолнечных двупланетных систем // Астрон. журн. 2010. Т. 87, № 6. С. 605-616.

1.10. Кузнецов Э.Д. К вопросу о сохранении интегралов площадей при осред-няющих преобразованиях // Астрон. журн. 2010. Т. 87, № 6. С. 617-624.

Кроме того, результаты изложены в

2.1. Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Новый метод разложения возмущающей функции в планетной задаче // Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века. СПб.: ИПА РАН, 2000. С. 268-269.

2.2. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. О распределении больших полуосей орбит внесолнечных планет // Физика Космоса: Тр. 31-й Междунар. студ. науч. конф., Екатеринбург, 28 янв. - 1 февр. 2002 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2002. С. 112-127.

2.3. Kuznetsov E.D., Kholshevnikov K.V., Greb A.V. Expansion of the Hamil-tonian of the planetary three-body problem into Poisson series in all elements using Poisson series processor PSP // Труды ИПА РАН. Вып. 8. Небесная механика. СПб.: ИПА РАН, 2002. С. 117-118.

2.4. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. Распределение расстояний в системах внесолнечных планет // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Доклады конференции. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. С. 265-266.

2.5. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Evolution of a two-planetary regular system on a cosmogonic time scale // Journees-2003. Astrometry, Geodyna-mics and Solar System Dynamics: from milliarcseconds to microarcseconds / Eds. Finkelstein A., Capitaine N. SPb.: IAA RAS, 2004. P. 286-287.

2.6. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviour of a weakly perturbed two-planetary system on a cosmogonic time-scale // Order and chaos in stellar and planetary systems. ASP Conference Series. V. 316 / Eds. Byrd G.G., Kholshevnikov K.V., Myllari A.A., Nikiforov I.I., Orlov V.V. San Francisco: ASP, 2004. P. 99-105.

2.7. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviuor of a two-planetary system on a cosmogonic time-scale // Proceedings of the IAU Coll. №197. Dynamics of Populations of Planetary Systems / Eds. Knezevic Z., Milani A. Cambridge: Cambridge University Press, 2005. P. 107-112.

2.8. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviuor of a weakly perturbed Two-Planetary System on very long time-scales // Few-body problem: theory and computer simulations. A workshop held in Turku, 4-9 July 2005 / Ed. C.Flynn. Annales Universitatis Turkuensis. Ser. A. V. 358. Turku. 2006. P. 60-63.

2.9. Кузнецов Э.Д., Холшевннков К.В. Орбитальная эволюция Солнечной системы // Физика Космоса: Тр. 36-й Международ, студ. науч. конф., Екатеринбург, 29 янв. — 2 февр. 2007 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2007. С. 142-179.

2.10. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Orbital evolution of the Solar System // Analytical methods of celestial mechanics. Short abstracts of the international meeting held on July 8-12, 2007. St. Petersburg, 2007. P. 42-45.

2.11. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Запас устойчивости Солнечной системы по массам планет // Физика Космоса: Тр. 38-й Международ, студ. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2009 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2009. С.78-88.

2.12. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Evolution of planetary orbits in the Solar System (Review) // Resonances, stabilization, and stable chaos in hierarchical triple systems. Proceedings of the Second International Workshop held in Chiba, Japan, 8-13 September, 2008. Ed. M. M. Saito, M. Shibayama, and M. Sekiguchi. Chiba, 2009. P. 1-7.

2.13. Кузнецов Э.Д. Влияние планетарных масс на устойчивость Солнечной системы // Известия ГАО РАН. 2009. №219. Вып. 4. «Труды Всероссийской астрометрической конференции «Пулково-2009»». С. 167-172.

Опубликованы резюме 17 докладов.

В совместных статьях вклад соавторов равнозначен. Во всех указанных работах автор участвовал в постановке задачи. Автору принадлежит разработка вычислительного алгоритма для построения разложения гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам с помощью метода вычисления коэффициентов по интегральным формулам (работы 1.1, 1.2). Автором разработан и реализован с помощью пуассоновского процессора

РЯР алгоритм разложения возмущенного гамильтониана (работа 1.4). Автором разработан и реализован с помощью эшелонированного пуассоновского процессора ЕРБР метод построения осредненных уравнений движения с помощью преобразований Ли. Автором выполнено численное интегрирование осредненных уравнений движения и исследована орбитальная эволюция дву-планетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн (работы 1.5, 1.7). Автором проведено исследование эффекта селекции в больших полуосях внесолнечных планетных систем на основе элементов орбит, получаемых из наблюдений (работа 1.3). Автором выполнен обзор современных численных, аналитических, численно-аналитических теорий движения больших планет Солнечной системы, а также работ, в которых исследуются проявления хаоса в эволюции Солнечной системы (работа 1.6). Автором разработан и реализован численно-аналитический метод исследования устойчивости двупланетных систем в зависимости от масс планет, основанный на интегрировании осредненных уравнений движения и использовании функции замены переменных для перехода к оскулирующим элементам орбиты (работа 1.8). Обсуждение результатов проводилось совместно всеми авторами.

Общая структура диссертации

Введение содержит постановку задачи и ее обоснование (актуальность, новизна, научное и практическое значение), краткое изложение содержания, выносимые на защиту результаты, а также перечень основных публикаций и конференций, симпозиумов, семинаров, где докладывались результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Кузнецов, Эдуард Дмитриевич

5.4 Выводы

Исследование устойчивости по Лагранжу двупланетной системы Солнце -Юпитер - Сатурн методом осреднения показало, что при увеличении масс Юпитера и Сатурна в 19 раз возможны тесные сближения этих планет до расстояния, меньшего сферы действия Юпитера относительно Солнца. Такие сближения должны приводить к существенным изменениям элементов орбит Юпитера и Сатурна, а возможно, и к распаду системы.

Интересно, что исследование только осредненной системы уравнений в задаче Солнце - Юпитер - Сатурн приводит к критическому значению параметра х = 99. Численное интегрирование дает х = 25. Исследование оскулирую-щих элементов, полученных по формулам замены переменных после интегрирования осредненной системы, приводит к оценке х = 19- Первое значение сильно завышено, поскольку игнорирует колебания оскулирующих элементов вокруг средних с возрастающей вместе с х амплитудой. Различие между критическими значениями параметра х, полученными численным методом и методом, использующим интегрирование осредненных уравнений движения с возвратом к оскулирующим элементам, сравнительно небольшое. Предложенный в настоящей работе метод исследования устойчивости системы при варьировании масс планет позволяет получать оценку снизу критического значения параметра х, близкую к точной.

Движение внесолнечной планетной системы 47 иМа сохраняет устойчивость при увеличении масс планет в 38 раз. Полученные в ходе исследования оценки масс планет и угла наклона плоскости орбиты к картинной плоскости согласуются с результатами других авторов. Обратим внимание, что исследование устойчивости по Лагранжу при последовательном увеличении масс планет позволяет получить верхнюю оценку возможных масс и нижнюю границу угла наклона орбит к картинной плоскости.

Разработанный метод описания резонансных свойств планетных систем отличается простотой и универсальностью. Полученные в относительных единицах оценки резонансных значений больших полуосей и ширины резонансных зон позволяют классифицировать и описывать резонансные свойства планетных систем в зависимости от значения малого параметра р.

В результате исследования динамической эволюции двупланетной системы 47 ИМа в окрестности узких резонансных зон сделан вывод, что попадание системы в область перекрытия широких резонансных зон может приводить к медленной хаотизации движения.

Проведенное исследование показало, что предложенный в настоящей работе метод исследования орбитальной эволюции слабовозмущенных двупланет-ных систем может использоваться для изучения особенностей динамической эволюции подобных систем на космогонических интервалах времени.

Заключение

Основными целями настоящей работы были разработка новых численно-аналитических методов исследования орбитальной эволюции слабовозмущенных двупланетных систем на космогонических интервалах времени, получение качественных свойств и количественных характеристик параметров, описывающих орбитальную эволюцию Солнечной системы и некоторых вне-солнечных планетных систем.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Метод представления гамильтониана задачи в виде ряда Пуассона по всем элементам и его реализация с помощью пуассоновского процессора РЭР.

2. Алгоритм вычисления производящей функции осредняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри, гамильтониана в средних элементах, правых частей уравнений движения в средних элементах, функций замены переменных. Реализация алгоритма с помощью эшелонированного пуассоновского процессора ЕРЭР.

3. Характеристики орбитальной эволюции двупланстной системы Солнце — Юпитер — Сатурн на космогоническом интервале времени 10 млрд. лет на основе численного интегрирования уравнений движения в средних элементах. Доказательство несохранения х и у-компонент интеграла площадей в системе, определяемой конечным отрезком разложения в ряд Пуассона осредненного гамильтониана.

4. Метод исследования устойчивости по Лагранжу двупланетных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам. Условия распада планетных систем при увеличении масс планет. Оценки сверху масс планет системы 47 1Ша.

5. Алгоритм оценки ширины резонансных зон, основанный на использовании мажоранты функции замены переменных для большой полуоси. Метод описания резонансных свойств двупланетных систем.

В диссертации обоснован метод построения разложения гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем кеплеровым элементам. Разработанное на основе этого метода программное обеспечение, использующее пуассоновский процессор РЭР, позволяет получать разложения для произвольных степеней позиционных переменных и кратностей тригонометрических переменных. Ограничения на объемы получающихся рядов, зависящие от числа переменных, их степеней и кратностей, накладывают только возможности вычислительной техники. Задача разложения гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам решена полностью в случае двупланетной задачи. Задача обобщения метода на случай большего числа планет не содержит принципиальных трудностей.

Алгоритм осредняющего но быстрым переменным преобразования Хори-Депри для двупланетной задачи разработан и реализован полностью с использованием эшелонированного пуассоновского процессора ЕРЭР. Ограничения на объемы получающихся рядов накладывает только вычислительная техника. Благодаря тому, что алгоритм опирается на скобки Пуассона, его реализация может быть легко адаптирована для многопланетной задачи.

В ходе исследования орбитальной эволюции двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн на космогоническом интервале времени 10 млрд. лет получены следующие выводы: орбитальная эволюция имеет почти периодический характер несмотря на то, что система находится в области широкого резонанса; эксцентриситеты и наклоны орбит Юпитера и Сатурна остаются малыми, а их значения отделены от нуля; короткопериодические возмущения сохраняются малыми на всем рассмотренном интервале времени. Полученные результаты согласуются с данными других авторов, что подтверждает верность проведения аналитических преобразований с использованием специализированных систем компьютерной алгебры РБР и ЕРЭР. Тестирование разложений с символьными параметрами проводилось на основе сравнения результатов, полученных при использовании рядов с числовыми и символьными параметрами, реализующих второе приближение. Сравнение показало верность построенных разложений с символьными параметрами.

На основе анализа данных о поведении интегралов движения сформулирован вывод о несохранении х и ¿/-компонент интеграла площадей в системе, определяемой конечным отрезком разложения в ряд Пуассона осредненного гамильтониана. Этот вывод дополняет результаты Пуанкаре (1965), Шар-лье (1966), Холшевникова (1991) о сохранении интеграла площадей системы, определяемой осредненным гамильтонианом в системе координат Якоби.

Разработанный метод исследования устойчивости по.Лагранжу двупланетных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам позволил получить оценки, согласующиеся с результатами численного интегрирования. Предложенный подход дает возможность использовать решение, получаемое методом осреднения, при варьировании масс планет. Исследование устойчивости по Лагранжу двунланетных систем Солнце — Юпитер — Сатурн и 47 ИМа на интервале времени 106 лет показало, что при увеличении масс Юпитера и Сатурна в 19 раз возможны тесные сближения этих планет, в системе 47 иМа тесные сближения возможны при увеличении минимальных масс планет в 38 раз.

Реализованный в диссертации алгоритм оценки ширины резонансных зон основан на методе, предложенном в работах (Соколов, 1980; Соколов, Хол-шевников, 1981). Новизна алгоритма состоит в использовании функции замены переменных, полученной в ходе выполнения преобразований метода Хори-Депри. Ранее оценки мажоранты функции замены переменных основывались на использовании свойств коэффициентов рядов Фурье.

Предложенный в диссертации метод описания резонансных свойств двунланетных систем отличается простотой и универсальностью. Выраженные в относительных единицах оценки резонансных значений больших полуосей и ширины резонансных зон позволяют классифицировать и описывать резонансные свойства планетных систем в зависимости от значения малого параметра.

Разработанные в диссертации методы исследования орбитальной эволюции слабовозмущенных двупланетных систем доказали свою работоспособность при решении разнообразных задач. Реализация методов построения решений на основе осредняющих преобразований позволяет легко выполнить их адаптацию для многопланетных систем. Все это делает предложенные и реализованные в настоящей работе методы универсальным инструментом для исследования орбитальной эволюции планетных систем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кузнецов, Эдуард Дмитриевич, 2010 год

1. Анолик М.В., Красинский Г.А., Пиус Л.Ю. Тригонометрическая теория вековых возмущений больших планет // Труды ИТА АН СССР. 1969. Т. 14. С. 3-47.

2. Антонов В.А., Тимошкова E.H., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270 с.

3. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблема устойчивости в классической и небесной механике // Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. No 6. С. 91-192.

4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. В кн. Боголюбов H.H. Собрание научных трудов. Т. 3. М.: Математика и нелинейная механика, 2005. 605 с.

5. Бордовицына Т.В., Быкова JI.E., Бороненко Т. С. и др. Численные и численно-аналитические алгоритмы прогнозирования движения ИСЗ. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 156 с.

6. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд-во Том. унта, 2007. 220 с.

7. Бороненко Т.С. Алгоритм для реализации в системе Авто-Аналитик метода усреднения уравнений возмущенного движения в кеплеровых элементах, основанного на преобразованиях Ли // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1975. Вып. 5. С. 27-45.

8. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. 536 с.

9. Брумберг В. А. Численное построение обобщенной планетной теории // Астрой. журн. 1967. Т. 44. №1. С. 204-216.

10. Брумберг В.А., Егорова A.B. Тригонометрическая линейная теория второго порядка вековых возмущений в движении больших планет // Наблюдения искусственных небесных тел. 1971. №62. С. 42-72.

11. Брумберг В.А., Евдокимова Л. С., Скрипниченко В.И. Квазипериодические промежуточные орбиты больших планет и резонансы нулевого порядка // Астрон. журн. 1975. Т. 52. С. 420-430.

12. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 206 с.

13. Будникова H.A. Определение возмущений по методу Лапласа-Ньюкома на быстродействующих вычислительных машинах // Наблюдения искусственных небесных тел. 1971. №62. С. 73-90.

14. Вашковъяк М.А. Количественные характеристики эволюции орбит в ограниченной круговой двукратноосредненной задаче трех тел / / Препринт Ин-та прикл. математики АН СССР. №157. М., 1979. 30 с.

15. Вашковъяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осред-ненной задаче трех тел. 1. Качественное исследование // Космические исследования. 1981а. Т. 19, вып. 1. С. 5-18.

16. Вашковъяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратноосредненной задаче трех тел. 2. Количественные характеристики // Космические исследования. 1981b. Т. 19, вып. 2. С. 165-177.

17. Герасимов И. А., Чазов В.В., Рыхлова Л.В., Тагаева Д.А. Построение теории движения тел Солнечной системы, основанной на универсальном методе вычисления возмущающей функции // Астрон. вестн. 2000. Т. 34, №6. С. 559-566.

18. Глебова Н.И. Уточнение эфемерид внутренних планет на основе обработки оптических и радиолокационных наблюдений на интервале 1960-1980 // Бюлл. ИТА АН СССР. 1984. Т. 15. Р. 241-250.

19. Греб A.B., Кузнецов Э.Д. Новый метод разложения возмущающей функции в планетной задаче // Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века. СПб.: ИПА РАН, 2000. С. 268-269.

20. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. 444 с.

21. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998. 704 с.

22. Давыдов В.Л., Молчанов A.M. Численные эксперименты в задаче об эволюции двухпланетной системы // Препринт Ин-та прикл. математики АН СССР. №16. М., 1971. 30 с.

23. Данилов В.М. Анализ флуктуаций плотности в моделях рассеянных звездных скоплений // Астрон. журн. 2008. Т. 85. №11. С. 986-998.

24. Ерошкин Г.И., Глебова Н.И., Фурсенко М.А. Дополнения 27-28А к «Астрономическому ежегоднику». СПб: ИТА РАН, 1992. С. 1-8.

25. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.

26. Иванова Т.В. Пуассоновский процессор PSP: Препринт ИТА РАН №64. СПб., 1997. 46 с.

27. Кислик М.Д., Колюка Ю. Ф., Котельников В.А. и др. Единая релятивистская теория движения внутренних планет Солнечной системы // ДАН СССР. 1980. Т. 255. С. 545-547.

28. Красинский Г.А., Пиус Л.Ю. Вековые возмущения больших планет // Наблюдения искусственных небесных тел, 1971. №62. С. 93-112.

29. Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.А., Свешникова Е.С. Аналитическая теория движения внутренних планет АТ-1 и ее использование для решения задач эфемеридной астрономии // Тр. ИТА АН СССР, 1978. Т. 17. С. 46-53.

30. Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.А., Свешникова Е.С. Некоторые результаты обработки радиолокационных, лазерных и оптических наблюдений внутренних гшанети Луны // ДАН СССР. 1981. Т. 261. С. 13201324.

31. Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.А., Свешникова Е.С. Уточнение эфемерид внутренних планет и Луны по радиолокационным, лазерным и меридианным измерениям 1961-1980 гг. // Бюлл. ИТА АН СССР, 1982. Т. 15. С. 169-175.

32. Кузнецов Э.Д., Холшевников К. В. Эффект селекции в больших полуосях орбит внесолнечных планет // Астрон. вестн. 2002. Т. 36, № 6. С. 504515.

33. Кузнецов Э.Д., Холшевников K.B. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: применение пуассоновского процессора // Астрон. вестн. 2004. Т. 38, №2. С. 171-179.

34. Кузнецов Э.Д., Холшевников К. В. Динамическая эволюция слабовозмущенной двупланетной системы на космогоническом интервале времени: система Солнце — Юпитер — Сатурн // Астрон. вестн. 2006. Т. 40, №3. С. 263-275.

35. Кузнецов Э.Д., Холшевников К. В. Орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2009а. Вып. 1. С. 139-149.

36. Кузнецов Э.Д., Холшевников К. В. Запас устойчивости Солнечной системы по массам планет // Физика Космоса: Тр. 38-й Международ, студ. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2009 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2009b. С.78-88.

37. Кузнецов Э.Д., Холшевников К. В. Запас устойчивости двупланетных систем по массам планет // Астрон. вестн., 2009с. Т. 43, №3. С. 230-239.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1988.

39. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953. 396 с.

40. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

41. Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 588 с.

42. Нехорошее H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильто-новых систем, близких к интегрируемым // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. No 6. С. 5-66.

43. Нехорошее H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамиль-тоновых систем, близких к интегрируемым, 2 // Труды семинара И.Г.Петровского. 1979. Т. 5. С. 5-50.

44. Петровская М.С., Иванова Т.В. О построении разложений планетной возмущающей функции // Бюллетень ИТА АН СССР. 1978. T. XIV. №5 (158). С. 288-293.

45. Питьева Е.В. Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших планет // Труды ИПА РАН. Вып. 10. Эфемеридная астрономия. СПб: Наука, 2004. С. 112-134.

46. Питьева E.B. Высокоточные эфемериды планет — ЕРМ и определение некоторых астрономических постоянных // Астрон. вестн. 2005. Т. 39, №3. С. 202-213.

47. Питьева Е.В. Национальные высокоточные эфемериды планет и Луны — ЕРМ // Труды ИПА РАН. Вып. 17. СПб: ИПА РАН, 2007. С. 42-59.

48. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965. 572 с.

49. Смарт У.М. Небесная механика. М.: Мир, 1965. 504 с.

50. Соколов Л. Л. Условно-периодические решения и резонансы в задачах небесной механики. Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Л.: Ленинградский государственный университет, 1980. 88 с.

51. Соколов Л.Л., Холшевииков К.В. О применимости выводов КАМ-теории в небесной механике // Труды V научных чтений по космонавтике. Секция «Прикладная небесная механика и управление движением». М., 1981. С. 33-42.

52. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

53. Сухотин A.A. Алгоритм метода Гаусса-Альфана-Горячева в лагранжевых переменных и его машинная реализация // Астрон. и геодезия. №9. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1981. С. 67-73.

54. Сухотин A.A. Эволюция элементов орбит внешних планет на интервале времени 800 тысяч лет // Астрон. и геодезия. №12. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1984. С. 80-91.

55. Сухотин A.A., Холшевников К.В. Эволюция планетных орбит за 200 тысяч лет, рассчитанная методом Альфана-Горячева // Астрон. и геодезия. N° 14. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1986. С. 5-21.

56. Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 208 с.

57. Холшевников К. В. Сохранение формы интеграла площадей при осредняю-щих преобразованиях // Астрон. журн. 1991. Т. 68. С. 660-663.

58. Холшевников К. В. Точность эпициклической теории// Историко-астрономические исследования. Вып. 24. М.: Янус, 1994. С. 181-191.

59. Холшевников К. В. Даламберовские функции в небесной механике // Астрон. журн. 1997. Т. 74, №1. С. 146-153.

60. Холшевников К. В. Гамильтониан планетной и спутниковой задачи как да-ламберовская функция // Астрон. журн. 2001. Т. 78, №7. С. 669-672.

61. Холшевпиков К. В., Ту блина O.K. Координаты в кеплеровском движении как даламберовские функции // Астрон. журн. 1998. Т. 75, №3. С. 476-480.

62. Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам (теория) // Астрон. вестн. 2001. Т. 35, №3. С. 267-272.

63. Холшевников К.В., Греб А.В. Неканоническая параметризация скобок Пуассона в небесной механике // Астрон. вестн. 2001. Т. 35, №5. С. 457-462.

64. Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: оценка и прямое вычисление коэффициентов // Астрон. вестн. 2002. Т. 36, №1. С. 75-87.

65. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы // Астрон. вестн. 2007. Т. 41, № 4. С. 291-329.

66. Четаев Н.Г. Устойчивость движения; работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 536 с.

67. Шараф Ш.Г., Будиикова Н.А. О вековых изменениях элементов орбиты Земли, влияющих на климаты геологического прошлого // Бюллетень Института теоретической астрономии АН СССР. 1967. Т. 11, №4. С. 231-261.

68. Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 628 с.

69. Akim E.L. Brumberg V.A., Kislik M.D., et al. A relativistic theory of motion of inner planets // Proceedings of the IAU Symp. №114, Relativity in Celestial Mechanics and Astrometry / Eds. Kovalevsky J., Brumberg V.A. Dordrecht: Kluwer, 1986. P. 63-68.

70. Applegate J.H., Douglas M.R., Giirsel Y., et al. The outer Solar System for 200 million years // Astron. Journ. 1986. V. 92. P. 176-194.

71. Ash M.E., Shapiro I.I., Smith W.B. Astronomical constants and planetary ephemerides deduced from radar and optical observations // Astron. Journ. 1967. V. 72. P. 332-350.

72. Bakos G.Â., Howard A. IV., Noyés R. W. et al. HAT-P-13b,c: A transiting hot Jupiter with a massive outer companion on an eccentric orbit // Astrophys. Journ. 2009. V. 707. P. 446-456.

73. Baluev R. V. Resonances of low orders in the planetary system of HD37124 // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2008. V. 102. P. 297-325.

74. Baluev R. V. Accounting for velocity jitter in planet search surveys // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2009. V. 393. P. 969-978.

75. Barnes R., Quinn T. The (in)stability planetary systems // Astrophys. Journ. 2004. V. 611. P. 494-516.

76. Batygin K., Laughlin G. On the Dynamical Stability of the Solar System // Astrophys. Journ. 2008. V. 683. P. 1207-1216.

77. Beaugé C., Giuppone C. A., Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A. Reliability of orbital fits for resonant extrasolar planetary systems: the case of HD 82943 // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2008. V. 385. P. 2151-2160.

78. Bouchy F., Mayor M., Lovis C. et al. The HARPS search for southern extrasolar planets. XVII. Super-Earth and Neptune-mass planets in multiple planet systems HD 47186 and HD 181433 // Astron. Astrophys. 2009. V. 496. P. 527531.

79. Bretagnon P. Termes à longues périodes dans le Système Solaire // Astron. Astrophys. 1974. V. 30. P. 141-154.

80. Bretagnon P. Théorie au deuxième ordre des planètes inférieures // Astron. Astrophys. 1980. V. 84. P. 329-341.

81. Bretagnon P. Construction d'une théorie des grosses planètes par une méthode itérative // Astron. Astrophys. 1981. V. 101. P. 342-349.

82. Bretagnon P. Constantes d'intégration et éléments moyens pour l'ensemble des planètes // Astron. Astrophys. 1982a. V. 108. P. 69-75.

83. Bretagnon P. Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solution VSOP82 // Astron. Astrophys. 1982b. V. 114. P. 278-288.

84. Bretagnon P. Théorie des planètes inférieures // Celest. Mech. 1982c. V. 26. P. 161-167.

85. Bretagnon P. Amélioration des théories planétaries analytiques // Celest. Mech. 1984. V. 34. P. 193-201.

86. Bretagnon P. Construction of a planetary solution with the help of an iV-body program, and analytical complements // Celest. Mech. 1986. V. 38. P. 181190.

87. Bretagnon P. Méthode itérative de construction d'une théorie générale planétaire // Astron. Astrophys. 1990. V. 231. P. 561-570.

88. Bretagnon P., Francou G. Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP87 solutions // Astron. Astrophys. 1988. V. 202. P. 309-315.

89. Bretagnon P., Simon J.-L. Théorie générale du couple Jupiter-Saturne par une méthode itérative // Astron. Astrophys. 1990. V. 239. P. 387-398.

90. Bretagnon P., Francou G. General theory for the outer planets // Proceedings of the IAU Symposium №152. Chaos, Resonance, and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System / Ed. Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer, 1992. P. 37-42.

91. Brouwer D., van Woerkom A.J.J. The secular variations of the orbital elements of the principal planets // Astron. Papers Amer. Ephem. 1950. V. 13. Pt. II. P. 81-107

92. Brumberg V.A. Application of Hill's Lunar method in general planetary theory // Periodic Orbits, Stability and Resonances / Ed. Giacaglia G.E.O. Dordrecht: Reidel, 1970. P. 410-450.

93. Brumberg V.A. An iterative method of general planetary theory // Proceedings of the IAU Symposium №62. The stability of the Solar System and of small stellar systems / Ed. Kozai Y. 1974. P. 139-155.

94. Brumberg V.A. Perturbation theory in rectangular coordinates // Celest. Mech. 1978. V. 18. P. 319-336.

95. Brumberg V.A. General planetary theory revisited with the aid of elliptic functions // Proc. of the 25th Symposium on Celestial Mechanics / Eds. Kinoshita H., Nakai H. Tokyo: National Astronomical Observatory, 1992. P. 156.

96. Brumberg V.A. General planetary theory in elliptic functions // Celest. Mech.and Dyn. Astron. 1994. V. 59. P. 1-36.217

97. Brumberg V.A. Analytical Techniques of Celestial Mechanics. Heidelberg: Springer, 1995.

98. Brumberg V.A., Chapront J. Construction of a general planetary theory of the first order // Celest. Mech. 1973. V. 8. P. 335-356.

99. Brumberg V.A., Evdokimova L.S., Skripnichenko V.I. Secular perturbations in general planetary theory // Celest. Mech. 1975. V. 11. P. 131-138.

100. Brumberg V.A., Evdokimova L.S., Skripnichenko V.I. Mathematical results of the general planetary theory in rectangular coordinates // Dynamics of Planets and Satellites and Theories of their Motion / Ed. Szebechely V. Dordrecht: Reidel, 1978. P. 33-48.

101. Butler R.P., Marcy G. W. A planet orbiting 47 Ursae Majoris // Astrophys. Journ. 1996. V. 464. P. L153-L156.

102. Butler R.P., Wright J. T., Marcy G.W. et al. Catalog of nearby exoplanets // Astrophys. Journ. 2006. V 646. P. 505-522.

103. Carpino M., Milani A., Nobili A.M. Long-term numerical integrations and synthetic theories for the motion of the of the outer planets // Astron. Astrophys. 1987. V. 181. P. 182-194.

104. Chambers J.E. A hybrid symplectic integrator that permits close encounters between massive bodies // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999. Vol. 304. P. 793799.

105. Chapront J. Construction d'une théorie littérale planétaire jusqu'au second ordre des masses // Astron. Astrophys. 1970. V. 7. P. 175-203.

106. Chapront J., Simon J.L. Variations séculaires au premier ordre des éléments des quatre grosses planètes. Comparaison avec Le Verrier et Galliot // Astron.

107. Astrophys. 1972. V. 19. P. 231-234.218

108. Chapront J., Bretagnon P., Mehl M. Un formulaire pour le calcul des perturbations d'ordres élevés dans les problèmes planétaires // Celest. Mech. 1975. V. 11. P. 379-399.

109. Chapront J., Simon J.L. Planetary theories with the aid of the expansions of elliptical functions // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1996. V. 63. P. 171188.

110. Cochran W.D., Endl M., Wittenmyer R.A., Bean J.L. A planetary system around HD155358: the lowest metallicity planet host star // Astrophys. Journ. 2007. V. 665. P. 1407-1412.

111. Cohen C.J., Hubbard E.C. Libration of the close approaches of Pluto to Neptune // Astron. Journ. 1965. V. 70. P. 10-13.

112. Cohen C.J., Hubbard E.C., Oesterwinter C. Elements of the outer planets for one million years // Astron. Papers. Amer. Ephem. 1973a. V. 22. Pt. I. 9. P.3-82.

113. Correia A.C.M., Udry S., Mayor M. et al. The HARPS search for southern extrasolar planets XVI. HD 45364, a pair of planets in a 3:2 mean motion resonance // Astron. Astrophys. 2009. V. 496. P. 521-526.

114. Couetdic J., Laskar J., Correia A.C.M. et al. Dynamical stability analysis of the HD202206 system and constraints to the planetary orbits // ArXiv: astro-ph/0911.1963vl. 2009. 14 p.

115. Duncan M.J., Lissauer J.J. The effects of post-main-sequence solar mass loss on the stability of our planetary system // Icarus. 1998. V. 134. P. 303-310.

116. Duriez L. Téorie générale planétarie en variables elliptiques. I. Développement des équations // Astron. Astrophys. 1977. V. 54. P. 93-112.

117. Eckert W.J., Brouwer D., Clemence G.M. Coordinates of five outer planets, 16532060 // Astron. Papers Amer. Ephem. 1951. V. 12. 327 p.

118. Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celest. Mech., 1974. V. 10. P. 35-55.

119. Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A., Beaugé C. The orbits of the extrasolar planets HD 82943 c and b // Astrophys. Journ. 2005. V. 621. P. 473-481.

120. Fienga A., Manche H., Laskar J., Gastineau M. INPOPO6. A new numerical planetary ephemerides // Astron. Astrophys. 2008. V. 477. P. 315-327.j

121. Fienga A., Laskar J., Morley T. et al. INPOPO8, a 4-D planetary ephemeris: From asteroid and time-scale computations to ESA Mars Express and Venus Express contributions // Astron. Astrophys. 2009. V. 507. P. 1675-1686.

122. Fischer D.A. et al. A second planet orbiting 47 Ursae Majoris // Astrophys. Journ. 2002. V. 564. P. 1028-1034.

123. Fischer D.A., Marcy G. W., Butler R.P. et al. Five Planets Orbiting 55 Cancri // Astrophys. Journ. 2008. V. 675. P. 790-801.

124. Folkner W. M., Williams J. G., Boggs D. H. JPL planetary and lunar ephemeris, DE421. Interoffice Memorandum. 343R-08-003. JPL. 2008.

125. Giorgilli A., Locatelli U., Sansottera M. Kolmogorov and Nekhoroshev theory for the problem of three bodies // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2009. V. 104. P. 159-173.

126. Gladman B. Dynamics of systems of two close planets // Icarus. 1993. V. 106. P. 247-263.

127. Goldstein D. The near-optimality of Stormer methods for long time integrations of y" — g(y). Ph.D. Dissertation, Univ. of California, Los Angeles, Dept. of Mathematics. 1996.

128. Gozdziewski K. Stability of the 47 UMa planetary system // Astron. Astrophys. 2002. V. 393. P. 997-1013.

129. Gozdziewski K., Maciejewski A. Dynamical analysis of the orbital parameters of the HD 82943 planetary system // Astrophys. Journ. 2001. V. 563. P. L81-L85.

130. Guzzo M. The web of three-planet resonances in the outer Solar System // Icarus. 2005. V. 174. P. 273-284.

131. Guzzo M. The web of three-planet resonances in the outer Solar System. II. A source of orbital instability for Uranus and Neptune // Icarus. 2006. V. 181. P. 475-485.

132. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems. Second revised edition. 1993.

133. Hamid S.E. First-order planetary theory // Smithsonian Astrophysical Observatory Special Report. 1968. 235 p.

134. Hayes W.B. Chaos in the Outer Solar System may be indeterminate // Bulletinof the American Astronomical Society. 2005. V. 37. P. 1414.220

135. Hayes W.B. Is the outer Solar System chaotic? // Nature Physics. 2007. V. 3. P. 689-691.

136. Hayes W.B. Surfing on the edge: chaos versus near-integrability in the system of Jovian planets // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2008. V. 386. P. 295-306.

137. Hayes W.B., Danforth C.M. Solar System: Surfing the edge of chaos Part II // American Astronomical Society. DDA meeting. 2008. V. 39. P. 8.04.

138. Ji J., Liu L., Kinoshita H. et al. The librating companions in HD 37124, HD 12661, HD 82943, 47 Ursa Majoris and GJ 876: alignment or antialignment? // Astrophys. Journ. 2003. V. 591. P. L57-L60.

139. Jorba A., Zou M. A software package for the numerical integration of ODEs by means of high-order Taylor methods // Experimental Mathematics. 2005. V. 14. P. 99-117.

140. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviour of a weakly perturbed two-planetary system on a cosmogonic time-scale // Order and chaos in stellar and planetary systems. ASP Conference Series. V. 316 / Eds. Byrd G.G.,

141. Kholshevnikov K.V., Myllari A.A., Nikiforov I.I., Orlov V.V. San Francisco: ASP, 2004b. P. 99-105.

142. Kinoshita II., Nakai H. Motions of the perihelios of Neptune and Pluto // Celest. Mech. 1984. V. 34. P. 203-217.

143. Kinoshita H., Nakai H. Long-term behavior of the motion of Pluto over 5.5 billion years // Earth, Moon and Planets. 1995. V. 71. №3. P.165-173.

144. Klioner S.A. Some typical algorithms of the perturbation theory within Mathematica and their analysis // Proc. of the 25th Symposium on Celestial Mechanics / Eds. Kinoshita H., Nakai H. Tokyo: National Astronomical Observatory, 1992. P. 172.

145. Klioner S.A. On the expansions of intermediate orbit for general planetary theory // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1997. V. 66. P. 345-363.

146. Marchai C. The general solution of,the planar Laplace problem // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2005. V. 92. P. 123-134.

147. Marcy G. W., Butler R. P., Fisher D., et al. Masses and orbital characteristics of extrasolar planets using stellar masses derived from Hipparcos, metallicity, and stellar evolution, http://exoplanets.org. 2010.

148. Marois C., Macintosh B., Barman T. et al. Direct imaging of multiple planets orbiting the star HR 8799 // Science. 2008. V. 322. P. 1348-1352.

149. Mayor M., Naef D., Pepe F. The Geneva extrasolar planet search programmes. http://exoplanets.eu. 2010.

150. Mayor M., Udry S., Lovis C. et al. The HARPS search for southern extra-solar planets XIII. A planetary system with 3 super-Earths (4.2, 6.9, and 9.2 M e) // Astron. Astrophys. 2009a. V. 493. P. 639-644.

151. Mayor M., Bonfils X., Forveille T. et al. The HARPS search for southern extrasolar planets. XVIII. An Earth-mass planet in the GJ 581 planetary system // Astron. Astrophys. 2009b. V. 507. P. 487-494.

152. Masaki Y., Kinoshita H. Orbital theory of an eccentric extrasolar planet disturbed by a massive inner planet // Proceedings the 8th IAU Asian-Pacific Regional Meeting. V. II. Astron. Soc. Jap. 2002. P. 51-52.

153. Michtchenko T. A., Ferraz-Mello S. Modeling the 5 : 2 mean-motion resonance in the Jupiter—Saturn planetary system // Icarus. 2001. V. 149. P. 357-374.

154. Michtchenko T. A., Beaugé C., Ferraz-Mello S. Stationary orbits in resonant extrasolar planetary systems // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2006. V. 94. P. 411-432.

155. Milani A., Nobili A.M., Fox K., Carpino M. Long-term changes in the semimajor axes of the outer planets // Nature. 1986. V. 319. P. 386-388.

156. Milani A., Nobili A.M., Carpino M. Secular variations of the semimajor axes: theory and experiments // Astron. Astrophys. 1987. V. 172. P. 265-279.

157. Milani A., Nobili A.M. Intergation error over very long time spans // Celest. Mech. 1988. V. 43. P. 1-34.

158. Moisson X. Solar system planetary motion to third order of masses // Astron. Astrophys. 1999. V. 341. P. 318-327.

159. Moisson X., Bretagnon P. Analytical planetary solution VSOP2000 // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2000. V. 80. P. 205-213.

160. Murray N., Holman M. The origin of chaos in the outer Solar System // Science. 1999. V. 283. P. 1877-1881.

161. Nacozy P.E. On the stability of the Solar System // Astron. Journ. 1976. V. 81. P. 787-791.

162. Nacozy P.E. A discussion of long-term numerical solutions of the Jupiter -Saturn Sun system // Celest. Mech. 1977. V. 16. P. 77-86.

163. Nacozy P.E. Numerical studies on the stability of the Solar System. // Proceedings of the IAU Symposium №81. Dynamics of the Solar System / Ed. Duncombe R.L. 1979. P. 17-21.

164. Naef D., Mayor M., Beuzit J.L. et al. The ELODIE survey for northern extrasolar planets. III. Three planetary candidates detected with ELODIE //

165. Astron. Astrophys. 2004. V. 414. P. 351-59.225

166. Newhall X.X., Standish E.M., Williams J.G. DEI02: a numerical integrated ephemerides of the Moon and planets spanning forty-four centures // Astron. Astrophys. 1983. V. 125. P. 150-167.

167. Newman W.I., Varadi F., Lee A.Y., et al Numerical integration, Lyapunov exponents and the outer Solar System // Bulletin of the American Astronomical Society. 2000. V 32. P. 859.

168. Newman W.I., Lee A.Y. Symplectic integration methods and chaos: timestep selection and Lyapunov time // Bulletin of the American Astronomical Society. 2005. V 37. P. 531.

169. Niedzielski A., Gozdziewski K., Wolszczan A. et al A planet in a 0.6 AU orbit around the K0 giant HD 102272 // Astrophys. Journ. 2009. V. 693. P. 276280.

170. Nobili A.M., Milani A., Carpino M. Fundamental frequencies and small divisors in the orbits of the outer planets // Astron. Astrophys. 1989. V. 210. P. 313336.

171. Oesterwinter C., Cohen Ch.J. New orbital elements for Moon and planets // Celest. Mech. 1972. V. 5. P. 317-395.

172. Pepe F., Correia A.C.M., Mayor M. et al. The HARPS search for southern extra-solar planets VIII. ц Arae, a system with four planets // Astron. and Astrophys. 2007. V. 462. P. 769-776.

173. Perryman M.A.C., Lindegren L., Arenou F. et al HIPPARCOS distances and mass limits for the planetary candidates: 47 Ursae Majoris, 70 Virginis, and 51 Pegasi // Astron. and Astrophys. 1996. V. 310. P. L21-L24.

174. Pitjeva E. V. EPM2002 and EPM2002C — two versions of high accuracy numerical planetary ephemerides constructed for TDB and TCB time scales // Труды ИПА РАН. Вып. 11. СПб: Наука, 2004a. С. 91-106.

175. Pitjeva E. V. Precise determination of the motion of planets and some astronomical constants from modern observations // Proceedings of the IAU Coll. №196. Transits of Venus: New Views of the Solar System and Galaxy /

176. Ed. Kurtz D.W. Cambridge: Cambridge University Press, 2004c. P. 230-241.226

177. Pitjeva E. V. The dynamical model of the planet motions and EPM ephemerides // Highlights of Astronomy. 2007. V. 14. Issue 14. P. 470.

178. Pitjeva E.V. EPM ephemerides and relativity // Relativity in Fundamental Astronomy: Dynamics, Reference Frames, and Data Analysis. Proceedings of the IAU Symposium №261. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. P. 170-178.

179. Queloz D., Bouchy F., Moutou C. et al. The CoRoT-7 planetary system: two orbiting Super-Earths // Astron. Astrophys. 2009. V. 506. P. 303-319.

180. Quinn T.R., Tremaine S., Duncan M. A three million year integration of the Earth's orbit // Astron. Journ. 1991. V. 101. P. 2287-2305.

181. Richardson D.L. A third order intermediate orbit for planetary theory // Celest. Mech. 1982. V. 26. P. 187-195.

182. Richardson D.L., Walker C.F. Numerical simulation of the nine-body planetary system spanning two million years // Journ. Astronautical Science. 1989. V. 37. P. 159-182.

183. Rivera E. JHaghighipour N. On the stability of test particles in extrasolar multiple planet systems // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2007. V. 374. P. 599613.

184. Robutel P. An application of KAM theory to the planetary three body problem // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993a. V. 56. P. 197-199.

185. Robutel P. The stability of the planetary three-body problem: influence of the secular resonances // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993b. V. 57. P. 97-98.

186. Robutel P. Stability of the planetary three-body problem. II. KAM theory and existence of quasiperiodic motions // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1995. V. 62. P. 219-261.

187. Rom A. Echeloned series processor // Celest. Mech. 1971. V. 3. P. 331-345.

188. Roy A.E., Walker I.W., MacDonald A. J., et al. Project LONGSTOP // Vistas in Astronomy. 1988. V. 32, pt. 2. P. 95-116.

189. Schneider J. The extrasolar planets encyclopaedia, http://exoplanet.eu. 2010.227

190. Simon J.L. Théorie du mouvement des quatre grosses planètes. Solution TOP82 // Astron. Astrophys. 1983. V. 120. P. 197-202.

191. Simon J.L., Chapront J. Perturbations du second ordre des planètes Jupiter et Saturne. Comparaison avec Le Verrier // Astron. Astrophys. 1974. V. 32. P. 51-64.

192. Simon J.L., Bretagnon P. Perturbations du premier ordre des quatre grosses planètes. Variations littérales // Astron. Astrophys. 1975a. V. 42. P. 259-263.

193. Simon J.L., Bretagnon P. Résultats des perturbations du premier ordre des quatre grosses planètes. Variations littérales // Astron. Astrophys. Suppl. 1975b. V. 22. P. 107-160.

194. Simon J.L., Bretagnon P. Perturbations du deuxième ordre des quatre grosses planètes. Variations sécularies du demi-grand axe // Astron. Astrophys. 1978a. V. 69. P. 369-372.

195. Simon J.L., Bretagnon P. Résultats des perturbations du deuxième ordre des quatre grosses planètes // Astron. Astrophys. Suppl. 1978b. V. 34. P. 183194.

196. Simon J.L., Francou G. Théorie au troisième ordre des masses des quatre grosses planètes // Astron. Astrophys. 1981. V. 103. P. 223-243.

197. Simon J.L., Francou G. Amélioration des théories de Jupiter et Saturne par analyse harmonique // Astron. Astrophys. 1982. V. 114. P. 125-130.

198. Simon J.L., Bretagnon P. Théorie du mouvement de Jupiter et Saturne sur un intervalle de temps de 6000 ans. Solution JASON84 // Astron. Astrophys. 1984. V. 138. P. 169-178.

199. Simon J.L., Joutel F. Calcul de perturbations mutuelles de Jupiter et Saturne en fonction d'une seule variable angulaire // Astron. Astrophys. 1988. V. 205. P. 328-334.

200. Simon J.L., Joutel F., Bretagnon P. Calcul de perturbations mutuelles des quatre grosses planètes en fonction d'une seule variable angulaire // Astron. Astrophys. 1992. V. 265. P. 308-323.

201. Simon J.L., Bretagnon P., Chapront J. et al. Numerical expressions for precession formulae and mean elements for the Moon and the planets // Astron. Astrophys. 1994. V. 282. P. 663-683.

202. Standish E.M. Jr. The JPL planetary ephemerides // Celest. Mech. 1982a. V. 26. P. 181-186.

203. Standish E.M. Jr. Orientation of the JPL ephemerides, DE200/LE200, to the dynamical equinox of J2000 // Astron. Astrophys. 1982b. V. 114. P. 297-302.

204. Standish E.M.', Newhall X.X., Williams J.G., Folkner W.M. JPL planetary and lunar ephemerides, DE403/LE403. Interoffice Memorandum. 314.10-127. JPL. 1995. 22 p.

205. Standish E.M. JPL planetary and lunar ephemerides, DE405/LE405. .Interoffice Memorandum. 312.F-98-048. JPL. 1998. 18 p.

206. Standish E.M. JPL planetary ephemerides, DE410. Interoffice Memorandum. 312.N-03-109. JPL. 2003. 16 p.

207. Standish E.M. JPL planetary ephemeris, DE414. Interoffice Memorandum. 343R-06-002. JPL. 2006. 8 p.

208. Sussman G.J., Wisdom J. Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic // Science. 1988. V. 241. P. 433-437.

209. Sussman G.J., Wisdom J. Chaotic evolution of the Solar System // Science. 1992. V. 257. P. 56-62.

210. Tinney C.G., Butler R.P., Marcy G.W. et al. The 2:1 resonant exoplanetary system orbiting HD 73526 // Astrophys. Journ. 2006. V. 647. P. 594-599.

211. Tokovinin A.A. MSC — a catalogue of physical multiple stars // Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 1997. V. 124. P. 75-84.

212. Tuomi M., Kotiranta S. Bayesian analysis of the radial velocities of HD 11506 reveals another planetary companion // Astron. Astrophys. 2009. V. 496. P. L13-L16.

213. Varadi F. NBI. A set of numerical integrators for the gravitational N-bodyproblem // http://www.atmos.ucla.edu/~varadi. 1999.229

214. Varadi F., Ghil M., Kaula W.M. Jupiter, Saturn, and edge of chaos // Icarus. 1999. V. 139. P. 286-294.

215. Varadi F., Runnegar B., Ghil M. Successive refinements in long-term integrations of planetary orbits // Astrophys. Journ. 2003. V. 592. P. 620-630.

216. Vogt S.S., Butler R.P., Marcy G. W. et al. Five new multicomponent planetary systems // Astrophys. Journ. 2005. V. 632. P. 638-658.

217. Williams C.A., Van Flandem N., Wright E.A. First order planetary perturbations with elliptic functions // Celest. Mech. 1987. V. 40. P. 367-391.

218. Wisdom J., Holman M. Symplectic maps for the AT-body problem // Astron. Journ. 1991. V. 102. P. 1528-1538.

219. Wisdom J. Long-term evolution of the Solar System // Proceedings of the IAU Symposium №152. Chaos, Resonance, and Collective Dynamical Phenomena in the Solar System / Ed. Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer, 1992: P. 17-24.

220. Wytrzyszczak I., Breiter S., Borczyk W. Regular and chaotic motion of high altitude satellites // Advances in Space Research. 2007. V. 40. P. 134-142.

221. Wittenmyer R.A., Endl M., Cochran W.D. Long-period objects in the extrasolar planetary systems 47 Ursae Majoris and 14 Herculis // Astrophys. Journ. 2007. V. 654. P. 625-632.

222. Wittenmyer R.A., Endl M., Cochran W.D. et al. A search for multi-planet systems using the Hobby-Eberly telescope // Astrophys. Journ. Suppl. Ser. 2009. V. 182. P. 97-119.

223. Wright J. T., Upadhyay SMarcy G. W. et al. Ten new and updated multiplanet systems and a survey of exoplanetary systems // Astrophys. Journ. 2009a. V. 693. P. 1084-1099.

224. Wright J. T., Fischer D.A., Ford E.B. et al. A third giant planet orbiting HIP 14810 // Astrophys. Journ. 2009b. V. 699. P. L97-L101.

225. Zechmeister M., Kurster M., Endl M. The M dwarf planet search programme at the ESO VLT + UVES. A search for terrestrial planets in the habitable zone of M dwarfs // Astron. Astrophys. 2009. V. 505. P. 859-871.230

226. Zhang Jia-xiang. A study of the planetary secular perturbations // Chinese Astron. Astrophys. 1982. V. 6. P. 137-144.

227. Zhou L.-Y., Sun Y.-S. Occurrence and stability of apsidal resonance in multiple planetary systems // Astrophys. Journ. 2003. V. 598. P. 1290-1300.