Динамическая модель близости позиций индивидов в замкнутых группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Корнилина, Елена Дмитриевна

• Корнилина, Елена Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корнилина, Елена Дмитриевна

Введение

1 Построение и исследование математической модели

1.1 Основные предположения о модели и поведенческие гипотезы

1.2 Аналитическое исследование решений

1.2.1 Анализ простейших вариантов модели: 2 индивида

1.2.1 Анализ простейших вариантов модели: 3 индивида, 1 вопрос

1.2.3 Устойчивость стационарного состояния

1.2.4 Достаточные условия расходимости позиций

1.3 Численное исследование устойчивых состояний модели

1.3.1 Случай двух участников и двух вопросов

1.3.2 Случай различного числа участников и одного вопроса

2 Метод измерения близости политических позиций

3 Эксперименты по измерению близости политических позиций

3.1 Описание разработанного программного комплекса

3.2 Сопоставление различных политических текстов

3.2.1 Анализ предвыборных программ партий

3.2.2 Анализ записей политических блогеров

3.3 Кластеризация текстов в различные моменты времени

Заключение

Список иллюстраций

Список таблиц

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая модель близости позиций индивидов в замкнутых группах»

Введение

Актуальность диссертационной работы

Настоящая работа посвящена разработке динамической модели близости позиций участников замкнутых групп, высказывающих своё мнение по заданному набору вопросов.

Рассматривается группа с фиксированным числом участников (т.е. замкнутая), обсуждающих ряд вопросов таким образом, что мнение каждого становится сразу доступно всем остальным. Со временем позиции участников могут меняться под действием высказываний других членов группы. Между участниками имеются аффективные отношения (один участник может относиться к другому положительно или отрицательно), которые, в частности, влияют на изменение позиций индивидов по обсуждаемым вопросам. Эти отношения также могут меняться с течением времени.

Примером подобных взаимодействий могут служить обсуждения на различных форумах, в интернет-сообществах и т.п. В связи с существенным развитием популярности обмена мнениями в интернете, исследование взаимодействий данного типа, в том числе методами математического моделирования, становится особенно важным в настоящее время, что свидетельствует об актуальности настоящей работы.

Математические модели групповой динамики изучаются по крайней мере с 70-х годов двадцатого века, в них рассматриваются процессы изменения индивидуальных мнений под влиянием обсуждений в пределах замкнутой группы. Отметим несколько результатов моделирования установившихся (статических) групповых отношений.

Согласно теории структурного баланса, предложенной Ф. Хайд ером [1], входящий в группу индивид находится в состоянии когнитивного баланса, если для каждой триады, в которую он входит, его отношения с каждым из других членов этой триады, имеют одну из следующих форм: друг моего друга - мой друг (Ш), враг моего врага - мой друг (Я2), друг моего врага -мой враг (ЯЗ), враг моего друга - мой враг (7?4). С точки зрения теории Хайдера, устойчивые триады - это те, в которых все участники близки между собой, либо двое близки друг другу и далеки от третьего. В теореме Хайдера-Картрайта-Харари [2,3] показано, что в группе, в которой участники попарно обмениваются мнениями (положительными или отрицательными), стабильное состояние приводит к разбиению на две устойчивые подгруппы участников.

Сбалансированность по Дж. Дэвису [4,5] является обобщением предыдущего понятия сбалансированности. В основе этого подхода лежит та же аксиоматика, что и в теории Ф. Хайдера, за исключением аксиомы Я4: враг моего врага необязательно должен быть моим врагом. Таким образом, в рамках теории Дж. Дэвиса предлагается понимать триаду стабильной также и в том случае, когда все участники враждуют. Такой подход позволяет моделировать ситуации, в которых сформированы несколько антагонистических подгрупп, находящихся в стабильном состоянии.

Заметим, что обе теории - Дж. Дэвиса и Ф. Хайдера, могут быть применимы в соответствующих социальных ситуациях. В модели, предлагаемой в настоящей работе, явным образом не закладывались предположения, подобные Я1-Я4, поэтому, вообще говоря, априори не было очевидно, какой тип сбалансированности группы в ней реализуется,

более частный или более общий. В результате проведённых исследований выяснилось, что модель относится к более общему типу (как и приведённая выше модель Дэвиса), что позволяет реализовывать более широкий класс стабильных состояний.

Из наиболее близких динамических моделей к предлагаемой в работе, можно назвать модель Дж. Хантера [6], В. Ковчегова [7], П. Киллворта-Г. Бернарда [8]. Также можно отметить работу отечественных авторов Д.А. Губанова, Д.А. Новикова, А.Г. Чхартишвили [9], в которой рассматриваются вопросы распространения информации в социальных сетях, что близко исследуемой тематики.

Главной отличительной чертой предлагаемого подхода от перечисленных работ является то, что рассматриваются не только попарные отношения. Мнение каждого индивида доступно всем остальным, в этом заключается массовость взаимодействий. В то же время, к каждому участнику группы остальные имеют индивидуальное отношение (положительно или отрицательное), поэтому имеет место попарно-групповой тип коммуникации, являющийся новым для группового моделирования.

Вторая часть работы посвящена получению данных для насыщения модели. Главные величины, на которые опирается модель - это отношения между участниками (субъективные дистанции, на которых каждый участник воспринимает остальных) и их позиции по каждому из обсуждаемых вопросов.

По вопросам измерения отношений между индивидами в группах можно назвать эмпирические работы по социометрии, например, статьи

Дж. Морено [10-11] и более поздние работы. Общая схема действий при социометрическом исследовании заключается в следующем. Определяются цели и задачи (например, измерение сплочённости-разобщённости в группе; выявление относительного авторитета членов группы по признакам симпатии-антипатии и т.п.), после чего формулируются основные гипотезы и положения, касающиеся возможных критериев опроса членов групп. Когда вопросы или критерии выбраны, они задаются в форме анкетирования или интервью каждому члену группы. Для обнаружения симпатии или антипатии, в конце вопроса исследователь даёт инструкцию, подобную следующей: «Напишите на бумажках под цифрой 1 фамилию члена группы, которого Вы выбрали бы в первую очередь, под цифрой 2 - кого бы Вы выбрали, если бы не было первого, под цифрой 3 - кого бы Вы выбрали, если бы не было первого и второй». Аналогичные инструкции вводятся при исследовании личных отношений.

После получения результатов опроса, создаётся социометрическая матрица, анализ которой по каждому критерию как раз и даёт картину взаимоотношений в группе. Также для анализа результатов используются социограммы (графические изображения реакции испытуемых друг на друга при ответах на социометрический критерий [12]) и различные социометрические индексы (например, эмоциональной экспансивности, сплочённости группы и т.п.). Подробнее о методах групповой диагностики можно посмотреть, например, в [13].

Новые подходы к измерению отношений между индивидами в настоящей работе не предлагаются.

Для случая, когда участники обсуждают вопросы, имеющие отношение исключительно к политической тематике, имеется целый ряд методов по измерению близости позиций. Существует множество методов, основанных на анализе результатов голосований. Например, в работах Н.Благовещенского и его группы (см. [14-15]) анализируются политические позиции депутатов по результатам поимённых голосований. В основании данных исследований лежат работы Г.А. Сатарова и С.Б. Станкевича по анализу расстановки и соотношения сил в Сенате и Конгрессе США (см., например, [16-17]).

В качестве главного результата анализа голосований, является составление так называемых политических карт - геометрического представления депутатов в виде точек конечномерного евклидова пространства (как правило, плоскости).

Для определения позиций депутатов на политической карте используется специальная методика, предложенная Г.А. Сатаровым [18], состоящая из трёх этапов. Первый этап заключается в выявлении латентных факторов политической расстановки сил по результатам голосований с помощью методов многомерного неметрического шкалирования. На втором этапе для каждого голосования рассчитываются параметры, определяющие, насколько разница в результатах голосования объясняется действием каждого из факторов, и задаются «эталонные» по факторам исходы голосований. На завершающем шаге определяются координаты депутатов на политической карте: для каждого депутата рассчитываются рейтинги соответствия «эталонам» по каждому из факторов политической расстановки. В качестве осей полученных карт, могут быть, например, шкалы: Либералы-Государственники;

Поддерживающие реальную власть-Оппозиционеры; Реформисты-Антиреформисты и т.п.

Для представления полученной структуры парламента обычно фракции и депутатские группы обозначаются различными цветами, а точки на карте окрашиваются в соответствии с распределением депутатов по фракциям.

Если говорить об анализе позиций, выраженных в политических текстах, то традиционные методы основываются на применении вариаций контент-анализа, требующего экспертной оценки.

Важный подход, который лежит в основе большинства таких методик - это подход Э. Даунса [19], предложенный для анализа американских политических партий, и впоследствии ставший классическим. Согласно его теории, для каждой партии имеется представление на лево-правой шкале, которая является одномерным отображением идеологических предпочтений избирателей и партий. Ключевым параметром, формирующим границы данной шкалы, является выбор источника получения товаров и услуг - частного или государственного. Целью политических партий по модели Даунса является максимизация получаемых на выборах голосов или, в терминах пространственного моделирования, минимизация совокупного расстояния до идеальных точек избирателей. Расстояние от позиции партии до позиции избирателя определяется как модуль разности координат. Также в своих работах Дауне описал так называемую центростремительную тенденцию в американской системе. Она заключается в том, что если партии выбирают своё позиционирование поочерёдно, то каждая следующая партия будет располагаться как можно ближе к предыдущей.

Действительно, как описано в примере в [20], если партия L выбрала положение на лево-правой шкале от 0 до 100 в точке 30, то партии R для максимизации голосов следует выбрать наиболее близкую от L правую точку (например, 31), таким образом ближайшими к ней окажутся около 70% избирателей. Если же партии L и R делают выбор одновременно, то согласно простой даунсианской модели, они выберут середину политического континуума.

Одна из наиболее известных методик анализа политических программ, основанная на подходе Даунса, представлена в проекте "Manifesto" [21], её основным элементом является специального вида рубрикатор. Анализируя тексты, выражающие предвыборные партийные манифесты (под которыми понимаются не только официальные предвыборные программы, но и прочие тексты, публикуемые партиями с целью привлечения избирателей), эксперты определяют позиции партий по различным пунктам рубрикатора, и в результате агрегирования получают для каждой из партий определённое числовое значение на так называемой шкале Rile (сокр. от right-left), имеющей пределы -100 (крайне левая партия) и 100 (крайне правая партия).

Отметим также, что есть и другие методы, основанные на контент-анализе [22, 23, 24].

Естественным образом возникает задача разработки подхода к измерению близости позиций без привлечения эксперта, решение которой предлагает подход в настоящей работе, основанный на анализе политических текстов с помощью латентно-семантического анализа (JICA) [25]. Возможность применения данного подхода возникла в связи с предложенной гипотезой о том, что тексты, выражающие более близкие позиции (например, политические), будут синтагматически более

близкими. Синтагматическая близость, в свою очередь, лежит в основе ЛСА [26]. Основной сферой применения латентно-семантического анализа являются задачи интеллектуального поиска. Среди других приложений отметим эпизодические исследования произведений художественной литературы [27]. Работы, использующие ЛСА в целях политического анализа, автору неизвестны.

Цель работы - построение и исследование математической модели динамики близости позиций участников замкнутых групп, открыто высказывающих своё мнение по фиксированному набору вопросов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Разработана новая модель динамики близости позиций взаимодействующих индивидов в замкнутой группе, имеющая вид системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных, характеризующих отношения между индивидами, а также их позиции по обсуждаемым в группе вопросам.

2. Для построенной модели изучена зависимость решения от входных данных, доказана теорема об асимптотической устойчивости состояния согласия, т.е. состояния, в котором позиции всех индивидов по рассматриваемым темам одинаковы. Для базового случая модели доказана теорема о достаточных условиях существования неограниченных решений, соответствующих процессу расхождения позиций индивидов. Численным экспериментом показано существование решений, соответствующих формированию в группе нескольких подгрупп, в пределах каждой из которых достигается состояние согласия.

3. Разработан программный комплекс, реализующий предложенный

эмпирический метод численного измерения близости политических позиций. Метод основан на предложенной в работе гипотезе об определении близости политических позиций через синтагматическое (т.е. проявляемое через контекст) расстояние между текстами, выражающими эти позиции. Проведена апробация программного комплекса на экспериментах по измерению близости позиций, представленных в предвыборных программах основных политических партий РФ в 2007 и 2011 гг.

Научная новизна результатов:

1. В предложенной модели новизна заключается в том, что с её помощью описываются попарно-групповые коммуникации и предмет моделирования - позиции участников, а не только отношения между ними.

2. Показано, что в модели, описывающей группы, в которых участники обсуждают набор вопросов, а не только отношения друг к другу, возможно возникновение состояния согласия.

3. В основе реализованного программного комплекса лежит предложенный метод численного измерения близости политических позиций, который базируется на латентно-семантическом, а не контент-анализе.

Все представленные результаты являются новыми.

Практическая значимость результатов заключается прежде всего в том, что разработанная динамическая модель может быть использована при исследовании социально-политических процессов методами математического моделирования.

В частности, модель может быть использована для анализа и прогнозирования изменения близости позиций членов политических сообществ, например, среди пользователей интернета.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

- расширенный семинар лаборатории динамических интеллектуальных систем ИСА РАН, 16 апреля 2013;

- 6th International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools, Cargese, France, 9-12 October 2012;

- научный семинар «Математическое моделирование» под рук. В.Ф. Тишкина и A.A. Кулешова, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 21 июня 2012;

- научный семинар «Экспертные оценки и анализ данных» под рук. Ф.Т. Алескерова, ИЛУ РАН, 23 мая 2012;

- научный семинар чл.-корр. К.В. Рудакова, ВЦ РАН, 29 марта 2012;

- XIV Междисциплинарный ежегодный научный семинар «Математическое моделирование социальных процессов», МГУ ВМК, 22 декабря 2011;

- международная научно-практическая конференция «Теория активных систем», 15 ноября 2011;

- научный спецсеминар «Математические модели в гуманитарных науках», МГУ им. М.В. Ломоносова ВМК, 5 октября 2011;

- XIV Всероссийская молодёжная Конференция-школа с международным участием «Современные проблемы

математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 12-17 сентября 2011;

- научный семинар «Эволюционные процессы в финансах и экономике» под рук. В.Ю. Попова и А.Б. Шаповала, Финансовый Университет, 18 мая 2011;

- XII и XIII Международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества, НИУ ВШЭ;

- VI Всероссийская научная конференция «Сорокинские чтения», Москва, МГУ социологический факультет, 1-2 декабря 2010;

- VIII и IX International conference on Intellectualization of Information Processing;

- Ill International Conference on Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics, 23-25 June 2010;

- международная научная конференция «Ломоносов», 12-15 апреля 2010.

Описания отдельных результатов работы включены в отчёты по проектам РФФИ №№ 10-01 -00332-а (И), 12-01-31461-мол_а (Р), 12-01-09369-моб з (Р) и РГНФ проект №12-03-00431-а (И).

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность научных результатов подтверждается математической строгостью при доказательстве утверждений и теорем. Результаты исследования построенной математической модели соответствуют известным теориям относительно отношений в группах в стационарном случае. Результаты применения разработанного программного комплекса соответствуют политологическим результатам.

Личный вклад. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Постановка задачи была выполнена совместно с научным руководителем.

Публикации. По результатам исследований подготовлено 14 публикаций, в том числе 3 публикации, включённые в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий [28-30], 1 статья в журнале [31], 5 статей в сборниках трудов международных научных конференций [32-36], 3 статьи в сборниках докладов [37-39], 2 статьи в сборниках трудов всероссийской научной конференции и семинара [40-41].

Благодарности. Автор глубоко признателен своему учителю д.ф.-м.н. Александру Пхоун Чжо Петрову за постановку задачи и неизменную помощь и поддержку на протяжении всего времени работы, д.ф.-м.н., профессору Александру Петровичу Михайлову за внимание и советы, а также аспирантам и сотрудникам Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН и коллегам из других организаций, чья помощь, советы и критические замечания помогли завершить эту работу.

1 Построение и исследование математической модели

В настоящей главе содержится постановка задачи моделирования изменения близости позиций, высказываемых участниками замкнутых сообществ, проводится формализация задачи, предлагаются поведенческие гипотезы, на основе которых строится математическая модель. Исследуются аналитически стационарные решения модели и их устойчивость. Проводится численное исследование устойчивых состояний модели в частных случаях.

1.1 Основные предположения о модели и поведенческие гипотезы

В данном разделе вводятся основные предположения о модели и поведенческие гипотезы, демонстрируются отличительные особенности модели. Построение моделей на основе гипотез о поведении индивидов прочно утвердилось в отечественной школе математического моделирования, см., например, [42-56].

Рассмотрим замкнутую группу из К индивидов, обсуждающих N

вопросов. Обозначим через ху(Г) > 0 субъективную дистанцию от /-го

индивида до /-го; через £ Е - позицию /-го индивида по п-му

вопросу в момент времени Л Переменную Ху{{) следует понимать как

некоторую величину, с помощью которой описываются аффективные

отношения между индивидами. Она характеризует субъективное

расстояние, на котором воспринимает себя один участник по отношению к

другому (насколько близок к нему в данный момент времени каждый из

прочих ИНДИВИДОВ Группы), при ЭТОМ, вообще говоря, Ху(0 Ф Будем

полагать, что субъективная дистанция участника по отношению к самому

15

себе имеет нулевое значение: х1г(() = 0, г = 1,..К.

Позицию участника можно понимать как положительное или

отрицательное отношение к обсуждаемому вопросу. Заметим, что в предлагаемой модели каждая позиция участника характеризуется скалярной, одномерной величиной. Это соответствует наиболее распространённому в политологии подходу, при котором политические позиции располагаются на одномерном континууме. Данный подход был предложен в работе Э. Даунса [19], который предлагал рассмотрение каждой партии как точки на лево-правой шкале. Отметим, что использование многомерного пространства политических позиций, согласно обзору, приведённому в [20], на настоящий момент имеет ряд сложностей с определением правила предпочитаемой альтернативы, метрики пространства и т.п. На практике часто это приводит к тому, что формальное введение многомерности определения позиции сводится к переходу в одномерную проекцию на некоторую вспомогательную ось.

В рассматриваемой модели будем предполагать, что участники группы открыто высказывают позиции по ряду вопросов, в связи с чем изменяются отношения между ними, а также их позиции. Будем основываться на следующих предположениях о связи субъективных дистанций и позиций:

1) позиции по п-му вопросу в момент времени I считаются достаточно близкими, чтобы способствовать улучшению отношений между участниками, когда — < а, где а - некоторый

заданный параметр;

2) если для большей (с учётом весовым коэффициентов) части

вопросов это верно, то субъективная дистанция уменьшается: сЬсц({) / & < 0;

3) позиции по рассматриваемым вопросам г-го участника притягиваются к позициям к-то участника, если они находятся внутри некоторой зоны восприятия его как единомышленника: х1к < Я„ где Лг > 0;

4) влияния других членов на позицию каждого участника суммируются.

Будем полагать, что изменения позиций пренебрежимо мало зависят от других причин: мнений, внешних по отношению к группе, текущих политических событий и т.д. С практической точки зрения это ограничивает область применимости модели «фундаментальными» вопросами, изменение позиции по которым происходит в результате осмысления и самопозиционирования в дискуссии, например, в предвыборной политической борьбе.

Предположения 1-4 записаны в виде следующих уравнений модели:

(1)-(3)

йг (И

N

= — а2

п—1

К

7=1

хи(0) = Х0ц, г?(0) = гО?

(1)

(2) (3)

Параметр а" > 0 описывает субъективную важность п-то вопроса с точки зрения /-го индивида, £п=1 а™ = 1, а параметр у, > 0 характеризует индивида с точки зрения того, насколько быстро или медленно он меняет

17

своё отношение к другим членам группы.

Параметр аг > 0 характеризует индивида с точки зрения того, насколько быстро или медленно он меняет свою позицию по обсуждаемым вопросам, а параметр Rt > 0 - с точки зрения того, насколько близких участников он воспринимает как единомышленников. Воздействия на позицию /-го индивида по я-му вопросу со стороны всех других индивидов суммируются с весами (3^- > 0, нормированными так, что Ylf=i Ply = 1-

Таким образом, система уравнений модели динамики позиций имеет вид (1), (2) и представляет собой задачу Коши с начальными условиями (3). В общем случае, система имеет К (К- 1) + KNуравнений.

Поясним связь предложенных уравнений с высказанными гипотезами.

Уравнение (1) показывает зависимость изменения субъективного отношения между участниками в единицу времени от разницы высказываемых позиций. В соответствии с предположениями 1 и 2, если для большинства вопросов модуль разности позиций /'-го и j-го участников меньше некоторого порогового параметра а (т.е. участники близки по своим убеждениям), то и субъективное расстояние между ними начинает уменьшаться, т.е. dxij/dt < 0.

Отметим также, что исходное условие неотрицательности значений Xij(t) в уравнении равнение (1) выполнено: даже при полном совпадении

doc''

позиций, получится уравнение = —yiXij(t)a2, которое является

убывающей экспонентой. Очевидно, при численном моделировании следует брать маленький шаг итераций.

Уравнение (2) показывает зависимость изменения позиции /-го

18

участника по у-му вопросу в единицу времени от субъективных расстояний до остальных участников. В соответствии с предложением 3, если у'-й участник находится внутри некоторой зоны восприятия его как единомышленника (ху < то позиции /-го и у-го участников сближаются: позиция /-го будет иметь тенденцию к уменьшению разницы — Иначе, позиции -го и у-го участников будут расходиться.

Заметим, что в уравнении (2) записана линейная разность субъективной дистанции и /?(, а не, скажем, квадрат этой разности. Это сделано специально, т.к. важно, чтобы множитель перед — г-1 (£) мог иметь разный знак. Покажем это на примере.

Пусть рассматривается /-й индивид, общающийся с у'-м. После того как позиция у-го по и-му вопросу стала известна, позиция /-го индивида по этому вопросу может как приблизиться к позиции -го, так и отдалиться.

Т.е. в одних случаях должно быть = г" — zf, а в других =

—(г" — я-1). В первом случае позиция /-го индивида приближается к позиции у-го, во втором - отдаляется.

Предположим, что /-й индивид воспринимает у-го как своего противника: субъективное расстояние х^ между ними велико и множитель

(Я — хф < 0. Тогда ~ = — {¿^ — гр), т.е. если позиция /-го индивида

больше позиции у'-го (г™ — г]1 < 0), то > 0: позиция /-го будет отдаляться от позиции у-го. Если позиция /-го меньше позиции у-го (г™ — г" > 0), то < 0: позиции будут также отдаляться.

Если же /-й индивид воспринимает у'-го как своего единомышленника, то = (г" — г") и позиция /-го приближается к

позиции у-го.

Укажем на принципиальную разницу двух групп величин: субъективных расстояний ху и позиций участников по рассматриваемым вопросам zj1. Разница между этими группами проявляется и в построении уравнений. Если попробовать сопоставить по размерности уравнения (1) и (2) между собой, то создаётся ощущение, что в уравнении (1) появляется «лишний» множитель Xij(t), которому нет соответствия в уравнении (2).

Связано такое различие с тем, что первая группа величин -расстояния, которые не могут быть отрицательными. Кроме того, для расстояний подразумевается абсолютное шкалирование: можно сказать, что одно расстояние в несколько раз больше другого. Также в абсолютном шкалировании должен присутствовать «естественный ноль».

Для позиций участников такого «естественного ноля» нет: уравнение (2) не изменится при трансляции всех z\г на одинаковую величину по одной и той же оси z (т.е. предполагается, что неважно, чью позицию рассматривать за начало отсчёта). Содержательно, нельзя сказать, что одна позиция в несколько раз больше другой - величины принадлежат интервальной шкале.

Это означает, что влияние на х¿у должно приводить не к изменению его на некоторую величину, а к изменению его значения в несколько раз или на некоторый процент. Таким образом, получаем следующий характер зависимости для расстояний: Лх/х = factor ■ At и для позиций: Az = factor ■ At.

Описанную особенность можно трактовать и следующим образом. Полученная в результате добавления коэффициентов af величина

может рассматриваться как

действующий в течение интервала времени йЬ стимул для изменения ¿-м индивидом отношения к у'-му, рассматриваемого как реакция. Таким образом, можно сопоставить полученную зависимость с психофизическим законом Вебера-Фехнера (см., например [57]), согласно которому абсолютное приращение стимула пропорционально относительному приращению реакции на него.

Роль коэффициентов субъективной важности и-го вопроса с позиций /-го индивида а" поясним на следующем примере.

Пример 1.

Рассмотрим группу из двух собеседников, обсуждающих два вопроса: N = 2, К = 2. Предположим, первый имеет общие убеждения за свободный рынок, второй - за социализм. При этом будем считать, что для первого важнее национальный вопрос, а для второго - экономика. Тогда по национальному вопросу (будем считать, что он имеет номер 1) собеседники будут близки, а по экономическому вопросу (имеющему номер 2) - далеки:

а\ = 0.8, а} = 0.2, а\ = 0.1, а\ = 0.9 г}(0) = 20, г}(0) = 8, 4(0) = 19, г|(0) = 15.

Пусть до момента обсуждения субъективное отношение участников друг к другу было одинаковым:

*12(0)=*21(0) = 2. 21

Введём переменную уп = г2 — г", п = 1, 2. Будем считать, что остальные параметры модели у участников совпадают:

Ріі = Р22 = 0.5, /?2\ = Р12 = 0.5, А2! = = 0.5, /?|г = /?22 = 0.5 7і = у2 = 1, СГ! = = 1, а = 5, Яг= Я2 = 5.

Тогда систему (1)-(3) можно переписать в следующем виде:

П У

= х^тку1)2 - 25] + 0.2[(у2)2 - 25])

г/у

= х21(0.1[(у1)2 - 25] + 0.9[(у2)2 - 25])

йу1 сії

= —0.5у1(5 - х12) - 0.5745 - х21)

йу2

= —0.5у2(5 - х12) - 0.5у2(5 - х21) уЧ0) = 1, у2(0) = 7, х12(0) = х21(0) = 2

Таким образом, в соответствии с моделью, из заданных начальных условий, субъективная дистанция от первого участника до второго будет

со временем уменьшаться < о), а субъективная дистанция от второго

/йх \

до первого - увеличиваться (—^ > 0). Первый будет считать, что они

единомышленники, т.к. позиции по важному ему национальному вопросу близки, а второй - что они оппоненты, т.к. их позиции расходятся по важному для него вопросу экономики.

1.2 Аналитическое исследование решений

Производится анализ простейших вариантов модели, доказывается теорема об устойчивости стационарного состояния, для некоторых частных случаев доказывается теорема о достаточных условиях неограниченного расхождения.

Будем опираться на следующие определения устойчивости и асимптотической устойчивости [58-62]:

dx

Определение 1. Рассмотрим систему уравнений — — f(t,x), х =

а г

(xlf ...Дп),/ = fifi, ...,/„). Пусть все fi и — непрерывны при t0 < t < оо.

Решение х = 0(t) рассматриваемой системы называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что для всякого решения x(t) той же системы, начальное значение которой удовлетворяет неравенству |х(£0) — 0(to)| < 8, при всех t > t0 выполняется неравенство |x(t) — 0(t)| < е. Если же такого решения не существует, то решение 0(t) называется неустойчивым.

Решение 0(t) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к 0(t) при t оо, т.е.: если из |x(t0) — 0(to)| < 8 следует x(t) — <p(t)-» 0.

t—>+оо

1.2.1 Анализ простейших вариантов модели: 2 индивида

Рассмотрим случай, когда группа состоит всего из двух индивидов. В этом случае уравнения вида (2) имеют в правой части лишь по одному слагаемому:

= а.РЪМ - ~ х12) (4)

йгп

= ЪРЖЯ ~ ^ХЪ " *21) (5)

Вычитая из второго уравнения первое и воспользуясь заменой У2 (£) = 2г СО ~~ получим систему из АГ + 2 уравнений:

и12

УЛ2^а?[(У2П)2-а2] (6)

бХ

71 = 1

(1х21

п=1

= у2%21 £ аНСу2п)2 " (7)

^¿¡Г = -Ог№1УК*г ~ ~ *21) (8)

п =

Уравнения для стационарных состояний имеют вид:

N

*12£аГ[№)2-а2] = 0 (9)

71 = 1

Л?

*21^^[СУ2П)2-а2] = 0 (Ю)

п=1

-о2^{К2 - х21)-<т1р?2у2&1 -х12) = О, п =

(11)

Очевидно, система (9)-(11) имеет решение х12 = х21 = у2 = 0 при

24

всех п= 1,..., /V, в котором каждый из индивидов считает другого единомышленником, и они занимают одну и ту же позицию по всем вопросам.

Чтобы исследовать нулевое решение на устойчивость, выделим линейную часть в системе (9)-(11) вблизи этого решения по формуле Тейлора:

йхг2 2

ЧГ = ~апх"

71 = 1

с1х21 2

ЧГ = _а У2*21

п=1

IV

]Г а? (12)

£ «2П (13)

п =

Матрица линеаризованной системы является диагональной, её собственные значения равны:

Л± = —а2у1 < О, Л2 = —а2у2 < О К = < 0,п = 3, ...Ы + 2

Все собственные значения отрицательны, следовательно, по теореме Ляпунова [58-62], нулевое стационарное решение является асимптотически устойчивым.

1.2.1 Анализ простейших вариантов модели: 3 индивида, 1 вопрос

Рассмотрим случай, когда в группе трое участников обсуждают один вопрос. Будем считать, что у участников быстрые аффективные реакции (т.е. участники быстро меняют своё отношение к другим членам группы). Определим состояние согласия такой системы.

Рассмотрим систему (1)-(3) для случая трёх участников, обсуждающих один вопрос: N = 3, К = 1. Пусть коэффициенты ¿у;Я* одинаковы для всех ¿,7 = 1 п = 1,...,Ы. Пусть у

участников быстрые (по сравнению со скоростью изменения мнений) аффективные реакции, т.е. у » 1. Обозначим через г = 1/у « 1 - малый параметр. Система (1)-(3) принимает вид (15)-(19):

е—- = хиа1 Л у '

а

, г,у = 1,2,3 / Ф у

% = о-[Дг (2г ~ ){к ~ хп) + Аз (2з - )(* - %)],

Л

ск2 <Ш

сЬ

= сг[р21 (г, - г2)(Я - х21) + Р2з (г3 - )(Я - х2г)],

= <т[/?31 (г1 - г3 )(Л - х31) + ргг(г2 -г3)(Я-х32)],

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

Докажем, что с течением времени в системе (15)-(19) в главном асимптотическом приближении по малому параметру £ устанавливается состояние согласия, в котором общее мнение равно среднему арифметическому от начальных мнений всех трёх членов группы.

Система (15)-(19) имеет вид сингулярно возмущённой тихоновской системы [63,64]. Шесть «быстрых» компонент её решения хц, /,/ = 1,2,3

/^ / имеют пограничный слой в окрестности точки / = 0. Асимптотика нулевого порядка для этих компонент, согласно [63, 64], имеет вид:

(Л

хД/) = ху(?) + П0ху - +0(б), /,/ = 1,2,3 /Ф /

(20)

где ху(г),П0ху

- главные члены соответственно регулярной и

погранслойной частей разложения. Так называемые «медленные» компоненты решения имеют в нулевом приближении лишь регулярную часть:

= + / = 1,2,3

(21)

Подставив (20) и (21) в (15), получаем, что

(22)

Уравнения для функций / = 1,2,3 получаются после

'подстановки (20)-(22) в (16)-(18) и имеют вид:

сВ{ <к

= л[(51-г2) + Й-72)], (24)

= + (25)

т;.(0) = 2г0 / = 1,2,3,г*] (26)

Чтобы найти решение начальной задачи (23)-(26), введём функции

л (0=(0 - (0» у3 (0=(0 - (0 (27)

характеризующие отклонения мнений второго и третьего индивидов от мнения первого. Их асимптотические разложения имеют вид, аналогичный (21):

у,(?) = уМ + 0(е),Ы2,Ъ (28)

где

(0 = (* ) -Ц (0, уг(0 = (0 -(0 (29)

Уравнения для функций У2{^),У3({) получаются вычитанием (23) соответственно из (24) и (25) и имеют вид

¿у 2 _

л =-3<х/ад, (30)

% = -За/ЗКу3,

(31)

Решая их совместно с начальными условиями

у2(0) = 1°-г?,у3(0) = г»-1? (32)

получаем

72(0 = (^ -^)ехр[-Зо-/Ш], Уз (0 = (5? - ^ехр^За/Ш] (33)

Таким образом, с течением времени различия в позициях между всеми тремя индивидами убывают (по крайней мере, в главном асимптотическом приближении по малому параметру £).

Для рассматриваемой достаточно простой системы можно установить, в окрестности какого значения 2 достигается согласие. Для этого подставим (27) в (23) с учётом (33), получим

^ = -11° +23° -г^ехр^Зо^Л]] (34)

Решая (34) с начальным условием гх (0) = имеем

= + 1з° -2^)ехР[-За/Ш] (35)

Очевидно,

Таким образом, с течением времени в данной системе (в главном асимптотическом приближении по малому параметру £ ) устанавливается состояние согласия, в котором общее мнение равно среднему арифметическому от начальных мнений всех трёх членов группы, что и требовалось доказать.

В более общем случае (когда число участников и тем произвольно) удаётся доказать лишь устойчивость состояния согласия, без получения явного вида выражения для установившихся позиций.

1.2.3 Устойчивость стационарного состояния

Введём дополнительное обозначение. Пусть у/1 (€) = — I = 2, ...,К, п = 1, Тогда систему (1)-(2) можно переписать в

следующем виде:

(36)

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Корнилина, Елена Дмитриевна

Заключение

Сформулированы основные результаты диссертационной работы.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Разработана новая модель динамики близости позиций взаимодействующих индивидов в замкнутой группе, имеющая вид системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных, характеризующих отношения между индивидами, а также их позиции по обсуждаемым в группе вопросам.

2. Для построенной модели изучена зависимость решения от входных данных, доказана теорема об асимптотической устойчивости состояния согласия, т.е. состояния, в котором позиции всех индивидов по рассматриваемым темам одинаковы. Для базового случая модели доказана теорема о достаточных условиях существования неограниченных решений, соответствующих процессу расхождения позиций индивидов. Численным экспериментом показано существование решений, соответствующих формированию в группе нескольких подгрупп, в пределах каждой из которых достигается состояние согласия.

3. Разработан программный комплекс, реализующий предложенный эмпирический метод численного измерения близости политических позиций. Метод основан на предложенной в работе гипотезе об определении близости политических позиций через синтагматическое (т.е. проявляемое через контекст) расстояние между текстами, выражающими эти позиции. Проведена апробация программного комплекса на экспериментах по измерению близости позиций, представленных в предвыборных программах основных политических партий РФ в 2007 и 2011 гг.

Научная новизна результатов:

1. в предложенной модели новизна заключается в том, что она описывает попарно-групповые коммуникации и предмет моделирования — позиции участников, а не только отношения между ними;

2. показано, что в модели, описывающей группы, в которой участники обсуждают набор вопросов, а не только отношения друг к другу возможна реализация состояния согласия;

3. в основе реализованного программного комплекса лежит предложенный метод численного измерения близости политических позиций, который базируется на латентно-семантическом, а не контент-анализе;

Все представленные результаты являются новыми.

Практическая значимость результатов заключается, прежде всего, в том, что разработанная динамическая модель может быть использована при исследовании социально-политических процессов методами математического моделирования.

В частности, модель может быть использована для анализа и прогнозирования изменения близости позиций членов политических сообществ, например, среди пользователей интернета.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корнилина, Елена Дмитриевна, 2013 год

Список литературы

1 .Heider F. Attitudes and Cognitive Organization. - J. of Phych., 21, 1946, p. 107-112

2. Cartwright D., Harary F. Structural Balance: A Generalization of Heider's Theory. - Psych. Rev., 63, 1956, p. 277-293

3. Kemeny J.G., Snell J.L. Mathematical Models in the Social Sciences. -New York: Blaisdell Publishing Co., 1962. - 145 p.

4. Davis J.A. Clustering and Structural Balance in Graphs // Hum. Relat. 1967 Y.20 p. 181-188.

5. Davis J.A., Leinhardt S. The Structure of Positive Interpersonal Relations in Small Groups // Sociological theories in progress. V.2 Boston, 1972, p.218-251.

6. Hunter J.E. Dynamic sociometry // J. Math. Sociol. 1978. V.6. p.87-

138.

7. Ковчегов В.Б. Модель динамики групповых структур человеческих сообществ // Социология 4М. 1991. № 1. С. 75-98

8. Killworth P.D., Bernard H.R. A Model Of Human Group Dynamics // Social Science Research. Vol. 5. 1976. P. 173-224

9. Губанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Социальные сети: модели информационного влияния, управления и противоборства, 2010 -228 стр.

10. Moreno, J. L. Sociometry, Experimental Method and the Science of Society. An Approach to a New Political Orientation. Beacon House, Beacon, New York - 1951.

11. рус. пер. Я. JI. Морено Социометрия: Экспериментальный метод

и наука об обществе / Пер. с англ. А. Боковикова. - М.: Академический

94

Проект, 2001

12. Реан A.A., Коломинский Я.Л. Социальная педагогическая психология . - СПб.: Питер Ком, 1999.

13. Методики социально-психологической диагностики личности и группы: Сборник научных трудов /АН СССР, Ин-т психологии; Отв. ред. А. Л. Журавлев, В. А. Хащенко. - М.: ИП АН СССР, 1990. - 217 с.

14. Благовещенский Н.Ю. Оценка политических позиций в Государственной Думе 3-го созыва по результатам голосований. М.: Фонд ИНДЕМ, 2004.

15. http://www.duma-digest.ru/analit.htm. - Информационно-аналитический ресурс фонда ИНДЕМ.

16. Сатаров Г.А., Станкевич C.B. Применение неметрического многомерного шкалирования при изучении расстановки и соотношения сил в конгрессе США // Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. М.: ВНИИСИ, Сб.тр., вып. 10, 1982. С. 76-83.

17. Сатаров Г.А., Станкевич С.Б. Голосование в конгрессе США. Опыт многомерного анализа// Социс, 1983. №1. С. 156-166.

18. Сатаров Г.А. Анализ политической структуры законодательных органов по результатам поимённых голосований // Российский монитор, 1992а, 2. С.57-81.

19. Dowries A. An economic Theory of Democracy. N.Y., Harper&Row,

1957

20.Ахременко A.C. Структуры электорального пространства. M.: Социально-политическая мысль, 2007. 320 с.

21. А. Volkens, O.Lacewell, P.Lehmann, S.Regel, H.Schultze, A.Werner (2011): The Manifesto Data Collection. Manifesto Project

(MRG/CMP/MARPOR), Berlin: Wissenschaftszentrum Berlin fur Sozialforschung (WZB).

22. Lowe W., Benoit K., Mikhaylov S., Lover M. (2011) Scaling Policy Preferences From Coded Political Texts. Legislative Studies Quarterly 26(1, Feb): pp. 123-155.

23 .Laver M., Benoit K., Garry J. (2003). Extracting policy positions from political texts using words as data. American Political Science Review, 97(2), pp. 311-331.

24. Martin L. W., Vanberg G. A robust transformation procedure for interpreting political text, Political Analysis 16(1), pp. 93-100.

25. T. Landauer, P.W. Foltz, D. Laham Introduction to Latent Semantic Analysis. Discourse Processes 25: pp. 259-284 (1998).

26. Митрофанова O.A. Семантические расстояния: проблемы и перспективы // XXXIV Международная филологическая конференция: Вып. 21. Прикладная и математическая лингвистика. СПб., 2005.

27. Nakov P. Latent Semantic Analysis for Russian literature investigation. In Proceedings of the Naval Scientific Forum, vol. 4 (Mechanical Engineering and Mathematics. Information Technology), pp. 292-299. Varna, Bulgaria. 2001c.

28. Корнилина Е.Д. Применение латентно-семантического анализа к определению позиции политических блогеров // М.: «Социология», Издательский дом «Граница». -2011.-№1.-С. 162-164.

29.Корнилина Е.Д., ПетровА.П. Динамическая модель близости позиций пользователей социальный сетей // М.: «Математическое моделирование», Академиздатцентр «Наука». - 2012. - Т. 24. - №10. - С. 89-97.

30.Корнилина Е.Д., Петров А.П. Латентно-семантический анализ предвыборных партийных программ на выборах в Государственную Думу 2007 и 2011 годов // М.: Вестник МГУ. Сер. 12: Политические науки, Издательство МГУ. - 2013. - №2. - С. 90-98.

31. Корнилина Е.Д., Петров А.П. Аналитическое и численное исследование модели динамики позиций членов замкнутой группы // М.: Кавказские научные записки, Издательство Российского государственного торгово-экономического университета. - 2012. - №2. - С. 227-235.

32. Е. Kornilina, A. Petrov The investigation of political blogs by means of latent semantic analysis II Труды Третьей международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2010). 23-25 июня 2010г. / Науч. ред. М.Г. Дмитриев, А.П. Петров, Н.П. Третьяков. - М.: Ленанд. - 2010. - Р. 142-143.

33. Е. Kornilina, A. Petrov Research of political blogs by means of LSA // Интеллектуализация обработки информации: 8-я международная конференция. Республика Кипр, г. Пафос, 17-24 октября 2010г.: Сборник докладов. - М.: МАКС Пресс. - 2010. - С. 508-511.

34. Корнилина Е.Д., Петров А.П. О приложении латентно-семантического анализа к исследованию текстов социально-политической тематики // Теория активных систем. Труды международной научно-практической конференции (14-16 ноября 2011 г., Москва, Россия). Общая редакция - В.Н. Бурков, Д.А. Новиков. // М.: ИПУ РАН - 2011. - Т.2. - С. 266-269.

35.Корнилина Е.Д., Петров А.П. Модель динамики близости политических позиций // Теория активных систем. Труды международной научно-практической конференции (14-16 ноября 2011 г., Москва, Россия).

Общая редакция - В.Н. Бурков, Д.А. Новиков. // М.: ИЛУ РАН - 2011. -Т.2. - С. 270-272.

36. Корнилина Е.Д. Моделирование изменения отношений в политических группах // Современные проблемы математического моделирования. Сборник трудов XIV молодёжной конференции-школы с международным участием // Ростов-на-Дону, издательство Южного федерального университета. - 2011. - С. 188-192.

37. Петров А.П., Корнилина Е.Д. Исследование близости политических позиций методом латентно-семантического анализа // Сборник докладов XII Международной научной конференции по проблемам развития экономики и общества. Москва. - Издательский дом ВШЭ. - 2012. - Т. 2. - С.334-342.

38. Петров А.П., Корнилина Е.Д. Сравнительное исследование предвыборных партийных программ 2007 и 2011 гг. на основе латентно-семантического анализа // Сборник докладов XIII Международной научной конференции по проблемам развития экономики и общества. Москва. -Издательский дом ВШЭ. - 2012. - Т. 4. - С. 96-105.

39. Корнилина Е.Д. Анализ изменения высказываемых позиций на примере модели взаимодействующих в замкнутой группе акторов. // Интеллектуализация обработки информации: 9-я международная конференция. Черногория, г. Будва, 2012 г.: Сборник докладов. - М.: Торус Пресс. - 2012. - С. 662-664.

АО. Корнилина Е.Д. Выявление степени коррелируемости позиций политических блогеров // Стратегия инновационного развития России как особой цивилизации в XXI веке: VI Всероссийская научная конференция «Сорокинские чтения - 2010»: Сборник тезисов. - М.: МАКС Пресс. -

2010.-С. 758-760.

41. Корнгшина Е.Д., Петров А.П. О динамике близости политических позиций: модель и методика измерения // Математическое моделирование социальных процессов. Выпуск 12-13: Сборник статей / Под ред. А.П. Михайлова. — М.: Издательство «Спутник +». - 2012. -С.42-51.

42. А.П. Михайлов, A.A. Самарский Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. Физматлит Москва, 2005.

43. А.П. Михайлов Моделирование социально-политической и экономической динамики. РГС Москва, 2004.

44. А.П. Михайлов, H.H. Калиткин, Н.В. Карпенко, В. Ф. Тишкин, М.В. Черненков Математические модели природы и общества. Физматлит, Москва, 2005.

45. А.П. Михайлов, H.H. Калиткин, Н.В. Карпенко, В.Ф. Тишкин, М.В. Черненков Математические модели природы и общества. Физматлит, Москва, 2005.

46. А.П. Михайлов Моделирование системы Власть - Общество. Физматлит, Москва, 2006.

AI. А.П. Михайлов, А.П. Петров, Д.А. Алешин Математические модели и алгоритмы определения границ рынка с помощью теста гипотетического монополиста. Анализ товарных рынков в антимонопольном регулировании. Технология и алгоритмы М.: ФАС России, Маркет Д.С, 2007.

48. В.А. Шведовский, Э.П. Андреев, П.Ф. Андрукович, К.Д. Аргунова, П. Битинас, С.М. Бородкин и др. Математические методы в социологическом исследовании. Москва, Москва, 1981.

49. В.А. Шведовский Об использовании социальных переменных для анализа социально-экономической эффективности крупномасштабных проектов средствами вычислительного эксперимента на макроэкономической модели, Препринт. - М.: Институт автоматизированных систем. - Москва, 1992..

50. В.А. Шведовский Особенности социолого-математического моделирования в исследовании социальных процессов. ACADEMIA-АПКиПРО Москва, 2009.

51. М.Г. Дмитриев, A.A. Павлов, А.И Петров Оптимальный объем властных полномочий в социально-экономической иерархии по критерию удельного потребления. Информационные технологии и вычислительные системы, (4):4-11, 2007.

52. М.Г. Дмитриев, A.A. Павлов, А.И Петров Макромодель взаимоотношений бизнеса и власти. Социальная политика и социология, (3):219-231,2007.

53. А.П. Михайлов, А.И Петров, Д.А. Алешин Антимонопольная деятельность и математическое моделирование. Информационные технологии и вычислительные системы, (4): 12-21, 2007.

54. А.П. Петров О модели власть-общество с периодической функцией реакции гражданского общества. Математическое моделирование, 20(11):80-88, 2008.

55. М.Г. Дмитриев, A.A. Павлов, А.П. Петров Моделирование влияния коррупции в системе власть - общество. Человеческий капитал, (1):208—216, 2009.

56. А.П. Михайлов, А.П. Петров. Поведенческие гипотезы в математическом моделировании социальных процессов. Социология, МГУ

им. М.В. Ломоносова, Российская социологическая ассоциация, Т. 3, с. 160-167. Издательский дом Граница, Москва, 2010.

57. Hunt Е. The Mathematics of Behavior. - Cambridge University Press. - 2007.

58. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950, 473 с.

59. Петровский КГ. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. / Под ред. А. Д. Мышкиса, О. А. Олейник.

— М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с.

60.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

— М.: «Наука», 1974.-331 с.

61. Эсголъц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: «Наука», 1969. - 424 с.

62. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. -472с.

63. Васильева А.Б., Бутузов В. Ф.. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. Наука Москва, 1973.

64. Васильева А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Высшая школа, 1990 г. 208 с.

65. Dormand, J. R., P. J. Prince, "A family of embedded Runge-Kutta formulae". - J. Сотр. Appl. Math. - Vol. 6. - 1980. - pp. 19-26.

66. Nakov P. Latent Semantic Analysis for German literature investigation. // Proceedings of the 7th Fuzzy Days'01, International Conference on Computational Intelligence. B. Reusch (Ed.): LNCS 2206. pp. 834-641. Dortmund, Germany. October 1-3, 2001a.

67.Nakov P. Latent Semantic Analysis for Bulgarian Literature. In

Proceedings of the Spring Conference of Bulgarian Mathematicians Union, pp. 279-284. Borovetz, Bulgaria. 2001b.

68. http://lsa.colorado.edu. - LSA @ CU Boulder.

69. http://cran.at.r-proiect.org/web/packages/lsa/index.html. - Fridolin Wild LSA.

70. http://www.d.umn.edu/~tpederse/senseclusters.html. -Sense Clusters.

71. http://semanticanalyzer.mfo/blog/. - Semantic analyzer.

72. Mitrofanova O., Mukhin A., Panicheva P., Savitsky V. Automatic word clustering in Russian texts. - Heidelberg: Springer Berlin. - C. 85-91. -2007.

73. Vinokourov A., Girolami M. Probabilistic Framework for the Hierarchic Organisation and Classification of Document Collections // Information Processing and Management. - 2002.

74. Лексин B.A., Воронцов K.B. Анализ клиентских сред: выявление скрытых профилей и оценивание сходства клиентов и ресурсов // ММРО-13.-М.: МАКС Пресс. - С. 488-491. - 2007.

75. http://sonet.webnode.cz/. - Social Network Research Center.

76. Сегалович И. В. Как работают поисковые системы // Мир Интернет. - 2002. - №10.

77. http://www.ruscorpora.ru/. - Национальный корпус русского языка.-2010.

78. http://www.antula.ru/noise-word.htm. - Шумовые слова. - 2012.

79. Berry М. Large scale singular value computations I I International Journal of Supercomputer Applications. — 1992. — V. 6, No. 1. — P. 13 — 49.

80. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных

алгебраических уравнений. M.: Мир. 1969

81. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: «Мир»,

1999.

82. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. 2.6 Singular Value Decomposition // Numerical Recipes in C. — 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

83. http://old.er.ru/text.shtml74/5048

(http ://www.rg.ru/2007/11/09/ег.ЫшП. - Предвыборная Программа Всероссийской политической партии «Единая Россия» «План Путина -достойное будущее великой страны». - 2007.

84. http://er.ru/news/2011 /9/24/predvybornaya-programma-partii-edinaya-rossiva/. - Единая Россия официальный сайт партии / Новости / Предвыборная программа Партии «Единая Россия». - 2011.

85. http://kprf.ru/partv live/51880.html. - Коммунистическая партия Российской Федерации официальный сайт / Главная / Предвыборная программа Коммунистической партии Российской Федерации. - 2007.

86. http://kprf.ru/crisis/offer/97653.html. - Коммунистическая партия Российской Федерации официальный сайт / Главная / Предвыборная программа КПРФ. Политика большинства призвана побеждать. Вернуть украденную у нас Родину!. - 2011.

87. http://www.rg.ru/2007/l 1 /08/ldpr.html. - Программа политической партии ЛДПР - «ЛДПР: За достойную жизнь в сильной стране!» . - 2007.

88. http://www.ldpr.ru/#party/Program LDPR/A practical program for the Liberal Democratic Party. - Официальный сайт ЛДПР,

информационное агентство ЛДПР, новости ЛДПР / Партия / Программа ЛДПР.-2011.

89. http://www.rg.ru/2007/ll/20/spr.htnil. - Предвыборная программа Политической партии «Справедливая Россия: Родина / Пенсионеры / Жизнь» . - 2007.

90. http://www.rg.ru/2008/12/09/pravoe-delo.html. - Программа Всероссийской политической партии «Правое дело» . - 2007.

91. http://www.vavlinsky.ru/said/documents/index.phtml?id=3342. — Явлинский Григорий Алексеевич официальный сайт / Документы / Семь шагов к равенству возможностей. Предложено Г. Явлинским для выборов «Яблока» в 2007-08 годах. - 2007.

92. http://www.yabloko.ru/content/rossiya_trebuet_peremen. - Партия Яблоко официальный сайт / Предвыборная программа РОДП «ЯБЛОКО» на выборах депутатов Государственной Думы ФС РФ VI созыва. - 2011.

93. Frum D. Foggy Bloggom // The National Interest. - 19.XII.2007. -C. 54-62.

94. Н.Асадова Обама_президент.сот // F5, c.8-9, №00 (02.02.09-22.02.09).-2009.

95. М.Литвинович Новая власть советов (мнение) // OpenSpace.ru http://www.openspace.ru/media/net/details/20447. - 11.02.2011.

96. А. Солдатов «Твиттер-революции» и реакция Кремля // Ежедневный журнал http://www.ej.ru/?a=note&id=10845. - 25.02.2011.

97. S. Waterman U.S. Central Command "friending" the enemy

in psychological war // The Washington Times http://www.washingtontimes.com/news/2011/mar/l/us-central-command-friending-the-enemy-in-psycholo/. - 01.03.2011.

98. https://manifesto-proiect.wzb.eu/elections/658. - Manifesto Project Database / Data / Countries / Russia / 2007. - 2007.

99. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. - М.: Финансы и статистика, 1989. - 607 с.

100. Жамбю М. Иерархический кластер-анализ и соответствия. — М.: Финансы и статистика. - 1988. - 342 с.

101. Манделъ И. Д. Кластерный анализ. - М.: Финансы и статистика. - 1988.- 176 с.