«Динамические вероятностные эволюционные игры и их приложения» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Житлухин Михаил Валентинович

• Житлухин Михаил Валентинович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Житлухин Михаил Валентинович

2.2. Существование выживающих стратегий

2.3. Игра двух игроков

2.4. О времени достижения большого уровня капитала

2.5. Вспомогательные результаты

Глава 3. Диффузионное приближение игры двух игроков

3.1. Построение диффузионного приближения

3.2. Поведение на бесконечности

3.3. Игра со сменой режимов

3.4. О приближении игр трех и более игроков

Глава 4. Игры с разными типами активов и ограничениями

4.1. Предварительные рассуждения

4.2. Описание модели

4.3. Стратегия относительного роста

4.4. Доказательства основных результатов

4.5. Игра с одним экзогенным активом

Глава 5. Оптимальные стратегии с экзогенными ценами

5.1. Основные определения и известные результаты

5.2. Модель с транзакционными издержками и ограничениями

5.3. Задача хеджирования

Глава 6. Игры с зависимостью выплат от стратегий игроков

6.1. Общая модель

6.2. Игра с аффинными выплатами

6.3. Игра с аффинными вероятностями выплат

6.4. Нелинейная зависимость

Глава 7. Семимартингальная модель

7.1. Описание модели

7.2. Стратегия относительного роста

7.3. Примеры

7.4. Вспомогательные результаты

Глава 8. Игры с долгоживущими активами

8.1. Дискретное время

8.2. Непрерывное время

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Динамические вероятностные эволюционные игры и их приложения»»

Введение

Объект исследования. Диссертация посвящена динамическим вероятностным эволюционным играм. Такой игрой мы будем называть систему взаимодействующих агентов (игроков), которая описывается случайным процессом Щ со значениями в множестве Дм = {г € ^М : г1 + ... + гм = 1}. Этот процесс показывает, насколько успешны стратегии игроков — чем координата Щт1 ближе к 1, тем успешнее стратегия игрока т.

Центральным объектом исследования в работе являются стратегии, называемые выживающими, для которых процесс Щ остается отделенным от нуля с вероятностью 1 на бесконечном промежутке времени, независимо от того, какие стратегии используют оппоненты. Интерес изучения выживающих стратегий объясняется как тем, что «выживание» само по себе может являться целью игроков, так и тем, что присутствие игроков, использующих выживающие стратегии, часто позволяет предсказать, как будет развиваться игра в пределе по времени £ ^ то.

Основная часть работы касается вопросов существования выживающих стратегий и их свойств, а также конструктивного построения таких стратегий в конкретных моделях, возникающих в задачах финансовой математики, где процесс представляет динамику относительного капитала игроков.

Известные результаты и актуальность темы. Это направление исследований возникло в экономической литературе с целью объяснить, как стратегии экономических агентов влияют на динамику рынка на длинном горизонте времени.

Первые математические работы в этой области появились в 1990-х - начале 2000-х годов и, в основном, касались вопроса справедливости гипотезы рыночного отбора, согласно которой агенты, стремящиеся максимизировать свою прибыль и обладающие наиболее полной и правильной информацией, вытесняют агентов, которые такой информацией не обладают (см. статьи [11, 13, 28, 29, 71]; из более поздних работ отметим [12, 15, 17, 53, 85]).

Фундаментальная значимость гипотезы рыночного отбора заключается в том, что она позволяет объяснить, почему свободные рынки являются эффективными, а цены на них правильно отражают доступную информацию.

Она обычно принимается на веру (см., например, [1]), хотя в математических моделях оказывается, что гипотеза рыночного отбора не всегда верна, и ее справедливость зависит от структуры модели (см. [12, 16]).

Упомянутые работы основывались на стандартном предположении о рациональности агентов, означающем, что их действия определяются из решения задачи максимизации полезности, при этом разные агенты могут иметь разные функции полезности и обладать разными представлениями о вероятностях случайных событий. Однако, многочисленные исследования показывают, что действия людей часто оказываются нерациональными. Кроме того, даже если считать, что они рациональны, то для количественного анализа модели требуется знать индивидуальные характеристики агентов (функции полезности, субъективные вероятности), которые обычно трудно оценить.

В начале 2000-х годов в этом направлении появились работы, в которых были сделаны попытки отказаться от условия рациональности и изучить модели, где игроки могут выбирать стратегии произвольными образом. Среди прочих упомянем работы [6, 23, 35, 38, 43]. Настоящая диссертация продолжает теоретические исследования по этой тематике.

Казалось бы, если рассматривать совершенно произвольные стратегии, то и поведение модели будет произвольным. Однако «сила рыночного отбора» способствует тому, что с течением времени на структуру рынка будут влиять только те агенты, которые используют выживающие стратегии (если они существуют), что и дает возможность предсказать, как будут изменяться различные наблюдаемые характеристики модели. Обзор результатов в этом направлении до 2016 г. можно найти в [34], а из более поздних статей выделим [5, 33, 44, 58]. Эти результаты могут быть полезны в практической деятельности, связанной с задачами долгосрочных финансовых инвестиций (см. [73]). Имеются также работы, использующие похожую теорию, чтобы объяснить причины возникновения шаблонов поведения человека, таких как рандомизация, кооперация, неприятие риска и т. п., и их влияние на принимаемые людьми решения (см. [22, 52, 90]). Известны применения к задачам агрегации вероятностных прогнозов (см. [18, 19]).

Математическая сущность рассматриваемых вопросов состоит в следующем. Пусть имеется случайный процесс или случайная последовательность г^(ш,р, д), где ш — случайный исход, а р и д — параметры. По своему смыслу,

р — это «наша» стратегия, а д — совокупность стратегий оппонентов. Далее параметры р и д, как правило, будут случайными процессами, а в качестве гг, в основном, будет выступать процесс 1пЩ™, где Щ —упомянутый выше процесс относительного капитала игрока т (в дискретном времени будет говорить о случайных последовательностях).

Для нахождения выживающей стратегии зададимся вопросом, существует ли такое р, что для любого д процесс гг имеет конечный нижний предел с вероятностью 1 при £ ^ то? Ответ, конечно же, зависит от структуры гг. Однако, вопрос такого асимптотического характера можно свести к изучению локальных свойств процесса, что заметно упрощает задачу. А именно, если найдется р, что для любого д процесс гг является ограниченным субмартингалом (или «не слишком сильно» отклоняется от некоторого ограниченного субмартингала), то положительный ответ на вопрос будет следовать из известной теоремы Дуба о сходимости. Это позволяет искать значение р из некоторого минимаксного условия так, чтобы коэффициент сноса у гг был ограничен снизу подходящим образом. Если искомое р существует, то оно и будет задавать выживающую стратегию. Ее свойства затем выводятся из сходимости субмартингала и его компенсатора. Таким образом, возникает следующая задача: существует ли такое р (и, если да, то как его найти?), что заданное параметрическое семейство процессов {гг(р,д}}^ является семейством субмартингалов?

Теория мартингалов оказывается очень удобным инструментом в изучаемых нами моделях, как, в общем-то, и в других задачах финансовой математики (получить представление о глубине мартингального подхода в финансовой математике можно из монографий [32, 62, 102, 103]). Пока, правда, продвинутые мартингальные методы еще не нашли должного применения в вопросах, относящихся к динамическим вероятностным эволюционным играм. Настоящая диссертация призвана частично заполнить этот пробел. В ней будут развиты как методы общего характера, так и исследованы их применения к конкретным моделям.

Упомянем еще одно направление в финансовой математике, тесно связанное с темой диссертации, — теорию асимптотически оптимальных стратегий (или стратегии оптимального роста). Ими называют стратегии, которые обеспечивают наибольшую скорость роста капитала при времени £ ^ то.

Этот раздел хорошо изучен для моделей с экзогенными ценами активов, т. е. когда цены задаются случайными процессами, не зависящими от действий агентов. Первые работы здесь появились в 1950 - 1960-х гг. (см. [21, 51]), и впоследствии эта тематика привлекла внимание большого числа специалистов в теории случайных процессов. Среди значимых работ выделим статьи [2, 10, 27, 64, 79] и монографии [49, 65]. Отметим, что имеется много работ о связи между существованием стратегий оптимального роста и свойством отсутствия арбитража (см. [9, 48, 59]). Асимптотически оптимальным стратегиям посвящена и обширная практическая литература. Их применения не ограничиваются финансовыми рынками, а включают и азартные игры, ставки на спортивные события и др. (см. [78, 80]). Развиваемую нами теорию можно рассматривать как обобщение теории асимптотически оптимальных стратегий на модели с эндогенными ценами, но при этом случаю экзогенных цен в диссертации тоже уделяется внимание.

Цель работы и основные результаты. Цель работы состоит в развитии теории динамических вероятностных эволюционных игр и близких к ней областей с помощью методов теории мартингалов, а также в исследовании конкретных моделей таких игр, возникающих в финансовой математике. Выделим следующие основные полученные результаты.

— Предложены общие понятия динамической вероятностной эволюционной игры и выживающей стратегии. Введено понятие стратегии относительного роста, которая, в частности, всегда является выживающей. Получены достаточные условия их существования.

— Проведено детальное исследование базовой модели динамической вероятностной эволюционной игры с дискретным временем (модели ЛЕ8Ы — Амира—Евстигнеева—Шенк-Хоппе). В ней доказаны новые свойства выживающих стратегий, получены необходимые и достаточные условия выживаемости, построено диффузионное приближение модели.

— Доказано существование (с описанием явной конструкции) стратегий относительного роста в обобщениях модели ЛЕБЫ на игры с разными типами активов и ограничениями, а также совокупными выплатами, зависящими от стратегий игроков, и на модели с непрерывным временем. Доказано, что присутствие игроков с такими стратегиями определяет динамические характеристики игры в пределе по времени.

— Доказано существование асимптотически оптимальных стратегий в стохастических системах фон Неймана—Гейла, возникающих в моделях рынков с экзогенными ценами. Доказан критерий риск-допустимого хеджирования контрактов в таких моделях.

— Сформулировано понятие популяционной выживающей стратегии, являющееся более слабой версией понятия выживающей стратегии. Доказано существование таких стратегий в двух моделях динамических вероятностных эволюционных игр с дискретным и непрерывным временем.

Методы исследования. Центральное место в математическом аппарате работы занимают методы теории мартингалов, в особенности теоремы о сходимости мартингалов и мартингальные разложения. Обширно применяются различного рода вероятностные и информационные неравенства. Кроме того, используются методы теории стохастических дифференциальных уравнений, теории случайных множеств, стохастической оптимизации и предельных теорем для случайных процессов.

Структура и содержание диссертации. Основная часть диссертации состоит из восьми глав.

Первая глава носит вводный характер. В ней дается общее определение динамической вероятностной эволюционной игры и выживающих стратегий. Вводится класс стратегий относительного роста (подкласс выживающих стратегий), которые характеризуются тем, что процесс 1пЩР где Щ™ задает относительный капитал игрока т, является субмартингалом при любых стратегиях оппонентов и начальных условиях игры. Для последовательных игр доказывается теорема, содержащая достаточное условие существования стратегий относительного роста, требующее некоторых свойств непрерывности и выпуклости функции, которая задает процесс относительного капитала. Введенные определения подробно разбираются на простом примере динамической вероятностной эволюционной игры. В конце главы обсуждается связь выживающих стратегий с различными концепциями решений в теории игр.

Вторая глава посвящена изучению модели динамической вероятностной эволюционной игры, предложенной в работе Амира, Евстигнеева и Шенк-Хоппе [8] (модель ЛЕВЫ). Это базовая модель, которая в дальнейшем послужит основой для различных обобщений. Она представляет собой схему распределения выплат некоторых активов между игроками пропорциональ-

но долям владения активами. Первая группа основных результатов состоит в улучшении теорем о существовании и асимптотической единственности выживающих стратегий, полученных в работе [8]. Вторая группа результатов посвящена свойству выживающих стратегий, связанному с минимизацией среднего времени достижения заданного уровня капитала. Наконец, более подробно изучается игра с двумя игроками, в которой ни один из игроков не использует выживающую стратегию, и доказываются достаточные условия, при которых относительный капитал одного из игроков не стремится к 0, либо стремится к 1 при £ ^ то.

В третьей главе строится диффузионное приближение модели ЛЕБЫ с двумя игроками, использующими константные стратегии, которые близки к выживающей стратегии. Показывается, что динамика относительного капитала игроков может быть приближенно описана некоторым стохастическим дифференциальным уравнением. С помощью такой аппроксимации удается получить более точные условия для асимптотического доминирования или исчезания игроков по сравнению со случаем произвольных стратегий.

Основная задача четвертой главы состоит в том, чтобы объединить классическую модель рынка с дискретным временем и экзогенными ценами активов и динамические вероятностные эволюционные игры, в которых цены активов эндогенны. Изучается модель, в которой имеется два типа активов. Активы первого типа такие же, как в модели ЛЕБЫ — их выплаты распределяются между игроками пропорционально долям владения. Активы второго типа имеют экзогенную доходность как в стандартных моделях финансовой математики. Кроме того, могут присутствовать ограничения на разрешенные стратегии игроков, задаваемые случайными множествами. Основным результатом является конструкция стратегии относительного роста, сводящаяся к решению двух задач вогнутой максимизации.

В пятой главе мы отступим в сторону от игровых задач и более детально изучим асимптотически оптимальные стратегии в моделях с экзогенными ценами, используя аппарат из теории динамических систем фон Неймана— Гейла. Основные результаты касаются обобщения классических результатов об оптимальных стратегиях на случай рынков с транзакционными издержками и портфельными ограничениями. Также рассматриваются вопросы, связанные с задачей хеджирования контрактов, которые могут быть решены с

использованием родственных методов.

Шестая глава посвящена играм, в которых, по-прежнему, выплаты распределяются между игроками пропорциональным образом, но сами величины выплат зависят от взвешенной стратегии игроков. Основной результат состоит в конструкции стратегий относительного роста в виде неподвижных точек некоторых операторов. Главным образом, рассматриваются два случая: когда сами выплаты являются аффинными функциями от компонент взвешенной стратегии, и когда вероятности выплат являются аффинными функциями от компонент взвешенной стратегии. В конце главы приводятся некоторые результаты для случая общей зависимости.

В седьмой главе рассматривается игра с непрерывным временем, в которой выплаты задаются произвольными случайными процессами (а точнее, кумулятивные выплаты задаются произвольными неубывающими процессами). В отличие от дискретного времени, здесь приходится уделить много внимания корректности стохастического уравнения, задающего модель, и существованию его решения. Показывается, что стратегия относительного роста задается в явном виде, исходя из предсказуемых характеристик (коэффициента сноса и компенсатора меры скачков) процесса выплат. Также изучается динамика игры, когда все игроки используют эту стратегию.

Восьмая глава посвящена изучению динамических вероятностных эволюционных игр с долгоживущими активами, которые игроки могут приобретать и продавать в любой момент времени, при этом получая выплаты в период владения ими. Игры такого типа можно рассматривать как модели рынков акций, выплачивающих дивиденды. Вопрос о существовании выживающих стратегий здесь становится более сложным и, за исключением нескольких ранее известных частных случаев, остается открытым. Чтобы дать какой-то ответ на него, в главе вводится более слабое понятие популяционных выживающих стратегий, для которых удается дать явную конструкцию в дискретном и непрерывном времени.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены для исследования асимптотической динамики вероятностных игр. Модели, исследованные в работе, могут быть потенциально востребованы в практических применениях, связанных с финансовой математикой, в особенности в

вопросах выбора долгосрочных инвестиционных стратегий.

Избранные разделы диссертации могут быть включены в курсы лекций для студентов и аспирантов, специализирующихся в области теории вероятностей, случайных процессов и их приложений в экономике.

Публикации и доклады. Результаты диссертации представлены в 17 научных работах, из которых 14 работ (наименования [105-109, 111—116, 118, 120, 121] в списке литературы) являются статьями в рецензируемых научных журналах, включенных в базы цитирования Web of Science и Scopus, одна работа (статья [110]) опубликована в рецензируемом сборнике трудов международной конференции, а работы [117, 119] являются тезисами докладов на международных конференциях, опубликованными в рецензируемом научном журнале. Работы [105—109, 121] выполнены в соавторстве. Все результаты из них, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно.

Статья [112] была отмечена премией «Лучшая работа Математического института им. В. А. Стеклова РАН» за 2022 г.

Соискатель выступал с докладами по результатам диссертации на следующих научных конференциях.

— Конференция «Dynamic interactions for economic theory». Университет Па-риж—1, Франция, 2013 г.

— Конференция «Recent advances in financial engineering 2014». Токийский столичный университет, Япония, 2014 г. Труды: [110].

— 22-й международный симпозиум по математическому программированию. Питтсбург, США, 2015 г.

— Санкт-Петербургская зимняя молодежная конференция по теории вероятностей и математической физике. ПОМИ, Санкт-Петербург, 2018 г.

— 4-я международная конференция по стохастическим методам. Дивномор-ское, 2019 г. Тезисы: [117].

— Международная конференция «Stochastic days». МИАН, Москва, 2019 г.

— 14-й коллоквиум Башелье по финансовой математике и стохастическому анализу. Метабье, Франция, 2020 г.

— Санкт-Петербургская зимняя молодежная конференция по теории вероятностей и математической физике. ПОМИ, Санкт-Петербург, 2020 г.

— 6-я международная конференция по стохастическим методам. Онлайн, 2021 г.

— 7-я международная конференция по стохастическим методам. Дивномор-ское, 2022 г. Тезисы: [119].

— Конференция «Advances in stochastic control and optimal stopping with applications in economics and finance». Международный центр математических встреч (CIRM), Марсель, Франция, 2022 г. (участие онлайн).

— Российско-китайский симпозиум «Frontier in applied mathematics and data science». Хуачжунский университет науки и технологий, КНР, 2022 г. (участие онлайн).

— Конференция «Recent advances in stochastic modelling in finance and economics» в рамках программы MATRIX «Mathematics of risk». Мельбурнский университет, Австралия, 2022 г. (участие онлайн).

— Конференция «Winter workshop on operations research 2024». Саппоро, Япония, 2024 г.

— 4-я конференция матцентров России. Санкт-Петербург, 2024 г.

— Конференция «Стохастика». МИАН, Москва, 2024 г.

Также соискатель выступал с докладами на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (2018 г.), Общеинститутском семинаре МИАН «Математика и ее приложения» (2023 г.), Семинаре ЦЭМИ РАН «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» (2022, 2024 гг.), Семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики МИАН (2024 г.).

Благодарность. Соискатель выражает искреннюю благодарность академику Альберту Николаевичу Ширяеву и профессору Игорю Вячеславовичу Евстигнееву за ценные замечания к работе, плодотворное обсуждение результатов и всестороннюю поддержку.

Глава 1 Основные понятия

Эта глава носит вводный характер. В первой ее части дается определение динамической вероятностной эволюционной игры, выживающих стратегий и стратегий относительного роста, а также доказываются некоторые результаты общего характера. Во второй части приводится пример, иллюстрирующий основные определения. В третьей части обсуждается связь с фундаментальными понятиями из теории игр и финансовой математики.

1.1. Динамические вероятностные эволюционные игры

1.1.1. Общие определения

Определение 1.1. Динамической вероятностной эволюционной игрой будем называть совокупность = (П, , Р,I, (£т)М=1,Я, А), где

— (П, , Р) — вероятностное пространство;

— I —множество начальных условия игры;

— £т — множество стратегий игрока т € {1,... , М};

— Я — отображение из подмножества А С 1х £1 х ... х £м в множество случайных процессов на (П, , Р) с параметром £ ^ 0, принимающих значения в множестве Дм = {г € ^М : г1 + ... + Г'М = 1}. Профилем стратегий в игре называется набор Л = (А1,...,АМ) €

£1 х ... х £м. Пара из начального условия ¿о € I и профиля стратегий Л называется допустимой, если (¿0, Л) € А. Процесс Я^(г0, Л) = [Я(г0, ), £ ^ 0, называется процессом относительного капитала игроков, а его компонента ЯГ (¿о, Л) — процессом относительного капитала игрока т.

Поясним смысл определения. Динамическая вероятностная эволюционная игра описывает изменение относительного капитала игроков в зависимости от выбранных ими стратегий и заданных начальных условий. Термин капитал

здесь весьма условен; мы его используем по той причине, что изучаемые далее приложения касаются моделей финансовой математики1.

Элементами множества I в общем случае являются значения возможных параметров игры. Во всех рассматриваемых далее моделях это будут векторы из , выражающие начальные значения капитала игроков.

Стратегии игроков задаются элементами множеств 5т, которые могут иметь произвольную природу. Стратегия описывает полный план действий игрока и может учитывать присутствующую в игре случайность, а также начальные условия игры и информацию о действиях оппонентов.

Отображение Щ ставит в соответствие начальному условию и профилю стратегий случайный процесс со значениями в множестве ДМ. Его компоненты показывают насколько успешной является стратегия каждого игрока в данном профиле при заданных начальных условиях. Мы называем его процессом относительного капитала, имея ввиду, что Щт — это доля капитала игрока т в совокупном капитале всех игроков. На данном этапе нет необходимости определять процесс, который бы выражал абсолютную величину капитала, хотя в рассматриваемых далее конкретных моделях относительный капитал будет всегда вычисляться исходя из абсолютного.

Понятие допустимости начального условия и профиля стратегий будет играть техническую роль, так как не всегда возможно разумно определить динамику изменения относительного капитала при произвольных начальных условиях и стратегиях игроков. (Здесь читатель может обратиться к примеру из следующего раздела, который иллюстрирует определения.)

Далее, главным образом, нас будет интересовать поведение процесса относительного капитала при £ ^ то. Одним из основных будет вопрос о существовании стратегий, которые гарантируют, что относительный капитал игрока с вероятностью 1 асимптотически отделен от нуля; в таком случае стратегия будет называться выживающей (см. следующее определение). Другие интересные вопросы касаются условий, когда относительный капитал игрока стремиться к единице (в таком случае можно сказать, что его стратегия обеспечивает доминирование), или когда присутствие конкретных стратегий определяет динамику некоторых характеристик игры.

В целом, изучаемые нами игры можно рассматривать как системы аген-

хЕсли бы речь шла, скажем, о приложениях в биологии, вместо капитала игроков можно было бы говорить о численности популяций различных биологических видов.

тов, соперничающих за обладание капиталом, и в силу аналогий с понятиями из моделей популяционной динамики мы называем рассматриваемые игры эволюционными (в недавней работе [5] был предложен хороший термин для моделей такого типа — эволюция in pecunia2). Мы называем их динамическими и вероятностными, чтобы подчеркнуть отличие от классических моделей эволюционной теории игр, касающихся вопросов устойчивых состояний и имеющих дело с неслучайными играми (см. обсуждение в разделе 1.3).

Определение 1.2. Стратегия Am £ Sm называется выживающей стратегией игрока m, если lim inf Rm(io, Л) > 0 п. н. для любой пары (¿о, Л) £ A,

t—уж

в которой профиль стратегий Л = (A1,..., AM) содержит данную стратегию.

Отметим, что выживающие стратегии — это не просто некие безопасные стратегии, хотя «выживание» в игре и само по себе может являться целью. Во многих случаях присутствие игроков, использующих выживающие стратегии, асимптотически определяет динамику взвешенной стратегии всех игроков (она стремится к выживающей стратегии), а та, в свою очередь, задает поведение производных характеристик игры, например, цены активов. Таким образом, присутствие выживающих стратегий позволяет предсказать, как будет вести себя игра в долгосрочной перспективе, что и делает их интересными объектами исследования.

Следующее понятие будет играть важную роль в доказательствах существования и явных конструкциях выживающих стратегий.

Определение 1.3. Стратегия Am £ Sm называется стратегией относительного роста игрока m, если для любой пары (¿0, Л) £ A, в которой профиль Л = (A1,...,AM) содержит данную стратегию, процесс Rm(¿0,Л) является положительным, а процесс ln Rm(¿o, Л) является субмартингалом относительно некоторой фильтрации F = (Ft)t^0, заданной на вероятностном пространстве (П, F, P), входящем в определение игры G.

Предложение 1.4. Любая стратегия относительного роста является выживающей.

Доказательство. Этот результат немедленно следует из теоремы Дуба о сходимости, согласно которой любой ограниченный сверху субмартингал

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Житлухин Михаил Валентинович, 2025 год

Список литературы

1. Alchian A. A. Uncertainty, evolution, and economic theory // Journal of Political Economy. — 1950. — Vol. 58, no. 3. — P. 211-221.

2. Algoet P.H., Cover T.M. Asymptotic optimality and asymptotic equi-partition properties of log-optimum investment // The Annals of Probability. — 1988. — Vol. 16, no. 2. — P. 876-898.

3. Aliprantis C.D., Border K. C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. — 3rd edition. — Berlin: Springer, 2006.

4. Amir R., Belkov S., Evstigneev I. V., Hens T. An evolutionary finance model with short selling and endogenous asset supply // Economic Theory. — 2022. — Vol. 73, no. 2/3. — P. 655-677.

5. Amir R., Evstigneev I. V., Hens T, Potapova V., Schenk-Hoppe K. R. Evolution in pecunia // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2021. — Vol. 118, no. 26. — e2016514118.

6. Amir R., Evstigneev I. V., Hens T, Schenk-Hoppe K. R. Market selection and survival of investment strategies // Journal of Mathematical Economics. — 2005. — Vol. 41, no. 1/2. — P. 105-122.

7. Amir R., Evstigneev I. V., Hens T., Xu L. Evolutionary finance and dynamic games // Mathematics and Financial Economics. — 2011. — Vol. 5. — P. 161-184.

8. Amir R., Evstigneev I. V., Schenk-Hoppe K. R. Asset market games of survival: a synthesis of evolutionary and dynamic games // Annals of Finance. — 2013. — Vol. 9, no. 2. — P. 121-144.

9. Becherer D. The numeraire portfolio for unbounded semimartingales // Finance and Stochastics. — 2001. — Vol. 5, no. 3. — P. 327-341.

10. Bell R.M., Cover T.M. Competitive optimality of logarithmic investment // Mathematics of Operations Research. — 1980. — Vol. 5, no. 2. — P. 161-166.

11. Blume L., Easley D. Evolution and market behavior // Journal of Economic Theory. — 1992. — Vol. 58, no. 1. — P. 9-40.

12. Blume L, Easley D. If you're so smart, why aren't you rich? Belief selection in complete and incomplete markets // Econometrica. — 2006. — Vol. 74, no. 4. — P. 929-966.

13. Blume L.E., Easley D. Optimality and natural selection in markets // Journal of Economic Theory. — 2002. — Vol. 107, no. 1. — P. 95-135.

14. Borodin A. N., Salminen P. Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae. — 2nd ed. — Springer Basel AG, 2002.

15. Borovicka J. Survival and long-run dynamics with heterogeneous beliefs under recursive preferences // Journal of Political Economy. — 2020. — Vol. 128, no. 1. — P. 206-251.

16. Bottazzi G., Dindo P. Selection in asset markets: the good, the bad, and the unknown // Journal of Evolutionary Economics. — 2013. — Vol. 23, no. 3. — P. 641-661.

17. Bottazzi G., Dindo P. Evolution and market behavior with endogenous investment rules // Journal of Economic Dynamics and Control. — 2014. — Vol. 48. — P. 121-146.

18. Bottazzi G., Giachini D. Betting, selection, and luck: a long-run analysis of repeated betting markets // Entropy. — 2019. — Vol. 21, no. 6. — P. 585.

19. Bottazzi G., Giachini D. Far from the madding crowd: collective wisdom in prediction markets // Quantitative Finance. — 2019. — Vol. 19, no. 9. — P. 1461-1471.

20. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

21. Breiman L. Optimal gambling systems for favorable games // Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Vol. 1. — 1961. — P. 63-68.

22. Brennan T.J, Lo A. W. The origin of behavior // The Quarterly Journal of Finance. — 2011. — Vol. 1, no. 01. — P. 55-108.

23. Brock W.A., Hommes C. H. Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model // Journal of Economic Dynamics and Control. — 1998. — Vol. 22, no. 8/9. — P. 1235-1274.

24. Cherkashin D., Farmer J.D., Lloyd S. The reality game // Journal of Economic Dynamics and Control. — 2009. — Vol. 33, no. 5. — P. 10911105.

25. Christensen M. M. On the history of the growth-optimal portfolio // Machine Learning for Financial Engineering / ed. by L. Gyorfi, G. Ottucsak, H. Walk. — London: Imperial College Press. — P. 1-79.

26. Clark S.A. The valuation problem in arbitrage price theory // Journal of Mathematical Economics. — 1993. — Vol. 22, no. 5. — P. 463-478.

27. Cover T.M. Universal portfolios // Mathematical Finance. — 1991. — Vol. 1, no. 1. — P. 1-29.

28. De Long J. B., Shleifer A., Summers L. H., Waldmann R. J. Noise trader risk in financial markets // Journal of Political Economy. — 1990. — Vol. 98, no. 4. — P. 703-738.

29. De Long J. B., Shleifer A., Summers L. H., Waldmann R. J. The survival of noise traders in financial markets // Journal of Business. — 1991. — Vol. 4, no. 1. — P. 1-19.

30. Dellacherie C, Meyer P.-A. Probabilities and Potential B. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982.

31. Dempster M., Evstigneev I. V., Taksar M. Asset pricing and hedging in financial markets with transaction costs: an approach based on the von Neumann-Gale model // Annals of Finance. — 2006. — Vol. 2. — P. 327-355.

32. Eberlein E., Kallsen J. Mathematical Finance. — Cham: Springer, 2019.

33. Evstigneev I., Hens T, Potapova V., Schenk-Hoppe K. R. Behavioral equilibrium and evolutionary dynamics in asset markets // Journal of Mathematical Economics. — 2020. — Vol. 91. — P. 121-135.

34. Evstigneev I, Hens T, Schenk-Hoppe K. R. Evolutionary Behavioral Finance // The Handbook of Post Crisis Financial Modelling / ed. by E. Haven [et al.]. — Basingstoke: Palgrave Macmillan UK, 2016. — P. 214234.

35. Evstigneev I. V., Hens T., Schenk-Hoppe K. R. Market selection of financial trading strategies: global stability // Mathematical Finance. — 2002. — Vol. 12, no. 4. — P. 329-339.

36. Evstigneev I. V., Schenk-Hoppe K. R. The von Neumann-Gale growth model and its stochastic generalization // Handbook on Optimal Growth 1: Discrete Time. — Springer, 2006. — P. 337-383.

37. Evstigneev I. V., Amir R., Potapova V. Unbeatable strategies // Economic Theory. — 2024. — Vol. 77. — P. 891-920.

38. Farmer J. D. Market force, ecology and evolution // Industrial and Corporate Change. — 2002. — Vol. 11, no. 5. — P. 895-953.

39. Fudenberg D., Harris C. Evolutionary dynamics with aggregate shocks // Journal of Economic Theory. — 1992. — Vol. 57, no. 2. — P. 420-441.

40. Gale D. The closed linear model of production // Linear Inequalities and Related Systems / ed. by H. W. Kuhn, A. W. Tucker. — Princeton: Princeton University Press, 1956. — P. 285-303.

41. Gale D. On optimal development in a multi-sector economy // The Review of Economic Studies. — 1967. — Vol. 34, no. 1. — P. 1-18.

42. Heath D.C., Sudderth W.D. Continuous-time portfolio management: minimizing the expected time to reach a goal / Institute for Mathematics and Its Applications, University of Minnesota. — 1984. — No. 436.

43. Hens T, Schenk-Hoppe K. R. Evolutionary stability of portfolio rules in incomplete markets // Journal of Mathematical Economics. — 2005. — Vol. 41, no. 1/2. — P. 43-66.

44. Hirshleifer D., Lo A. W, Zhang R. Social contagion and the survival of diverse investment styles // Journal of Economic Dynamics and Control. — 2023. — Vol. 154. — P. 104711.

45. Ito K. On a stochastic integral equation // Proceedings of the Japan Academy. — 1946. — Vol. 22, no. 1-4. — P. 32-35.

46. Kabanov Y, Safarian M. Markets with Transaction Costs: Mathematical Theory. — Berlin: Springer, 2009.

47. Kallsen J. ^-localization and a-martingales // Теория вероятностей и ее применения. — 2003. — Т. 48, № 1. — С. 177—188.

48. Karatzas I., Kardaras C. The numeraire portfolio in semimartingale financial models // Finance and Stochastics. — 2007. — Vol. 11, no. 4. — P. 447-493.

49. Karatzas I., Kardaras C. Portfolio Theory and Arbitrage: A Course in Mathematical Finance. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2021.

50. Kardaras C, Platen E. Minimizing the expected market time to reach a certain wealth level // SIAM Journal on Financial Mathematics. — 2010. — Vol. 1, no. 1. — P. 16-29.

51. Kelly Jr. J.L. A new interpretation of information rate // Bell System Technical Journal. — 1956. — Vol. 35, no. 4. — P. 917-926.

52. Koduri N., Lo A. W. The origin of cooperation // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2021. —Vol. 118, no. 26. —e2015572118.

53. Kogan L., Ross S.A., Wang J., Westerfield M.M. Market selection // Journal of Economic Theory. — 2017. — Vol. 168. — P. 209-236.

54. Kolmogoroff A. Sulla teoria di Volterra della lotta per l'esistenza // Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. — 1936. — Vol. 7. — P. 74-80.

55. Komlos J. A generalization of a problem of Steinhaus // Acta Mathemat-ica Academiae Scientiarum Hungaricae. — 1967. — Vol. 18, no. 1/2. — P. 217-229.

56. Kreps D. M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities // Journal of Mathematical Economics. — 1981. — Vol. 8, no. 1. — P. 15-35.

57. Kullback S. A lower bound for discrimination information in terms of variation // IEEE Transactions on Information Theory. — 1967. — Vol. 13, no. 1. — P. 126-127.

58. Lo A. W., Orr H.A., Zhang R. The growth of relative wealth and the Kelly criterion // Journal of Bioeconomics. — 2018. — Vol. 20. — P. 49-67.

59. Long J. B. The numeraire portfolio // Journal of Financial Economics. — 1990. — Vol. 26, no. 1. — P. 29-69.

60. Maynard Smith J. The theory of games and the evolution of animal conflicts // Journal of Theoretical Biology. — 1974. — Vol. 47, no. 1. — P. 209-221.

61. Maynard Smith J., Price G. R. The logic of animal conflict // Nature. — 1973. — Vol. 246, no. 5427. — P. 15-18.

62. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling. — Berlin: Springer, 2004.

63. Neumann J. von. Uber ein okonomsiches Gleichungssystem und eine Ver-allgemeinering des Browerschen Fixpunktsatzes // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums. Bd. 8. — 1937. — S. 73-83.

64. Platen E. A benchmark approach to finance // Mathematical Finance. — 2006. — Vol. 16, no. 1. — P. 131-151.

65. Platen E, Heath D. A Benchmark Approach to Quantitative Finance. — Berlin: Springer, 2006.

66. Radner R. Existence of equilibrium of plans, prices, and price expectations in a sequence of markets // Econometrica. — 1972. — Vol. 40, no. 2. — P. 289-303.

67. Revuz D., Yor M. Continuous Martingales and Brownian Motion. — 3rd edition. — Berlin: Springer, 1999.

68. Rockafellar R. T. Conjugate Duality and Optimization. Vol. 16. — Philadelphia: SIAM, 1974.

69. Rokhlin D. B. The Kreps-Yan theorem for // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2005. — Vol. 2005. — P. 2749-2756.

70. Sandholm W. H. Population Games and Evolutionary Dynamics. — Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 2010.

71. Sandroni A. Do markets favor agents able to make accurate predictions? // Econometrica. — 2000. — Vol. 68, no. 6. — P. 1303-1341.

72. Sason I., Verdú S. Upper bounds on the relative entropy and Rényi divergence as a function of total variation distance for finite alphabets // 2015 IEEE Information Theory Workshop-Fall. — IEEE. 2015. — P. 214-218.

73. Schnetzer M., Hens T. Evolutionary finance for multi-asset investors // Financial Analysts Journal. — 2022. — Vol. 78, no. 3. — P. 115-127.

74. Schwalbe U., Walker P. Zermelo and the early history of game theory // Games and Economic Behavior. — 2001. — Vol. 34, no. 1. — P. 123137.

75. Sion M. On general minimax theorems // Pacific Journal of Mathematics. — 1958. — Vol. 8. — P. 171-176.

76. Taylor P. D., Jonker L. B. Evolutionary stable strategies and game dynamics // Mathematical Biosciences. — 1978. — Vol. 40, no. 1/2. — P. 145-156.

77. Thaler R. H. Behavioral economics: past, present, and future // American Economic Review. — 2016. — Vol. 106, no. 7. — P. 1577-1600.

78. The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice / ed. by L. C. MacLean, E. O. Thorp, W. T. Ziemba. — Singapore: World Scientific, 2011.

79. Thorp E. O. Optimal gambling systems for favorable games // Review of the International Statistical Institute. — 1969. — Vol. 37, issue 3. — P. 273-293.

80. Thorp E. O. The Kelly criterion in blackjack sports betting, and the stock market // Handbook of Asset and Liability Management / ed. by S.A. Zenios, W. T. Ziemba. — San Diego: North-Holland, 2008. — P. 385428.

81. Traulsen A., Hauert C. Stochastic Evolutionary Game Dynamics // Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity / ed. by H. G. Schuster. — Weinheim: Wiley-VCH, 2009. — Chap. 2. P. 25-61.

82. Vlasic A. Stochastic replicator dynamics subject to Markovian switching // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2015. — Vol. 427, no. 1. — P. 235-247.

83. Wallace C, Young H. P. Stochastic Evolutionary Game Dynamics // Handbook of Game Theory with Economic Applications. Vol. 4 / ed. by H. P. Young, S. Zamir. — Elsevier, 2015. — Chap. 6. P. 327-380.

84. Watanabe H., Motoo M. Ergodic property of recurrent diffusion processes // Journal of the Mathematical Society of Japan. — 1958. — Vol. 10, no. 3. — P. 272-286.

85. Yan H. Natural selection in financial markets: does it work? // Management Science. — 2008. — Vol. 54, no. 11. — P. 1935-1950.

86. Yan J.-A. Caracterisation d'une classe d'ensembles convexes de L1 ou H1 // Seminaire de Probabilites XIV / sous la dir. de J. Azema, M. Yor. — Springer, 1980. — P. 220-222.

87. Yin G. G., Zhu C. Hybrid Switching Diffusions: Properties and Applications. — New York: Springer, 2009.

88. Zermelo E. Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels // Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians. Vol. 2. — Cambridge University Press. Cambridge, 1913. — P. 501-504.

89. Zhang J. Backward Stochastic Differential Equations: From Linear to Fully Nonlinear Theory. — New York: Springer, 2017.

90. Zhang R., Brennan T.J, Lo A. W. The origin of risk aversion // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2014. — Vol. 111, no. 50. — P. 17777-17782.

91. Аркин В. И., Евстигнеев И. В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. — Москва: Наука, 1979.

92. Богачёв В. И. Основы теории меры. В 2 т. Т. 1. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2003.

93. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. — Киев: Наукова думка, 1968.

94. Дынкин Е. Б. Некоторые вероятностные модели развивающейся экономики // Доклады АН СССР. — 1971. — Т. 200, № 3. — С. 523—525.

95. Дынкин Е. Б. Вероятностное вогнутое динамическое программирование // Математический сборник. — 1972. — Т. 87, № 4. — С. 490—503.

96. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов / пер. с англ. С. Е. Кузнецова. — Москва: Физматлит, 1994.

97. Колмогоров А. Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. — 1972. — Т. 25, № 2. — С. 101—106.

98. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. — Москва: Наука, 1986.

99. Макаров В. Л., Рубинов А. В. Математическая теория экономической динамики и равновесия. — Москва: Наука, 1973.

100. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. — Москва: Наука, 1969.

101. Ширяев А. Н. Вероятность-2. — Москва: МЦНМО, 2004.

102. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. В 2 т. Т. 1. Факты, модели. — Москва: МЦНМО, 2016.

103. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. В 2 т. Т. 2. Теория. — Москва: МЦНМО, 2016.

104. Ширяев А. Н. Броуновское движение и винеровская мера. В 2 т. Т. 2. — Москва: МЦНМО, 2024.

Работы автора по теме диссертации

105. Babaei E, Evstigneev I. V., Schenk-Hoppé K. R., Zhitlukhin M. Von Neumann-Gale dynamics and capital growth in financial markets with frictions // Mathematics and Financial Economics. — 2020. — Vol. 14, no. 2. — P. 283-305.

106. Babaei E, Evstigneev I. V., Schenk-Hoppé K. R., Zhitlukhin M. Von Neumann-Gale model, market frictions and capital growth // Stochastics. — 2021. — Vol. 93, no. 2. — P. 279-310.

107. Drokin Y, Zhitlukhin M. Relative growth optimal strategies in an asset market game // Annals of Finance. — 2020. — Vol. 16. — P. 529-546.

108. Evstigneev I. V., Tokaeva A. A., Vanaei M. J., Zhitlukhin M. V. Survival strategies in an evolutionary finance model with endogenous asset payoffs // Annals of Operations Research. — 2023.

109. Evstigneev I. V., Zhitlukhin M. V. Controlled random fields, von Neumann-Gale dynamics and multimarket hedging with risk // Stochas-tics. — 2013. — Vol. 85, no. 4. — P. 652-666.

110. Zhitlukhin M. A second-order monotone modification of the Sharpe ratio // Recent Advances in Financial Engineering 2014: Proceedings of the TMU Finance Workshop / ed. by M. Kijima, Y. Muromachi, T. Shi-bata. — World Scientific. Singapore, 2016. — P. 217-226.

111. Zhitlukhin M. Survival investment strategies in a continuous-time market model with competition // International Journal of Theoretical and Applied Finance. — 2021. — Vol. 24, no. 1. — P. 2150001.

112. Zhitlukhin M. A continuous-time asset market game with short-lived assets // Finance and Stochastics. — 2022. — Vol. 26, no. 3. — P. 587630.

113. Zhitlukhin M. Asymptotic minimization of expected time to reach a large wealth level in an asset market game // Stochastics. — 2023. — Vol. 95, no. 1. — P. 67-78.

114. Zhitlukhin M. Capital growth and survival strategies in a market with endogenous prices // SIAM Journal on Financial Mathematics. — 2023. — Vol. 14, no. 3. — P. 812-837.

115. Житлухин М.В. О максимизации отношения математического ожидания к отклонению случайной величины // Успехи математических наук. — 2017. — Т. 72, № 4. — С. 191—192.

116. Житлухин М.В. О стимулирующих ценах в стохастической модели фон Неймана-Гейла для финансового рынка // Теория вероятностей и ее применения. — 2019. — Т. 64, № 4. — С. 692—706.

117. Житлухин М. В. Асимптотически оптимальные стратегии в одной модели рынка с конкуренцией // Теория вероятностей и ее применения. — 2020. — Т. 65, № 1: Тезисы докладов, представленных на Четвертой международной конференции по стохастическим методам. — С. 209— 210.

118. Житлухин М. В. Диффузионное приближение для одной модели предсказательной игры // Теория вероятностей и ее применения. — 2023. — Т. 68, № 4. — С. 751—768.

119. Житлухин М. В. Стратегии оптимального роста в модели рынка с большим количеством агентов // Теория вероятностей и ее применения. — 2023. — Т. 68, № 1: Тезисы докладов, представленных на Седьмой Международной конференции по стохастическим методам. II. — С. 197—198.

120. Житлухин М. В. Стратегии оптимального роста в стохастической модели рынка с эндогенными ценами // Теория вероятностей и ее применения. — 2024. — Т. 69, № 2. — С. 256—271.

121. Житлухин М.В., Токаева А. А. Мартингальные методы в задачах о существовании выживающих стратегий // Теория вероятностей и ее применения. — 2024. — Т. 69, № 4. — С. 653—667.