Динамика длительной генерации лазера при активной синхронизации мод тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, кандидат физико-математических наук Смирнов, Леонид Витальевич

• Смирнов, Леонид Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнов, Леонид Витальевич

Содержание

Введение

Глава I. Обзор литературы. (История вопроса)

Глава II. Релаксационные колебания импульсов синхронизации мод в случае внешней модуляции потерь и диэлектрической проницаемости

§1. Численное решение для цугов гауссовых импульсов синхронизации

мод

§2. Вывод уравнений для комплексных амплитуд продольных мод с учетом поляризации активной среды и гармонической модуляции ее параметров

§3. Уравнения релаксационных колебаний электромагнитного поля при длительной синхронизации мод

§4. Сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными и

теоретическими данными

§5. Заключение

Глава III. Генерация импульсов синхронизации мод при вынужденной модуляции потерь с учетом влияния дисперсии активной среды

§1. Вывод уравнений для действительных амплитуд и фаз продольных мод в условиях гармонической модуляции потерь

§2. Определение количества вошедших в синхронизацию мод с учетом дисперсионных свойств среды резонатора

§3. Амплитудное распределение синхронизованных мод при формировании импульса

§4. Заключение

Глава IV. Исследование механизмов синхронизации мод при модуляции показателя преломления

§1. Уравнения для амплитуд и фаз продольных мод в случае фазовой синхронизации

§2. Исследование влияния дисперсии на процесс фазовой синхронизации

§3. Заключение

Глава V. Развитие коротких импульсов лазерного излучения при использовании в резонаторе нелинейного зеркала

§1. Введение

§2. Аналитическое исследование развития длительности и формы импульса при

использовании нелинейного зеркала

§3. Заключение

Основные результаты

Приложение 1

Приложение II

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика длительной генерации лазера при активной синхронизации мод»

Введение.

§1. Предмет исследования.

Метод активной синхронизации мод (АСМ) в твердотельных лазерах занимает важнейшее место в технике получения сверхкоротких световых импульсов. С момента первой реализации этого метода на практике в 1963 г. [1] его значение, несмотря на разработку новых эффективных методов, позволяющих получить более короткие импульсы излучения, не только не упало, но и существенно возросло. Связано это главным образом с тем, что в настоящее время метод активной синхронизации мод является единственным, который при относительной простоте реализации позволяет получать стабильные и достаточно мощные сверхкороткие импульсы. Необходимость в этих импульсах обусловлена прежде всего развитием областей, связанных, в основном, с лазерными информационными системами, в которых стабильность параметров используемых импульсов излучения, а также их сверхмалая длительность обеспечивают большую плотность и точность получаемой информации. Это такие области, как лазерные локация, связь, дальномет-рия, оптические компьютеры. Кроме того, в таких областях как космическая локация, дальнометрия, требуются довольно мощные импульсы, чтобы при прохождении большого слоя атмосферы они смогли достичь цели и, рассеявшись, возвратиться на приемник, имея при этом достаточный уровень отношения сигнала к шуму.

Все это вызывало и вызывает постоянный интерес к схемам лазеров с АСМ. Вместе с тем исследования в этой области в настоящее время ведутся главным образом в экспериментальном плане, т.е. выявляются наиболее эффективные схемы с АСМ, создаются более широкополосные и наименее подверженные разрушению активные среды, изучаются полупроводниковые лазеры с активной синхронизацией, ищутся наиболее эффективные акустооптические и электрооптические модуляторы.

Основные теоретические исследования в области АСМ были проведены в конце 60-х - начале 70-х годов. Не затрагивая истории развития этих исследований, следует отметить, что все они проводились в рамках двух независимых методов описания происходящих в лазере процессов синхронизации мод, которые условно можно назвать временным и модовым подходами. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки. Остановимся кратко на их описании.

Значительная часть работ по АСМ сделана в рамках временного подхода [2-6]. Основным преимуществом этого метода является его физическая наглядность. Берется импульс излучения определенной, в основном, гауссовой формы с определенной центральной частотой и известным частотным сдвигом или чирпом и последовательно смотрится прохождение этого импульса через отдельные элементы резонатора. При этом изменение параметров импульса определяется как воздействие различных элементов на спектральные и временные характеристики импульса в соответствии с функциями пропускания этих элементов. Проследить за изменениями в параметрах импульса в течение всего времени его развития с учетом изменения инверсной населенности в активной среде и других параметров лазера - задача крайне сложная, решить которую аналитически точно практически невозможно, хотя часто существует необходимость приближенно решать и такие задачи, как численно, так и аналитически [5,7,8]. В частности, в нашей работе одной из целей ставится решение именно такой задачи в плане определения особенностей динамики длительного развития излучения в непрерывных лазерах при АСМ. Обычно же во временном подходе используется приближение самосогласованного решения [2,3], когда находятся аналитические формулы для предельных параметров импульсов синхронизации в зависимости от параметров лазера. Эти предельные параметры уже не изменяются при последовательном прохождении импуса по резонатору. Надо заметить, что найденные по таким формулам результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными [10-12].

Временной подход кроме своей наглядности обладает и рядом других преимуществ. При таком подходе можно эффективно исследовать влияние размещения отдельных элементов резонатора (модуляторов, активной среды, фильтров, зеркал) и их геометрических параметров на параметры получаемого импульса, что очень важно с экспериментальной точки зрения. В рамках временного подхода также удобно изучать проблему поведения и устойчивости получаемого импульса синхронизации при расстройке модулирующей частоты относительно частоты межмодовых биений [3,9], а также при флуктуациях различных параметров лазера [5]. Все это дало мощный толчок развитию именно временного подхода в изучении АСМ.

В тоже время такой подход в изучении АСМ имеет свои недостатки как в области правильного понимания процессов, происходящих при АСМ, так и в области предсказания некоторых практически получаемых результатов.

Главный недостаток временного подхода заключается в том, что он оставляет в стороне рассмотрение самого принципа образования сверхкоротких импульсов за счет вынужденной фазировки отдельных продольных мод и их синхронного излучения. Временной подход обеспечивает изучение развития уже образовавшегося импульса с определенной формой, длительностью и частотным чирпом. Ясно, что определение изменения этих параметров импульса из-за разфа-зировки отдельных мод относительно друг друга по каким-либо причинам уже не входит в область, поддающуюся исследованию в рамках временного подхода. Решать такие задачи можно в рамках модового подхода, когда электромагнитное поле в резонаторе представляется в виде набора продольных мод, сфазированных определенным образом [13].

Используя уравнения Максвелла для классического электромагнитного поля, материальные уравнения среды в резонаторе, а также уравнения квантовой теории для матрицы плотности активной среды, получают систему уравнений, при помощи которой исследуют развитие каждой моды и ее взаимодействие с соседними модами при периодической модуляции параметров лазера. Для получения картины поведения общего поля в резонаторе поля отдельных мод складываются, что дает представление о форме получаемого импульса, его длительности и о его временном развитии. Такой подход позволяет напрямую использовать уравнения электродинамики, что дает право говорить о справедливости получаемых решений при условии справедливости используемых допущений и предположений. В результате таких предположений получаются укороченные уравнения, составляющие основу лэмбовской теоретической модели многомодового лазера [14]. Все приближения, которые используются при выводе этих укороченных уравнений, находятся в рамках соответствия процессам, которые наблюдаются на практике: это медленное изменение амплитуды и фазы поля за период оптического колебания, отсутствие для поперечных мод низшего порядка быстрых изменений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения излучения в резонаторе, равномерное распределение усиления и потерь по всему объему резонатора. Последнее приближение позволяет нам избежать сложных граничных задач, но в то же время лишает информации о реальном пространственном распределении поля внутри резонатора.

Введение в эти уравнения гармонической модуляции активных и реактивных параметров лазера на частоте, соответствующей частоте межмодовых бие-

ний, приводит к завязке уравнений для различных продольных мод между собой. Решая эту систему связанных уравнений относительно действительной амплитуды каждой моды и ее фазы, можно получить представление о количестве мод, вошедших во взаимодействие между собой при синхронизации, о том, как будут развиваться их амплитуды и фазы во времени, как на них будут влиять процессы синхронизации, конкуренции, различные нелинейные эффекты.

Теоретические работы по АСМ, в которых использовался модовый подход, показали, что спектральное распределение, а вместе с ним и временная форма импульса, далеко не всегда являются гауссовыми, как это часто принималось во временном подходе. Более того, временная форма получаемого импульса будет постоянно меняться во времени, являясь результатом противодействия синхронизирующей работы модулятора и работы сил, стремящихся разупорядочить синхронное высвечивание мод. Главной из этих сил можно назвать дисперсию фазовой скорости в пассивных и активных элементах, вносящую неэквидистантность в распределении продольных мод резонатора по спектру.

Спектральная форма импульса во многом зависит от типа синхронизации -амплитудная или фазовая, от глубины модуляции, от расстройки частоты модулирующего сигнала относительно частоты межмодовых биений. В целом, как показано в [15], временное развитие спектра импульса синхронизации подчиняется уравнению диффузии, т.е. соответствует диффузии возбуждения по модам.

Результаты теоретических исследований, полученные при использовании различных подходов, во многом дополняют друг друга. На данный момент теория АСМ, созданная на основе этих двух подходов, хорошо объясняет большинство получаемых экспериментальных результатов. Поэтому вопросы, связанные с дальнейшим развитием теории относят на второй план, и основная работа ведется в области эксперимента. Между тем именно эксперимент ставит вопросы, которые требуют дальнейшей более тщательной проработки некоторых теоретических положений, либо заставляют использовать уже существующие теоретические представления в новых условиях, соответствующих условиям эксперимента. В соответствии с этим в данной работе, используя как аналитический аппарат, основанный на модовом подходе, так и численное моделирование, в основе которого лежит временной подход, теоретически исследуются вопросы АСМ, поднятые во многом именно в ходе экспериментов.

§2. Постановка задачи.

В последнее время возник особый интерес к генерации длинных, порядка сотен микросекунд, цугов сверхкоротких импульсов активной синхронизации мод. Такой режим работы лазеров находит широкое применение в системах передачи информации и научных исследованиях. Если стационарному режиму синхронизации посвящено значительное число работ [1-5], то процесс длительной генерации в режиме синхронизации мод, включающий переходные релаксационные колебания в лазере, возникающие после включения импульса накачки, исследован не в полной мере. Между тем этот процесс достаточно интересен тем, что, как показали эксперименты [6], он имеет довольно стабильную динамику, позволяющую с большой вероятностью предопределять параметры получающихся импульсов синхронизации при их различных положениях в длинном цуге. Теоретические исследования динамики длительной синхронизации мод может включать в себя как расчеты временного развития импульса при идеальной синхронизации с учетом изменений основных параметров лазера за время развития, так и исследование развития амплитуд и фаз отдельных продольных мод излучения с учетом развития взаимодействия их между собой в процессе синхронизации.

В настоящей работе ставится задача произвести такое исследование динамики длительной синхронизации мод в непрерывном лазере в полном объеме, охватив при этом как амплитудную, так и фазовую активную синхронизацию. Сравнение между собой эффективностей двух видов активной синхронизации мод, установление принципиальных ограничений на синхронизирующее действие модуляторов в лазере и сравнение полученных теоретических результатов и выводов с имеющимися экспериментальными данными также является задачей данной работы. Учитывая большое значение метода АСМ в лазерных системах, решение поставленных задач может представляться интересным как в экспериментальном, так и в теоретическом плане.

Целью диссертационной работы являются: — создание численной модели, описывающей динамику развития излучения при длительной активной синхронизации мод с учетом изменения инверсной населенности и параметров импульса синхронизации, и выявление особенностей этой динамики;

— получение корректных аналитических выражений для развития амплитуд и фаз аксиальных мод при амплитудной и фазовой синхронизациях с учетом их особенностей;

— исследование механизмов, препятствующих полной синхронизации аксиальных мод между собой в пределах спектра генерации лазера;

— аналитическое исследование образования и развития импульса синхронизации в условиях длительной генерации с учетом действия процессов, препятствующих синхронизации;

— анализ развития импульса при действии пассивного синхронизирующего элемента, в частности, нелинейного зеркала и выявление особенностей этого развития по отношению к случаю действия активной синхронизации мод.

Актуальность работы.

Активная синхронизация мод является в настоящее время одним из самых распространенных методов получения коротких импульсов. Несмотря на то, что исследование АСМ осуществляется на протяжении последних тридцати лет, постоянно проводящиеся эксперименты в этой области ставят задачи, решение которых требует рассмотрения данного режима работы лазера в новых конкретных условиях.

В частности, в последнее время для получения цугов стабильных коротких импульсов, использовавшихся впоследствии при точных измерениях в космической локации и дальнометрии, применялся режим длительной активной синхронизации мод при периодическом включении накачки с "вырезанием" импульсов во время процесса генерации лазера. В связи с этим возникла и стала актуальной задача численного и аналитического исследования процесса развития импульса синхронизации во время включения и работы постоянного по уровню импульса накачки. Такое исследование, наиболее приближенное к реальности, учитывающее значительные изменения инверсной населенности в активной среде за продолжительное время, было проведено в данной работе.

Не менее актуальным с точки зрения эксперимента является анализ механизмов, препятствующих получению максимально коротких импульсов при активной синхронизации. Помимо принципиальных ограничений на длительность импульсов, связанных с ограничивающими спектрами элементов лазера, существуют дополнительные механизмы, в частности, дисперсия активной возбужденной

среды, препятствующие полной синхронизации мод в лазере. Чтобы устранить или по возможности уменьшить негативное влияние этих процессов, необходимо подробно изучить их действие. Такое изучение также проводится в данной диссертационной работе.

В большинстве работ по активной синхронизации мод используется предположение о гауссовой форме получаемого импульса синхронизации. На основе этого предположения находятся многие параметры образующегося импульса, определяются условия самосогласованности генерации в лазере. Форма импульса играет значительную роль при определении его длительности методом корреляционных функций, влияет на точность этих измерений. Анализ развития формы импульса при действии ограничивающих синхронизацию процессов, который проводится в диссертации, позволяет решить вопрос о применимости данного предположения о гауссовой форме импульса при активной синхронизации мод.

Уменьшение длительности коротких импульсов, полученной при активной синхронизации мод, в большинстве связано с использованием нелинейных процессов, и в частности, нелинейного зеркала. В связи с этим актуальным является получение правильных формул для расчетов таких нелинейных устройств и определение изменений параметров импульса синхронизации при прохождении через них. В частности, в данной диссертационной работе вычисляются коэффициенты в экспоненциальной зависимости отражения нелинейного зеркала от интенсивности падающего на него излучения, а также развитие формы импульса, взаимодействующего с нелинейным зеркалом.

Научная новизна полученных результатов.

1. Рассчитана численная модель длительной активной синхронизации мод при быстром включении накачки, работающей впоследствии на постоянном уровне. При этом впервые аккуратно отслеживались изменения инверсной населенности активной среды и параметры самого импульса синхронизации. Параметры полученных в результате просчета этой модели на компьютере релаксационных колебаний сравниваются с параметрами аналогичных колебаний при свободной од-номодовой генерации. Определяется динамика изменения параметров этих колебаний при изменении параметров лазера.

2. Впервые непосредственно из уравнений Максвелла для поля излучения в резонаторе были получены наиболее полные аналитические выражения, описываю-

щие поведение амплитуд и фаз аксиальных мод при активной синхронизации, что позволило сравнить и проанализировать действия различных механизмов при активной синхронизации мод. Было продемонстрировано существенное отличие взаимодействия аксиальных мод при амплитудной и фазовой синхронизациях.

3. Установлена преобладающая роль воздействия отрицательной дисперсии активной среды на спектр синхронизирующихся в резонаторе аксиальных мод. На основании этого вывода было найдено выражение для количества синхронизирующихся мод при определенных значениях глубины и частоты работы синхронизатора.

4. Получены аналитические выражения для коэффициентов в экспоненциальной зависимости отражения нелинейного зеркала от интенсивности падающего на него излучения. Это позволило качественно и количественно определить изменения формы и длительности импульса синхронизации при отражении от нелинейного зеркала.

На защиту выносятся следующие основные научные положения и результаты:

1. Развитие короткого импульса в режиме длительной (больше времени продольной релаксации) активной синхронизации мод представляет собой релаксационный колебательный процесс, параметрами которого можно управлять через управление параметрами лазерной системы, такими как накачка, общие потери в резонаторе, а также специфичным для АСМ параметром - глубиной работы синхронизатора. Параметры релаксационных колебаний интенсивности дают возможность определять степень синхронизованности аксиальных мод между собой.

2. Вывод непосредственно из уравнений Максвелла и материальных уравнений для нестационарной среды наиболее полных уравнений для амплитуд и фаз аксиальных мод в случае действия активного синхронизирующего устройства в резонаторе. Сравнение этих уравнений для случая амплитудной и фазовой синхрони-заций.

3. Отрицательная дисперсия активной среды на центральном переходе линии усиления при определенных условиях может играть решающую роль в процессе синхронизации аксиальных мод и образования короткого импульса. Именно эта дисперсия определяет количество мод, которое синхронизируется при определенных значениях глубин и частот модуляции.

4. Показано, что при пассивной синхронизации с применением нелинейного зеркала на генерации второй гармоники форма образующегося импульса является сложной функцией времени и в первом приближении представляется в виде двух гауссовых огибающих в районе пьедестала и на вершине импульса, развитие которых идет независимо друг от друга. Выводится аналитическое выражение для степени сжатия импульса при отражении от нелинейного зеркала.

Научная и практическая ценность.

В работе рассмотрен процесс активной синхронизации продольных мод в твердотельном лазере, осуществляющийся на протяжении времени, сравнимого со временем продольной релаксации в активной среде, когда в лазере происходят существенные изменения различных параметров, в том числе инверсной населенности активной среды. По результатам этого рассмотрения построена численная модель расчета такого процесса, которая позволяет при реализации ее на компьютере с реальными параметрами лазера наиболее полно представить картину развития импульса синхронизации. Анализ этой картины даст возможность определить энергетические параметры импульса синхронизации в любое время его развития и соответствующим образом настроить параметры лазера для получения необходимых параметров импульса.

Показано, что стабильная картина релаксационных колебаний свидетельствует о хорошей и стабильной синхронизации продольных мод между собой. Срыв этой картины свидетельствует о нарушениях в условиях синхронизации.

Предложен метод экспериментального определения количества вошедших в синхронизацию мод исходя из анализа полученной картины релаксационных колебаний.

Получены наиболее полные уравнения для амплитуд и фаз продольных мод при активной синхронизации, выведенные непосредственно из уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Возможно использование этих уравнений применительно к различным условиям синхронизации с использованием соответствующих приближений.

Исследование влияния дисперсии возбужденной активной среды на процесс синхронизации мод привело к количественному определению максимально возможного числа мод, синхронизирующихся при различных частотах и глубинах

работы модулятора. Соответственно, определяется минимальная длительность образующегося импульса синхронизации.

Определены коэффициенты в экспоненциальной зависимости отражения нелинейного зеркала от интенсивности падающего на него излучения. Это дает возможность точно определять развитие импульса в системе с нелинейным зеркалом в зависимости от параметров этой системы.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты диссертации докладывались на 15-ой (1990г.) и 19-ой (1994г.) конференциях молодых ученых МФТИ (г. Долгопрудный), на семинарах теоргруппы НИИ «Полюс» и были опубликованы в работах [7,8,92,93].

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, одна из которых посвящена обзору имеющейся литературы, заключения, приложений и списка литературы.

Во введении и в первой главе кратко описываются основные методы, используемые для теоретического изучения активной синхронизации мод, дается обзор работ по исследованию амплитудной и фазовой синхронизации, определяется современное состояние дел в этой области, сформулированы цели диссертации и основные положения, выносимые на защиту.

Во второй главе проводится численный и аналитический анализ релаксационных процессов развития импульса синхронизации. Выводятся динамические уравнения для комплексных амплитуд продольных мод в резонаторе с учетом гармонической модуляции потерь и диэлектрической проницаемости.

В третьей главе рассматриваются уравнения для амплитуд и фаз продольных мод в случае модуляции потерь. Проводится строгий учет дисперсии активной среды, а также дан расчет числа синхронизируемых мод при такой дисперсии. Находится решение для общего поля в резонаторе в результате сложения сфази-рованных мод. Анализируется развитие формы получающегося короткого импульса.

В четвертой главе проводятся аналогичные расчеты для случая модуляции диэлектрической проницаемости среды резонатора. Выявляются особенности фазовой синхронизации.

В пятой главе рассматриваются вопросы синхронизации мод с использованием нелинейного зеркала на генерации второй гармоники. Проводится анализ формы и длительности получающегося импульса и их развития в результате отражения от нелинейного зеркала.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Заключение диссертации по теме «Физическая электроника», Смирнов, Леонид Витальевич

Основные результаты.

В заключении сформулируем основные результаты работы:

1) Предложена численная модель длительной активной синхронизации мод, при которой аккуратно отслеживаются изменения инверсной населенности активной среды и параметров импульса синхронизации. В результате вычислений, сделанных по этой модели, получено подтверждение экспериментального факта, что динамикой развития интенсивности импульса при переходном процессе установления синхронизации в системе являются релаксационные колебания с характеристиками, зависящими от параметров лазера и работы синхронизирующего устройства. Выявлены параметры этих зависимостей.

2) Впервые получены наиболее подробные уравнения, описывающие поведение амплитуд и фаз аксиальных мод при активной синхронизации. Уравнения получены как для амплитудной, так и для фазовой синхронизации. В общей форме они учитывают действие активной среды, модулятора и возможное наличие расстройки в работе модулятора. Показано, что в случае фазовой синхронизации помимо подстройки фаз продольных мод между собой, как в случае с амплитудной синхронизацией, идет также подстройка скоростей изменения фаз. То есть прослеживается еще один механизм синхронизации продольных мод между собой, который ранее в подобных уравнениях никак не отображался.

3) На основе полученных уравнений путем оценочного сравнения отдельных механизмов, работающих в лазере при активной синхронизации мод, найдено, что отрицательная дисперсия активной возбужденной среды играет решающую роль в противодействии процессу активной синхронизации в твердотельных лазерах.

4) Получено аналитическое выражение для определения количества синхронизирующихся мод в условиях действия отрицательной дисперсии активной возбужденной среды в зависимости от глубины и частоты модуляции. Выражение получено как для амплитудной, так и для фазовой синхронизаций. Сравнение этих двух случаев приводит к выводу, что при типичных условиях работы лазера амплитудная синхронизация позволяет получить более короткие импульсы, чем фазовая.

5) Найдены аналитические выражения для коэффициентов в экспоненциальной зависимости отражения нелинейного зеркала от интенсивности падающего на не-

го излучения. Это позволило определить изменения формы и длительности импульса синхронизации при отражении от нелинейного зеркала. Анализ развития формы импульса показал также, что она при этом имеет сложный вид, который в первом приближении аппроксимируется двумя гауссовыми кривыми, отображающими поведение "пьедестала" и "верхушки" импульса.

Приложение I.

Решение системы уравнений для полной разности

фаз соседних продольных мод.

В ходе получения связанной системы уравнений для амплитуд и фаз синхронизирующихся мод была выведена система уравнений для полной разности фаз соседних типов колебаний (в режиме стационарной синхронизации мод)

+ Хтт_^{ =Ьт+[т (АЛ)

причем Х_М_1М = Хм<и+1 = 0. Здесь

Хт+Ьп = яп((<н Ф + Л(р т+ит) (А.2)

ьт+х,т = -2 — • £ • ( -—(со т+1 - сот - о) (А.З)

У у (та) +1 У ,

Диапазон изменения ш составляет от -М до М. Решение системы уравнений (АЛ) имеет вид [50]

(А.4)

1

где Х_м+и_м = ~2м+1[2М'Ь-ши + (2М- 1)ь-м,г.-м+1 +-+Ъи,и-\].

Представим в выражении для Ът+1т (А.З) последнее слагаемое через дисперсию показателя преломления пассивной среды резонатора. Для этого выразим

( \ дп / ч 1 д2п ( \2

п{со к) = п0 + —{0) к-а>0) + ~ -^2(°>к -По) (А.5)

где п0 = п(со 0), а производные берутся в точке со = со 0. Неэквидистантность соседних пар собственных частот определяется выражением

= 1 - 2 ПЬ (А.6)

со к+2- со к+{

ю к+~ 03 к

где

Ь=

( дп со п д2пЛ К дпЛ

■ + - 0

\д(о 2 дсо )

(А.7)

Разность частот всех пар мод со ,.+1-со к с помощью (А.6) можно выразить через разность частот двух определенных (р+1 и р) типов колебаний:

со /с+1 /,

Пр+Х-Пр

— = 1 - 2Ш^/< - р) (А. 8)

Тогда общее выражение для коэффициентов Ьт+[ т имеет вид

^ = -2—^7-4-7-7" (А.9)

7 , (та) +1x7

Подставляя явное выражение для Ьт+]т в (А.4) найдем, что

4М гу М(М+1) 2ч ,

Г1 2 3

-20 +

(А. 10)

Окончательное решение для Хт+[ т определиться после подстановки выражений для Ьт+1т (А.9) и для Х_м+1 _м (А.10) в первое уравнение системы (А.4). Тогда получим

2(М+т+\)(М-т) у 2 М(М+ \)+т(т+ 1)

-Хт+1,т = ( ; [ 1 - а I 1 +

у , 2 2

(А.11)

1 — т

\со р+- со р- п) + 202 /( р + -—-))

Приложение II.

Расчет коэффициента отражения от нелинейного зеркала.

Будем считать малыми аргументы функций, входящих в выражение для

Ыкьв (1), т.е.

?7<-^<1 (В.1)

К.

2 со

Тогда, используя разложения

|/ч 1. 1 + х , х3.

агс1апп(х) 1п--« (х+—)

2 1-х 3

1апЬ(х)«х-у (В.2)

х2

ехр « 1 + +...

после преобразований и оставления членов вплоть до т]2 включительно получим

(В.З)

О)

При Я2& = 1 это разложение принимает вид

^ = + (В.4)

Последний сомножитель в слагаемом с г]2 оказывается порядка единицы при 7^=0.5. В этом случае разложение (П.4) совпадает с разложением

экспоненты схр[(] - /?„)//] вплоть до членов с 7/2 включительно. При меньших

значениях ^(^<0.5) возникают различия, связанные, например, со сменой

знака выражения (т?2 + 2 ЯЛ1 -1).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнов, Леонид Витальевич, 1998 год

Литература:

1. K.Gürs und R.Müller "Breitband-modulation durch Steuerung der emission eines optischen masers (auskoppelmodulation)" Physics Letters, 5, 179, 1963.

2. Л.Н.Магдич "Временные характеристики излучения лазера с модулируемыми параметрами резонатора" ЖТФ, т.39, N3, стр.518-527, 1969г.

3. D.J.Kuizenga, A.E.Siegman "FM and AM mode-locking of the homogeneous laser - Part I: Theory" IEEE Journal of Quant. Electronics, vol.45, N3, March, 1974, p.1291-1297.

4. N.P.Barnes "Mode-locking dynamics of homogeneously broadened lasers" Journal of Applied Physics, vol.45, N3, March, 1974, p.1291-1297.

5. Е.С.Коваленко, А.Е.Мандель "Нестационарные процессы в лазерах на АИГ:Ш3+ с вынужденной синхронизацией мод" ЖПС, т.33, вып.5, ноябрь, 1980г., стр.828-835.

6. И.В.Томов, С.Р.Федосеев, М.И.Ричардсон "Генерация ультракоротких импульсов в лазерах с активной синхронизацией мод" Кв.электроника, т.7, N7, 1980г., стр.1381 - 1399.

7. Л.В.Смирнов, С.Н. Столяров "Кинетика длительной генерации сверхкоротких лазерных импульсов синхронизации мод", Лазерная техника и оптоэлектрони-ка, вып. 3-4, 1993г., стр.86-90.

8. Л.В.Смирнов, С.Н.Столяров "Релаксационные колебания импульсов излучения лазеров при длительной многомодовой генерации синхронизированных мод", Междувед. сборник МФТИ, 1994г., стр. 140-144

9. A.E.Siegman, D.J.Kuizenga "Modulator Frequency Deturning Effects in the FM Mode-locked lasers", IEEE Journal of Quantum Electronics, vol.QE-6, 12, December, 1970, p.803-808.

10. L.M.Osternik, J.D.Foster "A mode-locking Nd:YAG laser", Journal of Appl. Physics., vol.39 August 1968, p.p. 4163-4165.

11. D.J.Kuizenga, A.E.Siegman "FM-phase-locked and FM-laser operating of Nd:YAG lasers", Journal of Opt. Soc.Am., vol.59, p.506, abstract Th21, April, 1969.

12. D.J.Kuizenga, A.E.Siegman "FM and AM Mode-locking of the homogeneous laser - Part II: Experimental Results in a Nd:YAG Laser With Internal FM Modulation", IEEE J. of Quant. Electronics, vol. QE-6, N11, November, 1970, p.p. 709-716.

13. J.C.Slater "Microwave Electronics" D.Van Nostrand Company, Inc., New-York, 1950.

14. W.E.Lamb, Jr. "Theory of an optical maser" Phys.Rev., vol.134, p.p. A1429-A1450, June 1964.

15. В.С.Летохов "Динамика генерации импульсного лазера с фазировкой мод" ЖЭТФ, т.54, N5, 1968г., стр. 1392-1401.

16. M.DiDomenico, Jr. "Small signal analysis in internal (coupling type) modulation of lasers", Journal Appl. Phys., vol.35, p.p. 2870-2876, Oct. 1964.

17. A.Yariv "Internal modulation in multimode laser oscillations", Journal Appl. Phys., vol.36, p.p. 388-391, 1965.

18. M.H.Crowell "Characteristics of mode-coupled lasers", IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-1, p.p. 12-20, 1965.

19. S.E.Harris, R.Targ "FM oscillation of the He-Ne laser", Appl.Phys.Letters, vol.5, p.p.202-204, Nov. 1964.

20. E.O.Ammann, B.J.McMurtry, M.K.Oshman "Detailed experiments on Helium-Neon FM lasers", IEEE J. of Quantum Electronics, vol. QE-1, N6, p.p. 263-272, 1965.

21. S.E.Harris, O.P.McDuff "FM laser oscillation - theory", Applied Physics Letters, vol.5, N10, p.p.205-206, 1964.

22. S.E.Harris, O.P.McDuff "Theory of FM Laser Oscillation" IEEE J. of Quantum Electronics, vol. QE-1, N6, p.p. 245-262, September, 1965.

23. R.R.Cubeddu, O.Svelto "Theory of Laser Self-locking in the presence of host dispersion", IEEE J. of Q. Electronics, vol. QE-5, N10, October 1969, p.p. 495-502.

24. R.R.Cuberdu, O.Svelto "Effect of dispersion on laser self-locking", Phys. Letters, vol. 29A, p.p.78-79, 1969.

25. Я.И.Ханин "Роль нелинейности активной среды при синхронизации мод твердотельного лазера", Квантовая электроника, т.5, N3, 1978г.

26. В.Беннет "Эффект образования провалов на линиях лазера на смеси гелий-неон", сб."Лазеры", ИЛ, М., стр.207, 1963г.

27. Р.Пантел, Г.Путхоф "Основы квантовой электроники", "Мир", М., 1972г.

28. C.V.Shank, M.B.Klein "Frequency locking of a cw dye laser near atomic absorption lines in a gas discharge", Appl. Physics Letters, 23, p.p. 156-157, 1973.

29. М.В.Белоконь, A.H.Рубинов, А.В.Адамушко "Автозахват частоты излучения непрерывного лазера на красителе вблизи линии поглощения атомов в электрическом разряде", ЖПС, 29, стр.409-414, 1978г.

30. М.В.Белоконь, А.Н.Рубинов, А.В.Адамушко "Влияние внутрирезонаторного поглощения на характеристики лазера на красителе с вынужденной синхронизацией моод", ЖПС, 30, стр.633-638, 1979г.

31. М.В.Данилейко, А.М.Негрийко, А.П.Яценко "Исследование захвата частоты излучения непрерывного лазера на красителе атомными линиями поглощения", Квантовая электроника, 10, N8, стр. 1660-1666, 1983г.

32. И.С.Зейликович, С.А.Пулькин, Л.С.Гайда "О взаимодействии сильного светового поля излучения лазера на красителе с двухуровневой системой" ЖЭТФ, т.87, вып.1(17), стр. 125-134, 1984г.

33. А.Мэйтланд, М.Данн "Введение в физику лазеров", "Наука", М., 1978г.

34. Li Yan, Р.-Т. Но, Chi Н. Lee, and G.L.Burdge "Generation of Ultrashort Pulses from a Neodymium Glass Laser System", IEEE Journal of Quantum Electronics, vol.25, N12, December, 1989, p.p. 2431-2440.

35. A.E.Siegman, D.J.Kuizenga "Active mode-coupling phenomena in pulsed and continuous lasers", Opto-Electronics, vol.6, N1, 1974, p.p.43-66.

36. T.Y.Fan, R.L.Byer "Diode Laser-Pumped Solid State Lasers", IEEE J. of Quant. Electr., vol.24, N6, 1988, p.p.895-912.

37. L.Yan, J.D.Ling, P.-T. Ho, and Chi H.Lee "Picosecond-pulse generation from a conti-nous-wave neodymium:phosphate glass laser" Optics Letters, vol.ll, N8, August 1986, p.p.502-503.

38. J.Squier, F.Salin, S.Coe, Ph.Bado, G.Mourou "Characteristics of an actively mode-locked 2-psec Ti:sapphire laser operating in the l-цт wavelength regime", Optics Letters, vol.16, N2, January 1991, p.p.85-87.

39. Е.Р.Мустель, В.Н.Парыгин "Методы модуляции и сканирования света", "Наука", М., 1970г.

40. S.R.Chin "FM mode-locked Ш05Еа0.5Р5Ои", Appl. Phys. Lett., vol.34, N12, June 1979, p.p. 847-849.

41. M.W.Phillips, A.I.Ferguson, and D.C.Hanna "Frequency-modulation mode-locking of a Nd3+-doped fiber laser", Optics Letters, vol.14, N4, 1989, p.p.219-221.

42. G.T.Marker, and A.I.Ferguson "Frequency-modulation mode-locking of a diod-pumped Nd:YAG laser", Optics Letters, vol.14, N15, 1989, p.p.788-790.

43. G.T.Marker, A.I.Ferguson "Frequency modulation mode-locking and Q-switching of diode-laser-pumped Nd:YLF laser", Electronics Letters, vol.25, N16, 1989, p.p.1025-1026.

44. D.W.Hughes, J.R.M.Barr, D.С.Наша "Mode-locking of a diode-laser-pumped Nd:glass laser by frequency modulation" Optics Letters, vol.16, N3, Feb.1991, p.p.147-149.

45. J.L.Dallas "Frequency-modulation mode-locking performance for four Nd3+-doped laser crystals", Appl.Optics, vol.33, N27, Sept. 1994, p.p.6373-6376.

46. C.W.Hong, J.R.Whinnerry "Switching of Phase-Locked States in the Intracavity PhaseModulation He-Ne Laser", IEEE J. of Quant. Electr., vol.QE-5, N7, 1969, p.p.367-376.

47. K.Otsuka "Separation of Mode-locked States in the Intracavity Phase-Modulation Nd3+:YAG Laser", IEEE J. of Quant.Electr., vol. QE-8, N6, June 1972, p.p. 496-497.

48. O.P.McDuff, S.E.Harris "Nonlinear Theory of the Internally Loss-Modulated Laser", IEEE Journal of Quantum Electronics, vol.3, N3, 1967, p.p.101-111.

49. H.Haken, and M.Pauthier "Nonlinear Theory of Multimode Action in Loss Modulated Lasers", IEEE J. of Quantum Electronics, vol.4, N7, 1968, p.p.454-460.

50. В.С.Летохов, В.Н.Морозов "Генерация ультракоротких импульсов когерентного света", т.52, вып.5, 1967, стр. 1296-1302.

51. В.Н.Морозов Кандидатская диссертация, ФИАН, 1966.

52. Л.Н.Магдич "Взаимодействие мод лазера при модуляции добротности резонатора", ЖЭТФ, т.51, N1, стр. 18-24, 1966г.

53. С.С.Cutler Proc JRE, т.43, N2, 1955, стр.140.

54. В.И.Беспалов "О предельных параметрах импульсов, генерируемых ОКГ в стационарном режиме с захватом мод", Изв. ВУЗов "Радиофизика", т.Х1, 1968, стр.320-322.

55. E.Garmine, A.Yariv "Laser Mode-locking with Saturable Absorbers", IEEE J. of Quant. Electr., vol. QE-3, N6, 1967, p.222.

56. D.J.Kuizenga, and A.E.Siegman "FM-Laser Operation of the Nd:YAG Laser", IEEE J. of Quant. Electr., vol. QE-6, N11, 1970, p.p.673-677.

57. Е.С.Коваленко "Теория синхронизации мод в твердотельных оптических генераторах", Изв. ВУЗов, Физика, вып.1, 1970, стр.65-72.

58. H.A.Haus "A Theory of Forced Mode Locking", vol. QE-11,N7, 1975, p.p.323-330.

59. О.О.Силичев "Матричный метод расчета распространения когерентных лазерных импульсов", Квантовая электроника, т.20, N10, 1993, стр.983-990.

60. Л.С.Корниенко, Н.В.Кравцов, А.М.Сусов, В.А.Сидоров "Исследование процесса установления режима вынужденной синхронизации мод в непрерывном

твердотельном лазере", ЖТФ, т.51, N6, 1981, стр. 1292-1294.

61. Методы расчета оптических квантовых генераторов. Т.2 Под ред. В.И.Степанова. - Минск: Наука и техника, 1968, стр.656

62. F.A.VanGoor, R.J.M.Bonnie, and W.J.Witteman "The transient evolution of AM Mode-locking of TEA C02 Laser", IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-21, N11, 1985, p.p. 1772-1773.

63. D.J.Kuizenga, D.W.Phillion, T.Lund, and A.E.Siegman "Simultaneous Q-switching and mode-locking in the cwNd:YAG Laser", Optics Commun., vol.9, N3, 1973, p.p.221-226.

64. C.C.Wang and L.I.Davis, Appl.Phys.Letters, 19, 1971, p. 167.

65. D.J.Kuizenga "Generation of short pulse for laser fusion in an actively mode-locked Nd:YAG laser", Optics Commun., vol.22, N2, 1977, p.p. 156-160.

66. О.Звелто Принципы лазеров, - M.: Мир, 1990, стр.279.

67. А.А.Фомичев Изв. АН СССР Сер. Физ., 48, 2325 (1985).

68. Г.Н.Винокуров, Н.М.Галактионова, В.Ф.Егорова, A.A.Мак, Б.М.Седов, Я.И.Ханин "О пичковой структуре излучения твердотельных лазеров" ЖЭТФ, т.60, вып.2, 1971, стр.489-499.

69. Волновые и флуктуационные процессы. Под ред. Ю.Л.Климонтовича. - М.: Наука, 1974, Часть 3.

70. С.В.Лантратов Динамика генерации и стабильность излучения непрерывных многомодовых лазеров в гранате с неодимом, - Кандидат, диссертация - М.: МФТИ, 1982.

71. Н.И.Коротеев, И.Л.Шумай Физика мощного лазерного излучения, - М.: "Наука", 1991, С.28.

72. Г.М.Зверев, Ю.Д.Голяев, Е.А.Шалаев, А.А.Шокин Лазеры на алюмоиттрие-вом гранате с неодимом, - М.: Радио и связь, 1985, стр.74.

73. Ю.Д.Голяев, С.В.Лантратов "Активная синхронизация мод непрерывных лазеров на гранате с неодимом", - Квантовая электроника (Москва), т. 10, N5, 1983, стр.925-931.

74. Л.А.Мельников, Г.Н.Татарков "Низкочастотная модуляция огибающей суб-наносекундных импульсов при активной синхронизации мод АИГ:Ш-лазера", Письма в ЖТФ, т. 17, вып. 12, 1991, стр.73-77.

75. А.Н.Ежков, А.А.Фомичев "Стабильные низкочастотные пульсации излучения генератора на АИГ:Ш3+ с вынужденной синхронизацией мод", - Труды

МФТИ, 1977, стр. 150-154.

76. Н.Андриамандзату, Л.Н.Капцов "Автомодуляция средней интенсивности излучения лазера на АИГ:Ш3+ с активной синхронизацией мод", Квантовая электроника, т. 17, N6, 1990, стр.728-732.

77. G.T.Marker, A.I.Ferguson "Mode-locking and Q-switching of a diode laser pumped neo-dymium-doped ytrium lithium fluoride laser", Appl. Phys. Lett., 54(5), January, 1989, p.p.403-405.

78. S.Basu and R.L.Bayer "Continuous-wave mode-locked Nd:glass laser pumped by a laser diode", Optics Letters, vol.13, N6, June 1988, p.p.458-460.

79. F.Krausz, T.Brabec, E.Wintner, and A.J.Schmidt "Mode locking of a continuous wave Nd:glass laser pumped by a multistripe diode laser", Aappl. Phys. Lett., vol.55, N23, December, 1989, p.p.2386-2388.

80. Р.Г.Запорожченко, В.А.Запорожченко, H.Г.Кондратов "Влияние частотной расстройки и характера модулирующей функции на формирование сверхкоротких импульсов в лазере с вынужденной синхронизацией мод", - Журнал прикладной спектроскопии, 1976, т.24, N2, стр.243-249.

81. F.Salin, J.Squier, M.Piche "Mode locking of Ti:Al203 lasers and self-focusing: a Gaussian approximation", Optics Letters, vol.16, N21, 1991, p.p.1674-1676.

82. U.Keller, W.H.Knox, and G.W.Hooft "Ultrafast Solid-State Mode-Locked Lasers Using Resonant Nonlinearities", IEEE Journal of Quant. Electronics, vol.28, N10, 1992, p.p.2123-2133.

83. E.B.Treacy "Compression of picosecond light pulses", Physics Letters, vol.28A, N1, p.p.34-35, 1968.

84. С.А.Ахманов, В.А.Выслоух, А.С.Чиркин "Оптика фемтосекундных лазерных импульсов", - М.: "Наука", 1988, Гл.2.

85. "Сверхкороткие световые импульсы", - под. ред. С.Шапиро, М.: "Мир", 1981г., стр.205.

86. F.Krausz, M.E.Fermann, Th.Brabec, P.F.Curley, M.Hofer, M.H.Ober, Ch.Spielmann, E.Wintner, and A.J.Schmidt "Femtosecond Solid-State Lasers", IEEE J. of Quantum Electronics, vol.28, N10, 1992, p.p.2097-2120.

87. Б.Я.Зельдович, Т.И.Кузнецова "Генерация сверхкоротких импульсов света", УФН, т. 106, вып. 1, 1972, стр.49-84.

88. K.A.Stankov "A Mirror with an Intensity-Dependent Reflection Coefficient",

Appl.Physics B45, 1988, p.p.191-195.

89. K.A.Stankov and J.Jethwa "A new mode-locking technique using using a nonlinear mirror", Opt. Coramun, vol.66, N1, 1988, p.p. 41-46.

90. Y.P.Petrov and K.A.Stankov "Theory of Active-Passive Mode-Locking of Solid-State Lasers Using a Nonlinear Mirror", Appl. Physics B50, 1990, p.p.409-413.

91. J.R.M.Barr "Numerical simulation of a modelocked laser with an intracavity nonlinear mirror based on second harmonic generation", Opt. Comm., vol.81, N3, 1991, p.p.215-221.

92. Л.В.Смирнов "Изменение формы и длительности импульсов лазерного излучения при отражении от нелинейного зеркала", Междувед. сборник МФТИ, 1994, стр.117-122.

93. Л.В.Смирнов "Влияние дисперсии активной среды на процесс активной синхронизации мод", Междувед. сборник МФТИ, 1995.

94. Я.И.Ханин "Квантовая радиофизика" Т.2 Динамика квантовых генераторов. М., "Сов. радио", 1975.

95. С.Н.Столяров Физические основы теории лазеров, М., МФТИ, 1984.

96. А.Ю.Абазадзе, И.В.Васильев, Л.В.Смирнов, С.Н.Столяров "Формирование гигантского импульса модуляции добротности из режима свободной генерации", - В кн.: "Оптические и электронные средства обработки информации", М., МФТИ, 1991.

97. А.А.Самарский Теория разностных схем. М., "Наука", 1983.

98. Г.Корн и Т.Корн "Справочник по математике", М., "Наука", 1970, стр.424.

99. J.R.M.Barr Optics Comm. 70, N3 (1989), р.22

100. D.J.Kuizenga, A.E.Siegman "FM and AM Mode Locking of the Homogeneous LaserPart I: Theory" IEEE of Quantum Electronics, vol.QE-6, 11, November 1970, p.p.694-708.

101. J.A.Armstrong, N.Bloembergen, J.Ducuing, P.S.Pershan Phys.Rev.,127,(1962),p.1918.

102. А.Н.Ежков "Переходные процессы в твердотельных генераторах в режиме синхронизации мод", - Труды МФТИ, 1977, стр. 164-168.