Динамика неуравновешенных роторов, оснащенных неидеальными автобалансирующими устройствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Ковачев Александр Светославович

• Ковачев Александр Светославович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Ковачев Александр Светославович

Введение

1 Автоматическая балансировка статически неуравновешенного ротора

1.1 Механическая модель ротора, оснащенного неидеальным шаровым автобалансировочным устройством

1.1.1 Точная система уравнений

1.1.2 Приближенная система уравнений

1.2 Стационарные режимы

1.3 Устойчивость стационарных режимов

1.3.1 Усточивость полусбалансированного режима

1.3.2 Усточивость несбалансированных режимов

1.4 Режимы нестационарного прохождения критической области

1.4.1 Движение ротора с постоянным угловым ускорением

1.4.2 Движение ротора под действием постоянного вращающего момента

2 Автоматическая балансировка динамически неуравновешенного ротора

2.1 Механическая модель ротора, оснащенного неидеальным шаровым автобалансировочным устройством

2.2 Стационарные режимы

2.3 Устойчивость стационарных режимов

2.4 Режимы нестационарного прохождения критической области

2.4.1 Движение ротора с постоянным угловым ускорением

2.4.2 Нестационарные режимы движения ротора с ограниченным возбуждением

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика неуравновешенных роторов, оснащенных неидеальными автобалансирующими устройствами»

Введение

В современном мире огромную роль играют быстроходные роторные машины, используемые в энергетике, промышленности, на транспорте и в бытовой технике. Во многих случаях угловые скорости роторов таких машин в рабочих режимах превосходят критические значения. Это налагает повышенные требования к балансировке роторов, а в некоторых случаях, когда дисбаланс ротора может меняться во время движения, требует применения специальных автоба-лансируюгцих устройств [1].

Начало систематическому исследованию динамики роторов было положено шотландским ученым Уильямом Рэнкиным. В 1869 г вышла его статья [2], где впервые было описано влияние упругих и центробежных сил на вращение гибкого вала. Рэнкин отмечал, что эти силы приводят к вращению вала в изогнутом состоянии, которое он назвал "прецессией оси ротора". Так же в этой статье была применена теория Пуассона о поперечных колебаниях стержней к динамике роторов.

В конце XIX века шведский инженер и изобретатель Карл Лаваль сконструировал первую импульсную паровую турбину. Ввиду высоких оборотов турбинного колеса, даже незначительное смещение центра тяжести вызывало сильные нагрузки на ось и перегрузку подшипников. Для борьбы с этим нежелательным эффектом Лаваль решил разместить турбинное колесо на тонком, прогибающемся при вращении, валу. Практическое использование показало, что в данном случае при разгоне колесо турбины самостоятельно занимало централь-

ное положение, которое сохранялось при высокой вращательной скорости. Это явление было названо самоцентрированием ротора.

Аналитически самоцентрирование было описано профессором Мюнхенского университета Августом Фёпплем в работе [3], где была теоретически обоснована возможность работы роторов в области закритических скоростей.

В 1919 году профессор Ирландского королевского колледжа Генри Джефф-котт в работе [4] создал первую фундаментальную теорию динамики ротора, подтвердил результаты Фёппля, а также впервые учел влияние сил внешнего демпфирования. Предложенная Джеффкоттом модель ротора в виде тонкого диска, закрепленного посередине невесомого гибкого вала, получила название ротора Джеффкотта.

Основной целью авторов работ того времени было нахождение первой критической скорости ротора, так как основной инженерной проблемой являлось создание конструкции ротора таким образом, чтобы избежать резонанса на рабочих частотах. Так, в работе С. Дункерлея [5] была эмпирически выведена формула для вычисления минимальной критической скорости для систем с несколькими роторами, подтвержденная затем экспериментальным путем. Также в этой работе для резонансной скорости вращения стал впервые использоваться термин критическая скорость. В частности, Дункерлей писал: " Хорошо известно, что каждый вал, даже почти сбалансированный, когда приводится во вращение с некоторой конкретной скоростью, изгибается, и, если величина прогиба не ограничивается, может даже сломаться, хотя на более высоких скоростях вал снова работает верно. Эта конкретная скорость или критическая скорость зависит от того, каким образом вал закреплен, каковы его размеры и модуль упругости".

Проблеме нахождения критических скоростей также посвящена работа А.Н. Крылова [6], в которой роторы описывались в виде гибких упругих валов постоянного сечения с распреденной массой с насаженными на них плоскими дисками. Основными результатами работы были демонстрация влияния на крити-

ческие скорости расиредеиной нагрузки, сосредоточенных сил и моментов и описание метода начальных параметров для приближенного расчета критических скоростей.

Г. Хольцер в работе [7] также находит приближенный метод нахождения собственных частот и форм крутильных колебаний. Кроме того, следует упомянуть работы Р. Граммеля [8], В. Я. Натанзона [9], Ю. А. Митрофанова [10], также посвященные этому вопросу.

Многочисленные открытия и результаты, полученные при исследовании динамики роторов в конце девятнадцатого - начала двадцатого веков были обобщены и подробно описаны в монографии словацкого ученого А. Б. Стодолы [11]. В этой книге рассматривается большой класс паровых турбин. В ней описаны как методы определения приближенных значений критических скоростей роторов с переменными сечениями, так и статическая балансировка твердых роторов, динамика распределенных роторов без учета гироскопического момента и динамика гибких валов с диском, а также описан вторичный феномен резонанса в связи с воздействием силы тяжести.

В начале 1920-х годов у составных роторов была обнаружена неустойчивость в области закритических частот, а вскоре после этого в 1924 году Б. Ньюкирк [12] и А. Кимбалл [13] показали, что эта неустойчивость является следствием внутреннего демпфирования ротора. В 1933 году Дж. Бейкер [14] описал автоколебания, возникающие в результате контакта между ротором и статором. В 1937 году Е. Л. Николаи [15] исследовал устойчивость поперечных и крутильных колебаний вала с диском, установленного по центру, и устойчивость вала с диском, прикрепленного к свободному концу. П. Л. Капица [16] отмечал, что гибкий вал может стать неустойчивым из-за трения в подшипниках.

Начало исследования нестационарных режимов вращения при прохождении через критические скорости было положено Ф. Льюисом, который в 1932 году в статье [17] рассмотрел это явление на примере ротора Джеффкотта. В. А. Гро-

бов в ряде работ [18,19] исследовал в общем виде вибрации вала, возникающие в результате изменения скорости вращения.

Так же следует упомянуть ряд работ, посвященный подбору параметров ротора с целью уменьшения вибраций. Так, в работе В. Я. Кальменса [20] описывается способ вибрационной надежности роторов с помощью обработки элементов конструкции на стадии их проектирования, а также получены соответствующие безопасным условиям эксплуатации критерии вибронадежности. А. С. Кельзон и Л. М. Малинин [21] описывают аналогичный подход для уменьшения колебаний ротора, подбирая нужные характеристики опор или профиля ротора, а также решают ряд оптимизационных задач для различных режимов работы ротора.

Современное состояние теории жестких и гибких роторов отражено в монографиях Дж. Генты [22] и Т. Ямамото [23].

Существует два способа уменьшения нежелательных вибраций, возникающих вследствие различных дисбалансов роторных механизмов: ручная и автоматическая балансировка. Дисбаланс может создать опасные условия эксплуатации, вызывая поступательные и вращательные колебания. В других случаях дисбаланс может быть причиной низкой производительности, высокого урове-ня шума, снижения срока службы подшипников, а также снижения комфорта при использовании устройства человеком. Дисбаланс может возникнуть из-за дефектов в процессе производства или вследствие возникшего физического изменения в оборудовании в результате износа, повреждения, изменения или установки новых компонетов. Различают несколько видов дисбаланса: статический дисбаланс, возникающий, когда главная (полярная) ось инерции ротора смещена параллельно оси вращения; моментный дисбаланс, при котором полярная ось инерции пересекает ось вращения в центре тяжести; квазистатический дисбаланс, в случае которого полярная ось инерции пересекает ось вращения в точке, отличной от центра тяжести и наиболее общий случай динамического

дисбланса, при котором полярная ось инерции не является параллельной оси вращения и не пересекается с ней.

Суть ручной балансировки состоит в определении и устранении фиксированного статического или динамического дисбаланса на стадии создания роторного механизма. Балансировка производится на специальном балансировочном оборудовании, где происходит коррекция массы с "легкой" или "тяжелой" стороны ротора. Среди работ, посвященных ручной балансировке следует упомянуть книги А. А. Гусарова [24] и М. Е. Левита [25], а так же книги под редакцией В. А. Щепетильникова [26] и [27], в которых подробно описано большое число методик определения и уравновешивания дисбаланса для жестких и гибких роторов, а так же выявляются причины погрешности балансировки, такие как зазоры и упругие деформации ротора при вращении на рабочих частотах.

Основным недостатком ручной балансировки является необоходимость выполнять ее повторно ввиду деформации частей ротора при постоянной эксплуатации. Также метод ручной балансировки неприменим для роторов с нефиксированным положением центра тяжести. Ф. М. Диментберг [28] продемонстрировал трудоемкость использования ручного метода балансировки для роторов сложной конструкции и, в особенности, гибких роторов.

Поскольку весьма часто невозможно произвести на работающем оборудовании ручную балансировку, инженеры долго искали способы автоматической балансировки оборудования за счет использования простых устройств, которые позволяют перераспределять массы для компенсации неизвестного дисбаланса. Однако, метод автоматической балансировки гасит колебания только в области закритических скоростей, а на докритических скоростях наоборот вызывает увеличение амплитуды колебаний и усугубляет переход через резонанс. Для нивелирования этого эффекта применяется фиксация корректирующих масс при малых скоростях и их освобождение при больших. Применение автоматических балансировочных устройств (АБУ) включает оптические диски, реактив-

ные двигатели, двигатели внутреннего сгорания, стиральные машины, пищевые блендеры, шлифовальные диски, гироскопы, колеса транспортных средств [29].

АБУ делятся на два типа: активные и пассивные. Активные АБУ используют компьютеры и датчики, постоянно считывающие колебания с оборудования, на котором установлены, после чего применяют оптимальное управление в целях противодействия этим колебаниям, либо вызывают механическое перераспределение балансировочных масс. Управляя числом, положением и скоростью балансировочных масс, а так же размерами, расположением и скоростью силового привода, можно добиться эффективной балансировки машины, однако такой способ балансировки является очень сложным и затратным, ввиду высоких цен подобного оборудования.

Пассивные АБУ обычно состоят из свободно движущихся тел, таких как шар (шаровое автобалансировочное устройство), кольцо, или маятник, прикрепленный к первичной оси вращения оборудования. При использовании в области закритических скоростей, у балансиров наблюдается тенденция занимать позицию, которая противодействует дисбалансу системы, причем процесс происходит без использования компьютеров и законов оптимального управления. Работа пассивных АБУ осуществляется за счет энергии самого ротора. Однако, они работают только при определенном диапазоне угловых скоростей. Иногда пассивные АБУ используются в качестве чувствительных датчиков для активных устройств. В этом случае они имеют малую массу и почти не влияют на динамику ротора. Здесь и далее, аббревиатура АБУ будет использоваться только по отношению к пассивным балансировочным устройствам.

Использование АБУ для уравновешивания роторов с вертикальной осью вращения впервые было описано в статье Э. Сир л а [30] в 1932 году, затем модель была усовершенствована им же в [31]. В его устройстве внутри корпуса АБУ, насаженного на вал ротора, была выполнена срезанная коническая обойма, переходящая наверху в беговую дорожку. Внутри обоймы были размещены семь стальных шариков. На докритических скоростях шарики под действием

сил тяжести находились в нижней части обоймы, плотно прижатыми друг к другу, где были расположены симметрично относительно вала ротора и не вносили дополнительный дисбаланс в систему. На закритических скоростях шарики под действием центробежных сил поднимались в верхнюю часть обоймы, где выходили на беговую дорожку и, перемещаясь по ней, со временем приходили в то положение, в котором уравновешивали ротор. На выбеге ротора шарики возвращались в исходное положение. В своей модели Сирл не учитывал влияние гравитационных эффектов и почти не рассматривал влияние сил трения на шарики в обойме, однако упоминал о приложенному к ним трении качения, что указывает на предположение, что шарики катились без скольжения. Сирл отметил, что "коэффициент трения качения должен быть максимально уменьшен путем тщательного упрочнения беговой дорожки и с использованием шариков из высококачественной стали."

В. Н. Нестеренко [32] рассматривает проблемы устойчивости шаровых автобалансировочных устройств при их использовании для роторов со многими степенями свободы, учитывая кулоново трение и ошибки изготовления беговых дорожек. В книге Нестеренко показано, что АБУ могут успешно применяться не только для устранения статического, но и динамического дисбалансов.

В последнее время интерес к изучению автоматической балансировки значительно увеличился. Так, в статье Чанга и Ро [33] исследуется динамическая устойчивость одноплоскостного АБУ в зависимости от конструкционных параметров системы. В работе Кана [34] оценивается производительность шарового АБУ, установленного на высокоскоростной привод для оптических дисков на основе полученных стационарных решений и результатов исследования их устойчивости. Статья Хуана и Чао [35] также посвящена шаровому АБУ, установленному на высокоскростной привод для оптических дисков. В этой статье рассматривается влияние трения качения и силы сопротивления, вызванной динамическим взаимодействием между шариками и жидкостью в беговой дорожке.

и

На практике классическое (одноплоскостное) АБУ хорошо справляется только со статически неуравновешенным ротором. Для борьбы с динамическим дисбалансом Хедайей и Шарпом в 1977 году был предложен новый тип АБУ с двумя беговыми дорожками и четырьмя шариками. Их статья [36] представляет анализ устойчивости балансировки и приводит результаты параметрических исследований. Двуплоскостное АБУ далее было изучено в статьях Шперлинга, Рыжика и Дакштейна [37-42], в которых приводятся полные дифференциальные уравнения движения, линеаризованные по вибрационным координатам и исследуется существование и устойчивость компенсирующих колебания режимов. Кроме аналитических исследований, в этих статьях приводятся численные результаты, доказывающие возможность устойчивой компенсации дисбаланса, изучается влияние шариков, креплений, а также скорости ротора на время, необходимое для балансировки. Также важным результатом этих работ была демонстрация невозможности балансировки ротора до прохождения второй критической скорости. Аналогичный результат получен Д. Родригесом в работе [43].

Необходимо отметить, что в большинстве работ, посвященных исследованию автоматической балансировки роторов при помощи шарового автобалансировочного устройства, предполагается, как правило, что центр АБУ лежит точно на оси симметрии ротора. На практике таким моделям с большой точностью соответствуют АБУ жестко насаженные на роторы. Однако в ряде устройств нашли применение сменные АБУ, которые крепятся к ротору при помощи резьбового соединения. Для адекватного математического моделирования подобных устройств необходимо учитывать наличие возможного эксцентриситета между осями симметрии АБУ и ротора.

Проблемы автобалансировки роторов, оснащенных неидеальными шаровыми АБУ рассматривались в работах [44,45] Ю. В. Агафоновым, где на основе методов, используемых при исследовании синхронизации динамических объектов, констатирован факт о невозможности полной балансировки статически

неуравновешенного ротора при наличии эсцентриситета беговой дорожки АБУ. В работе В. П. Нестеренко и А. П. Соколова [46] при помощи геометрических соображений показано, что неидеальный автобалансир в случае моментно неуравновешенного ротора при определенных условиях приводит к стационарному режиму с постоянным остаточным дисбалансом. Аналогичный вывод содержится в статье К. О. Олссона [47] для случая автобалансира с эллиптичной беговой дорожкой.

Целью данной работы является исследование влияния эксцентриситета АБУ на процессы автобалансировки статически и динамически неуравновешенных роторов.

Методы исследований. Для построения математических моделей используются уравнения Лагранжа второго рода, асимптотический анализ и теория устойчивости движения. Кроме того, применяются методы компьютерного моделирования для численного решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для статически неуравновешенного, симметрично закрепленного ротора, оснащенного одноплоскостным, эксцентрически насаженным шаровым автобалансировочным устрой-ством показана практическая неосуществимость полностью сбалансированного стацио-нарного режима. Доказана возможность существования в закритической области асимптотически устойчивого полусбалансированного стационарно режима, при котором амплитуда прецессионного движения ротора не зависит от угловой скорости его собственного вращения и в точности равна эксцентриситету АБУ.

2. Показана возможность существования трех типов несбалансированных стационарных режимов, зависящих от положения балансировочных шариков в АБУ, и доказано, что только один из них может быть асимптотически устойчив при определенных значениях параметров системы.

3. Для динамически неуравновешенного ротора, оснащенного двухплоскост-ным шаровым автобалансировочным устройством, обоймы которого насажены на вал ротора с некоторым эксцентриситетом, доказана возможность существования и устойчивости полусбалансированного стационарного режима с постоянной остаточной амплитудой прецессионного движения, не зависящей от угловой скорости. Получена аналитическая формула для амплитуды прецессионного движения в зависимости от эксцентриситетов обойм АБУ и их положения относительно ротора.

4. При помощи численного исследования нестационарных режимов прецессионного движения динамически неуравновешенного ротора обнаружен ступенчатый характер изменения амплитуды прецессии и углов отклонения балансировочных шариков при переходе к полусбалансированному режиму в случае вращения ротора с постоянной угловой скоростью, а также в случае движения ротора под действием постоянного вращательного момента.

Научная новизна:

— Построены точная, приближенная и упрощенная системы уравнений, описывающие динамику статически неуравновешенного ротора, оснащенного одноплоскостным, эксцентрически насаженным шаровым автобалансировочным устройством.

— В рамках точной модели статически неуравновешенного ротора проведено исследование стационарных режимов и показана практическая неосуществимость полностью сбалансированного режима. Несбалансированный стационарный режим, при котором амплитуда прецессионного движения не зависит от угловой скорости ротора, предложено называть полусбалансированным. Также выделены три типа несбалансированных стационарных режимов, при которых величина вибрации ротора зависит от его

скорости вращения. Найдены условия существования и устойчивости полусбалансированного и несбалансированных стационарных режимов.

— Построена математическая модель динамически неуравновешенного ротора, оснащенного неидеальным двухплоскостным эксцентрическим шаровым автобалансировочным устройством.

— В рамках модели динамически неуравновешенного ротора показана практическая неосуществимость полностью сбалансированного режима. Проведено исследование условий существования и устойчивости полусбанси-рованного и несбалансированного стационарных режимов.

— Проведено сравнение результатов исследования точных и приближенных моделей рассмативаемых систем.

Научная и практическая значимость. Результаты исследования могут быть применены при конструировании и анализе эксплуатации быстро вращающихся роторных машин и двигателей в различных областях техники, на транспорте, в энергетике, самолето- и вертолетостроении и др. На основании полученных результатов могут быть сделаны практические рекомендации относительно ширины рабочего диапазона ротора, условий прохождения через резонансные зоны, а также рекомендации по конструктивным особенностям автобалансировочных устройств и достижимого качества балансировки роторов в рабочем режиме.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата. Результаты численных экспериментов находятся в соответствии с результатами, полученными в работах предшественников.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись на следующих конференциях и семинарах:

1. Восьмой международный симпозиум по классической и небесной механике, 2013 год, Седльце, Польша.

2. Научный семинар кафедры Теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного универститета, 2014 год.

3. Международная научная конференция по механике "Седьмые Поляхов-ские Чтения", 2015 год, Санкт-Петербург, Россия.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в шести работах [48-53], две из которых изданы в журнале, рекомендованном ВАК [49,53], и две индексированы в базе данных Scopus [50,51]. Работа [53] выполнена без соавторов, работы [48-52] написаны в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит общая постановка задач, а также консультирование по вопросам построения математических моделей и анализа результатов.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 92 страницы с 34 рисунками. Список литературы содержит 60 наименований.

Первая глава посвящена исследованию динамики и устойчивости стационарных режимов статически неуравновешенного ротора, оснащенного одноплос-костным шаровым автобалансировочным устройством. Предполагается, что обойма АБУ насажена на ротор с некоторым эксцентриситетом.

В разделе 1.1 построена механическая модель ротора с АБУ, на основе которой выведены точные дифференциальные уравнения движения в неподвижной и вращающейся системах координат. Учитывая медленный характер движения геометрического центра ротора во вращающейся системе координат, получена приближенная система дифференциальных уравнений первого порядка, на основе которой построены упрощенные уравнения, описывающие движение ба-

лансировочных шариков. Проведено сравнение результатов численного интегрирования точной, приближенной и упрощенной модели.

В разделе 1.2 в рамках точной модели для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью, выведена система трансцендентных уравнений, описывающая стационарные режимы движения ротора. Показана принципиальная невозможность для эксцентрически насаженного АБУ обеспечить полную балансировку ротора с переменным дисбалансом. Проведена классификация возможных стационарных режимов. Режим, при котором амплитуда прецессионного движения не зависит от угловой скорости и в точности равна эксцентриситету АБУ, предложено называть полусбалансированным. Выделены три типа несбалансированных режимов, при которых величина вибрации ротора зависит от его скорости собственного вращения. Найдены условия существования. Получены аналитические формулы для нахождения амплитудно-частотных характеристик несбалансированных режимов и амплитуд прецессии полусблана-сированного режима.

В разделе 1.3 исследуется устойчивость стационарных режимов движения ротора. Устойчивость полусбалансированного режима исследуется на основе уравнений в вариациях, построенных для точной и приближенной систем. С помощью критериев Рауса и Гурвица численными методами построены двухпа-раметрические диаграммы устойчивости. Показано, что полусбалансированный режим устойчив только в области закритических частот. Устойчивость несбалансированных режимов исследуется на основе уравнений в вариациях, полученных для приближенной системы.

В разделе 1.4 исследуются режимы нестационарного прохождения критической области для случаев вращения ротора с постоянным угловым ускорением и постоянным приложенным вращающим моментом.

Во второй главе исследуется динамически неуравновешенный ротор типа цилиндра, оснащенный двухплоскостным шаровым автобалансировочным устро-ством. В качестве двухплоскостного АБУ рассматриваются две закрепленные

на одной оси с ротором круговые обоймы, в которых могут свободно передвигаться балансировочные шарики. Предполагается, что каждая из обойм АБУ насажена на ротор с некоторым эксцентриситетом.

В разделе 2.1 построена механическая модель ротора с двухпоскостным АБУ. Выведена точная система дифференциальных уравнений движения в неподвижной системе координат.

В разделе 2.2 для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью, выведены уравнения движения во вращающейся системе координат и найдены стационарные режимы вращения. Классифицированы возможные стационарные режимы вращения ротора. Показана невозможность практической реализации сбалансированного режима, при котором АБУ полностью компенсирует статический или моменты и дисбаланс. Режим, при котором амплитуда прецессии и положение шариков в обойме АБУ зависит только от величины эксцентриситета обойм АБУ и от расположения их относительно ротора, предложено называть полусбалансированным. Выделен несбалансированный режим вращения ротора, при котором амплитуда его прецессии зависит от скорости вращения. Найдены условия существования каждой группы режимов. Получены аналитические формулы для нахождения амплитудно-частотных характеристик несбаласированного режима и амплитуд прецессии полубсанасированного режима.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ковачев Александр Светославович, 2016 год

Список литературы

1. Meirovitch L. Fundamentals of Vibrations. — New York: McGraw Hill, 2001.

2. Rankine W.J. McQ. On the Centrifugal Whirling of Shaft // The Engineer. — 1809. - Vol. 27. - P. 249.

3. Foeppl A. Das Problem det Laval'schen Turbinenwelle // Der Civilingenieur. — 1895. - Vol. 41. - Pp. 333-342.

4. Jeffcott H.H. The Lateral Vibration of the Loaded Shafts in the Neighbourhood of a Whirling Speed // Phil. Mag. - 1919. - Vol. 6, no. 37. - Pp. 303-314.

5. S. Dunkerley. On the Whirling and vibration of Shafts // Phil. Trans. R. Soc. _ 1894. _ Vol. 185. - Pp. 279-360.

6. Крылов A. H. Об определении критических скоростей вращающегося вала // Собр. трудое акад. А.Н. Крылова. — 1937. — Т. 5. — С. 363-390.

7. Holzer Н. Die Berechnung der Drehschwingungen // Springer Verlag. — 1921.

8. Grammel R. Kritische Drehzahl und Kreiselwirkung // Zeitschr. VDI. — 1919. _ Vol. 63. - P. 32.

9. Натанзон В. Я. Колебания валов. — Москва: Оборонгиз, 1954.

10. Митрофанов Ю. А. Определение критических скоростей и амплитуд быст-ровращаюгцихся валов. — Томск, 1981. — 64 с.

11. Stodola А. В. Dampf und Gasturbinen. — Berlin: Springer, 1924. — P. 1157.

12. Newkirk B.L. Shaft whipping // General Electric Review. — 1924. — no. 27(3). - Pp. 169-178.

13. Kimball A. L. Internal friction theory of shaft whirling // General Electric Review. - 1924. - no. 27(4). - Pp. 244-251.

14. Baker J.G. Self-induced vibrations // Journal of Applied Mechanics. — 1933. _ no. i(i). _ pp. 5-12.

15. Николаи П. Л. Устойчивость и переход через критические обороты быстро вращающихся роторов при наличии трения // Журнал технической физики. - 1937. - № 2.

16. Капица Е. Л. К теории гибкого вала // Труды Ленингр. инд. инс-та. — 1937. - Т. IX, № 3.

17. Lewis F. М. Vibrations during acceleration through a critical speed // Trans. ASME. - 1937. - no. 54(3). - Pp. 253-261.

18. Еробов В. А. О поперечных колебаниях вращающегося вала при переменной скорости вращения // Вопросы динамики и динамической прочности —

1953. _ д-о 1.

19. Еробов В. А. Поперечные колебания ротора с распределенной по длине массой при переменной скорости вращения // Известия Академии наук Латвийской ССР. - 1955. - № 5.

20. Кальменс В. Я. Обеспечение вибронадежности роторных машин на основе методов подобия и моделирования. — СПб: РАН, 1992. — 373 с.

21. Кельзон А. С., Малинин Л. М. Управление колебаниями роторов. — СПб: Политехника, 1992. — 118 с.

22. Genta G. Dynamics of Rotating Systems. — Springer, 2005. — P. 658.

23. Yamamoto Т., Ishida Y. Linear and Nonlinear Rotordynamics: A Modern Treatment with Applications. — Wiley Interscience, 2001. — P. 348.

24. Гусаров А. А. Балансировка роторов машин. — M., 2004. — 267 с.

25. Левит, М. Е., Рыженков В. М. Балансировка деталей и узлов. — М., 1986. _ 248 с.

26. Основы балансировочной техники / Под ред. В. А. Щепетильникова. — М: Машиностроение, 1975. — 528 с.

27. Балансировка машин и приборов / Под ред. В. А. Щепетильникова. — М: Машиностроение, 1979. — 294 с.

28. Диментберг Ф. М.. Шаталов К. Т., Гусаров А А. Колебания машин. — М: Машиностроение, 1964. — 308 с.

29. Zhou S., Shi J. Active Balancing and Vibration Control of Rotating Machinery: A Survey // Shock and Vibration Digest. — 2001. — no. 33(4). — Pp. 361-371.

30. Thearle E. L. A New Type of Dynamic-Balancing Machine // Transactions of ASME (Applied Mechanics). - 1932. - Pp. 131-141.

31. Thearle E. L. Automatic Dynamic Balancers Part 2 - Ring, Pendulum and Ball Balancers // Machine Design. — 1950. — 9. — no. 22. — Pp. 103-106.

32. Нестеренко В. H. Автоматическая балансировка роторов приборов и машин со многими степенями свободы. — Томск, 1985. — 84 с.

33. Chung J., В,о D. S. Dynamical analysis of an automatic dynamic balancer for rotating mechanisms // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — no. 228(5). - P. 1035-1056.

34. The dynamics of a ball-type balancer system equipped with a pair of free moving balancing masses / J. R. Kang, C. P. Chao, C. L. Huang, C. K. Sung // Transactions of the ASME. - 2001. - no. 123(10). - Pp. 456-465.

35. Huang W. Y., Chao C. P. The application of ball-type balancers for radial vibration reduction of high speed optic drives // Journal of Sound and Vibration. _ 2002. - no. 250(3). - Pp. 415-430.

36. Hedaya M.. Sharp R. An analysis of a new type of automatic balancer // Journal Mechanical Engineering Science. — 1977. — no. 19(5). — Pp. 221-226.

37. Sperling L., Merten F., Duckstein H. Analytical and numerical investigations of rotation-vibration-phenomena // Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems, Proceedings of the XXV-XXVI Summer Schools. — 1998. — Pp. 145-159.

38. Sperling L., Duckstein H. Zum selbsttaetigen Auswuchten des starren Rotors in zwei Ebenen, in Irretier, H., Nordmann, R., and Springer, H. (Eds.) // SIRM 2001 Schwingungen in rotierenden Maschinen V. — 2001. — Pp. 161-168.

39. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Two-plane automatic balancing // Machine Dynamics Problems, Proceedings of 7th Polish German Workshop on Dynamical Problems in Mechanical Systems. — 2001. — Pp. 139-152.

40. Simulation of two-plane automatic balancing of a rigid rotor / L. Sperling, B. Ryzhik, C. Linz, H. Duckstein // Mathematics and Computers in Simulation. - 2002. - no. 58. - Pp. 351-365.

41. Ryzhik B., Duckstein H., Sperling L. Partial Compensation of Unbalance by One and Two-Plane Automatic Balancing Devices // International Journal of Rotating Machinery. - 2004. - no. 10(3). - Pp. 193-201.

42. Ryzhik B., Sperling L., Duckstein H. Auto-balancing of anisotropically supported rigid rotors // Technische Mechanik. — 2004. — no. 24. — Pp. 37-50.

43. Automatic Two-Plane Balancing for Rigid Rotors / D.J. Rodrigues, A.R. Champneys, M.I. Friswell, R.E. Wilson // International Journal of NonLinear Mechanics. — 2008. — no. 43. — Pp. 527-541.

44. Агафонов Ю.В. Автоматическое балансирующее устройство для ручных шлифовальных машин // Вестник машиностроения. — 1976. — Л'° 9.

С. 36-38.

45. Агафонов Ю. В., Вазыкин Ю. В. Исследование влияния эксцентриситета беговой дорожки шарового автобалансира на качество балансировки // Вестник машиностроения. — 1986. — № 8. — С. 23-25.

46. Нестеренко В. П., Соколов А. П. Остаточный дисбаланс, вызванный эксцентриситетом беговой дорожки, при автоматической балансировке роторов шарами // Динамика управляемых механических систем — 1983. — С. 46-50.

47. Ollson К. О. Limits for the use of auto-balancing // International Journal of Rotating Machinery. - 2004. - Vol. 10, no. 3. - Pp. 221-226.

48. Bykov V. G., Kovachev A. S. Dynamics of statically unbalanced rotor with eccentric automatic ball balancer // Book of Abstracts of Eighth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics. — 2013. — P. 18.

49. Быков В. ГКовачев А. С. Динамика ротора с эксцентрическим шаровым автобалансировочным устройством // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1: Математика, Механика, Астрономия — 2014. _ ^ 4. - С. 579-588.

50. Bykov V. С., Kovachev A. S. Dynamics of a rotor with an eccentric ball auto-balancing device // Vestnik of Saint Petersburg University: Mathematics. — 2014. - Vol. 47, no. 4. - Pp. 173-180.

51. Bykov V. G., Kovachev A. S. On stability of unbalanced steady-state motions of a rotor with eccentric ball autobalancing device // IEEE Xplore Digital Library: Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading, 2015 International Conference on - DOI: 10.1109/POLYAKHOV.2015.7106720.

52. Быков В. E., Ковачев А. С. Об устойчивости стационарных движений ротора с эксцентрическим шаровым автобалансировочным устройством // Седьмые Поляховские чтения. Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 2-6 февраля 2015 г. — С. 197.

53. Ковачев А. С. Балансировка динамически неуравновешенного ротора с учетом неидеальности автобалансировочных устройств // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. - 2015. - С. 606-616.

54. Быков В. Е. Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1: Математика, Механика, Астрономия — 2006.

Л" 2. С. 90-101.

55. Bykov V. G. Auto-Balancing of a rotor with an orthotropic elastic shaft // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2013. — no. 77. — Pp. 369379.

56. Быков В. E. Автобалансировка жесткого ротора в вязко-упругих ортотроп-ных опорах // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. — 2013. — № 2. — С. 82-91.

57. Быков В. Е. Асимптотическое исследование медленного прохождения через резонанс нелинейного вибратора // Вестник Ленинградского государственного университета, Серия 1: Математика, Механика, Астрономия _ 1986. _ ^ 4. - С. 39-42.

58. Bykov V. G. Asymptotic study of the slow passage of a nonlinear vibrator through a resonance // Leningrad University mechanics bulletin. — 1986. — no. 4. — Pp. 55-59.

59. Пасынкова И. А. Динамика прецессионного движения неуравновешенного ротора. — СПб: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2014. — 238 с.

60. Быков В. Г. Балансировка статически и динамически неуравновешенного ротора одноплоскостным автобалансировочным механизмом // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. - 2009. - С. 90-101.

Список рисунков

1.1 Ротор с эксцентрически насаженным АБУ.............. 19

1.2 Амплитуды прецессии и углы отклонения балансировочных шариков в закритическом (а) и докритическом (Ь) случаях для точной и приближенной систем...................... 25

1.3 Углы отклонения балансировочных шариков в закритическом (а)

и докритическом (Ь) случаях для точной и упрощенной систем . . 26

1.4 Области существования полусбалансированного режима...... 30

1.5 Типы стационарных несбалансированных режимов ........ 31

1.6 Амплитудно-частотные характеристики для несбалансированных режимов первого и второго типов .................. 34

1.7 Амплитудно-частотная характеристика для несбалансированного режима третьего типа......................... 35

1.8 Несбалансированный и полусбалансированный стационарные режимы .................................. 36

1.9 Различные режимы вращения ротора................ 37

1.10 Двупараметрические диаграммы устойчивости полусбалансированного стационарного режима.................... 41

1.11 Двупараметрические диаграммы устойчивости несбалансированного режима первого типа....................... 44

1.12 Прохождение критической частоты с постоянным угловым ускорением для двух типов роторов.................... 46

1.13 Медленное прохождение критической области при вращении ротора с постоянным угловым ускорением в случае а = 0.3..... 46

1.14 Медленное прохождение критической области при вращении ротора с постоянным угловым ускорением в случае а = 1...... 47

1.15 Медленное прохождение критической области при вращении ротора с постоянным угловым ускорением в случае а = 1.4..... 48

1.16 Амплитуда прецессионного движения и углы отклонения шариков при вращении ротора с постоянным угловым ускорением и коэффициентом демпфирования в АБУ 62 = 0.4.......... 48

1.17 Амплитуда прецессионного движения и углы отклонения шариков при вращении ротора с постоянным угловым ускорением и коэффициентом демпфирования в АБУ 62 = 4........... 49

1.18 Амплитуда прецессионного движения и углы отклонения шариков при вращении ротора с постоянным угловым ускорением и коэффициентом демпфирования в АБУ 62 = 15 .......... 49

1.19 Амплитуда прецессионного движения и угловое ускорение при вращении ротора с приложенным к нему постоянным вращающим моментом............................. 51

2.1 Динамически неуравновешенный ротор с двухплоскостным АБУ . 52

2.2 Подвижная и неподвижная системы координат......................54

2.3 Системы координат и углы поворотов................................54

2.4 Области существования полусбалансированного режима............64

2.5 АЧХ длинного несимметричного и симметричного роторов с неидеальным АБУ......................................................66

2.6 Процесс установления полусбалансированного режима............67

2.7 Процесс установления несбалансированного режима................68

2.8 Двупараметрические диаграммы устойчивости полусбалансированного стационарного режима для симметричного ротора .... 74

2.9 Двупараметрические диаграммы устойчивости полусбалансированного стационарного режима для несимметричного ротора ... 74

2.10 Прохождение резонансной области несимметрично закрепленного ротора с неидеальным и идеальным АБУ.............. 76

2.11 Прохождение резонансной области симметрично закрепленного ротора с неидеальным АБУ...................... 77

2.12 Прохождение резонансной области несимметрично закрепленного ротора с неидеальным АБУ при 62 = 0.025 ............. 78

2.13 Прохождение резонансной области несимметрично закрепленного ротора с неидеальным АБУ при 62 = 0.005 ............. 78

2.14 Колебания динамически неуравновешенного симметрично закрепленного ротора с приложенным к нему постоянным вращающим моментом М = 0.3........................ 79

2.15 Прохождение через резонанс динамически неуравновешенного симметрично закрепленного ротора с приложенным к нему постоянным вращающим моментом М = 1 .............. 80