Динамика пластин (модель Тимошенко) постоянной и переменной толщины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Моргачев, Кирилл Сергеевич

• Моргачев, Кирилл Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Моргачев, Кирилл Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Модель Тимошенко и ее приложение к динамическим расчетам пластин.

1.1. Общие принципы построения уточненных теорий в динамике стержней, пластин и оболочек.

1.2. Уточнение классической теории поперечных колебаний призматических стержней.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика пластин (модель Тимошенко) постоянной и переменной толщины»

Актуальность работы. Использование элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами постоянной и переменной толщины (плавающие крыши резервуаров, перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн.др.), в условиях интенсивных воздействий (сейсмических, аэродинамических и технологических нагрузок), неразрывно связано с совершенствованием методик их динамического расчета. Предъявляемые практикой требования надежности и экономичности при создании рациональных инженерных решений приводят к необходимости проведения таких расчетов на основе более точных расчетных моделей.

Повышение достоверности динамических расчетов в части увеличения области допустимых толщин и определения спектра высших частот и форм колебаний элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами, возможно при переходе в теории колебаний пластин к более совершенным кинематическим моделям (модель Тимошенко вместо классической модели, основанной на гипотезах Кирхгофа) или при отказе от кинематических гипотез и переходе к расчетам на основе теории упругости. Это подтверждается известным сравнением [20] с экспериментальными данными результатов, полученных для цилиндрических тел описанными выше способами: теория упругости, модель Тимошенко, классическая модель. В [20] показано, что модель Тимошенко дает хорошее совпадение вычисленных низших частот с результатами теории упругости и с экспериментом для пластин со значением приведенной толщины e = h!R< 1.5 (h - абсолютная толщина пластины, R - внешний радиус), в то время как классическая модель применима только при определении низших частот при £ < 0.2.

Применение аналитических методов решения (метод разложения в ряды по собственным формам) динамических задач теории упругости и теории пластин (с учетом уточненной кинематической гипотезы Тимошенко) позволяет не только формулировать известные зависимости в более корректной форме, что необходимо для постановки задачи в наиболее общем виде, но также алгоритмизировать и автоматизировать проводимые исследования для частных случаев (конкретных типов пластин на действие определенных типов нагрузок), что позволяет строить новые доступные для инженера расчетные программы.

При анализе полученных по таким программам результатов для элементов сооружений в форме тел вращения, моделируемых круглыми и кольцевыми пластинами постоянной и переменной толщины, появляется возможность выделить из общего спектра колебаний, который получается при решении аналогичной задачи методом конечных элементов с реализацией в современных вычислительных комплексах (ANSYS), собственных частот, зависящих от числа узловых диаметров.

Таким образом, применение аналитических методов также дает возможность нахождения новых закономерностей при анализе получаемых результатов, что повышает теоретический уровень инженерных расчетов.

Цель работы: разработка эффективных алгоритмов и программ динамического расчета пластин различных очертаний в плане постоянной и переменной толщины для различных типов закрепления на границах и внешних нагрузок, основанных на использовании уточненной постановки теории колебаний пластин (модель Тимошенко).

Достижение поставленной цели предусматривает выполнение следующих задач исследования:

- получение основных зависимостей для пластины (модель Тимошенко) постоянной толщины в разрешающем виде в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости;

- в частных случаях (прямоугольная и кольцевая пластины постоянной толщины) оценка области достоверного использования модели Тимошенко в теории колебаний пластин и инженерной практике, путем сравнения полученных результатов с точными решениями аналогичных задач методами теории упругости;

- для элементов сооружений в форме тел вращения переменной толщины определение области достоверного использования в инженерных расчетах сопоставлением собственных частот с известными результатами экспериментов и построение решения задачи о вынужденных колебаниях;

- использование современных систем компьютерной математики (Mathematica) во избежание появления ошибок, как при построении, так и при реализации разрабатываемых алгоритмов;

- анализ результатов, полученных на модельных примерах.

Научная новизиа работы заключается в следующем:

- специальным подбором потенциальных функций в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости в новом разрешающем виде получены уравнения равновесия (движений) пластины постоянной толщины (модель Тимошенко), которые позволяют строить решение задач о собственных и вынужденных колебаниях пластин различных очертаний в плане для широкого класса граничных условий (различных типов нагрузок и условий закрепления на границах);

- в новом (замкнутом) виде построен и реализован алгоритм решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) кусочно-переменной толщины, справедливый для широкого класса граничных условий;

- в новом виде построен и реализован алгоритм численного решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) переменной толщины, заданной как непрерывная функция радиуса пластины, справедливый для широкого класса граничных условий;

- приводится не встречающееся в литературе сравнение решений задачи о собственных значениях (частотах) для свободной квадратной пластины Тимошенко, с аналогичным, полученным методами теории упругости для свободного прямоугольного параллелепипеда.

Практическая значимость работы:

- полученные в работе результаты позволяют расширить область достоверного использования теории колебаний пластин в практических расчетах;

- разработанные алгоритмы (методики расчетов), реализованные с применением современных компьютерных систем (Mathematica) в программные модули, могут использоваться проектными и научно-исследовательскими организациями при анализе напряженно-деформированного состояния элементов сооружений, моделируемых пластинами постоянной и переменной толщины (крыши и днища цилиндрических резервуаров, кольцевые и прямоугольные в плане перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн.др.), при различном характере динамических воздействий (сосредоточенные и распределенные силы и моменты с различными законами изменения во времени) и условиях закрепления на границах (свободный край, шарнирное опирание, жесткая заделка);

- все вычисления проводятся в безразмерных величинах, что позволяет легко адаптировать разработанные программы к различным материалам (рассматриваемым в упругом и изотропном приближении) и абсолютным размерам конструкций;

- полученные замкнутые решения могут быть использованы при оценке погрешностей численных методов (в том числе, метода конечных элементов);

- некоторые из результатов, полученных в диссертационном исследовании, были использованы ООО «ГЛОБАЛТЭНКСИНЖИНИРИНГ»

РФ, г.Самара) при проектировании двудечных плавающих крыш стальных вертикальных цилиндрических резервуаров объемом 30000 м (площадка строительства Сангалы, Азербайджан) и 50000 м (площадка строительства

Сангачалы, Азербайджан) в условиях сейсмических воздействий (см. справку о внедрении результатов диссертационной работы в приложении к диссертации).

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью вывода основных соотношений и математического аппарата методов решений рассматриваемых начально-краевых задач динамики упругих тел, соответствием качественных результатов расчета физической картине исследуемых процессов, совпадением количественных результатов, полученных для частных случаев в приближенной (модель Тимошенко) и точной (теория упругости) постановках между собой, а также с известными, приведенными в литературе данными расчетов и результатами экспериментов.

Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались на федеральных и областных научно-технических конференциях:

- 63-ей и 64-ой Всероссийских научно-технических конференциях «Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика» (Самара, 2006 и 2007 г.г.);

- XXIX - XXXI Самарских областных студенческих научных конференциях «Общественные, естественные и технические науки» (Самара, 20032005 г.г.);

- 21-ой - 24-ой межвузовских студенческих научно-технических конференциях «Студенческая наука. Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды» (Самара, 2002-2005 г.г.).

В целом по материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 3 в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы, содержащего 96 наименований и приложения. Объем диссертации составил 112 страниц основного печатного текста, в том числе 19 рисунков и 8 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Моргачев, Кирилл Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате количественного и качественного анализа результатов установлено, что:

- область достоверного применения модели Тимошенко в инженерной практике для прямоугольных пластин ограничивается значением приведенной толщины (т.е. отнесенной к абсолютному значению характерного линейного размера в плане) 0.9, для кольцевых - 1.4;

- полученные разными методами (численным, средствами компьютерной системы Mathematica, и в замкнутом виде, в рядах по собственным формам, решения задачи для кольцевой пластины переменной толщины) и теориями (приближенное решение на основе теории типа Тимошенко и точное методами теории упругости для свободных тел в прямоугольных и цилиндрических координатах) результаты имеют хорошее совпадение, что подтверждает справедливость положенных в их основу предпосылок;

- построение решений с применением вычислительных возможностей компьютерной системы Mathematica исключает пропуск корней при решении частотного (трансцендентного) уравнения и позволяет обоснованно назначить оптимальный шаг в методе бисекции, что, в частности, позволило усовершенствовать реализацию известных алгоритмов решения задачи теории упругости о собственных колебаниях свободного прямоугольного параллелепипеда и свободного полого цилиндра;

- с позиций сложности реализации на ПЭВМ алгоритм решения задачи теории упругости на собственные значения гораздо более трудоемкий, чем аналогичный метод вычислений частот и форм собственных колебаний, основанный на использовании модели Тимошенко для пластин, что объясняется существенно более низким порядком частотного уравнения в последнем случае;

- результаты проводимых вычислений имеют быструю сходимость, т.е. оказались справедливыми для малого количества удерживаемых в рядах слагаемых (до 5). Получаемый при этом порядок частотного уравнения позволяет для реализации предложенных методик динамического расчета использовать ПЭВМ с ограниченными ресурсами памяти и быстродействия;

- предпосылки о возможности применения модели Тимошенко к динамическим расчетам тел вращения (пластин) постоянной толщины, оказываются справедливыми и для пластин переменной толщины.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Моргачев, Кирилл Сергеевич, 2007 год

1. Алоян, P.M. Динамические задачи механики конструкций и сплошных сред / P.M. Алоян. Учеб. пособие. - М.: АСВ, 1999. - 255 с.

2. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.М.Беляев. М.: ГИТТЛ, 1954. - 856 с.

3. Бирбраер, А.Н. Расчет конструкций на сейсмостойкость / А.Н. Бирбраер.- СПб.: Наука, 1998. 255 с.

4. Биргер, И.А. Прочность, устойчивость, колебания / И.А. Биргер, Я.Г. Пановко. Справочник. - М.: Машиностроение, 1968. - Т.З. - 567 с.

5. Бицено, К.Б. Техническая динамика / К.Б. Бицено, Р. Граммель. М., Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1952. - Т.2. - 630 с.

6. Галимов, Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек / К.Ш. Галимов.- Саратов: Изд-во ун-та, 1990. 136 с.

7. Галиныи, А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям / А.К. Галиньш // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1970. -Вып. 6-7. - С. 23-64.

8. Гернушов, Е.М. Расчет круглых и кольцевых пластин на действие произвольной динамической нагрузки / Е.М. Гернушов // Изв. АН СССР.- Сер.: ОНТ. Механика и машиностроение. 1964. - № 6. - С. 89-95.

9. Головчан, В.Т. Динамика упругих тел / В.Т. Головчан, В.Д. Кубенко,

10. Н.А. Шульга, А.Н. Гузь, В.Т. Гринченко. Киев: Наукова думка, 1986. -Т.5.-286 с.

11. Гольденвейзер, A.J1. Теория упругих тонких оболочек / A.J1. Гольденвейзер. М.: ГИТТЛ, 1953. - 564 с.

12. Гольденвейзер, A.JI. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера / A.JI. Гольденвейзер, Ю.Д. Каплунов, Е.В. Нольде // Изв. АН СССР. Сер.: Мех. тверд, тела. -1990,-№6. -С. 124-138.

13. Гонткевич, B.C. Собственные колебания пластин и оболочек / B.C. Гонткевич. Справочное пособие. - Киев: Наук, думка, 1964. - 471 с.

14. Горошко, И.О. Гранично-элементный анализ гармонических колебаний пластин Тимошенко / И.О. Горошко, Г.М. Зражевский // Техн. диагност, и неразруш. контроль. 1990. - №1. - С. 18-22.

15. Григолюк, Э.И. О коэффициенте сдвига в теории оболочек типа Тимошенко / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов // Докл. РАН. 2001. - №1. -С. 47-49.

16. Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов // Итоги науки и техники. Сер.: Мех. тверд, деформ. тел. М.: ВИНИТИ, 1973. - Т.5. - 272 с.

17. Гринченко, В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих телконечных размеров / В.Т. Гринченко. Киев: Наук, думка, 1978. - 264 с.

18. Грудев, И.Д. Толстые упругие стержни, пластинки и оболочки / И.Д. Грудев. М.: Академпринт, 2001. - 176 с.

19. Гузь, А.Н. Дифракция упругих волн / А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, М.А. Черевко Киев: Наук, думка, 1978. - 304 с.

20. Домбровский, С.И. Об области применения различных теорий колебаний цилиндрических тел / С.И. Домбровский, Д.С. Еленевский, Н.Д. Кузнецов, Л.И. Фридман, Ю.Н. Шапошников // Изв. АН СССР. -Сер.: Мех. тверд, тела. 1991. - №3. - С. 177-182.

21. Дубинкин, М.В. Колебания плит с учётом инерции вращения и сдвига / М.В. Дубинкин // Изв. АН СССР. Сер.: ОТН мех. и машиностроения. -1958.-№12.-С. 131-135.

22. Дьяконов, В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений / В.П. Дьяконов. -М.: Нолидж, 2000. 608 с.

23. Ильин, В.П. Численные методы решения задач строительной механики /

24. В.П. Ильин, В.В. Карпов, A.M. Масленников. Минск: Выш. шк., 1990. -349 с.

25. Калманок, А.С. Расчет пластинок / А.С. Калманок. Справочное пособие. - М.: Гос. изд-во лит-ры по стр-ву, арх-ре и стр-м мат-лам. -1959.-212 с.

26. Килина, Т.Н. О влиянии геометрических и механических параметров на динамические характеристики упругих тел / Т.Н. Килина // Моделир. в мех. Новосибирск. - 1990. - №2. - С. 77-81.

27. Ключникова, В.Г. Корректирование приближенного решения задачи о собственных колебаниях плиты в неклассической постановке / В.Г. Ключникова // Прикл. механика. 1966. - №12. - С. 27-32.

28. Корнилов, А.А. Колебания кольцевой пластины переменной толщины произвольного профиля с учетом инерции вращения и деформации сдвига / А.А. Корнилов // Вестн. Киевск. политехи, ин-та. Сер.: машиностр. - 1968. - №5. - С. 8-14.

29. Коренев, Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях / Б.Г. Коренев. М.: Физматгиз, 1960. -458 с.

30. Коренев, Б.Г. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций / Б.Г. Коренев, А.Ф. Смирнов. Справочникпроектировщика. М.: Стройиздат, 1986. - 461 с.

31. Кузнецов, Н.Д. Особенности низкочастотного спектра собственных колебаний цилиндрических тел / Н.Д. Кузнецов, Л.И. Фридман, Ю.Н. Шапошников //Докл. АН СССР. 1990. - Т.312. - №1. - С. 55-58.

32. Кузнецов, Н.Д. Расчетные методы определения собственных частот элементов конструкций в форме тел вращения и близких к ним / Н.Д. Кузнецов, Л.И. Фридман, М.Е. Колотников // Проблемы машиностроения и надежности машин. М.: Наука, 1993. - №3. - С. 98-106.

33. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант М.: Мир, 1964.-831 с.

34. Мацуо, Сигэру. Распределение механических напряжений вблизи отверстия / Сигэру Мацуо // Суймон тэккан. 1988. - № 156. - С. 74-85.

35. Миронов, В.В. Задача об осесимметричных собственных колебаниях круглой жестко заделанной пластины / В.В. Миронов, Н.В. Кузнецова // Вестн. Сыктывкар, ун-та. СерЛ. -2006. - №6. - С. 193-198.

36. Моргачев, К.С. Динамика круглых пластин (модель Тимошенко) / К.С. Моргачев // Общественные, естественные и технические науки: тезисы докладов XXIX Самарской областной студенческой научной конференции. Самара, 2003. - С. 138.

37. Моргачев, К.С. Нестационарная динамика пластин (модель Тимошенко) / К.С. Моргачев // Общественные, естественные и технические науки: тезисы докладов XXX Самарской областной студенческой научной конференции. -Самара, 2004. С. 136-137.

38. Моргачев, К.С. Нестационарная динамика кольцевой пластины Тимошенко переменной толщины / К.С. Моргачев // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. - №2(15). - С. 205-207.

39. Морс, Ф. Методы теоретической физики / Ф. Морс, Г. Фешбах. М.: Изд-во иностр. лит, 1960. - Т.2. - 886 с.

40. Москаленко, В.Н. К применению уточненных теорий изгиба пластинок взадаче о собственных колебаниях / В.Н. Москаленко // Инженерный ж. -1961.-№3. С. 93-101.

41. Москаленко, В.Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин / В.Н. Москаленко // Сб. Теория пластин и оболочек. Киев: АН УССР, 1962. - С. 264-266.

42. Москаленко, В.Н. Собственные колебания толстых плит / В.Н. Москаленко // Изв. АН АрмССР. Сер.: Механика. - 1968. - №5-6. -С. 57-64.

43. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. JL: Судпромгиз, 1962 - 431 с.

44. Попов, В.А. Асимптотическое решение задачи о колебаниях тонкого прямоугольника / В.А. Попов // Изв. АН СССР. Сер.: Мех. тверд, тела. - 1989. -№1. - С.115-121.

45. Седов, Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред / Л.И. Седов // Успехи матем. наук. 1965. - №5. -С. 121-180.

46. Седов, Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы / Л.И. Седов // Прикл. матем. и мех. 1966. - №5. - С. 771-785.

47. Сеницкий, Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечныхинтегральных преобразований / Ю.Э. Сеницкий. Саратов: Издательство СТУ, 1985. - 175 с.

48. Скучик, Е. Простые и сложные колебательные системы / Е. Скучик. -М.: Мир, 1971.- 557 с.

49. Ставров, Г.Н. К вопросу учета поперечного сдвига при динамических расчетах плит / Г.Н. Ставров, В.А. Катаев, В.А. Прохоров // Строит, мех. и расчет сооруж. 1992. - №2 - С. 55-60.

50. Тимошенко, С.П. Курс теории упругости / С.П. Тимошенко. Киев: Наукова думка, 1972. - 507с.

51. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

52. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

53. Уфлянд, Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин / Я.С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. 1948. - Т. 12. - Вып. 3. - С. 287-300.

54. Фирсов, В.А. Применение аппарата дифференцирующих матриц для исследования поперечного изгиба и свободных колебаний пластин / В.А. Фирсов, И.С. Селин, X. Бен Навер // Изв. вузов. Сер.: Авиац. техн. -2002. - №1. - С. 17-19.

55. Фридман, Л.И. Нестационарная динамическая задача теории упругости для конечного цилиндра / Л.И. Фридман // Вестник Самарского государственного университета. Самара: Самарский университет, 2003. - Естественнонаучная серия. - №2 (28). - С. 113-121.

56. Фридман, Л.И. Динамическая задача теории упругости для цилиндра конечных размеров / Л.И. Фридман // Прикл. механика. 1981. - Т. 17. -№3.-С. 37-42.

57. Фридман, Л.И. Динамический расчет круглых пластин переменной толщины при отказе от гипотезы Кирхгофа / Л.И. Фридман // Вопросы проектирования и доводки авиационных газотурбинных двигателей. -Межвузовский сборник. Куйбышев: КуАИ, 1977. - С. 122-130.

58. Фридман, Л.И. Динамическая задача теории упругости для тел канонической формы / Л.И. Фридман // Докл. АН СССР. 1986. - Т.289. -№4. - С. 825-828.

59. Фридман, Л.И. Динамическая задача теории упругости для тел канонической формы / Л.И. Фридман // Прикл. механика. 1987. - Т.23.12.-С. 102-108.

60. Фридман, Л.И. Представление решения динамических задач для упругих тел разложением в ряд по собственным формам / Л.И. Фридман // Проблемы прочности. 1973. - №11. - С. 91-96.

61. Фридман, Л.И. Сравнение частот прямоугольных пластин, вычисленных по уточненной и классической гипотезам / Л.И. Фридман, О.А. Карасева // Известия вузов. Строительство. М. - 2000. - №1- С. 21-26.

62. Фридман, Л.И. Решение стационарной динамической задачи для кольцевой пластины в рамках модели Тимошенко / Л.И. Фридман, К.С. Моргачев // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2005. -Вып. 34.-С. 68-71.

63. Фридман, Л.И. Построение и реализация решений задач нестационарных колебаний пластин (модель Тимошенко) / Л.И. Фридман, К.С. Моргачев // Вестник Самар. гос. ун-та. Естественнонаучная серия. - 2006. - №2(42). -С. 92-102.

64. Callahan, W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates / W.R. Callahan // Quart. Appl. Math. 1956. - №4. - P. 371-380.

65. Cowper, G.R. The shear coefficient in Timoshenko's beam theory / G.R. Cowper // Trans. ASME. 1966. - №2. - P. 335-340.

66. Deresiewicz, H. Axially symmetric flexural vibrations of a circular disk / H. Deresiewicz, R.D. Mindlin // J. Appl. Mech. 1955. - №1. - P. 86-88.

67. Deresiewicz, H. Symmetric flexural vibrations of a clamped circular disk / H. Deresiewicz// J. Appl. Mech. 1956. - №2. - P. 319.

68. Elishakoff, I. Refined theories may be needed for vibration analysis of structures with overhang /1. Elishakoff, A.-G. Judah, S. Das Partha // Int. J. Solids and Struct. 1999. - №24. - P. 3581-3589.

69. Ferreira, A.J.M. Free vibration analysis of Timoshenko beams and Mindlin plates by radial basis functions / A.J.M. Ferreira // Int. J. Comput. Meth. -2005.-№1.-P. 15-31.

70. Hasegawa, M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations ofisotropic, elastic rectangular plates / M. Hasegawa // Proc. 16th Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. - 1967. - P. 291-293.

71. Horst, I. Refined effects in beam theories and their influence of natural frequencies of beams /1. Horst // Lect. Notes Eng. 1987. - №28. - P. 202-212.

72. Huang, T.C. Application of variational methods to the vibrations of plates including rotary inertia and shear / T.C. Huang // Developm. Mech. New York.-1961.-Vol.1.-P. 61-72.

73. Laura, P.A.A. Comments on "static and dynamic deflections of plates of arbitrary geometry by a new finite difference approach" / P.A.A. Laura // J. Sound and Vibr. 1987. - №2. - P. 379-383.

74. Lee, J.M. Vibration analysis of rectangular isotropic thick plates using Mindlin plate characteristic functions / J.M. Lee, K.C. Kim // J. Sound and Vibr.- 1995.-№5.-P. 865-877.

75. Martincek, G. Vplyv smyku a rotacnej zotrvacnosti pri kmitani dosak / G. Martincek // Strojnicky casop. 1964. - №4. - P. 337-357.

76. Miklowitz, J. Flexural stress waves in an infinite elastic plate due to a suddenly applied concentrated transverse load / J. Miklowitz // Trans. ASME. -I960,-№4.-P. 681-689.

77. Mindlin, R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates / R.D. Mindlin // J. Appl. Mech. -1951. №1. - P. 31-38.

78. Mindlin, R.D. Flexural vibrations of rectangular plates / R.D. Mindlin, A. Schacknow, H. Deresiewicz // J. Appl. Mech. 1956. - №3. - P. 430-436.

79. Reismann, H. Forced motion of elastic plates / H. Reismann // Trans. ASME.- 1968.-№3.-P. 510-515.

80. Reissner, E. On axi-symmetrical vibrations of circular plates of uniform thickness, including the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia / E. Reissner // J. Acoust. Soc. Amer. 1954. - №2. - P. 252-253.

81. Rubin, M.B. On the quest for the best Timoshenko shear coefficient / M.B. Rubin // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 2003. - №1. - P. 154-157.

82. Saha, K.N. Free vibration analysis of rectangular Mindlin plates with elastic restraints uniformly distributed along the edges / K.N. Saha, R.C. Kar, P.K. Datta // J. Sound and Vibr. 1996. - №4. - P. 885-904.

83. Seung-Ho, J. Effects of thickness variation for the dynamic characteristics of annular plates including the shear deformation and rotary inertia / J. Seung-Ho //JSME Int. J.C. 2001. - №1. - P. 30-36.

84. Suzuki, S.-I. Axisymmetric dynamic behaviour of thick plate subjected to impulsive loads / S.-I. Suzuki //J. Sound and Vibr. 1986. - №2. - P. 339-345.

85. Timoshenko, S.P. On the correction for shear of differential equation for transverse vibrations of prismatic bar / S.P. Timoshenko // Phil. Mag. 1921.- Ser.6. №245. - P. 744-746.

86. Timoshenko, S.P. The collected papers / S.P. Timoshenko // McGraw-Hill Book Co. New York - Toronto - London. -1953. - P. 288-290.

87. Wolfram, S. The mathematica book. 5-th ed / S. Wolfram. Wolfram media. -2003. - 1301 pp.

88. Wrejcewicz, J.A. Vibration analysis of the plates and shells of moderate thickness / J.A. Wrejcewicz, V.A. Krysko // J. Techn. Phys. 1999. - №3. -P. 277-305.