Динамика плоских механических систем с упруго-пластическим деформированием поверхностей звеньев тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Канунников, Андрей Владимирович

• Канунников, Андрей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Канунников, Андрей Владимирович

Введение.

• Глава I. Состояние вопроса, цель и задачи исследования.

1.1. Модели динамики механических систем с многовариантным взаимодействием звеньев в кинематических парах.

1.2. Удары в динамике механических систем, моделирование контактных взаимодействий.

1.2.1. Решение задач об ударе в динамике систем абсолютно твёрдых тел. Дискретные контактные модели.

Л 1.2.2. Моделирование контактных взаимодействий методами ™ МДТТ. Контактные задачи.

1.3. Цель и задачи исследования.

Глава II. Разработка математической модели динамики плоских механических систем.

2.1. Разработка математического описания контактной пары типа «ТОЧКА-ПОВЕРХНОСТЬ».

2.2. Разработка математического описания контактной пары типа «ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕРХНОСТЬ».

2.2.1. Установление функциональной зависимости т2 ( тх ).

Ф 2.2.2. Определение глубины взаимного проникания профилей тел.

2.2.3. Определение величины нормального контактного напряжения итеративным процессом.

2.2.4. Определение величины нормального контактного напряжения через кинематику относительного движения.

2.2.4.1. Определение нормальной компоненты относительной скорости точек тел в области пятна контакта. относительной скорости точек тел в области пятна контакта.

2.2.4.3. Определение относительных деформаций и контактных напряжений на основе кинематических соотношений относительного движения.

2.2.5. Определение интегральной силы и интегрального момента реакции опорной поверхности.

2.2.5.1. Вычисление длины ls линии сопряжения профилей сегментов в области пятна контакта. ф 2.2.6. Определение толщин деформируемых слоев на основе решения контактной задачи Герца.

Глава III. Численное моделирование. Анализ динамики функционирования и оптимальное проектирование патроноподающего узла.

3.1. Анализ чувствительности узла с динамической моделью на основе дискретных контактных элементов к изменению коэф фициента трения.

3.2. Анализ чувствительности узла с комбинированной динамической моделью к изменению коэффициента трения при однократном и циклическом нагружении.

3.3. Установление оптимального значения зазора Sl.

3.4. Установление оптимального значения угла СС наклона паза.

3.5. Общий анализ результатов исследования. Выработка практических рекомендаций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика плоских механических систем с упруго-пластическим деформированием поверхностей звеньев»

XXI-й век - век больших перемен, и главным образом благодаря стремительному развитию вычислительной техники. При этом соперничество между державами в области вооружения не прекращается, что вынуждает специалистов из различных технических областей искать пути совершенствования стоящих на вооружении образцов военной техники, искать новые конструктивные решения, разрабатывать более эффективные методы и средства проектирования, более точные модели отдельных процессов и комплексные модели функционирования боевых систем. И всё это при непрерывном росте требований, предъявляемых к проектируемым изделиям, по показателям ТТХ при условии обеспечения экономической эффективности их производства.

Интенсивный рост требований во многом обусловлен активным внедрением в технику вооружения электронных систем, благодаря которым достигаются современные показатели тактико-технических характеристик. Однако значимость адекватного моделирования механической части изделия при проектировании по-прежнему безусловна: например, изменения в динамике машины, вызванные увеличением зазоров вследствие пластических деформаций поверхностей звеньев в отдельных узлах, не могут быть скомпенсированы электроникой; рост динамических нагрузок снижает показатели ТТХ.

Изменения же условий эксплуатации усиливают это влияние, что зачастую может приводить к нестабильности или даже к возникновению отказов в работе хорошо спроектированного изделия, особенно, если конструктивное решение схемы автоматики таково, что наблюдается повышенная чувствительность к этим факторам [3, 43, 107, 117].

Проведённый далее анализ говорит о недостаточном развитии методов расчёта, которые позволяли бы эффективно учитывать специфику СПВ при моделировании, а также, согласно полученным результатам, оптимальным образом спроектировать конструкцию и разработать технологию производства конкретного образца. Наиболее широко распространённые в инженерной практике методы проектирования и расчёта элементов и схем механических устройств, получившие применение в современных системах автоматизированного проектирования (pro/Engineer, mscNastran, ADAMS, Autodesk Mechanical Desktop), распадаются на два класса: методы для систем абсолютно твёрдых тел и конечноэлементное моделирование. В первом случае математические модели, как правило, разработаны при следующих допущениях: допущение об отсутствие зазоров в кинематических парах и допущение об абсолютной твёрдости звеньев механической системы.

Решение задачи динамики в рамках указанных допущений налагает требование по статической определимости при составлении систем уравнений динамики, что во многих случаях приводит к существенно упрощённому отражению в математической модели истинного характера взаимодействия элементов механизма [3, 46, 116, 117], по-существу, - к игнорированию факта многовариантного характера распределения сил реакций по поверхностям взаимодействующих тел, и, как следствие, - к невозможности корректно отразить динамику проектируемого устройства.

Помимо этого, условия и характер взаимодействия элементов автоматики СПВ таковы [3, 43, 106, 107], что одним из обязательных требований, предъявляемых к математической модели, следует считать возможность достоверного моделирования ударов и сопровождающих их колебательных явлений в КП с зазорами. Исходя из этого, введение указанных выше допущений неприемлемо. К тому же, влияние даже локальных деформаций отдельных звеньев и связанные с этим колебательные явления, несмотря на принятие гипотезы отсутствия зазоров, достаточно существенны, чтобы учитываться при проектировании.

В современных САПР в качестве инструмента для разрешения описанных трудностей предлагается использовать МКЭ, который стал уже стандартным компонентом каждой системы проектирования. Однако зачастую этот метод не даёт ожидаемого эффекта в силу его характерных особенностей: чрезвычайно высокая вычислительная ресурсоёмкость; накопление значительных погрешностей из-за ошибок округления; трудности моделирования взаимодействия элементов КП при посадке с малыми зазорами в силу дискретного представления поверхности.

Альтернативой применению МКЭ здесь вполне могут служить традиционные подходы к решению контактных задач МДТТ о взаимодействии, например, жёсткого индентора и упругого полупространства [16, 34, 35, 47, 56, 85, 134]. Сохранение гипотезы об абсолютной твёрдости тел при наличии некоторой локальной податливости -по-существу использование принципа Сен-Венана — позволяет сократить время вычислений без существенных потерь в точности решения контактных задач.

Необходимо отметить, что ряд автоматизированных систем моделирования динамики механических систем, например, mscNastran и ADAMS, всё же используют нелинейную контактную модель Герца, но в её простейшей формулировке, что тем самым указывает на достаточную и подтверждённую практикой эффективность такого подхода.

Таким образом, комбинирование двух различных подходов: моделирование динамики легко нагруженных узлов МС на основе модели с сосредоточенными силами, и представление высоконагруженных узлов моделями, учитывающими распределение контактных напряжений по поверхностям соприкасания, представляется оптимальным сочетанием для решения перечисленного круга задач. Предпочтительной моделью динамики машины с сосредоточенными реакциями является модель на основе дискретных контактных элементов, позволяющих избежать затруднений со статической неопределимостью, учитывать нелинейные эффекты при динамическом нагружении опорных поверхностей звеньев, моделировать колебательные явления в КП.

Применение контактной модели, учитывающей распределение контактных напряжений по опорным поверхностям, позволяет, например, точнее моделировать динамику узлов преобразования силовых и кинематических параметров, учитывать локальные изменения геометрии звеньев при циклическом нагружении, приводящие к росту зазоров в КП и, как следствие, - к значительным переменам в режиме работы системы.

Суперпозиция этих двух подходов к описанию динамики позволяет оптимально с точки зрения затрат вычислительных ресурсов и достоверности получаемых результатов решать качественно иную, безусловно важную задачу - задачу оптимизации параметров машины с учётом их изменений в процессе работы.

Методы и средства построения таких прогнозов уже на этапе проектирования являются крайне востребованным сегодня инструментом для инженера-механика, однако, современные системы проектирования при их весьма высокой стоимости не обеспечивают эффективного решения подобных задач, в связи с чем возникает необходимость разработки собственных методов и средств оптимального проектирования.

Настоящая работа посвящена решению некоторых из перечисленных выше задач проектирования автоматики СПВ на примере патроноподающего механизма с прямоугольным законом перемещения рабочего звена. В соответствии с проведённым анализом литературы по вопросам моделирования динамики механических систем, в том числе и систем СПВ, с учётом многовариантного характера взаимодействия звеньев, зазоров в КП, общей и локальной податливостей звеньев, необходимо отметить достаточную новизну и эффективность изложенного в работе подхода, наличие возможности его дальнейшего распространения на более общий случай - пространственные механические системы.

При выполнении работы автор пользовался консультациями докт. техн. наук, профессора Ю.И Смирнова, за что выражает ему искреннюю благодарность.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Канунников, Андрей Владимирович

заключение

В ходе выполнения настоящей работы были получены следующие результаты:

1) Разработана математическая модель динамики плоских механических систем, позволяющая в МС произвольной степени подвижности и с произвольной сложностью геометрии тел моделировать контактное взаимодействие элементов КП с учётом многовариантного характера опирания звеньев и упруго-пластического деформирования их рабочих поверхностей.

2) Проведён сравнительный анализ результатов моделирования, выполненного на основе динамических моделей выбранной схемы патроноподающего узла, с результатами типового расчёта, выполненного по методике Бравина-Пугачёва, для нескольких значений скорости затворной рамы в откате при различных условиях трения. Показано удовлетворительное согласование трёх вариантов расчётов при моделировании серии из малого числа циклов работы автоматики. Проведённый анализ динамики узла в условиях циклического нагружения позволил установить, что поверхностные упруго-пластические деформации звеньев, возникающие в процессе приработки, Ьказывают влияние на работу узла, и должны учитываться при проектировании.

3) Решена задача нахождения оптимальной величины зазора S г для расчётной схемы патроноподающего узла, представленной комбинированной динамической моделью, с учётом пластического деформирования поверхностей звеньев при многоцикловом нагружении. Обнаружена сильная нелинейная зависимость устанавливающихся в процессе приработки параметров функционирования узла от величины начального конструктивно заданного зазора. В то же время, на первых циклах работы механизма конструктивно заданная величина зазора практически не оказывает влияния на скорость затворной рамы в конце рабочего перемещения. Результаты решения задачи показывают, что оптимальная величина зазора не может быть определена однозначно, и должна выбираться в соответствии с конкретными требованиями и конструктивными особенностями проектируемого изделия.

4) Решена задача нахождения оптимальной величины угла а наклона паза для расчётной схемы патроноподающего узла, представленной комбинированной динамической моделью, с учётом упруго-пластического деформирования поверхностей звеньев при многоцикловом нагружении. Установлен нелинейный характер зависимости исследуемых параметров функционирования узла от величины угла, проявляющейся уже на первых циклах работы механизма. Установлены экстремальные значения угла, соответствующие глобальным максимуму и минимуму КПД. Выявлено, что нелинейный характер зависимости непосредственно связан не только с геометрией тел, но и с коэффициентом трения. Результаты решения задачи позволяют для наиболее сложных условий работы узла задать такое конструктивное значение угла, которое с учётом периода приработки обеспечит наилучшие характеристики изделия на основном периоде эксплуатации.

5) Проведён обобщающий анализ результатов исследования, выработаны практические рекомендации по проектированию и конструктивному исполнению элементов узлов такого типа. Даны рекомендации по применению разработанных динамических моделей при проектировании.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Канунников, Андрей Владимирович, 2005 год

1. Айзикович С.М., Трубчик И.С., Шклярова Е.В. Внедрение штампа в неоднородную по глубине полосу // Изв. АН СССР. МТТ. — 1991. — №1.-С. 61-71.

2. Александров В.М., Пожарский ДА. Трёхмерные контактные задачи при учёте трения и нелинейной шероховатости // ПММ. 2004. — Т. 68. — Вып. 3.-С. 516-527.

3. Алфёров. В.В. Конструкция и расчёт автоматического оружия / М.: Машиностроение. — 1977. — 248с.

4. Амбарцумян С.А., Минасян М.М. Об одной нелинейной модели вязкоупругого тела // Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - №4. - С. 165-172.

5. Аппелъ П. Теоретическая механика / М.: Физматгиз. — Т. 2. — 1960. — 488с.

6. Аргатов И.И. Приближённое решение осесимметричной контактной задачи для упругого слоя конечной толщины // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2004. - №6. - С. 35-40.

7. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин / М.: Наука. 1975. — 638с.

8. Баранов B.JI. Продольные волны в стержнях с учётом влияния скорости деформации // Работы по механике деформируемого твёрдого тела: В сб. научных трудов. Тула: ТулПИ. - 1979. - С. 53-59.

9. Баранов В.Л., Великое К.Р., Дунаева ИВ. и др. Отклик элементов конструкций из упруго вязкопластического материала на импульсное воздействие // Тула: ТулГУ. Русе: Дунарит. - 2000. - 210с.

10. Баранов В.Л., Канунников А.В. Влияние контактного упруго-пластического деформирования на динамику систем циклической автоматики (принята в печать «Вестник машиностроения», 2005г.).

11. Бахшалиев В. И. Динамический анализ кривошипно-ползунного механизма и расчёт на прочность «плавающего» шатуна // Изв. вузов. — Машиностроение. 2000. - №3. - С. 44-50.

12. Бахшалиев В.И. К анализу точности кривошипно-ползунного механизма поршневых машин с зазорами // Механика машин. — 2004. — №3. С. 11-14.

13. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний / М.: Высшая школа. 1972.

14. Бородин Ф.М. Пространственная задача об ударе затупленным телом по поверхности анизотропного полупространства // Изв. АН СССР — МТТ. 1990. - №4. - С. 50-58.

15. Бравин Е.Д., Лунц Е.Б., Гуревич М.В. Стрелково-пушечное вооружение самолётов / М.: Воениздат. 1941. - 303с.

16. Буланцев Г.М., Корнеев А.К, Николаев А.П. О рикошетировании при ударе // Изв. АН СССР. МТТ. - 1985. - № 2 - С. 138-143.

17. Бутенин Н.В. Рассмотрение «вырожденных» динамических систем с помощью гипотезы «скачка» // ПММ. 1948. - Т. 12. - Вып. 1. - С. 3-22.

18. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская задача о вдавливании жёсткого штампа в идеальное жёсткопластическое полупространство // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. - № 6.

19. Вариационные принципы механики // Сб. статей под ред. Л.С. Полака. М.: Физматгиз. - 1960. - 918с.

20. Вещ В.Л. Динамика машинных агрегатов / Л.: Машиностроение. — 1969.-367с.

21. Вещ В.Л., Кочура А.Е., Мартыненко A.M. Динамические расчёты приводов машин/ JL: Машиностроение. -1971.-351 с.

22. Верховский А.В. Явление предварительного смещения при трогании несмазанных поверхностей с места // Журнал прикл. физики. 1926. —Т. З.-Вып. 3-4.

23. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. Совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение. - 1981. - Т. 4. Вибрационные процессы и машины. / Под ред. Э.Э. Лавендэла. - 1981. — 509с.

24. Виноградов В.Н., Сорокин Г.М., Албагачиев А.Ю. Изнашивание при ударе / М.: Машиностроение. 1982. - 274с.

25. Вулъфсон И.И. Минимизация ускорений на участках кратковременного реверса рабочих органов машин // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2002. - №6. - С. 14-18.

26. Вулъфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин / М.: Машиностроение. 1968. - 248с.

27. Вулъфсон И.И., Преображенская М.В. Уточнённые условия неразрывности контакта в шарнирах рычажного механизма при учёте параметрических импульсов // Изв. АН СССР. — Машиностроение. — 1995.-№. 4.

28. Вулъфсон И.И., Преображенская М.В. Об одном алгоритме построения математических моделей цикловых механических систем // Проблемы машиностроения и надёжности. 2002. - №1. - С. 8-14.

29. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы. / М.: Мир. 1984. — 248с.

30. Галанов Б.А. О приближённом решении некоторых задач упругого контакта двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. - №5. - С. 61-67.

31. Галахов М.А., Бурмистров А.Н. Расчёт подшипниковых узлов / М.: Машиностроение. 1988. - 272с.

32. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости / ГИТТЛ. 1953.-17337. Голъдсмит В. Удар / М.: Стройиздат. 1965.

33. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / М.: Наука. — 1966.-300с.

34. Гарцман С.Д. Анализ упругопластической модели и определение параметров процесса прямого соударения двух твёрдых тел // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2004. - №1. — С. 16-19.

35. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения / М.: Машиностроение. — 1983. — 167с.

36. Голъник Э.Р., Успехов А.А. Итерационное моделирование усталостного изнашивания в пространственных поликонтактных системах упругих деталей произвольной структуры // Изв. вузов. — Машиностроение. —2002.-№7.-С. 3-10.

37. Гончаров А.А., Сипливая М.Б. Теоретическая оценка условий заклинивания клиновых механизмов свободного хода // Изв. АН СССР. — Машиностроение. 1996.

38. Горов Э.А. Некоторые вопросы анализа и синтеза механизмов автоматического оружия / М. 1946. - 268с.

39. Горячева И.Г. Исследования А.Ю. Ишлинского в области трения качения и их развитие // ПММ. 2003. - Т. 67. - Вып. 4. - С. 646-662.

40. Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. О неявных алгоритмах решения задачи Коши для уравнений механических систем // ПММ. —2003.-Т. 67.-Вып. 6.-С. 1051-1066.

41. Доброславский С.В., Нагаев Р.Ф. О корректности идеализации в виде абсолютно жёстких связей // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - №4. - С. 37-43.

42. Зайцев В.И., Щавелин В.М. Метод решения контактных задач с учётом реальных свойств шероховатых поверхностей взаимодействующих тел // Изв. АН СССР. МТТ. - 1998. - №1. - С. 88-94.

43. Захаров Ю.А., Плотников П.К. Модель силы трения и её приложение к решению некоторых задач механики // Изв. АН СССР. — МТТ. — 1992. — №6.-С. 56-65.

44. Зеленцов В.Б. О нестационарных динамических контактных задачах теории упругости с изменяющейся шириной зоны контакта // ПММ. — 2004. Т. 68. - Вып. 1. - С. 119-134.

45. Зеленцов В.Б., Филиппова JI.M. Контактные задачи для предварительно напряжённых полуплоскости и полосы // Изв. АН СССР. Серия: Механика твёрдого тела. — 1989. № 2.

46. Зоммерфелъд А. Механика / М.: Гос. изд. иностранной литературы. — 1947.-392с.

47. Иванов А.П. Об особенностях динамики систем с неидеальными связями // ПММ. 2003. - Т. 67. - Вып. 2. - С. 212-221.

48. Исаев К.В. Активная идентификация дифференциальных моделей вязкоупругого поведения материалов // Изв. АН СССР. МТТ. — 1991. — № 6.

49. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности / М,: Физматлит. 2003. - 701с.

50. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусъко Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. — № 4. -С. 17-28.

51. Канунников А.В. Модель динамики плоских механических систем на основе дискретных контактных моделей // В сб. докладов VII Всероссийской НТК «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов». — Выпуск 7. — Часть 3. — 2004. — С. 142-148.

52. Канунников А.В. Моделирование механических систем с локально упругими связями // В сб. докладов Региональной НТК «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов». — Тула. — 2005. — С. 5055.

53. Килъчевский Н.А. Теория соударения твёрдых тел / Киев: Наукова думка. — 1969.

54. Киргетов В.И. Аналитический метод механики в теории абсолютно упругого удара материальных систем // ПММ. 1961. — Т. 25. — Вып. 2. С. 407-412.

55. Киргетов В.И. К теории абсолютно упругого удара материальных систем // ПММ. 1961. - Т. 25. - Вып. 2. - С. 3-8.

56. Клепфиш Б.Р. Анализ чувствительности механических систем с неудерживающими связями // ПММ. 2003. - Т. 67. - Вып. 5. — С. 713721.

57. Кожевников С.Н., Ленский А.Н. Динамическое исследование механизмов с зазорами в кинематических парах. // В кн. «Динамика машин» / М.: Машгиз. 1960. - С. 85-100.

58. Козлов В.В. Об ударе с трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1989. - № 6. - С. 54-60.

59. Костерин Ю.И. Механические автоколебания при сухом трении / М.: Изд. Академии наук СССР. 1960. - 75с.

60. Крагельский КВ., Добычин М.И., Комбалов B.C. Основы расчётов на трение и износ / М.: Машиностроение. 1977. - 526с.

61. Крагельский КВ. О трении несмазанных поверхностей. // Труды Первой всесоюзной конференции по трению и износу в машинах, Т. 1, 1939.

62. Кузьмин Д.В. Структура алгоритмического обеспечения автоматизированной системы вывода уравнений динамики методом связанных графов // Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 2002. -№3.- С. 86-92.

63. Куприянов А.Н. Основы расчёта и проектирования полуавтоматических затворов артиллерийских орудий / М.: Гос. изд. обор. пром. — 1951. — 133с.

64. Лавендэл Э.Э. Синтез оптимальных вибромашин / Рига: Знание. — 1970. 252с.

65. Ленский А.Н. Электронное моделирование электромеханических систем с учётом упругости звеньев и зазоров в соединениях // Изв. Вузов. Электромеханика. — 1960. - №9.

66. Ле Суань Ань. О парадоксах Пэнлеве в системах с кулоновым трением // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1988. - № 425.

67. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика несвободной системы и теория колебаний / М. Л.: ГТТИ. — 1934. — 624с.

68. Лурье А.И. Аналитическая механика / М.: Физматгиз. 1961. — 824с.

69. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / М.: Наука. — 1980. — 512с.

70. Лурье А.И. Теория упругости / М.: Наука. — 1970. — 940с.

71. Маслов Г.В. Компьютерный метод построения дискретных динамических моделей машин одного класса // Вестник машиностроения. 1999. - № 8.

72. Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями / М.: Наука. 1985. - 200с.

73. Никольский В.В. Смирнов Ю.П. О формах уравнений динамики систем с сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - № 1. - С. 15-22.

74. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. Динамика систем с многовариантными моделями взаимодействия трущихся твёрдых тел // Изв. АН СССР. — МТТ. -1990.-№2. -С. 51-59.

75. Никольский В.В. Математическая модель механизма циклической автоматики // В кн. «Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов» / Тула: ТулПИ. — 1985. — С. 42-47.

76. Носко И.Т. Расчёт типовых трибосопряжений импульсных тепловых машин в условиях абразивного изнашивания // Машиностроитель. -2000.-№11.-С. 26-28.

77. Остроменский ИИ. К теории экспериментальных методов определения энергетических потерь в передаточных механизмах // Машиноведение. 1984. - №6. - С. 38-41.

78. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / М.: Наука. Физматгиз. - 1980. - 270с.

79. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара / М.: Наука. -1977.-232с.

80. Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н., Матюхин Ю.И., Хавин Г.Л. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / Киев: Наукова думка. 1989. - 232с.

81. Подчуфаров Б.М. Динамика автоматического оружия при стрельбе очередью. 1971.

82. Пожарицкий Г.К. Исчезающие скольжения механических систем с сухим трением // ПММ. 1965. - Т. 29. - Вып. 3. - С. 558-563.

83. Пожарицкий Г.К. Об уравнениях движения для систем с неидеальными связями // ПММ. 1960. - Т. 24. - Вып. 3. - С. 458-462.

84. Пожарицкий Г.К. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим трением // ПММ. 1961. - Т. 25. - Вып. 3. - С. 391-406.

85. Потапенко Е.М. Устойчивость движения и управляемость сложных механических систем с упругими концевыми звеньями // Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - № 3. - С.,22-29.

86. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / М.: Наука. 1967. - 444с.

87. Проектирование ракетных и ствольных систем // Под ред. Б.В. Орлова. / М.: Машиностроение. 1974. — 818с.

88. Пугачёв B.C. Основы динамики автоматического оружия // Труды ВВИА/М.: 1946.-Вып. 156.-110 с.

89. Пэнлеве П. Лекции о трении / М.: Гостехиздат. — 1954. — 316с.

90. Рагульскене B.JI. Введение в теорию механического удара / М.: Наука. 1977.-223с.

91. Румянцев В.В. О движении некоторых систем с неидеальными связями // Вестн. МГУ. 1961. - №5. - С. 67-76.

92. Румянцев В.В. О системах с трением // ПММ. 1961. - Т. 25. -Вып. 6. - С. 969-977.

93. Савицкий В.Я. Моделирование износа узлов трения импульсных тепловых машин // Машиностроитель. 1999. -№2-3. - С. 16-18.

94. Свияженинов Е.Д., Фридман В.М. Спектральный метода решения задачи о колебаниях упруго тела сложной геометрической формы сиспользованием фиктивных областей // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. -№ 5. - С.74-80.

95. Сергеев В.К, Юдин КМ. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами / М.: Наука. 1974. - 111с.

96. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. / М.: Наука. 1964. - 205с.

97. Смирнов Ю.П. Уравнения движения систем с неидеальными удерживающими связями // Изв. АН СССР. МТТ. - 1983. - № 2. - С. 63-71.

98. Смирнов Ю.П. О движении системы, стеснённой удерживающими связями с трением // Прикладная механика. — 1987. — Т. 23.-№4.-С. 80-86.

99. Смирнов Ю.П. Уравнения удара систем с трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1985. - № 3. - С. 36-44.

100. Смолянинов В.В. Компьютеризированный расчёт контактных напряжений // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2002. — №6. - С. 76-81.

101. Солдатенков И.А. Об особенности скорости изменения области контакта при изнашивании контактирующих тел // Изв. АН СССР. — МТТ. 1990. -№ 4. - С. 877-884.

102. Солдатенков И.А. К решению контактной задачи теории упругости для толстой полосы со сцеплением // ПММ. 2003. - Т. 67. — Вып. 5.-С. 877-884.

103. Спектор А.А. Динамика движения упругого тела по основанию и режимы их контактного взаимодействия // Изв. АН СССР. — МТТ. — 1991.-№ 4.-С. 133-140.

104. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / М.: Физматгиз. 1959.-440с.

105. Третьяков Е.М. Предельные напряжения и контактная прочность пластически однородных твёрдых тел // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2002. - №6. — С. 34-41.

106. Третьяков Е.М. Влияние контактного трения на предельные напряжения и контактную прочность твёрдых тел // Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 2004. №1. - С. 44-49.

107. Четаев Н.Г. О некоторых связях с трением // ПММ. 1960. — Т. 24.-Вып. 1.-С. 35-38.

108. Улитко А.Ф. Пространственное движение упругих тел // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. - № 6. - С. 55-66.

109. Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях, возникающих в динамике систем с сухим трением // Соросовский образовательный журнал. 1999. - №8. - С. 122-127.

110. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. / М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001.

111. Фуфаев Н.А. Динамика системы в примере Пэнлеве-Клейна. О парадоксах Пэнлеве // Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - № 4. - С.48-53.

112. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи / М.: Мир. 1979.

113. Шевченко К.Н. Основы математических методов в теории обработки металлов давлением. Учебн. пособие для металлургических специальностей вузов / М.: Высшая школа. 1970. — 351с.

114. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости / М—JL: Гостехиздат. -1949.-182136. Элъясберг М.Е. Расчёт механизмов подачи металлорежущих станков на плавность и чувствительность перемещения // Станки и инструменты. 1951. — № 11—12.

115. Ibid. ANSYS Structural analysis guide.

116. Ibid. ANSYS Inc. Theory Reference.

117. Appel P. Extension des equations de Lagrange au cas du frottement de glissement // C.R. Acad. Sci. Paris. 1892.

118. Do Shan. A Gauss principle and the equations of motion of a constrained mechanical system // Rev. Roum. Sci. Techn. Mech. Appl. — 1980.-T. 25.-№4.

119. Prandtl L. Ein Gedaankenmodell zur kinetischen Theoiy der fister Korper, Zeitschrift angewandten Mathematik und Mechanic, 1928, *8.

120. QI Zhao-hui, Alexander P. Seyranian. On the stability boundary of Hamiltonian systems // Applied Mathematics and Mechanics. English Edition, Vol. 23, № 2, Feb. 2002.