Динамика заряженных частиц в токовых слоях бесстолкновительной плазмы магнитосферы Земли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Оводков, Денис Александрович

• Оводков, Денис Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Оводков, Денис Александрович

1.1 Введение

1.2 Основные свойства тонких токовых слоев.

1.3 Математические модели магнитосферного хвоста

1.4 Двойные токовые слои

1.5 Динамика заряженных частиц в TTC. Общие сведения

1.G Основные тины траекторий заряженных частиц в TTC . 15 1.7 Выводы.

2 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В РАСЩЕПЛЕННЫХ ТОКОВЫХ СЛОЯХ

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи. Математическая модель

2.3 Общие свойства движения заряженных частиц в магнитном поле.

2.4 Скачок адиабатического инварианта.

2.5 Численное моделирование.

2.G Результаты численного моделирования

2.7 Выводы.

3 ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С ОБЛАСТЬЮ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОРЯДКА ИОННОГО ЛАРМОРОВСКОГО РАДИУСА

3.1 Введение.

3.2 Вычисление квазиадиабатического инварианта.

3.3 Скачки адиабатического инварианта.

3.4 Сечения Пуанкаре.G

3.5 Эффективное значение параметра адиабатичности .G

3.6 Выводы.

4 ДИНАМИКА ИОНОВ В МАГНИТОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С ОБЛАСТЬЮ НЕОДНОРОДНОСТИ МНОГО БОЛЬШЕ

ЛАРМОРОВСКИХ РАДИУСОВ ВРАЩЕНИЯ

4.1 Введение

4.2 Вывод формулы скачка магнитного момента в двойных токовых слоях.

4.3 Механизм рассеивания магнитного момента в двойных токовых слоях.

4.4 Условия захвата заряженных частиц.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика заряженных частиц в токовых слоях бесстолкновительной плазмы магнитосферы Земли»

Интенсивное развитие спутниковых исследований [1-5] в последние десятилетия способствовало всестороннему изучению структуры и динамики земной магнитосферы, которая подвергается непрерывному воздействию со стороны обтекающего ее солнечного ветра. Ярким проявлением такого солнечно-земного взаимодействия являются магнитосферные суббури -глобальные возмущения магнитного поля Земли, в процессе которых вытянутая на ночной стороне часть магнитосферы, или магнитосферный хвост, вытягивается, а разделяющий доли токовый слой переходит из сравнительно толстой конфигурации в "топкую", масштаб которой сопоставим с размерами ионных ларморовских радиусов.

Чтобы понять роль тонких токовых слоев (TTC) в магнитосфере Земли, кратко изложим общепринятые представления [6-8] об основной цепочке плазменных процессов, приводящих к образованию и эволюции TTC в магнитосфере. Солнечный ветер как бы "обдувает" магнитосферу Земли потоками горячей плазмы с вмороженным межпланетным магнитным нолем (ММП), имеющим секторную структуру. По этой причине направление налетающего на магнитосферу магнитного поля может достаточно резко меняться [9,10]. Когда приходит ММП южного направления, создаются благоприятные условия для активного иересоедипепия магнитных силовых линий солнечного ветра и магнитосферы Земли в подсолнечной точке (рис. 1). Пересоединившиеся силовые линии уносятся течением солнечного ветра "вниз" по потоку в область магнитосферного хвоста. Увеличение магнитного потока приводит к дополнительному вытягиванию хвоста в антисолиечном направлении. При этом на ближнем к Земле крае токового слоя, благодаря индукционному электрическому полю Еу ~ ОЛцВ/тп, формируется очень тонкий токовый слой толщиной от 250 до 1500 км [1]. В спокойном состоянии толщина токового слоя в этой области примерно в 10 раз больше, т.е. порядка 10000 км. Образование TTC происходит, глав

Ударная 4 ^ волна

Рис. 1: Схема магнитосферы Земли. Обозначены основные связанные с ней плазменные области: солнечный ветер и головная ударная волна, магнитослой. высокоширотные области или 'доли'' хвоста , в центре плазменного слоя находится более тонкий нейтральный слой-область, внутри которой происходит смена направлений магнитного моля. ным образом, в фазе подготовки суббури, которая может продолжаться от 30 мин до 2 часов, при этом TTC играет роль "резервуара", в котором в виде свободной энергии запасается энергия солнечного ветра. Таким образом, TTC проявляет свойство метастабильности - он может достаточно длительное время (на масштабе подготовительной фазы суббури) сохранять устойчивость, но потом в нем могут развиться неустойчивости, и он разрушается. Дальнейшее развитие суббури достаточно хорошо изучено [11,12]- запасенная в TTC энергия высвобождается в виде кинетической энергии потоков плазмы и электромагнитного излучения; потоки плазмы по присоединившимся силовым линиям южной и северной долей "стекают" в ионосферу, перераспределяя ионосферную систему токов и полей; процессы торможения электронов в области авроральных овалов вызывают полярные сияния, в то же время в районе - линии в хвосте формируется гигантский плазмоид (протяженностью от 10 до нескольких десятков Я^), который удаляется от Земли в хвост магнитосферы |13 17|. Все вышеизложенное свидетельствует о том, что TTC играют очень важную, может быть, ключевую роль в подготовке суббури и протекании геомагнитного возмущения. Однако, экспериментальное изучение TTC началось гораздо позже других магнитосферных структур по причине малого масштаба и невозможности проводить спутниковые измерения с нужным разрешением. Сегодня существует много нерешенных вопросов, связанных с внутренней структурой TTC, их устойчивостью и эволюцией. Ниже будут изложены основные представления о том, как устроены TTC, как они эволюционируют, а также очерчен круг проблем на тему, что известно, а что пока неизвестно о тонких токовых структурах.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Оводков, Денис Александрович

4.5 Выводы

Построена аналитическая модель скачков магнитных моментов заряженных частиц при прохождении ими токового слоя. С помощью аналитической модели изучены качественные характеристики рассеяния пзаряжен-ных частиц в диапазоне изменения параметра 0.5 < Ьпа < 3. Получено алгебраическое выражение, позволяющее определять положение центров рассеяния магнитных моментов в произвольной конфигурации магнитного поля. Получена аналитическая формула для скачка магнитного момента в произвольной конфигурации магнитного поля, отвечающей требованиям модели 97. Полученные результаты проверены с помощью численной модели, в которой заряженные частицы трассировались в заданных магнитных полях, и было получено удовлетворительное согласование между ними. Основными управляющими параметрами численной модели является расстояние между максимумами плотности тока Хс и параметры Ьп,о-[е^,(ТпдМ, характеризующие соотношение между масштабом неоднородности магнитного поля и ларморовским радиусом частиц. Полученные результаты могут быть полезными для объяснения свойств продольных потоков частиц - бимлетов, летящих от нейтрального слоя с бифурциро-ванным током.

5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы, полученные в работе.

1. Предложена модель взаимодействия заряженных частиц (ионов) с ТС, позволяющая с единых позиций рассматривать динамику заряженных частиц в токовых слоях сложной конфигурации.

2. Создан и реализован в виде комплекса программ алгоритм расчета траекторий частиц в магнитном поле, характерном для хвоста магнитосферы Земли.

3. В численном эксперименте получены характеристики коллективной динамики частиц в широком диапазоне основных физических параметров. Оценено среднее время жизни частиц в слое, коэффициент прохождения слоя, рассеяние магнитного момента. Проведено численное моделирование динамики частиц с использованием сечений Пуанкаре.

4. Разработан аналитический аппарат, позволяющий определять положения центров рассеяния магнитных моментов в бифурцированных токовых слоях произвольной конфигурации. Впервые получены аналитические выражения для скачков магнитных моментов ионов и адиабатических инвариантов движения в бифурцированных ТС.

5. Предложен эффективный способ определения параметра адиабатич-ности в полях с областью неоднородности порядка ларморовского радиуса частиц.

6. Представленные в диссертации аналитические оценки позволяют получать качественную картину динамики частиц без ресурсоёмких численных экспериментов на ЭВМ. Полученные формулы могут быть использованы в теоретических исследованиях для построения более общих самосогласованных моделей магнитосферного хвоста Земли, а также для анализа данных, полученных со спутников.

Автор выражает глубокую признательность д.ф.-м.н. Попову Виктору Юрьевичу за ценное научное руководство и к.ф.-м.н. Маловой Хельми Витальевне - за поддержку и внимание к работе. Автор приносит свою благодарность член-корреспонденту РАН, директору Института космических исследований РАН Зеленому Льву Матвеевичу за содействие в его научной деятельности. п

Рис. 55: Среднее "время жизни" частиц п слое.

Рис. 56: Отношение усредненного по всем начальным значениям фазы и питч угла зависимость отношения магнитного момента на выходе из слоя к моменту на входе.

Рис. 57: Процент прохождения/отражения частиц от плоскости токов слоя.

Слисок работ, опубликованных диссертантом по теме защищаемой диссертации.

1. Оводков Д.А., Попов В.Ю., Малова Х.В. Динамика заряженных частиц в расщепленных тонких токовых слоях // Вести. МГУ. 2006. серия 3, С. 10-13.

2. Delcourt D. C.,Ovodkov D. A., Popov V. Yu., Malova H. V., Zelenyi L. M.// Do phase portraits resist current sheet bifurcation? Advances in Space Research.- 2006,- Vol.37.- Pp. 547-551.

3. The nonlinear particle dynamics in double-humped thin current sheets / Zelenyi L., Malova H., Delcourt D., Popov V., Ovodkov D., Sharrna A.// St. Petersburg, Russia, Book of abstracts. 2004. May 24-28. P. 168.

4. The nonlinear particle dynamics in double-humped thin current sheets/ Ovodkov D., Popov V., Delcourt D., Malova H.// Proceedings of the 7th International Symposium for Space Simulations (ISSS-7) /Ed. Kyoto University, Japan. 2005. March 26-31. PP. 295-296.

5. Influence of nonlinear dynamics of charged particles on fine structure and dynamics of thin current sheets in the Earth's magnetotail / Zelenyi L., Malova H., Popov V., Ovodkov D.A. et al.// Geophysical Research Abstracts Vienne, Austria, April 24-29. P.03625.

6. Malova H. V., Ovodkov D. A., Zelenyi L. M. On the quasi-adiabatic motion of charged particles in double-humped current sheets//Tsyndao, China, Book of Abstracts/ Russian-Chinese Conference on Investigations of Space Plasma. 2005.0ctober. P.47.

7. Ovodkov D. A., Malova H. V., Popov V. Yu. Charged particle dynamics in double-humped current sheets//Book of Abstracts/St. Petersburg, Russia, Proc. 6-th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". 2005. May 23-27. P. 162.

8. Оводков Д.А., Попов В.Ю., Малова Х.В. Динамика частиц в расщепленных тонких токовых слоях// Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным паукам «Ломоносов-2005», секция «Физика», Физический Факультет МГУ. 2005. С. 95.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Оводков, Денис Александрович, 2007 год

1. Sergeev V. A., Pulkkinen Т. I., Pellinen R. J. Coupled mode scenario for the magnetospheric dynamics // J. Geophys. Res. — 1996.— Vol. 101. — Pp. 13047-13066.

2. Current carriers in the near-earth cross-tail current sheet during substorm growth phase / D. G. Mitchell, G. J. Williams, C. Y. Huang et al. // Geophys. Res. Lett. 1990. - Vol. 17. Pp. 583 -586.

3. Growth phase thinning of the near-earth current sheet during the cdaw-6 substorm / J. Sanny, R. L. McPherron, С. T. Russell et al. //J. Geophys. Res. 1994. - Vol. 99. - P. 5805.

4. Thin current sheets in the magnetotail during substorms: Cdaw 6 revisited / Т. I. Pulkkinen, D. N. Baker, D. G. Mitchell et al. // J. Geophys. Res.- 1994,-Vol. 99.- Pp. 5793-5803.

5. Coupling of inner and midtail processes, in: Substorms-4 / Т. I. Pulkkinen, D. N. Baker, L. L. Cogger et al. // Terra Scientific Publishing Company/Kluwer Academic Publishers. — 1998. — P. 749.

6. Лайопс Л., Уильяме Д. Физика магнитосферы. Количественный подход. 1987.7J Зеленый Л. Динамика плазмы и магнитных полей в хвосте магнитосферы Земли // Итоги науки и техники. — 1986. — Т. 24.

7. Алексеев И., Малова X. Структура плазменного слоя в хвосте магнитосферы // Геомагн. Аэрон. 1990. - Т. 30. С. 407 412.

8. Fairfield D., Ness N. Configuration of geomagnetic tail during substorms // J. Geophys. Res. 1970. - Vol. 75. - Pp. 7032-7047.

9. Lui A. T. Estimation of current changes in the geomagnetic tail assoiated with a substorm // Geophys. Res. lett.— 1978. — Vol. 5. — Pp. 853-856.

10. Fairfield D. H. Magnetotail energy storage and the variability of the magnetotail current sheet, in magnetic reconnection in space and laboratory plasmas // Geophys. Monogr. Ser. — 1984. — Vol. 30. — P. 168.

11. Kaufrnann R. L. Substorm currents: Growth phase and onset // J. Geophys. Res. 1987. - Vol. 92. - P. 7471.

12. McPherron R. L., Nishida A., Russell C. T. Is near-earth current sheet thinning the cause of auroral substorm onset in quantitative modeling of magnetosphere-ionosphere coupling processes // J. Geophys. Res. -1987.-Pp. 252-265.

13. Lui A. T. Y. Inferring global characteristics of current sheet from local measurements // J. Geophys. Res. 1993. - Vol. 98. - Pp. 13423-13427.

14. Growth phase thinning of the near-earth current sheet during the cdaw-6 substorm / R. L. McPherron, C. T. Russell, D. N. Baker et al. // J. Geophys. Res. 1994. - Vol. 99. - P. 5805.

15. Russel C. Correlated interplanetary and magnetospheric observations // D. Reidel Publ.Company. Dordrecht: Holland. — 1974. — Pp. 3-47.

16. Cowley S. W. H. Plazrna populations in a simple open model of magnetosphere // Space Sci. Rev. 1980. - Vol. 26. - Pp. 217-275.

17. Structure of the tail plasma/current sheet at 11 re and its changes in the course of a ubstorm / V. A. Sergeev, D. G. Mitchell, C. T. Russell, D. J. Williams // J. Geophys. Res. 1993. Vol. 98. Pp. 17345 17365.

18. Speiser T. IV. Particle trajectories in model current sheets; 1. analytical solutions I/ J. Geophys. Res. — 1965.

19. Current sheet measurements within a flapping plasma sheet / V. A. Sergeev, V. Angelopoulos, C. Carlson, P. Sutcliffe //J. Geophys. Res. 1998.

20. Structure of plasma sheet in magnetotail: double-peaked electric current sheet / M. Hoshino, A. Nishida, T. Mukai et al. // J. Geophys. Res. ~ 1996.- Vol. 101.- Pp. 24775-24786.

21. Evolution of the thin current sheet in a substorm observed by geotail / Y. Asano, T. Mukai, M. Hoshino et al. // J. Geophys. Res.- 2003. — JA. Vol. 108.

22. Harris E. G. On a plasma sheath separating regions of oppositely directed magnetic fields // Nuovo Chimento.— 1962. —Vol. 23.— Pp. 115-121.

23. Cluster observation of a bifurcated current sheet / A. Runov, R. Nakamura, W. Baumjohann et al. // Geophys. Res. Lett.- 2003.- Vol. 30. Pp. 8.1 -8.4.

24. Current sheet structure near magnetic x-line observed by cluster / A. Runov, R. Nakamura, W. Baumjohann et al. // Geophys. Res. Lett. — 2003.

25. Thin current sheet embedded within a thicker plasma sheet: Self-consistent kinetic theory / M. I. Sitnov, L. M. Zelenyi, H. V. Malova, A. S. Sharma // J. Geophys. Res. 2000. - Vol. 105. - Pp. 13029-13043.

26. Thin and superthin ion current sheets, quasiadiabatic and nonadiabatic models / L. M. Zelenyi, M. I. Sitnov, H. Malova, A. S. Sharma // Nonlinear processes in Geophysics. — 2000. — Vol. 7. — P. 127.

27. Sonnerup D. U. O. Adiabatic particle orbits in a magnetic null sheet // J. Geophys. Res.- 1971.- Vol. 76.- Pp. 8211 8222.

28. Chen J., Palmadesso P. J. Chaos and nonlinear dynamics of single-particle orbits in a inagnetotail-like magnetic field // J. Geophys. Res. — 1986.

29. Structure of non-adiabatic current sheets: Role of the trapped population and phase mixing / H. V. Malova, A. A. Bykov, V. Yu. Popov et al. // Proceedings of International Conference on Substorm-5, St.Petersburg, Russia. 2000. Vol. 101. - Pp. 16-20.

30. Malova H. V., Sitnov M. I. Nonlinear structures, stochasticity and intermittency in the dynamics of charged particles near a magnetic field reversal // Phys. Lett. A. 1989. - Vol. 140. - P. 136.

31. Alexeev I. I. Malova H. V. On the model of current sheet in the magnetosphere tail, taking into account the interaction of transit and traped particles // Advances in Space Research. — 1995.- Vol. 16.— Pp. 205-208.

32. Consequences of magnetotail ion dynamics / M. Ashour-Abdalla, L. M. Zelenyi, V. Peroomian, R. L. Richard //J. Geophys. Res. — 1994. — Vol. 99.-Pp. 14891-14916.

33. Whipple E. C., Northrop Т., Birmingham T. Adiabatic theory in region of strong field gradients // J. Geophys. Res. 1986. - Vol. 91. - Pp. 41494156.

34. Whipple E. C., Rosenberg M., Brittnacher M. Magnetotail acceleration using generalized drift theory: a kinetic merging scenarion // Geophys. Res. lett. — 1990. — Vol. 17,- Pp. 1045-1048.

35. Buchner J., Zelenyi L. M. Regular and chaotic charged particle motion in magnetotaillike field reversals: 1. basic theory of trapped motion // J. Geophys. Res. 1989. - Vol. 94. - Pp. 11821-11842.

36. Cary J., Escande D. F., Tennyson J. Adiabatic invariant change due to separatrix crossing // Phys. Rev. Lett. A. 1986. - Vol. 34. - P. 4256.

37. Тимофеев А. К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения // ЖЭТФ.— 1978.— Т. 75.— С. 1303 1308.

38. Нейшгпадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы // Прикладная Математика и Механика. — 1987. — Т. 51. — С. 750-757.

39. Delcourt D. С., Martin R. F. Application of the centrifugal impulse model to particle motion in the near-earth magnetotail //J. Geophys. Res. — 1994. Vol. 99. - P. 23583.

40. Delcourt D. C., Martin R. F. Pitch angle scattering near energy resonances in the geomagnetic taill //J. Geophys. Res. — 1999.

41. Delcourt D. C., Malova H. V., Zelenyi L. M. Dynamics of charged particles in bifurcated current sheets: the к 1 regime // J. Geophys.Res. — 2004.

42. Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: ФИЗМАТЛИТ.

43. Savenkov В. V., Zelenyi L. М. Application of separatrix crossing theory to nondiffusion model of current sheet resonance // Geophys. Res. Lett. -1996. Vol. 23. P. 3255.

44. Chen J., Mitchell H. G., Palmadesso P. J. Differential memory in the trilinear model magnetotail // J. Geophys. Res. — 1990. — Vol. 95. — Pp. 15141-15156.

45. Chen J., Rexford J., Lee Y. Fractal buondaries in magnettotail particle dynamics // J.Geophys. Res. Lett.- 1990.- Vol. 17. P. 1049.

46. Mapping and energization in the magnetotail. 1. magnetospheric boundaries / R. Kaufmann, D. Larson, P. BeidI, Ch. Lu //J. Geophys. Res. 1993. - Vol. 98. - Pp. 9307-9320.

47. Mapping and energization in the magnetotail. 2. particle acceleration / R. Kaufmann, D. Larson, P. Beidl, Ch. Lu //J. Geophys. Res. — 1993.

48. Chen J. Nonlinear dynamics of charged particles in the magnetotail // J. Geophys. Res. 1992. - Vol. 97.- Pp. 15011-15050.

49. Buchner J., Zelenyi L. M. Deterministic chaos in the dynamics of charged particles near a magnetic field reversal // Plvys. Lett. A. 1986. Vol. 118.-P. 395.

50. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. — М.: Наука, 1970.

51. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.

52. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Наука, 1988.

53. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. 1984.

54. Чириков Б. Динамика частиц в магнитных ловушках // Успехи физики плазмы. — 1984. — Т. 13. — С. 13-37.

55. Чириков Б. В. Взаимодействия нелинейных резоиансов. — Новосибирск, учебное пособие, 1978.

56. Чириков Б. Нелинейный резонанс. — Новосибирск, учебное пособие, 1977.

57. Чириков Б. Резонансные процессы в магнитных ловушках. — Новосибирск, атомная энергия.

58. Стохастизация движения заряженных частиц вблизи токового слоя геомагнитного хвоста / И. Алексеев, X. Гевиксман, А. Кропоткин, М. Ситнов. М.: препринт НИИЯФ МГУ, 1989.

59. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики / Под ред. УРСС. — Москва, 2002.

60. Колмогоров А. Н. О сохранении условно- периодических движенийпри малом изменении функции Гамильтона // Докл. Ан СССР.1954. Т. 98. - С. 527-539.

61. Cowley S. W. Н. A note on the motion of charged particles in one-dimensional magnetic current sheets // Planet. Space. Sci. 1978a. Vol. 26. P. 539.

62. Eastwood J. W. Consistency of fields and particle motion in the 'speiser' model of the current sheet // Planet. Space Sci.— 1972.— Vol. 20.— Pp. 1555-1568.

63. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису // Физика Плазмы. • 1986. Т. 12. С. 992 1001.

64. Сагу J., Skodje R. Phase change between separatrix crossings // Physica. 1989. - Vol. 36. - P. 287.

65. Neishtadt A. I., Vasiliev A. A. Phase change between separatrix crossings in slow-fast hamiltonian systems // Nonlinearity. — 2005. — Vol. 38. -• Pp. 1393-1406.

66. Заславский Г. M. Стохастичность динамических систем. -- М.: Мир, 1984.

67. Заславский Г., Сагдеев Р. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. — 1988.

68. Фихтепголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970.

69. Воднев В., Наумович А., Наумович Н. Основные математические формулы. — Минск, 1988.

70. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. ~ Минск, Высш. шк., 1979.

71. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977.

72. Прудников А., Брычков Ю., Маричев О. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.

73. Савенков Б. В., Зеленый Л. М., ЗогинД. В. Движение частиц в тонких токовых слоях // Физика Плазмы. 1997.

74. Evolution of ion distribution function during the "aging" process of thin current sheets / L. M. Zelenyi, H. V. Malova, V. Yu. Popov et al. // Advances in Space Research. 2003. - Vol. 31. - Pp. 1207-1214.

75. On the nonadiabatic precipitation of ions from the near-earth plasma sheet / D. C. Delcourt, J. A. Sauvaud, R. F. Martin, Т. E. Moore // J.Geophys.Res. 1996. - Vol. 101. Pp. 17409 17418.

76. Howard J. E. Noadiabatic particle motion in cusped magnetic fields // Phys. Fluids. 1971. - Vol. 14. - P. 2378.

77. Оводков Д., Попов В., Малова X. Динамика заряженных частиц в расщепленных тонких токовых слоях // Вести. МГУ. — 200G. — Т. 3. — С. 10-13.

78. Ovodkov D., Popov V., Malova Н. Particle pitch angle diffusion in double-humped thin current sheet 11 Proceedings of 6-th Int. Conf. "Problems of Geocosmos", St. Petersburg, Russia. — 2006.

79. Бородачев JI. В. Неявная аппроксимация уравнения движения дарвинской модели плазмы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1991. Т. 31. — С. 934 -939.

80. Бородачев Л., Мингалев И., Мингалев О. Дрейфовый алгоритм движения частицы в дарвиской модели плазмы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2003. — Т. 43. — С. 467-480.

81. Hastie R., Hobbs G., Taylor J. Nonadiabatic behavior of particles in inhomogeneous magnetic fields // Plazrna Phys. Controlled Nucl. Res. Proc. Int. Conf. 3d. 1968.

82. Birmingham T. J. Pitch angle diffusion in the jovian magnetodisc // J. Geophys. Res. 1984. - Vol. 29. - P. 2699.

83. Northrop T. The adiabatic motion of charged particle // Wiley Interscience, New York. — 1963.

84. Gray P., Lee L. Particle pitch angle diffusion due to nonadiabatic effects in the plasma sheet // J. Geophys. Res. 1982. - Vol. 87. - Pp. 7445 7452.