Диофантовы неравенства с простыми числами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Науменко Антон Павлович

• Науменко Антон Павлович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Науменко Антон Павлович

1.1 Вспомогательные леммы

1.2 Основные леммы

Глава 2. О приближении действительных чисел суммами квадратов простых чисел

2.1 Доказательство теоремы

2.2 Доказательство теорем 2 и

Заключение

Список литературы

69

Обозначения

[х] - целая часть числа х;

{х} - дробная часть числа х;

(а, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь;

ф(п) = к-(кп}=11 - функция Эйлера - число натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п;

Тк (п) - число представлений натурального числа п в виде произведения к сомножителей;

т(п) = т2(п) - число различных делителей натурального числа п;

запись 1 | п означает, что п кратно 1;

д(п) - функция Мебиуса, которая равна единице при п =1, равна нулю, если р2|п и равна (—1)к, если п равно произведению к различных простых сомножителей;

Л(п) - функция Мангольдта, которая равна 1пр при п = рк и равна нулю, если п = рк;

п(х) - число простых чисел, не превосходящих х;

(х) - функция Чебышева - сумма значений функции п(х) по п, не превосходящим х;

((й) - дзета-функция Римана;

(к, Л) - экспоненциальная пара, для которой справедливо 0 <к < 2 < Л< 1;

запись А ^ В означает, что существует постоянная с такая, что А < сВ; запись А х В означает, что существуют постоянные с1, с2 такие, что с1В < А < с2В;

7 = 0, 57... - постоянная Эйлера;

е, £\ - произвольные положительные числа; С\, с2, с3,... - положительные постоянные; |§| - мощность множества §;

ехр() - экспоненциальная функция от аргумента, стоящего в скобках; Ск - число сочетаний из п по к.

п

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диофантовы неравенства с простыми числами»

Актуальность темы

Диссертация относится к области аналитической теории чисел. Работа посвящена изучению диофантовых неравенств, более точно вопросам разрешимости в простых числах нелинейных (в первую очередь - квадратичных) диофантовых неравенств.

Автором получен ряд результатов о близости суммы двух, трех и четырех квадратов к любому достаточно большому положительному действительному числу.

Пусть N(а, T) - число нетривиальных нулей Z(s) в прямоугольнике 1 < а < Res < 1, 0 < Ims < T.

Оценки вида

N (а, T) < T2Л(1-а) lnci T, c i > 1 (1)

называются плотностными теоремами.

Наилучшим современным значением Л на всем промежутке 1 < а < 1 является Л = 5 (см. [1]). Заметим, что вышел препринт J. Maynard и L. Guth, в котором Л = Ц (см. [2]). Константа c1 играет меньшую роль. В работе [3] доказано, что c1 < 18.2.

Риман Б. в работе "О числе простых чисел, не превышающих данной величины" [4] обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x, выражается через сумму по нетривиальным нулям Z(s). Такого рода представления называются явными формулами. Одной из самых известных явных формул является утверждение:

. О \

xp ^ I x ln x \

х) = ^Л(п) = х - ^ — + О т

п<х \1шр\<Т Р V /

где 2 <Т < х, р = в + ¿7 - нули ( (й) в критической полосе.

В сороковых годах двадцатого века Ю.В. Линник [5], [6] разработал новую технику решения задач с простыми числами, основанную на явных формулах и плотностных теоремах. Эта техника получила название плотностной.

В монографии Воронина С.М. и Карацубы А.А.[7] содержится следующая теорема, доказанная на основе плотностной техники: неравенство

|р - N|< Н (2)

разрешимо в простых числах при H > N1-(2Л) exp(1n0-8 N) для любого достаточно большого N, где Л - константа из плотностной теоремы (1).

В 2006 году в работе [8] Гирько В.В. и Гриценко С.А. при помощи плотностной техники доказали следующую теорему:

теорема а. Пусть Л - константа из плотностной теоремы (1). Если H > N1-(2Л) 1 exp(1n0-8 N), то неравенство

|p2 + р2 - n | < н,

разрешимо в простых числах p1 и p2.

Для числа решений данного неравенства справедлива оценка

1 (N,H) >> inN.

В 2012 году в работе [9] Гриценко С.А. и Ча Н.Т. при помощи плотностной техники получили следующие теоремы.

Теорема b. Если H > \/Nexp(- 1п°л N), то неравенство

|р2 + р2 - N | < н,

разрешимо в простых числах p1 и p2.

теорема c. Пусть Л - константа из плотностной теоремы (1). Если H > N(1-(2Л)-1)2 exp(1n0 8 N) = N0-3402- exp(1n0-8 N), то неравенство

|p2+р2+р2 - n | < H,

разрешимо в простых числах p1, p2 и p3.

замечание 1. В Теореме B параметр H можно выбрать меньше VN, тогда как разрешимость (2) при H = л/N не следует даже из гипотезы Римана.

замечание 2. Рассмотрена задача о разрешимости диофантова уравнения p2 + p2 + p2 = n для почти всех натуральных n < N таких, что n = 3 (mod 24) и 5 { n. В частности, Хуа Ло-Кенг [10] показал, что мощность исключительного множества E3(N) оценивается как E3(N) < N 1n-c2 N для некоторой постоянной c2. Оценкой мощности исключительного множества занимались В. Шварц, Р. Вули, Г. Харман, А. Кумчев, Д. Толев и другие

авторы (обзор полученных результатов см., например, в [11]). В [12] для любого N > N0(e) получена следующая оценка:

Ез (N) << N27/32+

Аналогичная задача рассмотрена для диофантова неравенства Pi + р2 + Р2 + Р2 = n при n < N, n = 4 (mod 24). Для мощности исключительного множества E4(N) при N > N0(e) получена [13] следующая оценка:

Е(N) < Nп/32+е.

Цели и задачи диссертации

• уточнение нижних оценок параметра H, данных в Теоремах B, C;

• получение нижней оценки параметра H, при которой диофантово неравенство |p2 + р2 + p3 + p| — N| < H, разрешимо в простых числах pi, p2, Р3, Р4-

Положения, выносимые на защиту

1. Если H = N64—зло +е = N0,481+e диофантово неравенство

1р2+р2 — n | < h,

разрешимо в простых числах pi, p2 для любого N > No (г), что уточняет результат Теоремы В.

2. Если H = N12•(64—з°о)+е = n0.2806...+£ диофантово неравенство

1р2 + р2 + р2 — n | < н,

разрешимо в простых числах pi, p2, p3 для любого N > No (г), что уточняет результат Теоремы С.

3. Если H = N144•(64—)+е = N0.i636...+e диофантово неравенство

|Р2 + р2 + Р2 + р4 — N | < H,

разрешимо в простых числах pi, p2, p3, p4 для любого N > N0(e).

Объект и предмет исследования

Объект исследования — диофантовы неравенства.

Предмет исследования — нелинейные диофантовы неравенства с простыми числами.

Научная новизна

Полученные в диссертации результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.

Основным из них является доказательство разрешимости в простых числах р1, р2 диофантова неравенства

1р2 + р2 - N | < н,

где Н = N64- зоо +е для любого N > N0(5).

При этом для числа решений J(N, Н) данного диофантова неравенства справедлива оценка

;(N,н)» н^

^ 1п N'

Практическая и теоретическая ценность

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных разрешимости диофантовых неравенств в простых числах и вопросам распределения простых чисел на коротких промежутках.

Степень достоверности

Достоверность результатов автора диссертации подтверждена строгими математическими доказательствами. Научные результаты автора опубликованы в открытой печати в рецензируемых изданиях и прошли апробацию на международных конференциях и научных семинарах.

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Результаты других авторов, используемые в диссертации, отмечены соответствующими ссылками.

Методы исследования

Работа основана на плотностной технике Ю.В. Линника и применении результатов о числе нулей дзета-функции Римана, реальная часть которых близка к единице, а также некоторых уточнениях указанных результатов за счет использования метода экпоненциальных пар.

Апробация результатов

Основные результаты работы докладывались:

• на XV Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия. Современные проблемы и приложения" посвященной столетию со дня рождения Н.М. Коробова, Тула, 28-31 мая 2018 г.;

• на XVI Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия. Современные проблемы, приложения и проблемы истории" посвященной 80-летию со дня рождения Мишеля Деза, Тула, 13-18 мая 2019 г.;

• на специальном семинаре "Аналитическая теория чисел" механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (неоднократно, с 2017 по 2025 гг.);

• на специальном семинаре "Современные проблемы теории чисел" МИАН им. В.А. Стеклова в 2025 г.

Материалы докладов кратко отражены в тезисах

• А.П. Науменко, О нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами// Труды XV Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия. Современные проблемы и приложения" , Тула, 2018 г. С. 239-241;

• А.П. Науменко, Об одном классе нелинейных диофантовых неравенств с простыми числами// Труды XVI Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия. Современные проблемы, приложения и проблемы истории" , Тула, 2019 г. С. 166-168.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 3 печатных работах, из них 3 работы в научных изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности 1.1.5. Математическая логика, алгебра, теория чисел и дискретная математика и индексируемых в международных базах Web of Science, Scopus, RSCI и РИНЦ.

Личный вклад автора

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Основные результаты, представленные в диссертации, получены автором лично.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 71 страница. Список литературы содержит 24 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы работы, дается краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой диссертации, формулируются основные результаты диссертации и дается краткое описание методов их получения.

Первая глава диссертации содержит ряд вспомогательных лемм, известных в литературе, а также основные леммы 16 - 33.

Вторая глава состоит из 2 параграфов.

Основными результатами второй главы являются следующие теоремы.

31 1

теорема 1. Если H > N31 -300 +£, то неравенство

+ p2 - N | < H,

разрешимо в простых числах p и p2 для любого N > N0(e).

Теорема 2. Если Н > N^^ 34 300 )+е = №'2806^+е, то неравенство

|р2 + р2 + р2 - N | < н,

разрешимо в простых числах р1; р2 и р3 Сля любого N > N0(5).

49 ( 31__!_

> N 144л 64 300= N°-1бзб"-+й, то неравенство

Теорема 3. Если Н > N044•(И-ш)+е = №Л636-+£,

|р? + р2 + р2 + р4 - N | < н,

разрешимо в простых числах р1; р2, р3 и р4 Сля любого N > N0(5).

Доказательство теоремы 1 составляет содержание второго параграфа второй главы.

Опишем основные этапы доказательства теоремы 1.

Без ограничения общности считаем, что Рассмотрим сумму:

$ = Е Е Л(k),

Ж-Ж!<Р2<Ж-Ж! ^-р2-Жк<^^-р2+Н

где N1 = N60+е°, 51 = 51 (5) > 0.

При суммировании по к учитываются не только простые числа д, но и степени простых чисел дг при натуральных г > 1. Вклад указанных слагаемых в $ оценивается как

Н#!/41п2 N

<< —1Т=—. (3)

Далее имеем N - р2 х N1. Воспользуемся для внутренней суммы явной формулой (лемма 1):

$ = Е р^Гя - а/N - р2 - н) -

N-2Ж1<р2<Ж

N-2Ж!<р2<Ж-жД |7|<^\/Ж -р2-Н V Т

2 N

Параметр Т выбираем с таким расчетом, чтобы остаток явной формулы был меньше по порядку, чем

а/N - р2 + Н - VхN - р2 - Н.

Имеем

т=

N1 1п3N

н .

(4)

Рассмотрим предполагаемый главный член:

Е р2+Н - а/N - р2 - Н) .

N-2Ж1<р2<Ж-N1

Согласно лемме 6 при N1 > N8о +£1 для соответствующим образом подобранного е1 отрезок [^/N - 2N1 ; N1 ] содержит простые числа, причем их количество Ж1 лт.

уЛ 1п N

Вклад каждого слагаемого по порядку равен . Таким образом, предполагаемый главный член имеет порядок

>

Н ГЖ

^ 1п N

Отметим, что вклад (3) по порядку меньше (5). Далее займемся оценкой остатка:

(5)

ж =

N-2Л1<р2<Л-Л1

V Г хр-1^х

\7\<Т^Л -Р2-Я

Сделаем внешнее суммирование сплошным:

Е

N-2^<п2<Л-N1

Е

\7\<Т'

^ГЛ-п+Я

х

ГЛ-п2-Я

Разобьем сумму по нулям дзета-функции Римана в определении Ж на

две: в первую попадают нули р = в + ¿7, 1 > в >

45869 48270

= 0.95025..., а во

вторую - р = в + ¿7, 4И > в > 2. Имеем (см. лемму 18)

Ж =

Е

N -2Л;Кп2<Л - N

Е

^45869 48270

Ы<т

^ГЛ-п+Я

х

п2-Я

1

<

« „ N(<х,Т).

л^ [ 45869 .1]

V ± ' [ 48270 .1]

Оценим

При

а£

max N 2 N(a,T).

[45869 .1] L48270.1]

1 - 6(T) <а < 1, 6(T) =

C2

1п2/3 |Т|(1п1п |Т|)1/3' где с2 - константа из леммы 3, получим N (а, Т) = 0.

На промежутке [1 - 10-8; 1 - £(Т)] будем использовать оценку (63) из леммы 27.

Так как при H > N64 з0о +£ выполнены соотношения N1 > N0-75 > T

и

1п 3 Т » 1п 3 N » 1п 3 Т, достаточно показать

а — 1 , ч3/2 761п 1п N

— +1600<1 - а)3/2 + <

Последнее следует из того, что при достаточно большом N справедлива цепочка неравенств

3

3

1- а

>

1

>

1

>

152 ln ln N

1n2/3 T (ln ln T)1/3 " ln2/3 N (ln ln N)1/3 3ln N

и того, что при а > 1 - 10 8 выполняется неравенство

1 - а

>

3200(1 - а)3/2.

На промежутке [4И60;1 - 10 8) воспользуемся оценкой (65).

1351

31 1 1351 _£

При H > Nй -зоо +£ имеем T ^ N3660 . Тогда окончательно получаем

ст-1

max N 2 N (а, T) < ln-3 N.

^[45869.1] afc[. 48270 .1]

Далее заметим, что при нашем выборе параметров N1 и H справедливо

N - (n + 1)2 + H < N - n2 - H.

Так как подынтегральная функция неотрицательна, применяя неравенство Коши, имеем

Wo2 =

/

Е

N-2N1<n2<N-N1

V

Е

VN-n2+H

X

p-1dx

в< 45869 2 <e< 48270

Ы<Т

VN-n2-H

\

<

/

2

'2ГЛТ

<

н

Г^ ,/глг/2

Е

х

р-1

Д< 45869 2 <в< 48270

\7\<ТТ

¿х.

Используя леммы 2 и 20, для Ж2 получим:

НУ^! 1п2 N д ^ /N(а,Т ж2 С-=- тах N 2 ' '

45869 1

_ [ 1.45869 ) 2 . 48270 )

Н

Далее оценим

тах

_ [ 1.45869 ) 2 . 48270 )

(а,Т

а,

н

При нашем выборе Н справедлива оценка

V < ^366° Н

На промежутке

Г15958 . 45869 \ [16825' 48270/

воспользуемся оценкой (66) при к = 5. Имеем

Н < ^ ,

где (к, Л) - произвольная экспоненциальная пара.

Разобьем [ЦЩ; 4ЦЦ) на промежутки ¿ = 1, 2, 3, выбирая на каждом из них экспоненциальную пару (к*, Л*) так, чтобы были выполнены условия К + Л* - 11! + 93! (1 - а) < 0 и > а для всех а е Зг.

На промежутке [30; ЦЩ) достаточно последовательно воспользоваться оценками (36), (37), (38).

Наконец, на промежутке ; 59) будем использовать плотностную теорему Хаксли (1).

Содержание второго параграфа второй главы составляют доказательства теорем 2 и 3.

Для доказательства теоремы 2 рассмотрим

^ = Е Е _Е_л(п),

Л-2л1<р2<л-Л1 Л-р1-2л2<р2<л-р2-л2 ул-р2-р2-Я<п<уN-р2-р2 +я

Г31 1

где N2 = N64 300 +е, N1 = N80 +е и в качестве £ выбрано наибольшее из значений, которые получены из теоремы 1 и леммы 6.

2

При Т = м2 НП м воспользуемся для внутренней суммы леммой 1. С учетом теоремы 1 предполагаемый главный член оценивается как

^ГМ Н Н

>

^ 1п2 N ^ 1п2 N '

При оценке остатка

>л/м -р?-р2+я

Е Е (Е Г хр-1^^ 1 «

м-2М!<р2<М-М1 м -р1-2М2<р2 <м -мД Vм -р1-р2-Я

<

Е

Е

м-2м1 <п2 <м-м1 м-п2 -2м2 <к2 <м-п2 -м2

-п2-к2+Я

'Гм-п2-к2-Я

Е

|7 !<Т1

р-1

¿Ж

разобьем промежуток [Ж2/2;2Ж2) на непересекающиеся интервалы длины 2Н (за исключением, быть может, последнего). Согласно лемме 32 в каждый такой интервал при различных парах (п, к) попадает по порядку величины не более Н^м1 значений N - п2 - к2.

Тогда оценка суммы вида

Е Е ( Е Г 2 2

м-2м2<р2<м-м2 м-р2-2м1<р2<м-р2-мД|7|<Т1 Vм-р2-р2-Н

сводится к оценке интеграла

г2Гм1 'ГмТ/2

Е

|7 !<Т1

Р-1

¿Ж.

Для оценки данного интеграла в этом случае нам достаточно воспользоваться леммой 16 при а = 2 совместно с плотностной теоремой Хаксли (1).

Доказательство теоремы 3 производится похожим образом. Мы используем явную формулу, результат теоремы 2 для оценки снизу предполагаемого главного члена, а затем леммы 33, 16 и плотностную теорему Хаксли (1) для оценки остатка.

замечание 3. Если использовать при доказательстве теоремы 2 плот-постную теорему из [2] получим оценку Н > N30^64-з™)+е = №'2725^+е, аналогично, в теореме 3 получим Н > N280^61 -з^о)+е = №Л54ф"+е.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук С.А. Гриценко за постановку задач, постоянное внимание и полезные обсуждения. Также автор выражает благодарность заведующему кафедрой математических и компьютерных методов анализа механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, профессору В.Н. Чубарикову и всем сотрудникам кафедры за внимание к работе.

Глава 1. Вспомогательные утверждения

В этой главе формулируются вспомогательные утверждения известные в литературе или являющиеся простыми следствиями последних. Во втором параграфе сформулированы и доказаны основные леммы 16 - 33, необходимые для доказательстве теорем 1 - 3.

1.1 Вспомогательные леммы

Лемма 1. (Явная формула) Пусть 2 < Т < х. Тогда

О \

хр _ / х 1п х \

;) = ЕЛ(п) = х - X) 7 + Т

п<х \/шр\<Т Р ^

где р = в + ¿7 - нули £(в) в критической полосе.

Доказательство см. в [13, глава 5]. Лемма 2. При Т > 2 справедливы оценки

Е 1 = 0(1п Т),

\7-Т\<1

у г^ = 0(1п2 Т),

\7-Т\>1 1 ' 1

N (Т) = Е 1 = О(Т 1п Т).

\7\<Т

Доказательство см. в [13, глава 4].

Лемма 3. Существует абсолютная постоянная с2 > 0 такая, что ((в) = 0 в области

а > 1--^---, где \Т\ > 10.

> 1п2/3 \Т\(1п1п \Т^/3 \ \>

Доказательство см. в [13, глава 6].

Лемма 4. (формула Стирлинга) Пусть в = а + И, где с2 < а < с3, Ь ^ то -действительное число. Тогда для модуля гамма-функции справедливо:

\Г(в)\ = ^¿Г1 е-^ (1 + О(\Ь1)) , И > Ьо.

Доказательство см., например, [13, глава 2].

Лемма 5. Пусть Ц < а < 1 и г > 10 - действительные числа. Тогда справедлива оценка

к (а + *г)|< г100(1-^3/21п2/3 г. (6)

Доказательство см. в [15]. Отметим, что на данный момент существуют более точные оценки. С ними можно ознакомиться, например, в работе [16].

21

Лемма 6. Если Н > N40 +е, то неравенство

|р - N | < Н,

разрешимо в простых числах для любого N > N0(5). Для числа решений данного неравенства справедлива оценка J(^ Н) ^

Н 1п м.

Доказательство см. в [17]. Лемма 7. Для г > г0(е) справедлива оценка:

32

< Т205 +£. (7)

ч 2+й

Доказательство см. в [18].

Лемма 8. Пусть ^ < а < 1 - действительное число, (к, Л) - экспоненциальная пара, г > г0 - действительное число. Тогда справедлива оценка:

1 , у 4 1 К + А— (7 „ , V

|С(а + ¿г)| < г1пг. (8)

Доказательство см., например, в [18, глава 7].

Лемма 9. Пусть /(ж) - действительнозначная функция, заданная на отрезке [а, Ь], пусть далее /'(ж) непрерывна и монотонна на [а, Ь] и |/'(ж)| < £ < 1. Тогда

Г6

Е ехР(/(п))= / ехР(/(ж))йж + О ((1 - 5)-1) .

_____о а

а<п<6

Доказательство см., например, в [13, глава 2].

Лемма 10. Пусть ^(х) - действительнозначная функция, заданная на отрезке [а, Ь], пусть далее ^"(х) монотонна и ^"(х) < т > 0 или ^"(х) < -т < 0 на [а,Ь]. Тогда

< 4т-1.

Доказательство см., например, в [13, глава 2].

Лемма 11. Пусть к > 1 — фиксированное натуральное число и пусть Т/2 < Ь < 2Т. Тогда равномерно по Ь справедливо

с( 2+«

<1П Т 1 +

»1п2 Т

- 1п2 Т

П ^ + ¿Ь + ¿V

Доказательство см., например, в [18, глава 7]. Лемма 12. Для Те < С < Т1/2-е равномерно по С справедливо

гТ

./Т-С

где

<( 2+й

¿Ь < С 1пТ+СЕ(ТК)-1/4(^(К)\ + К-1 /

к V ^

(х)\^х I е

£(х,К,Т) = ^ (-1)*т(п) ехр^/(Т, п)),

К <п<К

/(Т, п) = 2Т ахвтЬ/пп/2Т + /V2п2 + 2ппТ

и суммирование производится по К = 2к таким, что Т1/3 < К < N, при фиксированном 5 > 0

N =

В2

Т/2п - В'

В = Т (2пС)-1 1п(1+<)/2 Т.

Доказательство см., например, в [18, глава 7]. Лемма 13. Пусть Т > Т0(е), 0 < а < 1, Н = 1п2 Т, Н2 < Ь < Т, 1 < У < ТСз,

М > 3ТУ 1 — действительные числа.

Тогда для в = а + ¿Ь справедлива оценка:

то

Е (е-(п/2У^ - е-(п/у)Л) п-5 « 1 + У1/2-

п=1

-Л2

Е

п<М

п

-1/2+й+г«

Ь

к

к

2

Доказательство см., например, в [18, глава 4].

Лемма 14. (неравенства Халаша-Монтгомери) Пусть ф1,..., фд - векторы в унитарном пространстве с нормой || • ||. Тогда справедливы неравенства:

EKi.W)|<||i|| /£ |(фг,Ф.)|, (9)

r<R V r,s<R

Е )|2 < и^ ||2 max Е |(ф )| • (ю)

z—' r<R z—'

r<R s<R

Доказательство см., например, [19, глава 1]. 1.2 Основные леммы

Для дальнейшего изложения нам потребуется ряд дополнительных определений.

определение 1. Для любого фиксированного действительного числа A > 4 обозначим

"T /1 \ A

lM+£

M(A) = inf < M :

M> 1

ч 2+й

< TM + Ve> 0 3tq(£) Vt>tQ(£)

определение 2. Пусть 2 < a < 1, T > T0(e), X = X(T) — действительные числа. Тогда

Мх(5) = Е М«)«-я,

п<Х

где

5 = а + и, 1п2 Т < |£| < Т. определение 3. Пусть Т > Т0(е); X = X(Т) - действительные числа.

Тогда

а(п) = ^^ д(^). определение 4. Пусть £ и М — действительные числа. Тогда

H(it) = Hm (it) = Е (

ve 2M — e M ) n

n=1

определение 5. Определим показатель с(0) как минимальное действительное число, при котором для любого достаточно большого £ выполнено следующее условие

К(0 + г£)! < 1п £.

Лемма 15. Пусть ••• , £д - действительные числа такие, что |£г | < Т, !— > 1 для любых г = й < Л. Пусть далее а^+1, • • • , а^- комплексные числа и

с = £ К!2.

Тогда для любого М < N и любого фиксированного натурального к справедлива оценка

£

ЧГ<Д

ч 2+

А'

<

_ , О 1 1 1 О 1 м(А)

< СТе ЛЖ + Л 1Т2 + N2 Л2-АкТМАА-

где константа в знаке ^ зависит от е, к и А.

(11)

Доказательство см. в [18, глава 11] и в [20].

Далее будут сформулированы и доказаны леммы 16 - 33, которые играют важную роль в доказательстве теорем 1-3.

Лемма 16. Пусть а0 € [!; 1), а Е (0; 1] — действительные числа, N > Ж0(е), N1—£ » N1 > N1—55

I(а, ао) =

£

2 <в<^о |7 !<Т

X

в—1+«7

< тах N1^^/N(а,Т) 1п N

Доказательство.

Применим к I(а,а0) неравенство Коши. Получим

I2(а, ао) <

(

£

2 <в<^о |7 !<Т

X

в—1+«7

\

<

2

< N1*

Е х

2 <в<^о |7|<Т

,в-1+«7

¿Ж.

Раскроем квадрат модуля и поменяем после этого порядок суммирования и интегрирования. Имеем

12(а,ао) << N1* Е Е [ ~ ж^-2^^^.

|71|<Т Ы<Г

Разобьем при суммировании нули на "близкие" и "далекие" и оценим полученные интегралы. Имеем

12(а,ао) < N1* Е Е ^а(в1+в2-1) + (12)

1 <в1<^0 2 <в2<^0 Ы<Т |71-72|<1

Е Е N-т •

1 ^ ^ — 72

2 <в1<^0 2 <в2<^0 Ы<Г Ы<Г

|71-72|>1

Далее рассмотрим двойную сумму

ЕЕ N

2 <в1<^0 2 <в2<^0 Ы<Т |71-72|<1

а(в1+в2-1)

Разобьем внутреннюю сумму при каждом фиксированном в1 + ¿71 на две:

^а(в1+в2-1) = у^ N"(^1+^2-1) + у^ N"(^1+^2-1)

2 <в2<^0 1 <в2<в1 в1<в2<^0 Ы-721<1 |71-72|<1 |71-72|<1

Теперь рассмотрим

ЕЕ N

2 <в1<^0 в1<в2<^0 |71|<Т |71-72|<1

а(в1+в2-1) 1.

Поменяем порядок суммирования. Имеем

Е е = ЕЕ N1

2 <в1 <^0 в <в <^0 2 <в2 <^0 1 <в1 <в |71|<Т |71-72|<1 |72|<Т |72-71|<1

а(в1+в2-1)

2

Следовательно, справедлива оценка

1 <в1<СТ0 1 <в2<^0 2 <в1<^0 1 <в2<в1

Iyi|<T |Y1 — Y21<1 |Y1 l<T |Y1—Y21<1

откуда, так как N1 > 1, получаем

Е Е N"(^1+^2—1) < ^ ^ N«(2^1—1)

|Y1|<T |Y1—Y21<1 |Y1 l<T |Y1 —Y21<1

Аналогичными рассуждениями приходим к оценке

V V N_<< V V N_.

^ К- 72| ^ ^ Ь - 72|

2<в1<^1 <в2<^0 ' Д /2' 1 <в1<^0 1/2<в2<в1 ' Д /2' |Y1|<T Iy2 |<t |71|<t ы<т |Y1 —Y21>1 |Y1—Y2|>1

Применяя лемму 2, получим

Е Е Nf(2e1—1) < max N;(2a—1)N(a,T) ln N,

|Y1|<T |Y1 —Y21<1

1 <в1<^0 1 <в2<^0 12

м а(2в1 —1)

V V N-г << тах ^а(2а—(а, Т) 1п2 N.

1 ¿<<.0 1 <^Г<.0 171 — 721 2;хо]

|71|<Т |Т2|<Т |71—Т21>1

Домножая последние оценки на N1* и извлекая квадратный корень, получим требуемую оценку. Лемма доказана.

Лемма 17. Пусть а0 € [2,; 1), а € (0; 1] — действительные числа, N > ^(е),

19 I _ „ „ ^1—а+е гр _ _

, Т = Н 1п3 N

N1—е > N1 > N1—40N1—а > H > N1-а+е; T = -N^7. Тогда справедлива

оценка

п (N—n1/a+H )а

W1(a) = Е

N—2N1<n1/a<N—N1

г- (N—n1/a+H )а 1>а>а/ (N—n1/a—H )a

IyI<t

HNf ln N (a—1) <C —- max N1 (a, T).

Доказательство.

Заметим, что при любом ^ - )а < п < (N - для фиксированного нуля р = в + ¿7 справедливо (см. также [14], глава 7, доказательство теоремы 2)

•(Ж-п1/а+Н )а

/ Ж'

(Ж-п1/а-Н )а

„ (Ж-п1/а-Н )а

¡- (ж-п1/а+н )а < / |жр-1|^ж <

./(Ж-п1/а-Н )а

< I Жв-1^Ж <

./(Ж-п1/а-Н )а \а

Н

N

N1

1—а 1

«(в-1)

Тогда при любом (N - 2^)а < п < (N - имеем

.(Ж

-П1/

а+Н )а

V I ЖР-1^Ж

(Ж-п1/а-я )а

|7|<Т

Далее получаем, с учетом леммы 2:

<

Н

N

1— а

Е N

ав

1>в>^0 |7|<Т

Е = Е Га 1п N1 ^¿и + Л <

1>в>^0 |7|<Т

1>в>^0 |7|<Т

/• 1

< 1п N ^^(^Т)^ + Т 1п Т.

'^0

Умножая данную оценку на {-а и суммируя полученное выражение по п, окончательно имеем:

<

Е

N1

ЯМа 1п N

^ Ап N / N1^(и, Т+ Т 1п Т^ <

'00

<

N1-а а€[а0;1]

тах Ж[*(а-1) N(а,Т) +

НТ 1п Т

N 1-а •

Лемма доказана.

Лемма 18. Пусть а0 € ; 1) — действительное число, N > N0(5), N1-е > N > N61 +е, > Н > N1+е, Т = НNЖ. Тогда справедлива оценка

=

Е

N-2Ж1<п2<Ж-Ж1

Е

1>ст>оо

Ы<г

Ж

'л/Ж-п2-Н

<

< У ' - тах N12 N(а,Т).

VN .е[о-о;1]

Утверждение леммы 18 может быть получено из леммы 17, если зафиксировать в ней а = 2.

Лемма 19. Пусть а0 € [1; 1), а € (0; 1] — действительные числа, N > ^(е), N1—е > N1 > N1—55а+е, N1—а > Я > ^а+е, Т = ^. Тогда справедлива

оценка

^¡(а) =

£

N—2Ж1<п1/а<Ж—N

£

2 <в<.о

Ы<Г

/>(Ж—п1/а+Н )а (Ж—п1/а—Н )а

X

<

<

1п * тах ^"'У^(а^ 2;хо ] 1 V Я

1—а

Доказательство.

Заметим, что при нашем выборе параметров N1 и Я справедливо

N — (п + 1)1/а + Я < N — п1/а — Я,

то есть промежутки интегрирования в определении Ж2(а) при различных п не пересекаются.

Так как подынтегральная функция неотрицательна, применив к Ж2(а) неравенство Коши, получим:

Ж|(а) <

(

£

N—2Ж1<п1/а<Ж—N

V

£

2 <в<.о

ы<г

—п1/а+Н )а ^—п1/а—Н )а

X'

<

/

<

ЯN1а N1—а

*2Nf

£

2 <в<.о |7 |<Т

X

в—1+«7

¿X.

Используя далее оценку из леммы 16 окончательно получаем

1 1П N _ д^а(а—1) N (а, Т ^

ч ЯМа 1п N Ж2(а) < —- тах N

1а

N1—а

сте[ 2 ;.о]

Я

Лемма доказана.

2

2

Лемма 20. Пусть а"0 € ; 1) — действительное число, N > N0(5), N1-е > N1 > N61 +е, > Н > N1+е, Т = НЖ. Тогда справедлива оценка

^2 =

Е

N-2Ж1<п2<Ж-Ж1

Е

2 <в<^0 Ы<Г

-п2+Н

Ж

'л/Ж-п2-Н

<

< Н^ММ тах лЛ/ .

Утверждение леммы 20 может быть получено из леммы 19, если зафиксировать в ней а = 2.

Лемма 21. Пусть а € (0; 1] — действительное число, N > N0(5), N1-е ^ N ^ N1-40а+е, Н ^ N1-а, Т = нN"3 N. Тогда справедлива оценка

Жз(а) = Е

N-2Ж1<п1/а<Ж-Ж1

Е

2 <в<1 Ы<Г

„(Ж-п1/а+Н )а (Ж-п1/а-Н )а

Ж

<

<

1п N

N1-

тах

а€[ 2;1)

<(а-1У N (а,Т).

Доказательство.

При нашем выборе параметров N1 и Н справедливо N - (п + 1)1/а + Н > N - п1/а - Н,

то есть промежутки интегрирования в определении Ж3(а) при различных п пересекаются.

Объединим интегралы, используя суммирование по п. Получим

^з(а) =

Е

N-2Ж1<п1/а<Ж-Ж1

„(Ж-п1/а+Н )а (Ж-п1/а-Н )а

Е

2 <в<1 |7 |<Т

Ж

р-1

¿Ж <С

<

Н

N1-с

Ж

|7|<Т

Р-1

¿Ж.

Используя лемму 16, окончательно для Ж3(а) получаем

^а(а) « ^^ т« ^"УщОТ).

N1 а .€[1 ;1)

Лемма доказана.

Лемма 22. Пусть Т > Т0(е), J > С > 1 - действительные числа. Пусть далее А - множество действительных чисел £1 < £2 < ... < £д таких, что Уг Т/2 < |£г| < Т, Уг = й 1п2Т < С < |£г — < J. Пусть

5(X, К, £) = £ (—1)^(п)ехр(г/(£, п)),

К <п<К

где

+ \/п2п2 + 2пп£.

Тогда для любого К < Т/ 1п Т, Т > Т0 и любой экспоненциальной пары (к, Л) справедливо:

£ (X, К, £г)| «

« ((К + К3/4Т1/4С—1/21п1/2Т)|А|1/2 + ^/2Т—к/4|А|К(2Л—к+2)/4) 1п3/2Т.

Доказательство.

Используем неравенство (9). Выберем

= (—1)пт(п) при К < п < К + X,

фг,п = ехр(г/(£г, п)) при К < п < 2К.

При остальных целых п положим = 0 и фг,п = 0 при любом г. Тогда равномерно по X < К имеем

||£||2 = (£,0 = £ « К 1п3Т,

£ (X, К, £г)|« К1/21п3/2 Т ( £ и €А \

€А

Диагональные слагаемые внутренней суммы дают вклад 0(К).

£ ехР(г/(£г,п) - г/(£5,п))

К<п< 2К

1/2

Далее займемся оценкой недиагонали. Положим

/(и) = /,и) - /(Х^Х г = 5.

Для оценки суммы

^ = Е ехр(/(п))

К<п<2К

будем использовать метод экспоненциальных пар. Определим

д (г) = агетЬг + г\/ г2 + 1.

Справедливо

/(и) = 2£г# - , г = 5.

При | < 1 справедливо равенство

00

0(*) = У ^тС/У

^ у 2т _ 1 т-1

_С1/2 ^2т-1

2ш - 1С

т=1

Далее имеем

/«(и) х|(г - (,|*1/2-Т-1/2.

При условии Т = |£г - 1/2-Т-1/2 ^ 1 используем метод экспоненциальных пар, в противном случае - леммы 9, 10. Получаем

5 = Е ехр(/(п)) < + ктахк |/'(и)|-1 < (14)

К<п<2К <и<

< ^Т-к/2кЛ-к/2 + (КТ)1/2|*г - д-1 Тогда

Е |*г - М-1 < С-1|А| Е п-1 < С-1 |А| 1пТ

^т ¿в €Л,г=в п<|А|

откуда и получаем утверждение леммы.

Лемма 23. Пусть Т > Т0(5), 3 > С > 1 — действительные числа, ¿а < ¿2 < ... < ¿д — набор действительных чисел таких, что Уг |£г | < Т, Уг = й 3 > |£г - > С > 1. Пусть далее V > 0 — действительное число такое, что для всех г = 1,..., Я выполнено условие:

ч 2+iir

> V.

Тогда для любой экспоненциальной пары (к, А) справедлива оценка

^ ^ от „к+А„ 2(1+2к+2Л^ „N 3+6к+4А

R < TV-6 ln8 T + T~ V--к-(ln T) к

(15)

Доказательство.

Обозначим А3 — множество действительных чисел ¿1 < ¿2 < ... < ¿д таких, что Уг 2Т/3 < |£г| < 5Т/6, Уг = 5 |£г - > 1.

Разобьем отрезок [2Т/3, 5Т/6] на N отрезков длины не более 3 = T/6N каждый.

Обозначим подмножество А3, отвечающие к-му такому отрезку. Выберем В > 0 таким образом, чтобы

BG ln2 T = V2.

(16)

Обозначим

Ai>Ä = Ai>Ä(т) = [т - G/2, т + G/2],

где 7T/12 < т < 11T/12.

Из леммы 11 для каждого tr имеем

ч 2+iir

<ln T

»ln2 tr

'-ln2 tr

3-H

1

4 2 + +

du.

(17)

Мы можем предположить, что V > Te, так как в противном случае результат леммы становится тривиальным.

Просуммируем (17) по tr £ Ai k. Имеем для некоторой подходящей постоянной C1 > 0

rr+G

Ai,k | V2 < Ci ln T /

Jt-G

c( 2+«

] E e-|t-tr|dt,

/ 4- r M

tr £A1,fc

2

2

так как

[£г — 1п2 £г, £г + 1п2 £г] С [т — С, т + С]

при

£г € [т — С/2,т + С/2]. С учетом |£г — > 1 при г = й из леммы 12 получим оценку

|А'1>к|ВС 1п2Т < С2С 1п2Т + (18)

+С2С 1пТ £(ТК)—1/4е—С2К/(2Т) (|5(К, К, т)| + К—11 £ ^ К, т)|^ . Выберем В = 2С2. Тогда получим

|А1,к! «

« 1п—1 Т£(ТК)—1/4е—С2К/(2Т) ((К, К, т)| + К—1 ^^ (X, К, т.

Обозначим через А2,к множество таких т = Т0 + С/2 + пС, что А1 к = 0, а натуральное п выбрано так, чтобы выполнялось условие Т0 < т0 < Т0 + J + С/2.

Для тг ,т5 € А2,к при г = й справедливо С < |тг — т5| < J. Тогда применим лемму 22

£ |А1,к! « . (19)

теЛ

2,к

« 1п1/2 Т £ (ТК)—1/4е—С2К/(2Т

Т 1/3<К=2к<ТС-21п2 Т

* ((К + К3/4Т 1/4с—1/21п1/2Т)|А2,к|1/2 + |А2,к| ^/2Т—к/4К(2Л—К+2)/4) Справедливы оценки

|А1,к! < £ |А1,к(т)|,

т €А2,к

|А2,к! < £ |А1,к(т)!

т €А2,к

и суммируя их по К = 2к получаем

£ |А1,к(т)|« Т—1/21пТ £ К3/2е—С2К/(2Т) +

т€А2,к Т1/3<К=2к<ТС-21п2 Т

+С—11п2 Т £ Ке—С2К/(2Т) +

Т1/3 <К=2к <ТС-21п2 Т

+^/2Т—(к+1)/41п1/2 Т|А2,к | £ К(2Л—к+1)/4е—С2К/(2Т) «

Т1/3 <К=2к <ТС-21п2 Т

« ТС—31п2 Т + |А2,к|^/2С(к—1—22Л)/2Т(к—ЛЛ)/21п1/2 Т. Далее имеем

|А1,к! < £ |А1,к(т)|« ТС—31п2Т,

т €А2,к

откуда

^ < С3С(2Л—к+1)/кТ(к—Л)/к 1п—1/к Т. Выберем N так, чтобы

J = T7(6N) < с3С(2Л—к+1)/кТ(к—Л)/к 1п—1/кТ < Т/^ — 6).

Тогда

N <с 1 + ТЛ/кС—(2Л—к+1)/к 1п1/к Т

и

|А31 = £ |А1,к! «

13 ! = ! А1

« NTС—31п2 Т « ТУ—61п8 Т + Т(к+Л)/кV—2(1+2к+2Л)/к(1пТ)(3+6к+4Л)/к

если С < J.

Последнее условие выполняется для

С < СС(2Л—'к+1)/«Т(к—Л)/к 1п— 1/к Т

Далее получим

V > Т1 = С5Т(Л—к)/(2+4Л—4к)(1п Т)(3+4Л—4к))/(2+4Л—4к),

где С4, С5 > 0.

Лемма 24. Пусть Т > Т0(е) - действительное число, X = X (Т) = Те, X = X (Т) « У = У (Т) « ТС2.

Пусть далее в множестве нетривиальных нулей дзета-функции Рима-на р = в + ¿7 выделены два подмножества

= {р : выполнено (20) и Ур1 = в1+^ТъР2 = в2+^72,Р1 = р2 ^ |71—'721 > 21п4 Т},

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Науменко Антон Павлович, 2025 год

Список литературы

[1] M.N. Huxley. On the difference between consequtive primes. Invent. Math. 1972. 15:1. 164-170.

[2] L. Guth, J. Maynard. New large value estimates for Dirichlet polynomials. https://arxiv.org/abs/2405.20552.

[3] Гриценко С.А. Уточнение одной константы в плотностной теореме. Мате-мематические заметки. 1994. Том 55, вып. 2. С. 59-61.

[4] Риман Б. О числе простых чисел, не превышающих данной величины. Сочинения. М.: ОГИЗ, 1946. С. 216-224.

[5] Линник Ю.В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории чисел. ДАН. 1945. Том 49, вып. 1. С. 3-7.

[6] Линник Ю.В. Об одной теореме теории простых чисел. ДАН. 1945. Том 47, вып. 1. С. 7-9.

[7] Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана.. М.: Физматлит, 1994.

[8] Гирько В.В., Гриценко С.А. Об одном диофантовом неравенстве с простыми числами. Чебышевский сборник. - 7:4. - С.26-30.

[9] Гриценко С.А., Нгуен Тхи Ча, О диофантовых неравенствах с простыми числами. Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика, Физика, 2012. 23(142). Вып. 29.

[10] L.K. Hua. Some results in the additive prime-number theory. Quart. J. Math. Oxford. Vol. 9. 1938. pp. 68-80.

[11] G. Harman, A.V. Kumchev. On sums of squares of primes. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. Vol. 140. 2006. pp. 1 - 13.

[12] G. Harman, A.V. Kumchev. On sums of squares of primes II. J. Number Theory. Vol. 130. 2010. pp. 1969 - 2002.

[13] A. Kumchev, L. Zhao. On sums of four squares of primes. Mathematika. Vol. 62:2. 2016. pp. 348 - 361.

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

H.E. Richert. Refinement of estimates for the Riemann zeta-function in a neighbourhood of the line a =1. Math. Ann., vol. 169, 1967. P. 97-101.

G.I. Arkhipov, K. Buriev. Refinement of estimates for the Riemann zeta-function in a neighbourhood of the line Re s =1. Integral Transform. Spec. Funct. 1:1, 1993. P. 1-7

R.C. Baker, G.Harman, J.Pintz. The difference between consecutive primes, II. Proceeding of the London Mathematical Society. 2001. 83:3. 532-562

Huxley M.N. Exponential sums and the Riemann zeta function V//Proc. London Math. Soc. 2005. Vol. 90. P. 1-41.

A. Ivic. The Riemann zeta-function, New York, John Wiley and Sons, 1985.

H.L. Montgomery. Topics in multiplicative number theory, Springer-Verlag, Berlin, 1975.

A. Ivic. A note on the zero-density estimates for the zeta function. Arch. der Math. 1979. Vol. 33. P. 155-164.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

А.П. Науменко, О приближении действительных чисел суммами квадратов простых чисел// Чебышевский сборник. - 2018. - Т. 19, вып. 2. - С. 172-182.

А.П. Науменко, О некоторых нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами// Математические заметки. - 2019. - Т. 105, вып. 6. - С. 943-948.

A.P. Naumenko, On Some Nonlinear Diophantine Inequalities with Primes// Mathematical Notes. - 2019. - vol 105, no 5-6. - pp. 935-940.

[24] А.П. Науменко, О приближении действительных чисел суммами двух квадратов простых чисел// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2019. - Вып. 5. - C. 51-55.

A.P. Naumenko, Approaching real numbers by sums of squares of two primes// Moscow University Mathematics Bulletin. - 2019. - vol 74, no 5. - pp. 205—208.