Дискретно-аналитические методы для многомерных конвективно-диффузионных задач с сингулярностями и подвижными границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Паничкин Алексей Васильевич

• Паничкин Алексей Васильевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Паничкин Алексей Васильевич

Введение

1 Исследование конечно-разностных схем длязадач конвективно-диффузионного переноса с внутренними пограничными слоями

1.1 Уравнения конвективно-диффузионного переноса и задачи с возникновением внутренних пограничных слоев

1.1.1 Построение схемы для многомерного дифференциального уравнения переноса интегро-интерполяционным методом

1.1.2 Построение схемы для многомерного дифференциального уравнения переноса с повышением точности

1.2 Схема для двумерной задачи конвективно-диффузионного переноса с нелинейными коэффициентами и правой частью

1.2.1 Постановка задачи и построение схемы

1.2.2 Результаты расчетов тестовой задачи

1.3 Уравнения конвективно-диффузионного переноса и задачи с возникновением внутренних пограничных слоев

1.3.1 Уравнения переноса и возникновение искусственной диффузии при численных расчетах

1.3.2 Типы внутренних пограничных слоев

1.3.3 Построение интерполяционной формулыдля функций сглаживающего разрыва

1.3.4 Численный расчет многомерных задач переноса с алгоритмом уменьшения искусственной диффузии

1.4 Численный расчет задач нестационарного конвективно-диффузионного

переноса на регулярных сетках при наличии внутренних погранслоев

1.4.1 Численные расчеты

2Моделирование многомерных течений вязкой несжимаемой жидкости с

наличием погранслоев

2.1 Расчет тестовых задач течений вязкой несжимаемой жидкости

2.1.1 Постановка тестовых задач

2.1.2 Конечно-разностные методы решения

2.1.3 Схемная вязкость

2.1.4 Результаты расчетов в каверне

2.1.5 Результаты расчетов обтекания пластины

2.2 Ускорение сходимости в расчетах стационарных течений жидкости при больших числах Рейнольдса

2.2.1 Вопросы применения искусственной вязкости

2.2.2 Результаты расчетов

3 Моделирование турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости

3.1 Численное моделирование турбулентного течения во вращающемся канале

3.1.1 Численное моделирование турбулентных течений

3.1.2 Постановка задачи турбулентного течения вязкой жидкости во вращающемся канале

3.1.3 Численный расчет турбулентного течения

3.2 Моделирование оптимальных параметров для поверхностных

теплообменников

3.2.1 Результаты моделирования

3.3 Моделирование неустойчивости в струйных течениях вязкой жидкости по схеме с алгоритмом уменьшения схемной вязкости

3.3.1 Необходимые определения и постановка задачи

3.3.2 Конечно-разностные методы решения

3.3.3 Сравнение результатов моделирования струйных течений с

экспериментами

4. Моделирование переноса загрязняющих веществ

4.1 Численное решение двумерной задачи переноса примесей с применением локальной интерполяции в окрестности точечного источника

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Конечно-разностная схема для точечного источника

4.1.3 Сравнение методов моделирования переноса загрязняющих веществ от точечного источника

4.2 Экологическая система природопользования и модели для расчета переноса примесей в воздушном бассейне города

4.2.1 Система управления природопользованием

4.2.2 Моделирование переноса загрязняющих веществ и алгоритм поиска источников загрязнения

4.2.3 Пакет программ

4.2.4 Результаты моделирования

4.2.5 Моделирование загрязнения города от выбросов автотранспорта

5. Расчет течений жидкости со свободными границами

5.1 Численный расчет оптимального профиля лопастей гидротурбины

5.1.1 Постановка задачи

5.1.2 Оптимизация траекторий движения

5.1.3 Результаты расчета оптимального профиля лопасти

5.2 Моделирование течения жидкости со свободными границами между вращающимися цилиндрами

5.2.1 Уравнения движения жидкости около вращающихся цилиндров

5.2.2 Задание свободной границы жидкости на регулярной сетке

5.2.3 Расчет движения жидкости со свободными границами между вращающимися цилиндрами

6 Численное моделирование процессов офсетной печати

6.1 Проблемы переноса краски в печатных аппаратах и моделирование печатного контакта между вращающимися цилиндрами

6.1.1 Математическая модель

6.1.2 Конечно-разностный метод расчета

6.2 Моделирование офсетной печати с учетом деформаций границ

6.2.1 Уравнение деформации тонкостенных упругих слоев

6.2.2 Численные расчеты

6.2.3 Моделирование процесса «пыления» и его оценка

6.3 Определение сил и моментов сил в зоне печатного контакта

7 Моделирование процессов осушки топливных баков и нагревания отдельных

конструкций летательных аппаратов

7.1 Моделирование испарения жидкости при термо-вакуумном воздействии. 248 7.1.1 Постановка задачи по испарению жидкости

7.1.2 Сравнение результатов моделирования и эксперимента

7.2 Оптимизация затрат энергии при термо-вакуумном испарения жидкости

7.2.1 Математическая задача оптимизации энергетических затрат

7.2.2 Численное моделирование процесса термо-вакумного испарения

7.2.3 Численное моделирование процесса термо-конвективного испарения

7.3 Акустическое и вакуумное воздействие на испарение жидкости со свободной поверхностью до её замерзания

7.3.1 Исследование процесса испарения и замерзания жидкости

7.3.2 Механизм образования льда на поверхности жидкости и акустическое воздействие

7.3.3 Результаты моделирования

7.4 Исследование динамики процесса испарения жидкости в замкнутой ёмкости при акустико-вакуумном воздействии

7.4.1 Основные положения и допущения

7.4.2 Модель испарения жидкости с поверхности слоя и акустико -вакуумное воздействие

7.4.3 Модуль упругости слоя жидкости с пузырьками

7.4.4 Динамика слоя жидкости с образованием всплывающих пузырьков

7.4.5 Экспериментальные исследования

7.4.6 Результаты исследований

Заключение

Список литературы

Приложение А

ПриложенияВ-Н (акты внедрения)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретно-аналитические методы для многомерных конвективно-диффузионных задач с сингулярностями и подвижными границами»

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование физических процессов с конвективно-диффузионным переносом, происходящих в природе и применяемых в технических разработках, получает все более широкое распространение в научных исследованиях и на практике с развитием вычислительной техники. При этом, моделирование таких процессов, как течения жидкостей и газов, тепло-массоперенос, представляет область наиболее сложных задач, для решения которых требуется не только значительные вычислительные ресурсы, но и дальнейшая разработка улучшенных вычислительных технологий.

Первоначальное применение для моделирования численных методов, как конечно-разностные методы в силу простоты их применения [1], приводило к ряду проблем по точности получения численных решений, что потребовало развития методов с такими улучшенными свойствами, как свойство монотонности [2-4], конструирования схем и алгоритмов повышенного порядка точности, приближения свойств численных решений к их аналитическим аналогам [5-6], уменьшения схемной вязкости [7-8]. Эти методы наряду с существующими другими подходами продолжают развиваться с учетом специфики тех или других задач.

В настоящее время применяется широко на практике моделирование течений жидкости и газа с помощью ЭВМ. Основной математической моделью в приближении к сплошной среде является система уравнений Навье-Стокса [9-12]. Создание эффективных алгоритмов для численного моделирования течений несжимаемой вязкой жидкости и дозвуковых течений вязкого газа в различных технических устройствах по уравнениям Навье-Стокса при широком изменении параметров, а также процессов тепло- и массообмена является актуальной научной задачей [13-16]. Основными методами для разрешения многомерности остаются методы расщепления по пространственным координатам [17,18].

Основные подходы в интегрировании уравнений Навье-Стокса связаны с построением методики расчета давления. Есть методы для несжимаемой жидкости без расчета давления, когда функция давления исключается введением функции тока, что устраняет проблемы, связанные с расчетом давления, но приводит к другим проблемам, связанным с построением граничных условий для функции вихря.

Моделирование турбулентных течений жидкости и газа проводится, в основном, также на основе уравнений Навье-Стокса с приведением их к осредненным уравнениям Рейнольдса и замыканием по полуэмпирическим теориям, которые многочисленны и пригодны для конкретных течений [19, 20]. Наиболее перспективным здесь выглядит прямое моделирование турбулентных течений по уравнениям Навье-Стокса, но для этого, требуется применение наиболее мощных ЗВМ с большей производительностью вычислений и большей памятью, как суперкомпьютеры, для которых необходимо применять распараллеливание алгоритмов.

Для задач с конвективно-диффузионным переносом в настоящее время по-прежнему остаются большой проблемой построение, разработка новых численных подходов, которые многократно снизили бы требуемые затраты моделирования, несмотря на увеличивающийся прогресс в развитии ЭВМ. Это представляет как научный, так и практический интерес. В частности, в рамках разрешения такой проблемы может быть использование перспективных разностных схем с уменьшением схемной вязкости при расчетах на крупных сетках, что может быть актуально для двухмерных и особенно трехмерных задач. Уменьшение количества расчетных узлов на несколько порядков в одном пространственном направлении при получении равноценных численных решений для многомерных задач гидродинамики привело бы к значительным сокращениям требуемых вычислительных ресурсов.

Актуальность работы. Математическое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкостипри больших числах Рейнольдсаи тепло- и

массопереноса при малых числах диффузии с реализацией новых подходов на основе совмещения численных и аналитических методов для многомерных задач представляет собой актуальное научное направление. Конечно -разностные методы при применении к дифференциальным операторам в частных производных на регулярных сетках могут обладать рядом положительных качеств, как экономичность представления в памяти с простым достижением высоких порядков аппроксимации и эффективность по быстродействию. На практике при решении ряда задач возникает необходимость сталкиваться с разрешением локальных сингулярностей для искомых функций в виде подвижных тонких внутренних слоев или с расчетом подвижных границ. Для таких задач в случае 2-х и 3-х размерностей обычные конечно-разностные методы на регулярных сетках при малых числах диффузии или вязкости становятся непригодными по достижению удовлетворительных приближений к искомым решениям, при этом еще теряют порядки аппроксимации и сходимости. Неэкономичное мельчение сетки для повышения точности численных решений может в таких случаях приводить только к неразрешимости задачи, как по требуемым вычислительным ресурсам, так и по возможным погрешностям в решении из-за возрастания числа обусловленности численного алгоритма.

Надо отметить, что для одномерных задач не возникает подобных трудностей, а методы, разработанные для них, не все переносимы на многомерные случаи без возникновения дополнительных трудностей.

Поэтому актуально использовать достоинства конечно-разностных методов в целом и применять для отслеживания сингулярных особенностей дополнительные локальные расчеты в окрестности отдельных крупных ячеек исходной регулярной сетки. Такое совмещение позволяет оптимально использовать вычислительные ресурсы для получения численных результатов для рассматриваемого типа задач, когда методы достаточно эффективны по

быстродействию, не обладают потерей точности из-за крупной сетки, и нет требования сильного уменьшения сеточного шага.

В этом направлении есть разработки численно-аналитических методов -симбиозов, обладающих большой разрешающей способностью при широком применении к газодинамическим течениям и массопереносу, но требующих при многомерности дополнительного разрешения дифференциальных задач в окрестности каждой ячейки с особенностью. В данной работе, с применением к более узкому кругу задач, рассматривается разработка и применение более простого метода с простым алгебраическим разрешением и универсально отслеживающим особенности типа первого рода в решении по узловым линиям, что практически может потребовать увеличить на порядок вычислительные ресурсы по памяти и времени. Это в итоге исключает мельчение сетки на несколько порядков в каждом пространственном направлении длядостижения таких же результатов по точности.

Таким образом, выбор оптимально крупных сеточных шагов, не обременяющих вычислительный процесс по требуемому объему памяти и общему времени расчетов, с применением аналитических включений, получаемых точно из простого алгебраического уравнения и обладающих повышенной разрешимостью внутренних особенностей решения, как наличие подвижных границ или слоев диффузии с повышенными градиентами, позволяет получать численные решения с достаточно высокой точностью со значительным уменьшением вычислительных ресурсов. Если с применением данного подхода на заданной регулярной сетке для расчетов требуется увеличение на порядок требуемой памяти и затрат времени, то для получения расчетов с аналогичной точностью обычным конечно-разностным методом при устранении эффектов схемной диффузии может потребоваться уменьшить сеточный шаг на несколько порядков в каждом пространственном направлении. Это для 2-х и 3-хмерных задач может приводить к неразрешимости задач по требуемым вычислительным ресурсам или к невыполнимости численных

алгоритмов из-за возрастания чисел обусловленности и накопления погрешностей. С этой стороны перспективы применения конечно-разностных методов на регулярных сетках для задач механики были поставлены под сомнение еще в 60-х годах прошлого века в работах Бабенко К.И. при их достоинствах по простоте применения и возникновении ряда недостатков для различных задач (К.И. Бабенко, Г.П. Воскресенский [5]).

Использование регулярных сеток с данным алгоритмом может иметь место для узкого круга многомерных задач, имеющих решения с большими градиентами и какие-либо сингулярности внутри области определения в условиях неопределенности расположения.

Применение разработанного численно-аналитического метода актуально для ряда следующих многомерных задач. Во -первых, апробация с тестированием была проведена на задаче конвективно-диффузионного теплопереноса с разрывами 1 -го рода при применении различных конечно-разностных схем. При этом имеет место применение одномерных схем с равномерной сходимостью второго порядка точности с сохранением точности в многомерном случае в широком диапазоне малости параметра диффузии.

Во-вторых, данный подход показывает хорошую применимость к расчетам модельных течений вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса, а также к моделированию турбулентных течений, включая прямое моделирование турбулизации потоков с возникновением нестационарного образования вихрей, что может иметь место на крупной сетке (~ 80 узлов) наличие несущественной схемной вязкости при Яе > 10 .

Далее показана применимость разработанных алгоритмов для пространственных задач массопереноса загрязняющих веществ на примере расчетов в воздушном бассейне города и задачи переноса вязкой жидкости со свободными границами на примере офсетной печати с протеканием ее между вращающими цилиндрами, что имеет большое практическое применение как в первом случае, так и во втором.

Таким образом, использование регулярных сеток с разработанными алгоритмами может быть эффективным для многомерных задач, и актуальна их дальнейшая разработка с широким применением для рассмотренных классов задач. В настоящее время проводятся работы по разработке дискретно-аналитических методов для разных классов задач. Например, Адриановым А.Л.проводятся аналогичные работы для моделирования сверхзвуковых течений теплопроводного совершенного газа [21, 22], где используются обобщенные дифференциальные соотношения для скачков уплотнения, и при применении таких методов есть существенная экономия во временах расчета (секунды -минуты вместо часов).

В такой же степени актуально проведение разработки численно-аналитического подхода (с построением и анализом вычислительных алгоритмов) для математического моделирования многомерных задач с конвективно-диффузионным переносом. Данный подход позволяет использовать крупную регулярную сетку с выделением особенностей решения в виде сингулярностей (разрывов 1-го рода) и зон с большими производными, что повышает точность численных решений в многомерных задачах для течений вязкой несжимаемой жидкостью при больших числах Рейнольдса или тепло-массопереноса при малых числах диффузии. Это может привести к уменьшению вычислительных ресурсов по памяти и временным затратам на несколько порядков.

Актуально применение разрабатываемых в данной работе методов для ряда практических задач, включающих моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости и процессов тепло-массопереноса. К ним можно отнести исследование течений жидкостей в различных технических устройствах, как теплоотдача и массоперенос в каналах сложной формы, включая течение жидкостей со свободной поверхностью, а также массоперенос в газовоздушной среде при дозвуковых скоростях.

Степень разработанности темы исследования. Тема исследования является продолжением одного из основных направлений построения эффективных конечно-разностных методов для численных расчетов многомерных задач гидродинамики вязкой жидкости в переменных «скорость-давление» и задач тепло-массопереноса в целом при наличии конвективно-диффузионного переноса.В этом направлении для решения ряда проблем в настоящее время по применению численных методов к задачам с конвективно -диффузионного переноса и по развитию методов расчета течений вязкой несжимаемой жидкости можно отнести ряд работ [23-26]. В этих работах проведены исследования по улучшению методов для многомерных задач с нестационарностью процессов и наличием подвижных границ, что все еще остается актуальным в наши дни и может иметь широкое практическое применение в народном хозяйстве. Во многом настоящая работа направлена на решение подобных проблем. Часть работ была выполнена совместно с Варепо Л.Г. по проблеме моделирования процессов переноса краски при офсетной печати [27].

Для такого рода задач проводились фундаментальные работы по разработке большого количества конечно-разностных схем с анализом аппроксимации и сходимости численных решений к аналитическим и их существования (Самарский А.А., Ладыженская О.А., Яненко Н.Н., Марчук Г.И., Темам Р., Роуч, П. и др. [1, 5, 9-12, 14, 15, 18, 88]). Но с расширением круга решаемых задач, имеющих различные особенности, с прогрессом вычислительной техники возникли потребности в повышении качества численных решений и эффективности алгоритмов. К основным особенностям относятся возникающие сингулярности в решениях, сопряженные с большими градиентами функций в узких зонах областей определения. Для расчета таких задач потребовалась доработка численных схем и алгоритмов. В этом направлении разработан ряд подходов и имеется значительное количество работ зарубежных и отечественных ученых по построению методов для задач с

пограничным слоем (Ильин А.М., Бахвалов Н.С., Шишкин Г.И., Емельянов К.В., Лисейкин В.Д., Шайдуров В.В., Задорин А.И., AllenD.N., MШerJJ.H., RoosH.D., StynessM. и др. [13, 29-31, 34, 35, 42, 57, 65]).Разработанные методы в основном основаны на измельчении, вложенности расчетных сеток в зонах больших градиентов функций, и недостатком их является падение эффективности при использовании многомерных сеток (несоизмеримое увеличение вычислительных ресурсов)или слабую пригодность на многомерных сетках в общем случае, начиная с двумерных, при наличии сингулярных возмущений не только на границах области, но и внутри ее.

Широко распространенные подходы с мельчением расчетной сетки и ее оптимальным переориентированием приводят в основном к осложнению возможностей получить достоверные численные решения подобных задач в общем виде даже на современных компьютерах.

В целом, несмотря на наличие значительного количества работ зарубежных и отечественных ученых по отдельным аспектам построения эффективных схем и алгоритмов, разработанных в основном для одномерных случаев, надо отметить слабую пригодность таких разработок для решения задач в многомерных случаях.

Разрабатываемые в данной работе методы и алгоритмы, применяемые к широкому кругу многомерных стационарных и нестационарных задач с конвективно-диффузионным переносом и ссингулярными особенностями, позволяют сделать значительное продвижение по улучшению положения в этом направлении, а именно, в повышении точности численных решений со значительной экономией вычислительных ресурсов.

И с решением ряда указанных проблем могут быть решены многие другие задачи, имеющие важное хозяйственное значение.

Диссертация выполнялась в соответствии с планами госбюджетных научных исследований в Сибирском отделении Российской академии наук.

Целью работы является разработка и исследование математических моделей вычислительных методов и алгоритмов, создание комплексов программ, повышающих эффективность применения машинных ресурсов путем их существенного сокращения и повышения точности расчетов при решении задач с системами дифференциальных уравнений, описывающих многомерные стационарные и нестационарные течения вязкой жидкости и тепломассоперенос в несжимаемой среде в различных сферах производства.

Для достижения указанной цели определены следующие задачи исследования:

• разработка дискретно-аналитического метода решения дифференциальных задач, описывающего исследуемые математические модели и заключающегося в выделении на многомерных регулярных сетках внутренних узких зон тепло-массопереноса с большими градиентами по скоростям, по концентрации вещества или по температуре;

• разработка эффективныхалгоритмов для численного решения многомерных стационарных и нестационарных уравнений переноса с конвекцией и диффузией, дающих значительную экономию вычислительных ресурсов;

• разработка конечно-разностных методов решения многомерных уравненийНавье-Стокса, экономичных при больших числах Рейнольдса;

• разработка эффективного алгоритма расчета турбулентных течений на основе полуэмпирических теорий в двухмерной и трехмерной постановках;

• создание экономичного конечно-разностного метода расчета дозвуковых течений теплопроводного газа с переносом примесей и течений вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной формы при наличии свободных границ;

• проведение с помощью модели гидродинамики исследования процесса переноса краски на реальную поверхность запечатываемого материала в зоне печатного контакта офсетного печатного аппарата с учетом ряда

факторов;

• разработка алгоритма и программного обеспечения для оценки показателей качествапроцесса переноса и расщепления печатной краски и его визуализации;

• разработка эффективных методов с оптимизацией энергетических затрат в задаче осушки замкнутых емкостей при термо -вакуумном и акустическом воздействиях;

• создание комплексов программ, ориентированных на решение рассмотренных задач.

Таким образом, основной задачей является разработка дискретно-аналитического подхода (включая построение и анализ используемых в его рамках вычислительных методов и алгоритмов) и математического моделирования на его основе многомерных стационарных и нестационарных течений вязкой жидкости и тепломассопереноса в несжимаемой среде. Данный подход предполагает схематизацию с выделением внутренних узких зон движения среды или тепломассопереноса с большими градиентами по скоростям, концентрациям вещества или температуре и дальнейший перенос с диффузией в многомерных областях определения решения.

Научная новизна работы определяется следующими результатами.

• Для многомерного конвективно-диффузионного переноса в несжимаемой среде разработан алгоритм уменьшения схемной вязкости (УСВ), позволяющий на крупных регулярных равномерных сетках получать с высокой точностью численные решения сингулярно-возмущенных задач, в которых возникает необходимость отслеживания внутренних слоев с сильным изменением искомой функции.

• На основе алгоритма УСВ разработан метод с конвективным смещением локальных покрытий (КСЛП) для расчетов нестационарного конвективно-диффузионного переноса как для разрывов первого рода и узких слоев больших градиентов с параллельной ориентацией к векторам скорости,

так и для произвольной ихнаправленности. Это повышает точность расчета тепло-массопереноса по направлению скоростей переноса за счет исключения схемной диффузии от конвекции.

• Построена конечно-разностная схема с использованием алгоритма УСВ для моделирования многомерных течений вязкой несжимаемой жидкости и тепло-массопереноса. Исследование струйных течений показало согласование с экспериментальными результатами при критических числах Рейнольдса по переходу к турбулентности, что является новизной - ранее численное моделирование по струйным экспериментам с числами Re = 104 и 3-104 не проводилось, и численный расчет на крупной сетке (80 х 40) подтверждает отсутствие схемной вязкости, превышающей физическую.

• На основе алгоритма уменьшения схемной вязкости (УСВ) разработан метод расчета выбросов и переноса загрязняющих веществ (ЗВ) для воздушного бассейна города в трехмерной постановке. Получено повышение точности моделирования распространения ЗВ от различных источников, включая выбросы от автотранспорта. Разработан алгоритм для моделирования выбросов из точечного источника в многомерной области.

• Разработаны математические методы для численного моделирования физических процессов при офсетной печати и проведено исследование переноса краски между вращающимися цилиндрами на подложку с применением разработанного конечно-разностного алгоритма на регулярной сетке, учитывающего наличие свободных жидких и движущихся твердых деформирующихся границ, фильтрацию,адгезию и поверхностное натяжение жидкости.Есть регистрация и внедрение программ.

• Разработаны методы математического моделирования испарения жидкости при термо-вакуумном и кондуктивно-конвективном воздействиях в замкнутых емкостях и разработана процедура применения теории оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина для оптимизации энергетических затрат на процесс испарения жидкости.

• Рассмотрены вопросы применения и влияния акустического воздействия наряду с другими воздействиями на процесс испарения тонких слоев жидкости со свободной поверхности в замкнутых емкостях, исследован и обоснован математической моделью эффект возникновения резонанса при применении акустического воздействия, что приводит к увеличению скорости испарения.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы могут служить методической основой при расчетах и моделировании гидродинамических задач и найти применение в конструкторских бюро и отраслевых НИИ технического и машиностроительного профиля. Построенные алгоритмы могут быть применены для расчета ламинарных и турбулентных течений вязкой жидкости и дозвуковых течений вязкой теплопроводного газа при моделировании физико-химических процессов в ряде технических устройств, как теплообменники, гидротурбины; для расчетов течений в каналах со сложной геометрией и со свободными границами; для моделирования переноса ЗВ в атмосфере от различных источников загрязнения и переноса краски при офсетной печати с определением оптимальных режимов по качеству.

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно -исследовательских работ Омского филиала Института математики СО РАН по темам:

• «Разработка теории и алгоритмов численных методов решения задач математической физики и механики сплошной среды» (номер государственной регистрации 01. 9. 40 000848);

• гранты: РФФИ (проекты 00-15-96172, 05-01-04002); Федеральнаяцелевая программа «Интеграция» (грант № 274).

Результаты работы реализованы на полиграфических предприятиях: ЗАО «Полиграф» (г. Омск) и ОАО «Советская Сибирь» (г. Новосибирск).

Практическое внедрение разработанных методовдля печати полиграфической продукции показало их оперативность (подтверждено актами внедрений).

Разработанная имитационная модель исследования процесса переноса краски на запечатываемый материал позволяет исключить натурный эксперимент со значительными материальными и энергетическими затратами, включая эксплуатацию производственного оборудования и позволяет прогнозироватьне только показатели, определяющие качество оттиска, но и экологическую безопасность производства.

Применение разработанных алгоритмов и программных продуктов с удобными интерфейсами дает возможность оперативно управлять процессом печати в автоматизированном режиме, контролировать показатели качества оттиска на любых запечатываемых материалах и прогнозировать эксплуатационные свойства готовой продукции.Регистрация разработанных программных продуктов произведена в реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Разработанные методы исследований использованы в учебном процессе при подготовке специалистов отрасли в условиях Российской Федерации и в диссертационных работах аспирантов, что является важной частью практической реализации выполненной работы.

Результаты исследований нашли применение в учебном процессе Омского государственного университета в виде специальных курсов«Численные методы в математической физике» и «Численные методы для задач механики сплошной среды».

Объект исследования. Объектом исследования в диссертационной работе являются технические устройства и природные среды, содержащие движущие газы и жидкости, обладающие вязкостью, несжимаемостью, теплопереносом, испаряемостью, и твердые границы с теплопроводностью, деформацией, фильтрацией и рядом других физических свойств.

Предмет исследования. Предметом исследования в рассматриваемом объекте являются математические методы и алгоритмы, комплексы программ, применяемые для расчета физических процессов, связанные с течениями вязкой несжимаемой жидкости и переносами ею примесей при наличии твердых и свободных границ. Также рассмотрены задачи, осложненные многомерностью при наличии сингулярности функций, что потребовало разработки новых подходов для экономичного математического моделирования.

Методы исследований. В работе используются методы математического моделирования, методы оптимизации и методы вычислительной математики с применением к многомерным задачам тепломассопереноса и течений вязкой несжимаемой жидкости, проводятся построения конечно-разностных схем с введением интерполяций, итерационные методы решения сеточных уравнений на основе расщеплений на регулярных многомерных сетках. Методика исследования опирается на современные вычислительные технологии, предусматривающие использование классических и новых постановок задач движения вязкой несжимаемой жидкости, эффективных вычислительных алгоритмов (конечно-разностные схемы, итерационные алгоритмы), сочетани е натурных экспериментов с правильно поставленными численными экспериментами, исследования параметров на эффективность рассматриваемых алгоритмов.В работе проводится исследование разрабатываемых методов и алгоритмов с использованием метода первого дифференциального приближения, метода разложения в ряды по малому параметру, с построением интерполяций, с определением аппроксимаций и порядков приближения, а также некоторых расчетных параметров на основе анализа численных решений, что в силу многомерности и сложности задач не всегда может быть определено явным образом аналитическими подходами.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Паничкин Алексей Васильевич, 2021 год

источника

Рассмотрено применение разностной схемы на равномерной сетке с использованием алгоритма уменьшения схемной вязкости для локальной аппроксимации производных по вектору переноса [32] в задаче с точечным источником выброса загрязняющих веществ (ЗВ) [64]. В окрестности источникапроизводится выделение малой окрестности, меньшей шага сетки, для ухода от неограниченных значений решения. При этом используются на границе малой окрестности интерполяции специального вида с выполнением интегрального условия по мощности источника. Производится сравнительный анализ по точности расчета с другими конечно-разностными подходами.

Рассматриваются вопросы численного моделирования распространения примеси от точечного источника в двумерной стационарной постановке задачи с постоянно действующим источником. Расчет переноса примеси осуществляется на заданном фоне метеорологических условий (заданы компоненты вектора скорости и параметры диффузии).

4.1.1 Постановка задачи

Рассматривается краевая задача для распространения примеси от

постоянно действующего точечного источника со следующим эллиптическим

уравнением [65] в безразмерных переменных:

дС дС д ,т. дСч д ,т. дС, — + V— = — (Кх —) + — (Ку —

дх ду дх дх ду ду

и — + V — = — (К х —) + — (К у —) + ^ (х, у), (4.1)

где С(х,у) - концентрация примеси, и(х,у), у(х,у) - компоненты скорости ветра, Кх, Ку - коэффициенты диффузии по координатам х и у. Г(х, у) = Q8(x-x0) 8(у-у0) - функция точечного источника с мощностью Q и координатами (х0,у0), (х,у) входят в область В = (х: 0<х<1, 0<у<1).

На границе £ = Ъ / В для искомой функции берется условие в виде С (х, у) = щ( х, у), (4.2)

где у/(х, у) функция координат, отражающая фоновое содержание примесей на границах области при достаточно большом удалении источника от границ и в данной задаче берется равной нулю. При предположении, что величины Кх ,Ку слабо меняются и достаточно малы, заменим их малой положительной величиной 0 < б < 1.

4.1.2 Конечно-разностная схема для точечного источника

На множестве Ъ введем прямоугольную сетку ш1хш2, где ш1, ш2 -равномерные сетки по х и у с шагами Их = Ых-1, Иу = Ыу1 и Ых, Ыу- количество разбиений в каждом пространственном направлении, соответственно.

Для численного решения задачи (4.1), (4.2) проводится построение разностной схемы с использованием метода неопределенных коэффициентов и интегро-интерполяционного метода [66] и добавлением итерационного алгоритма. Для сравнения были взяты известные конечно-разностные методы. Для расчета в уравнении (4.1) конвективно-диффузионных членов бралась схема стабилизирующей поправки [17] в следующем виде с итерационным шагом т:

✓~>п+1/2 п

С-= ЛХ(Сп+1/2 -Сп) + ЛСп + ^п, (4.3)

т

ти+1 /"ти+1/ 2

С - С — = Л1(С"+1 - Сп), (4.4)

т

где

А1 +А-1, ..* А1А-^ А2 +А-2, ..* А2А—2

Л1 =— и ^ 1 + ,Л2 = —V 2 —2 , (4.5)

1 4 7. х 7.2 2 Т7„ ; 7.2 V /

2ЬХ х К 2Ъу ; и;

= =~Т с,и ^ (4.6)

п = 0,1,2,...N - номер итерации. На начальном шаге итерационного процесса при п = 0 во всей расчетной области берется С0(х-, у,) = 0 и задаются граничные условия в виде Сп(х,, 0) =СП(0, у) = Сп(х,, Ыу) = Cn(Nx, у,) = 0 при всех п и ¿е (0,Ых), (0,Ыу). Операторы (4.5) брались с коэффициентами (4.6) для повышения устойчивости численного расчета. При этом оператор Л рассматривается как в виде суммы операторов Л1 + Л 2, так и в виде Л0 + Л°2, которые определяются следующими выражениями:

А° А, + А, А, А , А° А 2 +А 2 А 2 А2 ,л_.

Л° = — и-1-- + Л°2 = —V—2-— + , (4.7)

1 22х И] ' 2 22; И2у ' К >

где А1 + А_ 1 - операторы сдвига функции на шаг сетки вверх или вниз по осям хи у. Использование (4.7) вместо (4.5) для оператора Л ослабляет характеристики устойчивости схемы стабилизирующей поправки. Тоже самое относится к применению алгоритма [26] при замене оператора Л наследующий оператор и построении его на новых расчетных узлах:

, ? ,ч,„ А +А , А,А , АА 9 _ _

Л =—(и2 + V2)1/2 + + . (4.8)

2Их К Иу

Использование операторов вида (4.8) приводит к меньшим расчетным погрешностям за счет уменьшения схемной вязкости при аппроксимации конвективно-диффузионных слагаемых и выигрыш в точности расчета становится существенным при малых числах диффузии. Если аппроксимация в операторах (4.5), (4.7), (4.8) достигает второго порядка 0(И2Х + И2), то

аппроксимация источникового члена в виде ГР в окрестности узла (х0, у0) может оказаться недостаточно точной. В ряде работ используют линейную интерполяцию или кусочно-постоянную с представлением оператора ГР в виде Q/(hx Ну) в узле, ближайшем к (х0, у0), и равного 0 в остальных узлах. Такое

приближение имеет порядок не выше первого и при решении многомерной задачи вида (4.1), (4.2) с особыми точками может приводить к большим неточностям даже при очень маленьких значениях шагов сетки hy, что может делать расчетный алгоритм совершенно непрактичным.

Для улучшения расчета предлагается в окрестности точки источника ввести специальную интерполяцию и 5-окрестность (0 < 8 < h, h = штфх, hy)), для выделения бесконечных значений решения из расчетных значений (для размерности задачи (4.1), (4.2), равной два и выше, решение в центре точечного источника принимает бесконечные значения [65]. Расчеты на границе этой окрестности можно произвести на основе экстраполяционных приближений по полиномам или дробно-рациональным функциям с четырех сторон по

прямоугольной сетке со значениями функции Сг° = С(х° + 3, у° + 33) при (,) = (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) в виде:

С° = (К- + а) + Ьу (х° — х) + су (х° — х)2))/(х° — х) (4.9)

С- = 0 при интерполяции по х и аналогичным приближением по у при - = 0.

Неизвестные коэффициенты а у, Ьу, су для определения каждой

интерполянты вида (4.9) могут быть найдены по трем узлам с каждой стороны от источника или двум узлам, если положить с- = 0 при меньшей точности аппроксимации. Дополнительная величина а может быть найдена из интегрального соотношения на 8-окрестности источника.

Это соотношение получается после интегрирования уравнения (4.1) по площади 8-окрестности:

гг. дС дС д гдСп д гдС1Л

Л(и ~Г + ^ — б(Г"+ Т" [^])<ху = < (4.10)

** дх ду дх дх ду ду 4 '

Далее можно сделать преобразование интеграла к следующему виду после интегрирования по частям и приведения к интегралу по контуру £8 на 8-окрестности:

| и(С°° — С_°ю)ф + | г(С°°1 — С^ —

Яз(У) Яз(х)

|((дС)1° — (дС)+ I((дС)°1 — (дС)°—1 =е. (411)

*з\ у) дх дУ *з\ х) дУ дУ

После подстановки интерполянт (4.9) в (4.11) и определения из этого соотношения величины а делается шаг или несколько шагов корректировки выражений (4.9) для приближенного определения решений Сп(х¿, у-) с перерасчетом коэффициентов на каждой п-ой итерации при расчетах по схеме вида (4.3) около 8-окрестности источника. Окончание итерационного процесса производится при некотором значении п = И, когда наступает стабилизация численного решения в равномерной норме с достаточно малой погрешностью £0 = 10-4 - 10-6. При этом во внутреннем узле 8-окрестности не производится расчет приближенного численного решения.

4.1.3 Сравнение методов моделирования переноса загрязняющих веществ от точечного источника

Для точечного источника с координатами (х0, у0) = (0.1, 0.1) и мощностью Q = 1 были проведены расчеты в прямоугольной области Dh размером [0,1.0]х[0,1.0]. Расчеты были проведены по схеме (4.3)-(4.6) с нулевыми граничными и начальными данными с применением конечно-разностных операторов (4.8) для членов конвекции и диффузии с изменением расчетного шаблона для алгоритма уменьшения схемной диффузии (метод 1) и обычных конечно-разностных операторов (4.7) (метод 2). Скорости брались в произвольном виде с модулем, равным 1. При этом направление не совпадает с узловыми линиями, когда для разных методов возможно проявление максимальной схемной диффузии.

Ниже в таблицах приведены зависимости концентраций при переносе примесей в окрестности источника и максимальных значений вдоль переноса на вложенных сетках с применением разных схем на равномерной сетке.

В Табл.4.1 и 4.2 приведены расчеты с приближением выбосов источника по выражению Q/(hx■hy) при коэффициентах диффузии Кх, Ку = £ = 0.01, 0.001, 0.0001. Приведенные расчеты на сетках с Их, Иу = 20, 40, 80 не показывают асимптотической сходимости с уменьшением шага сетки при таких значениях Их и Иу ни по методу 1 и ни по методу 2 (Р1 - показатель сходимости в пространстве С1, Р2 - показатель сходимости в пространстве Ь2ь).

Таблица 4.1 - М = 0.01, г = 1.0, Q = 1

Метод £ N С0 или Сь С0.1 Со Р1 Р2

1 0.01 20 40.1 38.2 30.4 <0 <0

40 50.1 42.1 26.6

80

1 0.001 20 165.7 162.4 143.1 <0 <0

40 391.5 376.6 256.4

80 478.5 441.9 297.9

1 0.0001 20 199.0 195.6 175.7 <0 <0

40 742.1 718,4 562.3

80 2355,2 2126.1 1023,4

Таблица 4.2- М = 0.005, г = 1.0, Q = 1

Метод £ N С0 или Сь С0.1 Со Р1 Р2

2 0.01 20 17.9 13.7 5.1 <0 <0

40 40.2 25.8 8.6

80 58.1 29.7 19.3

2 0.001 20 15.3 9.4 3.3 <0 <0

40 31.8 17.3 6.6

80 66.7 31.9 17.3

2 0.0001 20 15.1 8.7 3.1 <0 <0

40 30.5 15,3 5.6

80 61,3 23.3 15,6

В Табл.4.3 и 4.4 приведены подобные расчеты с приближением выбросов по аналитической формуле с дисперсным решением при заданной скорости переноса и постоянных коэффициентах для концентрации примеси в окрестности источника (методы 1а, 2а). Расчеты с таким подходом тоже оказались достаточно грубыми.

Таблица 4.3- М = 0.01, г = 1.0, 0 = 1

Метод £ N С0 или Сь С0,1 Со Р1 Р2

1а 0.01 20 - 12.6 8.6 -0.3 0.4

40 - 17.8 6.9

80 - 25.2 5.3

1а 0.001 20 - 39.9 36.3 0.03 0.31

40 - 56.3 48.7

80 - 79.8 49.2

1а 0.0001 20 - 126.2 124.9 -0.95 -0.76

40 - 178.4 173.8

80 - 252.3 244,2

Таблица 4.4- М = 0.001, г = 1.0, 0 =1

Метод £ N С0 или Сь С0,1 Со Р1 Р2

2а 0.01 20 - 12.6 2.5 0.72 0.89

40 - 11.7 3.4

80 - 11.4 3.7

2а 0.001 20 - 39.9 4.8 -0.44 0.32

40 - 32.2 4.9

80 - 45.7 5.4

2а 0.0001 20 - 126.2 15.2 -0.5 0.3

40 - 101,9 15.4

80 - 47.1 15.2

С уменьшением шага сетки и коэффициентов диффузии происходит завышение концентраций примеси в окрестности источника. Расчеты же с применением интерполяций вида (4.9) и интегральных соотношений (4.11) (методы 1в, 2в - Табл.4.5 и 4.6) приводят к более точным результатам с положительными показателями Р^ Р2. При этом методы 2, 2а, 2в приводят к более «размазанным» решениям ввиду присутствия завышенной схемной диффузии.

При расчетах обычными методами при мельчении сетки не наблюдается стремления решения к установлению в окрестности источника и может происходить возрастание погрешностей в отдалении от источника.

Таблица 4.5- М = 0.01, г = 1.0, 0 = 1

Метод £ N С0 или Сь С0,1 Со Р1 Р2

1в 0.01 20 - 2.9 2.6 - -

40 - - -

80 - - -

1в 0.001 20 - 16.5 15.9 0.61 0.7

40 - 11.8 11.0

80 - 8.7 8.2

1в 0.0001 20 - 36.5 36.1 0.88 2.51

40 - 52.0 50.7

80 - 48.1 47,8

Таблица 4.6- М = 0.001, г = 1.0, 0 =1

Метод £ N С0 или Сь С0,1 Со Р1 Р2

2в 0.01 20 - 5.2 1.8 0.6 0.72

40 - 2.7 1.1

80 - 1.2 0.5

2в 0.001 20 - 4.8 2.0 - -

40 - 3.1 1.2

2в 0.0001 20 - 7.9 3.3 -0.96 -0.52

40 13.1 9,6 3.9

80 15.2 7.8 3.2

Применение разрабатываемой схемы дает удовлетворительные результаты по сходимости и точности расчетов при подобных параметрах моделирования и исходных условиях задачи.

4.2 Экологическая система природопользования и модели для расчета переноса примесей в воздушном бассейне города

В данное время широко проводятся разработки геоинформационных систем (ГЭИС) на разных уровнях и с разными требованиями. В этом плане на региональном уровне получила развитие Система управления природопользованием (СУШ!) и проводятся работы по созданию алгоритмов и пакетов программ для моделирования процессов переноса загрязняющих

веществв воздушном бассейне города. Был проработан вопрос по улучшению модели пересчета движения атмосферного воздуха, реализована цепочка различных моделей по оперативности и точности моделирования распространения загрязняющих веществ (ЗВ) от различных источников [67]. Были разработаны алгоритмы поэтапного выхода на неизвестные источники загрязнения в случае их стационарного и нестационарного действия на основе минимизации функционала отклонений [68]. В пакетах программ реализованы различные визуализации результатов расчета на картах города.

4.2.1 Система управления природопользованием

Фундаментом, на котором строится и развивается управление региональной экологической обстановкой, является оперативное получение информации о состоянии среды (мониторинг), база данных и знаний (центральная база данных - ЦБД), привязанная к временным и пространственным координатам в компьютерной географической информационной системе типа [69] (ГЭИС), и правово-экономический механизм (ПЭМ) управления природопользованием. ГЭИС, оперативно пополняемая и развиваемая, - информационная основа для системы управления природопользованием (СУПП). Надстройка к ней - интеллектуальный компонент (ИК), может содержать:

• банк информации, содержащий ретроспективные и актуальные данные о состоянии экосистемы, в частности, воздуха и погоды в заданном районе, полученные любыми средствами мониторинга;

• средства восприятия оперативной информации из каналов связи, из других источников и ее коррекции при санкционированном доступе;

• компьютерные модели для проведения исследования последствий загрязнения и тенденций развития экосистемы региона, средства накопления предложений по природоохранной политике;

• информационно-расчетное программное обеспечение для поддержки договорных отношений с природопользователями, средства формирования управляющих решений, генератор форм документов по управлению и отслеживанию последствий управляющих воздействий;

• средства сбора, накопления и использования результатов выполнения-невыполнения принятых решений-воздействий;

• средства аргументации (демонстрации процесса получения) решения при возникновении конфликтных ситуаций;

• средства отображения текущего состояния природной среды, автоматизированного формирования коррекции и доставки решений в виде установленных форм документов.

Информационное обеспечение СУПП должно иметь развиваемую базу информации и инструментальные средства проектирования функционально -ориентированного интеллектуального интерфейса.

Главной целью создания и функционирования (кибернетической) СУПП является существенное повышение эффективности правово-экономический механизм (ПЭМ), обеспечение приостановки ухудшения, сохранения и затем улучшения экологической обстановки в городе и тем самым здоровья населения.

Важнейшей функцией СУПП является формирование решений, а не только представление многообразной информации, на что ориентировано большинство ГЭИС. В соответствии с этим и с постановкой задачи актуальными компонентами создаваемой СУПП наряду с автоматизированным мониторингом является ПЭМ и ориентированный на него ИК информационного обеспечения. Под ИК (интеллектуальной надстройкой над ГЭИС) понимается совокупность программных средств, позволяющих автоматически формировать управляющие воздействия на процесс природопользования, средства, позволяющие специалистам по экологии

повысить доказательность (аргументированность) своих прогнозов и заключений.

Представляется, что интеллектуальный компонент СУПП должен иметь также средства обучения работе с СУПП.

Другой задачей ИК является преобразование информации о состоянии среды и представление ее и соответствующих экспертных знаний населению. К таким средствам относятся:

• банк информации, содержащий ретроспективные и актуальные данные о состоянии экосистемы, в частности, воздуха и погоды в заданном районе, поученные любыми средствами мониторинга;

• компьютерные модели переноса примесей в воздушной среде, модели гео-биологической системы и гео -химических превращений, а также программы коррекции их параметров по текущим данным мониторинга;

• классификация состояний воздуха по совокупности возможных значений параметров как измеряемых, так и прогнозируемых посредством компьютерных моделей;

• множество возможных управляющих воздействий, перечисленных или получаемых посредством программной поддержки лицензирования;

• таблицы решений или фреймовое отображение взаимосвязей между состояниями воздушной среды и возможными решениями. Здесь должно быть предусмотрено вмешательство специалиста для корректировки взаимосвязи по не отражаемым в ЭВМ соображениям (экспертные знания);

• программное обеспечение, формирующее по заданным условиям одно или несколько решений. Здесь же осуществляется выбор или подтверждение предложенного решения специалистом, и выдается команда на передачу этого решения в необходимые адреса (посредством факса, электронной почты и т.п.) в виде утвержденной и подписанной (средствами компьютерной подписи) формы;

• средства сбора, накопления и использования результатов выполнения-невыполнения принятых решений-воздействий;

• средства аргументации (демонстрации процесса получения) решения при возникновении конфликтных ситуаций.

4.2.2 Моделирование переноса загрязняющих веществ и алгоритм поиска источников загрязнения

Одной из составных частей СУПП является создание и совершенствование моделей, алгоритмов, программного обеспечения по моделированию процессов переноса ЗВ и связанных с ним решения разного рода экологических задач.

Вопросы моделирования распространения загрязняющих веществ (ЗВ) рассмотрены в настоящее время в обширной литературе. Разработаны специальные модели по расчету атмосферных процессов переноса ЗВ от аналитических до трехмерных численных. При этом точность моделирования атмосферных явлений остается недостаточной. Чем меньшая инерционность атмосферы учитывается с переходом от мезомасштабов к более локальным масштабам, типа города и его окрестности, тем хуже точность моделирования (70-30%), что связано с проявлением неоднородности подстилающей поверхности и усложнением проявляющихся с уменьшением периода осреднения конвективных движений в приземном и пограничном слоях. Уменьшение масштабов осреднения и выявление большого числа подробностей приводит к более динамичным и усложненным структурам, моделирование которых осложнено возрастающими по нелинейному закону потребностями числа расчетных узлов и операций.

Было проведено построение различных расчетных алгоритмов для моделирования распространения ЗВ в городе и его окрестности. Учтена кривизна поверхности на основе преобразования координат и учтены конкретные характеристики подстилающей поверхности, проведено кодирование рельефа по 14 признакам. Для повышения точности моделирования атмосферных процессов в расчетных программах предусмотрен

перерасчет динамики атмосферы по метеорологическим данным, которые может поставлять региональный гидрометцентр. Для расчета переноса ЗВ в трехмерных областях использовалась усовершенствованая разностная схема с алгоритмом [7], рассмотренная в работах [32], [70].

Для тестирования программ использовались замеры по ЗВ на ряде постов в конкретное время с учетом на это время метеоданных и режима выбросов ЗВ на предприятиях. Для определения районов и координат источников с основными выбросами ЗВ по этим замерам отрабатывался алгоритм последовательного поиска, который основан на минимизации функционалов отклонения измеренных и расчетных концентраций ЗВ и решении ряда прямых задач распространения ЗВ с последовательным увеличением числа неизвестных источников после выделения их основного центра ([68], [71]). Построен алгоритм восстановления мощностей выбросов в случае известных источников.

4.2.3 Пакет программ

Все моделирующие программы собраны в пакет программ «FORECAST» (ПРОГНОЗ), разработанный под Windows 95. В пакете проведена стыковка комплексов программ моделирования с ЦБД Системы управления природопользованием (СУШ!) по различным типам источников согласно инвентаризации: точечные, линейные и площадные источники.

В пакете содержатся другие программы по моделированию:

• по перерасчету погодных условий в окрестностях города с определением локального поля скорости атмосферного воздуха, коэффициентов турбулентной диффузии, распределением температуры и других величин, участвующих в дальнейшем в различных программах моделирования переноса ЗВ.

• по расчету трансформации ряда ЗВ с использованием полного механизма химического взаимодействия.

В программах возможен выбор нескольких моделей турбулентности: значения для диффузии и теплопроводности вводятся и остаются в расчетах постоянными, используется модель степенного распределения (или логарифмического), используется модель Прандтля, упрощенная алгебраическая модель или К-Е модель;

При работе в пакете «FORECAST» для всех программ файлы изменяющихся данных, требуемых в процессе моделирования, заполняются в диалоговом режиме с экрана монитора или выбираются в автоматическом режиме из ЦБД СУПП после формирования некоторых ограничений.

Обмен данных с ЦБД проводится через SQL-сервер, который перед работой с пакетом необходимо запустить в рабочее состояние. Для формирования файлов данных по источникам первоначально проводится заполнение данных с ограничениями по выбору возможных источников, определяя:

1. режим разового выброса ЗВ или ежесуточного с задаваемым временем суток начала и конца;

2. название ЗВ, по которому будет производиться выборка мощностей выброса из источников, или его код;

3. код типа источника с выбором соответствующего его названия;

4. область расположения источников с заданием ограничивающих координат.

Такое заполнение проводится для каждого типа источников отдельно с выборкой из ЦБД всех подходящих источников.

Выборка из ЦБД производится по SQL-запросу, составленному для структуры базы по определенной схеме. Эта схема включает название вещества с определением его кода и среды - воздух, выборку возможно действующих источников согласно инвентаризации с определением мощности выброса ЗВ и попадающих в область моделирования.

При выборке производится дополнительная проверка при наличии тех или иных обязательных параметров для заданного типа источников. При отсутствии хотя бы одного значения не производится включения рассматриваемого источника в список выбираемых источников. Для оптимизации выборки SQL-запрос разбит на три отдельных запроса. Одновременно можно ввести данные по характеристикам выброса ЗВ вручную для каждого типа источников. Предусмотрено моделирование аварийных выбросов с площадных источников, учитывая режим испарения ЗВ. Для более точного расчета переноса можно сделать полный перерасчет движения атмосферного воздуха. По окончании расчета производится вывод результатов расчета с дальнейшим преобразованием и отображением на карту города с помощью Arc/Info.

К пакету присоединен комплекс программ «Poisk-1» с алгоритмами поиска нескольких источников загрязнения и определения их координат и мощности выброса по заданному ЗВ. Подробное описание приведено в [68].

4.2.4 Результаты моделирования

В качестве демонстрации возможностей пакета «FORECAST» («ПРОГНОЗ») было проведено моделирование переноса ЗВ от точечных источников, площадного источника и от различных типов источников с разным режимом работы согласно инвентаризации.

На Рис.4.1-4.4 показана установившаяся картина загрязнений воздуха сернистым ангидридом от четырех точечных источников, расположенных на ТЭЦ-3 и ТЭЦ-4 г.Омска, с расчетами по двум методикам и при различных турбулентных диффузиях в атмосферном воздухе. Температурные перепады на подстилающей поверхности были рассмотрены несущественными, в пределах пяти градусов, при устойчивом направлении ветра (f = -45°, U = 5^10 м/с).

Рисунок 4.1- Расчет концентрации загрязняющих веществ по улучшенной методике на высоте 250 м (ПДК = 1 - тонкая линия) и на высоте 350 м

__

Рисунок 4.2- Концентрации загрязняющих веществ в приземном слое (ПДК =1 -внутренняя линия) и на высотах 250 м и 350 м (ПДК = 1 - линии, 5 - пунктир)

На рисунках указаны изолинии с ПДК =1 сплошными линиями, с ПДК =5 - пунктиром, 10 - мелким пунктиром для высот 1 метр, 250 и 350 метров от подстилающей поверхности (обозначения указаны на рисунках). На Рис.4.1 -

л

4.2 горизонтальная диффузия была около 100, а на Рис.4.3 - 4.4 - около 10 м /с. На Рис.4.2 и 4.4 расчеты проведены по традиционной методике в вычислительных методах, а на Рис.4.1 и 4.3 - по разработанной методике [7], в которой отсутствует дополнительная диффузия, образующаяся в расчетных схемах при несовпадении направлений переноса с узловыми линиями сетки. Из Рис.4.2 и 4.4 видно, что наличие повышенной (образованной схемой) диффузии приводит к более быстрому рассеиванию повышенных концентраций ЗВ

(ПДК = 5 и 10), чем это происходит в расчетах с диффузией, физически близкой к заданной (см. Рис.4.1 и 4.3).

На Рис.4.5-4.7 показаны картины загрязнения от площадного источника размером 100м на 100м с выбросом в течение часа 30 тонн аммиака и дальнейшим распространением в течение нескольких часов при неблагоприятных погодных условиях (/= -60°, и = 0.02 м/с), таком же слабом локальном ветре, насчитанном по местным погодным условиям и особенностям на подстилающей поверхности с перепадом температур на ней до 20 градусов в

Рисунок 4.3- Расчет концентрации загрязняющих веществ по высотам

Рисунок 4.4- Расчет концентрации загрязняющих веществ по высотам

дневное время суток (максимальные скорости ветра: 2 м/с для горизонтальных потоков и 0.5 м/с - для вертикальных). На рисунках показаны изолинии ПДК (от 1 до 100) на разных высотах (распространение по высоте происходило до 900 м) и через разное время после начала выброса. На Рис.4.5 показана картина для высоты 1 м через 1 час, на Рис.4.6 - на высоте 200 м через 4 часа и на Рис. 4.7 - для высоты 1 м через 8 часов. Данный расчет режима распространения ЗВ по времени свидетельствует о возможном выпаде больших ПДК загрязняющего вещества сверху на большом удалении от источника выброса. Последние расчеты были проведены по усовершенствованной методике.

Ниже приведем фрагмент расчета переноса ЗВ от серии источников, выбираемых из ЦБД согласно инвентаризации. В качестве исходных источников были выбраны 190 точечных и 2 площадных источника по выбросу ЗВ с N 0330 (сернистый ангидрид). В качестве расчетной области был взят квадрат на карте города размером 27 км х 27 км с числом узлов 41 х 41.

Рисунок 4.5- Концентрации загрязняющего вещества через 1 час

Рисунок 4.6- Концентрации загрязняющего вещества через 4 часа

По высоте расчетная область бралась до 1000м (21 узел). Расчеты были проведены в период с 7.00 до 13.00 в условиях штиля: ветер северозападный до 0.5 м/с, температура 5^10 гр. Цельсия. 13.00 до 15.00 были рассмотрены другие погодные условия: ветер юго-западный до 5^7м/с, температура 10^16 гр. Цельсия. В этих условиях после обсчета скоростей движения

атмосферного

воздуха в 7.00 и в 13.00 был просчитан перенос сернистого ангидрида от источников, выбранных из ЦБД (в расчетную область из 190 точечных источников, имеющих по инвентаризации все необходимые для расчета параметры, попали 106 источников).

На Рис.4.8 показаны изолинии концентрации ЗВ на карте города для высоты 1 с ПДК, равной 0.2, 1, 2 (сплошные линии) на момент времени 13.00. Расчеты показывают, что по выбросам сернистого ангидрида с ряда предприятий согласно инвентаризации происходит превышение ПДК в условиях слабого ветра (штиля) в окрестностях многих источников для жилых районов города. Увеличение же ветра до 5^7 м привело к исчезновению таких зон с превышением ПДК (0.00005 г/куб.м).

Были разработаны модели с учетом выбросов ЗВ от автотранспорта в зависимости от гидрометеорологических условий в регионе и замеренных

Рисунок 4.7- Концентрации загрязняющего вещества через 8 часов

Рисунок 4.8- Картина загрязнения города с превышением ПДК

режимов движения. Для моделирования использовалась методика 1997 года [70]. Моделирующая программа была включена в комплекс программ, учитывающий местные особенности города. Для расчетов были взяты замеры интенсивности движения и других необходимых характеристик из полевых журналов для перекрестков одной улицы с прилегающими сегментами. Замеры были произведены для летнего сезона - в июне-июле 1997 года. По ним была наполнена база данных.

Программа была адаптирована для моделирования в течение нескольких суток при разных погодных условиях, и были проведены пробные расчеты по выбросу и переносу ЗВ, характерных для автотранспорта: СО -окиси углерода , СН - углеводородным остаткам, К02-3 - окислам азота, SO2 -сернистому ангидриду. ПДК были рассмотрены следующими, соответственно: 3 мг/м3, неопределенно, 0.085 мг/м3, 0.05 мг/м3. Расчеты проводились с 6.00 до 22.00 для двух погодных условий 17.06.97 и 18.06.97: при штиле - 0.5-^2 м/с и

при умеренном юго-западном ветре 5-^7 м/с. Максимальные ПДК на высоте 1

м для условий штиля составили: СО - 0.7-^0.9 ПДК, СН - 0.15-^-0.3 мг/мЗ,

N02-3- 2.5^-5 ПДК, БОг- 0.14-^0.28 ПДК. При этом максимальные значения по

СО и СН возникли в 18.00, по N02-3 возникли в 10.00 и в 18.00, по SO2 - в 10.00 и 15.00, когда существенно движение грузовых автомобилей. Карта изолиний по загрязнению К02-3 приведена на Рис.4.9 на момент времени 18.00. Приведено 10 изолиний с шагом 0.2 от ПДК. Из расчета видно, что возникают существенные зоны в окрестности дороги с превышением ПДК (концентрации выше 2 ПДК).

Для других погодных условий (юго-западный ветер 5^-7 м/с) расчеты для

N02-3 показали снижение загрязнений в ПДК на высоте 1 м до 1.4^-2.8 единиц.

Расчеты проводились на трех различных сетках (^ , Иу = 200 м, 100 м, 50 м при = 25 м) и показали хорошую согласованность по величине загрязнения на 10.00 (Рис.4.10-4.12). На рисунках картины загрязнений показаны 10 изолиниями с равномерным шагом (на Рис. 4.10 - от 0.12 до 1.2, на Рис. 4.11 - от 0.2 до 2, на Рис.4.12 - от 0.25 до 2.5). На последнем рисунке крайние перекрестки моделируемой улицы не попали в расчетную область (2км х 2км при масштабе 1:112500).

Рисунок 4.9-Расчет при 0.5-^2 м/с

Рисунок 4.10-Расчет при 5-^7 м/с

Рисунок 4.11- Расчет при 5^7 м/с,

Рисунок 4.12- Расчет при 5^7 м/с,

Их , Иу = 100 м, ^ = 25 м

Их , Иу = 50 м, ^ = 25 м

Из расчетов следует, что и при умеренном ветре остаются зоны с превышением ПДК в окрестности перекрестков по окислам азота, также существенны и подходят к критическому уровню выбросы окиси углерода, по которой концентрации доходят до ПДК. При этом интенсивности движения на рассмотренной улице не являются самыми наибольшими по городу, поэтому в нем могут быть еще более неблагоприятные районы. Для выявления их необходимы дальнейшие исследования.

4.2.5 Моделирование загрязнения города от выбросов автотранспорта

На основе разработанных моделирующих программ были проведены расчеты мощности выброса загрязняющих веществ (ЗВ) от автотранспорта на перекрестках и участках дорог по перспективной методике [72], утвержденной в Министерстве охраны окружающей среды и природных ресурсов РФ и в Министерстве транспорта. Наряду с расчетами мощности выброса ЗВ от

автотранспорта приразличных условиях было проведено моделирование переноса с определением картин по ПДК для некоторых веществ на разных высотах атмосферы города ([71], [73], [74], [75]).

На основе произведенных полных замеров интенсивности движения и других характеристик движения автотранспорта по некоторым перекресткам города были построены интерполяционные формулы для определения всех характеристик движения по нескольким замерам на всех остальных перекрестках по часам суток, дням недели и сезонам года. Такой подход позволил создать компактную базу данных при внесении замеренных данных по всем регулируемым и основным нерегулируемым перекресткам города, количество которых составило около четырехсот с полутора тысячами прилегающими к ним сегментами участков дорог. Интерполяция заключается в соблюдении пропорции от часа дня и сезона замера к часу дня и сезона моделирования для данного направления на заданном перекрёстке по каждому виду автотранспорта. При отсутствии минимально требуемых замеров для перекрёстка, попадающего в область моделирования, может произойти утеря выбросов как дополнительных на остановки с разгонами, так и основных на прилегающих перегонах.

Моделирующая программа позволяет производить расчет распространения по шести основным ЗВ от автотранспорта в воздушном бассейне города в течение как нескольких часов, так и суток в различных расчетных областях. Эта программа как составляющий элемент входит в пакет программ для моделирования процессов переноса загрязняющих веществ в воздушном бассейне города. Для перерасчета движения воздушных масс в зависимости от погодных условий использовалась отдельная расчетная программа, учитывающая турбулентность движений и вид подстилающей поверхности.

Проведенные расчеты по переносу ЗВ при неблагоприятных погодных условиях, возникающих в городе, показывали превышение предельно-

допустимых концентраций (ПДК) по некоторым ЗВ в приземном слое до 10 раз и больше (по окиси углерода и окислам азота), что согласовывалось с контрольными замерами служб Госкомэкологии. Выявлено, что зоны с повышенными ПДК образовывались в основном из-за высокой интенсивности движения, а в других случаях - из-за возникновения застойных зон в атмосферных движениях. Основной вклад составляли выбросы ЗВ от грузового автотранспорта.

В результате проведенных исследований в 1998 году проводилась разработка алгоритмов, методов и моделирующих программ для выбросов от автотранспорта. Проводилось обследование состояния загазованности города выбросами от автотранспорта в зависимости от гидрометеорологических условий в регионе и замеренных режимов движения.

На Рис.4.13-4.14 показаны картины загрязнения от автотранспорта окислами азота КО2-3 во время штиля (0.5-2 м/с) для разных высот на момент времени 18.00 для северо-западного района г.Омска.

Рисунок 4.13- Концентрации К02-3 на высоте 1 м

Масштаб: 1:4Э200 В ысота: 0701 м ^ ГЦКШИПИ

Рисунок 4.14- Концентрации NO2-3 на высоте 701 м

На Рис. 4.15 приведена картина загрязнения в центральной части г. Омска с условиями штиля при скоростях ветра 0.5^2 м/с исрасчетом от 6.00 до 18.00 в виде карт изолиний в ПДК для окислов азота. На Рис.4.16 показаны величина и направления движения воздушных масс по расчетным узлам. Дополниельные поясняющие данные приведены на рисунках.

М асштаб: 1: 4Э200 В ысота: 0001 м ГЦК ШИПИ

Рисунок 4.15- Концентрации NO2-3 на высоте 1 м

Рисунок 4.16- Скорости воздушных потоков

На Рис.4.17 приведен подобный результат расчета на другой карте города с векторным представлением координат.

Рисунок 4.17 - Концентрации N02-3 на высоте 1 м от выбросов автотранспорта

Проводимые исследования могут дать рекомендации по улучшению экологической обстановки путем перераспределения потоков транспорта на магистралях города.

На Рис.4.18 представлено отдельное моделирование выбросов окиси углерода от автобусов на маршрутных остановках для 18.00.

Рисунок 4.18- Концентрации СО на высоте 1 м от выбросов автобусов

Выводы:

1. Произведено наполнение базы данных по характеристикам движения автотранспорта по основным перекресткам и дорогам г. Омска в зависимости от сезона года, дня недели и времени дня с учетом использования закономерностей изменения интенсивности движения автотранспорта на все остальные перекрестки, для которых проводились единичные замеры. Это

позволяет проводить моделирование переноса выбросов загрязняющих веществ от автотранспорта по всему городу.

2. Были разработаны модели переноса с учетом выбросов загрязняющих веществ от автотранспорта в зависимости от гидро-метеорологических условий в регионе, замеренных режимов движения автотранспорта и графиков движения автобусов. К выбросам с перекрестков, пешеходных переходов и линейных участков дорог добавлены выбросы автобусов с маршрутных остановок, которые могут вносить существенных вклад в картину загрязнения города. В основе - «Методика расчетов выбросов в атмосферу ЗВ автотранспортом на городских магистралях. - Москва: Министерство транспорта РФ и Министерство охраны окружающей среды и природных ресурсов РФ, 1997. - 54с.», [72].

3.Проведенные расчеты по переносу ЗВ при неблагоприятных погодных условиях, возникающих в городе, показывают превышение предельно -допустимых концентраций (ПДК) по некоторым ЗВ в приземном слое до 10 раз и больше (по окиси углерода и окислам азота), что согласуется с контрольными замерами служб Госкомэкологии. Выявлено, что зоны с повышенными ПДК образуются в основном из-за высокой интенсивности движения, а в других случаях - из-за образования застойных зон в атмосферных движениях. Основной вклад составляют выбросы ЗВ от грузового автотранспорта.

5 РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ СОСВОБОДНЫМИ

ГРАНИЦАМИ

В данной главе рассматривается два подхода определения границ течения жидкости со свободными границами в некоторых технических устройствах при применении численного моделирования.

В первом случае представлена методика построения твердых границ в двумерном и трехмерном случаях для потоков тонкого слоя идеальной жидкости с применением энергетической оптимизации. Был рассмотрен расчет оптимальной поверхности лопастей гидротурбины с применением принципа максимума Понтрягина.

Во втором случае для моделирования течения ограниченного объема жидкости между вращающимися цилиндрами со свободными границами и соприкосновении с твердыми поверхностями цилиндров был разработан численный алгоритм, учитывающий основные свойства вязкой несжимаемой жидкости, как поверхностное натяжение, адгезию с твердыми поверхностями.

Отработанная методика была применена для моделирования процессов переноса краски в офсетной печати (см. Гл.6).

5.1 Численный расчет оптимального профиля лопастей

гидротурбины

При определении характеристик гидротурбин, их оптимальной энергетической отдачи при некоторых известных параметрах и заданных потоках жидкости, важную роль играет направленность поверхностей у лопастей. С этой целью применяются различные разработанные методики, как с инженерными подходами на основе экспериментов, так и на основе сложных расчетов течений жидкости, как вязкой, так и идеальной ([76]).

В основе моделирования основной задачей ставится нахождение профиля поверхности рабочей лопасти турбины, которая при заданной скорости вращения как можно полно получала потенциальную и кинетическую энергию от жидкости. С этой целью был применен алгоритм расчета дифференциальных уравнений движения, разработанный в работе [77] для минимизации ряда функционалов. По подобному алгоритму определялись оптимальные поверхности лопастей гидротурбины с движением тонкого слоя идеальной жидкости со свободной границей. Для такого случая в работах [78], [79] впервые был применен математический аппарат с принципом максимума Понтрягина Л.С.[80].

5.1.1 Постановка задачи

Ввиду рассмотрения не полной загрузки лопастей в потоках невязкой жидкости было принято, что течение жидкости имеет тонкий стекающий слой по поверхностям лопастей. При этом для моделирования достаточно рассматривать одну лопасть, считая все лопасти на турбинеподобными и независимыми друг от друга.

Было принято, что турбина находится в поле тяготении с постоянным ускорением g0 и вращается с угловой скоростью ш0 (см. Рис.5.1). Требовалось определить оптимальную поверхность турбины по оптимальным траекториям отдельных малых частей жидкости, движущихся по поверхности лопасти с начальными расстояниями от оси вращения турбины г = Я0 до г = Я1, вдоль оси х = 0 и по углу вращения ф = 0. Для каждого точечного движения жидкости по поверхности лопасти берется сопутствующая подвижная система координат (х,г^)с привязкой к лопасти в точке начала движения жидкости по поверхности с координатами х0 = 0, г0 = Я, s0 = 0, с дальнейшим движением до края лопасти по вертикали с координатой х^. В начальной точке еще задаются компоненты скорости ¥х0, Уг0, Уз0.

V — О)0 1 ъЛ .

I" Ч 1 г 0 X

V X

Рисунок 5.1- Схема движения жидкости по поверхности лопасти

В рассмотренной системе координат для точечного движения жидкости по поверхности лопасти гидротурбины уравнения примут вид:

^ = д0СоБ((р)5т(<р) + —

<а

йг

<а

2 Уго>+&, к,

= У*

= К

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

где тр = агсТд(У5/Ух), <р = агсТд(Уг/Ух) - углы направления движения к оси Ох

в плоскостях 0x5 и Огг,/1р/2,/3 — ускоренияпри величинах кривизны

траектории движения р£ и рг по £ и г:

/1 = - (Ух2 + У2)Бт(¥)/р8 - (Ух2 + У2)8т(ф)/рг, / = (V2 + У2)Со8(¥)/р, /з = (Ух2+ Уг2)Cos(ф)/рг, р8 = (1 + ^/дх)2)У2/^/дх2, рг = (1 + (дг/дх)2)ъ,2/&г/дх2.

Решение уравнений (5.1)-(5.6) необходимо проводить было от момента времени ^ = 0 с начальными условиями для всех искомых функций Г..; ..; ?'■ = л до конечноговремени tk, определяемого по заданному

значению х^ при интегрировании (5.4).

Для получения траекторий на основе уравнений движения частиц идеальной жидкости по (5.1)-(5.6) с определением оптимальной поверхности отдельной лопатки гидротурбины необходимо совместное решение этих уравнений с сопряженной системой уравнений, получаемой из принципа максимума Понтрягина и выбора критерия оптимизации.

Для наиболее оптимальной лопасти гидротурбины требуется максимальная передача жидкостью своей потенциальной и кинетической энергии в кинетическую энергию вращения гидротурбины. Для этой цели необходимо ввести критерий с функционалом, определяющим минимум кинетической энергии жидкости на конце лопасти при хк, задаваемом в виде

Ниже будет рассмотрен упрощенный вариант оптимизации при фиксированных радиусах движения жидкости по поверхности лопаткис отсутствием радиальной скорости, т.е. при т = К и Ут = 0. Для этого случая

система уравнений (5.1)-(5.6) примет вид:

5.1.2 Оптимизация траекторий движения

(5.7)

^ = д0Со5(т!>)Со5(т!>) + Ь

(5.8)

(5.9)

dx dt

ds dt

v

yx'

Vs

(5.10)

(5.11)

имеющая следующие начальные и конечные условия:

Для четырех искомых функций VXf Vs> х, s вводятся сопряженные функции

^1, Х.2, Х3, Х4, с которыми ис минимизирующей функцией (5.7) получается функция Гамильтона:

H = ¿(g0Cos(y)Cos(y) + fi) + ¿(g0Cos(y)Sin(y) + f2) + ЯзУх + ¿AVS - fH. (5.13)

Сопряженная система уравнений к (5.8)—(5.11) будет иметь вид: •

¿=¿(-2g0Cos(y)Sin(y)(Vs / V2) + 2VxSin{¥)lpt - VsCos(y)/Ps) + + A2(g0Cos\¥) - Sin2(y))(Vs / V2) - 2VxCos(y)lps - VsSin(y)lps) - (5.14)

-¿3 + Vx, •

¿2 =¿1 (2g0Cos(¥)Sin(¥)(Vx /V2) + 2VsSin(w)/p. + VxCos(¥)/ps) + + ¿(-g0Cos2(y) - Sin2(w))(Vx/V2) - 2VsCos(y)/ps + Vx Sin(y)/ps) - (5.15) - ¿4 + (Vs - a0R),

¿3 = 0,

¿4 = 0,

(5.16) ( 5.17)

где V = (Ух2 + У2)1'2 .

В силу неопределенности начальных условий к\0, Х20, к30, А40 для данных сопряженных уравнений взамен им используются условия трансверсальности при х = при котором не известны конечные величины Ухк,Узк, Тк.

Таким образом, для оптимизации при неизвестном I = когда Хи задано и, так как вариации от функционала /(Я) = ^ídt по t, Ух,¥3, б не нулевые, то

для требования 5/(й)=0 должны выполниться условия:

*

Н = 0, — = 0, ^ = 0, — = — = 0.

д£ дУ.

Эти условия принимают вид:

и определяются четыре недостающие условия для функций А, при / = 4-

Л1 = О,А2 =О,(А +

= О, А4 — + й)Д = 0.

(5.18)

В дополнение к условиям (5.12) можно задать значение У3 при t = (¡¿.

(5.19)

при котором условие Я2 = О будет уже лишним и при этом должна быть

максимальная отдача жидкостью кинетической энергии на кинетическую энергию вращение гидротурбины. Также должно быть выполнено условие '' 0 при / = ^ для покидания жидкостью гидротурбины.

5.1.3 Результаты расчета оптимального профиля лопасти

Для получения численных решений уравнений (5.8)—(5.11), (5.14)—(5.17) был применен разработанный в [77] алгоритм на основе конечно-разностного метода четвертого порядка точности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Рунге-Кутта). Были использованы условия (5.12) и (5.18), для достижение последних проводилось методом спуска [79].

Для моделирования были рассмотрены следующие значения параметров: т0 = 10 рад/с ^ 20 рад/, У0 =50 м/с -^100 м/с, Я0 =1 м, Яи = 2 м, хи = 2 м. Начальные компоненты скорости (Ух0, У,0) для жидкости были согласованы с модулем скорости и горизонтальной компонентой скорости лопасти при

радиусе Я, равной а0Я, т.е. У0 = (Ух20 + (У,0 - ®0К)2)1'2. Для а0 = 20 рад/с, Я = 1.5

м, У0 = 50 м/с, Ух0 = 40 м/с следует, что компонента скорости У£0 = 0 м/с, при Я = 2 м - У£0 = 10 м/с, при Я = 1 м - У£0 = - 10 м/с. Расчеты проводились с шагом по времени т = 0.001 с до достижения граничного значения хк = 2 м с определением конечного времени 1к для двух вариантов по наличию поля тяготения: g0 = 0 и g0 = 9.81 м /с. Результаты расчетов приведены в таблице 5.1 для данных вариантов с оптимальными траекториями при радиусах Я =1 м, 1.5 м и 2 м.

Таблица 5.1- Результаты определения оптимальной поверхности лопасти гидротурбины

величина х, м Значения s(x,r), м ю0 = 20 рад/с, У0 = 50 м/с, gо = 9.81 м2/с Значения s(x,r), м ю0 = 20 рад/с, У0 = 50 м/с, Л gо =0 м /с

величина г, м У, м/с при Я=1.5м величина г, м У, м/с при Я=1.5м

1.0 1.5 2.0 1.0 1.5 2.0

0.25 -0.11 0.05 0.09 50.12 -0.09 0.07 0.14 49.21

0.50 0.04 0.15 0.22 49.37 0.06 0.17 0.26 47.53

0.75 0.21 0.32 0.46 47.89 0.19 0.30 0.45 45.61

1.00 0.35 0.49 0.76 45.17 0.33 0.48 0.74 43.09

1.25 0.54 0,73 1.17 41.85 0.51 0,71 1.14 40.38

1.50 0.69 1.13 1.55 38.75 0.67 1.10 1.51 37.63

1.75 1.02 1.58 2.28 34.27 0.99 1.54 2.23 33.85

2.00 1.50 2.35 3.24 30.64 1.45 2.29 3.17 30.48

¿к, с : .080 0.094 0.119 - 0.084 0.098 0.124 -

Таким образом, на основе полученных дискретных значений б(х, г) можно приближенно построить оптимальную поверхность лопасти, позволяющей при

фиксированной угловой скорости ^максимально отдавать кинетическую и потенциальную энергии жидкости в кинетическую энергию вращения турбины.

5.2 Моделирование течения жидкости со свободными границами между вращающимися цилиндрами

При моделировании течений жидкости и газа в сложных областях с применением конечно-разностных методов используются различные подходы построения адаптивных сеток. Это связано с улучшением точности расчетов при согласовании локальных направлений потоков с направлениями узловых линий, для чего требуются значительные вычисления по построению расчетных сеток. Для этих же целей разработано несколько методов мельчения сеток при наличии в решениях зон с сингулярностью или наличием больших градиентов. Применение таких методов построения сеток в двухмерных и трехмерных случаях для расчетов течений жидкости могут оказаться не эффективными при ограничениях на вычислительные ресурсы. Здесь рассмотрена возможность экономии ресурсов с использованием регулярных сеток при подвижных твердых границ и свободных границ вязкой жидкости [81,82,83]. Было рассмотрено моделирование движения между вращающимися цилиндрами ограниченного объема жидкости со свободными границами до соприкосновением с твердыми поверхностями цилиндров. Был разработан численный алгоритм, основанный на перемещении граничных узлов по узловым линиям и учитывающий основные свойства вязкой несжимаемой жидкости.

5.2.1 Уравнения движения жидкости около вращающихся цилиндров

Рассмотрим задачу течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя цилиндрами с параллельными осями и одинаковыми радиусами Я,

вращающимися с постоянными угловыми скоростями ю в противоположных направлениях и находящимися на расстоянии ¡5, меньшем толщины ¡5^

жидкости, занимающей в начальный момент времени ? = 0 область Она цилиндре 1 с центром в точке 01 (см. Рис.5.2).

Будем считать течения жидкости подобными вдоль осей цилиндров, и поэтому рассмотрим постановку плоской задачив неподвижной полярной системе координат (г, ф), связанной с центром 01 цилиндра 1. В координатах (г, ф) с вектором скорости (Уг, Уф) уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости скинематической вязкостью V и плотностью р имеют вид ([10], стр.363):

дуф у дуф | |

1 дР

дЬ

дг

г д<рИ

р д<рВ.

+

9

+

2 Д дУт г2 дфП

Л (5.20)

дУг Уг Я ЗУ, дг г г д<рЯ

* = 0,

„2X7 1 ,

где V V =---1---

г дг дг2

д2у

(д<ра у

Р - давление.

Дальше перейдем от системы координат (г,ф) к сопутствующей полярной системе координат (г, в), связанной с цилиндром 1 и вращающейся с постоянной угловой скоростью ю в положительном направлении (в = ф + Ш).

При переходе к сопутствующей полярной системе координат (г, в) будут преобразованы компоненты скоростей (Ут, Уф) в вектор (Пг, По), а вектор ускорения жидкости с угловой скоростью ю и угловым ускорением е с тем же началом координат в точке 01 будет иметь вид:

Рисунок 5.2 -Начальное расположение жидкости и вращающихся цилиндров

Также градиент давления изменится на величину (—со2г, 0), если делать

переход в начальную систему координат.

После преобразований к системе координат (г, в) уравнения (5.20) будут в виде:

Эиг и Эиг и&1г Эиг

эь

дг

г двЯ

--- (5.21)

рЭг - г г2 г2 дби1" у '

(5.22)

= 0. (5.23)

диг иг Н ди@

дг г г двЯ

1 диг . д2и . К2 д2и

где = + ^ +

г дг дг2 г2 (дек )г

Будем считать, что жидкость в начальный момент времени £ = 0 определена в области О с длиной по окружности ё^, толщиной ёз и координатами г, в в сопутствующей системе координат в пределах: л ^."-■'■^й полагая, что

. Положим также, что в начальный момент

времени точка (7? + является точкой соприкосновения с цилиндром 2,

где скорость будет определяться из условия движения твердой границы цилиндра 2. Безразмерные величины, как число Рейнольдса и Эйлера, можно

л

определить в виде: Яе=У0 3^,Еы= Ра/(р У0 ) = Ро, где У0 = юдь - характерная