Дискретное обобщенное H∞-оптимальное управление и фильтрация в линейных непрерывных объектах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Бирюков, Руслан Сергеевич

• Бирюков, Руслан Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Бирюков, Руслан Сергеевич

§ 7. Выводы........................................................ 64

Глава 3. Дискретное обобщенное %оо-оптимальное управление 66

§ 1. Синтез оптимального управления по состоянию................... 66

§ 2. Синтез оптимального управления по выходу ..................... 74

§ 3. Управление электромагнитным подвесом ......................... 94

§ 4. Выводы....................................................... 101

Глава 4. Дискретная обобщенная %оо-оптимальная фильтрация 102

§1. Синтез оптимального фильтра................................... 102

§ 2. Фильтрация данных в задаче гашения колебаний зданий.......... 108

§3. Выводы........................................................ 114

Заключение 115

Список литературы 117

2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретное обобщенное H∞-оптимальное управление и фильтрация в линейных непрерывных объектах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Современные системы управления, как правило, реализуются в цифровом виде, в то время как большинство реальных объектов функционирует в непрерывном времени. Подобное разделение на аналоговую и цифровую части приводит к потере информации, поскольку значения непрерывного сигнала, поступающего с объекта на регулятор, известны только в фиксированные дискретные моменты времени. По этой причине становится важной задача анализа и синтеза дискретного регулятора, максимально полно учитывающего поведение исходного объекта в моменты времени между измерениями. В зависимости от классов внешних возмущений, действующих на объект, и конечных целей управления выделяют различные подходы к решению указанной задачи. Особый интерес представляет случай, когда на объект действуют внешние возмущения с ограниченной сэнергией^, а цель управления состоит в минимизации полной сэнергии^ целевого выхода объекта. В этом случае задача представляет собой задачу дискретного 7/^-оптимального управления непрерывным объектом по дискретным по времени измерениям.

Для решения указанной задачи были предложены различные подходы. Одним из первых был подход, основанный на представлении исходной непрерывной системы с дискретным выходом как непрерывно-дискретной, поведение которой описывается совокупностью дифференциальных и разностных уравнений [1—7]. В этом случае процедура синтеза дискретных 7/^-оптимальных регуляторов и фильтров основывалась на дифференциальных уравнениях Риккати, решения которых испытывают скачки в моменты времени, соответствующие наблюдениям. Практическая реализация предложенных алгоритмов синтеза наталкивается на ряд трудностей, связанных с решением нелинейной краевой задачи для дифференциальных уравнений Риккати.

Похожий подход использовался в работах [8, 9], где задача дискретного %оо-опти-мального управления непрерывным объектом рассматривалась с точки зрения теории игр. Условия существования 7/^-оптимальных регуляторов были сформулированы в случае измеряемого состояния объекта в терминах разностных уравнений Риккати, а процедура синтеза таких регуляторов также основана на решении нелинейной краевой задачи.

Другой подход основан на использовании метода лифтинга, в котором исходная непрерывная система преобразуется в эквивалентную дискретную [10—24]. При этом, поскольку между моментами наблюдения внешнее возмущение, как и целевой выход исходного объекта, представляют собой кусочно-непрерывные функции, то возмущение

3

и целевой выход эквивалентной дискретной системв1 уже принадлежат бесконечномерному пространству. В указаннвтх работах синтез оптималвнвтх регуляторов опирается на последователвное (итерационное) решение либо алгебраических, либо рекуррентнвгх уравнений Риккати, зависящих от вспомогателвного параметра, который требуется ми-нимизироватв. Практическая реализация данной процедурв1 приводит к вычислитель-НВ1М трудностям.

Наконец, в работах [25—30] бв1л предложен подход при котором задача синтеза дискретного %оо-управления непрерв1внв1м объектом формалъно заменяласъ задачей синтеза %оо-регулятора с запаздъшанием. Условия существования %оо-управления бъ1ли сформулированъ1 в форме достаточнъш условий в терминах линейнъгх матричнъш неравенств.

Одним из сугцественнъгх недостатков теории %оо-управления является предположение о том, что в начальный момент времени объект находится в покое, то есть его начальное состояние нулевое. Если это требование не выполняется, то синтезированные регуляторы хорошо подавляют внешние возмущения, но не всегда адекватно справляются с задачей гашения начальных возмущений, порожденных ненулевыми начальными условиями. В этом случае в [31, 32] в качестве единого критерия, учитывающего влияние как внешних, так и начальных возмущений, была предложена обобщенная Т/^-норма. Эта норма совпадает с классической %оо-нормой, если в начальный момент времени объект находится в покое, а когда начальное состояние объекта ненулевое, а внешнее возмущение отсутствует, то обобщенная Т/^-норма совпадает с %-нормой, определенной в [33—35]. Для непрерывных объектов с непрерывным измеряемым выходом были синтезированы непрерывные законы управления и фильтрации в работах [31, 32, 36— 42]. В случае непрерывного объекта с дискретным выходом известна работа [2], в которой решение задачи дискретного обобщенного 7/^-управления было получено для объекта на бесконечном горизонте. При этом сформулированные законы управления и фильтрации основаны на решении нелинейного дифференциального уравнения Риккати, что затрудняет их использование. Таким образом, дальнейшее развитие теории дискретного обобщенного %оо-управления непрерывными системами является весьма актуальной задачей теории управления.

Цель диссертационной работы. Основной целью работы является развитие теории дискретного обобщенного %оо-управления и фильтрации для линейных непрерывных систем. В соответствии с поставленной целью диссертация направлена на решение следующих задач:

* Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных обобщенных %оо-оптималь-ных законов управления в классе линейных нестационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных нестационарных динамических регуляторов полного порядка по выходу.

4

• Для линейных стационарных объектов на бесконечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных обобщенных -оптимальных законов управления в классе линейных стационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных стационарных динамических регуляторов полного порядка по выходу.

• Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных нестационарных обобщенных %оо-оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя.

• Для линейных стационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных стационарных обобщенных %оо-оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя.

Методы исследования. В работе применяются методы вариационного исчисления и оптимального управления, теории выпуклой оптимизации и, в частности, теории полуопределенного программирования.

Научная новизна и основные результаты. В диссертации получены следующие новые результаты по теории дискретного обобщенного -управления и фильтрации линейными непрерывными объектами:

1. Показано, что обобщенная -норма линейного нестационарного объекта на конечном интервале времени находится как решение нелинейной краевой задачи для матричного дифференциального или разностного уравнения Риккати, а также в терминах линейных матричных неравенств. В случае линейного устойчивого стационарного объекта на бесконечном интервале времени обобщенная -норма находится как решение дискретного алгебраического уравнения Риккати или в терминах линейных матричных неравенств.

2. Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получены необходимые и достаточные условия, а в случае неизмеряемого состояния только достаточные условия существования дискретных обобщенных %оо-оптимальных законов управления. Эти законы управления синтезированы в классе линейных нестационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных нестационарных динамических регуляторов по выходу.

3. Для линейных стационарных объектов на бесконечном интервале времени получены необходимые и достаточные условия существования дискретных обобщенных

-оптимальных законов управления. Эти законы управления синтезированы в классе линейных стационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных стационарных динамических регуляторов по выходу.

4. Для линейных нестационарных объектов на конечном (бесконечном) интервале времени получены необходимые и достаточные условия существования и осуществлен синтез нестационарных (стационарных) дискретных обобщенных %оо-оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя.

5

5. В качестве приложений синтезированы дискретные обобщенные -оптимальные регуляторы в задаче управления телом в электромагнитном подвесом и дискретные обобщенные -оптимальные фильтры в задаче гашения колебаний высотных зданий и сооружений.

Соответствие шифру специальности. Работа соответствует формуле специальности 01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика и охватывает следующие области исследования, входящие в специальность 01.01.09: п. 6. Математическая теория оптимального управления.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и представляет собой развитие теории дискретного обобщенного -оптимального управления непрерывными объектами. Полученные в ней результаты доведены до конструктивных процедур, эффективность которых подтверждается синтезом регуляторов в задаче управления электромагнитным подвесом и синтезом фильтров в задаче гашения колебаний высотных зданий и сооружений.

Степень достоверности и апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на заседании Нижегородского научного семинара ^Математическое моделирование динамики систем и процессов управлениям в НИИ Прикладной математики и кибернетики, а также докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:

• X Всероссийская научная конференция ^Нелинейные колебания механических система им. Ю.И. Неймарка (Нижний Новгород, 2016);

• XIII Международная конференция ^Устойчивость и колебания нелинейных систем управлениям (конференция Пятницкого) (Москва, 2016);

• XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015);

• Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2015);

• Шестая традиционная всероссийская молодежная летняя школа ^Управление, информация и оптимизациям (Москва, 2014);

• XII Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, 2014);

• XIX Нижегородская сессия молодых ученых: Естественные, математические науки (Нижний Новгород, 2014).

В 2013-2014 гг. и 2014-2015 гг. исследования были поддержаны стипендией имени академика Г.А. Разуваева для аспирантов, а также стипендией Правительства Российской Федерации (2014-2015 гг).

Результаты первых трёх глав диссертации были получены при выполнении проекта № 14-01-31120 мола в 2014-2015 гг. (руководитель) и проектов № 12-01-31358 мола в 2012-2013 гг., № 14-01-00266 в 2014-2016 гг. (исполнитель), выполненных при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.

6

Результаты четвертой главы получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы ^Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годьы (соглашение 14.578.21.0110 от 27.10.2015, уникальный идентификатор RFMEFI57815X0110).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных работах, включая 4 публикации в ведущих научных журналах из перечня ВАК Минобрнауки РФ [43—46], трудах двух международных конференций [47, 48] и четырех тезисах докладов региональных и Всероссийских конференций [49—52].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 123 страницах, содержит 11 иллюстраций. Библиография включает 81 наименования.

7

ГЛАВА 1

ОБЗОР ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОГО ^-УПРАВЛЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Данная глава носит вспомогательный характер. В ней приводится краткий обзор известных результатов, касающихся теории обобщенного %оо-управления и фильтрации. Кроме этого рассматриваются задачи линейно-квадратичного регулирования и классического %оо-управления. Показывается взаимосвязь задачи об аналитическом конструировании регуляторов с задачей синтеза %-управления.

§ 1. Обобщенная Т/^-норма линейного объекта

В теории обобщенного 7/^-управления рассматривается линейный управляемый объект, подверженный внешнему воздействию и начальному возмущению, порождаемому неизвестными начальными условиями. Если объект находится в начальный момент времени в покое, то есть начальное возмущение равно нулю, то в качестве меры влияния внешнего воздействия на рассматриваемый объект принимается уровень гашения внешнего возмущения, совпадающий с Т/^-нормой, а задача синтеза управления, минимизирующего данный критерий, есть задача Т/о^-оптимального управления [53—57]. Напротив, когда начальное состояние ненулевое, а внешнее возмущение отсутствует, под мерой реакции системы понимается уровень гашения начального возмущения, равный Уо-норме. В этом случае, закон управления, оптимизирующий переходный процесс в наихудшем случае, известен как -%-оптимальный [33—35]. В общем случае указанные критерии противоречивы, поэтому основная цель обобщенного %оо-управления заключается в определении закона управления, который был бы компромиссным при оценке влияния как внешнего, так и начального возмущений [31—42].

Приведем теперь основные факты, относящиеся к обобщенной 7/^-норме, при этом в изложении будем следовать работам [37, 38, 41]. Для определенности рассмотрим линейный дискретный нестационарный объект вида

= + A; = O,...,JV-1,

Л/. (Дж/. 4-

(1.1)

где ж G R"*^ — состояние, л G R"*^ — целевой выход и ж G R"*" — внешнее возмущение,

8

ограниченное по ^-норме:

7V-1

II ц2 Т

]]ж]] = / ТУСс < ОС-

А:=0

Предположим, что в общем случае начальное состояние Жд ненулевое и неизвестно, а

его влияние на динамику объекта интерпретируется как начальное возмущение.

Управляемый выход объекта для фиксированного начального состояния Жд и после-

довательности возмущений Жд,..., ж^_ i будем характеризовать значением функционала

J (жд, Жд, ..., Жд^_1)

7V-1

ЛУ + Ж^Уж^,

А:=0

(1.2)

где У = Л >0 — весовая матрица, задающая приоритет между качеством переходного процесса и конечным состоянием объекта.

Сначала рассмотрим отдельно два крайних случая: на объект действует только начальное или только внешнее возмущение. Пусть объект в начальный момент времени находился в покое, что соответствует случаю, когда отсутствует начальное возмущение. Следуя [41], определим показатель влияния внешнего возмущений на целевой выход (1.1) — уровень гашения внешнего возмущения — как относительное значение функционала (1.2) в наихудшем случае:

7(0,Жд,...,Ж^_1)

= sup —--------2-----

^0 [ЫЩ

(1.3)

Отметим, что если объект (1.1) является стационарным и рассматривается на бесконечном интервале времени, то, используя равенство Парсеваля, можно показать, что выражение (1.3) совпадает с Т/^-нормой рассматриваемого объекта [33]. Следующее утверждение характеризует уровень гашения внешнего возмущения в терминах решений линейных матричных неравенств [38, 41].

Утверждение 1.1. Уровень затенил внешнего возлАущенпл в системе (1.1) на конечное интервале врееенн уЭовлетворлет неравенству у, 7 а только тозЭа,

козЭа лнненнме лштрпчнме неравенства

сЛ

Di

^А: -Л

(1.4)

разрешаем относительно еатрпу Xj = Х^ 0, А; = 0,... ,1V — 1, при Х^ = У.

Из утверждения следует, что уровень гашения внешнего возмущения у, находится как точная нижняя грань множества всех у, для которых система линейных матричных неравенств (1.4) разрешима относительно матриц Xj = Х^ 0 и

В случае, если внешнее возмущение отсутствует, то влияние начального возмуще-

9

ния на качество переходного процесса в системе (1.1) может бв1тв охарактеризовано

величиной 2 У(жо,0,...,0) До = sup 2 , (1.5) ЖдДО фо

которая назв1вается уровнем гашения началвного возмущения [33, 41]. В [41, 58] показано, что эта величина может 6в1тв найдена как решение оптимизационной задачи с ограничениями, заданнв1ми линейнв1ми матричнв1ми неравенствами.

Утверждение 1.2. Уровень гашемчл начального бозлд/щемал 6 системе (1.1) на конечное интервале времени дЭоблетборлет мерабемстбд До д ^огЭа и только то-g&, когЭа лннейнме л^атрччмме неравенства

Хо Ф

(L6)

разрешаем относительно лттрар, Xj = Х^, ф О, А; = 0,..., IV — 1, при Х^ = У.

Чтобв1 описатв совместное влияние внешнего и началвного возмущений на вв1ход объекта (1.1), определим уровенъ гашения возмущений как своеобразную свертку двух рассматриваемъгх факторов [38, 41]:

J(Фо, Ц), . . . ,

sup —у—--------у------

(1.7)

где Л = Л^ >0 — весовая матрица, предназначенная для задания приоритета между внешним возмущением и компонентами началвного состояния. Введенный таким образом показатели называется обобщенной -нормой. Нетрудно видеть, что в крайних случаях выражение (1.7) превращается либо в (1.3), либо в (1.5), то есть, при ор = 0 имеем др, = д^, а при и = 0 получим др, = До/^тах(Я)- Оказывается [41], что уровень гашения возмущений может быть выражен в терминах линейных матричных неравенств, для этого достаточно потребовать существование общего решения неравенств (1.4) и (1.6), характеризующих в отдельности уровень гашения внешнего возмущения и уровень гашения начального возмущения с учетом весового коэффициента.

Теорема 1.1. Уровень гашеннл бозлц/щенаа 6 системе (1.1) на конечное ннтераа-ле бремени рЭоблетборлет неравенству д^ д тогЭа а только тогЭа, когЭа лннейнме л^атрччмме неравенства

сЛ

— д^7 Bl

В/, -Л

Хо < дЛ, (1.8)

разрешаем относительно л^атрну Xj = Х^, ф 0, А; = 0,..., X — 1, при Х^ = У.

Из сформулированной теоремы следует, что если решение Хд соответствует д^, то

10

для любой весовой матрицв1, удовлетворяющей условию Л > второе неравенство

(1.8) будет разрешимо при тех же самых значениях этих переменнвтх, т. е. при JCg = JCg и у = 7оо- Следователвно, справедливо равенство уу, = Таким образом, для того чтобв1 действителвно учеств влияние как началвного, так и внешнего возмущений, для весовой матрицв1 Л в показателе уу, должно ввшолнятвся условие > 1-

§ 2. Синтез обобщенного Л^-управления

Пуств линейнв1й дискретнв1Й управляемый нестационарнв1Й объект имеет вид

ЛТ+1 = = 0, . . . , IV — 1,

= + (1'9)

где ж G R"*^ — состояние, л G R"*^ — целевой выход, t/ G R"*^ — измеряемый въ1ход, г G R"*" — внешнее возмущение и м G R"*" — управление. Сформулируем две задачи управления, связаннъю с функционалом (1.7).

Сначала рассмотрим случай измеряемого состояния. Требуется синтезироватъ обобщенное %оо-управление по состоянию на конечном интервале времени в виде нестационарной линейной обратной связи

"t. = ө^., t = 0,.... IV - 1,

(1.10)

при котором уровенъ гашения возмущений уу, замкнутой системъ1 будет менъше заданного у. Подобный закон управления можно рассматриватъ как минимаксный, посколъку он минимизирует относителъное значение Т(а?о,Го,... ,Щу_1) в случае, когда внешнее и началъное возмущения приводят к его максималъному значению. С учетом сделаннъгх в предъщущем параграфе замечаний, в случае если объект в начальный момент времени находится в покое, функционал (1.7) переходит в (1.3), а сформулированная задача представляет собой задачу -оптимального управления [33, 41]. В противоположном случае, когда на объект не действует внешнее возмущение, задача равносильна отысканию минимального %, при котором справедливо неравенство:

Задача минимизации функционала, стоящего в левой части неравенства, есть не что иное, как классическая задача линейно-квадратичного управления. Известно, что значение функционала на ее решениях зависит от начальных условий Жд и записывается как ж^ЗСдЖд, где матрица JCg является решением рекуррентного уравнения Риккати:

11

В то же время, значение уровня гашения началвнвгх возмущений не зависит от щу

до]

Подобное переформулирование задачи линейно-квадратичного управления в терминах гашения началвнвгх возмущений особенно важно в случае синтеза законов управления по ВВ1ХОДУ, посколвку в этом случае, законв1 линейно-квадратичного управления оказвшаются зависящими от началвнвгх условий, а законв1, обеспечивающие минимум функционала — нет.

Справедлива следующая теорема, символом обозначен соответствующий симметрический блок [41].

Теорема 1.2. Обобщенное 7/ос-^лрабленне но состоянию на конечное антербале бремени Элл обзекжа (1.9) сщдестб^ет тозба н только тозба, козба лнненнме л^ат-рнннме нерабенстба

/-1Ф+1 0 \

-Тф 0 ЦСщ +

* Эг -у 7 0

Эг *

^0,

збе = Л \ разрешаем относительно л^атрн^ = У). > 0 /о = 0,...

(1.П)

б/- 1.

этол{ случае лара^иетрм резщьятора еминсллютсл но д5орл{^ле Ө/, = Х^Уд.

Отметим, что синтез Дд-управления на конечном интервале осуществляется путем совместного решения первого набора неравенств (1.11), в которвгх ввшеркнутв1 третви блочнвю строки и столбцвц и второго неравенства (1.11), в котором Л = 7, а синтез Л ос-управления на конечном интервале — путем решения перввгх неравенств (1.11).

В случае, если состояние системв1 недоступно измерению, то требуется найти управление по измеряемому ввгходу в виде линейного динамического регулятора полного

порядка с нулевв1ми началвнв1ми условиями

(д+1 + ()о Ф 0,..., IV 1,

(1.12)

при котором уровенв гашения возмущений ру,(Өд,... , Ө^_^) замкнутой системв1 с состоянием оуд, = со1(ж^,^) будет менвше заданного положителвного у [41]. Здесв G R"*^

12

— состояние регулятора, матрицу параметров которого обозначим как

Подобный закон управления называется обобгценнв1м 7/^-управлением по ввгходу, а регулятор (1.12) — обобгценнв1м %оо-регулятором. Соответственно закон управления будет оптималвнв1м, если неравенство у^(Өо?---Aw-i) < 7 ввшолняется при мини-малвно возможном значении у. Справедлива следующая теорема [41].

Теорема 1.3. Дела ланейнме аиатралнме нерабенстеа

X

-ЗщА+1 А ^щА+А1д — 2 т 7 А А<о, (1.13а

Ад 0 -А

^А%л^ — А+1 X X \

АдА^11 АдААщ — 7 X А <0, (1.13Ь

0 2 т -у //

/А

Д 0, А < уА, (1.13с

А А;

разрешаем относительно аиатрну Xj = > О, У/J = 4), > О, А; = O,...,JV — 1,

при УД = (Ai — A', z,j = 1,2 — (щ, x Нд,)-блокн аиатрн-

ум S', а столбам аиатрну IV/, н М/, образуют базнсм лбер аиатрну (А 4?2 /с 0) н (Р?А 0) соотеетстеенно, то Элл обзекта (1.9) лрн забанноаи у > 0 сущестеу-

ет обобщенное ^оо'Э^рлбленне ло емжобу на конечное ннтереале.

Для построения обобщенного %оо-регулятора сначала находятся матрицы У),, /z = O,...,JV — 1, удовлетворяющие условиям теоремы, а затем, исполвзуя подход, опи-санный в [41], ВВ1ЧИСЛЯЮТСЯ матрицв1 Өд,..., Ө^_1.

§ 3. Синтез обобщенного Т/^-фильтра

Рассмотрим линейный дискретнв1Й управляемв1Й нестационарнв1Й объект вида

лд+1 = Алд + Алд, /z = O,...,JV-l,

С1ДЛу, (1.14)

= АдЛ^/с + Ащ,

где ж G R"*^ — состояние, л G R"*^ — целевой въ1ход, у G R"*^ — измеряемъ1Й въ1ход и г G R"*" — внешнее возмущение, ограниченное по Д-норме. Началъное состояние ад в общем случае ненулевое и неизвестно, а его влияние на динамику объекта интерпретируется как начальное возмущение.

Поскольку состояние системы (1.14) недоступно непосредственному измерению, а на

13

объект и его измеряемый выход действуют неизвестнъю внешние возмущения, то возникает задача построение оценки состояния системъ1 по доступнъ1м измерениям независимо от внешнего воздействия. Указанная задача назъшается задачей филътрации [39, 40, 42]. Для ее решения рассмотрим дискретный линейный нестационарный несмещенный филътр в форме наблюдателя:

(1.15)

где ж G К""" — состояние и л G — целевой въгход филътра, a — матрица параметров филътра, А; = O,...,JV — 1. Запишем уравнения, описъшающие изменение ошибок

филътрации:

= (А: — + (Т?д, — 6о = Жд,

(/с = ClpBi

(1.16)

где -В = Жд, — ор — ошибка наблюдения состояния и Д = — Д — ошибка целевого

выхода.

Выберем в качестве критерия, представляющего собой показатель качества фильтрации на конечном интервале времени, уровень гашения возмущений в системе (1.16). В этом случае задача обобщенной Вос-фильтрации заключается в синтезе фильтра вида (1.15), для которого выполняется неравенство уДЪд, - - - ,L^_i) < у при некотором у > 0. Соответственно фильтр (1.15) является обобщенным В^-оптимальным фильтром, если неравенство ру,(Дь - - - ,L^_i) < у выполняется при минимальном у [42].

Теорема 1.4. Для обзекта (1.14) сщресте^ет обобщенный Вос-д5пльтр епба (1.15) с показателей канестеа д5пльтра^пп на конечное антереале бремена меньше зайан-нозо пасла у > 0 тозйа н только тозйа, козйа ланейные матрааные нерабенстеа

/

—^Д+1 Эг * '

Щ-1 — -X, Эг Эг

н+1 — 0 2 т -у 7 Эг

0 Сщ 0

елъно матриц о,

разрешим

этом случае параметре фильтра нажобятся как

, А; = 0,..., IV — 1 при = У.

= ^+1^.

Отметим, что задача В^-фильтрации и задача Дд-фильтрации являются частными случаями задачи обобщенной В^-фильтрации при нулевом начальном состоянии объекта и отсутствии внешнего возмущения соответственно. При этом синтез %-фильтра осуществляется путем совместного решения первого набора неравенств (1.17), в которых вычеркнуты третьи блочные строки и столбцы, и второго неравенства (1.17), в котором Л = 7, а синтез Воо-фильтра — путем решения первых неравенств (1.17).

14

ГЛАВА 2

ОБОБЩЕННАЯ %^-НОРМА НЕПРЕРЫВНОГО ОБЪЕКТА С ДИСКРЕТНЫМ ЦЕЛЕВЫМ ВЫХОДОМ

В данной главе рассматривается линейный непрерывный объект, состояние которого измеряется в фиксированиям моменты времени. Вводится понятие уровня гашения возмущений как показатель совместного влияния начального и внешних возмущений на целевой выход и терминальное состояние в наихудшем случае. Получена характеристика уровня гашения возмущений как в терминах матричных дифференциальных или разностных уравнений Риккати, так и в терминах линейных матричных неравенств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бирюков, Руслан Сергеевич, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Digital control systems: controller design with a zero-order hold function / W. Sun

[et al.] // Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and Control. Vol. 1. — 1992. — Pp. 475-480.

2. Sun W., Nagpal K. M., Khargonekar P. P. control and filtering for sampled-data systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1993. — Vol. 38, no. 8. — Pp. 1162-1175.

3. Sagfors M. F., Toivonen H. T. #and LQG control of asynchronous sampled-data systems // Automatica. — 1997. — Vol. 33, no. 9. — Pp. 1663-1668.

4. Sagfors M. F., Toivonen H. T., Lennartson B. control of multirate sampled-data systems: a Riccati equation solution // Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control. Vol. 3. — 1997. — Pp. 2151-2156.

5. Sagfors M. F., Toivonen H. T., Lennartson B. control of multirate sampled-data systems: A state-space approach // Automatica. — 1998. — Vol. 34, no. 4. — Pp. 415-428.

6. Wanyoike G., Katayama H., Ichikawa A. #control for systems with jumps // International Journal of Control. — 1998. — Vol. 70, no. 6. — Pp. 941-964.

7. Christiansson A. K., Lennartson B., Toivonen H. Mixed continuous/discrete-time output feedback control — A unified approach // 1999 European Control Conference (ECC). — 1999. — Pp. 4077-4082.

8. Bernhard P. Application of the min-max certainty equivalence principle to the sampled data output feedback control problem // Systems & Control Letters. — 1991. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 229-234.

9. Ba§ar T., Bernhard P. %oo-Optimal Control and Related Minimax Design Problems: A Dynamic Game Approach. — Birkhauser Boston, 1995. — P. 412. — (Modern Birkhauser Classics).

10. A lifting technique for linear periodic systems with applications to sampled-data control / B. Bamieh [et al.] // Systems & Control Letters. — 1991. — Vol. 17, no. 2. — Pp. 79-88.

11. Bamieh B. A., Pearson J. B. A general framework for linear periodic systems with applications to #sampled-data control // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1992. — Vol. 37, no. 4. — Pp. 418-435.

117

12. Tadmor G. optimal sampled-data control in continuous time systems // International Journal of Control. — 1992. — Vol. 56, no. 1. — Pp. 99-141.

13. Toivonen H. T. Sampled-data control of continuous-time systems with an optimality criterion // Automatica. — 1992. — Vol. 28, no. 1. — Pp. 45-54.

14. Toivonen H. T. Sampled-data optimal control of time-varying systems // Automatica. — 1992. — Vol. 28, no. 4. — Pp. 823-826.

15. Voulgaris P. G., Bamieh B. Optimal and control of hybrid multirate systems // Systems & Control Letters. — 1993. — Vol. 20, no. 4. — Pp. 249-261.

16. Chen T., Francis B. Optimal Sampled-data Control Systems. — Springer, 1995. — P. 374. — (Communications and control engineering series).

17. Sagfors M. F., Toivonen H. T., Lennartson B. State-space solution to the periodic multirate control problem: a lifting approach // Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control. Vol. 3. — 1997. — Pp. 2061-2066.

18. Sagfors M. F., Toivonen H. T., Lennartson B. State-space solution to the periodic multirate control problem: a lifting approach // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2000. — Vol. 45, no. 12. — Pp. 2345-2350.

19. Lall S., Dullerud G. An LMI solution to the robust synthesis problem for multi-rate sampled-data systems // Automatica. — 2001. — Vol. 37, no. 12. — Pp. 1909-1922.

20. Yamamoto Y. New approach to sampled-data control systems-a function space method // 29th IEEE Conference on Decision and Control. Vol. 3. — 1990. — Pp. 1882-1887.

21. Chen T., Francis B. A. %^,-optimal sampled-data control: Computation and designs // Automatica. — 1996. — Vol. 32, no. 2. — Pp. 223-228.

22. Kabamba P. T., Hara S. Worst-case analysis and design of sampled-data control systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1993. — Vol. 38, no. 9. — Pp. 1337-1358.

23. Toivonen H. T., Sagfors M. F. The Sampled-Data Problem: A Unified Framework for Discretization Based Methods and Riccati Equation Solution // International Journal of Control. — 1997. — Vol. 66, no. 2. — Pp. 289-309.

24. Chen T., Qiu L. design of general multirate sampled-data control systems // Automatica. — 1994. — Vol. 30, no. 7. — Pp. 1139-1152.

25. Михеев Ю. В., Соболев В. А., Фридман Э. М. Асимптотический анализ цифровых систем управления // Автоматика и телемеханика. — 1988. — № 9. — С. 83—88.

26. Fridman E., Shaked U., Suplin V. Input/output delay approach to robust sampled-data

control // Systems & Control Letters. — 2005. — Vol. 54. — Pp. 271-282.

27. Suplin V., Fridman E., Shaked U. Sampled-data Control and Filtering: Nonuniform Uncertain Sampling // Automatica. — 2007. — Vol. 43, no. 6. — Pp. 1072-1083.

118

28. Fridman E. A refined input delay approach to sampled-data control // Automatica. — 2010. — Vol. 46, no. 2. — Pp. 421-427.

29. Finite-time control of sampled-data systems / H. Liu [et al.] // 25th Chinese Control and Decision Conference (CCDC). — 2013. — Pp. 2788-2792.

30. Xue X., Shen Y., Guan Z. H. Finite-time state feedback control of linear systems with sampled-data measurement // Chinese Control and Decision Conference (CCDC). — 2016. — Pp. 568-573.

31. Khargonekar P. P., Nagpal K. M., Poolla K. R. Control with Transients // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1991. — Vol. 29, no. 6. — Pp. 1373-1393.

32. Nagpal K. M., Khargonekar P. P. Filtering and smoothing in an setting // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1991. — Vol. 36, no. 2. — Pp. 152-166.

33. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — С. 280.

34. Баландин Д. В., Коган М. М. Линейно-квадратичные и у-оптимальные законы управления по выходу // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 6. — С. 5—18.

35. Balandin D., Kogan M. Revisited LQ output-feedback control: minimax controller for a set of initial states // International Journal of Control. — 2009. — Vol. 82, no. 11. — Pp. 2051-2058.

36. Lu W. W., Balas G. J., Lee E. B. A variational approach to #control with transients // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1999. — Vol. 44, no. 10. — Pp. 1875-1879.

37. Баландин Д. В., Коган М. М. Обобщенное -оптимальное управление как компромисс между -оптимальным и у-оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 6. — С. 20—38.

38. Balandin D., Kogan M. LMI-based -optimal control with transients // International Journal of Control. — 2010. — Vol. 83, no. 8. — Pp. 1664-1673.

39. Баландин Д. В., Коган М. М. Обобщенная -оптимальная фильтрация при внешнем и начальном возмущениях // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48, № 11. — С. 1507—1514.

40. Баландин Д. В., Коган М. М. Минимаксная фильтрация: у0-оптимальные наблюдатели и обобщенные -оптимальные фильтры // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 4. — С. 43—58.

41. Синтез обобщенного -оптимального управления в дискретном времени на конечном и бесконечном интервалах / Д. В. Баландин [и др.] // Автоматика и телемеханика. — 2014. — № 1. — С. 3—22.

119

42. Кривдина Л. Н. Обобщенные %оо-оптимальные дискретные фильтры // XII Всероссийское совещание по проблемам управления. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. [Электронный ресурс]. — М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. — С. 882—888.

43. Бирюков Р. С. Минимаксное управление линейным объектом при внешнем возмущении и неопределенных начальных условиях на конечном временном интервале // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2013. — 3 (1). — С. 206—211.

44. Бирюков Р. С. Обобщенный -оптимальный фильтр для непрерывного объекта по дискретным по времени наблюдениям // Информатика и системы управления. — 2014. — Т. 42, № 4. — С. 89—101.

45. Бирюков Р. С. Обобщенное -оптимальное управление линейным непрерывнодискретным объектом // Автоматика и телемеханика. — 2016. — № 3. — С. 33— 51.

46. Оптимальная стабилизация тела в электромагнитном подвесе без измерения его положения / Д. В. Баландин [и др.] // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2017. — № 3. — С. 22—34.

47. Бирюков Р. С. Обобщенное %оо-управление линейным объектом по дискретным наблюдениям состояния // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. — М.: МИАН, 2015. — С. 37—38.

48. Бирюков Р. С. Обобщенное %оо-управление непрерывным линейным объектом по дискретным наблюдениям выхода // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого): Материалы XIII Международной конференции (1-3 июня 2016г., Москва). — М.: ИПУ РАН, 2016. — С. 59—62.

49. Бирюков Р. С. Синтез обобщённого -оптимального управления линейным непрерывным объектом по дискретным по времени наблюдениям // XIX Нижегородская сессия молодых ученых: Естественные, математические науки. — Н. Новгород: НИУ НАНХиГС, 2014. — С. 126—128.

50. Бирюков Р. С. Обобщенное %оо-оптимальное управление линейным непрерывнодискретным объектом // XII Всероссийское совещание по проблемам управления. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. [Электронный ресурс]. — М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. — С. 700—708.

51. Бирюков Р. С. Синтез обобщенного -оптимального фильтра //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов. — Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета, 2015. — С. 478—480.

120

52. Бирюков Р. С. Обобщенное -управление непрерывно-дискретным линейным объектом по дискретным наблюдениям выхода // Труды X Всероссийской научной конференции ^Нелинейные колебания механических система (Нижний Новгород, 26-29 сентября 2012 г.) — Нижний Новгород: Издательский дом сНаш дом^, 2016. — С. 113—115.

53. State-space solutions to standard Щ and control problems / J. C. Doyle [et al.] // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1989. — Vol. 34, no. 8. — Pp. 831-847.

54. Yaesh I., Shaked U. Minimax -norm regulation of linear discrete-time systems and its relation to linear quadratic discrete games // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1990. — Vol. 35, no. 9. — Pp. 1061-1064.

55. Ravi R., Nagpal K. M., Khargonekar P. P. Control of Linear Time-Varying Systems: A State-Space Approach // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1991. — Vol. 29, no. 6. — Pp. 1394-1413.

56. Stoorvogel A. The Control Problem. — Prentice Hall, 1992. — P. 355. — (And control engineering).

57. Tadmor G. The Standard Problem and the Maximum Principle: The General Linear Case // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1993. — Vol. 31, no. 4. — Pp. 813-846.

58. Кривдина Л. Н. Синтез линейно-квадратичных и у-оптимальных дискретных регуляторов по выходу на основе линейных матричных неравенств // Информатика и системы управления. — 2008. — Т. 15, № 1. — С. 179—190.

59. Hager W. W. Updating the Inverse of a Matrix // SIAM Rev. — 1989. — Vol. 31, no. 2. — Pp. 221-239.

60. Reid W. T. Riccati differential equations. — Academic Press, 1972.

61. Егоров А. И. Уравнения Риккати. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — С. 320.

62. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — С. 424.

63. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S. Boyd [et al.]. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 1994. — P. 193. — (Studies in Applied Mathematics).

64. Duan G., Yu H. LMIs in Control Systems: Analysis, Design and Applications. — CRC Press, 2013. — P. 483.

65. Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Щербаков П. С. Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. — М.: УРСС, 2014. — С. 560.

121

66. Nesterov Y., Nemirovskii A. Interior-point Polynomial Algorithms in Convex Programming. — Society for Industrial, Applied Mathematics, 1994. — P. 405. — (Studies in Applied Mathematics).

67. Ben-Tai A., Nemirovski A. Lectures on Modern Convex Optimization: Analysis, Algorithms, and Engineering Applications. — Society for Industrial, Applied Mathematics,

2001. — P. 488. — (MPS-SIAM Series on Optimization).

68. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. — Cambridge University Press,

2002. — P. 716.

69. Wolkowicz H., Saigal R., Vandenberghe L. Handbook of Semi definite Programming: Theory, Algorithms, and Applications. — Springer, 2012. — P. 654.

70. Grant M. C., Boyd S. P. The CVX user's guide, release 2.1. User manual. — 2016. — URL: http: //web. cvxr . com/cvx/doc/CVX.pdf.

71. Diamond S., Boyd S. CVXPY: A Python-Embedded Modeling Language for Convex Optimization // Journal of Machine Learning Research. — 2016. — Vol. 17, no. 83. — Pp. 1-5.

72. Ran A. С. M., Vreugdenhil R. Existence and comparison theorems for algebraic Ric-cati equations for continuous- and discrete-time systems // Linear Algebra and its Applications. — 1988. — Vol. 99. — Pp. 63-83.

73. Scherer C. W. The solution set of the algebraic Riccati equation and the algebraic Riccati inequality // Linear Algebra and its Applications. — 1991. — Vol. 153. — Pp. 99-122.

74. Wimmer H. K., Pavon M. A comparison theorem for matrix Riccati difference equations // Systems & Control Letters. — 1992. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 233-239.

75. Scherer C. W. The general nonstrict algebraic Riccati inequality // Linear Algebra and its Applications. — 1995. — Vol. 219. — Pp. 1-33.

76. Stoorvogel A. A., Weeren A. J. T. M. The discrete-time Riccati equation related to the

control problem // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1994. — Vol. 39, no. 3. — Pp. 686-691.

77. Petersen I., Ugrinovskii V., Savkin A. Robust Control Design Using 7/^ Methods. — Springer, 2012.

78. Chen B. Robust and 7/^ Control. — Springer, 2013.

79. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. — 5-е. — M.: Физматлит, 2004. — С. 560.

80. Gahinet Р., Apkarian Р. A linear matrix inequality approach to 77°° control // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 1994. — Vol. 4. — Pp. 421-448.

122

81. Narasimhan S., Nagarajaiah S. Smart base isolated buildings with variable friction systems: controller and SAIVF device // Earthquake Engineering & Structural

Dynamics. — 2006. — Vol. 35, no. 8. — Pp. 921-942.

123