Движение идеальнопластических тел малой толщины по осесимметричным поверхностям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Лыу Туан Ань

• Лыу Туан Ань
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Лыу Туан Ань

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАВНОВЕСНОГО ДВИЖЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА МАЛОЙ ТОЛЩИНЫ ПО ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

1.1 Кинематические характеристики

1.2 Естественный способ задания движения материальной поверхности

1.3 Движение тела вращения малой толщины по неподвижной поверхности21

1.4 Поле скоростей и скоростные характеристики тела в процессе деформирования

1.5 Вариационная и дифференциальная формы равновесия

Основные результаты по главе 1

ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В РАМКАХ МОДЕЛИ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

2.1 Модель Прандтля - Рейса

2.2 Течение по конической поверхности

2.2.1 Течение по конической поверхности условии сохранения постоянства толщины оболочки

2.2.2 Течение по конической поверхности при постоянном угле вида напряженного состояния

2.3 Течение по поверхности тора

2.3.1. Течение по поверхности тора при условии сохранения постоянства толщины оболочки

2.3.2 Течение по поверхности тора при постоянном угле вида напряженного состояния

Основные результаты по главе 2

ГЛАВА 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ПО ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

3.1 Определение зависимостей напряжений и толщины от радиальной координаты

3.2 Примеры установившихся течений по поверхностям

3.2.1 Течение по внутренней поверхности тора

3.2.2 Течение по конической поверхности

3.2.3 Течение по внешней поверхности тора

3.2.4 Течение по комбинированным поверхностям

Основные результаты по главе 3

ГЛАВА 4. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА ПО КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

4.1 Нестационарное течение по конической поверхности (раздача)

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Представление системы уравнений в безразмерном виде

4.1.3 Дискретизация системы по переменной -х

4.1.4 Дискретизация системы по «времени»

4.2 Нестарционарное течение по внутренней поверхности конуса (обжим)

Основные результаты главы 4

Заключение

Список использованных источников:

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение идеальнопластических тел малой толщины по осесимметричным поверхностям»

Введение

Диссертация посвящена исследованию стационарных и нестарционарных задач течения несжимаемого жесткопластического тела малой толщины по осесимметричным поверхностям. Постоянное возрастание требований к точности изготовления деталей, в особенности тонкостенных, приводит к разработке новых производственных технологий обработки материалов давлением, которые, в свою очередь, должны удовлетворять требование повышения точности изготовления заготовок на первых, более дешёвых операциях в процессах обработки давлением, чтобы последующая, более дорогая обработка была минимальной.

Технологические процессы обработки давлением, происходящие в форме течения слоя по осесимметричной поверхности - это сложные термомеханические процессы, связанные с большими деформациями первоначальной заготовки. Очевидно, математическая модель, строго описывающая такие процессы, будет системой нелинейных уравнений; исследовать её аналитическими методами практически невозможно. Разработка математических моделей, способных с одной стороны более просто описать отмеченные явления, а с другой стать хорошим инструментом для точного и достоверного расчета технологических процессов, представляет собой актуальную задачу.

Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформции, и Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.

В начале XX века были опубликованы работы Хаара и Кармана, Мизеса. В первой из них была сделана попытка получить уравнения теории пластичности, исходя из некоторого вариционного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано условие текучести.

Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается по двум главным напрвлениям: теория пластического течения и деформационная теория. В работках Прандтля, Мизеса, Рейса были поучены важные результаты, как по основным уравнениям теории пластического течения, так и по методам решения плоской задачи. В трудах Генки были сформулированы основные положения деформационной теории пластичности. Законченный вид деформационная теории пластичности (теория малых упругопластических деформаций) приобрела благодаря работам A.A. Ильюшина [40]. Вопросы экспериментального обоснования различных вариантов теории пластичности на основе общей теории процессов A.A. Ильюшина рассматривались в работах P.A. Васина [21], В.Г. Зубчанинова [35], Э.С. Ленского [53].

Наиболее распространеной и обоснованной для описания процессов пластического течения металлов в широком диапозоне изменения температур и скорости деформации по праву считается теория пластичности для траекторий малой кривизны [13,36,56,79,80,93]. Исследованию задач установившегося течения пластических сред посвящены многочисленные публикации зарубежных и отечественных авторов. Следует отметить работы И.А. Кийко [43,44,45], В.В Соколовского [84], О.Д. Григорьева [33], М.Я. Бровмана [17,18,19]. В рамках модели идеального жесткопластического материала существует класс решений, известных как идеальные течения. Впервые возможность получения таких решений для установившихся плоских течений была показана в статье Richmond О. [111], в этой работе было получено решение, описывающее процесс выдавливания через матрицу специальной формы. Доказательство существования идеальных течений дано в статье [100].

В статье Chung Kwansoo, Alexandrov Sergei [98] указано, что теория идеального течения в пластичности включает установившиеся и неустановившиеся течения, которые делятся на три раздела, а именно: течения при плоской деформации, осесимметричные течения и трехмерные

течения. Для мембранных течений ограничения на определяющие соотношения материалов значительно сглажены, поэтому рассматриваются более сложные анизотропные определяющие соотношения.

Исследования в области осесимметричного течения имеет большое практическое значение для производства изделий машиностроения. В статье Полякова Е.В.; Товстик П.Е.; Филиппов С.Б. [75] рассматривается нелинейная осесимметричная деформация тороидальной оболочки под действием внутреннего давления. Установлено, что существует предельное давление, при превышении которого равновесные положения отсутствуют. Если давление меньше критического, то имеются два положения равновесия — докритическое и закритическое. В закритическом положении равновесия оболочка полностью растянута. Для докритических положений равновесия найдены граница покрытой складками области и минимальное значение давления, при котором на оболочке не образуются складки.

В книгах под редакцией Кийко И.А. [28,29] и в книге Пономаревой Т.Т. [76] приведено решение некоторых задач плоского и осесимметричного деформирования идеальнопластических и вязкопластических изотропных и анизотропных тел.

В статье Боницкой О.В., Красавина Р.В., Маркина A.A. [16] на основании инвариантного условия совместности для девиаторной составляющей тензора напряжений дается постановка задач осесимметричного течения идеально пластической среды в рамках модели Мизеса и условия полной пластичности, рассматривается течение в сходящемся коническом канале, на границе которого задаются касательные напряжения. В статьях Биткова В.В. [14], Исаева А.Н., Яковлева С.С.[41] рассмотрена минимизация образования внутренних разрывов материала при прессовании осесимметричных изделий в конической матрице, а в статье Бровмана М.Я.[17] рассмотрено движение пластической массы в криволинейном канале. Следует отметить работы Александрова С.Е.,

Гольдштейна P.B. [6], Александрова С.Е., Мишурис Г.С.[7], Красавин Р. В., Федосов И. М., Хилковой О. В. [50].

В статье Старова A.B. [86] рассмотрена задача пластического деформирования круглых пластин под действием осесимметричной нагрузки с учетом больших прогибов. Используется модель идеально пластического тела. Для описания осесимметричного деформирования круговой цилиндрической оболочки под действием равномерного поперечного давления или находящейся в условиях всестороннего сжатия равномерным давлением используются уравнения Маргерра [66].

В статье Боницкой О. В. [15] рассмотрено установившееся течение пластических материалов в рамках моделей Мизеса и Треска. Показано, что нахождение поля скоростей осесимметричных течений сводится к определению скалярного потенциала, зависящего только от координаты, лежащей в меридиональной плоскости и ортогональной линиям тока. Выведено условие совместности компонент девиатора напряжения в сферических координатах. Установлены области достижимости касательными напряжениями максимальных значений на границе течения для обеих моделей материалов.

Swift H.W. [112] построил решение задачи установившегося волочения через коническую матрицу используя переменные Эйлера. В работах В.В. Соколовского [83,84] приводятся решения установившегося и неустановившегося процессов волочения тонкостенной трубы через коническую матрицу. Решение выполнено без учета трения в рамках теории пластического течения с условием текучести Губера - Мизеса и с линейным условием текучести, предложенным В. Прагером.

В решении Г.А. Смирнова-Аляева и Г.Я. Гуна [81], полученном с использованием приближенного метода, разработанного авторами на основе теории вязко-пластического течения [82], получены зависимости для определения силы и деформации при обжатии, раздаче и волочении

тонкостенных труб. Решения справедливы для любой формы инструмента, однако вычисления весьма трудоемки.

Работы по осесимметричному идеально пластическому течению рассматривается в работах Головешкина В.А., Пономарев A.B., Холин H.H. [30]; Максимова JI.A. [54,55]; Козлова JI.B. [47,46], Пилипенко О.В. [73].

Выдавливание и вытяжка являются основными методами производства тонкостенных осесимметричных изделий в технологии обработки металлов давлением. В статье Рузанов Ф. И. [78] проведен анализ влияния коэффициента анизотропии и неоднородности распределения предела текучести листового металла на критические параметры процесса осесимметричной вытяжки. В статьях [10,51,69,74] разработана аналитическая модель процесса формообразования осесимметричной вытяжки. В работе Володина А. И. [25] рассмотрена реверсивная математическая модель расчета осесимметричного деформированного состояния при штамповке.

В статье Коробкина В.Д. [49] для определения вида напряженного состояния, удовлетворяющего условию пластичности Мизеса, рассматриваются соотношения для поля скоростей. Получены уравнения для определения характеристик и соотношений вдоль них для случая ортогональных координат. В качестве примера рассмотрен случай тороидальных координат. Полученные уравнения позволяют определить поле скоростей для осесимметричных задач любого профиля, что даст возможность оценить прочность конструкции.

В статье Горского A.B., Горского П.В. [31] рассматривается общая осесимметричная задача о вдавливании кругового и кольцевого в плане штампов в идеальное жесткопластическое полупространство при действии радиальных и окружных контактных касательных напряжений на основе статически определимых уравнений гиперболического типа для статически определимых случаев пластического состояния.

В статье Александрова С. Е., Ляминой Е. А. [3] рассматривается предельное пластическое состояние тонкого полого осесимметричного диска, подвергнутого термомеханическому нагружению при однородном распределении давления на внутреннем контуре и температуры, увеличивающихся в процессе деформирования. Получено полуаналитическое решение поставленной краевой задачи.

Для решения задач механики деформируемого твердого тела с учетом физической и геометрической нелинейностей используются пошаговые и итерационные методы [2,9,89,90]. Метод последовательных нагружений использует схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Основные положения этого метода изложены в работах В.З. Власова [23,24] и В.В. Петрова [70,71,72], в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки. Основной недостаток данного метода -низкая сходимость, в силу чего необходимо использовать различные способы для уточнения полученных результатов.

Н.М. Матченко и A.A. Трещев в работе [67] предложили варианты комбинированного пошагово-итерационного метода, сочетающего процедуру пошаговых изменений внешней нагрузки с промежуточными итерациями.

В работе М.С. Агапова [1] на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эйлерового описания сплошной среды разработана методика статического деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформаций и получены разрешающие уравнения с учетом физической нелинейности. Предложенный алгоритм решения задач разработан на основе метода конечных разностей.

В работе Артемьева А. А. [8] представляется методика численного решения задач динамического упругопластического деформирования осесимметричных оболочек. На примере осесимметричной задачи в статье Воронцова А. Л. [26,27] показана принципиальная разница решений задач

пластической деформации методами прикладной теории пластичности и инженерной теории обработки металлов давлением. Показаны сложность и недостаточная изученность осесимметричной задачи теории пластичности. Сравнительная оценка решения осесимметричной задачи пластичности методом характеристик и методом линеаризации условия пластичности Мизеса приведена в статье Купцова А. В. [52].

В статье [57] приведен численный метод решения задач пластичности по теории течения с использованием метода конечных элементов. Основной особенностью метода является непосредственное решение системы нелинейных определяющих уравнений программными средствами, реализующими алгоритм минимизации невязки функции.

В статье Мас1е]е\У8кл Д., Мгог Ъ. [106] проведен анализ процесса осесимметричного прессования с циклическим скручиванием, производимым периодически вращающейся матрицей с заданной частотой и амплитудой. Представлен анализ методом верхних пределов для кинематически допустимого поля течения. Эволюция усилия прессования и крутящего момента также исследовались.

Работы, относящиеся к численному методу решения задач динамического упругопластического деформирования осесимметричных оболочек рассмотрены в работах Бахаревой Ю. Н. [12]; Григорьева Я.Ю. [34]; Радаева Ю. Н., Бахаревой Ю. Н. [77]; Баженова В. Г., Зефирова С. В., Павленковой Е. В. [11]; Сокольева Г.Х. [85].

Представляется актуальной разработка достаточно общей постановки и метода решения задач установившегося и неустановившегося осесимметричного пластического течения, позволяющих получать решения моделирующие движение тел из идеально пластического материала по различным осесимметричным поверхностям. В отличие от модели А.А.Ильюшина [38], где используется условие Треска, задача ставится как в эйлеровых, так и в лагранжевых координатах при условии пластичности Мизеса.

Учитывая выше сказанное, сформулируем цель работы: разработка общей постановки и методов решения задач установившегося и неустановившегося идеально пластического течения тонких тел вращения при их движении по осесимметричным поверхностям. Результаты работы приведены в статьях [62,63,64,65].

В первой главе рассматривается кинематика конечного деформирования и условия равновесия. В эйлеровых и лагранжевых координатах с использованием гипотезы сохранения ортогональности и прямолинейности материальных волокон ортогональных к опорной поверхности в начальном состоянии получены кинематические характеристики тела малой толщины при его движении по осесимметричной поверхности.

Из принципа Журдена в эйлеровых и лагранжевых координатах получены условия равновесного протекания процесса деформирования тела малой толщины в вариационной и дифференциальной формах.

Во второй главе дана постановка задач в рамках модели идеально пластического материала с условием пластичности Мизеса. Исходя из ассоциированного закона пластического течения и условий равновесия в эйлеровых и лагранжевых координатах получены системы уравнений, моделирующие движение осесимметричного тела по поверхности. Данная система уравнений использована для описания движения тела по конической поверхности в двух вариантах: постоянства угла вида напряженного состояния и постоянства толщины. Те же варианты рассмотрены при движении тела по поверхности тора.

В третьей главе рассмотрено моделирование установившихся (не зависящих от времени) течений. В рамках предлагаемой модели показано, что при установившемся течении радиальная координата и толщина движущегося по осесимметричной поверхности тела зависят от угла вида напряженного состояния универсальным, независимым от формы опорной поверхности образом. Установлены аналитические зависимости радиальной координаты и толщины тела от угла вида напряженного состояния.

Получены аналитические зависимости дуговой координаты от угла вида напряженного состояния и от толщины тела для течений по внутренней и внешней тороидальным поверхностям, по конической поверхности, а также по комбинированной поверхности. Путем обращения данных зависимостей построены графики изменения давления на тело со стороны опорной поверхности и зависимости толщины тела от дуговой координаты.

В четвертой главе проводится моделирование неустановившихся течений по конической поверхности. Такая модель даёт возможность определить изменения формы и напряженного состояния тела при нестационарных равновесных движениях, когда характеристики напряженного состояния в фиксированных точках материального пространства изменяются со «временем». Система уравнений, описывающая течение по конической поверхности, приведена к пяти безразмерным разрешающим дифференциальным уравнениям, которые включают следующие неизвестные функции «времени» и лагранжевой координаты: закон движения; распределение «скоростей»; удлинение меридионального волокна; угол вида напряженного состояния; толщина тела. Получена аналитическая зависимость лагранжевой координаты от угла вида напряженного состояния в начальный момент «времени». С помощью данной зависимости устанавливается распределение начальной «скорости» вдоль дуговой координаты. Использование явной и неявной схем дискретизации по дуговой и «временной» координатам позволило свести исходную систему к системе квазилинейных уравнений относительно узловых значений искомых функций. Получены численные решения задач, моделирующие неустановившиеся стадии процессов раздачи и обжатия по конической матрице.

ГЛАВА 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАВНОВЕСНОГО ДВИЖЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА МАЛОЙ ТОЛЩИНЫ ПО ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

1.1 Кинематические характеристики

Рассматривается движение осесимметричного тела таким образом, что

внутренняя или внешняя поверхность тела находятся в непрерывном контакте с неподвижной поверхностью (матрицей). В процессе движения тело деформируется на Рис. 1.1 показано начальные и текущие положения тела при скольжении её внешней поверхности по внутренней поверхности матрицы. Необходимо определить законы изменения напряжённо -деформированного состояния тела в процессе равновесного движения по поверхности. Вначале опишем движение двумерного объекта - подвижной материальной поверхности по неподвижной поверхности.

Г

Рис. 1.1 Движение подвижной материальной поверхности по неподвижной

осесимметричной матрице

Описание движения деформируемой поверхности по неподвижной поверхности (матрице).

Пусть в начальный момент /0Г0 материальная поверхность задана уравнением [48]

с1Х = ^с1Х1 +1:771с1Х2 =-с1Х] +-ах2 = Х^г0 + Х2с1ср0, (1.1.2)

где Х,= — = ёг+-^-ег ;Х2=-— = г0-^ = г0ё<р. (1.1.3)

х = х(х\х2,10) = г0ёг + г0(г0>10)ё2, (1.1.1)

где X - радиус-вектор точек материальной поверхности; Xх =г0 - начальная радиальная координата; Х2=ср0- начальная угловая координата; 20(г0)~

уравнение меридиана материальной поверхности.

Начальный элементарный (бесконечно малый) материальный вектор определяется выражением

ах1 дХ2 дг0 д(р0 дХ _ сИп _ - дХ с!ё.

— = + —^ ; 2 = — = го —

дг0 с1г0 8<р0 с1ср0

- ковариантные векторы начального материального базиса. Формулы (1.1.3) получены дифференцированием по координатами г0,(р0 выражения (1.1.1).

Зададим движение материальной поверхности 20(г0) по неподвижной поверхности (рис. 1.1). Осесимметричное движение поверхности

задается законом

г = г(г0Л) ; г = г(г0,г); (р^ср0. (1.1.4)

В момент времени ? положение точек материальной поверхности определяются выражением

* = х(г0,(р0л) = г(г0л)ег + 2(г0л)ё:. (1.1.5)

Элементарный материальный вектор йХ в момент времени деформируется в элементарный вектор сБс

сВ = + Э2с1Х2 = ЭХФ0 + Э2с1(р0 , (1.1.6)

= дх Ф _ _ ,, , ~

где Э1= — = —ег+ — ег, (1.1.7)

дг0 ¿г0 с1го

Э2 = —— = г{го)ё - векторы подвижного материального базиса. д<Р0

Определение аффинора деформации

Связь между векторами с1Х и сБс определяется выражением [61] (& = с1Х.Ф , (1.1.8)

где Ф - аффинор деформации.

Аффинор Ф можно задать диадной суммой следующего вида [61]

Ф = Х'Э, = +Х2Э2 , (1.1.9)

— | — 2

где X ; X - контравариантный векторы начального базиса.

Контравариантные векторы X' связаны с ковариантными векторами Х1 формулами следующего вида:

8и

Х2 =

§22

(1.1.10)

где ёи=Х].Х1 = \ +

Ж,

\аГо J

квадрат длины Хх\

822 = Х2.Х2 = г2- квадрат длины Х2.

Ковариантные компоненты метрического тензора в момент / определяются по формулами

С,, = Э, .Э, =

Г ¿г] 1 (сИ\

+

1 <Ьо)

; С22 = Э2.Э2 =г2(г0)

Запишем представление (1.1.9) в главных единичных осях с начальным базисом <5,, 52 и текущем базисом г, и т2.

Из (1.1.10) следуют связи между й(. и Г

I- ' "2 I-

У18и \] §22

Из (1.1.10) следуют связи между г,- и Э, .. Э,

(1.1.11)

а

г, =

^ л/^22

(1.1.12)

С учетом (1.1.10), (1.1.11) и (1.1.12) выражение аффинора (1.1.9) принимает вид

Ф =

(dr/dr0)2+(dZ/dr0) г

а|Г, ч—а2т2 ■ (1.1.13)

1 + {dZ0/dr0)

Если закон движения и уравнение неподвижной поверхности

Z(г) известны, то из (1.1.13) определяется аффинор деформации.

Определение меры Коши - Грина

Мера Коши - Грина определяется выражением [59]

= (1.1.14)

Из выражения (1.1.13) находим транспонированный аффинор Ф Т=Э,Х'. (1.1.15)

Подставляя ( 1.1.9) и ( 1.1.13) в ( 1.1.14) находим представление тензора G в контравариантном базисе

G = GUX]X] +G22X2X2 . (1.1.16)

Разложим тензор G по базису главных осей 5/ с учетом формул (1.1.11) и (1.1.12) получим

Q = Ga^A+G а2а2 , ,(1.1.17)

г - 1 г (dr/dr0)2+(dZ/dr0) где Gaa = я,.G.a, = —Gu = ------5—1

8п 1 + (dZ0 / dr0)

Ga2a2=d2.Q.a2= — G22=4 • (1.1.18)

£22 r0 Находим левую меру искажения [59]

Ч = 4я= V^"5«5' + a2a2 = + 4*2*2 >

где Я,, Aj -относительные удлинения меридионального и окружного элементарных материальных волоком. Из (1.1.18) находим Я, и Я,

Я, - —

<1г0

Левая мера искажения и = уЩ в базисе принимает вид

и =

с!г

с1г

1 + (¿/г/б/г)'

а^а^ н—а2а2 •

Найдем тензор поворота Я из условия

Ф = ия ; Я = и~х.Ф .

И (1.1.9) и (1.1.19) получим

/

л/^7

Д =

(с!г/с1г0)Л + (с1г/с1г)

2 2

так как из (1.1.11) <я, .X1 =

1 - 1

; а2.Х = !- , то получаем

Я = ■

¿/г б/г

1+

Г—т

I оЕг У 1

¿7,Э| + —я2Э2 г

с1г с1г

1+

Г—т

V ¿г )

Э,а | + — Э2я2 г

(1.1.19)

(1.1.20)

(1.1.21)

Перемножая (1.1.20) и (1.1.21) получим

Т Т _ 1

Я.Л = а]а] + а2а2 - Е следовательно/? =Я - тензор ортогональный. Найдем компоненты И в базисе 5, . Из (1.1.20) получаем

Яп „ = а1 Я.а, = 1 ~ 1

Э

Э,а

№

— — Т П — пгло /?

где ,-= г, - единичный вектор вдоль Э,;

/?- угол поворота между начальным вектором ах и текущим г.

Ra2a2 =a2.R.a2 = \ . В результате получим

R = eos (3axax+a2a2. (1.1.22)

Введем начальный a0 и текущий угол а между векторами а],т] и вектором ег (Рис. 1.2), тогда из (1.1.17) и (1.1.18) имеем :

- - X, _ 1

cosa = а, .е = , .е =

1 г / Г

yjg 11

eos а = f, ,er = ¡5-а-а0 .

Э,

1+ИоМоГ 1

1 + (dz/drj1

(1.1.23)

Рис 1.2 начальный ог0 и текущий угол а между векторами , Г]

и вектором ёг Определим меру и через углы а,а0

тт cosan аг__г__

и ---—ахах н—а2а2

cosa dr0 r0

U = +—a2a2 ,

(1.1.24)

dr

где dS0 =----начальная длина элементарного волокна.

cos а0

dr

dS =--текущая длина элементарного волокна.

cosa

1.2 Естественный способ задания движения материальной поверхности

Радиус кривизны р0 меридионального волокна в начальном состоянии определяется формулой

■ (1.2.1)

da0 а кривизна

_ 1 _ da0 Хо ~ ,0

Ро dS0

В деформированном состоянии соответственно

p=dS_. х = — (122)

da dS

Из формул (1.1.28) следует, что

tga = ^-; tga0=^- . (1.2.2)'

dr drQ

Дифференцируя эти выражения по г и г0 получим

J_1 da0 _ d2Z0

cos a dr dr cos a0 dr0 dr0 dS0 = p0da0 = ; co5 a0 = 1

(1.2.3)

C0Sa0 ° Jgu

dr 1 dS - pda --; cos a = .- . (1-2.4)

cos a д/G, i

Из (1.2.3) и (1.2.4) получим выражения для радиуса кривизны в начальном состоянии в виде

Ро =

аг 1

созссЛа- з ¿/ 2п соб ап

Кривизна в начальном состоянии определяется выражением

Х.-сога.^-/2'!* . . (1.2.5)

Зададим уравнение меридиана в форме зависимости угла а0 от начальной длины

а0 = а0(80). (1.2.6)

Та же зависимость для кривой в деформированном состоянии имеет вид

а = а(8). (1.2.7)

Закон движения материальной поверхности вдоль неподвижной в этом случае задаем в виде

5 = . (1.2.8)

Закон (1.2.8) устанавливает соответствие между начальным положением материальных точек на неподвижной поверхности и текущим

положением этих же точек -5 на данной поверхности.

Из уравнений поверхности в виде (1.2.6) и (1.2.7) получим закон изменения радиальных координат в начальном и текущем состояниях. Из формул (1.2.4) получим

г0(5)= |с<юа0(50)<Ю0; г(5) = | соза(8)<£5 , (1.2.8)'

где 50| и координаты отсчетной точки меридиана в начальном и текущем состояниях.

1.3 Движение тела вращения малой толщины по неподвижной

поверхности

Положение точек тела в начальном состоянии задаем относительно ортогонального базиса ах,а2,аъ^ связанного с поверхностью матрицы. Единичные векторы а{,а2 определяются формулами (1.1.17)

1

а\ =

Мо с1г„

а2 =е<р

Из выражений (1.1.15), (1.1.28) и (1.2.2') получим

ах = соб а0ег + бш а0е2

а3=а1ха2= е2 соб а0 - ег бш а0

(1.3.1)

В качестве координат начального положения материальных точек используем длину дуги - вдоль меридиана, угол - (р0 и длину прямой -отсчитываемую вдоль вектора аъ (Рис. 1.3). Радиус - вектор произвольной

точки тела в начальном состоянии определится выражением

1*Х = Х{80,<р0) + £0а3, где ; 0<4</2о(5о).

К (50) - переменная толщина тела.

(1.3.2)

вг

Рис. 1.3 Движение тела вращения малой толщины по неподвижной

поверхности

Из разложения (1.3.2) определим ковариантные векторы материального базиса в начальном состоянии

(6) -

(м - д X дХ да^ _ да, „

х1=-=-+ —~£о=а\+—>

1 Э50 Э50 Э50 1 Э50 0

(1.3.3)

дХ дХ - ,— 1

где = — соб а0 = А, сол' а0 = а, ^ , ,— = я

дг

Из представления (1.3.1) находим

¿/<х, _ . _ а,

—- = -соба0 —-ег -ята0 —-е2 = — б®0 р0

(1.3.4)

где р0

радиус кривизны меридиана.

С учетом (1.3.4) из (1.3.3) находим

(Ч

Хх - а,

1—22-Ро

(1.3.5)

В дальнейшем полагаем, что толщина тела много меньше радиуса

К ,

кривизны — «1 , тогда :

Ро

~ -X, = я, .

Находим 2-ой ковариантный вектор о - _ д X _ дХ даъ _ _ даъ

2 ~~ ~~ ^ Ьо ~~ Гое(р + Ь0

д(р0 д(р0 д<р0 " дср0

(1.3.6)

(1.3.7)

да

з _

(Л.

■ бш а0 = -е бш а0

д<Р0 ¿(р0 Из (1.3.7) и (1.3.8) следует, что

(1.3.8)

= е^о

<5

Бтап

\ 'о

(1.3.9)

/г

Так как — «1, то окончательно получим Ро

о -

Х2=ефг0. (1.3.10)

Третий вектор находим из определения

(1.3.11)

Будем полагать, что прямолинейные материальные волокна, направленные в начальном состоянии по нормали к поверхности контакта с матрицей, остаются прямолинейными и нормальными к этой поверхности и в процессе деформации. Координаты точки вдоль нормали обозначим через £. В результате положении точек тела в момент / определится выражением

(4)5С(5,£Р,0 = ЗС(5>) + #Т3 , (1-3.12)

где г3 = г, х г2 - единичный вектор нормали к деформированной поверхности контакта.

Зададим закон движения точек тела в виде связей между начальными

и текущими координатами материальных точек

5 = 5(5о,0. (1.3.13)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лыу Туан Ань, 2014 год

Список использованных источников:

1. Агапов М.С. Использование метода продолжения по параметру при численном решении задач, моделирующих сильное нелинейное деформирование в координатах Эйлера: дис ... канд. физ.-мат. наук. - М., 2009.- 112с.

2. Адамов В.И., Маркин A.A. Моделирование процессов обработки давлением осесимметричных изделий // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 1989. - № 12. - С. 104.

3. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975.96 с.

4. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во Со РАН, 1999. 342 с

5. Александров С. Е.; Лямина Е. А. Предельное пластическое состояние тонкого полого диска при термомеханическом нагружении // Прикл. мех. и техн. Физ. -2012-с. 102-111.

6. Александров С. Е., Гольдштейн Р. В. Пластическое течение в коническом канале. Качественные особенности решений при разных условиях текучести / / Прикл. мат. и мех. N 1, 2007, т.71, стр. 122- 131с.

7. Александров С. Е., Мишурис Г. С. Осесимметричное пластическое течение двухслойного материала через конический канал / / Докл. РАН №2, 2003, т.390, стр. 196-199с.

8. Артемьева А. А. Методика численного решения задач динамического упругопластического деформирования осесимметричных оболочек//17 Нижегородская сессия молодых ученых "Естественные, математические науки", Нижний Новгород, 28-31 мая, 2012 - с. 177.

9. Астапов Н.С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней // ПМТФ. - 1996. - Т. 37,- №4,- С. 200-203.

Ю.Астахов В. Ю., Кулешова Е. Ю., Пасько А. Н. Математическое моделирование операции вытяжки без прижима осесимметричного стакана из плоской заготовки / / Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Актуал. вопр. мех. N 2, 2006, т.1, стр.3-11с.

11. Баженов В. Г., Зефиров С. В., Павленкова Е. В. Конечно-элементное решение осесимметричных упругопластических задач кручения-растяжения при больших деформациях / / Материалы 11 Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, 14-18 февр. 2005, стр.51с.

12. Бахарева Ю. Н. Численное моделирование осесимметричных задач теории идеальной пластичности II9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 авг., 2006, 2006, стр.31-32с.

13.Безхов Н.И. Теория упругости и пластичности// М., Гостехизд. -1953.-420с.

14. Битков В. В. Минимизация образования внутренних разрывов материала при прессовании осесимметричных изделий в конической матрице // Кузн.-штамп, пр-во. Обраб. матер, давлением. -2012 - с. 22-29.

15. Боницкая О. В_.,_ Зотова С. В. Сравнение моделей идеально пластических материалов при осесимметричном установившемся течении//Вестн. ТулГу. Сер. Мат. Мех. Информат. N 2, 2008, т. 14, стр.50-62с.

16. Боницкая О. В., Красавин Р. В., Маркин А. А. Осесимметричное установившееся течение идеально пластических материалов в коническом канале// Прикл. мат. и мех. N 4, 2010, т.74, стр.691-699с.

17. Бровман М.Я. О движении пластической массы в криволинейном канале // Прикладная механика. 1983. Т. 19. №8. с. 121-124.

18. Бровман М.Я. О линиях тока при плоской пластической деформации //Изд. РАН. МТТ. 1989. №2. с.185-187.

19. Бровман М.Я. Применение гиперболических линий тока при исследовании плоской пластической деформации. // Известия вузов. Черная металлургия. 1995. №1. с.25-28.

20. Бровман М. Я. Решение осесимметричных задач обработки металлов давлением // Изв. вузов. Чер. металлургия N 9, 2006, стр.27-29с/

21. Васин P.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном напряжении.// Упругость и неупругость. Вып. 1. М.: Изд-во МГУ, 1971. с.59-126.

22. Вервейко Н. Д., Купцов А. В. Пространственная задача теории пластичности модели Мизеса/ / Место издания: Воронеж.

23. Власов В.З. Общая теория оболочек. - М.: Гостехиздат, 1949. - 784с.

24. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. - М.: Физматгиз, 1959. -568с

25. Володин А. И. Реверсивная математическая модель расчета осесимметричного деформированного состояния при штамповке// Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Техн. н. N 3, 2009, стр.230-237с.

26. Воронцов А. Л. Решение осесимметричной задачи теории пластичности при анализе процессов обработки металлов давлением-// Кузн.-штамп. пр-во. Обраб. матер, давлением. 4.1 -2012 - с. 3-12.

27. Воронцов А. Л. Теоретическое обеспечение технологической механики // Вестн. машиностр. Ч. 1 - 2013 - с. 59-66.

28. Вязко-пластическое течение материалов I //Издательство ЦПи при механико-математическом факультете МГУ, 2003, 97с.

29. Вязко-пластическое течение материалов II //Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2003, 97с.

30. Головешкин В. А., Пономарев А. В., Холин Н. Н. О характере осесимметричного процесса деформации пластически сжимаемых сред в окрестности неподвижной границы // 9 Всероссийский съезд по

теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 авг., 2006,

2006, стр.69с

31. Горский А. В., Горский П. В. Об определении поля напряжений и скоростей перемещений идеально пластического течения в случае общей осесимметричной задачи // 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 авг., 2006, 2006, стр.74-75с.

32. Горшов А.Г. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для ВУЗов/ Под ред. Д.М. Клинова. -М.: Наука, 2000. -214с.

33. Григорьев О.Д. К теории плоской деформации жесткопластического тела. // ПММ. 1961. Т.2 вып. 5. с.906-911.

34. Григорьев Я.Ю. Численно-аналитический метод расчета пластических течений с разрушением материала. //Диссертация. Самара. -

2007.

35. Зубчанинов В.Г. Об определяющих отношениях теории упругопластических процессов. // Прикл. Мех. 1989. Т.25, №5. -с. 3-12.

36. Ивлев Д.Д. теория идеальной пластичности / / М., Наука. -1966, -1966,-231с.

37. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды: Учебник - 3-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-310с.

38. Ильюшин A.A. Пластичность. Часть. 1 Упругопластические деформации. Репр. воспр. текста изд. 1948г. - М.: Плюс, 2004. - 388с.

39. Ильюшин A.A. Пластичность. - М. - Л.: Гостехиздат, 1948. - 376с.

40. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластических деформаций. //Прикладная математика и механика. -1943. -Т.VII. Вып. 4. -с. 3-12.

41. Исаева А.Н.; Яковлев С. С. Подход к анализу процесса деформирования полых осесимметричных толстостенных заготовок из анизотропных материалов в коническом канале // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Техн. н. -2012 - с. 45-50.

42. Кадымов В.А. К исследованию диффернциального уравнения свободного растекания пластического слоя на плоскости. // Изв. Тул. гос. унта. Сер. Естеств. н. вып 2-2008 - с. 86-92.

43. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям. // Инженерный журнал, механика твердого тела, 1966, №5, стр. 123-126.

44. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упругодеформируемым плоскостям. // Инженерный журнал, V, вып. 2, 1965, стр. 372-375.

45. Кийко И.А. О воздействии сжатого пластического тонкого слоя на упругие поверхности. //Изв. РАН, механика и машиностроение, 1961, №6, стр.79-85.

46. Кийко И.А., Кадымов В.А. Обобщение задай Л. Прандтл о сжатии полосы. -Вестние Моск. ун-та, Сер. Математика. Механика. €, 2003.

47. Козлова Л. В. Деформация и разрушение жесткопластических тел в условиях осесимметричной деформации / / 2003. Пластичность

48. Кочин Н.Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М. «Наука», 1965. - 424с,

49. Коробкин В. Д. Поле скоростей в криволинейных координатах статически определимой осесимметричной задачи при условии пластичности Мизеса// Научн. вест. ВГАСУ. Стр-во и архит. -2012 - с. 141-145.

50. Красавин Р. В., Федосов И. М., Хилкова О. В. Осесимметричное установившееся течение пластических материалов в коническом канале / / Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. N 2, 2003, стр.78-95с.

51. Куанг Ха Хонг. Моделирование процесса вытяжки с утонением цилиндрических осесимметричных деталей // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Естеств. н. -2011-е. 145-155.

52. Купцов A.B. Сравнительная оценка решения осесимметричной задачи пластичности методом характеристик и методом линеаризации

условия пластичности Мизеса / / Авиакосмические технологии "АКТ - 2007", 2007, стр.188-192с.

53. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций. // Вопросы теории пластичности. М.: Изв. АН СССР, 1961, с. 58-82.

54. Максимова Л. А. О статически определимых соотношениях в осесимметричной задаче теории идеальной пластичности // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород, М.:2006, стр.406-410с.

55. Максимова Л. А. Предельное статически определимое состояние осесимметричной задачи / / Вестн. Чуваш, гос. пед. ун-та N 1, 2006, стр.85-89с

56. Малинин н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести // М., Машин-е. -1975. -400с.

57. Манахов П. В.; Федосеев О. Б. Оптимизация вычислений пластических деформаций в нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела // Вестн. Томск, гос. ун-та. Сер. Мат. и мех. -2013 - с. 96-103.

58. Маркин A.A. Термомеханика сплошной-среды: учеб.пособие/ - Тула: Издательство ТулГУ, 2009. - 140с.

59. Маркин A.A., Кудряшов A.B. Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа: учеб.пособие. - Тула: ТулГУ. 2008. - 95с.

60. Маркин А. А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды: учеб.пособие. - Тула: ТулГУ. 2003. - 132с.

61. Маркин A.A., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб.пособие: 2-е изд., доп. - Тула: ТулГУ, 2007. - 92с.

62. Маркин A.A., Лыу Туан Ань. Движение тонкого жесткопластического тела по поверхности с осевой симметрией. // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Естеств. н. вып 3-2012 - с. 93-101.

63. Маркин A.A., Лыу Туан Ань. Движение тонкого жесткопластического тела по конической и тороидальной поверхностиям. // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Естеств. н. вып 3-2013 - с. 154-165.

64. Маркин A.A., Лыу Туан Ань. Нестационарное течение жесткопластического осесимметричноно тела по конической поверхности. // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып 2. с - 164-173.

65. Маркин A.A., Лыу Туан Ань. Движение идеально пластического тела по поверхностям с осевой симметрией // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», ТулГУ, Механико-математический факультет, 2014 г. -с.311-312.

66. Матвеев Е. А., Фролов А. Б. Конечные прогибы круговых цилиндрических оболочек перед потерей устойчивости под действием равномерного внешнего давления//Изв. МГТУ "МАМИ" N 2, 2008, стр. 152-157,384с.

67. Матченко Н.М., Трещев A.A. Теория деформирования разно-сопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2000.- 149с.

68. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. курс дифференциальной геометрии и топологии. -М. Изд-во «Факториал Пресс», 2000. -448с.

69. Назарян Э. А.; Аракелян М. М. Аналитическая модель процесса осесимметричной вытяжки // Загот. пр-ва в машиностр. -2013 - с. 23-27.

70. Петров В.В. Метод последовательного нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек: дисс. ... д-ра техн. наук. - 1969. - 119с.

71. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 1 18с.

72. Петров В.В., Овчиников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 133 с.

73. Пилипенко О.В., Обжим и раздача трубных заготовок из анизотропных материалов: монография / О.В. Пилипенко -Тул. гос. ун-т. Тула, 2007.-150с.

74. Поликарпов Е. Ю. Многооперационная вытяжка ступенчатых осесимметричных деталей из анизотропного материала// Изв. Тульск. гос. унта. Сер. Мех. деформир. тверд, тела и обраб. мет. давлением N 1, 2005, стр. 101-107с.

75. Полякова Е.В.; Товстик П.Е.; Филиппов С.Б. Осесимметричная деформация мягкой армированной нитями тороидальной оболочки // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1 -2011. с. 131-142.

76. Пономарева Т. Т. Избранные задачи плоского и осесимметричного деформирования идеальнопластических и вязкопластических тел // ЧувГПУ . Книга.-2012 -85с.

77. Радаев Ю. Н., Бахарева Ю. Н. Об одном численном методе решения осесимметричной задачи теории пластичности / / Вестн. Самар. гос. ун-та, 2004, стр.52-64с.

78. Рузанов Ф. И. критические параметры процесса осесимметричной вытяжки при пластическом деформировании трансверсально-изотропного и неоднородного по радиусу материала // Пробл. машиностр. и надеж, машин . -2012 - с. 50-55.

79. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1 и 2 //М., Наука. -1970. -536с. и 568с.

80. Седов Л.И. Методы пособия и размерностей в механике // М., наука. -1967.-468с.

81. Смирнов-Аляев Г.А. Осесимметрическая задача пластического течения при обжатии, раздаче и волочении труб / Г.А. Смирнов-Аляев, Г.Я. Гун // Известия вузов. Черная металлургия. -1961. -№1 .-С.89-100.

82. Смирнов-Аляев Г.А. Приближенный метод решения объемных стационарных задач вязкопластического течения / Г.А. Смирнов-Аляев, Г.Я. Гун // Известия вузов. Черная металлургия. -1960. -№9.-С.62-68.

83. Соколовский В.В. Волочение тонкостенной трубы через коническую матрицу / В.В. Соколовский // Прикладная математика и механика. 1960. -Т.24, вып.5.-С.27-31.

84. Соколовский В.В. Теория пластичности. Высшая школа, М. -1969. -608 с.

85. Соловьев Г. X. Динамическая задача о растекании тонкого пластического слоя сжимаемого материала / / Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства, 2003, стр.359-361с.

86. Старов А. В. Пластические деформации круглых пластинок с шарнирным опиранием под действием осесимметричной нагрузки // Вестн. ВолгГАСУ. Сер. Стр-во и архит. -2012 - с. 102-109.

87. Толоконников JI.A. Механика деформируемого твердого тела. -М.:Высш. школа, 1979.-318с.

88. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // Прикладная математика и механика - 1956. -Т. 20.

89. Толоконников Л.А., Маркин A.A. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвузов, сб. трудов. — Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С. 49-57.

90. Толоконников О.Л., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения с учетом конечности деформаций // Прикладная механика. - 1983. - № 10. - С. 122.

91.Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов (3-е издание). - Л.: Наука, 1967.

92. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука 1985. - 587 с.

93. Хилл Р. Математическая теория пластичности //М., Гостехиздат. -1956. -407с.

94. Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. - М.: ГТТИ, 1934 - 600с.

95. Bishop J.F.W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material. J. Mach. and Phys. Solids, 1953, v.2, n.l. P.43-53.

96. Bowden, P. B. A criterion for inhomogeneous plastic deformation // Phil. Mag. 1970.-Vol. 22.-№ 177.-P. 455-462.

97. Akhundov V. M.; Skripochka T. A. Axisymmetric deformation of revolving cylinders made of homogeneous and fiber-reinforced elastic materials. Перевод основного заглавия на русский язык: Осесимметричное деформирование вращающихся цилиндров из однородных материалов и волокнистых композитов // Mech. Compos. Mater. US. №1-2011 - с. 211-220.

98. Chung Kwansoo, Alexandrov Sergei. Ideal flow in plasticity. Переводы на русском языке: Идеальные течения в пластичности/ / Appl. Mech. Rev N 16, 2007, т.60, стр.316-335с.

99. Fan Z.; Yu Т. X.; Lu G. Axisymmetric plastic expansion of a cylindrical hole in isotropic metallic form. Перевод основного заглавия на русский язык: Осесимметричное пластическое расширение цилиндрического отверстия в изотропной металлической пене // Int. J. Mech. Sci. - 2012 - с. 165-173.

100. Hill R. IdeaL forming opeations for perfectly plastic solid // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. № 3. P.223-227.

101. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point. Phil. Mag., 1951, v. 42. P. 868-875.

102. Jourdain P. E. В., "Quart. J. Pure and Appl. Math.", 1908, V. 39, p. 375-384.

103. Koiter W.T. General theorem for elastic-plastic solids // Progress in Solid Mechanics, I960. V.l, ch.IV.

104. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain. J. appl. Mech., v. 19,1952. P. 97-103.

105. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension. J. appl. Mech., 1952, v.19. P.331-336.

106. Maciejewski J., Mroz Z. An upper-bound analysis of axisymmetric extrusion assisted by cyclic torsion. Переводы на русском языке: Анализ методом верхних пределов процесса осесимметричного прессования во взаимодействии с циклическим скручиванием II J. Mater. Process. Technol. N 1-3, 2008, Т.206, стр.333-344с.

107. MacClintock F.A. Ductile Fracture instability in shear // J. Appl. Mech., 1958. V.25, № 4. P. 582-587.

108. Prager W. Problem der Plastizitatstheotie. Basel, 1955.

109. Prager W., HodgPh.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.107104.

110. Prandtl L. Anwendungsbiespiele zu einem Henckyschen Satz über das plastische Gleichgewicht II Ik MM, 1923. BD.III, h .6.

111. Richmond О., Devenpeck M.L. A die profile for maximum efficiencyin strip drawing // proc. 4th US. Nat. Cong. Appl. Mech. \ .2.1 Ed. R. M.Rosenberg New York: ASME. 1962. P. 1053-1057.

112. Swift H.W. Stresses and strains in tube drawing. Philosophical magazine. T.40, №. 308., 1949.