Двухатомные молекулы в сферической полости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.04, кандидат физико-математических наук Бобриков, Владимир Владимирович

• Бобриков, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бобриков, Владимир Владимирович

Введение

Глава 1. Литературный обзор и постановка проблемы.

1.1. Обзор литературы. Атомы и молекулы в полостях. Методы моделирования и приложения.

1.1.1. Одноэлектронный атом в полости.

1.1.2. Многоэлектронный атом в полости.

1.1.3. Молекулы в полости.

1.1.4. Эндоэдральные комплексы.

1.2. Некоторые выводы и постановка задачи.

Глава 2. Использование закона сохранения полного момента.

2.1. Отделение угловых переменных.

2.2. Преобразование к новой системе координат.

2.3. Уравнение Шредингера в новых координатах.

2.4. Уравнение для j = 0.

2.4.1. Координаты.

2.4.2. Граничные условия.

2.4.3. Независимые частицы.

2.5. Уравнения для j = 1.

2.6. Уравнения для j = 2.

2.7. Численные методы.

2.7.1. Дискретизация задачи для j = 0.

2.7.2. Матричная задача па собственные значения.

2.7.3. Тестовые расчеты.

2.8. Основные результаты главы.

Глава 3. Адиабатическое разделение переменных.

3.1. Свободная молекулярная задача.

3.2. Координаты Якоби для задачи в полости.

3.3. Адиабатическое приближение.

3.4. Схема численного решения.

3.4.1. Колебательная задача.

3.4.2. Расчет колебательных средних.

3.4.3. Двумерная поступательно-вращательная задача.

3.4.4. Дискретизация двумерной задачи.

3.4.5. Решение задачи на собственные значения.

3.5. Полное адиабатическое разделение переменных.

3.6. Расчет спектров. Отнесение уровней.

3.7. Основные результаты главы.

Глава 4. Изотопные эффекты для молекул в полости.

4.1. Качественные оценки.

4.2. Расчеты молекулы водорода и изотопомеров.

4.2.1. Расчеты нижних энергетических уровней.

4.2.2. Изотопные отношения.

4.3. Основные результаты главы.

Основные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухатомные молекулы в сферической полости»

Атомы и молекулы в полостях многие десятилетия являются объектом исследования квантовой химии. Множество как экспериментальных, так и теоретических работ посвящено изучению систем внедрения атомов и молекул в фуллерспы и цеолиты, проявляющие необычные, иногда уникальные физико-химические свойства. Кроме того, модель ограничения области свободного движения частиц иолостыо оказывается плодотворной при изучении дефектов кристаллических структур (в частности, полупроводников), моделировании состояния вещества при высоких давлениях, интерпретации спектров молекул в условиях матричной изоляции.

Задача об одноэлсктронном атоме в полости впервые была поставлена в 1930-ом году. С тех пор предложено множество подходов к решению электронной задами для атомов и молекул в ограниченном пространстве. Однако, существует лишь несколько работ, в той или иной степени касающихся динамики движений ядер. По всей видимости, следует ожидать, что изменение характера инфракрасного (колебательно-вращательного) спектра, вызванное размещением молекулы в полости, будет обусловлено как изменением характера движений электронов, то есть адиабатического потенциала, так и ограничением движения ядер. Для того, чтобы научиться решать молекулярную задачу в полости в полном объеме, необходимо разработать методы решения ядерной задачи, учитывающие специфику проблемы.

Предлагаемая работа посвящена изучению задачи о движении ядер двухатомной молекулы внутри непроницаемой сферической полости. Разрабатывается точный метод получения сведении о нижних колебательно-вращательных состояниях, а также развиваются приближенные методы, применимые для расчета многих колебательно-вращательных состояний системы и для моделирования ПК спектров молекул в полости.

Актуальность работы определяется необходимостью разработки методов исследования молекулярных задач в ограниченном пространстве, которые активно востребованы в прикладных задачах перечисленных выше.

Последовательное изучение сложных электронно-ядерных движений частиц, образующих молекулу при помещении её в полость, предполагает развитие методов расчета и аналитического описания как электронных, так и ядерных (колебательно-вращательных) состояний. Для разработки методов моделирования движений ядер в ограниченных областях пространства до сих нор еще не было предпринято сколько-нибудь систематических попыток. Исследуемая в работе модель двух ядер в сферической полости представляет собой простейший случай системы такого типа, с которого разумно начинать разработку проблемы.

Цель работы состоит в разработке аналитических и численных методов, позволяющих получить и исследовать решения квантовомеханической задачи о движении ядер двухатомной молекулы внутри сферической полости. В связи с этим одной из основных целей работы была разработка и сравнение разных типов адиабатического разделения ядерных переменных.

Изучение зависимости энергетического спектра молекулярной системы от размера ограничивающей полости — вторая из целей работы. Поэтому один из важных моментов, которому уделено внимание, — описание изменения спектра при изменении радиуса полости Я, и, соответственно, корреляция спектра молекулы в полости со спектром свободной двухатомной молекулы.

Поскольку изотопное замещение — один из наиболее распостраиенпых методов анализа колебательно-вращательного спектра молекул, проведено также сопоставление эффектов изотопного замещения и ограничения полостью. В частности, изучена зависимость изотопных сдвигов от радиуса ограничивающей полости.

Научная новизна. В работе впервые проведено разделение квантовомеханической задачи о двух частицах в сферической полости на отдельные проблемы, соответствующие различным значениям полного углового момента системы j. Описана общая структура связанной системы уравнений и дана её конкретная форма для j = 0,1-2. Разработана численная техника решения уравнения Шредингера, зависящего от трёх переменных, соответствующая задаче о состояниях с j = 0 для системы из двух частиц внутри непроницаемой сферической полости. Предложенная техника допускает обобщение на случай больших значений момента. Для заданного электронного адиабатического потенциала реализованный численный метод позволяет очень точно оцепить основное и несколько нижних ядерных состояний модельных систем.

Разработаны приближенные методы решения задачи, основанные на адиабатическом разделении ядерных переменных. На основе адиабатических потенциалов свободных двухатомных молекул U2, Na2, LiNa, Н2, LiCl, выполнены расчеты фрагментов энергетических спектров различными методами и проведено их сопоставление, которое показало достаточную надежность простых адиабатических оценок для полостей не слишком маленьких размеров.

На примере нескольких нижних колебательно-вращательных состояний проведен анализ изотопных сдвигов для молекул изотономеров - Н2, D2, HD. Аналитически показана высокая чувствительность сдвигов к размеру полости. Теоретический анализ подтвержден численными оценками. Использование адиабатического разделения неременных позволило для молекулы водорода продемонстрировать механизм перехода между состояниями, соответствующими разным значениям ядерного спина в пористом материале. Развитые методы позволяют оценить размер полостей, облегчающих орто - пара переход.

Научная и практическая значимость работы определяется тем, что разработанные методы решения проблемы создают основу для дальнейшего систематического изучения задач о молекулах в полостях. Разработанные формы численных методов решения уравнения Шредингера, в частности, методы нс содержащие приближений, могут использоваться как источник рсперных данных о низколежащих состояниях системы. Предложенная система адиабатических приближений может служить основой для развития эффективных методов анализа ядерных движений молекул в реальных физико-химических исследованиях, что доказано пробными расчетами. Развитые методы теоретического анализа простых модельных систем в полости могут быть использованы для изучения более сложных молекул.

Положения, выносимые на защиту.

• Схема решения уравнения Шредингера для колебательно-враща-тсльной задачи о молекуле в сферической полости, основанная на использовании закона сохранения полного углового момента системы.

• Система приближенных методов решения колебательно-вращательной задачи, использующая адиабатическое разделение движений ядер разных типов. Сопоставление и характеристика энергетических спектров двухатомных молекул, полученных разными методами.

• Результаты использования разработанных методов для расчета изотопных сдвигов молекулы в полости. В том числе, описание механизма орто-пара переходов для молекулы водорода в полости на основе модели, использующей адиабатическое разделение переменных.

Апробация работы. .Материалы диссертации использовались для выполнения исследований по развитию теории строения молекулярных систем в рамках тем "Динамика переноса энергии при атомно-молекулярных столкновениях и структура высоковозбужденного энергетического спектра молекул" (№ гос.регистрации 01.9.80.005440) и "Теоретический анализ и спектральные исследования возбужденных электронно-колсбатслыю-вращатсльных состояний малоатомных и нежестких молекул, динамика переноса энергии при атомно-молскулярных столкновениях и механизмы реакций малоатомных молекулярных систем в газовой фазе и твердых матрицах" (№ гос.регистрации 01.20.02.16574). Результаты работы использованы также при выполнении работ по проектам РФФИ "Моделирование состояния атомных и молекулярных систем в полости" (№ 98-03-33232), "Квантовохимические модели взаимодействия молекулярной системы с макроскопическим объектом" (№ 01-03-32116), "Динамика молекулярной системы в полости каркасной структуры" (№ 04-03-33115).

Материалы диссертации докладывались на научном семинаре лаборатории квантовой механики и строения молекул Химического факультета МГУ, представлялись на конференции "Квантовая и вычислительная химия, функционал плотности в квантовой химии" и Фоковской школе-конференции по квантовой химии (2001,2003,2006 гг.).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано три статьи в рецензируемых журналах; три работы в сборниках тезисов научных конференций.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, одного приложения, и списка цитируемой литературы из 81 наименования. Работа изложена на 116 страницах, включает 10 рисунков и 5 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Физическая химия», Бобриков, Владимир Владимирович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для задами о движении яде!) двухатомной молекулы внутри непроницаемой сферической полости при наличии потенциала межъядерпого взаимодействия общего вида получены системы трехмерных уравнений, описывающие движение ядер внутри полости с заданным суммарным моментом. Эти системы эквивалентны шестимерному уравнению Шредингера для данной задачи. Разработана техника численного решения этих уравнений, которая ирограмно реализована для основного колебательно-вращательного состояния двухатомной молекулы и других состояний, отвечающих нулевому значению полного момента. Развитые методы допускают обобщение на случай состояний с большим значением полного момента.

2. Разработаны и реализованы методы решения задачи о двухатомной молекуле в полости, использующие два типа адиабатического разделения ядерных переменных. Численные результаты, полученные в этих подходах для ряда двухатомных молекул, сопоставлены между собой и с точным решением задачи. Подобные методы позволяют относительно просто оценивать структуру колебательно-вращательного спектра молекулы в полости и применимы для моделирования изменений спектральных характеристик молекул в полости при изменении характеристик полости.

3. Теоретически и численно исследовано влияние ограничения полостью па изотопные сдвиги в колебательно-вращательных спектрах молекул. На примере молекул изотопомеров водорода задача об изотопных сдвигах решена с помощью разработанных численных методов. Описан механизм конверсии орто-пара состояний в пористом материале. Показана высокая чувствительность изотопных сдвигов в спектрах к размеру полости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бобриков, Владимир Владимирович, 2007 год

1. Jaskolski W. Confined many-electron systems // Phys.Rep. 1996. v.271. n.l. p.1-66.

2. Michcls A., de Boer J., Bijl A. — Remarks concerning molecular interaction and their influence on the polarisability// Physica. 1937. v.4. n.10. p.981-994.

3. Sommcrfeld A., Welker H. Kunstliche Grcnzbedingimgcn beim Kcplcrproblcm// Ann.Phys. 1938. B.32. F.5. S.56-65.4. dc Groot S.R., ten Seldam C.A. — On the energy levels of a model of the compressed hydrogen atom// Physica. 1946. v.12. n.9-10. p.669-682.

4. Ley-Koo E., Rubinstein S. — The hydrogen atom within spherical boxes with penetrable walls I j J.Chcm.Phys. 1979. v.71. n.l. p.351-357.

5. Fowler PAV. — Energy, polarizability and size of confined one-electron systems// Mol.Phys. 1984. v.53. n.4. p.865-889.

6. T.E.Hull and R.S.Julius — Enclosed quantum mechanical systems// Can.J.Phys. 1956. v.34. p.914-919

7. Gorccki J., Byers Brown W. — Iterative boundary perturbation method for enclosed one-dimensional quantum systems// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1987. v.20. n.22. p.5953-5957.

8. Gorecki J., Byers Brown W. — Variational boundary perturbation theory for enclosed quantum systems// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1989. v.22. n.17. p.2659-2668.

9. Gorccki J., Byers-Brown W. — Padded-box model for the effect of pressure on helium// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1988. v.21. n.3. p.403-410.

10. Ludena E.V. — SCF calculations for hydrogen in a spherical box// J.Chcm.Phys. 1977. v.66. n.2. p.468-470.

11. Barton G., Bray A.J., McKane A.J. The influence of distant boundaries on quantum mechanical energy levels// Am.J.Phys. 1990. v.58. n.8. p.751-755.

12. David H.Berman — Boundary effects in quantum mechanics// Am.J.Phys. 1991. v.59. ii.lO. p.937-941

13. Pupyshcv V.I., Schcrbinin A.V. — Molecular energy level shifts in large boxes: use of the Kirkwood-Buckingham method// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1999. v.32. n.19. p.4627-4634.

14. Pupyshcv V.I., A.V.Scherbinin, and N.F.Stcpanov — The Kirkwood-Buckingham variational method and the boundary value problems for the molecular Schrodinger equation// J.Math.Phys. 1997. v.38. n.ll. p.5626-5633.

15. A.B.Щербинин, В.И.Пупышсв, А.Ю.Ермилов — Одпоэлсктронный атом в полости как модель электронного состояния внутренних атомов кластера// Изв.Акад.Наук.Сер.Физ. 1997. Т.61. №9. с. 1779-1783

16. Good friend PL. — On the use of linear variation basis functions that do not satisfy the boundary conditions// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1990. v.23. n.9. p. 1373-1379.

17. Diamond J.J., Goodfriend P.L., Tsonchev S. — General requirements for the use of finite basis sets that do not satisfy the boundary conditions// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1991. v.24. n.17. p.3669-3684.

18. Brownstcin K.R. — Variational principle for confined quantum systems// Phys.Rcw.Lctt. 1993. v.71. n.9. p.1427-1430.

19. Aquino N.A. — Accurate energy eigenvalues for enclosed hydrogen atom within spherical impenetrable boxes// Int.J.Quant.Chein. 1995. v.54. n.2. p.107-115.

20. Shi T.-Y., Qiao H.-X., Li B.-W. Variational calculations for a hydrogen atom confined off-centre in an impenetrable spherical box using В-splines// ,J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 2000. v.33. p.Ll-L7.

21. Zicovich-Wilson С., Jaskolski W., Planches J. Atoms and molcculcs in cavitics: a method for study of spatial confinement effects// Int.J.Qiiant.Chcm. 1995. v.54. n.l. p.61-72.

22. Rajadell F., Planelles J., Jaskolski W., Zicovich-Wilson C. — Selection of basis sets for atoms and molcculcs in cavitics// Int.J.Quant.Chem. 1996. v.60. ri.5. p.993-999.

23. Zhu J.-L. — Exact solutions for hydrogcnic donor states in a spherically rectangular quantum well// Phys.Rcw.B. 1989. v.39. n.12. p.8780-8783.

24. Zhu J.-L. — Spectrum and binding of an off-center donor in a spherical quantum dot// Phys.Rcw.B. 1994. v.50. n.7. p.4497-4502.

25. Changa M.E., Scherbinin A.V., Pupyshev V.I. Perturbation theory for the hydrogen atom in a spherical cavity with off-centre nucleus// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 2000. v.33. n.3. p.421-432.

26. Changa M.E., Scherbinin A.V., Pupyshev V.I. Spectra of one-electron atom in a spherical cavity// Int.J.Quant.Chem. 2004. v.96. N.2. pp. 167-174.

27. Lcy-Koo E., Rubinstein S. — The hydrogen atom inside boxes with paraboloidal surfaces// J.Chem.Phys. 1980. v.73. n.2. p.887-893.

28. Ley-Koo E., Matcos-Cortcs S. — The hydrogen atom in a semi-infinite space limited by a hypcrboloidal boundary// Int.J.Quant.Chem. 1993. v.46. n.5. p.609-622.

29. Ludena E.V. — SCF Hartrec-Fock calculations of ground state wavefunctions of compressed atoms// J.Chem.Phys. 1978. v.69. n.4. p. 17701775.

30. Marin J.L., Cruz S.A. Enclosed quantum systems: use of the direct variational method// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1991. v.24. n.13. p.2899-2907.

31. Marin J.L., Cruz S.A. — Use of the direct variational method for the study of one- and two-electron atomic systems confined by spherical penetrable boxes// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1992. v.25. n.21. p.4365-4371.

32. Varshni Y.P. — Accurate wavefunctions for the confined hydrogen atom at high pressures// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1997. v.30. n.18. p.L589-L593.

33. Ley-Koo E., Volke-Sepulveda K.P. — The helium atom in a semi-infinite space limited by a paraboloidal boundary// Int.J.Quant.Chein. 1997. v.65. n.3. p.269-275.

34. Ley-Koo E., Flores-Flores A. — Helium atom inside boxes with paraboloidal walls// Int.J.Quant.Chem. 1998. v.66. n.2. p. 123-130.

35. Joslin C., Goldman S. Quantum Monte Carlo studies of two-electron atoms constrained in spherical boxes// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 1992. v.25. n.9. p.1965-1975.

36. Conncradc J.P., Dolmatov V.K., Lakshmi P.A. — The filling of schells in compressed atoms// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 2000. v.33. n.2. p.251-264.

37. Cottrcll T.L. Molecular energy at high pressure// Trans.Faraday.Soc. v.47. 1951. p.337-342.

38. Singh K.K. — Theory of boundary perturbation and the compressed hydrogen molecular ion// Physica. 1964. v.30. p.211-222.

39. Ley-Koo E., Cruz S.A. — The hydrogen atom and the H2+ and HeH++ molecular ions inside prolate spheroidal boxes// J.Chem.Phys. 1981. v.74. И.8. p.4603-4610.

40. LeSar В., Herschbach D.R. — Electronic and vibrational properties of molecules at high pressures. Hydrogen molecule in a rigid spherical box// J.Phys.Chein. 1981. v.85. n.19. p.2798-2804.

41. Tao Pang. Hydrogen molecule under confinement: Exact results.// Phys.Rcv.A. 1994. v.49. n.3. p.1709-1713

42. Lcy-Koo E., Mateos-Cortes S., Villa-Torres G. — Vibrational-rotational levels and Franck-Condon factors of diatomic molecules via Morse potentials in a box// Int.J.Quant.Cliein. 1996. v.58. n.l. p.23-28.

43. Lcy-Koo E., Matcos-Cortcs S., Villa-Torres G. — Vibrational levels and Franck-Condon factors of diatomic molecules via Morse potentials in a box// Int.J.Quant.Chcm. 1995. v.56. n.3. p.175-186.

44. D.Bielinska-W§,z, G.H.F.Dierckscn, M.Klobukowski. — Quantum chemistry of confined systems: structure and vibronic spectra of a confined hydrogen molecule// Chem.Phys.Lett. 2001. v.349. p.215-219

45. T.Sako, I.Cernusak, G.H.F.Dicrckscn — Confined quantum systems: structure of the electronic ground state and of the three lowest excited electronic states of the lithium molecule// J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys. 2004. v.37. p.1091-1102

46. J.M.H.Lo, M.Klobukowski, D.Diclinska-W§z, G.H.F.Dicrckscn, E.W.S.Schrciner — Effects of confinement on the Rydberg molecule NeH. // ,I.Phys.B:At,Mol.Opt.Phys. 2005. v.38. p.1143-1159

47. J.M.H.Lo, M.Klobukowski, G.H.F.Diercksen. Low-Lying Excited States of the Hydrogen Molecule in Cylindrical Harmonic Confinement// Adv.Quant.Chem. 2005. v.48. p.59-89.

48. И.Д.Михейкин — Влияние локализации молекул в матрицах на их колебательные состояния// Матер.У1 международ, школы-симпозиума по хим.физике, Туапсе. MATH. Москва. 1994. с.193-205.

49. Salvador A.Cruz, Jacqucs Soullard — Pressure effects on the electronic and structural properties of molecules// Chem.Phys.Lett. 2004. v.391. p.138-142

50. Л.Н.Сидоров, И.Н.Иоффе — Эидоэдральные фуллерены// Соросов-ский образовательный журнал. 2001. т.7. №8. с.30-36

51. Cioslowski J., Fleischmann E.D. Endohedral complexes: atoms and ions inside the C60 cage// J.Chcm.Phys. 1991. v.94. n.5. p.3730-3734.

52. J.L.Ballester, B.I.Dunlap — Radial vibrations of a sodium ion inside icosahedral C60// Phys.Rev.A. 1992. v.45. n.ll. p.7985-7990

53. J.Hernandez-Rojas, J.Breton, J.M.Gomez Llorente — Rotational dynamics of endohedral Cqq fullerene complexes// J.Phys.Chcm.Solids. 1997. v.58. n.ll. p. 1689-1696

54. C.F.Curtis, J.O.Hirschfeldcr, F.T.Adler — The Separation of the Rotational Coordinates from the N-Particle Schroedinger Equation// J. Chcm. Phys. 1950. v.18. №12. p. 1638-1642.

55. Л.Бпдснхарн, Дж.Лаук — Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. В 2-х томах. М.:Мир. 1984.

56. Е.Вигнср — Теория групп и её приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. М.:Изд.иностранной литературы. 1961. 444 с.

57. Р.Зар — Теория углового момента. М.:Мир. 1993. 351 с.

58. Д.А.Варшалович, А.Н.Москалёв, В.К.Херсонский — Квантовая теория углового момента. Л.:Наука. 1975. 440 с.

59. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц — Теоретическая физика. т.З. Квантовая механика. Нсрелятивистская теория. М.:Наука. 1989. 768 с.

60. E.A.Hylleraas — Neue Bercchnung der Energie des Heliums im Grund-zustande, sowie des tiefsten Terms von Ortho-Helium// ZS. f. Phys. 1929. B.54. s.347-366.

61. C.L.Pekeris Ground State of Two-Electron Atoms// Phys. Rev. 1958. v. 112. №. p. 1649-1658.

62. E.A.Hylleraas — Ubcr den Grundzustand des Hcliumatoms// ZS. f. Phys. 1928. B.48. s.469-496.

63. В.А.Фок — Об уравнении Шредингсра для атома гелия// Изв. акад. наук сер. физ. 1954. т. 18. №2. с.161-172.

64. В.А.Фок — Атом водорода и ие-евклидова геометрия// Изв. акад. наук СССР отд. матсм. и сстсств. наук. 1935. т.18. №2. с. 169-179.

65. О.Зенкевич, К.Морган — Конечные элементы и аппроксимация. М.:Мир. 1986. 319 с.

66. В.И.Крылов — Приближенное вычисление интегралов. М.:Наука. 1967. 500 с.

67. G.Peters and J.H.Wilkinson — Inverse iteration, ill-conditioned equations and Newton's method// SI AM Review. 1979. v.21. №3. p.339-360.

68. Дж.Голуб, Ч.Вап Лоуп — Матричные вычисления. М.:Мир. 1999. 548 с.

69. Дж.Дсммсль — Вычислительная линейная алгебра. М.:Мир. 2001. 430 с.

70. Axel Ruhe and Torbjorn Wiberg — The method of conjugate gradients used in inverse iteration// BIT. 1972. v. 12. p.543-554.

71. Р.П.Федоренко Введение в вычислительную физику. М.:Изд. московского физ.тех.института. 1994. 526 с.

72. П.А.Браун, А.А.Киселёв — Введение в теорию молекулярных спектров. Л.:Изд. Ленинградского университета. 1983. 232 с.

73. V.I.Pupyshcv, V.V.Bobrikov — The Confined Diatomic Molecule Problem// Int.J.of Q.Chcin. 2004. v.100. n.4. p.528-538

74. В.В.Бобрнков, В.И.Пупышев — Изотопные эффекты для молекул в полости// Известия Академии наук. Серия химическая. 2005. №1 с.55-61

75. М.Рпд, Б.Саймон — Методы современной математической физики, т.4. Анализ операторов М.:Мир. 1982 M.Reed and В.Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, IV: Analysis of Operators, Acadcmic Press, New York-London, 1978.

76. К.-П.Хыобер, Г.Герцберг — Константы двухатомных молекул 1. М.:Мир. 1984. 408 с. K.P.Huber and G.Herzberg, Molecular spectra andmolccular structure, 4, Constants of Diatomic Molcculcs, Van Nostrand Reinhold Co, New York-London, 1979.

77. Ф.Банкер, П.Йспсен — Симметрия молекул и спектроскопия. 2-е издание. М.:Мир. 2004. 764 с. P.R.Bunkcr and P.Jensen, Molccular Symmetry and Spectroscopy, NRC Research Press, Ottawa, 1998.

78. A. V.Larin and V.S.Parbuzin Mol.Phys. 1992. v.77. n.4. p.869-880.