Двушаговый метод математического моделирования и алгоритм определения электромагнитных параметров неоднородности в теле по измерениям ближнего поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Евстигнеев Роман Олегович

• Евстигнеев Роман Олегович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Евстигнеев Роман Олегович

Введение

ГЛАВА 1. Двушаговый метод математического моделирования

для решения обратной задачи

1.1. Постановка задачи моделирования поля внутри тела,

расположенного в свободном пространстве, и в точках наблюдения

1.1.1. Скалярная задача моделирования поля внутри тела, расположенного в свободном пространстве, и в точках наблюдения

1.1.2. Векторная задача моделирования поля внутри тела, расположенного в свободном пространстве, и в точках наблюдения

1.2. Задача восстановления электромагнитных характеристик тела

по результатам измерения поля в ближней зоне

1.2.1. Применение двушагового метода в скалярной задаче математического моделирования для восстановления неоднородностей внутри тела

1.2.2. Свойства решения интегрального уравнения

1.2.3. Применение двушагового метода в векторной задаче математического моделирования для восстановления неоднородностей внутри тела

ГЛАВА 2. Численный алгоритм моделирования процесса восстановления диэлектрической проницаемости с применением двушагового метода

2.1. Описание численного алгоритма

2.2. Построение сеток и базисных функций для решения обратной задачи восстановления характеристик тела

2.2.1. Построение сетки и базисных функций на параллелепипеде

2.2.2. Построение сетки и базисных функций на цилиндре

2.2.3. Построение сетки и базисных функций на полусфере

2.2.4. Построение сетки и базисных функций для векторной задачи

2.3. Применение метода коллокации для решения задачи восстановления неоднородностей тела

2.4. Применение предобуславливателей для улучшения устойчивости решения задачи

2.5. Реализация способа фильтрации данных

2.5.1. Исследование задачи с изменением положения точек наблюдения и источника излучения

2.5.2. Исследование влияния изменения частоты источника . . . 53 ГЛАВА 3. Программный комплекс по восстановлению

электромагнитных характеристик тела

3.1. Реализация и пример работы программного комплекса

3.2. Моделирование на различных частотных диапазонах

3.2.1. Моделирование на различных частотах для восстановления характеристик тела в случае параллелепипеда

3.2.2. Моделирование на различных частотах для восстановления характеристик тела в случае цилиндра

3.2.3. Моделирование на различных частотах для восстановления характеристик тела в случае полусферы

3.2.4. Моделирование на различных частотах в векторной задаче восстановления характеристик тела

3.3. Исследование результатов с погрешностью входных данных

в случае цилиндра

3.4. Анализ числа обусловленности в зависимости от частоты и шага сетки на теле

ГЛАВА 4. Результаты эксперимента по определению

неоднородностей в теле

4.1. Описание экспериментальной установки

4.2. Результаты измерений электромагнитных характеритстик ближнего поля с источником в виде штырьковой антенны

4.2.1. Материал неоднородности: резина

4.2.2. Материал неоднородности: парафин

4.3. Результаты измерений электромагнитных характеритстик

ближнего поля с источником в виде полосковой антенны

4.3.1. Материал неоднородности: парафин

Заключение

Список литературы

Приложение

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двушаговый метод математического моделирования и алгоритм определения электромагнитных параметров неоднородности в теле по измерениям ближнего поля»

Введение

Актуальность темы исследования. Одними из важнейших задач прикладной электродинамики являются количественная сверхвысокочастотная (СВЧ) - томография для ранней диагностики рака молочной железы [19], позволяющая выполнять обследование пациентов без риска причинения вреда здоровью (в отличие от традиционной маммографии); дефектоскопия; радиометрия. При разработке современных технологий решения указанных проблем ключевую роль играет эффективное применение новых численных методов, вычислительных алгоритмов и комплексов программ для вычисления необходимых параметров решения задачи по данным измерений.

В настоящее время имеется оборудование и измерительная аппаратура для получения данных измерений с высокой точностью, например, для СВЧ -томографии (установки Mamacell systems и Network Analyzers, работающие в различных диапазонах частот). Однако развитие технологий сдерживается отсутствием высокоточных численных методов, вычислительных алгоритмов и комплексов программ для решения указанных задач.

Микроволновая визуализация — высококонтрастная реконструкция неоднородностей небольших размеров (менее 1 см), расположенных внутри тела. Для решения этой сложной проблемы возможно применение методов математического моделирования и решения обратной задачи, которая сводится к решению векторного объемного сингулярного интегрального уравнения 1-го рода для определения комплексной диэлектрической проницаемости.

В настоящее время при решении обратных задач электродинамики наиболее остро стоит проблема решения задач с высокой точностью по сравнительно небольшому количеству измерений, чтобы методы могли быть применены на практике. Решению именно этой проблемы и посвящена данная работа.

С другой стороны, методы и алгоритмы решения классов обратных задач, обладающих большой общностью, важны с теоретической точки зрения, и являются одними из основных в математической физике.

Существует несколько подходов к решению обратных задач электродинамики, представленных в работах А.С. Ильинского, Д. Колтона, Р. Кресса, М.В. Клибанова, Л. Бейлиной, А.Б. Бакушинского, Ю.Г. Смирнова и других авторов. Укажем работы [41-44,47,50-53,58], отражающие разнообразие методов и подходов к решению обратных задач.

Для практических приложений наиболее важны методы решения обратных задач, которые могут быть реализованы численно. Основным является подход, основанный на решении гиперболической системы дифференциальных уравнений во временной области методом конечных разностей или конечных элементов, с последующей минимизацией функционала и регуляризацией по Тихонову.

Альтернативным подходом к решению обратных задач может быть метод объемных сингулярных интегральных уравнений [31,32,36,54,59]. Несмотря на то, что этот метод не является широко распространенным (видимо, в силу большей сложности численной реализации по сравнению с методами конечных элементов и конечных разностей), он достаточно хорошо разработан и применялся (как автором работы, так и другими исследователями -см. [25,35,47,56,60]) к решению (прямых) задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрических телах.

К решению обратных задач метод объемных сингулярных интегральных уравнений применялся, например, в [47, 60]. Однако рассматривались задачи определения характеристик объекта по асимптотическим данным.

В настоящей работе метод интегральных уравнений применен для решения задачи восстановления неизвестного коэффициента преломления, описывающего

неоднородное препятствие монохроматической волны, по значениям скалярного или векторного поля, которые считаются заданными в некоторой области за пределами тела, лежащей вне рассеивателя.

Теоретическая постановка исследуемой задачи состоит их двух частей. Первая часть посвящена исследованию прямой задачи - задачи дифракции стороннего поля на теле, характеризующейся известным коэффициентом преломления [33,61,62]. От исходной краевой задачи для уравнения Гельмгольца (в классической постановке) переходим к интегральной постановке задачи дифракции: интегральному уравнению Липпмана-Швингера для полного поля в области неоднородности и интегральному представлению поля вне тела. Падающее поле имеет точечный источник, расположенный вне тела, а коэффициент преломления предполагается кусочно - гельдеровым. Уравнение Липпмана - Швингера удобно рассматривать в пространстве квадратично -суммируемых функций, так как оператор уравнения в этом случае является фредгольмовым. Исследуя интегральное в столь широком пространстве, показываем, что всякое его решение при условии гладкости правой части также является достаточно гладким и представляет собой классическое решение задачи дифракции. Таким образом, показываем, что неоднородная краевая задача для уравнения Гельмгольца эквивалентна системе интегральных уравнений, которую и используем для восстановления коэффициента преломления во второй части исследуемой задачи.

Решение обратной задачи проходит в два этапа. Сначала определяем в области неоднородности «ток» по значениям полного поля, заданным вне тела. Для этого решается интегральное уравнение первого рода. В работе показано, что решение такого уравнения, вообще говоря, не единственно. Удается показать, однако, что решение является единственным в классе кусочно-постоянных функций. Такой выбор класса решений хорошо согласуется с численным

методом решения задачи: для решения интегрального уравнения применяется метод коллокации с кусочно - постоянными финитными базисными функциями. Кроме того, для кусочно-постоянных функций остаются выполненными все условия гладкости полного поля, сформулированные при постановке прямой задачи вследствие представления поля объемным потенциалом. На втором этапе решения задачи искомая функция, определяющая неоднородность, явно выражается через найденную ранее функцию, определяющую «ток». Для этого используется уравнение Липпмана - Швингера по объему, связывающее функции, определяющие параметр неоднородности, «ток» и поле за пределами тела. Такой метод математического моделирования и решения задачи называем двушаговым [56, 57].

Главным достоинством предлагаемого метода является сведение задачи к решению линейного интегрального уравнения с последующим явным вычислением искомой функции. Таким образом, избавлены, во-первых, от необходимости решения нелинейного уравнения. Во-вторых, не возникает необходимости использования итерационных методов, требующих выбора хорошего начального приближения.

Основной трудностью, связанной с реализацией метода, является необходимость решения интегрального уравнения первого рода с гладким ядром. Матрицы, возникающие при решении уравнения методом коллокации, являются плохо обусловленными (хоть и невырожденными), что влечет определенную неустойчивость относительно правой части уравнения. С точки зрения задачи восстановления параметров тела это означает возникновение «ложных» неоднородностей в объеме тела при внесении искажений в исходные данные (в известные значения поля в области за пределами тела). Такие неоднородности называем «артефактами» восстанавливаемой функции неоднородности. Как показывают проведенные вычислительные эксперименты,

«артефакты» возникают и при удалении области наблюдения за пределами тела от исследуемого тела.

Таким образом, разработка двушагового метода математического моделирования и решения задачи, а также разработка численного алгоритма и комплекса программ для решения поставленной, задачи являются актуальными.

Цель и задачи. Целями и задачами работы является:

1. Математическое моделирование процесса восстановления электромагнитных параметров неоднородности в диэлектрическом теле по измерениям поля в ближней зоне с применением двушагового метода.

2. Разработка численного алгоритма решения обратной задачи и реализация его на телах, имеющих форму параллелепипеда, цилиндра и полусферы.

3. Разработка комплекса программ для определения электромагнитных параметров неоднородности в теле по измерениям ближнего поля.

4. Проведение экспериментов на диагностическом комплексе, работающем в СВЧ - диапазоне.

Объектом исследования является математическая модель восстановления электромагнитных характеристик тела, расположенного в свободном пространстве, по результатам измерения поля в ближней зоне.

Предметом исследования является численная реализация двушагового метода восстановления электромагнитных характеристик тела, расположенного в свободном пространстве, по результатам измерения поля в ближней зоне.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов математического моделирования, численных методов, теории дифференциальных и интегральных уравнений и информационных технологий.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложен двушаговый метод решения обратной задачи для моделирования процесса восстановления электромагнитных параметров неоднородности в диэлектрическом теле по измерениям поля в ближней зоне, не требующий задания начальных приближений.

2. Разработан численный алгоритм решения обратной задачи восстановления неоднородностей внутри тела по результатам измерения поля двушаговым методом. Предложен предобуславливатель, обеспечивающий устойчивость решения обратной задачи, а также процедура фильтрации результатов расчётов с помощью поворотов тела и выбора оптимального диапазона частот.

3. Создан комплекс программ, реализующий численный алгоритм решения обратной задачи двушаговым методом. Разработанный программный комплекс позволяет приближённо определить размер, положение и геометрию неоднородности в теле.

4. Проведены эксперименты на диагностическом комплексе, показывающие возможность определения неоднородности внутри тела по измерениям ближнего поля.

Практическая значимость. Результаты работы позволят разработчикам технологий использовать численные методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ для решения указанных проблем. Долгосрочный эффект работы будет определяться развитием технологий решения указанных проблем. Численные методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ могут быть положены в основу технологий по практическому решению проблем с учетом имеющегося у разработчика соответствующего оборудования и измерительной аппаратуры. Результаты работы защищены

лицензионными соглашениями и документами о результатах интеллектуальной деятельности, имеющими государственную регистрацию и (или) правовую охрану в Российской Федерации. Зарегистрировано три программы для ЭВМ №2016611152 от 27 января 2016г., №2017660031 от 13 сентября 2017г., №2019615419 от 26 апреля 2019г.

Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечены корректным использованием математических методов и сопоставлением теоретических утверждений с результатами тестовых экспериментов.

Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования: 1 - Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, 3 - Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий, 4 - Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Двушаговый метод для решения обратной задачи по восстановлению неоднородностей внутри тела по результатам измерения поля в ближней зоне, не требующий задания начальных приближений.

2. Численный алгоритм решения обратной задачи по восстановлению неоднородностей внутри тела по результатам измерения поля двушаговым методом с предобуславлвивателем, обеспечивающим устойчивость решения обратной задачи.

3. Программный комплекс, реализующий численный алгоритм решения обратной задачи двушаговым методом, позволяющий определить размер, положение и геометрию неоднородности в теле.

4. Экспериментальное обоснование возможности определения неоднородности внутри тела по измерению поля в ближней зоне.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования использованы при выполнении следующих проектов, где соискатель являлся руководителем или исполнителем: руководитель гранта «У.М.Н.И.К. - 2017» договор № 13085ГУ / 2018 от 14.05.2018; исполнитель по грантам РНФ № 14-11-00344, Госзадание Минобрнауки РФ (проектная часть) № 1.894.2017/4.6, гранты РФФИ № 16-31-00344, № 18-31-00108, № 18-01-00219. Также результаты исследовательской работы применяются АО «НПП «Рубин» и в образовательном процессе кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование», что подтверждено актами о внедрении.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 11 международных и всероссийских конференциях: International Conference Days on Diffraction 2016. June 27 - July 1, 2016, St.Petersburg; PIERS 2017 in St Petersburg, Russia, 22-25 May, 2017; III Ежегодной межвузовской студенческой научно-практической конференции. «Информационные технологии в науке и образовании. Проблемы и перспективы», г. Пенза, 11 марта 2016г.; IV Межрегионального форума производителей медицинских изделий «INNOMED 2017: Эффективные модели внедрения инноваций в медицинскую промышленность и здравоохранение» 13 -14 апреля 2017 года, г. Пенза; Конкурс «IT - Прорыв - 2017» // Региональный этап, ПГУ, 17.03.2017; XXXII Международная научно-техническая конференция «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», ПГУ, г. Пенза, 6 июня 2017г.; XI Международная научно-техническая конференция, Пенза, 6 - 9 декабря

2016г.; «Всероссийская проектная сессия - 2017», г.Пенза 23-25 октября 2017г.; XII Международная научно - техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественно - научных и социальных проблем», г.Пенза, 4-6 декабря 2017г.; Молодежный инновационный форум студентов, аспирантов и молодых ученых «инновационные технологии в информатике, медицине, современных материалах и биотехнологиях», г.Пенза. 23 - 24 ноября 2017 г.; XIII Международная научно - техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем», г.Пенза 4-6 декабря 2018г.

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 13 научных работах общим объемом 6,63 п. л., в том числе в 7 статьях в журналах из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК, и в 2 статьях в журналах, входящих в базы ШоБ/ЗСОРШ, в 11 тезисах докладов и в трёх программах, зарегистрированных в государственном реестре программ для ЭВМ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 62 наименований и двух приложений. Диссертация изложена на 132 страницах машинописного текста. Результаты диссертации опубликованы в работах [5-11,13-16,29,37,48,49].

ГЛАВА 1. Двушаговый метод математического моделирования

для решения обратной задачи

1.1. Постановка задачи моделирования поля внутри тела, расположенного в свободном пространстве, и в точках наблюдения

1.1.1. Скалярная задача моделирования поля внутри тела, расположенного в свободном пространстве, и в точках наблюдения

В однородном трехмерном пространстве К3, характеризующимся известным волновым числом к°, рассматриваем скалярную задачу дифракции монохроматической волны на трехмерном изотропном неоднородном теле Q. Разобьем Q на элементарные ячейки [11] - в общем случае, криволенинейные параллелепипеды Пг.

Введем кусочно-постоянные функции [9] хг-

Далее будем предполагать, что область Q характеризуется кусочно-гёльдеровой комплекснозначной функцией к(х) = п(х)к°. Точнее,

Функцию к(х) в точках каждой грани дПг можно определить как предел значений к(х) в одном из смежных параллелепипедов.

Можно определить функцию к(х) при каждом х £ Q равенством

(1.1)

к(х) = кг(х), х £ Пг,

(1.2)

где все функции кг(х) являются непрерывными по Гёльдеру [22]:

кг £ С°'а(Пг).

Обозначим через Ед объединение ребер параллелепипедов П; и введем обозначения

и; = И; \ Ед, < = < \ Ед.

Падающая волна (поле источника), а также рассеянное и полное поле, предполагаются гармонически зависящими от времени [11]:

Ц"о(ж,£) = щв-ш\ и8(х,г) = пйе-ш\ и(х,£) = ио(х,£) + ив(х,£), (1.3)

поэтому задача дифракции сводится к решению некоторой задачи для отыскания комплексной амплитуды п(х) полного поля.

Будем рассматривать точечный источник поля, полагая

егко|ж-жо| _

По (ж) = -г—,-,, Жо ф !.

4п |х — хо|

(1.4)

Такое поле является решением уравнения Гельмгольца [47]

(Д + к0)по(ж) = — 5(х — хо)

и удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда.

Решение прямой задачи состоит в отыскании функции п(х), удовлетворяющей следующей задаче [11]:

(Д + к2(х))п(х) = 0, х е П;;

(Д + к2)п(х) = —¿(х — хо), х е К3 \ (! и {хо});

[п]1дП = 0, [Щ]

15 П

= 0;

(1.5)

п е Я/0С(К3 \ {хо});

дщ

дг

гкоп + о (1) , (1т ко = 0); щ(г) = О (г2) , (1т ко > 0)

Решение, удовлетворяющее условиям гладкости

п е С!(К3 \ {хо}^ С2(П)Р|С2(К3 \ (0 и {хо})),

(1.6)

называется квазиклассическим решением задачи

Сведём (^1) к уравнению Липпмана-Швингера [33]. Перепишем уравнение Гельмгольца в областях Пг в виде

Ди(х) + к°и(х) = (к^ — к2(х))и(х), х £ Пг. (1.7)

В ограниченной области П° = В \ Q имеем

Ди(х) + к°и(х) = —5(х — х°), х £ П°, (1.8)

где В э Q - шар достаточно большого радиуса, S = дВ, а С(х,у) = ехр4(ПП|Х0-!у-у|).

Устремляя радиус шара В к бесконечности и учитывая условия излучения заключаем, что

и(х) — ^ ^(к2(у) — к2)С(х,у)и(у)^у = С(х,х°), х £ П*. (1.9)

Из определения функции к(х) следует, что это уравнение можно переписать в виде

и(х) — §(к2(у) — к2)С(х,у)и(у)^у = и°(х), х £ Q. (1.10)

Я

Запишем также интегральное представление полного поля вне рассеивателя:

и(х) = и°(х) + |(к2(у) — к°)С(х, у)и(у)ф, х £ К3 \ (Q и {х°}). (1.11)

Я

Определение 1.1. Под интегральной постановкой задачи дифракции будем понимать систему (22), состоящую из уравнения (1.10) в Q и представления (1.11) поля вне области неоднородности.

Оператор уравнения (1.10) обозначим через I — А и будем рассматривать его как отображение в пространстве

Покажем сначала, что решение и(х) интегрального уравнения (22) удовлетворяет условиям гладкости в квазиклассической постановке задачи дифракции. В работе [33] показано, что если уравнение (1.10) имеет решение и £ то для полного поля и(х), продолженного вне Q по формуле

(1.11), выполнены условия гладкости в (1.6). Кроме того также в [33] доказано, что краевая задача (Qi) эквивалентна задаче дифракции в интегральной постановке (Q2). Точнее, если u(x) является квазиклассическим решением (Q1), то u удовлетворяет равенствам (1.10) и (1.11). Обратно, если u £ L2(Q) является решением уравнения (1.10), то функция u(x), продолженная по формуле (1.11), является квазиклассическим решением задачи (Q1). При Im k(x) > 0 задача (Q1) имеет не более одного квазиклассического решения. Отсюда следует обратимость оператора интегрального оператора [33], т.е. (I — A) : L2(Q) ^ L2(Q) является непрерывно обратимым.

1.1.2. Векторная задача моделирования поля внутри тела, расположенного в свободном пространстве, и в точках наблюдения

Пусть Q С R3 ограниченная область, причем граница dQ кусочно-гладкая поверхность, состоящая из конечного числа поверхностей класса [17].

Будем предполагать, что Q является изотропной и неоднородной; она характеризуется постоянной магнитной проницаемостью д0 > 0 икомплекснозначной функцией диэлектрической проницаемости s(x) £ CTO(Q); £0 и д0 - диэлектрическая и магнтная проницаемости вакуума.

Введем также относительную диэлектрическую проницаемость er = е/е0 и потребуем, чтобы в каждой точке x £ Q существовала функция

(£r (X) — 1)—1. (1.12)

Свободное пространство R3 \ Q предполагается однородным с постоянными значениями проницаемостей д0, £0.

В рассматриваемой постановке задачи поле возбуждается известным электромагнитным полем E0, H0 £ CTO(R3), удовлетворяющим системе уравнений Максвелла в R3 [2,21]:

rot H0 = —iwe0E0, rot E0 = iw^0H0, (1.13)

полное поле представляется в виде суммы падающего и рассеянного полей: E = Eo + Es, H = Ho + Hs.

В качестве источника электромагнитного поля можно рассматривать электрический ток j0,E, локализованный вне рассеивателей. В этом случае требуют, чтобы supp j0,E П Q = 0. Допустимо рассмотрение и точечного источника поля.

В рассматриваемой задаче дифракции требуется определить полное электромагнитное поле E, H, принадлежащее классам функций

E, H Е C2 (R3 \ dQ) П C(Q) П C(R3 \ Q), (1.14)

удовлетворяющее в R3 \ dQ уравнениям Максвелла:

rot H = —iweE, rot E = (1.15)

условиям непрерывности касательных компонент на границе области неоднородности:

[ET] \ dQ = [HT] \ dQ = 0, (1.16)

условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства:

E, H Е L2,ioc(R3) (1.17)

и условиям излучения Сильвера-Мюллера [21] на бесконечности для рассеянного поля:

Es, Hs = o(r—1), Im k0 > 0,

Hs xer — Es = o(r—1), Es xer + Hs = o(r—1), (1.18)

Es, Hs = O(r—1), Im k0 = 0, r ^ то, где k0 - волновое число (k0 = ^2е0д0), er = x/r, r = \x\, x = (x1,x2,x3)T; все предельные соотношения в (1.18) выполняются равномерно по всем направлениям.

Определение 1.2. Решение E, H задачи (1.15) - (1.18), удовлетворяющее условиям (1.14), называется классическим.

Пусть электромагнитное поле E, H есть классическое решение краевой задачи (1.15) - (1.18). Определим в R3 ток поляризации

—iw (e(x) — £0) E, x £ Q,

Jp

'0, x £ R3\Q.

Очевидно, suppJp С Q.

Перепишем систему уравнений Максвелла (1.15) в эквивалентной форме:

rot H = —iwe0E + Jp, rot E = iw^0H. (1.19)

Вычитая (1.13) из (1.19), получим систему для рассеянного поля в R3

rot Hs = —iwe0Es + Jp, rot Es = iw^0Hs. (1.20)

Решение системы уравнений (1.20) в R3 будем искать в виде

Es = --— graddiv A, Hs = rot A, (1.21)

где A - векторный потенциал.

Подстановкой (1.21) в (1.20) нетрудно показать, что второе уравнение системы выполняется при произвольном A; первое уравнение будет удовлетворено, если потенциал A является решением в R3 следующего уравнения:

AA + k)A = —Jp. (1.22)

Последнее уравнение имеет единственное решение в смысле распределений (при этом необходимо учесть представления (1.21) и условия излучения (1.18)); это решение записывается в форме объемного потенциала [3,39,45]:

A(x) = J G(x,y)jp(y)dy, x £ R3, (1.23)

Q

где

G(x,y) =

4n|x — y|

В силу свойств объемного потенциала [3,47] получим

A e C1 (R3) f C2(Q) f Cto(R3 \ Q) и A e Hl2oc(R3).

Тогда рассеянное поле принадлежит следующим классам функций:

Hs e C(R3) f C 1(Q) f CTO(R3\Q), Es e L2,ioc(R3) f C(Q) f CTO(R3\Q).

Дополнительные условия гладкости будут рассмотрены ниже.

Выведем интегро-дифференциальное уравнение электрического поля E, используя представления (1.21) и (1.23). Выбирая точку в области неоднородности, получим с учетом включения E e C(Q) :

E(x) - (k2 + graddiv)JG(x, y)(er(y) - 1)E(y)dy = Eg(x). (1.24)

Q

при x e Q. В силу проведенных рассуждений верно [33], если полное электромагнитное поле E, H является классическим решением краевой задачи (1.15) - (1.18), то вектор E e C(Q) П L2(Q) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению (1.24).

Пусть E e L2(Q) решение интегро-дифференциального уравнения задачи дифракции:

E(x) - (k0 + graddiv) J G(x,y)(er(y) - 1)E(y)dy = Eo(x), x e Q, (1.25)

Q

где er(y) = e(y)/e0. Как и ранее, положим при x e (Q)c

E(x) = Eo(x) + (k0 + graddiv) jG(x,y)(£r(y) - 1)E(y)dy. (1.26)

Q

Введем объемный потенциал

V(x) = J G(x,y)(er(y) - 1)E(y)dy, x e R3. (1.27)

Q

Магнитное поле H определяется через решение решению E e L2(Q) по формуле

H(x) = Ho(x) - iweorot V(x), x e R3 (1.28)

где H0(x) = —^ rot E0(x),x £ R3. Пусть проницаемость £(x) £ CTO(Q) такова, что

er(x) > 1 при x £ Q; (1.29)

падающее поле бесконечно дифференцируемо: E0(x) £ CTO(R3), а E £ L2(Q) - решение уравнения (1.25). Тогда функции E, H, определенные формулами (1.25) - (1.28), будут принадлежать классам функций

E, H £ CTO(Q) р| CTO(R3\Q) р| C°'a(Q) f C0'a(R3\Q).

Полученный выше результат важен для доказательства эквивалентности краевой задачи и интегро -дифференциального уравнения.

Если краевая задача (1.15) - (1.18) имеет классическое решение E, H, то вектор-функция E £ C(Q) Р| L2(Q) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению (1.24). Обратно, если E £ L2(Q) есть решение уравнения (1.24), то краевая задача (1.15) - (1.18) имеет классическое решение E, H, выраженное формулами (1.25), (1.26) и (1.28).

Сформулируем лемму Лоренца в интегральной форме:

J (E1 х H) — E) х H1) • n ds = J (J1,e • E) — J),e • E1)dv. (1.30)

dV V

Здесь поля Ei, H и токи J^e связаны системой уравнений Максвелла в V

с произвольными проницаемостями £ = £(x), д = ^(x):

rot Hi = —iweEi + Ji;E, rot Ei = iw^H

Пусть диэлектрическая проницаемость удовлетворяет в Q условия [33]

£r(x) > 1, £r £ CTO(Q). (1.31)

Тогда задача дифракции (1.14) - (1.18) имеет не более одного решения.

Таким образом, показано, что если краевая задача (1.15) - (1.18) имеет классическое решение, удовлетворяющее условиям гладкости (1.14), то оно единственно.

Рассмотрим снова уравнение электрического поля (1.24). Оператор уравнения является фредгольмовым с нулевым индексом [18, 20, 39] и, более того, как показано выше эллиптическим. Из эквивалентности интегро-дифференциального уравнения (с гладкой правой частью) исходной краевой задаче следует, что оператор А интегро-дифференциального уравнения инъективен. Действительно, однородное уравнение АЕ = 0 эквивалентно однородной краевой задаче дифракции (при Е0 = 0 в К3). Такая краевая задача имеет лишь тривиальное решение Е = 0. Таким образом, приходим к результату исследования. Пусть диэлектрическая проницаемость удовлетворяет условиям £ £ Си £г(х) > 1, х £ ф. Тогда оператор [33]

АЕ(х) = Е(х) - (ко2 + ]* С(х,у)(ег(у) - 1)Е(у)^у

Я

непрерывно обратим в Ь2 (ф). Описанные выше результаты без труда обобщаются на случаи многосвязных областей ф, а также областей с кусочно-гладкой диэлектрической проницаемостью. В последнем случае можно рассмотреть область ф как объединение попарно непересекающихся подобластей Qi, каждая из которых характеризуется бесконечно дифференцируемой проницаемостью

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Евстигнеев Роман Олегович, 2019 год

Список литературы

1. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. - Москва : Наука, 1979. - 432 с.

2. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. - Изд. 2-е. -Москва : Радио и связь, 1988. - 440 с.

3. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. -Москва : Наука, 1981. - 512 с.

4. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - Москва : Наука, 1971. - 1102 с.

5. Гундарев, Е.А. Обратная задача определения параметров неоднородности тел, расположенных в свободном пространстве / Е.А. Гундарев, Р.О. Евстигнеев, М.Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 4. - С. 50-61.

6. Евстигнеев, Р.О. Итерационный метод решения прямых и обратных двумерных задач акустики / Р.О. Евстигнеев, М.Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 4. - С. 28-36.

7. Евстигнеев, Р.О. Обратная задача определения параметров неоднородности тела по измерениям акустического поля / Р.О. Евстигнеев, М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 3. - С. 490-497.

8. Евстигнеев, Р.О. Сравнение численных методов решения интегродиффренциального уравнения электромагнитного поля / Р.О. Евстигнеев, М.Ю. Медведик, Е.Ю. Смолькин // Известия высших

учебных заведений. поволжский регион. Физико-математические науки. -2016. - № 1. - С. 3-12.

9. Евстигнеев, Р.О. Задача определения параметров неоднородности в телах сложной формы, расположенных в свободном пространстве, по измерениям скалярного поля /Р.О. Евстигнеев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2. - С. 52-62.

10. Евстигнеев, Р.О. Решение задачи определения параметров неоднородности в цилиндрических телах по измерению поля вне тела /Р.О. Евстигнеев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4. - С. 3-17.

11. Евстигнеев, Р.О. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии / Р.О. Евстигнеев, М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов, А.А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. -№ 4. - С. 87-95.

12. Евстигнеев, Р.О. Итерационный метод решения прямых и обратных двумерных задач акустики с применением параллельных алгоритмов / Р.О. Евстигнеев, М.Ю. Медведик, А.А. Шмелев // Эвристические алгоритмы и распределенные вычисления. - 2015. - Т. 2, № 1. - С. 71-81.

13. Евстигнеев, Р.О. Метод решения задачи по определению параметров неоднородности тела по измерениям поля в ближней зоне в двумерном пространстве / Р.О. Евстигнеев, Л.В. Аристова // Информационные технологии в науке и образовании. Проблемы и перспективы: сб. науч. ст. IV ежегодной межвуз. науч.-практ. конф. (г. Пенза, 11 марта 2016 г.) / под ред. Л.Р. Фионовой. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2017. - С. 101-104.

14. Евстигнеев, Р.О. Задача определения волновых параметров тела по измерениям акустического поля / Р.О. Евстигнеев // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : материалы XI Международной научно-технической конференции под ред. И.В. Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2016. -С. 40-44.

15. Евстигнеев, Р.О. Решение задачи определения параметров неоднородности в телах цилиндрической формы, расположенных в свободном пространстве, по измерениям скалярного поля / Р.О. Евстигнеев // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : материалы XII Международной научно-технической конференции под ред. И.В. Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2017. -С. 135-140.

16. Евстигнеев, Р.О. Программный комплекс по поиску неоднородностей внутри тела цилиндрической формы по результатам измерения скалярного поля : свидетельство о регистрации программы для ЭВМ / Евстигнеев Р.О., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. - № 2019615419. - 26.04.2019.

17. Ильинский, А.С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А.С. Ильинский, Ю.Г. Смирнов. - Москва : ИПРЖР, 1996. - 173 с.

18. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. - Москва : Наука, 1984. - 752 с.

19. Каприн, А.Д. Состояние онкологической помощи населению России в 2016 году / А.Д. Каприн, В.В. Старинский, Г.В. Петрова. - Москва : МНИОИ им. П.А. Герцена филиал ФГБУ «НМИРЦ» Минздрава России, 2017. -236 с.

20. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - Москва : Мир, 1972. - 739 с.

21. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс - Москва : Мир, 1987. - 312 с.

22. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - Москва : Наука, 1964. - 578с.

23. Медведик, М.Ю. Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М.Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. - 2012. - Т. 13. - С. 87-97.

24. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана - Швингера на телах сложной формы / М.Ю. Медведик // Радиотехника и электроника. - 2012. - Т. 57, № 2. -С. 175-180.

25. Медведик, М.Ю. Обратные задачи восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе / М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. - 76 с.

26. Медведик, М.Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

27. Медведик, М.Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 4. - С. 55-71.

28. Медведик, М.Ю. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе / М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 8. - С. 940-945.

29. Медведик, М.Ю. Вычислительный комплекс для определения неоднородности в теле по результатам измерения поля вне тела: свидетельство о регистрации программы для ЭВМ / Медведик М.Ю., Евстигнеев Р.О., Смирнов Ю.Г. - № 2017660031. - 13.09.2017.

30. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. - Москва : Мир, 1990. - 288 с.

31. Смирнов, Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю.Г. Смирнов - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. - 268 с.

32. Самохин, А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А.Б. Самохин. - Москва : Радио и связь, 1998. - 160 с.

33. Смирнов, Ю.Г. Математическая теория дифракции акустических и электромагнитных волн на системе экранов и неоднородных тел / Ю.Г. Смирнов, А.А. Цупак. - Москва : РУСАЙНС, 2016. - 223 с.

34. Смирнов, Ю.Г. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Ю.Г. Смирнов, М.Ю. Медведик, Д.И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3. - С. 71-87.

эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю.Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 3. - С. 39-55.

36. Смирнов, Ю.Г. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения / Ю.Г. Смирнов, А.А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 12. - С. 22522267.

37. Смирнов, Ю.Г. Вычислительный комплекс: Определение поля внутри тела, расположенного в свободном пространстве : свидетельство о регистрации программы для ЭВМ / Ю.Г. Смирнов, М.Ю. Медведик, Е.Ю. Смолькин, Р.О. Евстигнеев. - № 2016611152. - 27.01.2016.

38. Смолькин, Е.Ю. Программа для ЭВМ: Программный модуль визуализации системы обработки данных экспериментального комплекса по определению неоднородности в теле: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / Е.Ю. Смолькин, А.С. Шутков, Ю.Г. Смирнов.

- № 2018663333. - 01.10.2018

39. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - Москва : Наука, 1980. - 488 с.

40. Тыртышников, Е.Е. Методы численного анализа / Е.Е. Тыртышников.

- Москва : МГУ, 2006. - 281 с.

42. Bakushinsky, A.B. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems / A.B. Bakushinsky, M.Yu. Kokurin. - New York : Springer, 2004. -291 p.

43. Beilina, L. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems / L. Beilina, M. Klibanov. - New York : Springer, 2012. -419 p.

44. Beilina, L. Computational design of acoustic materials using an adaptive optimization algorithm / L. Beilina, E. Smolkin // Applied Mathematics and Information Sciences. - 2018. - Vol. 12 (1), - P. 33-43.

45. Costabel, M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results / M. Costabel // SIAM J. Math. Anal. - 1988 - Vol. 19 (3). - P. 613626.

46. Costabel, M. Volume and surface integral equations for electromagnetic scattering by a dielectric body / M. Costabel, E. Darrigrand, E.H. Kone // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2010. - Vol. 234 (6). -P. 1817-1825.

47. Colton, D. Inverse Acoustic and Eleectromagnetic Scattering Theory / D. Colton, R. Kress. - Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 1992. - 405 p.

48. Evstigneev, R.O. Inverse problem of determining parameters of inhomogeneity of a body from acoustic field measurements / R.O. Evstigneev, M.Yu. Medvedik, Yu.G. Smirnov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. -2016. - № 56 (3). - P. 483-490.

49. Evstigneev, R. O. Reconstruction of Inhomogeneity Parameters by Measurements of Near Field Outside the Body / R.O. Evstigneev, M.Yu. Medvedik // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 38th.

Сер. Nonlinear and Inverse Problems in Electromagnetics - PIERS 2017. -2018. - P. 29-38.

50. Grzegorczyc, T.M. Fast 3-D tomographic microwave imaging for breast cancer detection / T.M. Grzegorczyc, P.M. Meaney, P.A. Kaufman, M. diFlorio-Alexander Roberta, K.D. Paulsen // IEEE Transactions on medical imaging. -2012. - Vol. 3 (8). - P. 1584-1592.

51. Isakov, H. Inverse Problems for Partial Differential Equations / H. Isakov. -New York : Springer, 2005. - 359 p.

52. Kabanikhin, S.I. Direct Methods of Solving Multidimensional Inverse Hyperbolic Problems / S.I. Kabanikhin, A.D. Satybaev, M.A. Shishlenin. -Utrecht, VSP, 2004. - 179 p.

53. Kirsch, A. An Introduction To the Mathematical Theory of Inverse Problems / A. Kirsch. - New York: Springer, 2011. - 538 p.

54. Kobayashi, K. Investigation of electromagnetic diffraction by a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation / K. Kobayashi, Yu. Shestopalov, Yu. Smirnov // SIAM J. Appl. Math. - 2009. -Vol. 70 (3). - P. 969-983.

55. Kress, R. Linear Integral Equations. Applied Mathematical Sciences / R. Kress. - New York : Springer-Verlag, 1989. - Vol. 82. - 412 p.

56. Medvedik, M. Inverse Problem of Diffraction by an Inhomogeneous Solid with a Piecewise Hoelder Refractive Index / M. Medvedik, Yu. Smirnov, A. Tsupak. - arXiv:1803.04701.

57. Medvedik, M.Y. Two-Step Method for Solving Inverse Problem of Diffraction by an Inhomogenous Body / M.Y. Medvedik, Y.G. Smirnov, A.A. Tsupak // Nonlinear and Inverse Problems in Electromagnetics. PIERS 2017/ Beilina L.,

Smirnov Y. (eds). - Springer, Cham : Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 2018. - Vol. 243.

58. Romanov, V.G. Inverse Problems of Mathematical Physics / V.G. Romanov. - Utrecht, The Netherlands: VNU, 1986. - 239 p.

59. Samokhin, A.B. Volume integral equation method in problems of mathematical physics : COE Lecture Note / A.B. Samokhin. - Fukuoka, Japan : Kyushu University, 2009. - Vol. 24.

60. Shestopalov, Yu. Determination of permittivity of an inhomogeneous dielectric body in a waveguide / Yu. Shestopalov, Yu. Smirnov // Inverse Problems. -2011. - Vol. 27.

61. Smirnov, Yu.G. On the unique existence of the classical solution to the problem of electromagnetic wave diffraction by an inhomogeneous lossless dielectric body / Yu.G. Smirnov, A.A. Tsupak // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2017. - Vol. 57 (4). - P. 698-705.

62. Smirnov, Yu.G. Investigation of electromagnetic wave diffraction from an inhomogeneous partially shielded solid / Yu.G. Smirnov, A.A. Tsupak // Applicable Analysis. - 2017. - Vol. 97. - P. 1-15.

Приложение 1

Свидетельства о регистрации

РШШЙСЖАШ ФВДЕРАПЦШШ

»

вз ¡8 ж Й

к &

Я

ш

л »

•ж ж

■м т ж ш

13 &

ш «

ш к

к

Ж

«г

«

« к

§3

к к я

.г.

эе зз

и

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2017660031

«Вычислительный комплекс для определения неоднородности в теле по результатам измерения поля вне

тела»

Правообладатель Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пензенский государственный университет» (Я11)

Авторы: Медведик Михаила Юрьевич НЦ Евстигнеев Роман Олегович (1(11), Смирнов Юрии Геннадьевич (ЯП)

Заявка № 2017616484

Дата поступления 05 ИЮЛЯ 2017 Г. Дата государственной регистрации

в Реестре программ для эвм 13 сентября 2017 г.

Руковооитель Федеральной службы по интемектуальной собственности

Г.П. Ивлиев

Х^Т им '

Я

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2019615419

«Программный комплекс по поиску неоднородностей внутри тела цилиндрической формы по результатам измерения скалярного поля»

Правообладатель: Евстигнеев Роман Олегович (Я11)

Авторы: Евстигнеев Роман Олегович (Я11), Медведик Михаил Юрьевич (Яи), Смирнов Юрий Геннадьевич (Я11)

Заявка № 2019612466

Дата поступления 11 марта 2019 Г.

Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 26 апреля 2019 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

Г.П. Ивлиев

—Г(кт »«Ч Г 4Т Г-Ы »•« »»н •-»• *> _ . _ _ .

" "йч "ЕЙ 7Й Т-Л ^^ ОЙ ТД" ¿¡¡и яи Ж мй

Приложение 2

Резльутаты внедрения исследовательской работы

о внедрении результатов диссертационной работы Евстигнеева P.O. «Двушаговый метод математического моделирования и алгоритм определения электромагнитных параметров неоднородности в теле по измерениям ближнего поля», представленный на соискание ученой степени кандидата технических наук.

Комиссия АО «НПП «Рубин» в составе:

- ученого секретаря, д.т.н., профессора Бутаева М.М.;

- начальника научно-технического центра, к.т.н. Бибарсова А.Д., рассмотрела диссертационную работу «Двушаговый метод математического моделирования и алгоритм определения электромагнитных параметров неоднородности в теле по измерениям ближнего поля», выполненную Евстигнеевым P.O.

Результаты завершенной работы использованы при разработке пояснительной записки технического проекта ОКР «Гибка-С», в частности алгоритм определения электромагнитных параметров неоднородности в теле по измерениям ближнего поля.

Эффект от внедрения результатов работы определяется:

- обеспечением интеллектуальной поддержки процесса проектирования и повышением уровня проектных работ;

- сокращением сроков и снижением затрат на проектирование изделий.

«УТВЕРЖДАЮ»

ИО Генерального директора

Н.В. Клюев

Акт

Учёный секретарь, д.т.н., профессор Начальник научно-технического центра, к.т.н.

Бибарсов А. Д.

Бутаев М.М.

-fC'ff«^.

МИНОБРНАУКИРОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пензенский го(^|дарстиенпын университет» (ФГБОУ ВО «ПГУ») ул, Красная, д.4Ю, г. Пэ*па. Россия, 4400?% Тел/факс: [phone], e-mail: [e-mail]. http://www.pnzgu.ru ОКПО 02069042, ОГРН 1025801440«0. ИНН'КПП 583700373^583701001

утверждаю

Проректор по учебие-й работе Ф1 t>OV во «Пензенский' государственные! университет»

13. Б Механов

, ¡if 2Д.15

об исПОльзоваЛш результатов дшссергапиомной работы Евстигнеева Романа Олеговича ЛДв^шаговый мстил мак лит и чес* го шидеднровамии и ашюритм онредВелия электрома! нитных .параметров неоднородности в теле по измерениям ближнвео полл>. приставленной на соискание учения степени кандидата техшв»еских пру к

Настоящим иод1верждаися. что рЦфФьтагы диееертацИИпсоИ рЛбиГы Нвет ш неева Романа Олеговича, работ^ощего в ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» НИЦ «Суперкомпьютернос Июдсятирование в электродинамике», иегюльзованы в учебном процессе федерального государственного бю»кетного образовательного учреждения высшите образования Псцкнский государе Гвенныи университет^ на кафещэе «Математика и суперкомпыо1ер1юе моделирование ¿ля провр^иия дикций и пракгичевиих занятий студентвв по направлению подгогЛЬп 01.03.01 «Математика», уровень бакалавриата, по дисципииме «МачМп ические чжмли в эдвктрвдинамике и акустике».

Разработанные дчуипаговый метил магматического моделирования и ал орт и определения злнкtpOMai нитных ПЦ—и^р» неоднородной и в челе но и змерениям (Цинжпего поля испммеваны в xatu* Kj^icaaew проивШрования н подиароики диилминых работ.

Директор политехнического института Декан ФВТ

Заведующий кафедрой М(*М

/!*'"<у

:К

Г.В. KfcjiM ifl.P Ф| OHOiiTT lu. ОМирн^