Дзета-функции и их приложение к решению некоторых задач математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Кисунько, Александр Григорьевич

• Кисунько, Александр Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кисунько, Александр Григорьевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Некоторые дзета-функции, возникающие в связи с задачами математической физики и эффективные потенциалы

Глава 2. Дзета-функция Эпштейна-Бернса и некоторые их свойства

Глава 3. Фазовая структура модели Гросса-Неве с учетом влияния

температуры и конечного объема

Глава 4. Расчет эффективного потенциала,, порождаемого нетривиальной топологией типа

Глава 5. Рассеяние упругих волн на планарных периодических структурах в анизотропных средах начальными напряжениями

Приложение 1

Приложение 2

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дзета-функции и их приложение к решению некоторых задач математической физики»

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена решению задач математической и теоретической физики на основе унифицированной процедуры использования обобщенных дзета-функций. Необходимость такого рассмотрения связана, с одной стороны, с развитием компьютерных методов расчета различных задач математической физики, а с другой стороны - бурным развитием решеточных теорий поля. Другое применение обобщенных дзета-функций в задачах математической и теоретической физики обуславливается все возрастающим интересом к рассмотрению задач на нетривиальных топологических структурах для получения не локальных свойств решений уравнений математической физики, а глобальных. По-видимому, исторически этот подход в одномерном случае восходит к Леонарду Эйлеру и Бернгарду Риману. Затем, в силу исторически сложившихся причин, решение задач математической физики, ввиду трудности нахождения точных решений, в значительной мере было сосредоточено на изучении локальных свойств решений. Однако, вследствие работ Пуанкаре по теории гиперэллиптических функций и в связи с дифференциальными уравнениями нетривиальной топологической структуры стало ясно, что для полного решения задач математической физики существенны теоретико-числовые свойства обобщенных дзета-функций. С другой стороны, еще один нетривиальный вопрос связан с так называемыми асимптотическими рядами теории возмущений, которые возникают при рассмотрении простейших задач одномерной квантовой механики. Полное решение этой задачи связано с построением так называемой топологической теории возмущений, предложенной А.С.Вшивцевым и В.Н.Сорокиным в работе [1] и продолженной в других многочисленных работах (см., например, работы [2], [3]). Топологическая теория

возмущений фактически основывается на глобальном характере поведения решения данного дифференциального уравнения. С третьей стороны, Н.С.Кошляков в работе [4] , написанной, как известно, в лагере, под псевдонимом Н.С.Сергеев, проводит замечательное исследование функционального уравнения Римана, навеянное уравнением теплопроводности. В этом исследовании вводятся и изучаются функции, обобщающие функцию гамма, полиномы Бернулли и т.п. В качестве функции, обобщающей дзета-функцию Римана, Н.С.Кошляков рассматривает ряд Дирихле:

Исторически, первой была введена дзета-функция Римана (известная еще Эйлеру):

Для дзета-функции Римана доказано аналитическое продолжение, функциональное уравнение и множество соотношений, эквивалентных функциональному уравнению. Основные факты, относящиеся к дзета-функции Римана приведены в монографии Титчмарша [5]. После классической работы Римана появился ряд исследований Гурвица, Лерча, Аппеля, Стилтьеса, Э.Ландау , Гамбургера, Н.С.Кошлякова и др., посвященных различным обобщениям дзета-функции Римана и их

где А,15...,А,п -положительные корни уравнения Фурье, играющего основную роль в аналитической теории распространения тепла:

р бш пХ + X соб %Х = 0, р>0.

00

ф)= п где Яе5> 1. п=1

применением к различным задачам анализа и теории чисел, завершением которых явилась упомянутая выше работа Н.С.Кошлякова.

Дальнейшее направление теории дзета-функций связано с введением Дирихле так называемых Ь - рядов, свойства которых можно найти в монографии Н.Г Чудакова [6]. Общий вид Ь - ряда Дирихле:

00

п=1

где х(п) " характер Дирихле. Функции Дирихле возникают в физике твердого тела как суммы Маделунга и в квантовой теории поля в связи с понятием «скрученных полей» [8]. Ряды Дирихле впоследствии обобщались в работах Дедекинда, Э.Артина , Хассе, Гекке, Зигеля, А.Вейля, Тейта, Тамагавы, Ленглендса и других авторов. Итоговая монография на эту тему - книга Э.Жаке, Р.Ленглендса [7].

Наконец, в работах Р.Эпштейна, Л.А.Дикого, С.Минакшисундарама, А.Плейеля, А.Сельберга, Л.Д.Фаддева, С.Хокинга и очень многих других были введены понятия: «дзета-функция Эпштейна», «обобщенная дзета-функция Эпштейна», «дзета- функция Сельберга», «дзета-функция Плейеля-Минакшисундарама», «дзета-функция дифференциального оператора» и установлены многочисленные связи с теорией возмущений, спектральной геометрией, квантовой статистической механикой, квантовой теорией поля и т.д. Необходимые сведения и многочисленные ссылки можно найти в книгах Н.Харта [8], ив коллективной монографии [9].

Таким образом, весь перечень перечисленных вопросов позволяет сформулировать задачу использования обобщенной дзета-функции в приложении к решению задач математической физики в более широком плане. А именно: вычисление на основе дзета-функции или с ее использованием необходимых в теоретической физике величин, таких как

эффективный потенциал, статистическая сумма и т.д. А также решение классических задач теории рассеяния для двух измерений.

Первая глава диссертации является вводной. Она разделена на три параграфа. В § 1 рассматривается связь между оператором Лапласа и дзета-функцией. В § 2 рассматривается между уравнением теплопроводности и дзета-функцией. В § 3 напоминаются некоторые известные дзета-функции, приводятся их свойства и устанавливается связь дзета-функций и эффективных потенциалов.

Вторая глава диссертации также разделена на два параграфа. В § 1 рассматриваются некоторые примеры дзета-функций возникающих в задачах теоретической и математической физики. В результате мы приходим к задаче изучения общей дзета-функции, которую автор назвал дзета-функция Эпштейна-Бернса. В §2 изучаются некоторые свойства двумерной дзета-функции Бернса, для которой доказывается несколько необычное функциональное уравнение.

Третья глава посвящена исследованию фазовой структуры модели Гросса-Неве с учетом влияния температуры и конечного объема. Предложена регулярная процедура вычисления эффективного потенциала модели Гросса-Неве на двумерной решетке с различными типами граничных условий. Процедура основана на использовании дзета-функции Римана-Эпштейна. Для разных типов граничных условий найдены эффективный потенциал и фазовая структура модели. Показано, что в двумерии ( в отличие от трехмерия ) фазовая картина не зависит от константы связи (при смешанных граничных условиях). Установлено существование критической длины такой, что если длина пространственного измерения меньше критической , то при любой температуре ос - 0 и фазового перехода нет ( ас - параметр порядка ). Если длина пространственного измерения больше критической, то существует фазовый переход: при температурах ниже температуры

фазового перехода ас Ф 0, выше сгс=0. Кроме того, рассматривается задача факторизации двумерной дзета-функции Эпштейна

{гп,П)Ф{ 0,0)

в сумму произведений множителей более простого вида. Это возможно только для некоторых пар чисел а и Ь, которых имеется конечное число и которые перечислены в настоящей главе. Эти результаты могут найти применение при квантовании 6-мерного обобщения теории Калуцы-Клейна, рассмотрении эффектов в сверхпроводниках, в некоторых моделях квантовой гравитации и, возможно, некоторых других задачах.

Четвертая глава посвящена далеко идущему обобщению результатов предыдущей на случай пространства с нетривиальной топологией

Т х Л . Разработана процедура вычисления эффективных потенциалов для пространств с этой топологией при произвольных граничных условиях: периодических, антипериодических, смешанных и с произвольными фазами. При этом изложение ведется в форме, близкой к аксиоматической, что позволяет легко выписать эффективный потенциал в любом случае, когда тепловое ядро соответствущей задачи допускает тэта-соотношение (модулярное соотношение). Основа изложения в настоящей главе - взаимосвязь задачи вычисления эффективного потенциала и теории нестандартных функциональных уравнений для рядов Дирихле, удовлетворяющих обобщенному функциональному уравнению типа Гекке, которому удовлетворяют возникающие в задаче дзета-функции типа Эпштейна.

Пятая глава посвящена изучению характера поведения асимптотических решений волнового уравнения при рассеянии плоской волны на двояко-периодических локальных неоднородностях, имеющих планарное расположение. Задача изучения точных и асимптотических решений волновых уравнений для таких структур обуславливается необходимостью

моделирования сплошных сред с неоднородностями, а также изучением распространения упругих волн в тонких пленках (сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики ). В задачах данного класса необходимо учитывать не только первое приближение, но и детально исследовать более тонкие эффекты. Это исследование сводится к математической задаче теоретико-числового типа: нахождение асимптотического поведения функций специального вида, представляемых в виде двойных сумм по решетке неоднородностей. В настоящей главе представлена одна из возможных процедур построения таких асимптотик. Хотя математически это всего лишь частный пример, корни его расположены очень глубоко. А именно, в теории рядов Дирихле важную роль играют тождества, равносильные функциональному уравнению: они называются нестандартные функциональные уравнения или «явные формулы» ( в дальнейшем мы будем писать этот термин, обходясь без кавычек ). Мы имеем цепочку равносильностей: «функциональное уравнение» <=> «модулярное соотношение» О «разложение на простейшие дроби» О «формула суммирования» <=> «асимптотическая явная формула» О и т.д. Наша задача является как раз примером асимптотической явной формулы, выписанной для очень специфической дзета-функции из рода «сдвинутых дзета-функций Эпштейна». Такой пример в математической литературе не рассматривался, хотя тематике явных формул посвящены многочисленные работы Вороного, Вигерта, Оппенгейма, Эдмунда Ландау, Вальфиша, Харди, Литтлвуда, Уилтона, Гамбургера, Гекке, Диксона, Феррара, Гинанда, Кошлякова, Кузьмина, Бохнера, Чандрасекхарана, Нарасимхана, Берндта, Лаврика, Морено и др. (см. [8],[9],[10] и указанные там ссылки). Из формулы, представленной в настоящей главе, следует, что в главном асимптотическом приближении ( с точностью до экспоненциально малых поправок ) в дальней волновой зоне, что соответствует пределу малых периодов решетки неоднородностей, решение волнового уравнения

представимо в виде плоской волны, распространяющейся ортогонально плоскости расположения узлов неоднородности, а добавочные слагаемые к главному асимптотическому приближению носят осциллирующий характер и их амплитуда промодулирована убывающей экспонентой.

Приложение 1 посвящено доказательству функционального уравнения для дзета-функции Эпштейна.

Приложение 2 посвящено доказательству теоремы разложения двумерной дзета-функции Эпштейна в сумму произведений множителей более простого вида.

Заключение посвящено формулировке основных результатов, полученных в диссертации.

ГЛАВА I Некоторые дзета-функции, возникающие в связи с задачами математической физики, и эффективные

потенциалы

§ 1.1. Оператор Лапласа и его связь с дзета-функцией

Пусть М - компактное риманово многообразие с метрикой g , где для локальных координат (яХ'-'-'Яп) оператор Лапласа-Бельтрами

определяется формулой

/ _ \

д

V )

У

Относительно сведений об операторах Лапласа на римановых многообразиях см. [19], [20], [21]. Во многих случаях операторы Шрёдингера квантовых систем оказываются операторами Лапласа-Бельтрами на компактных римановых многообразиях. Квантовая система описывается дифференциальным оператором в частных производных, который называется гамильтонианом этой системы и обозначается Н. Он действует на элементы гильбертова пространства Н. Основным объектом изучения является уравнение Шрёдингера НЧ/=ЕУ¥. В квантовой статистической механике считается, что квантовомеханическая система, описываемая гамильтонианом Н , находится в состоянии с энергией Еп , где индекс п - не одно число, а совокупность квантовых

чисел, задание которых полностью определяет волновую функцию и тем самым - состояние системы, с вероятностью

уи —-

П

где (3 - параметр, интерпретируемый как величина обратно

пропорциональная абсолютной температуре: (3 = где ^" постоянная

Больцмана. Тогда величина Z — ¿г (е ) = ^Г е , называется

п

статсуммой\ здесь сумма берется по всем состояниям системы. Следует отметить, что м?п - именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Еп, т.к. данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний, т.е. может иметь место вырождение. Можно также записать

г = Х апе > гДе ап ~ кратность энергии Еп . Последняя сумма

берется по всем различным уровням.

На языке математики статсумма - это след матрицы плотности

оо

р((3, х, у)= ^ е ^^(х^Су), где собственные значения и

к=О

собственные функции гамильтониана Н. Здесь /г р((3) = |р(Р, х, х), и

м

М - наше компактное риманово многообразие. Напомним, что мы интересуемся случаем, когда гамильтониан является оператором Лапласа-Бельтрами на компактном римановом многобразии, т.е. самосопряженным оператором. Лапласиан является эллиптическим оператором, что легко следует из известных определений [6, 19, 20, 21]. А именно, для линейного дифференциального оператора

|а| <т

где х е и где:

а\<т

Символ является многочленом степени т по с коэффициентами, зависящими от х. Главным символом линейного дифференциального оператора порядка т называется выражение:

а =т

Оператор Р называется эллиптическим, если выполнено следующее условие:

Для любого неотрицательного самосопряженного эллиптического дифференциального оператора, все собственные подпространства конечномерны и отличны от нуля лишь для дискретного множества неотрицательных X [6, 19, 20]. Введем теперь следующее определение. Пусть А - неотрицательный самосопряженный эллиптический оператор и пусть {А,и} - его спектр, причем каждое значение считается столько раз, какова его кратность (т.е. размерность соответствующего ему собственного подпространства); тогда определим дзета-функцию нашего дифференциального оператора так [6, 19,20]:

Для оператора Лапласа-Бельтрами главный символ имеет вид:

(1.1.1)

Здесь штрих над суммой означает, что слагаемые, соответствующие нулевым собственным значениям, опускаются. В частности, определение применимо к оператору Лапласа. Ряд (1.1.1) абсолютно сходится при достаточно больших Яе (б) , если оператор А является регулярным эллиптическим (в частности, это верно для оператора Лапласа на компактном римановом многообразии). Статсумма

= > ПРИ сходится и для р((3) = е~ря выполнено

п

дифференциальное уравнение Блоха [6]:

Я)

— р(р) + Яр(р) = 0, р(0)=1.

Дзета-функцию оператора Н, можно выразить через статсумму так:

1 00

= (1.1.2)

Понятие дзета-функции без особого труда переносится на случай компактных многообразий с краем и регулярных граничных задач. Однако, нам понадобится также случай непрерывного спектра. Рассмотрим простейший случай, когда многообразие является прямым произведением компактного многообразия К и вещественного пространства Иг , а

. -А + т2

дифференциальныи оператор А =-г-, тогда его дзета-функцию

Ц

можно вычислить по формуле, которую можно рассматривать как определение [77]:

<;»= г). а-1.3)

(л \2 П=Х

(4тг)

Г

^ г \ {

8 2 1 00

г

5--

2

где Хп- собственные значения оператора Лапласа компактного

многообразия К.

Основные ссылки к этому параграфу см.: [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [24], [77].

§ I. 2. Уравнение теплопроводности и его связь с теорией

дзета-функций

Пусть М - компактное риманово многообразие, А - регулярный эллиптический дифференциальный оператор на М, с ним тогда

д

ассоциируем оператор теплопроводности £) =--V А и пусть е(х, у,

- его фундаментальное решение. Пусть еп(х) - полная ортонормированная (в смысле римановой метрики) система собственных функций оператора А , соответствующих собственным значениям кп , тогда фундаментальное решение уравнения теплопроводности пред ставимо в виде равномерно сходящегося ряда по теореме Мерсера [6] :

со

е(х,у„()= ^е~Х»(еп(х)ёп(у). (1.2.1)

п=1

Заметим, что если в (1.2.1) положить / = [3 и считать А гамильтонианом Н некоторой физической системы на М, то оператор теплопроводности будет оператором Блоха, а его фундаментальное решение - матрицей плотности системы. Следующая формула бывает полезна [6, 20]:

1 °°

= Ь8~1Тг{е[х,хД(И (1.2.2)

где Тг{е(х,х^)} = |е(х, Таким образом, подход через уравнение

М

теплопроводности приводит к тем же результатам, что и подход через статистическую квантовую механику. Огромная литература, как математическая, так и физическая посвящена поиску асимптотических разложений для е(х,х,/), коэффициенты которых бы выражались через геометрические инварианты многообразия М [20]. Усилия были направлены на то, чтобы по известному спектру оператора Лапласа охарактеризовать многообразие (по знаменитому выражению Марка Каца [11] «услышать форму барабана»). Ответ оказался отрицательным: существуют изоспектральные, но не изометричные многообразия уже в классе плоских торов [12]. Плейель и Минакшисундарам [13] для компактных многообразий получили асимптотическое разложение:

Л

( п ^^ к--+1

г 2

при t 0. (1.2.3)

/

К у '' п п п

/2 {1 V

Коэффициенты а^,...,^ можно вычислить через инварианты многообразия М. Например, первых два коэффициента можно найти

Уо1М \м по формулам: —- , а\ -, где п- размерность

_ Ш

п 1 п

(4тг)2 3(4тс)2

многообразия. Иными словами, можно услышать объем и размерность многообразия. " гауссова кривизна в точке х , ф -мера.

Аналогичные результаты могут быть получены для областей евклидова пространства и многообразий с краем. Их получение основано на методе параметрикса [6, 20]. Для случая многообразия с краем разложение Плейеля- Минакшисундарама имеет несколько более сложный вид и основная задача спектральной геометрии - вычисление коэффициентов разложения.

В связи с затронутыми здесь вопросами см. [11], [12], [13], [14], [15]. В дальнейшем будет полезна формула, частный случай которой приведен в работе С.А.Молчанова [16] с указанием «очевидна и хорошо известна». А именно, пусть Г - дискретная группа, действующая на многообразии М и пусть е{х, у^) - фундаментальное решение оператора А на М. Тогда дзета-функция оператора А на однородном пространстве М/Г может быть вычислена по формуле

где 7>{е(х,х,/)} - тепловое ядро оператора А, которое в случае гамильтониана А - Н превращается в статсумму, а в общем случае называется еще тэта-функция оператора А и обозначается

Таким образом, математические и физические предпосылки приводят к важности изучения дзета-функций для математической и теоретической физики. Основные ссылки к этому параграфу: [6], [9], [13]-[21].

§1.3. Дзета-функции и эффективные потенциалы

В различных разделах математики возникают ряды вида

со

/(5) = > ^ = + Ы - комплексная переменная, ап -

п=1

комплексные числа, а Хп - монотонно возрастающая последовательность действительных чисел. Такие ряды называются общие ряды Дирихле, а представленные ими функции будем называть (обобщенными) дзета-функциями. (См. [5]-[7], [10]-[12]). Предполагаем, что ряд имеет конечную абсциссу абсолютной сходимости. Для нашего ряда Дирихле можно рассмотреть несколько ассоциированных с ним дзета-функций:

оо оо /л \

^an(Xn+a)s, где а - положительное число, —

X+ а

п=1 п=1 4 ^

и др.

Мы будем называть такие дзета-функции Гурвиц-аналогами исходной

оо

fis) , так как в случае дзета-функции Римана s функция

п=1

оо

С,(а, я) = ^ (п + а) называется дзета-функция Гурвица. Для физических

п=\

2 2 приложений а = т - квадрат массы, а X = |и - размерный параметр.

Введем некоторые дзета-функции, которые нам понадобятся в дальнейшем, причем в удобных для дальнейших целей обозначениях.

= {а1п\ + (1-3-1)

= Е • • • Е 7 [а\п\ + • • • + аЪпЪ) 5 СОБ^ТКР!^)-...- сов^тс ) (1.3.2)

(1.3.3)

= [аНъ + +

В формулах (1.3.1), (1.3.2), (1.3.3) суммирование идет по всем целочисленным наборам, исключая только набор (если такой существует),

при котором член превращается в (О) ^ • Случай нулевых фаз (где числа фI называются фазами) соответствует периодическим граничным условиям. Для спинорных полей обычно полагают антипериодические граничные условия и фг-= 1/2. Дзета-функции (1.3.1), (1.3.2), (1.3.3) называются дзета-функции Эпштейна [33] . Мы сформулируем необходимые для дальнейшего свойства дзета-функций Эпштейна в виде следующего утверждения ( см. [33]). Утверждение. (1) Функция Z{s; ,..., а^ ) регулярна на всей 5 -

а

плоскости, кроме точки 5 = —, в которой она имеет простой полюс с

вычетом Ад =

тс

А Г

где А - ■... • а^ ; имеем также формулы :

2(0; а1,...,ас}) = 1; = 0,к = 1, 2,3,...

И, наконец, функциональное уравнение имеет вид:

71 ^(5)2(5;^,...,^) =

71

[а л —£ 12 у

А

Г

(а г {<1 1

— 9

и ) и щ

аа

(2) Обозначим для краткости = ; ;

Определим ассоциированную (контраградиентную) к ней функцию такой формулой:

\

1 1

я; —,...,— ;-ц11,...,\\;с1; (рь-..^ \ а\ ай у

а\ ас1

В этих обозначениях функциональное уравнение записывается так:

-2тсг (ф,\ф/) -

А

•71

'й

--5

.2 у

Г

и \ 2 (й Л

-5 --5

,2 и )

Аналитические свойства функции 2(я) таковы. Эта функция допускает аналитическое продолжение на всю плоскость, за исключением случая, когда все компоненты \}7 целые. В последнем случае эта функция имеет

простой полюс в точке я = — с вычетом Ад , формула для которого

приведена в пункте (1) нашего утверждения.

Замечание. Все эти утверждения получаются после несложных вычислений из результатов Эпштейна, приведенных в книге [33]. Однако, доказательства там не приводятся, а ссылка на работы Эпштейна 1903 и 1907 годов не очень хороша, так как эти работы не очень доступны. Поэтому, мы приведем доказательство в приложении 1.

Изложим теперь связь эффективных потенциалов и дзета-функций. Литературные ссылки к изложенному ниже материалу, например, [21], [22], [23], [25], [26], [27], [33], [34], [42], [45] . Для простоты, пусть у нас рассматривается компактный случай. Для дифференциального оператора

оо

А , мы обозначили С,^ (я) = ^ его дзета-функцию. Предположим,

п=1

что собственные значения этого оператора положительны. Тогда эффективным потенциалом мы будем называть выражение

00

п=1

Разумеется, как правило, такое выражение расходится и поэтому под эффективным потенциалом понимается некоторая регуляризация этого выражения. Эту регуляризацию удобно осуществить с помощью дзета-функции нашего оператора. А именно, если Хп достаточно быстро стремятся к бесконечности с ростом п (например, для оператора Гельмгольца Хп~п2), то при достаточно большой Кед ряд, определяющий дзета-функцию, сходится. Учитывая формулу

(ах | = ах 1п а , будем понимать расходящееся выражение для Уд как предел при я —» 0 производной от

Га=~С,А(0).

В такой форме понятие эффективного потенциала было введено в работах [102], [104]. Установим связь этого определения с понятием эффективного потенциала, возникшего в начале шестидесятых годов в работах Коулмана, Вайнберга, Салама, Иона-Лазинио и приведенное, например, в учебнике [26]. В квантовой теории поля метод эффективного потенциала представляет основной прием исследования спонтанного нарушения симметрии. В физике твердого тела с его помощью описывают спонтанную намагниченность ниже точки Кюри. В физике конденсированных сред он используется для описания сверхпроводимости и сверхтекучести. Связь с нашим определением такова (см., например, [45]): однопетлевая поправка к эффективному потенциалу (называемая, далее, эффективный потенциал) для случая скалярных частиц, равна

, где А - оператор Гельмгольца. Для случая спинорных

2

частиц (и квадрированного оператора Дирака), в последнем выражении надо поменять знак.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Кисунько, Александр Григорьевич

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. Изучается подробно двумерная дзета-функция Бернса: получено аналитическое продолжение и функциональное уравнение, которое оказалось соотношением нового вида, в котором вид контраградиентной функции зависит от арифметических свойств коэффициентов.

2. Предложена регулярная процедура вычисления эффективного потенциала модели Гросса-Неве на двумерной решетке с различными типами граничных условий, основанная на дзета-функции Римана-Эпштейна. Показано, что в двумерии (в отличие от трехмерия) фазовая картина не зависит от константы связи (при смешанных граничных условиях). Установлено существование критической длины такой, что если длина пространственного измерения меньше критической, то при любой температуре фазового перехода нет. Если длина пространственного измерения больше критической, то существует фазовый переход. При температурах ниже температуры фазового перехода ос Ф 0, выше <ус =0 (<УС- параметр порядка).

3. Решена задача факторизации двумерной дзета-функции Эпштейна в сумму произведений множителей более простого вида, что возможно только для конечного числа пар чисел а,Ъ, которых имеется конечное число и которые перечислены в диссертации ( они оказались тесно связанными с так называемыми «удобными числами» Эйлера).

4. Разработана процедура вычисления эффективных потенциалов для тй ПГ пространств с нетривиальной топологиеи 1 х К при произвольных граничных условиях : периодических, антипериодических , смешанных и с произвольными фазами. Разработана также процедура вычисления эффективного потенциала в случае, когда тепловое ядро соответствующей задачи допускает тэта- соотношение (модулярное соотношение), что устанавливает связь между задачей вычисления эффективного потенциала и теорией нестандартных функциональных уравнений для рядов Дирихле, удовлетворяющих функциональному уравнению типа Гекке.

5. Решена задача изучения характера поведения асимптотических решений волнового уравнения при рассеянии плоской волны на двояко-периодических локальных неоднородностях, имеющих планарное расположение, которая оказывается формально-математической задачей (теоретико-числового типа) нахождения асимптотического поведения функций специального вида , представляемых в виде двойных сумм по решетке неоднородностей. Представлена одна из возможных процедур построения таких асимптотик, связанная с построением так называемой асимптотической явной формулы (терминология автора), что устанавливает связь с так называемой теорией явных формул из теории чисел. В математической литературе такой пример ранее никогда не рассматривался.

6. Введено понятие асимптотической явной формулы и рассматриваются иллюстрирующие примеры. Выведена общая формула, связывающая дзета-функцию Эпштейна-Гурвица для случая произвольной размерности и асимптотическое поведение некоторой суммы по многомерной решетке.

17 июля 1998 года автор должен был пойти к своему научному руководителю и другу Александру Сергеевичу Вшивцеву, чтобы обсудить текст автореферата. В этот день Саши не стало. Светлой памяти замечательного человека посвящается эта работа.

На завершающем этапе неоценимую поддержку и помощь автору оказал научный консультант работы профессор Владимир Чеславович Жуковский. Многочисленные беседы с профессором Анатолием Викторовичем Борисовым были поистине бесценны. Автор выражает глубочайшую признательность В.Ч.Жуковскому и А.В.Борисову за поддержку, которую невозможно переоценить.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кисунько, Александр Григорьевич, 1999 год

Список литературы

1. Вшивцев A.C., Сорокин В.Н., Теория возмущений для уравнения Шредингера с полиномиальным потенциалом // Изв. Вузов. Физика.-1994.-№1.- С.95-101.

2. Вшивцев A.C., Норин Н.В., Сорокин В.Н., Спектральная задача для уравнения Шредингера с вырожденным полиномиальным потенциалом четной степени II Изв. Вузов. Фшшш.-1996.-№5.-С.55-70.

3. Вшивцев A.C., Прокопов A.B., Сорокин.В.Н., Татаринцев A.B., Спектральная задача для радиального уравнения Шредингера с удерживающими типами потенциалов ПВестн. Моск. Ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. -1998.-№1.-С.6-9.

4. Сергеев Н.С. Исследование одного класса трансцендентных функций, определяемых обобщенным уравнением Римана- M.-JL: МИАН, 1949.154 с.

5. Титчмарш Е.КТеория дзета-функции Римана. -М.: ИЛ, 1953.-407с.

6. Чудаков Н.Г., Введение в теорию L-функций Дирихле. - M.-JL: Гостехиздат, 1947. -203 с.

7. Жаке Э.,Ленглендс Р., Автоморфньге формы на GL(2). - М.:Мир, 1973.-372 с.

8. Харт Н., Геометрическое квантование в действии. - М.:Мир,1985,-343 с.

9. Elizalde Е., Odintsov S.D., Romeo A., Bytsenko A.A., and Zerbini S., Zeta Regularization Techniques with Applications. - World Scientific, 1994.-319 p.

10.Bochner S., Certain Properties of Modular Relations I I Ann. Math. - 1951.-v.53.-P.332-363.

11.Chandrasekharan K.,Narasimhan R., Hecke's functional equation and arithmetical identities //Ann.Math.-\961.-v.74.-?A-23.

12.Berndt B.C., The Voronoi summation formula //Lect.Not.Mat.,-1972-№ 251. - P.21-36.

13.Kac M., Can one hear the shape of a drum HAmer.Math.Monthly-1966.-73, №4.-P.l-23.

14.Milnor J., Eigenvalues of the Laplace operators on certain manifolds HProc.Nat.Acad.Sci.USA.-\964.-51,№>4.-Р.542-545.

15.Minakshisundaram S.,Plejel A., Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian manifolds IICanad.J.Math. -1949 -1, №2.-P.242-256.

16.Patodi V.K., Cuvature and the eigenforms of the Laplace operator IIJ.Differ.Geom.-l971 .-5, №3.- P.233-249.

17.Gilkey P., Spectral geometry of a Riemannian manifold IH.Differ.Geom.-1975.-10, №4.-P.601-618.

18. Молчанов C.A., Диффузионные процессы и риманова геометрия //УМ#.-1975.-30,№6.-Р.1-64.

19. Агранович М.С., Эллиптические операторы на на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.-1990.-Том 63.-6-129.

20. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А., Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления-1989.-Том 64.- 5-242.

21.Шварц А.С., Эллиптические операторы в квантовой теории поля ПИтоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики.-1980.-Том 17.- М.: 1981.-113-173.

22.Де Витт Б.С., Квантовая гравитация: новый синтез // Сб. "Общая теория относительности".-Ы.: Мир.-1983.-296-362.

23.Хокинг С., Интегралы по траекториям в приложении к квантовой гравитации // Сб. "Общая теория относительности".-М. :Мир,-1983,-363-406.

24.Шварц A.C., Квантовая теория поля и топология. -М.:Наука.-1989.-400 с.

25.Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф., Калибровочные теории в физике элементарных частиц.-М.: Мир.-1987.-624 с.

26.Хуанг К., Кварки, лептоны и калибровочные поля. -М.: Мир, 1985.382 с.

27.Линде А.Д., Физика элементарных частиц и инфляционная космология.- М.: Наука, 1990.- 275 с.

28.Barnes E.W., On the theory of of the multiple gamma function // Trans.Cambridge Philos.Soc. - 1904.-19.-P.374-425.

29.Shintani Т., On a Kronecher limit formula for real quadratic filds // J.Fac.Sci.Univ.Tokyo. - 1977.- 24.-P.167-199.

30.Вшивцев A.C., Перес-Фернандес B.K., О суммировании рядов специальных функций, возникающих при вычислении термодинамических потенциалов IIДАН СССР-1989.-Т.309.-№1.-С.70-73.

31.Багров В.Г.,Вшивцев A.C.,Николаев A.B., Перес-Фернандес В.К., Термодинамические и эффективные потенциалы квантовых Бозе и Ферми систем в абелевом и неабелевом магнитном поле IIПрепринт ТФ СО АН СССР.-Ш8.-Томск,1988.-24с.

32.Маричев О.И., Метод вычисления интегралов от специальных функций(теория и таблицы формул). -Минск: Наука и техника.-1978.-310 с.

33.Старинец А.О. Канд. диссертация.- М.-1994.-115 с.

34.Hawking S.W., Zeta Function Regulariztion of Path Integrals in Curved Spacetime // Commun. Math. Phys.- 1977.-55.-P. 133-148.

35.Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев O.K., Интегралы и ряды. Элементарные функции.-М.: Наука, 1981.-800с.

36.Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев O.K., Интегралы и ряды. Специальные функции.-М.: Наука, 1983.-750с.

37.Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев O.K., Интегралы и ряды. Дополнительные главы.-М.: Наука, 1986.-800с.

38.Бейтман Г.,Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции-Т.1.-М.: Наука, 1965.-294с.

39.Бейтман Г.,Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции.-Т.2.-М.: Наука, 1966.-295с.

40.Бейтман Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. -Т.З.-М.: Наука, 1967.-299с.

41.Бейтман Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований.-Том I. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина М.:Наука, 1969.343 с.

42.Биррелл Н., Девис П., Квантованные поля в искривленном пространстве-времени.-М.:Мир.-1984.-356 с.

43.Березин Ф.А., Метод вторичного квантования.-М.:Н&ук&.-1986.-319 с.

44.Поляков A.M., Калибровочные поля и струны.-М.: Изд-во ИТФ.-1995.-300 с.

45.Рамон П. Теория поля., Современный вводный курс.-М.: Мир.-1984.-332с.

46.Ахиезер А.И. и др. Спиновые волны- М.:Наука.- 1967.- 368 с.

47. Brandt F.T., Frenkel J., Taylor J.C., Calculations of finite temperature effects in field theories // Physical Review D.~ 1991.-V.44.-N6.- P. 18011810.

48.Ициксон К., Зюбер Ж.-Б., Квантовая теория поля.-Тоы 1.-М.:Мир.-1984.-448 с.

49.Ициксон К., Зюбер Ж.-Б., Квантовая теория поля.-Том 2.-М.: Мир.-1984.- 400 с.

50.Ашкрофт Н., Мермин Н., Физика твердого тела - Том 1.- М.:Мир.-1979.-399.с.

51. Ашкрофт Н., Мермин Н., Физика твердого тела.- Том 2.-М.:Мир.-1979.-422 с.

52.Маделунг Э., Математический аппарат физики - М.: Наука.-1968.-618 с.

53.Мостепаненко В.М.,Трунов Н.Н., Эффект Казимира и его приложения.-М.: Энергоатомиздат.-1990.-215 с.

54. Раджараман Р., Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля.-М.: Мир.-1985.-416 с.

55.Burgess М., Radiatively induced Chern-Simons terms on the torus //Phys.Rev.-\99\.-DA4.-2552-2551.

56.Elizalde E., An extension of the Chowla-Selberg formula useful in quantizing with the Wheeler-De Witt equation IIJ.Phys.A(Math.Gen.).-1994.-27.-3775-3785.

57.Виноградов И.М., Основы теории чмсел.-М.:Наука.-1965.-172 с.

58.Wotzasek С., On the Casimir effect and the temperature inversion symmetry IIJ.Phys.A (Math. Gen.).-\ 990.-23.-1627-1632.

59. Ravndal F., Wotzasek C., Temperature inversion symmetry in the Gross-Neveu model HPhys.Lett.- 1990.-B249.-266-268.

60.Венков Б.А., Элементарная теория чисел.-М.-Л.:НКТП СССР.-1937.-219 с.

61.Сарнак П., Модулярные формы и их приложения.-М.: ФАЗИС.-1998.-133 с.

62.Вепхвадзе Т.В., Ряды Эйзенштейна -Зигеля бинарных квадратичных форм //1980.-Тр. Тбилисского мат.ин-та.-63.-С.15-24.

63.Вепхвадзе Т.В., О количестве представлений чисел родами положительных бинарных квадратичных форм //1977 -Тр. Тбилисского мат. ин-та .-57.-С.29-39.

64.Вепхвадзе Т.В., О представлении чисел положительными гауссовыми бинарными квадратичными формами //1971.'-Тр. Тбилисского мат. ин-ям.-40.-С.21-58.

65.Вепхвадзе Т.В., Об арифметическом смысле сингулярного ряда положительных бинарных квадратичных форм //1974 -Тр. Тбилисского мат.ин-та.-45.-С.60-П.

66.Ломадзе Г.А., О представлении чисел положительными бинарными диагональными формами //1965.-М£Ш.сб.-68,№2.-С.282-312.

67.Гогишвили Г.П., О представлении чисел положительными бинарными квадратичными формами /1Ш2.-Сообщ.АНГССР.-107,№2.-С.257-260.

68.Гогишвили Г.П., О формулах одного вида для количества представлений чисел положительными бинарными квадратичными формами ПТр.Тбилисскогомат.ин-та-72.-С.32-39.

69.Вепхвадзе Т.В., К аналитической теории квадратичных форм ПТр. Тбилисского мат. ин-та- 72.-С. 12-31.

70.Actor A., Multiple harmonic oscillator zeta functions II LPhys. A: Math. Gen. -1987.-20.-P.927-936.

71.Actor A., Infinite products, partition functions, and the Meinardus theorem /IJ.Math.Psys.-l994.-V.35.-m 1.-5749-5764.

72.Actor A., and //-function resummation of infinite series: general case //J.Psys. A: Math. Gen. -1991.-V.24.-3741-3759.

73.Elizalde E., On the zeta-function regularization of a two-dimensional series of Epstein-Hurwitz type // J. Math. Phys. -1990.-31 .-1 .-P.170-174.

74.Elizalde E., A Very Simple Computation of a Cazimir Effect // NUOVO CIMENTO-1989.- Vol.104, N.6.-P.685-700.

75.Elizalde E., Casimir Effects in Tori and Pairs of Plats // Physics Letters B.-

1988.-V.213 .-N.4.-P.477-481.

76. Actor A.Zeta functions on the non-positive real axis HJ.Phys. A: Math.Gen-

1989.-22.-767-782.

77.Actor A. Conventional zeta-fiinction derivation of high-temperature expansions //J.Psys. A: Math.Gen.-1987.-20.-5351-5360.

78.Вшивцев A.C., Жуковский В.Ч., Рекуррентные соотношения для обобщенных функций типа дзета-функций Римана-Эпштейна ПВестн. Моск. Ун-та. Сер. 3, Физика. Астрономия. 1994. Т.35, № 1.-С.32-38.

79.Elizalde Е., Romeo A., Upper bounds to 1-loop symmetry axis restoration for Goldstone model in Rq+1 x Tp in the low — mass and weak-coupling limit IIPhysics Letters 5.-1990.-V.244.-N.3,4.-P.387-392.

80.Elizalde E., Zeta-function regularizations is uniquecly defined and well HJ.Phys. A: Math, and Gen. - 1994.-V.27.-L299-L304.

81.Elizalde E., Analisis of an inhmogeneous generalized Epstein-Hurwitz zeta function with physical applications // J.Math. P/z>tf..-1994.-V.35.-Nl l.-P. 6100-6122.

82.Малышев A.B. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами. Труды МИАН.-65.-1962.-212 с.

83.Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел- М.:Наука.-1985.-504 с.

84.Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел., M.-JL: Гос. Изд. Технико-Теор. Лит.-1940.-260 с.

85.Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. -М.:Советское радио.-1970.

86.Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики-М.:Наука.-1972.- 735 с.

87.Вшивцев A.C., Жуковский К.В., Чесиоков Е.М., Влияние начально-неоднородных напряжений на упругие характеристики изотропного тела IIИзв.РАН. Физика Земли.-1995.-5.-С.65-12.

88.Вшивцев А.С.,Татаринцев А.В.,Чесноков Е.М. Распространение упругих волн в анизотропной среде с начальными напряжениями НИзв.РАН. Физика Земли.- 1995.-9.-С.35-41.

89.Вшивцев А. С.,Татаринцев А.В.,Чесноков Е.М. Функция Грина волнового уравнения при наличии анизотропии среды ПДАН СССР-1993.-333,№3.-С.385-388.

90. Вшивцев A.C., Татаринцев A.B., Чесноков Е.М. Функция Грина волнового уравнения при наличии анизотропии среды НИзв.РАН. Физика Земли.- 1994.-9.-С.80-87.

91.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория упругости- М.: Наука.-1987.-246 с.

92.Маслов В.П Асимптотические методы и теория возмущений М.:Наука.-1988.- 312 с.

93.Вайнберг Б.Р., Асимптотические методы в уравнениях математической физики.-М.'МГУ.-1982.-294 с.

94.Вшивцев А.С.,Перегудов Д.В.,Татаринцев A.B., Метод проекционных операторов и построение функции Грина волнового уравнения ПИзв.Вузов, физика.-\995.-Ш.-С.Ш-\\\.

95.Вшивцев A.C., Клименко К.Г.,Татаринцев A.B., О вращении плоскости поляризации волн, распространяющихся в упругих анизотропных средах//Д4ЯРоссмм.-1995.-№3.-С.385-388.

96. Вшивцев A.C., Перегудов Д.В., Татаринцев A.B., Вращение плоскости поляризации волн в анизотропных средах ПИзв.Вузов,физика.-1996.-№5.-С.82-88.

97.Вшивцев A.C., Перегудов Д.В., Татаринцев A.B., Вращение плоскости поляризации волн в анизотропных средах НИзв.РАН. Физика Земли-1995.-№11.-С.62-67.

98.Мамфорд Д., Лекции о тэта-функциях- М.:Мир.-1988.

99.Кисунько А.Г., Формула суммирования, связывающая нули и коэффициенты логарифмической производной ряда Дирихле, удовлетворяющего общему функциональному уравнению (Явные формулы, I) IIВ сб. "Тр. 33 Научно-технической конференции МИРЭА. Москва, май 1984. Секц. Мат.", М.-1985, №8046-В (Деп.).- Юс.

100. Кисунько А.Г., Явные формулы, II // В сб. "Материалы XXXV научно-технической конференции /сборник/ Моск. ин-та радиотехники, электроники и автоматики, Москва, май, 1986 г.", М.- 1986, № 7734-В86 (Деп.).-12 с.

101. Кисунько А.Г., Явные формулы, III II В сб. "Материалы XXXV научно-технической конференции /сборник/ Моск. ин-та радиотехники, электроники и автоматики, Москва, май, 1986 г.", М.-1986, №7734-В86 (Деп.).-9 с.

102. Вшивцев A.C., Кисунько А.Г., Клименко К.Г., Перегудов Д.В., Фазовая структура модели Гросса-Неве с учетом влияния температуры и конечного объема I ¡Препринт ИФВЭ 96-58- Протвино, 1996.-21с.

103. Вшивцев A.C., Кисунько А.Г., Мясников В.П., Татаринцев A.B., Рассеяние упругих волн на планарных периодических структурах в анизотропных средах с начальными напряжениями ПДАН.-1991 -356, №3.-С.313-316.

104. Вшивцев A.C., Кисунько А.Г., Клименко К.Г., Перегудов Д.В., Фазовая структура модели Гросса-Неве с учетом влияния температуры и конечного объема // Изв.Вузов, Физика.-199%.- №2.-С.29-45.

105. Вшивцев A.C., Кисунько А.Г., Мясников В.П., Татаринцев A.B., Рассеяние упругих волн на планарных периодических структурах в анизотропных средах с начальными напряжениями // Изв. РАН. Физика Земли.-1999.-№2.-С. 10-16.