Эффект локализации собственных функций некоторых эллиптических операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Матвеенко Сергей Георгиевич

• Матвеенко Сергей Георгиевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Матвеенко Сергей Георгиевич

Введение

Глава 0. Вспомогательные сведения

§ 1 Некоторые обозначения

§ 2 Функциональные пространства

§ 3 Вспомогательные факты теории самосопряженных операторов . . 26 § 4 Спектральные свойства оператора Лапласа с граничными

условиями Дирихле

§ 5 Спектры некоторых операторов

§ 6 Собственные числа некоторых плоских фигур

§ 7 Спектральные свойства оператора Лапласа в областях,

имеющих цилиндрические выходы на бесконечность

§ 8 Тонкая пластина Кирхгофа

Глава 1. Оператор Лапласа в крестообразном волноводе

§ 1 Основные геометрические объекты

§ 2 Структура спектра

§ 3 Оценки спектра и собственных функций

§ 4 Примеры множественного дискретного спектра

§4.1 Уменьшение угла между цилиндрами

§ 4.2 Вытягивание сечения волновода

§ 4.3 Возможные обобщения

Глава 2. Оператор Лапласа в угловом слое

§ 1 Основные геометрические объекты

§ 2 Структура спектра оператора Лапласа в угловом слое

§ 3 Дискретный спектр в правильном угловом слое

§ 4 Возможные обобщения

Глава 3. Тонкая пластина Кирхгофа

§ 1 Локализация собственных функций в узкой пластине Кирхгофа

§ 1.1 Формальная асимптотика

§ 1.2 Первое приближение для собственных чисел

§ 1.3 Теорема единственности

§ 1.4 Теорема о сходимости, подготовительные утверждения

§ 1.5 Доказательство теоремы о сходимости

§ 1.6 Доказательство основной теоремы

§1.7 Возможные обобщения

§ 2 Дифракция на тонкой полубесконечной пластине Кирхгофа с

периодической свободной границей

§2.1 Возможные обобщения

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффект локализации собственных функций некоторых эллиптических операторов»

Актуальность темы исследования.

Изучение квантовых волноводов является областью активных научных исследований с 1990-х годов, когда стало возможным создание наноэлектрон-ных устройств в масштабах нанометров, в которых существенной оказывается волновая природа электрона. Квантовые эффекты, приводящие к захвату электрона в окрестности пересечения двух тонких волноводов, описаны в [81]. В работе [48] (см. также [42]) сформулирована математическая модель двумерного квантового волновода: движение электрона внутри микроструктуры может быть смоделировано свободной (бесспиновой) частицей, перемещающейся в соответствующей пространственной области с условием Дирихле на ее границе; член взаимодействия должен быть добавлен только в том случае, если вся структура помещена во внешнее поле. В последние годы значительное внимание уделяется также изучению спектров задач в более сложных геометриях, таких как слои Дирихле и их сочленения, которые структурно могут быть устроены значительно разнообразнее волноводов.

Явление захвата частиц в микроструктурах с математической точки зрения объясняется эффектом локализации собственных функций, заключающимся в их экспоненциальном затухании при удалении от определенных областей. В ряде работ эффект локализации используется как для построения собственных чисел под порогом непрерывного спектра (см., например, [13; 88; 33; 53]), так и для обоснования раскрытия лакун в непрерывном спектре волноводов различной геометрии (см., например, [15; 53; 68]). Кроме того, подобные эффекты находят прикладное применение в задачах квантовой механики, теории упругости и нанотехнологий. Например, в механике сплошных сред они определяют распределение напряжений в тонких пластинах и оболочках, что актуально для аэрокосмической инженерии и микроэлектромеханических систем. В статье [54] предлагается использовать два слабосвязанных квантовых волновода для квантовых вычислений. В этой статье с помощью эффекта локализации описываются интерпретации квантового кубита.

Степень разработанности темы исследования.

В.П. Маслов в работе [10] вычислил асимптотику волновой функции, отвечающей основному состоянию, в двумерном тонком изогнутом квантовом волноводе. Простейшие спектральные свойства двумерных квантовых волноводов изложены в публикациях П. Экснера, П. Шебы и П. Стовичека ([47-49], см. также монографию [45]), где, в частности, доказано, что у оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле при изгибе или изломе волновода ниже точки отсечки непрерывного спектра А^ возникают собственные числа. В статье [32] В. Булла, Ф. Гестези, В. Ренгер и Б. Саймон, используя принцип Бирмана-Швин-гера, доказали существование и единственность собственного числа Л1 ниже Л = п2 в двумерном волноводе П, полученном из бесконечной единичной полосы П малым локальным возмущением положительной площади (П С П), и построили асимптотику Л1 = — \ П|2 + 0(|П \ П|3), см. также [6]. В [48] для изломанного волновода П(0) при угле излома в = ^/2 доказано, что первое собственное число единственно, и получена его оценка Л1 ~ 0.93Л^. В работе [78] К. Панкрашкиным уточняется, что единственность сохраняется при Тем не менее, в статьях [26] и [34] доказывается, что

ниже Л| образуется сколь угодно много собственных чисел при в ^ 0, а благодаря публикации М. Дож и соавторов [39] известно, что собственные числа и их количество монотонно зависят от 9. В работе [41] построена их асимптотика при в ^ 0. В статье [76] получена оценка снизу для общей кратности дискретного спектра при малых 9. Аналогичные результаты для крестообразных волноводов продемонстрированы в публикациях [31; 71; 81]. Используя подход, основанный на особенностях геометрии сочленений волноводов, С.А. Назаров в статьях [13; 69; 70] вывел асимптотики Л1 при в ^ ж — 0, а также исследовал условия существования дискретного спектра в более сложных геометриях (двумерных коленчатых, изломанных, плавно изогнутых и периодических волноводах). Данный подход получил развитие в ряде работ (см., например, [74; 75]), где обсуждаются вопросы существования дискретного спектра и его полной кратности в У-, Z-, и С-образных волноводах. В многомерном случае в статьях [13] и [82] для некоторых типов волноводов, их сечений и сочленений устанавливаются аналогичные результаты.

Слои Дирихле и их сочленения структурно сложнее волноводов, при этом их спектральные свойства схожи. Это объясняется похожим строением выходов на бесконечность: как в слои, так и в волноводы можно вписать счетное число непересекающихся кубов, при этом нельзя вписать сколь угодно большой куб. Это приводит к тому, что существенный спектр занимает луч с положительной точкой отсечки, при этом под его порогом может существовать дискретный спектр, соответствующий захваченным волнам. Появление захваченных волн зачастую является следствием строения рассматриваемой области в шаре конечного радиуса (формы сочленения), в то время как характеристики существенного спектра определяются строением волновода или слоя на бесконечности.

Для слоев Дирихле известны следующие результаты. В статье [43] авторы изучают спектры слоев Дирихле постоянной ширины, построенных около специального вида двумерных гладких поверхностей в К3, предполагая, что на бесконечности поверхность "уплощается", то есть ее кривизна стремится к нулю, и приводят достаточные условия появления захваченных волн для таких слоев. В работе [35] авторы развивают идеи [43], отказываясь от ряда предположений, и рассматривают более сложные топологические структуры и более широкий класс слоев. Тем не менее, уплощение образующей поверхности на бесконечности остается ключевым предположением. В статьях [65] и [67] эти результаты развиваются и обобщаются, в частности, на многомерный случай. В работе [50] авторы для конического слоя доказали, что ниже точки отсечки существенного спектра образуется бесконечно много собственных чисел. Асимптотика поведения этих собственных чисел опубликована в статье [40]. Аналогичный результат оказывается верен и для достаточно гладких слоев в широком классе случаев, например, в достаточно тонком параболическом слое (см. [61], [46], и [45, глава 4]). В статье [38] про трехмерные слои в форме угла изучается вопрос о структуре существенного спектра слоя Фикера (слоя, построенного по трехгранному углу, все плоские углы которого равны по 90°) и устанавливается конечность количества собственных чисел под порогом. В работе [28] результат уточняется, доказано наличие захваченной волны, и аналогичный результат установлен во всех старших размерностях. Единственность

собственного числа под порогом непрерывного спектра в указанной ситуации до сих пор остается открытым вопросом, проверенным лишь численно (см. [38]).

Задачи локализации собственных функций для оператора Лапласа в ограниченных областях были хорошо изучены в работах последних лет. Для двумерной криволинейной трапеции с единственным максимумом у профильной функции и условиями Дирихле на границе построены асимптотики собственных пар в публикациях [53] и [30]. Многомерные обобщения были отчасти даны в статье [29] и в большей общности в [68]. В последней при этом реализован подход, основанный на априорных весовых оценках. Этот подход также использовался в работах [9; 15; 16; 33; 59; 72] для изучения разных аспектов локализации собственных функций.

Для бесконечной области с периодической границей в статьях [8; 9] эффект локализации собственных функций в окрестности возмущения границы наблюдался для оператора Лапласа с условиями Неймана при описании падения плоской волны на жесткое сплошное периодическое препятствие. Стоит отметить, что условия Неймана играют важную роль: для оператора Лапласа с условиями Дирихле на периодической границе в работах [80] и [44] выведены условия отсутствия захваченных волн.

Несмотря на обилие работ, описывающих упомянутый эффект и его использование для оператора Лапласа, аналогичных исследований для бигармо-нического оператора мало. В физической статье [51] изучается эффект локализации собственных функций билапласиана около защемленной точки. Априорные весовые оценки ранее использовались в статье [27] для доказательства гладкости решения задачи Дирихле для бигармонического оператора в окрестности пика.

Отчасти отсутствие публикаций объясняется техническими трудностями, возникающими при работе с операторами четвертого порядка, а отчасти наличием ряда эффектов нехарактерных для лапласиана и характерных для бигармонического оператора (см., например, [55]). Одним из таких эффектов является отсутствие возможности разделения переменных, поэтому даже поиск асимптотики собственных чисел в тонком прямоугольнике является содержательной задачей (см. [2]).

Стоит отметить, что у эллиптической задачи собственные функции, отвечающие различным частотным диапазонам, могут быть локализованы в разных регионах области (см., например, [56; 57; 66]), более того, в некоторых диапазонах эффект локализации может отсутствовать. В качестве примера последнего можно привести теорему Зельдича-Шнирельмана-Колена де Вер-дье ([22; 37; 83]), утверждающую, что почти все собственные функции оператора Бельтрами - Лапласа, определенного на компактной гиперболической поверхности без края, в высокочастотных диапазонах приближаются равномерным распределением.

Цели и задачи. Цель диссертационной работы — изучение эффекта локализации собственных функций, заключающегося в их экспоненциальном затухании при удалении от наиболее широкого региона области. Для лапласиана и бигармонического оператора этот эффект исследован для разных геометрий.

В главе 1 рассмотрены спектральные свойства оператора Лапласа на бесконечном и усеченном крестообразных волноводах О(в; и) и (в; и) с различными формами сечений ш и углами в между цилиндрами. За счет концентрации собственной функции в "сердцевине" обоснованы существование и единственность собственного числа в О(^/2; ш0) с круглым сечением ш = ш0 и получены оценки спектра и первой собственной функции задачи на его усечении Од(^/2;и0). Используя эффект локализации собственных функций, построены примеры множественного дискретного спектра ниже точки отсечки.

В главе 2 получены результаты, продолжающие исследование из работы [28]. Для задачи Дирихле для оператора Лапласа в слое постоянной толщины, построенном по трехмерному многогранному углу, описанному около сферы, установлена структура существенного спектра, при этом приводимое доказательство отличается от предложенных в статьях [28; 38] и является более элементарным. Используя эффект локализации собственных функций в окрестности вершины слоя, обоснована конечность дискретного спектра. Для правильных слоев доказано, что оператор Лапласа имеет непустой дискретный спектр.

Глава 3 посвящена спектральным задачам для бигармонического оператора. В первом параграфе этой главы построена асимптотика собственных чисел и обоснована локализация собственных функций для тонкой пластины Кирхгофа с жестко защемленными краями (задача Дирихле для бигармонического

оператора), когда ширина пластины пропорциональна малому параметру, при этом имеет единственный локальный максимум. Во втором параграфе изучена задача о возникновении захваченной волны при падении под углом плоской волны на тонкую полубесконечную пластину Кирхгофа с неровной свободной периодической границей.

Научная новизна. Выносимые на защиту положения являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты представляют интерес для специалистов по спектральной теории дифференциальных и интегральных операторов. Известные приложения подобных результатов встречаются в задачах, касающихся теории случайных процессов (см., например, [64] и [28]), а также в задачах механики сплошных сред в рамках теории пластин и оболочек (см. обзор [62]).

Методология и методы исследования. При доказательстве основных результатов данной диссертации были использованы классические методы спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах, вариационные методы, асимптотические методы, в частности, для обосновании асимптотики использовалась лемма о "почти собственных" числах и векторах (см. [5]).

Положения, выносимые на защиту.

1. Для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле в ш°) доказано, что дискретный спектр состоит из единственного простого собственного числа, лежащего ниже точки отсечки непрерывного спектра. Для других геометрий крестообразного волновода (при вытягивании сечения и уменьшении угла между цилиндрами) обосновано возникновение сколь угодно большого числа собственных чисел ниже точки отсечки.

2. Для оператора Лапласа в усеченном волноводе и°) для различных граничных условий на торцах (Дирихле, Наймана и квазипериодичности) получены двухсторонние оценки собственных чисел, доказана экспоненциальная близость первых собственных функций задач в П(^/2; и°) и и°) по норме соболевского пространства функций с квадратично суммируемыми частными производными.

3. Для оператора Лапласа с условиями Дирихле на границе в трехмерных слоях постоянной толщины, построенных по многогранным трехмерным углам, описан существенный спектр, доказана конечность дискретного спектра, для правильных слоев доказано существование собственного числа ниже точки отсечки существенного спектра.

4. Для спектральной задачи Дирихле для бигармонического оператора в узкой двумерной области (тонкой пластине Кирхгофа с жестко защемленными краями), когда ширина области стремится к нулю, при этом функция ширины имеет единственный максимум, получены асимптотики собственных чисел и собственных функций, установлен эффект локализации собственных функций, заключающийся в их экспоненциальном затухании при удалении от наиболее широкого региона области.

5. Для спектральной задачи для бигармонического оператора в плоской полубесконечной полосе с квазипериодическими условиями на сторонах и условием Неймана на торце описан существенный спектр и в случае, когда условия на сторонах не периодические, доказано, что при любом возмущении торцевой границы, отличном от прямых трещин параллельных краю, дискретный спектр ниже точки отсечки не пуст.

Степень достоверности и апробация. Все результаты диссертации снабжены подробными доказательствами и опубликованы в ведущих научных изданиях. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

— Семинар В. М. Бабича по дифракции и распространению волн в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, 2024, рук: Бабич В.М., Бели-шев М.И.).

— International conference Days on Diffraction 2018 (СПб, 2018).

— International conference Days on Diffraction 2015 (СПб, 2018).

Личный вклад Основные результаты главы 1 получены диссертантом в

совместных с Ф.Л. Бахаревым и С.А. Назаровым работах [85; 86; 88]. Теоремы из этих работ, представленные в диссертации, доказаны диссертантом самостоятельно. Результаты главы 2 опубликованы в совместной с Ф.Л. Бахаревым статье [84]. Определяющий вклад в этой работе принадлежит диссертанту. На-

учному руководителю принадлежит постановка задачи, общий план исследования и построение примера отсутствия дискретного спектра задачи в слое, доказательства остальных утверждений принадлежат диссертанту. Результаты §1 главы 3 представлены в совместной с Ф.Л. Бахаревым статье [87]. Определяющий вклад в этой работе принадлежит диссертанту. Научному руководителю принадлежит постановка задачи и общий план исследования, все доказательства теорем принадлежат диссертанту. Результаты §2 главы 3, опубликованные в статье [90], получены диссертантом самостоятельно.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [84-88; 90], а также [91; 92]. Статьи [84-87; 90] опубликованы в журналах из перечня ВАК. Статья [88] опубликована в издании, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК (входит в систему цитирования Scopus). Также опубликована связанная с темой диссертации совместная с Ф.Л. Бахаревым статья [89], в которой доказывается монотонность собственных чисел и их количества для суженного дробного лапласиана с условиями Дирихле. Однако материал этой работы выходит за рамки диссертационного исследования.

Структура работы. Полный объем диссертации составляет 156 страниц с 12 рисунками. Список литературы содержит 92 наименование. Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих 18 параграфов, заключения и списка литературы.

Во введении описаны актуальность темы исследования и степень ее разработанности, поставлены цели и задачи, аргументирована научная новизна, достоверность, теоретическая и практическая значимость результатов, перечислены использованные методы, выносимые на защиту положения, публикации и доклады по теме диссертации, кратко изложена структура работы.

В главе 0 изложены определения основных объектов исследования, их свойства, а также некоторые вспомогательные утверждения, не принадлежащие автору, со ссылками на первоисточники.

В главе 1 исследованы спектральные свойства задачи Дирихле для оператора Лапласа на крестообразных волноводах. Крестообразным волноводом Q(9; ш) с углом в £ (0,^/2) и сечением ш называется фигура, образованная объединением двух, расположенных под углом в, цилиндров с поперечными

сечениями ш. Здесь ш С К2 — область с кусочно С2-гладкой границей дш, содержащей начало координат. Два случая сечения ш:

- круг единичного диаметра ш0 = ^(х1,х2) Е К2: |ж1|2 + |ж2|2 < 1/4|,

- ромб с единичной диагональю = ^(х1,х2) Е К2: |ж1| + |ж2| < 1/2|.

Оператор Лапласа с условиями Дирихле определен через замкнутую

положительно определенную полуторалинейную форму

(С^^и^)^.^ = (УН, У^(^),

0

заданную на соболевском пространстве Н 1(О(0; и)) функций с нулевым следом и с квадратично суммируемыми частными производными. Здесь (• , —стандартное скалярное произведение функций в Ь2(О). Известно, что существенный спектр занимает луч [Л^, + то), где Л^ = Л^(ш) — наименьшее собственное

число задачи Дирихле для оператора Лапласа в области ш. Доказаны следующие теоремы

Теорема 1. При всех 9 Е (0,^/2] дискретный спектр оператора имеет

по крайней мере одно собственное число Л1(О(0; ш)) Е (0,Л^).

Теорема 2. Если цилиндры, образующие волновод, имеют одинаковые круглые сечения и взаимно перпендикулярны, полная кратность дискретного спектра оператора равна единице.

Усеченным волноводом ОЕ(в; и), Я > 0 называется ограниченная часть О(в; ш), являющаяся объединением прямых цилиндров высоты 2Я с основаниями ш. Рассмотрены спектральные задачи для оператора Лапласа на усеченном волноводе = иЕ(п/2; ш0) с круговым сечением цилиндров с различными граничными условиями на его торцах. В соответствующих вариационных задачах

V ЕНК С ¿2(Пд),

различаются функциональные пространства Нд для собственной и пробных функций. Положительно определенные и замкнутые полуторалинейные формы для каждого из рассматриваемых краевых условий задают самосопряженный оператор:

— лапласиану с граничными условиями Дирихле отвечает пространство

:= {и е Н: и(х) = 0, х е дПк};

— лапласиану с условиями Неймана — пространство

:= {и е Н : и(х) = 0,х е дПк(ж/2; ш°) П дП(ж/2; ы°)};

— лапласиану С^ с квазипериодическими условиями на торцах, использующими параметр Флоке ц = е К2, — пространство

Н* := {^ е Н* : и(х)1Х]=Е = е^й и(х)1Х]=—д ,3 = 1,2},

где х = (х^ ,х^) —координаты внутри ]-ого цилиндра с нулем в центре симметрии.

Далее пишем С?, подразумевая любой из трех операторов. Спектр операто-

ра С? дискретный и образует монотонную неограниченную последователь-

1

ность {Л^}^ем. Соответствующие собственным числам собственные функции м^р к е М, ортонормированы в Ь2(^й). В главе 1 обоснованы следующие двухсторонние оценки для спектра и собственных функций.

Теорема 3. Существуют такие Я* > 1/2 и с^ > 0, что для всех Я > Я* справедливы неравенства

Л^ ^ + смЯ-2, к ^ 2.

Теорема 4. Для первого собственного числа Л1

оператора СС^ существуют такие СЛ > 0 и V < у7Л^ — Л1, что при Я> 1/2 выполнено неравенство

|Л« — Л1| < СЛе-^.

Теорема 5. Существует такая постоянная С™ > 0, что при Я> 1/2 выполнено неравенство

|К — Н 1(^Д)У < С7е—иК/2. Далее в работе описаны два примера бесконечных крестообразных волноводов с множественным дискретным спектром. Рассмотрены два механизма

возникновения дополнительных захваченных мод с частотой ниже точки отсечки: уменьшение угла между цилиндрами и вытягивание профиля сечения. В первом случае множественность спектра обусловлена тем, что область пересечения цилиндров, образующих волноводы, увеличивается в объеме, во втором случае причиной возникновения дополнительных мод стал эффект околовершинной локализации собственных функций оператора Лапласа в двумерном сечении. В итоге для крестообразного волновода с круглым сечением 0,(6; ш0) доказана следующая теорема

Теорема 6. Полная кратность дискретного спектра оператора Лапласа с условиями Дирихле на границе неограниченно возрастает при в ^ 0.

Для формулировки следующего результата определим "вытянутый" крестообразный волновод. Рассмотрим волновод 0(^/2;) = 0(иН), у которого сечение получается растяжением области ш в Н раз вдоль одной из осей:

= {(у,г) Е К2 : (у, Н-1г) Е и}.

Для собственных чисел оператора Лапласа ) с условиями Дирихле

0 < лН < лН ^... ^ л^ < лн

доказан следующий результат

Теорема 7. Для любого N Е N существуют такие положительные величины и С^, что при всех Н > дискретный спектр оператора ) содержит по крайней мере N собственных чисел, при этом

ЛН < Ао + СнН-а <к2 < ЛН,

где а = = 2/3 при ш = и а = а0 = 1/2 при ш = ш0, а А0 — первое собственное число задачи Дирихле для оператора Лапласа в плоском прямоугольном крестообразном волноводе с единичной шириной "рукавов".

В главе 2 изучены свойства спектра оператора Лапласа в трехмерных многогранных слоях постоянной толщины. Слоем единичной толщины называется

область внутри выпуклого трехмерном многогранного угла, состоящая из точек, удаленных от границы этого угла не более, чем на 1. Рассмотрены слои, внутрь которых можно вписать шар, т.е. такие слои, у которых "внешняя" граница получается из "внутренней" сдвигом. Исследована спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа

Апи(х) := —Аи(х) = Ли(х), х е П; и(х) = 0, х е 5П,

в различных слоях П. Лапласиан задан через замкнутую положительно опреде-

°

ленную полуторалинейную форму ап в пространстве Соболева Н 1(П) с Н 1(П) функций с нулевым следом на границе 5П

°1

ап[и,у] = (Уи, У^)п е Н (П).

Основные результаты главы 2 следующие:

Теорема 8. Существенный спектр оператора Ап занимает луч [Л^, + ж), где Л| — первое собственное число в плоском волноводе, изломанном под углом, равным наименьшему из двугранных углов границы дП. Дискретный спектр оператора Ап в угловом слое П конечный и лежит ниже точки отсечки Л^.

Теорема 9. В правильном угловом слое дискретный спектр Ап не пуст.

Глава 3 посвящена задачам теории упругости. В первом параграфе изучена асимптотика собственных чисел и функций задачи Дирихле для бигармо-нического оператора в узкой двумерной области (тонкой пластине Кирхгофа с жестко защемленными краями), когда ее ширина стремится к нулю. Рассмотрена узкая двумерная пластина

= = (у,г) е К2: у е (—1,1), г е и£(у)}, Ш£(у) = (—(у),еН+(у)),

где функции Н± дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [—£,£}, а £ — малый положительный параметр. Предположим, что функция толщины Н = Н— + Н+ отделена от нуля, достигает своего максимума Н0 только в нуле и на [—1,1} удовлетворяет условию:

Н(у) = Но — А1у12 + о(1у13), А > 0. (1)

Математическая модель, описывающая свободные изгибные колебания однородной и изотропной пластины Кирхгофа - Лява с жестко защемленными краями, сводится к изучению спектральной задачи Дирихле для бигармонического оператора

ЯПеи£ :=А2хи£ = Л£и£(х), х Е 0£, и£(х) = дпи£(х) = 0, ж Е д0£. (2)

Оператор порожден замкнутой положительно определенной полуторали-нейной формой

° о

Ь^[и,У] := (АхиАхУ, иу Е Я2(0е),

0

где Я2(0) — подпространство функций из Я2(0) с нулевым следом, у которых частные производные первого порядка также имеют нулевой след. Собственные числа оператора

0 < ло < Л1 < ... < л£к < ... ^

упорядочены с учетом кратности, а соответствющие им вещественные собственные функции Щ, ортонормированы в Ь2(0е).

Через (М1,(^1) обозначена первая собственная пара модельной задачи на интервале (-1,1)

д&(() = М^(С), с Е (-1,1), р(±1) = <9Ср(±1) = 0.

Считая собственную функцию нормированной в Ь2(—1,1), определяем В = Ь2(—1,1)||2, А = АВ-1М1, где величина А взята из формулы (1).

Далее для описания младших членов асимптотики спектра нам понадобятся собственные числа т£ = VА(2к + 1), к ^ 0, и собственные функции Wk квантового гармонического осциллятора

Cw(rq) := —д^('ц) + Аг]^(ц) = mw(^), w Е Ь2(Ж).

В первом параграфе главы 3 доказаны следующие весовые и поточечные оценки собственных функций, демонстрирующие эффект локализации:

Теорема 10. Для всякого к ^ 0 существуют такие положительные величины £к, Рк и С/зк, что при всех £ е (0,£к} и [5 е (0фк} выполнено неравенство

ЦЕ?Щ; ¿2(^)|| + е—1/2ЦгЕрЩ; ¿2^£)|| + £1/2ЦЕрдуЩ; £ъ(&)Ц + + е3/2ЦЕрдуЩ; и(^)|| + е3/2ЦЕрдудгЩ; ¿2^£)|| + е2ЦЕрд^Щ; ¿2^£)|| ^ С^к,

где г(у) = 1у| при у е К, и при Я е (0,1/2) и /3 > 0

ЕР Ы = <

ехр(^£ 1у2) при 1у| ^ Я,

ехр(^—1(Щу1 — 2Я2 — у2)) при Я< |у| < 2Я, ехр(2/Зе—1Я2) при \у| ^ 2Я.

Теорема 11. Для всякого номера к ^ 0 существуют такие положительные величины £к, Рк и С рк, что при всех £ е (0,£к} и [5 е (0фк} выполнено неравенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Матвеенко Сергей Георгиевич, 2025 год

Список литературы Литература на русском языке

1. Бабич В. М., Булдырев B. C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. — Москва : Наука, 1972.

2. Бахарев Ф. Л., Назаров С. А. Асимптотика собственных чисел длинных пластин Кирхгофа с защемленными краями // Математический сборник. — 2019. — Т. 210, № 4. — С. 3—26.

3. Бахарев Ф. Л., Назаров С. А. Критерии отсутствия и наличия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов // Алгебра и анализ. — 2020. — Т. 32, № 6. — С. 1—23. — English translation: Bakharev F., Nazarov S. Criteria for the absence and existence of bounded solutions at the threshold frequency in a junction of quantum waveguides // St. Petersburg Mathematical Journal. — 2021. — Vol. 32, no. 6. — P. 955-973.

4. Бирман М. С., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — 2-е изд. — Санкт-Петербург : Лань, 2010.

5. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. — 1957. — Т. 12, 5 (77). — С. 3—122.

6. Гадыльшин Р. Р. О локальных возмущениях квантовых волноводов // Теоретическая и математическая физика. — 2005. — Т. 145, № 3. — С. 358— 371.

7. Гильбарг Д., Трудингер Н. C. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка. — Москва : Наука, 1989.

8. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Расширенная матрица рассеяния и экспоненциально затухающие решения эллиптической задачи в цилиндрической области // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2000. — Т. 264: Математические вопросы теории распространения волн. 29. — С. 66—82.

9. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Экспоненциально затухающие решения задачи о дифракции на жесткой периодической границе // Математические заметки. — 2003. — Т. 73, № 1. — С. 138—140. — English translation: Kamot-skii I. V., Nazarov S. A. Exponentially decreasing solutions of diffraction problems on a rigid periodic boundary // Mathematical Notes. — 2003. — Vol. 73. — P. 129-131.

10. Маслов В. П. Асимптотика собственных функций уравнения Au + к2и = 0 с краевыми условиями на эквидистантных кривых и рассеяние электромагнитных волн в волноводе // Доклады Академии наук СССР. — 1958. — Т. 123, № 4. — С. 631—633.

11. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — 2-е изд. — Москва : Наука, Физматгиз, 1970.

12. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — Москва : Высшая школа, 1977.

13. Назаров С. А. Дискретный спектр коленчатых, разветвляющихся и периодических волноводов // Алгебра и анализ. — 2011. — Т. 23, № 2. — С. 206— 247. — English translation: Nazarov S. Discrete spectrum of cranked, branching, and periodic waveguides //St. Petersburg Mathematical Journal. — 2012. — Vol. 23, no. 2. — P. 351-379.

14. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — Москва : Наука, 1991.

15. Назаров С. А. Околовершинная локализация собственных функций задачи Дирихле в тонких многогранниках // Сибирский математический журнал. — 2013. — Т. 54, № 3. — С. 655—672. — English translation: Nazarov S. A. The localization for eigenfunctions of the Dirichlet problem in thin polyhe-dra near the vertices // Siberian mathematical journal. — 2013. — Vol. 54, no. 3. — P. 517-532.

16. Назаров С. А. Спектральные свойства тонкого слоя с двоякопериодиче-ским семейством истончений // Теоретическая и математическая физика. — 2013. — Т. 174, № 3. — С. 398—415.

17. Осмоловский В. Г. Нелинейная задача Штурма-Лиувилля. — СПб : Издательство Санкт-Петербургского университета, 2003.

18. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. — Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

19. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики : Функциональный анализ. Т. 1. — Москва : Мир, 1977.

20. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.Анализ операторов. Т. 4. — Москва : Мир, 1982.

21. Фаддеев Л., Якубовский О. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. — Ленинград : Издательство Ленинградского университета, 1980.

22. Шнирельман А. И. Эргодические свойства собственных функций // Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29, 6 (180). — С. 181—182.

Литература на иностранном языке

23. Adams R. Sobolev Spaces. — Academic Press, 1975. — (Pure and applied mathematics ; 65).

24. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. — Tenth printing, December 1972, with corrections. — US Government printing office, 1964. — (Pure and applied mathematics ; 55).

25. Agmon S. Lectures on Exponential Decay of Solutions of Second-Order Elliptic Equations: Bounds on Eigenfunctions of N-Body Schrödinger Operations. — Princeton University Press, 1982. — (Mathematical notes ; 29).

26. Avishai Y., Bessis D., Giraud B., Mantica G. Quantum bound states in open geometries // Physical Review B. — 1991. — Vol. 44, no. 15. — P. 8028-8034.

27. Bakharev F. Spectral gaps in the Dirichlet problem for the biharmonic operator on a plane periodically perforated by circular holes // Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. — 2013. — Vol. 46. — P. 76-84.

28. Bakharev F., Nazarov A. Existence of the discrete spectrum in the Fichera layers and crosses of arbitrary dimension // Journal of functional analysis. — 2021. — Vol. 281, no. 4. — Article 109071.

29. Borisov D., Freitas P. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunc-tions of the Laplacian on thin domains in Rd // Journal of Functional Analysis. — 2010. — Vol. 258, no. 3. — P. 893-912.

30. Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin planar domains // Annales de l'lHP Analyse non lineaire. Vol. 26. — 2009. — P. 547-560.

31. Bulgakov E. N., Exner P., Pichugin K. N., Sadreev A. F. Multiple bound states in scissor-shaped waveguides // Physical Review B. — 2002. — Vol. 66, no. 15. — Article 155109.

32. Bulla W., Gesztesy F., Renger W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides // Proceedings of the American mathematical society. — 1997. — Vol. 125, no. 5. — P. 1487-1495.

33. Cardone G., Durante T., Nazarov S. A. The localization effect for eigenfunctions of the mixed boundary value problem in a thin cylinder with distorted ends // SIAM journal on mathematical analysis. — 2010. — Vol. 42, no.

6. — P. 2581-2609.

34. Carini J. P., Londergan J., Mullen K., Murdock D. Multiple bound states in sharply bent waveguides // Physical Review B. — 1993. — Vol. 48, no.

7. — Article 4503.

35. Carron G., Exner P., Krejcirik D. Topologically nontrivial quantum layers // Journal of Mathematical Physics. — 2004. — Vol. 45, no. 2. — P. 774-784.

36. Chesnel L., Nazarov S. A., Taskinen J. Spectrum of the Laplacian with mixed boundary conditions in a chamfered quarter of layer // Journal of Spectral Theory. — 2024. — Vol. 14, no. 1. — P. 37-57.

37. Colin de Verdiere Y. Ergodicite et fonctions propres du laplacien // Communications in Mathematical Physics. — 1985. — Vol. 102. — P. 497502.

38. Dauge M., Lafranche Y., Ourmieres-Bonafos T. Dirichlet spectrum of the Fichera layer // Integral Equations and Operator Theory. — 2018. — Vol. 90, no. 5. — Article 60.

39. Dauge M., Lafranche Y., Raymond N. Quantum waveguides with corners // ESAIM: Proceedings. Vol. 35. — EDP Sciences. 2012. — P. 14-45.

40. Dauge M., Ourmieres-Bonafos T., Raymond N. Spectral asymptotics of the Dirichlet Laplacian in a conical layer // Communications on Pure and Applied Analysis. — 2015. — Vol. 14, no. 3. — P. 1239-1258.

41. Dauge M., Raymond N. Plane waveguides with corners in the small angle limit // Journal of Mathematical Physics. — 2012. — Vol. 53, no. 12. — Article 123529.

42. Duclos P., Exner P. Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions // Reviews in Mathematical Physics. — 1995. — Vol. 7, no. 01. — P. 73-102.

43. Duclos P., Exner P., Krejcirik D. Bound states in curved quantum layers // Communications in Mathematical Physics. — 2001. — Vol. 223. — P. 1328.

44. Electromagnetic Theory of Gratings / ed. by R. Petit. — Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 1980. — (Topics in Current Physics ; 22).

45. Exner P., Kovartk H. Quantum waveguides. — Cham : Springer International Publishing, 2015. — (Theoretical and Mathematical Physics).

46. Exner P., Lotoreichik V. Spectral asymptotics of the Dirichlet Laplacian on a generalized parabolic layer // Integral Equations and Operator Theory. — 2020. — Vol. 92. — Article 15.

47. Exner P., Seba P. Bound states in curved quantum waveguides // Journal of Mathematical Physics. — 1989. — Vol. 30, no. 11. — P. 2574-2580.

48. Exner P., Seba P., St'ovicek P. On existence of a bound state in an L-shaped waveguide // Czechoslovak Journal of Physics B. — 1989. — Vol. 39, no. 11. — P. 1181-1191.

49. Exner P., Seba P., St'ovicek P. Semiconductor edges can bind electrons // Physics Letters A. — 1990. — Vol. 150, no. 3/4. — P. 179-182.

50. Exner P., Tater M. Spectrum of Dirichlet Laplacian in a conical layer // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2010. — Vol. 43, no. 47. — Article 474023.

51. Filoche M., Mayboroda S. Strong localization induced by one clamped point in thin plate vibrations // Physical review letters. — 2009. — Vol. 103, no. 25. — Article 254301.

52. Freitas P. Precise bounds and asymptotics for the first Dirichlet eigenvalue of triangles and rhombi // Journal of Functional Analysis. — 2007. — Vol. 251, no. 1. — P. 376-398.

53. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel journal of mathematics. — 2009. — Vol. 170. — P. 337-354.

54. Gavrilov M., Gortinskaya L., Pestov A., Popov I. Y., Tesovskaya E. Quantum computer elements based on coupled quantum waveguides // Physics of Particles and Nuclei Letters. — 2007. — Vol. 4. — P. 137-140.

55. Gazzola F., Grunau H.-C., Sweers G. Polyharmonic boundary value problems: positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains. — Berlin : Springer-Verlag, 2010. — (Lecture Notes in Mathematics ; 1991).

56. Golovaty Y. D., Gomez D., Lobo M., Pérez E. On vibrating membranes with very heavy thin inclusions // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. — 2004. — Vol. 14, no. 07. — P. 987-1034.

57. Hubert J. S., Palencia E. S. Vibration and Coupling of Continuous Systems. Asymptotic Methods. — Berlin : Springer-Verlag, 1989.

58. Kamotskii I. V., Nazarov S. A. Exponentially decreasing solutions of diffraction problems on a rigid periodic boundary // Mathematical Notes. — 2003. — Vol. 73. — P. 129-131.

59. Kamotskii I., Nazarov S. On eigenfunctions localized in a neighborhood of the lateral surface of a thin domain // Journal of Mathematical Sciences. — 2000. — Vol. 101. — P. 2941-2974.

60. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe. // Journal fiir die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). — 1850. — Vol. 1850, no. 40. — P. 51-88.

61. Krejcirik D., Lu Z. Location of the essential spectrum in curved quantum layers // Journal of Mathematical Physics. — 2014. — Vol. 55, no. 8. — Article 083520.

62. Lawrie J. B., Kaplunov J. Edge waves and resonance on elastic structures: an overview // Mathematics and Mechanics of solids. — 2012. — Vol. 17, no. 1. — P. 4-16.

63. Leis R. Initial boundary value problems in mathematical physics. — Wiesbaden : Springer Fachmedien, 1986.

64. Lifshits M., Nazarov A. On Brownian exit times from perturbed multistrips // Statistics & Probability Letters. — 2019. — Vol. 147. — P. 15.

65. Lin C., Lu Z. Existence of bound states for layers built over hypersurfaces in Rn+1 // Journal of Functional Analysis. — 2007. — Vol. 244, no. 1. — P. 1-25.

66. Lobo M., Nazarov S. A., Perez E. Eigen-oscillations of contrasting non-homogeneous elastic bodies: asymptotic and uniform estimates for eigenvalues // IMA journal of applied mathematics. — 2005. — Vol. 70, no. 3. — P. 419-458.

67. Lu Z., Rowlett J. On the discrete spectrum of quantum layers // Journal of mathematical physics. — 2012. — Vol. 53, no. 7. — Article 073519.

68. Nazarov S., Pérez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunc-tions in thin non-smooth domains // Transactions of the American Mathematical Society. — 2016. — Vol. 368, no. 7. — P. 4787-4829.

69. Nazarov S. A. Asymptotic formula for an eigenvalue of the Dirichlet problem in a cranked waveguide // Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. — 2011. — Vol. 44, no. 3. — P. 190-196.

70. Nazarov S. A. Trapped modes in a T-shaped waveguide // Acoustical Physics. — 2010. — Nov. — Vol. 56, no. 6. — P. 1004-1015.

71. Nazarov S. Discrete spectrum of cross-shaped quantum waveguides // Journal of Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 196. — P. 346-376.

72. Nazarov S. Localization of Eigenfunctions of the Dirichlet Problem near a Contour at the Boundary of a Thin Domain // Differential Equations. — 2024. — Vol. 60, no. 12. — P. 1719-1739.

73. Nazarov S. Trapping of Waves in Semiinfinite Kirchhoff Plate with Periodically Damaged Edge // Journal of Mathematical Sciences. — 2021. — Vol. 257, no. 5. — P. 684-704.

74. Nazarov S., Ruotsalainen K., Uusitalo P. Bound states of waveguides with two right-angled bends // Journal of Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 56, no. 2. — Article 021505.

75. Nazarov S., Ruotsalainen K., Uusitalo P. The Y-junction of quantum waveguides // ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2014. — Vol. 94, no. 6. — P. 477-486.

76. Nazarov S., Shanin A. Trapped modes in angular joints of 2D waveguides // Applicable Analysis. — 2014. — Vol. 93, no. 3. — P. 572-582.

77. Nazarov S. A. The polynomial property of self-adjoint elliptic boundary-value problems and an algebraic description of their attributes // Russian Mathematical Surveys. — 1999. — Vol. 54, no. 5. — P. 947-1014.

78. Pankrashkin K. Eigenvalue inequalities and absence of threshold resonances for waveguide junctions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2017. — Vol. 449, no. 1. — P. 907-925.

79. Persson A. Bounds for the discrete part of the spectrum of a semi-bounded Schrödinger operator // Mathematica Scandinavica. — 1960. — Vol. 8, no. 1. — P. 143-153.

80. Rellich F. Uber das asymptotische Verhalten der Lösungen von Au + Xu = 0 in unendlichen Gebieten. // Jahresbericht der Deutschen MathematikerVereinigung. — 1943. — Vol. 53. — P. 57-65.

81. Schult R., Ravenhall D., Wyld H. Quantum bound states in a classically unbound system of crossed wires // Physical Review B. — 1989. — Vol. 39, no. 8. — Article 5476.

82. Uusitalo P. The bound states of 3D Y-junction waveguides // Annales Fen-nici Mathematici. — 2015. — Vol. 40, no. 1. — P. 329-341.

83. Zelditch S. Uniform distribution of eigenfunctions on compact hyperbolic surfaces // Duke Mathematical Journal. — 1987. — Vol. 55, no. 4. — P. 919-941.

Публикации автора по теме диссертации Публикации в рецензируемых изданиях

84. Бахарев Ф. Л., Матвеенко С. Г. Спектр оператора Лапласа с условиями Дирихле в трехмерных многогранных слоях // Алгебра и анализ. — 2023. — Т. 35, № 4. — С. 1—19.

85. Бахарев Ф. Л., Матвеенко С. Г., Назаров C. А. Прямоугольные решетки цилиндрических квантовых волноводов. I. Спектральные задачи на конечном кресте // Алгебра и анализ. — 2017. — Т. 29, № 3. — С. 1—22. — English translation: Bakharev F., Matveenko S., Nazarov S. Rectangular lattices of cylindrical quantum waveguides. I. Spectral problems on a finite cross // St. Petersburg Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 29, no. 3. — P. 423-437.

86. Бахарев Ф. Л., Матвеенко С. Г., Назаров С. А. Дискретный спектр крестообразных волноводов // Алгебра и анализ. — 2016. — Т. 28, № 2. — С. 58—71. — English translation: Bakharev F., Matveenko S., Nazarov S. The discrete spectrum of cross-shaped waveguides //St. Petersburg Mathematical Journal. — 2017. — Vol. 28, no. 2. — P. 171-180.

87. Bakharev F. L., Matveenko S. G. Localization of Eigenfunctions in a Narrow Kirchhoff Plate // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2021. — Vol. 28, no. 2. — P. 156-178.

88. Bakharev F. L., Matveenko S. G., Nazarov S. A. Examples of plentiful discrete spectra in infinite spatial cruciform quantum waveguides // Zeitschrift för Analysis und ihre Anwendungen. — 2017. — Vol. 36, no. 3. — P. 329341.

89. Bakharev F., Matveenko S. Fractional Laplacian in V-shaped waveguide // Mathematische Nachrichten. — 2025. — Vol. 298, no. 2. — P. 427-436.

90. Matveenko S. G. Decaying Solutions to the Diffraction Problem on a Semiinfinite Thin Kirchhoff Plate with Periodic Traction-Free-Edge. // Journal of Mathematical Sciences. — 2021. — Vol. 255, no. 4. — P. 467-472.

Прочие публикации

91. Bakharev F. L., Matveenko S. G. Localization effect for eigenfunctions in narrow Kirchhgoff plates with clamped edges // International conference Days on Diffraction, Abstracts. — St. Petersburg, 2018. — P. 30-31.

92. Matveenko S. G. Specra of 3D cruciform quantum waveguides // International conference Days on Diffraction, Abstracts. — St. Petersburg, 2015. — P. 84-85.