Эффективный метод отыскания оптимальных форм в аэродинамике и теории фильтрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Муангу Жерве Эме Ришар

• Муангу Жерве Эме Ришар
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Муангу Жерве Эме Ришар

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Физические и математические основы.

§1. Функция течения.

1.1. Каноническое представление.

1.2. Интегральное представление.

§2. Уравнение связи.

2.1. Основная теорема.

§3. А - оператор.

§4. Структура решения.

4.1 Неопределенный параметр в задаче о фильтрации из канала в грунте бесконечной мощности.

4.2. Об однолистности решения.

4.3. Предельные каналы.

4.4. О линии депрессии.

4.5. Метод конформных отображений.

Глава 2. Примеры фильтрации из каналов.

§5. Обтекание непроницаемой шпунтовой завесы.

§6. Обтекание водоупора с постоянным давлением.

6.1. Замечательный контур.

6.2. Р1 -контур второго рода.

6.3. Магический профиль.

6.4. Тело минимального сопротивления.

§7. Фильтрация из источника.

§8. Обобщенные каналы Козени.

§9. Фильтрация из канала прямоугольного сечения.

§10. Обратная задача.

10.1. Другое обобщение каналов Козени.

10.2. Изовели.

10.3. Ползущие каналы.

Глава 3. Оптимальные формы земляных каналов и оценки фильтрационных потерь.

§11. Априорные оценки.

§12. Точные оценки.

12.1. Заданна ширина.

12.2. Заданна глубина.

12.3. Заданна площадь.

12.4. Заданна длина дуги контура.

12.5. Заданна ширина и глубина.

12.6. Заданна глубина и площадь.

12.7. Заданна ширина и площадь.

Глава 4. От теории фильтраций до аэродинамики.

§13. Закон композиции.

13.1. Задача о струйном течении.

13.2. Мир оптимальных каналов.

13.3. Идеальные каналы.

§14. Фильтрация под плотиной.

14.1 Плоский флютбет.

14.2 Шпунт.

14.3 Флютбет в виде полу-эллипса.

§15. Три задачи.

15.1. Первая задача.

15.2. Вторая задача.

15.3. Третья задача.

§16. Обтекание симметричных профилей.

16.1. Базовый профиль крыла.

16.2. Трансфинитный диаметр как характеристика полета.

16.3. Руль Жуковского.

16.4. Обтекание луночки.

16.5. Положение фокуса на хорде.

16.6. О решении'обратных задач аэродинамики.

16.7. Оценка подъемной силы.

16.8. Случаи не симметричных профилей.

Глава 5. Конструирование объектов с заданными свойствами.

§ 17. Нормальная форма.

17.1. Дано распределение скоростей на контуре.

17.2. Аэродинамическая циклоида.

§ 18. Оценка время обтекания дуги.

18.1. Беговая дорожка.

18.2. Эпюр скоростей и качество профиля.

§ 19. Идеальные крылья.

§20. Годограф скоростей, и классические кривые.

§21. Эффективность метода.

§22. Условие согласования.

§23. Кривизна и скорость обтекания.

§24. Аэродинамическая брахистохрона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективный метод отыскания оптимальных форм в аэродинамике и теории фильтрации»

Задача конструирования объекта, обладающего заданным свойством, всегда вызывает интерес, тем более, когда речь идет об оптимальном свойстве. Человек - прирожденный оптимизатор, и сама природа принуждает достигать цели с наименьшими затратами [37 - 40].

Задачи выбора объекта, оптимального по форме и расположению в потоке традиционны в гидромеханике [46-50]. Отметим пионерские работы Н.Н. Павловского и А. Прейсманна по минимизации фильтрационных потерь, а также современные работы казанской школы: Н.Б. Ильинского, A.M. Елизарова и др., использующих метод обратных задач [2, 10, 12, 33 36]

Хотя к настоящему времени и накоплен богатый опыт в задачах оптимизации формы области, зачастую решения опираются на численные методы и многие проблемы еще не получили решения. Даже когда задача хорошо поставлена, при исследовании сталкиваемся с трудностями математического характера - трудности формализация или решения не подается в квадратуре.

Точные математические результаты - это точки опоры в болоте физики». Цель настоящей работы - развитие точных аналитических методов решения оптимальных задач плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости, решение конкретных оптимальных задач в теории фильтрации и обтекания профилей и получить оценок интегральных характеристик рассматриваемых течений

Основываясь на виде точных решений двумерных задач о фильтрации из ( каналов, дается их операторное представление и разрабатывается. математический аппарат для их решения. Благодаря этому расширяется класс рассматриваемых задач и появляется возможность найти решение в замкнутой форме. По- решению' задачи фильтрации из канала простой подстановкой находятся решения задач фильтрации под телом плотины и обтекания профилей. В работе широко используется метод Фурье, аппарат теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, а также арсенал теории краевых задач и геометрической теории функций.

Первоначально диссертация касалась только фильтрации из канала (глава 1-3) и основная часть была написана в 1993-1996 гг. Спустя десять лет работа над диссертацией была продолжена. Используя развитые методы, была исследована аэродинамика плоских профилей (глава 4-5).

В диссертации разработана методика решения плоских оптимальных задач для несжимаемой жидкости в теории фильтрации и аэродинамике, которая основана на применении теории операторов. С помощью этой методики аналитически получены решения ряда новых задач, в том числе следующие результаты которые выносятся на защиту:

- определены наилучшие формы земляных каналов с точки зрения минимума фильтрационных потерь при различных изопериметрических ограничениях;

- введено понятие о нормальных каналах, и для них дано необходимое и достаточное условие однолистности решения;

- введена числовая характеристика степени подпора;

- получены оценки фильтрационных потерь, улучшающие оценки, имеющиеся в литературе;

- показано, что циркуляция около профиля, вычисленная согласно гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру профиля (константа Чебышева);

- решена задача об аэродинамической брахистохроне;

- даны оценки для силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам:

- Введен параметр, характеризующий! качество профиля и показано, что, оптимальными профилями по этому параметру являются кривые, скорость движения частицы в любой точке которых пропорциональна радиусу кривизны, или, что тоже самое, время движения частицы на любом участке контура пропорционально углу смежности этого участка.

Разработанные в диссертации методы могут быть применены также при нахождении аналитических функций в областях с односвязной границей и в других приложениях. Полученные аналитические решения могут быть использованы в гидрогеологии и гидромелиорации, для исследования течений при обтекании профилей и проектирования крыльев.

Мы с удовольствием применяли математический пакет maple для расчетов и построения графиков и кое-где занимались чистой математикой для тестирования эффективность метода.

Основные результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, проф. А.А. Бармина, проф. В.П. Карликова, на семинаре под руководством В.М. Ентова, на семинаре под руководством Н.Б. Ильинского, на Чебышевских и Ломоносовских чтениях, на международных конференциях.

Большое влияние на автора в студенческие годы оказали спецкурсы А.Г. Костюченко и В.Г. Вильке, им автор выражает глубокую благодарность. Автор также благодарит В.Н. Чубарикова за моральную поддержку. Автор признателен своему научному руководителю проф. А.А. Бармину за многочисленные советы и помощь.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Муангу Жерве Эме Ришар

Заключение

В диссертации рассматриваются плоские стационарные задачи фильтрации жидкости из канала и аналогичные по постановке задачи обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкостью. Основное внимание обращено на решение оптимальных задач и получение оценок.

Для решения поставленных задач предложен метод объединяющий подходы к решению таких задач Казанской (Н.Б. Ильинского, A.M. Елизарова) и Французской (Ж.Л. Лионса) школ. Метод основан на представление граничных условий для нахождения аналитических функцией в операторном виде, с оператором, позволяющим просто описать интегральные характеристики.

С помощью предложенного метода решен ряд оптимальных задач (ранее представлявшие затруднения).

-Найдены оптимальные по потерям формы каналов при различных изопериметрических условиях: фиксированы площадь, глубина, ширина, периметр и их комбинации (частный случай - задача Прейсманна).

-Найдены оптимальные формы каналов с точки зрения оптимизации области течения вытекающей жидкости, т.е. площади загрязнения.

-Получено в явном виде выражение для потерь из симметричного канала трапециевидной формы.

-Получены математические условия, обеспечивающие физически' допустимый вид контура канала и однолистность решения.

-Показано, что найденный ранее обратным методом П.Я. . Полубаринова-Кочиной флютбет с постоянной скоростью на нижней части является оптимальным с точки зрения минимума выталкивающей силы. -При изучении профилей большое значение имеет трансфинитный диаметр' профиля (С): показано, что циркуляция, определенная по гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру с коэффициентом, равным скорости в набегающем потоке, умноженному на синус угла атаки.

-Решена задача о наибыстрейшем прохождении жидкой частицы вдоль дуги профиля, обтекаемого идеальной несжимаемой жидкостью при заданной скорости набегающего потока (V^) и фиксированными геометрическими параметрами.

Введен параметр, характеризующий качество профиля CliV^T), где Т -время прохождения жидкой частицей дуги контура.

- Получены оценки для подъемной силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Муангу Жерве Эме Ришар, 2009 год

1. Preissman A. A propos de la filtration au-dessous des canaux//Houille Blanche.1957.V.12. № 2

2. Ильинский Н.Б. Касимов A.P. Фильтрационная оптимизация формы земляного канала методом обратных краевых задач. Изв. АН СССР. МЖГ.1984. № 3. С.76-80.

3. Положий Г.Н. Методы движения граничных точек и мажорантных областей в теории фильтрации. // Укр. мат. журн.1953.Т.5.№4.С. 380-400.

4. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск; Наука, 1977. 424с.

5. Энтов В.М. Гольдштейн Р.В. Качественные методы в механике сплошных сред. М.Наука 1989. 224с.

6. Полубаринова Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М: Наука, 1977. 664с.

7. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд.4.М. Физматгиз,1962. 1100с.

8. Ахиезер Н.И. Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М. Наука, 1966.543 с.

9. Эмих В.Н. Фильтрация из подпочвенных источников // Изв. РАН ,МЖГ.1999.№2.с.72- 84.

10. Ильинский Н.Б. Касимов А.Р. Якимов Н.Д. Аналитические решения задач фильтрации. Обратный метод вариационные теоремы, оптимизация и оценки.// Изв. РАН. МЖГ.1998. № 2. С. 3-19.

11. Муангу Ж.Э.Р. Фильтрация из канала. Структура решения и оценка расхода.// Изв. РАН. МЖГ. 2006

12. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань; изд. Казан. Ун-та, 1965. 333 с.

13. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 793 с.

14. Карман Т. Аэродинамика. Избранные темы в их исторической развитий. 208 стр. Ижевск: Ниц РХД, 2001.

15. Чжен П. Отрывные течения. Т.1 300 стр. М.: Мир, 1972.

16. Прандтль JI. Гидроаэродинамика. Ижевск.: Ниц РХД, 2000. 576 с.

17. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1973.-736 с.

18. Лойцянский. Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

19. Карафоли Е. Аэродинамика крыла самолета. Изд. АН СССР. Москва 1956. 480 с.

20. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980. -448 с.

21. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. - 447 с.

22. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. Москва. ТОО. Янус. 1995. 519 с.

23. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

24. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

25. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

26. Азизов Т. А.,Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986. 352 с.

27. Шкаликов А. А. Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Инвариантные подпространства и свойства сужений. Функц анализ и его прил. 2007, 41:2, 93-110

28. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961. 310 с.

29. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М : Наука 1966. 576 с.

30. Бутенин Н. В., Лунц Я. Л:, Меркин Д. Р: Курс теоретической механики. Т. 1.-М.: Наука, 1985. 239 с.

31. Вильке В. Г. Теоретическая механика. Издательство: Лань 2003. 304 с.

32. Муангу Ж. Э. Р. Некоторые задачи фильтрации из каналов

33. Елизаров A.M., Федоров Е.В., Фокин Д.А. Вариационные обратные краевые задачи аэродинамики для дозвукового течения газа // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1993. - Т.ЗЗ. - № 6. С. 958-968

34. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Марданов Р.Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2000. - Т.40. - № 1. С. 82-98.

35. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В., Степанов Г.Ю. Основные методы, результаты, приложения и нерешенные проблемы теории обратных задач аэродинамики // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 10 - Казань: Изд-во «ДАС», 2001.225 с.

36. Елизаров A.M., Касимов А.Р., Маклаков Д.В. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике. М.: Физматлит, 2008. 480 с.

37. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986.- 297с.

38. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983,- 448с.

39. Лаврентьев М. Люстерник Л. Основы вариационного исчисления. М.-Л.: ОНТИ. 1938.

40. Алексеев В. М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации // М: Наука, 1984 256с.

41. Треногин В.А. Функциональный анализ. М. Физматлит, 2007 -488с.

42. Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.

43. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике.- М.: Наука, 1980.

44. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, М.: Мир; 1972.- 416с.

45. Варга Дж. Оптимальное управление1 дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука; Л977.- 624с.

46. Pironneau О. Optimal-shape design for elliptic systems. Springer, 1984.

47. Sokolowski J., Zolesio J. P. Introduction to shape optimization. Springer, 1992.

48. Henrot A. Pierre. M. Variation et optimisation de fornies, une analyse geometrique. Springer, 2005.

49. Allaire G., Jouve F., Toader A.M. A level-set metod for shape-optimization, C.R. Acad. Sci. Paris, Serie 1 334 (2002).

50. Murat F. Tartar L. Optimality conditions and homogenization in Nonlinear Variational Problems, ed. by A. Marino , Research Notes in Maths, 127, Pitman, London (1985),

51. Apery R., Irrationalite de £(2) et g(3), Asterisque 61 (1979), 11-13

52. Schiffer M. Sur la variation du diametre transfini. Bulletin de la S.M.F., http ://www.numdam. org/item?id=B SMF

53. Choquet G. Diametre transfini et comparaison de diverses capacites, http://www.numdam.org/item?id=SBCD1958-19593A40>

54. Oesterle J. Demonstration de la conjecture de Bieberbach. Seminaire N. Bourbaki, http://www.numdam.org/item?id=SBl 984-1985273190>

55. Schwartz L. Un mathematicien aux prises avec le siecle. Odile Jacob, Paris, 1997,pp. 1-8528 p.

56. Connes A. Matiere a pensee. Odile Jacob, Paris, 1989, 267 p.