Эффекты магнитного поля в теплопроводности парамагнитных диэлектриков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Хабарова, Татьяна Владимировна

• Хабарова, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хабарова, Татьяна Владимировна

Введение

1 Аномальный эффект Холла в парамагнитных диэлектриках.

1.1 Введение.

1.2 Наблюдение поперечного потока тепла в диэлектриках.

1.3 Принцип Онсагера для кинетических коэффициентов.

1.4 Структура и свойства ионных диэлектриков.

1.5 Длинноволновые акустические фононы с учетом спин-фононного взаимодействия.

1.6 Плотность потока энергии.

1.7 Матрица плотности при резонансном рассеянии.

1.8 Оценка поперечной компоненты тензора теплопроводности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты магнитного поля в теплопроводности парамагнитных диэлектриков»

2.2 Перенормировка акустических фононов в результате спин-фононного взаимодействия.50

2.3 Свойства симметрии векторов поляризации.55

2.4 Эллиптическая поляризация фононов в присутствии спин-фононного взаимодействия.60

2.5 Поперечная компонента тензора теплопроводности.63

2.6 Матрица плотности.65

2.7 Оценка величины эффекта.67

2.8 Заключение.70

3 Зависимость телопроводности диэлектриков от магнитного поля в изотропной модели. 72

3.1 Введение.72

3.2 Кристалл с вращательными степенями свободы в магнитном поле.73

3.3 Поток тепла.75

3.4 Круговая поляризация.78

3.5 Недиагональная матрица плотности.83

3.6 Вклад поперечных мод в недиагональную компоненту тензора теплопроводности.85

3.7 Оценка роли продольной моды.87

3.8 Сравнение полученных результатов.88

3.9 Заключение.90

4 Тепловой эффект Холла-Зенфтлебена. 91

4.1 Введение.91

4.2 Вращательные моменты в магнитном поле.92

4.3 Кинетическое уравнение.96

4.4 Решение методом моментов.99

4.5 Случай парамагнитных молекул.106

4.6 Оценка поперечной теплопроводности в молекулярных кристаллах.107

4.7, Заключение.111

Заключение 112

Приложение 115

Литература 119

Введение

Объект исследования и актуальность темы. В настоящей диссертации исследуется влияние магнитного поля на свойства диэлектриков, а именно, недавно обнаруженный фононный эффект Холла.

В электрических проводниках магнитное поле порождает целую совокупность явлений, среди которых находится широко применяемый на практике эффект Холла и его аналоги. Напомним, что помимо классического эффекта Холла, открытого Эдвином Холлом в 1879 году [1], обнаружены также тепловой эффект Холла [2], фотонный эффект Холла [3] и спиновый эффект Холла [4]. Тепловой эффект был открыт в 1887 году, всего несколькими годами позднее открытия Холла, итальянским физиком Риги (A.Righi) и французским физиком С.Лсдюком (S.Leduc), и заключался в том, что в проводниках, в которых имеется перепад температуры, возникал дополнительный поперечный градиент температуры под действием магнитного поля. Другой эффект, обнаруженный учеными из Гренобля более века спустя в 1996 году, также возникал в присутствии магнитного поля и проявлялся в виде отклонения циркулярно поляризованного света в направлении, перпендикулярном как полю, так и направлению первоначального распространения. Спиновый эффект Холла, открытый учеными из Санта Барбары в 2004 году, в отличие от первых двух возникает в отсутствии магнитного поля и проявляется в виде потока спина, перпендикулярного электрическому току.

В классическом эффекте Холла магнитное поле создает поперечный поток в направлении, перпендикулярном исходному току и полю. При этом наблюдаемый эффект нечетен по полю, его величина пропорциональна величине магнитного поля, а направление поперечного тока зависит от знака носителей заряда. Классический эффект Холла отсутствует в диэлектриках, в которых невозможен макроскопический электрический ток. Однако, для теплового аналога эффекта Холла это оказывается неверным. Например, в молекулярных газах с нейтральными несферическими молекулами в присутствии магнитного поля в тепловом потоке возникает нечетный по полю поперечный перенос тепла - эффект Зенфтлебена-Бинакера [5], [6]. Как было показано Ю.М. Каганом и JI.A. Максимовым [7], наблюдаемый тепловой поток в этом случае обусловлен прецессией магнитных моментов молекул в магнитном поле.

Фононный эффект Холла, который осенью 2005 года экспериментально обнаружили французские исследователи Стром, Риккен и Вайдер (C.Strohm, G.L.J.A.Rikken, P.Wyder) [8], внешне проявляется также как и тепловой эффект Холла, в виде теплового потока, перпендикулярного градиенту температуры и приложенному магнитному полю. Однако в отличие от теплового эффекта Холла, который обусловлен электронным вкладом в теплопроводность, и является, по сути, еще одним прямым следствием силы Лоренца, действующей на свободные электроны, новый эффект связан, по-видимому, с фононным механизмом теплопроводности. Авторы [8] полагают, что взаимодействие определенных фононных мод с магнитным полем ведет к анизотропному рассеянию фононов и поперечному потоку тепла, т.е. фононному эффекту Холла. Основанием для подобного предположения служит иной эффект, связанный с воздействием магнитного поля на распространение звука в материале, названный акустическим эффектом Фарадея по аналогии с магнитооптическим эффектом Фарадея, и проявляющийся в виде вращения плоскости поляризации сдвиговых волн [9].

Стоит отметить, что открытый незадолго до фононного эффекта Холла фотонный эффект Холла [3] обязан своим происхождением магнитооптическому эффекту Фарадея: различия в скорости распространения для двух циркулярно-поляризовапных волн приводят к повороту диаграммы направленности рэллеевского вращения, что при множественном рассеянии на дефектах ведет к поперечному потоку фотонов. По аналогии с этим наличие акустического эффекта Фарадея являлось косвенным свидетельством в пользу существования фононного эффекта Холла.

В нашей стране экспериментальную проверку существования фононного эффекта Холла, аналогично тому, как это было сделано в [8], провели А.В. Инюшкин и А.Н. Талденков [10]. В результате проведенных измерений ими было получено подтверждение наличия эффекта в парамагнитном диэлектрике при низких температурах и определено, что он имеет положительный знак (исходный градиент температуры, поперечный градиент и магнитное поле образуют правую тройку векторов).

В отличие от поперечного эффекта для потока тепла через металлы, обусловленного вкладом электронов в теплопроводность, влияние магнитного поля на свойства диэлектрика имеет иную природу.

Исследование свойств диэлектрических соединений, содержащих редкоземельные элементы является одной из актуальных проблем, поскольку, в отличие от простых диэлектриков, в исследуемых веществах важную роль играет взаимодействие колебательных и магнитных степеней свободы. Теория взаимодействия фононов и магнитных моментов редкоземельных элементов в твердых диэлектриках в настоящее время далека от завершения. Одной из наиболее сложных проблем является оценка спин-фонопного взаимодействия и его влияния на макроскопические свойства веществ. Большинство работ в этой области посвящены исследованию роли спин-фононного взаимодействия в явлениях парамагнитного резонанса. Исследования роли этого взаимодействия в явлениях переноса возникло только в самое последнее время. Малоизученными также являются явления переноса в криогенных кристаллах, и поэтому представляется полезным распространение теории на случай молекулярных кристаллов с вращательными степенями свободы. С этими обстоятельствами связана актуальность и большой интерес к исследованиям по данной проблеме.

В связи с вышеизложенным, целью работы является теоретическое исследование фононного эффекта Холла - возникновения потока тепла в парамагнитных диэлектриках в направлении, перпендикулярном приложенному магнитному полю и градиенту температуры. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Построение теории нечетного эффекта теплопроводности во внешнем магнитном поле в модели двумерного кристалла и в изотропной модели;

2. Развитие теории поляризации фононов с учетом реальной кристаллической структуры и влияния магнитного поля;

3. Развитие кинетической теории переноса фононов - вычисление недиагональной по модам матрицы плотности фононов в случаях рассеяния на парамагнитных ионах решетки и при ангармонизме третьего порядка;

4. Распространение теории на случай молекулярных кристаллов с вращательными степенями свободы.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые:

1. Развита теория эффекта Холла в ионных диэлектриках в двумерной модели, отвечающей случаю реального двумерного кристалла. Вычислен поперечный коэффициент теплопроводности и недиагональная матрица плотности с учетом специфики двумерного случая;

2. В двумерной модели найден спектр и явные выражения для собственных векторов поляризации фононов и их перенормировки с учетом спин-фононного взаимодействия. Из этих выражений следует нетривиальная симметрия этих полярных векторов, важная для построения теории фононного эффекта Холла. Показано, что спип-фононное взаимодействие приводит к эллиптической поляризации фононов;

3. Рассмотрена модель колебаний в изотропной среде, в которой поперечные акустические моды вырождены при всех направлениях волнового вектора фононов. Найден поток тепла в направлении, перпендикулярном градиенту температуры и магнитному полю, как для ионных кристаллов с квазидублетной структурой, так и для кристаллов с вращательными степенями свободы. Последний результат интересен как предсказание наличия фононного эффекта Холла в молекулярных кристаллах;

4. Показано, что в изотропной модели в присутствии спин-фононного взаимодействия вклад в поток тепла, перпендикулярный градиенту температуры и магнитному полю дают два процесса - коррелированный перенос фононов двух поперечных мод и коррелированный перенос фононов продольной и поперечной моды. При сравнительно высоких температурах второй канал играет ведущую роль;

5. Показано, что в молекулярных диэлектриках в области температур, где вращательные степени свободы молекул разморожены, существует другой механизм, приводящий к возникновению поперечного потока тепла - это ашгзотропное рассеяние фононов на молекулах, вращательные моменты которых прецессируют во внешнем магнитном поле. Вращательные моменты при этом рассматриваются как классические векторы.

Научная и практическая значимость работы состоит в том, что полученные в диссертации результаты могут быть применены не только к исследованию явления теплопроводности диэлектрика, но и к другим родственным явлениям, например, построению теории влияния магнитных полей на резонансные явления. Было бы интересно применить результаты диссертации к исследованию транспортных свойств ферромагнетиков с отличным от нуля спонтанным моментом. Возможно использовать исследование двумерной кинетики, которая рассматривалась в диссертации только как модельная задача, к изучению реальных двумерных структур (пленок и гетерогенных структур).

Степень обоснованности полученных результатов достаточно высока, поскольку исследования опирались на современные методы теории твердого тела и физической кинетики. Достоверность результатов подтверждается качественным согласием результатов теории с экспериментальными исследованиями.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Теоретическое предсказание возможности наблюдения поперечного потока тепла в двумерной модели ионных диэлектриков в присутствии магнитного поля и градиента температуры;

2. В двумерной модели найденные явные выражения для собственных векторов поляризации фононов демонстрируют нетривиальную симметрию этих полярных векторов, важную для построения теории фо-нонного эффекта Холла;

3. Спин-фононное взаимодействие в двумерном случае уже в линейном приближении приводит к сильной эллиптической поляризации фононов, благодаря которой возникает компонента потока тепла, перпендикулярная градиенту температуры и магнитному полю;

4. Предсказывается, что теорию фононпого эффекта Холла, развитую для ионных диэлектриков можно распространить на молекулярные кристаллы, в которых вращательные степени молекул разморожены;

5. Рассмотрена модель колебаний в изотропной среде, в которой поперечные акустические моды вырождены при всех направлениях волнового вектора фононов. Найден поток тепла в направлении, перпендикулярном градиенту температуры и магнитному полю, как для кристаллов с вращательными степенями свободы, так и для ионных кристаллов с квазидублетной структурой;

6. В изотропной модели фононы в присутствии спин-фононного взаимодействия вклад в поток тепла, перпендикулярный градиенту температуры и магнитному полю дают два процесса - коррелированный перенос фононов двух поперечных мод и коррелированный перенос фононов продольной и поперечной моды. При сравнительно высоких температурах второй канал играет ведущую роль;

7. Показано, что существует также другой механизм, приводящий к возникновению поперечного потока тепла в молекулярных диэлектриках в области температур, где вращательные степени молекул разморожены. Этот механизм обусловлен несферическим рассеянием фононов на вращающихся молекулах.

Личный вклад автора. В диссертации представлены только те результаты, в получение которых автор внес существенный вклад. В работах [Максимов JI.A., Хабарова Т.В., Доклады Академии Наук, К теории эффекта Холла в диэлектриках в двумерной модели, 423, 4, 465 (2008)], [L. А. Maksimov, Т. V. Khabarova, Thermal Hall Effect in 2D model for paramagnetic dielectrics, arXiv:0812.0595vl (2008)] развита теория эффекта Холла в ионных диэлектриках в двумерной модели. В работах [Максимов Л.А., Хабарова Т.В., К теории зависимости от магнитного поля теплопроводности диэлектриков в изотропной модели, Физика Твердого Тела, 51, 4, 665 (2009)],

L. A. Maksimov, Т. V. Khabarova, On the theory of magnetic field dependence of heat conductivity in dielectric in isotropic model, arXiv:0808.0421vl (2008)] рассмотрена модель колебаний в изотропной среде, найден поток тепла в направлении, перпендикулярном градиенту температуры и магнитному полю, для кристаллов с вращательными степенями свободы и ионных кристаллов с квазидублетной структурой. В работах [Максимов Л.А., Хабарова Т.В., Тепловой эффект Холла-Зенфтлебена, Физика Твердого Тела, 50, 10, 1*763 (2008)], [L. A. Maksimov, Т. V. Khabarova, Thermal Hall-Senftleben Effect, arXiv:0804.0228vl (2008)] предсказывается, что существует другой механизм, благодаря которому поперечный поток тепла в присутствии магнитного поля можно наблюдать не только в ионных, но и в молекулярных диэлектриках в области температур, где вращательные степени молекул разморожены.

Апробация работы. Полученные при работе над диссертацией результаты докладывались на научной сессии МИФИ-2008 (21 - 27 января 2008, Москва), 7-ой Курчатовской Молодежной Научной Школе (10-12 ноября 2009, Москва), а также на научных семинарах в Институте физики высоких давлений им. Верещагина РАН и в РНЦ "Куратовский институт".

Основные результаты диссертации полностью отражены в 8 работах, в том числе в 3 статьях в журналах, включенных ВАК РФ в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность работы, дается краткий обзор исследований по теме работы, формулируются цели и задачи работы, отмечается новизна и практическая ценность работы,

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Хабарова, Татьяна Владимировна

Заключение

Настоящая диссертация посвящена фононному эффекту Холла (ФЭХ) - возникновению градиента температуры в направлении, перпендикулярном потоку тепла и магнитному полю.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Развита теория фононного эффекта Холла для ионных диэлектриков в двумерной модели. Найдены спектр и явные выражения векторов поляризации фононов. Показано, что в двумерной модели вектора поляризации фононов в нулевом приближении по спин-фононному взаимодействию демонстрируют скачкообразное поведение при пересечении волновым вектором главных осей кристалла. В линейном приближении перенормированные за счет спин-фононного взаимодействия фононы обладают эллиптической поляризацией, которая играет важную роль при построении теории фононного эффекта Холла.

2. Получено выражение для поперечного коэффициента теплопроводности и недиагональной матрицы плотности с учетом специфики двумерного случая. Показано, что, в отличие от случая трехмерного ионного кристалла, величина токока тепла, перпендикулярного приложенному градиенту температуры и магнитному полю имеет гораздо более простой вид и может быть вычислена точно.

3. Исследована модель колебаний в изотропной среде, в которой поперечные акустические моды вырождены при всех направлениях волнового вектора фононов. Хотя эта модель реализуется только в случае взаимодействия атомов с большим радиусом взаимодействия, в ней динамическая матрица, от свойств симметрии которой существенным образом зависит характер поляризации акустических ветвей, имеет сравнительно простой вид. Полученное выражение для потока тепла в направлении, перпендикулярном градиенту температуры и магнитному полю, может быть использовано как для ионных кристаллов с квазидублетной структурой, так и для кристаллов с вращательными степенями свободы.

4. Найдены точные выражения для векторов поляризации фононов в присутствии спин-фононного взаимодействия. Показано, что в изотропной модели спин-фононное взаимодействие формирует близкую к круговой поляризацию фононов, которая приводит к возникновению компоненты потока тепла в направлении, перпендикулярном градиенту температуры и магнитному полю. Найдены также собственные частоты колебаний одной продольной и двух поперечных ветвей.

5. Выполнены оценки вкладов в поперечную компоненту тензора теплопроводности, обусловленных корреляцией продольной и поперечной мод и корреляцией двух поперечных мод. Полученные выражения для поперечных мод в изотропной модели и для кубического кристалла совпадают с точностью до замены средней поляризации, обусловленной вращательным моментом, на поляризацию псевдоспина. Существенно, что в обоих случаях нет зависимости от частоты столкновений, как и должно быть для компоненты потока тепла в направлении [В, VT]. Вклад продольной моды имеет качественно иной вид. Он не зависит не только от частоты столкновений, но и от константы взаимодействия, как в обычном эффекте Холла. При сравнительно высоких температурах (Т д) этот канал играет ведущую роль. Также отмечено, что причиной фононного эффекта Холла является совместное действие двух одинаково важных факторов - эллиптической поляризации фононов, обусловленной спин-фононным взаимодействием, и наведенным градиентом температуры коррелированным движением двух фононных мод с образованием недиагональной матрицы плотности.

6. Показано, что существует также другой механизм, не связанный с поляризацией фононов, ио также приводящий к возникновению поперечного потока тепла в молекулярных диэлектриках в области температур, где вращательные степени молекул разморожены. Этот механизм обусловлен несферическим рассеянием фононов на молекулах, вращательные моменты которых прецессируют в внешнем магнитном поле. При этом для простоты вращательные моменты М рассматривались как классические векторы, а корреляция движения фононов и вращательных моментов описывалась совместной функцией распределения фононных и вращательных степеней свободы f(p,M). Рассмотрены случаи пепарамагнитных и парамагнитных веществ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хабарова, Татьяна Владимировна, 2010 год

1. Hall Е. // Am. J. Math. - 1879,- vol. 2, - P. 287.

2. Leduc M. A. // J. Phys. 1887. - vol. 6, - P. 378.

3. Rikken G. L. J. A. and van Tiggelen B. A. // Nature. — 1996. — vol. 381,- P. 54.

4. Kato Y.K., Myers R.C., Gossard A.C., Awschalom D.D. // Science. — 2004. vol. 306, - P. 1910.

5. Hermans L.J.F., Fortuin P.H., Knaap H.F.P., Beenakker J.J.M. // Phys. Lett. A. 1967. - vol. 25, - P. 81.

6. Горелик Л. Л., Николаевский В. Г., Синицын В. В. // Письма в ЖЭТФ.- 1966. т. 4, - с. 456.

7. Каган Ю., Максимов Л. А. // ЖЭТФ. 1966. - т. 51, - с. 1893.

8. Strohm С., Rikken G.L.J.A., Wyder P. // Phys. Rev. Lett. — 2005. -vol.95, — P. 155901.

9. Boyd J.R., Gavenda J.D. // Phys. Rev. 1966. - vol. 152, - P. 645.

10. Инюшкин А.В., Талденков A.H. // Письма в ЖЭТФ. 2007. - т. 86,- с. 436.

11. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. — т. 10. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с.

12. Slack G.A., Oliver D. W. // Phys. Rev. B. 1971. - vol. 4, - P. 592.

13. Sheng L., Sheng D. N.; and Ting C. S. // Phys. Rev. Lett. 2006. -vol.96, — P. 155901.

14. Kagan Yu. and Maksimov L. A. // Phys. Rev. Lett. — 2008. — vol. 100, — P. 145902.

15. Callaway J. // Phys. Rev. 1959. - vol. 113, - P. 1046.

16. Klemens P.G. // Proc. Phys. Soc. London, Sect. A. — 1955. — vol.68, — P. 1113.

17. Orbach R. // Phys. Rev. Lett. 1962. - vol. 8, - P. 393.

18. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. — т. 10. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с.

19. Кикоин И.К. Ц ЖЭТФ. 1940. - т. 10, - с. 1242.

20. Кикоин И.К. j j Sov. Phys. — 1936. vol. 9, - P. 1.

21. Luttinger J.M. // Phys. Rev. 1958. - vol. 112, - P. 739.

22. Гуревич Л.Э., Яссиевич И.Н. // ФТТ. 1962. - т.4, - с. 2854.

23. Каган Ю., Максимов Л. А. // ЖЭТФ. 1966. - т. 51, — с. 1893.

24. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — т. 5. Статистическая физика. Часть 1. — М.: Наука, 1976. — 584 с.

25. Manenkov A.A. and Orbach R., ed. Spin-Lattice Relaxation in Ionic Solids. — New York: Harper k Row, 1966. 453 p.

26. ЛЬгадат A.A., Bleaney В. Electron Paramagnetic Resonance of Transition Ions. — Oxford: Clarendon Press, 1970. — 911 p.

27. Capellmann H., Lipinski S. // Z. Phys. В Cond. Mat. — 1991. — vol. 83,- P. 199.

28. Ioselevich A.S., Capellmann H. // Phys. Rev. В Cond. Mat. — 1995. — vol.51, — P. 11446.

29. Kronig R.L. // Physica. 1939. - vol. 6, - P. 33.

30. Van Vleck J.H. // Phys. Rev. 1940. - vol. 57, - P. 426.

31. Orbach R. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1961. — vol. 264, - P. 458.

32. Capellmann H. and Neumann K. U. // Z. Phys. В Cond. Mat. — 1987.- vol. 67, P. 53.

33. Capellmann H., Lipinski S., and Neumann K.U. // Z. Phys. В Cond. Mat. - 1989. - vol. 75, - P. 323.

34. Альтшулер С.A. // Письма в ЖЭТФ. 1962. - т. 43, - с. 2318.

35. Hardy R.J. // Phys. Rev. 1963. - vol. 132, - P. 168.

36. Koningstein J.A., Kane-Maguire C.J. // Can. J. Chem. — 1974. — vol.52,- P. 3445.

37. Алыииц В.И., Лоте Е. // Кристаллография — 1979. — т. 24, — с. 672.

38. Алыииц В.И., Лоте Е. // Кристаллография — 1979. — т. 24, — с. 683.

39. Алъшиц В.И., Лоте Е. // Кристаллография — 1979. — т. 24, — с. 1122.

40. Максимов JI.А., Хабарова Т. В. // Доклады Академии Наук — 2008. — т. 423, с. 465.

41. Maksimov L.A., Khabarova T.V. Thermal Hall Effect in 2D model for paramagnetic dielectrics. — 2008. — arXiv:0812.0595vl.

42. Веркин Б.И., Прихотько А.Ф., ред. Кпиокристаллы. — Киев: Наукова Думка, 1983. — 526 с.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — т. 7. Теория упругости. — М.: Наука, 1987. — 248 с.

44. Максимов Л. А., Хабарова Т.В. // ФТТ 2009. - т. 51, - с. 665.

45. Maksimov L.A., Khabarova Т. V. On the theory of magnetic field dependence of heat conductivity in dielectric in isotropic model. — 2008. — arXiv:0808.0421vl.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — т. 8. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. — 624 с.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Наука, 1989. — 768 с.

48. Рамзей Н. Молекулярные пучки. — М.: ИИЛ, 1960. — 411 с.

49. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Репке Р. Статистическая механика неравновесных процессов. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с.

50. Senftleben Н. // Phys. Z. 1930. - vol. 31, - P. 961.

51. Storchak V.G., Brewer J.H, Morris G.D. // Phys. Rev. Lett. — 1995.vol.75, P.2384.

52. Storchak V.G., Eshchenko D.G., Brewer J.H, Morris G.D., Cottrell S.P., Cox S.F.J. // Phys. Rev. Lett. 2000. - vol. 85, - P. 166.

53. Максимов Л.А., Хабарова T.B. // ФТТ — 2008. т. 50, - с. 1763.

54. Maksimov L.A., Khabarova T.V. Thermal Hall-Senftleben Effect. — 2008. arXiv:0804.0228vl.