Экспоненциальная характеристика линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами и интегрального оператора Вольтерра с ядром экспоненциального типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мудракова, Ольга Александровна

• Мудракова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мудракова, Ольга Александровна

Введение.

Глава 1. Построение экспоненциальной характеристики линейных дифференциальных уравнений.

1.1. Экспоненциальная характеристика обыкновенного линейного дифференциального уравнения и-го порядка.

1.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциального

4 уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве.

1.3. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения в частных производных.

Глава 2. Построение экспоненциальной характеристики интегрального оператора Вольтерра. Применение. q 2.1. Построение экспоненциальной характеристики интегрального оператора Вольтерра и линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром типа функции Коши.

2.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциально-разностного уравнения.

2.3. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по

5 каждой из двух переменных.

2.4. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2п переменных. Применение к линейному дифференциальному уравнению гиперболического типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспоненциальная характеристика линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами и интегрального оператора Вольтерра с ядром экспоненциального типа»

Актуальность темы. Диссертация относится к области качественной теории дифференциальных уравнений. В ней исследуется поведение на бесконечности решений некоторых эволюционных уравнений. Наряду с дифференциальными (обыкновенными, с частными производными, с запаздывающим аргументом) рассматриваются также линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения Вольтерра второго рода.

Как известно, одна из основных задач теории устойчивости по Ляпунову состоит в выяснении условий, при которых системы дифференциальных уравнений (линейных или "близких" к линейным) с аргументом, изменяющимся на полуоси, имеют ограниченные решения при всяких ограниченных правых частях.

Во многих задачах механики, теории автоматического регулирования, теории связи, биологии изучаемые процессы, вообще говоря, не остаются ограниченными во времени, в этих случаях не следует требовать, чтобы отклонения от предвычисленных значений были непременно малы или ограниченны. Они (отклонения) могут возрастать с течением времени, но скорость этого возрастания должна быть меньше или не превышать скорости возрастания самого процесса. Поэтому наряду с исследованиями ограниченности решений запросы практики приводят к исследованию экспоненциального роста решений в зависимости от соответствующего поведения правых частей модельного уравнения. Вопросы такого рода, восходящие своими истоками к работам А. Пуанкаре [1], П. Боля [2], A.M. Ляпунова [3], О. Перрона [4], получили дальнейшее развитие в исследованиях М.Г. Крейна [5, 6, 7], Ю.Л. Далецкого [8, 9], М.А. Рутмана [10-13], З.И. Рехлицкого [14, 15].

М.А. Рутман [10] в 1956 году впервые ввел понятие, которое следуя Л.К. Орлик [16, 17] будем называть экспоненциальной характеристикой линейного дифференциального уравнения.

Это основное понятие, связанное с изложенными в диссертации задачами. Рассмотрим линейное пространство Еа функций, показатели экспоненциального роста которых не превышают а. Пусть это пространство подвергается некоторому преобразованию V и as — нижняя грань тех показателей /?, для которых V :Еа ->Ер. Зависимость ae(V;a) называем экспоненциальной характеристикой преобразования V.

В настоящей работе рассматриваются преобразования, порожденные решением задачи Коши линейных дифференциальных уравнений и преобразования, определяемые интегральными операторами Вольтерра. Результаты, полученные для интегральных операторов Вольтерра, позволяют исследовать линейные дифференциальные уравнения с частными производными гиперболического типа, а также дифференциально-разностные уравнения.

Тема диссертации входит в раздел "Исследование устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений, краевых задач с непрерывными коэффициентами" плана научной работы НВ РХБЗ ВС РФ по спецтеме, регистрационный номер 0407484.

Основная цель диссертации - получить вид экспоненциальной характеристики ряда преобразований определяемых линейными эволюционными уравнениями - дифференциальными и интегральными. А именно: построить экспоненциальную характеристику линейного дифференциально-разностного уравнения I порядка в банаховом пространстве с ограниченными на полуоси семействами операторных коэффициентов, интегральных операторов и уравнений Вольтерра второго рода с ядрами типа функции Коши, с матричным ядром экспоненциального типа, с ядром, зависящим от 2п переменных, а также некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с двумя и п независимыми переменными, когда коэффициенты уравнений являются вещественными или комплексными ограниченными функциями.

Общие методы исследования. Использованы методы классического и линейного функционального анализа; в частности рассматривается понятие полуупорядоченности [18], полуупорядоченность осуществляется с помощью элементов экспоненциального типа, а также геометрический аспект теории полуупорядоченных пространств - теория конусов Крейна [19-22]. Важную роль в этих исследованиях играет классическая теорема Банаха о замкнутом операторе

Научная новизна. Для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с ядрами экспоненциального типа, в том числе с матричным ядром; с ядром типа функции Коши, для линейных дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве с ограниченными, вообще говоря, непериодическими ядрами и операторными коэффициентами экспоненциальные характеристики исследованы впервые.

Доказана теорема о связи между экспоненциальными характеристиками ядром ||/C(f,s)[|. Причем матричное ядро имеет различный порядок роста по двум переменным.

В работе приведен конструктивный способ определения критической точки экспоненциальной характеристики линейного интегрального оператора Вольтерра по заданному ядру, зависящему от 2п переменных.

Результаты, относящиеся к обыкновенному дифференциальному уравнению п -го порядка, также не следуют непосредственно из имеющихся результатов. Однако мы рассматриваем их как определенную пропедевтику, дающую возможность в сравнительно простой ситуации проиллюстрировать применяемый нами метод.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит характер теоретического исследования. Ее можно рассматривать как определенный раздел теории устойчивости по Ляпунову. Само понятие устойчивости получает здесь некоторое естественное расширение. С практической точки зрения результаты, полученные в работе, могут оказаться полезными в теории линейных механических и электрических систем, в задачах дифракции электромагнитных волн, в вопросах теории управления (задача оптимальной линейной фильтрации, опре

23]. оператора Вольтерра с матричным ядром скалярным деление импульсной функции линейной системы), в некоторых разделах биологии (проблемы устойчивости биологических сообществ), при моделировании динамической системы океан-атмосфера, в том числе запаздывающих воздействий в этой системе.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались ежегодно на военно-научных отчетных конференциях профессорско-преподавательского состава Военного Университета радиационной, химической и биологической защиты (1999 - 2004гг.), - на научном семинаре кафедры высшей и прикладной математики Московской академии тонкой химической технологии им.

М.В. Ломоносова, - на кафедре математики Военной академии ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого, - на кафедре математики Военно-инженерной академии, - на Всероссийской математической конференции, 2004 г. (г. Самара), - на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, 2004 г. (г. Суздаль) (два доклада), -на конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в Воронежском государственном университете, 2005 г; на семинаре "Интегральные уравнения и их применение" под руководством проф. Захарова Е.В., Лифанова И.К. (МГУ, ВМиК, 2005).

Публикации. Основные результаты опубликованы в печатных работах [60-69].

Структура и объем работы. Диссертация содержит 173 страницы машинописного текста и состоит из введения, семи параграфов, объединенных в две главы, и списка литературы, включающего 69 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Мудракова, Ольга Александровна

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты.

Построены экспоненциальные характеристики:

- для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с ядром типа функции Коши, с матричным ядром экспоненциального типа;

- для линейных дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве с ограниченными, вообще говоря, непериодическими операторными коэффициентами.

Установлена связь между экспоненциальными характеристиками оператора Вольтерра с матричным ядром s) = (к^-(f,s))" и скалярным ядром

Причем матричное ядро имеет различный порядок роста по двум переменным.

Приведен конструктивный способ определения критической точки экспоненциальной характеристики линейного интегрального оператора Вольтерра по заданному ядру, зависящему от 2п переменных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мудракова, Ольга Александровна, 2005 год

1. А. Пуанкаре О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -M.-JI.: Гостехиздат, 1947. -392 с.

2. Боль П. Избр. тр. -Рига: Изд. АН Латв. ССР, 1961. -23 8 с.

3. Ляпунов A.M. Общая задача устойчивости движения. -М.-Л: ОИТИ, 1935. -386 с.

4. Perron О. Die Stabilitarsfrage bei Differentialgleichungen II Mathem. Zeitschrift. 1930. Bd.32, H.5, s. 703-728.

5. Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, вып. 3(25). -С. 166— 169.

6. Крейн М.Г. Обобщение некоторых исследований A.M. Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами //Докл. АН СССР. 1950. Т.73, № 3. -С. 445-448.

7. Крейн М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные и дополненные Ю.Л. Далецким). Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1964, - С. 186.

8. Далецкий Ю.Л. Об асимптотическом решении одного векторного дифференциального уравнения // Докл. АН СССР. 1953. Т.92. С. 881-884.

9. Далецкий Ю.Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюционными уравнениями // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17, вып. 5(107). — С. 3-115.

10. Рутман М.А. Об устойчивости решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами //Докл. АН СССР. 1956. Т.108, №5.-С. 770.

11. Рутман М.А. Исследование роста и признаки ограниченности решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Тр. III матем. съезда, 1956, т.И, С. 118-119

12. Рутман М.А. О порядке экспоненциального роста решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1959. Т. 124, №4. С. 764.

13. Рутман М.А. Спектральные признаки устойчивости по Ляпунову для некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1955. Т.101, №6. С. 993-996.

14. Рехлицкий З.И. Спектральные признаки устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, №2. С. 260-263.

15. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений системы линейных дифференциально-разностных уравнений треугольного вида // Диференц. уравнения. 1969. Т.5, №11.- С. 2062-2067.

16. Орлик Л.К. Об экспоненциальной характеристике линейного дифференциального уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве. -Киев, Укр. ма-тем.ж., 1989, 41, №9,-С. 1288-1289.

17. Орлик Л.К. Об экспоненциальной характеристике интегрального оператора Вольтерра с периодическим ядром, зависящим от четырех переменных. //Дифференциальныеуравнения,т.25, №10, 1989,-С. 1819-1821.

18. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. —548 с.

19. Ахнезер Н. и Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. -Харьков: НКТП, 1938,-254 с.

20. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, составляющие инвариантный конус в пространстве Банаха. // Успехи мат. наук. 1948. Т.З, вып.1(23). -С. 3-95.

21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. -М.: Наука, 1965,-448 с.

22. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. -М.: Наука, 1967. -508 с.

23. Персидский К.П. Об устойчивости движения по первому приближению. Математ. сб. 40, 3, 1933. -284-292 с.

24. Персидский К.П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений // Изв. физ.-мат. о-ва при Казанском ун-те. 1936-1937. 4.1. Т.8, сер.З.-С. 47-85.

25. Персидский К.П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений // Изв. физ.-мат. о-ва при Казанском ун-те. 1938. 4.2. Т.2, сер.З.-С. 29-45.

26. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. -М.: Наука, 1966. -576 с.

27. Малкин И.Г. Об устойчивости движения по первому приближению // Докл. АН СССР, 1938. Т. 18. С. 159-161.

28. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. -М.: Наука, 1966. -530 с.

29. Четаев Н.Г. О наименьшем характеристическом числе // Прикл. мат. и мех. 1945. Т.9, вып.З. С. 193-196.

30. Четаев Н.Г. О знаке наименьшего характеристического числа // Прикл. мат. и мех. 1948. Т. 12, вып.1.-С. 101-102.

31. Якубович В.А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1951. Т.28(70). С. 217-240.

32. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. -М.: Наука, 1972. -720 с.

33. Демидович Б.П. Об одном обобщении критерия устойчивости Ляпунова для правильных систем // Матем. сб. 1965. Т.66(108), №3. С. 344-353.

34. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. -472 с.

35. Крейн М.Г., Красносельский М.А., Мильман Д.П. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве и о некоторых геометрических вопросах // Сб. трудов ин-та мат. АН УССР. -Киев, 1948. T.l 1. С. 97112.

36. Далецкий Ю.Л., Крейн С.Г. О дифференциальных уравнениях в Гильбертовом пространстве // Успехи мат. наук. 1950. Т.2, №4. С. 71-91.

37. Далецкий Ю.Л. Об устойчивости интегральных многообразий нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Успехи мат. наук. 1968. Т.20, №3. С. 376-381.

38. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1970. -534 с.

39. Кучер Д.Л. О некоторых критериях ограниченности решений системы дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1949. Т.69, №5. С. 603-606.

40. Рутман М.А. Операторные уравнения в полуупорядоченных пространствах и некоторые качественные теоремы для линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 1(73).-С. 234-238.

41. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1956. Т.З, №1. С. 29-32.

42. Рехлицкий З.И. Признаки ограниченности решений дифференциальных уравнений с непрерывным запаздыванием аргумента в банаховом пространстве // Успехи мат. наук. 1960. Т.15, вып. 1(91). С. 237-239.

43. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. -М.: Мир, 1970. -456 с.

44. Рутман М.А. О некоторых операторных уравнениях в полуупорядоченном пространстве, имеющих применение в теории устойчивости по Ляпунову. ДАН СССР, 1955, т. 101. №2, С. 212-220.

45. Рутман М.А. Критерий ограниченности решений для линейных дифференциальных уравнений с частными производными, обладающих старшим членом // Докл. АН СССР. 1962. Т.147. С. 789-792.

46. Рехлицкий З.И., Рудакова З.Г. Зависимость показателя роста решений дифференциально-разностных уравнений от показателя роста правых частей //Дифференц. уравнения. 1986. Т.22, №8. С. 1452-1456.

47. Орлик JI.K., Рутман М.А. Об экспоненциальных показателях решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1982. №6. С. 80-81.

48. Орлик JI.K. Об экспоненциальном росте решений линейного интегрального уравнения Вольтерра II рода с периодическим ядром. -Одесса, 1985. —21 с. Деп. в УкрНИИНТИ 16.12.85, №2767-Ук85.

49. Орлик JI.K. О порядке экспонециального роста решений одного линейного дифференциального уравнения в частных производных. -Киев, 1981.-15 с. Деп. в ВИНИТИ 15.10.81,4808-81 Д.

50. Esc Langon Е., C.R. 160,4751915.

51. Любич Ю.И. О принадлежности степеней оператора по данным вектором к некоторому линейному классу. — ДАИ., №5, 1955.

52. Рутман М.А. Об ограниченных решениях линейных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений (Сборник "Исследования по современным проблемам конструктивной теории функции"), Физматгит. -М.: 1961.-294 с.

53. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1967. 464 с.

54. Владимиров О.А. Запаздывающие воздействия в системе океан-атмосфера и их моделирование. М.: 1981. Метрология и гидрология, №4. — С. 77-83.

55. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985, - 231 с.

56. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ГТГИ, 1934, -330 с. (Линейные уравнения Вольтерра; т.1).

57. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.-М., 1972.

58. Рутман М.А. Об одном результате Н. Боголюбова и С. Крейна. Сб. трудов ин-та математики АНУССР, №12, 1849, С. 119-126.

59. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный анализ. — М.: Наука, 1969, С. 475.

60. Мудракова О.А., Орлик Л.К. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2п переменных: Тез. докл. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004. - С. 143-147.

61. Мудракова О.А. Об экспоненциальной характеристике интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по каждой из переменных. //НТС №3(38), -М.: ВУРХБЗ, 2004. С. 176-181.

62. Мудракова О.А., Орлик Л.К. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения с сосредоточенными запаздываниями. //Сб. Математические методы решения инженерных задач 2002, МО РФ, М.: - С. 35-40.

63. Мудракова О.А. Об экспоненциальных показателях решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами. //Вестник МГТУ им. Н. Баумана №1(16), М.: 2005, - С. 30-40.

64. Мудракова О.А.Устойчивость некоторых интегральных моделей с весовой функцией экспоненциального типа //Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. Вып. №30,2004.-С. 187-190.

65. Мудракова О.А. О порядке экспоненциального роста решения двучленного гиперболического уравнения 2-го порядка с ограниченным коэффициентом. //НТС №2(37), М.: ВУРХБЗ, 2004. - С. 205-211.

66. Мудракова О.А. Примеры, уточняющие построение экспоненциальной характеристики некоторых эволюционных уравнений. //Ученые записки. Выпуск 11, декабрь. М.: МАТХТ им. М.В. Ломоносова, 2004. - С. 56-64.

67. Мудракова О.А. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром типа функции Коши. //Тез. докл. Воронежской зимней математической шк. Воронеж, 2005. - С. 123-124.