Экспоненциальные и ограниченные решения линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Барсукова, Виктория Юрьевна

• Барсукова, Виктория Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Барсукова, Виктория Юрьевна

Список обозначений

Введение

ГЛАВА 1. Структура пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром

§ 1.1 Свойства линейных интегральных операторов, действующих в пространстве функций экспоненциального роста.

§ 1.2 Построение базисных решений однородного уравнения

§ 1.3 Структура пространства экспоненциальных решений однородного уравнения.

ГЛАВА 2. Нетеровость линейного неоднородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром

§ 2.1 Разрешимость линейного неоднородного интегрального уравнения в случае а < Ъ.

§ 2.2 Нетеровость неоднородного интегрального уравнения с периодическим ядром

ГЛАВА 3. Линейное интегральное уравнение на полуоси с периодическим ядром

§ 3.1 Алгебра линейных интегральных операторов, действующих в пространстве ограниченных функций.

§ 3.2 Линейное интегральное уравнение с периодическим ядром на полуоси.

§ 3.3 Асимптотика экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на полуоси с периодическим ядром.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспоненциальные и ограниченные решения линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами»

Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых вопросов теории линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси и полуоси. Такие уравнения являются естественным обобщением уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов t — s. Отличительной особенностью интегральных уравнений с периодическими ядрами является то, что условие периодичности ядра K(t + cj,s + со) = K{t,s) обеспечивает перестановочность интегрального оператора с оператором сдвига Tkux(t) = x(t -f ku), к £ Ъ. Это обеспечивает наличие у изучаемого уравнения многих свойств, характерных для уравнений типа свертки (K(t, s) = K(t — s)), у которых интегральный оператор перестановочен с любым оператором сдвига Ти. Поэтому полученные в работе результаты имеют соответствующие аналоги в теории уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов (см., например, [14], [61], [20]).

Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с периодическими ядрами, обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, а так же операторы, порождаемые такими уравнениями, изучались в работах Н.В. Азбелева и его учеников [1], А.Б. Ан-тоневича [2], А.Г. Баскакова [3] - [8] и его учеников, Ю.Г. Борисовича [9],

В.Р. Винокурова [11] - [13], В.Г. Курбатова [47],[48], В.Ф. Пуляева [62] -[72], П.М. Симонова [77], Ю.Н. Смолина [13], Е.Ю. Савчиц [74], З.Б. Ца-люка [80] - [82], Т.А. Burton'a [85] - [87] и других [15], [28], [29], [46], [55],

Уравнения в частных производных с периодическими коэффициентами рассматривались П.А. Кучментом [49] - [53], А.И. Милославским [56], [57] и другими авторами.

Основы теории интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов t—s, были заложены в работах Н. Винера и Э.Хопфа, М.Г. Крейна [44], И.Ц. Гохберга [18]. Глубокие результаты по теории таких уравнений, а также их дискретных аналогов были получены в работах

00

1) 00

58], [59].

Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [14], [83], И.А. Фельдмана [20], [78], Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко [32] - [36], И.Б. Симоненко [75], [76], З.Б. Цалюка, В А. Дербенева [23], [80] - [82], В.Б. Дыбина [24]—[26], Я.М. Ерусалимского [27], B.C. Пил иди и других [37], [38], [41], [43]. Укажем также на работы И.И. Воровича, В.А. Бабешко и их учеников, в которых рассматриваются прикладные аспекты теории сверточных интегральных уравнений в динамических задачах теории упругости.

Примерами периодических ядер может служить функция Грина си* стемы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому изучаемые уравнения с периодическими ядрами могут возникать при исследовании свойств решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений методами интегральных уравнений. Кроме того, различные задачи, возникающие в биологии и механике, приводят к математическим моделям, которые описываются интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с периодическими ядрами на оси и полуоси, причем с точки зрения приложений, интерес представляют в первую очередь ограниченные решения, а также решения, имеющие определенный рост (в частности, экспоненциальный).

Основными целями работы являются:

- изучение свойств интегральных операторов вида (1) с периодическим ядром в пространстве непрерывных функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост;

- описание структуры пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром ; т

- изучение условий нетеровости неоднородного уравнения на оси с периодическим ядром ;

- изучение условий конечномерности пространства ограниченных решений линейного однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;

- получение интегрального представления решения неоднородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;

- уточнение асимптотического поведения экспоненциально убывающих при t +оо решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Наряду с линейными уравнениями с периодическими ядрами автором изучались почти периодические решения нелинейных интегральных уравнений [88].

Подобные задачи изучались для других классов уравнений, а также в случае других пространств [65] - [70], [74]. Исследование задач, сформулированных выше, ввиду специфики пространств, в которых рассматриваются уравнения, потребовало привлечения иной техники. В тоже время, такие вопросы, как структура пространства решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси и асимптотика его решений, ранее не исследовались.

В работе используются методы теории линейных непрерывных операторов. Существенным при исследовании интегральных уравнений с периодическими ядрами является использование операторного аналога дискретного преобразования Фурье, применялись также методы аналитических векторных функций. Для изучения уравнения на полуоси был использован аппарат факторизации операторнозначных функций, а также порождаемой ею факторизации соответствующих интегральных операторов.

В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

- найдены условия, при которых пространство решений однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на оси конечномерно и имеет базис, состоящий из решений типа Флоке;

- для неоднородного уравнения с периодическим ядром на оси указаны условия всюду разрешимости, получено интегральное представление решения;

- исследована нетеровость уравнения на оси в различных случаях роста весовой функции;

- для однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси в случае нетеровости указаны условия конечномерности пространства ограниченных решений;

- для неоднородного уравнения на полуоси получены необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости, найдено интетральное представление решения; аналогичное интегральное представление одного из решений получено и в случае, когда уравнение не является однозначно всюду разрешимым;

- найдена асимптотика имеющих экспоненциальное убывание на бесконечности решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Работа носит теоретический характер.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- Весенние Воронежские математические школы "Понтрягинские чтения X, XIV, XV". Воронеж, 1999, 2003, 2004;

- VII Международная научная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование". Ростов-на-Дону, 1999;

- Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Воронеж, 2000;

- X Международная научная конференция "Математика. Экономика. Образование". Ростов-на-Дону, 2002;

- III Всероссийская молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2003". Казань, 2003;

- VI Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций и смежные вопросы". Казань, 2003;

- Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2005; а также неоднократно на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям проф. Цалюка З.Б. на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [89] -[103]. В работах [89], [92], [95], выполненных совместно с научным руководителем В.Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Выбор методов исследования и доказательства принадлежат автору диссертации. В работах [91], [93] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и рекомендации относительно методов исследований.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Барсукова, Виктория Юрьевна, 2005 год

1. Антоневич А.Б. Условия обратимости операторов с выпуклой рационально независимой системой сдвигов// Докл. АН СССР. 1981. -Т.256, N2 1.-С. 11-14.

2. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц// Матем. заметки. 1992. - Т.52, №2. - С. 17 - 25.

3. Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов// Докл. РАН. сер. матем. 1993. -Т.ЗЗЗ, №3. - С. 282 - 284.

4. Баскаков А.Г., Чернышев М.К. Некоторые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка// Укр. матем. ж. -1995. Т.47, т. - С. 411 - 413.

5. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов// Изв. РАН. сер. матем. 1997. - Т.61, №6. - С. 3 - 26.

6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов// Матем. сборник. 1999. - Т.190, №3. - С. 3 - 28.

7. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: ВГУ, 1987. - 164 с.

8. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М.: Наука, 1964. 267 с.

9. Винокуров В.Р. Об ограниченности решения системы интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей// Уч. зап. Уральского ун-та. 1960. - Вып. 23. № 2. - С. 3 - 9.

10. Винокуров В.Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования// Дифференц. уравнения. -1969. Т.5, № 10. - С. 1894 - 1898.

11. Винокуров В.Р., Смолин Ю.Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти периодическими ядрами и запаздываниями// Докл. АН СССР. 1971. - Т.201, № 4. - С. 771 - 773.

12. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 295 с.

13. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1950. - Т.73. № 6. - С. 1117- 1120.

14. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. - 316 с.

15. Гольденгершель Э.И. Спектр вольтеррова оператора на полуоси и экспоненциальный рост решений систем интегральных уравнений типа Вольтерра// Матем. сборник. 1964. - Т.64, № 1. - С. 115 - 139.

16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов// Успехи мат. наук. 1958. - Т.13, Вып.2. - С.З - 72.

17. Гохберг И.Ц. Задача факторизации оператор-функций//Изв. академии наук СССР, серия математич. 1964. - Т. 28. - С. 1055 - 1082.

18. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. - 352 с.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: Мир, 1962. Т.1. - 895 с.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

21. Дербенев В.А., Цалюк З.Б. Асимптотические поведение резольвентынеустойчивого уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов// Матем. заметки. 1997. - Т.62, № 1. - С. 74 - 79.

22. Дыбин В. В., Джиргалова С. В., Мельник А.Б. Дискретный оператор типа свертки в пространстве {а,/3}р, 1 < р < оо//РГУ. Ростов-на Дону, 2002. - 49 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.02.2002., № 46-В2002.

23. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а,(3}р, 1 < р < оо.(Ч.1)//РГУ. Ростов-на Дону, 2003. -32 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.01.2003., № 90-В2003.

24. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а, /3}р, 1 < р < оо.(Ч.П)//РГУ. Ростов-на Дону, 2003. -45 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.11.2003., № 1946-В2002.

25. Ерусалимский Я.М. Необходимые и достаточные условия нетеровости операторов мультипликативной дискретной свертки// Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Серия естеств. науки 1973. - № 4. -С. 105 - 107.

26. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1959. - Т.128, № 5. - С. 882 - 885.

27. Зверкин A.M. О полноте системы решений типа Флоке для уравнений с запаздыванием// Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, № 3. -С. 474 - 478.

28. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 742 с.

30. Карапетянц Н.К. Дискретные уравнения типа свертки в одном исключительном случае// Сибирск. матем. ж. 1970. - Т.11, № 1. - С. 80 -90.

31. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. О дискретных уравнениях Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами// Докл. АН СССР. -1971. Т.200, № 1. - С. 17 - 20.

32. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Об индексе некоторых классов интетральных операторов// Изв. АН Арм ССР. матем. 1973. - Т.8, JV® 1. -С. 26 - 40.

33. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-на-Дону: РГУ, 1988. - 188с.

34. Карапетянц Н.К. К вопросу о полной непрерывности операторов типа свертки//Изв. вузов. Математика. 1980. - № 1. - С. 41 - 49.

35. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов// Изв. вузов. Математика. -1983. № 4. - С. 3 - 27.

36. Карлович Ю.И. С*-алгебры операторов типа свертки с дискретными группами сдвигов и осциллирующими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1988. - Т.302, № 3. - С. 535 - 540.

37. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов// Успехи мат. наук. -1971. - Т.26, Вып. 4. - С. 15 - 41.

38. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. В кн.: Избранные труды. Математика. - М.: Наука, 1985. - С. 332 - 354.

39. Колесников И.А. Некоторые условия обратимости разностных операторов. Диссканд.физ.мат.наук. Воронеж, 2000. - 106с.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Мир, 1989. - 624с.

41. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1983. 156с.

42. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов// Успехи матем. наук. 1958. - Т.13, Вып. 5. - С. 3 - 120.

43. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. - 104с.

44. Кузнецов В.В. Спектральный анализ периодических операторов. Дисс— канд.физ.мат.наук. Воронеж, 1996. - 121с.

45. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения-Воронеж: Изд. ВГУ, 1990. 168с.

46. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов// Функц. анализ и прил. 1990. - Т. 24, ДО 2. - С. 98 - 99.

47. Кучмент П.А. О нетеровых операторах в паре банаховых пространств// Тр. научно-иссл. ин-та матем. ВГУ. Воронеж, 1971. -Вып. 3. - С. 61 - 77.

48. Кучмент П.А. Представление решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными и периодическими коэффициентами (обзор). В кн.: Теория операторных уравнений. -Воронеж: Изд. ВГУ, 1979. - С. 62 - 69.

49. Кучмент П.А. О представлении Флоке решений линейных гипоэллип-тических систем дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами// Функц. анализ и его прил. -1979.-Т. 13, № 1. С. 72.

50. Кучмент П.А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи мат. наук. 1979. - Т. 34, № 3. - С. 201 - 202.

51. Кучмент П.А. О теории Флоке для параболических и эллиптических граничных задач в цилиндре// Докл. АН СССР. 1981. - Т. 258, № 2. -С. 269 - 299.

52. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:Наука, 1973. - 738с.

53. Ланге Б.В., Рабинович B.C. Критерий нетеровости псевдодифференциальных операторов на Rn с символами класса C°°(i?n х Rn)// Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, № 6. - С. 1317 - 1320.

54. Милославский А.И. К теории Флоке для параболических уравнений// Функц. анализ. 1976. - Т. 10, № 2. - С. 80 - 81.

55. Милославский А.И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами: Диссканд.физ.мат.наук. Ростов-на Дону, 1976.

56. Мухамадиев Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций// Матем. заметки. 1972. -Т.11, Вып.З. - С. 269 - 274.

57. Мухамадиев Э.М. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений// Матем. заметки. -1981. Т.ЗО, Вып. 3. - С. 443 - 460.

58. Никольский Н.К. Лекции об операторах сдвига. М.: Наука, 1980. -384 с.

59. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.:Мир, 1979. - 493 с.

60. Пуляев В.Ф. Существование асимптотически ^-периодических решений у интегральных уравнений Вольтерра. // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. школы. Серия естеств. наук. 1973. - № 4. - С. 75 - 78.

61. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. Об асимптотически а;-периодических решениях у интегральных уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1974. - Т.10, № 6. - С. 1103 - 1110.

62. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1983. - Т.19, № 4. - С. 684 - 692.

63. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений// Изв. вузов. Математика. 1988. - № 6. - С. 75 - 78.

64. Пуляев В.Ф. Степенные решения интегральных уравнений// Изв. Сев.-Кав. научн. центра высш. школы. Естеств. науки. 1988. -№ 1. -С. 46 - 52.

65. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I// Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25, № 10. - С. 1787 - 1798.

66. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II// Дифференц. уравнения. 1990. - Т.26, № 8. - С. 1423 - 1432.

67. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. III// Ред. ж. "Дифференц. уравнения.— Минск, 1989. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.08.89. № 5416-В89.

68. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений// В межвуз. сб. "Интегральные и дифференциальные уравнения". -Краснодар, 1992. С. 58 - 75.

69. Пуляев В.Ф., Сокол Г.Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами// Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. - Спецвып. - С. 131 - 132.

70. Пуляев В.Ф. Развитие теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами: Диссдокт.физ.мат.наук. Краснодар, 2001. - 313с.

71. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. - 587 с.

72. Савчиц Е.Ю. Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами: Диссканд.физ.мат.наук. Краснодар,2002. - 111с.

73. Симоненко И.Б. О многомерных дискретных свертках. // Матем. ис-след. Кишинев,1968. Т.З, № 1(7). - С. 108 - 122.

74. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных и интегральных уравнений 1(H)// Изв. АН СССР, сер. матем. 1965. - Вып.З. - С. 567 - 586. (1965. - Вып.З. - С. 775 - 782.)

75. Симонов П.М., Чистяков А.В. О разрешимости периодических уравнений// Вестник Пермского ГТУ. Матем. и прикл матем. 1994. -№1.-С. 61-71.

76. Фельдман И.А. Об асимптотике решений некоторых систем интегральных уравнений// ДАН СССР 1964. - Т.154, № 1. - С. 57 - 60.

77. Функциональный анализ.Под ред. С.Г. Крейна.(Серия "Справочная математическая библиотека") М.:Наука,1972. - 544 с.

78. Цалюк З.Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, № 4. - С. 1967 - 1979.

79. Цалюк З.Б. О допустимости некоторых пар пространств для интетральных операторов и уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1977. - Т.13, № 11. - С. 2096 - 2098.

80. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра// Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ / ВИНИТИ-М. 1977. - Т. 15. - С. 131 - 198.

81. Черский Ю.И. Дискретно-непрерывная система уравнений сверт-ки//Изв.ВУЗов мат. № 10, 1999. - С.81 - 82.

82. Bochner S., Fillips R.S. Absolute convergent Fourier expansion for non commutative normed rings// Ann. of Math. 1942. - V.43, № 3. - P. 109 -118.

83. Burton T.A. Periodic solutions of linear Volterra equations// Funkcial. Ekvac. 1984. - № 27. - P. 229 - 253.

84. Burton T.A. Periodic solutions of integrodifferential equations// J. Amer. Math. Soc. 1985. - V.31, № 3. - P. 537 - 548.

85. Burton T.A., Becker L.S., Kriszin Т.К. Floquet theory for a Volterra equation// J. London Math. Soc. 1988. - V.2, № 37. - P. 141 - 147.

86. Барсукова В.Ю. О почти периодичности ограниченных решений нелинейных интегральных уравнений// Природа. Общество. Человек. Вестник Южно-Российского отделения Междунар. Академии наук высш.шк. 1996. - № 4 - 5. - С.51 - 55.

87. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Структура экспоненциальных решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами // Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2000. - 25с. - Деп. в ВИНИТИ 6.05.00, № 329-В00.

88. Барсукова В.Ю. О разрешимости линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве функций экспоненциального роста// Кубан.гос.ун-т. Краснодар, 2000. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.10.00, № 2691—В00.

89. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// Тр. Рос. ассоц. "Женщины-математики". 2002. - Т. 10, № 2. - С. 89 - 93.

90. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике решений интегральногоуравнения на полуоси с периодическим ядром// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. - № 4. - С. 3 - 5.

91. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике экспоненциальных решений линейных интегральных уравнений на полуоси// Соврем, методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения -XIV". Воронеж, 2003. - С. 15 - 16.

92. Барсукова В.Ю. О свойствах интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве суммируемых с экспоненциальным весом функций//Лобачевские чтения 2003. Материалы третьей Всерос. молодеж. науч. школы-конфер.- Казань, 2003 - С.74-76.

93. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. О существовании экспоненциальных решений интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси// Современные проблемы математики и информатики:Сборник научных трудов/АГПУ. Армавир, 2004. - Вып.1. - С.13 - 17.

94. Барсукова В.Ю. О неоднородном интегральном уравнении с периоди-^ ческим ядром на полуоси//Соврем. методы в теории краевых задач.Материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения -XV". Воронеж, 2004. - С. 23 - 24.

95. Барсукова В.Ю. О свойствах решений линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на полуоси//Соврем, методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней мат. школы. Воронеж, 2005. - С. 27 - 28.

96. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений в пространстве функций экспоненциального роста// Современные методы в теории краевых задач "Понт-рягинские чтения -X": Тез. докл. Воронеж, 1999. - С. 27.

97. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях линейных интегральных уравнений// VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование. ": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1999. - С. 12 - 13.

98. Барсукова В.Ю. О свойствах решений линейных однородных интегральных уравнений на оси с периодическими ядра-ми//Междунар.научн. конф. "Нелинейный анализ и функц.-дифф. уравнения". Воронеж, 2000. - С. 50 - 51.

99. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// X Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование. ": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2002. - С.62 - 63.

100. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об интегральном уравнении с периодическим ядром на полуоси//Докл. VI Казанской междунар.летней шк.-конф."Теория функций и смеж.вопросы". Казань,2003.- С.29-31.