Экстремальные методы оценки параметров диффузионных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Зотова, Мария Владимировна

• Зотова, Мария Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Зотова, Мария Владимировна

Оглавление

Введение

1 Существующие методы оценки параметров диффузионных процессов

1.1 Статистические оценки параметров случайных процессов

1.2 Существующие методы оценки параметров диффузионных процессов

1.3 Выводы

2 Экстремальные методы оценки параметров диффузионных процессов

2.1 Эстиматор, построенный на экстремальных значениях исследуемого процесса

2.2 Метод оценки моста

2.3 Метод оценки полного моста

2.4 Выводы

3 Распределение плотностей вероятности

3.1 Функция плотности вероятности максимального значения исследуемого процесса и значения процесса на конце рассматриваемого интервала

3.2 Совместная плотность вероятностей минимального, максимального и значения винеровского случайного процесса с равномерным сносом на конце заданного временного интервала

3.3 Геометрические свойства неполного моста

3.4 Совместная плотность вероятности экстремальных значений моста исследуемого процесса

3.5 Выводы

Заключение

Список публикаций по теме диссертации

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные методы оценки параметров диффузионных процессов»

Введение

Многие явления, для изучения которых казалось вполне достаточным применения классических методов математической физики, при более глубоком рассмотрении требуют использования вероятностных подходов. Так, например, необходимость описания случайного характера шумов и помех, сопутствующих работе различных приборов, привели к тому, что методы статистической радиофизики проникли буквально во все разделы радиотехники, а детальное рассмотрение вопросов распространения радиоволн и акустических сигналов потребовало применения новых подходов, основанных на применении стохастических моделей.

Статистическая радиофизика — раздел науки, посвященный установлению закономерностей случайных явлений или процессов на основании регистрации, систематизации и обработки результатов наблюдений или измерений. Изложению теории методов, применяемых в статистической радиофизике, и описанию правил их применения к разнообразным практическим задачам посвящена обширная литература, например [1-9].

Применительно к радиофизическим приложениям можно указать несколько характерных примеров, подтверждающих целесообразность использования статистических методов и стохастических моделей для описания реальных физических процессов.

Для начала рассмотрим процесс распространения радиоволн в турбулентной атмосфере [10-12]. Наряду с регулярными неоднородностями, вызванными изменением температуры, давления и влажности с высотой, в тропосфере имеются и случайные неоднородности различного размера, связанные с турбулентным (вихревым) движением воздуха, причиной которого является нагревание земной поверхности и воздуха солнцем. В этом случае давление и влажность воздуха могут изменяться не только во времени, но и иметь неодинаковые значения в двух соседних участках среды, следовательно, величина коэффициента преломления воздуха ведет себя случайным образом. Результатом всего этого, является то, что случайные локальные неоднородности показателя преломления воздуха могут привести к искажениям фазового фронта волны и к флуктуациям амплитуды поля.

Подобные явления встречаются и в задачах распространения сигналов в гидроакустике. На большой глубине даже незначительное изменение температуры, в пределах долей градуса, приводит к существенному отклонению скорости звука. За счет многократного усиления — кумулятивного эффекта, вдоль траектории луча происходит заметное изменение интенсивности. В результате, прошедший через толщу воды акустический сигнал превращается в случайный.

Кроме того при анализе распространения звуковой волны следует учитывать случайный характер акустических волн, причиной возникновения которых являются движущиеся элементы конструкции надводных и подводных кораблей. Если удары (например, в поршневых и кривошипно-шатунных механизмах) возникают в случайные моменты времени и имеют

случайные амплитуды, то возникающее звуковое давление воспринимается как случайный процесс (шум). Природа наблюдаемых в этой области процессов такова, что наилучшим способом описания является именно статистический подход [13-19].

Еще один характерный пример, подтверждающий целесообразность использования стохастических моделей, относится к теории распространения сигналов. Случаи, когда сигналы отражаются от различных объектов (поверхность земли или моря, гидрометеоры, ионосфера, искусственные металлизированные отражатели и т.д.), с точки зрения статистической радиофизики обладают рядом общих закономерностей. В подобных условиях значение сигнала в конкретной точке пространства может быть представлено суммой большого числа мод, отраженных независимыми элементарными отражателями, которые случайным образом распределенными на поверхности или в пространстве. Когда среднее число отраженных элементарных сигналов достаточно велико, откликом распределенной цели на посланный импульс является случайный сигнал, имеющий конечную длительность во времени.

К факторам, определяющим статистические свойства реальных процессов, можно также отнести нестабильность генераторов электромагнитных колебаний, неоднородность отражающих или излучающих поверхностей объектов и т.д. [20-23].

Таким образом, развитие методов статистической радиофизики и использование стохастических моделей, представляют собой важную теоретическую область исследования, имеющую широкое практическое применение для описания процессов в системах любой физической природы.

Среди задач статистической радиофизики выделяется класс вопросов, связанных с построением оптимальных оценок параметров исследуемого процесса, так называемая теория оценивания.

Проблемы оптимального оценивания параметров сигналов, наблюдаемых в условиях действия помех, являются одними из основных при решении задач телекоммуникаций, радиолокации, радионавигации.

Для того, чтобы получить алгоритмы оценивания в любой физической задаче, на первом этапе необходимо выбрать стохастическое дифференциальное уравнение, которое описывало бы рассматриваемый физический процесс.

В рамках данной работы рассматриваются стохастические модели, описываемые диффузионными процессами или стохастическими дифференциальными уравнениями, которые наиболее часто встречаются в физических задачах.

На данный момент имеется уже несколько монографий, полностью или частично посвященных статистике диффузионных процессов [24-27].

Довольно общая модель случайного процесса Х{£) такого вида записывается следующим образом:

йХ{Ь) + О <£<Т; Х(0) = Х0, (1)

здесь /х и I) - неизвестные функции, а В(Ь) — процесс, соответствующий стандартному броуновскому движению, который является винеровским процессом. Коэффициент ¡1 чаще всего называют сносом, а D = сг2 — квадратом коэффициента диффузии, который описывает изменчивость, нестабильность процесса Х(Ь).

Впервые запись уравнения (1) в интегральном виде была предложена

выдающимся японским математиком К. Ито на рубеже 50-х годов прошлого века. С этого момента началось бурное развитие стохастического анализа, которое усилилось в последние десятилетия, когда выяснилось, что диффузионные модели удовлетворительно описывают колебания цен и процентных ставок на финансовых рынках.

Изначально были найдены некоторые решения уравнений диффузионных процессов — исследован их явный вид, установлены условия существования и единственности решения, ограниченность, аппроксимации, предельные теоремы, и другие свойства [28-32]. Также было проведено моделирование траекторий решений и численный расчет их характеристик [33,34].

Однако в последнее время, в виду большого количества практических приложений, наибольший интерес представляет следующая постановка задачи: как, наблюдая траекторию процесса Х(Ь) или ее значения в отдельных точках, оценить параметры диффузионного процесса, такие например как дисперсию, коэффициенты сноса и диффузии или как проверить те или иные гипотезы об их виде.

Оценки дисперсии и коэффициента диффузии играют значительную роль в задачах распространение звука в "мелком море" с учетом случайных неоднородностей волновода, которые включают неоднородности водного слоя и шероховатость границ (дна и поверхностных волн). В этом случае уравнения взаимодействия мод и модальных интенсивностей при учете случайных неоднородностей в пределе большого числа распространяющихся мод сводятся к уравнению в диффузионном приближении, и эффективная оценка дисперсии, а также соотношения параметров зату-

хания и коэффициента диффузии, определяет перераспределение энергии по модам и, соответственно, различное поведение поля при распространении [35].

В области медицины интенсивно разрабатывается биотестовая аппаратура, предназначенная для контроля качества сред с помощью измерения интегральной тест-реакции на токсичность у чувствительного к вредным факторам организма — тест-объекта. В последних исследованиях в качестве тест-объекта используются популяции микроорганизмов, что уменьшает стоимость проведения тестирования и повышает достоверность результатов.

Локомоции - перемещения целостных организмов, отражают нарушения процессов метаболизма и функций сенсорной системы. Создание биотестовой аппаратуры, предназначенной для контроля тест-реакций подвижных организмов, предполагает формализацию локомоций в виде стохастической математической модели. Большинство моделей локомоций основано на описании перемещения организмов броуновским движением, процессом Орнштейна-Уленбека. Движение организмов в этих моделях характеризуется коэффициентами диффузии и зависит от качества статистических оценок этого параметра [36].

В последние годы мировое ядерное сообщество столкнулось с новой проблемой: первое поколение серийных атомных станций находится на грани выработки установленного проектом срока службы 25-30 лет. Так как в процессе длительной эксплуатации все конструкционные материалы оборудования АЭС ухудшают свои свойства, то понятна актуальность проблемы оценки влияния старения на обеспечение надежности и безопас-

ности АЭС.

Ресурс любого технического объекта является случайной величиной, так как на любой элемент оборудования действует комплекс проектных, конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов, большинство из которых имеют случайный характер.

Один из методов расчета остаточного ресурса оборудования основан на применении моделей на базе диффузионных процессов. В этом случае достоверные оценки коэффициентов сноса и диффузии во многом определяют величину выработанного ресурса оборудования. Поскольку при обосновании возможности продления срока службы каждой конкретной АЭС необходимо учитывать влияние всех факторов на безопасность АЭС, в этом случае предпочтение отдается наиболее эффективным методам оценки параметров диффузионных процессов [37].

Оценки коэффициента диффузии также во многом определяют характер поведения частиц в двумерных квантовых системах, в иностранной литературе принято рассматривать такие системы, как квантовые бильярды, которые по сути представляет собой потенциальную яму. Полученные в данной работе результаты, могут быть использованы для анализа движения квантовых частиц в потенциальной яме с движущимися стенками [38-41].

Теория оценок параметров диффузионных процессов получила широкое практическое применение при анализе финансовых показателей. Современная стохастическая финансовая математика сформировалась как бурно развивающаяся область фундаментальной математики, представляющая собой пример успешного применения методов классической тео-

рии случайных процессов к анализу динамики рыночных цен активов и хеджированию финансовых обязательств. Повышенный интерес к математическому моделированию процесса эволюции финансовых временных рядов активизировал научную деятельность в этом направлении во всем мире. В этом нетрудно убедиться по многочисленным статьям в журналах, посвященным как экономической тематике, так и теории случайных процессов [42,43,45,46]. Применение диффузионных процессов в области стохастической финансовой математики тесно связано с понятием гипотезы эффективного рынка (efficient market hypothesis, ЕМН).

Гипотеза эффективного рынка может быть сформулирована следующим образом: рынок является эффективным в отношении какой-либо информации, если она сразу и полностью отражается в цене актива. Что делает эту информацию бесполезной для получения сверхприбылей. Первые теоретические предположения, которые потом легли в основу гипотезы эффективного рынка, были сделаны в начале XX века. Французский экономист Луи де Башелье предполагал [47], что цена S(t) меняет свои значения в моменты времени t = Д, 2Д,..., таким образом, что

гДе ~ независимые одинаково распределенные случайные величины. Позднее эта модель была усовершенствована М.Кендаллом [48], и названа моделью геометрического броуновского движения:

S(t) = S0exj>{X(t)}t (2)

где So — цена в начальный момент времени t = 0. Процесс

X{t) = In S(t), 10

в рамках данной модели представляют в виде винеровского процесса с равномерным сносом (броуновского движения)

Х(Ь) = уА + аВф.

Здесь ¡л - скорость регулярного сноса, которую мы будем называть для краткости сносом, величину а2 называют иногда интенсивностью броуновского движения.

Широкое использование данной модели [50], обусловлено тем, что она отражает ключевые свойства поведения цены ¿'(¿):

• за счет экспоненты, входящей в формулу (2) данная модель адекватно отражает тот факт, что чем больше цена, тем сильнее ее флуктуации;

• в показателе экспоненты стоит броуновское движение, которое учитывает гипотезу эффективного рынка, а именно, что поведение рынка в следующие моменты не предсказуемо, поскольку будет учитывать еще неизвестную информацию.

В дальнейшем на основании диффузионных процессов, был построен целый ряд моделей ценообразования на финансовых рынках [51-53]. Наибольший интерес в стохастической финансовой математике представляет оценка волатильности — статистического показателя, характеризующего тенденцию изменчивости цены.

С точки зрения математической статистики волатильность является коэффициентом диффузии, в случае если в качестве процесса Х(£) рассматривать броуновское движение со сносом.

Таким образом, практическая потребность в решении перечисленных выше задач определяет актуальность тематики данной диссертации.

Цель диссертационной работы

Цель настоящей диссертационной работы и задачи настоящего исследования состоят в следующем:

1. Проанализировать существующие методы оценки параметров диффузионных процессов. Выявить "критерии качества", предъявляемые с точки зрения практических приложений к статистическим оценкам параметров диффузионных процессов, получаемых на основании существующих методов. Сравнить эффективность статистических оценок, получаемых на основании существующих методов, и проанализировать недостатки существующих методов оценки параметров диффузионных процессов.

2. Разработать новые, более эффективные с точки зрения практических приложений, методы оценки параметров диффузионных процессов. Исследовать статистические характеристики оценок, полученных новыми методами, такие как:

-дисперсия оценки параметров диффузионных процессов;

-математическое ожидание оценки параметров диффузионных процессов;

-функция распределения оценки параметров диффузионных процессов.

3. На примере винеровского процесса с равномерным сносом, наглядно показать применимость предлагаемых в работе новых методов оценки параметров диффузионных процессов. Для случая винеровского процесса с равномерным сносом рассчитать совместные плотности вероятности экстремальных значений процесса, необходимые для практического применения, предлагаемых в рамках работы, методов. Оценить дисперсию и смещенность статистических оценок параметров диффузионных процес-

сов, полученных на основании применения новых методов оценки. Провести сравнение статистических характеристик оценок, полученных новыми, предлагаемыми в работе методами с соответствующими характеристиками оценок, получаемых на основании существующих методов оценки. Продемонстрировать "выигрыш" в эффективности, получаемый при применении новых методов оценки параметров диффузионных процессов.

4.Провести численное моделирование для подтверждения полученных в рамках работы аналитических результатов.

Научная новизна работы заключается как в постановке ряда не решенных ранее актуальных задач статистической радиофизики, так и в полученных оригинальных результатах. Впервые получены новые методы оценки параметров случайных процессов, эффективность которых значительно выше разработанных ранее методов. Подробно изучены статистические свойства предложенных оценок. Впервые найдена наименьшая возможная граница дисперсии оценки в классе однородных функций. В данной работе продемонстрирован аналитический вывод выражения для совместной плотности вероятности максимального, минимального и конечного отсчета реализации винеровского процесса со сносом. Данное аналитическое выражение позволяет построить не только новые, предлагаемые в данной работе оценки коэффициента диффузии и дисперсии, но и получить аналитические оценки другими методами, такими как метод Гармана-Класса и Роджерса-Сатчелла. Ранее в большинстве случаев данная величина моделировалась численно или заменялась более простыми выражениями.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получены оригинальные результаты решения поставленной задачи поиска оптимальных оценок параметров случайных процессов.

2. Предложены три новых метода оценки параметров случайных процессов, эффективность которых значительно выше разработанных ранее методов.

3. Для случая винеровского процесса с равномерным сносом, впервые получены аналитически совместные плотности вероятности экстремальных значений самого исследуемого процесса и его моста, внутри рассматриваемой реализации. Данные плотности вероятности необходимы не только для практического применения предлагаемых в рамках работы методов оценок параметров диффузионных процессов, но и для расчета оценок существующими методами.

4.Для случая винеровского процесса с равномерным сносом впервые получено значение наименьшей возможной границы дисперсии статистических оценок параметров диффузионных процессов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты представляют интерес с точки зрения фундаментальных проблем математической статистики в целом и теории статистических оценок параметров диффузионных процессов в частности. Разработанные модели могут иметь практическое применение для исследования акустических систем, радиофизических и медицинских приложений, квантовых задач и вопросов, связанных с продлением ресурса различного оборудования [АЗ,А24].

Работа выполнена в рамках грантов при государственной поддержке ведущих научных школ НШ-3700.2010.2, НШ-333.2012.2, НШ-339.2014.2

(Научная школа "Теоретические и экспериментальные исследования волновых случайных процессов в природных средах "под руководством доктора физико-математических наук, профессора Гурбатова С.Н. и доктора физико-математических наук, профессора Саичева А.И.).

Личный вклад.В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выборе направлений исследований и постановке основных задач. Все представленные результаты теоретического исследования, а также результаты численного моделирования получены автором.

Апробация работы и публикации. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

1. Ежегодная научная конференция по радиофизике, Н. Новгород, 20082011гг.

2. Ежегодная "Нижегородская сессия молодых ученых", Н.Новгород, 20092010гг.

3. III Всероссийская молодежная научно-инновационная школа "Математика и математическое моделирование", Саров, 2009 г.

4. Ежегодная Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2010-2013гг..

5. Ежегодная Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург, 2010-2013гг..

6. Третья Волжская региональная молодежная научная конференция "Радиофизические исследования природных сред и информационные системы", Зеленодольск, 2011г.

7. Всероссийская молодежная научная школа "Актуальные проблемы физики", Таганрог-Ростов-на-Дону, 2012г.

8. Международная молодежная научно-техническая конференция "Будущее технической науки", Н. Новгород, 2013г.

9. Всероссийская конференция по проблемам науки и технологий, Ми-асс, Челябинской обл., 2013г.

Основные материалы диссертации опубликованы в 24 работах. Среди них 9 статей (4 из которых входят в список ВАК и одна направлена в печать в журнал, входящий в список ВАК) и 15 работ, представляющие собой опубликованные материалы докладов на научных конференциях (отдельно вынесены в "Список работ по теме диссертации").

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и списка публикаций по теме диссертации.

В первой главе сделан обзор существующих методов оценки параметров диффузионных процессов и проведено теоретическое рассмотрение "эффективности" существующих методов.

Во второй главе предложены новые методы оценки параметров диффузионных процессов, исследованы их статистические характеристики, проведено сравнение результатов с оценками, полученными существующими методами.

Третья глава посвящена расчету плотностей вероятности, необходимых для практического применения, предлагаемых оценок, в случае винеров-ского процесса с равномерным сносом.

Общий объем диссертации составляет 133 страницы, включая 29 рисунков и список литературы из 91 наименования.

Глава 1

Существующие методы оценки параметров диффузионных процессов

В данной главе рассматриваются основные понятия и выражения, используемые в диссертационной работе для описания свойств статистических оценок неизвестных параметров случайных процессов.

В первой главе введены определения "критериев качества" рассматриваемых в работе оценок. Приведены описания существующих методов оценки дисперсии, коэффициентов диффузии и сноса диффузионных случайных процессов.

В рамках данной главы продемонстрированы преимущества и недостатки существующих на данный момент методов оценки параметров диффузионных процессов, с целью определить место каждого из представленных методов в общей теории однородных оценок параметров диффузионных процессов.

На основании сравнения статистических свойств существующих методов оценки неизвестных параметров, описанных в данной главе, с предлагаемыми во второй главе новыми экстремальными методами оценки, будет

продемонстрирована целесообразность создания и применения новых методов.

Основные результаты исследований, представленных в первой главе, опубликованы в работах [А2, А10, А13-А14, А17].

1.1 Статистические оценки параметров случайных процессов

Как уже было сказано во введении, во многих областях современной радиофизики, гидроакустики, медицины используются модели диффузионных случайных процессов. В практических приложениях часто возникают задачи, когда по данным наблюдений за значениями подобных случайных процессов в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то его параметров или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени самого процесса (в предположении, что этот фиксированный момент времени лежит за пределами интервала наблюдений) или значение какого-либо вспомогательного процесса.

"Полезность" использования моделей диффузионных случайных процессов во многом зависит от точности оценок параметров исследуемых процессов. На практике, как правило, необходимо сначала спрогнозировать параметры на основе какого-либо статистического метода или фундаментального анализа, а уже потом подставлять в модельное уравнение. Если полученные оценки окажутся близкими к реальности (к неизвестным будущим значениям параметров), то рассматриваемая модель будет давать "хорошие результаты".

Задача статистического оценивания неизвестных параметров — одна

из двух основных (наряду с задачей проверки статистических гипотез) задач математической статистики. Теория оценок определяет методы и способы оценки неизвестных параметров распределений совокупности или решения задачи предсказания исходя из экспериментальных данных.

Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы. Интервальное оценивание предполагает построение доверительного интервала, в котором предположительно находится истинное значение параметра генеральной совокупности. Точечное оценивание, которому посвящена данная работа, — это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра 0 приближается отдельным числом, это означает, что указывается функция от выборки (статистика), значение которой будет рассматриваться в качестве приближения к неизвестному истинному значению в.

К общим методам построения точечных оценок параметров относятся: метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, метод квантилей. При использовании подобных методов в случае большого количества наблюдений можно говорить о близости полученных статистических оценок и истинных значений. Однако, на практике может быть известна лишь одна реализация исследуемого процесса или же несколько значений процесса внутри одной рассматриваемой реализации, в этом случае теория оценивания требует поиска новых, эффективных методов решения поставленной задачи.

Данная диссертационная работа посвящена построению новых методов оценки параметров диффузионных процессов. С точки зрения математической статистики постановка задачи звучит следующим образом, пусть

( — случайный процесс с функцией распределения Ео(х) определенного математического вида, зависящая от одного или нескольких параметров 9. Возникает задача получения оценок параметра 9 по выборке, состоящей из п наблюдений Х\, Х2, хп.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зотова, Мария Владимировна, 2014 год

Литература

[1] Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с английского. М.: Мир. 1975, 648 с.

[2] Кендал М., Стыоарт А. Теория распределений: Пер. с англ./Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Наука. 1966, 588 с.

[3] Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применения: Пер. с англ./Под ред. Ю.В. Линника. М.: Наука. 1968, 548 с.

[4] Дунин-Барковский И.В., Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике. М.: Гостехиздат. 1955, 556 с.

[5] Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями: Пер. с англ./Под ред. Ю.В. Линника. М.: ИЛ. 1956, 664 с.

[6] Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз. 1962, 350 с.

[7] Кендал М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи: Пер. с англ./Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Наука. 1973, 900 с.

[8] Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля. М.: Наука. 1975, 408 с.

[9] Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.:Наука, 1974, 696 с.

[10] Кремер И. Я., Кремер А. И.,Петров В. М. и др. Пространственно-временная обработка сигналов / Под ред. И. Я. Кремера. М.: Радио и связь, 1984. 224 с.

[11] Cherm Y.E., Zernov N.N, Radicella S.M, Strangeways H.J. Propagation model for signal fluctuations on transionospheric radio links // Radio Sci. 2000. V.35. №5. P.1221-1232.

[12] Jordan P.M., Puri A. Digital signal propagation in dispersive media //J. Appl. Phys. 1999. V.85. №3. P.1273-1282.

[13] Болтов B.M., Плахов Д.Д., Яковлев В.Е. Акустические шумы и помехи па суднах. JI.: Судостроение. 1984, 192с.

[14] Бурдик B.C. Анализ гидроакустических систем. JL: Судостроение. 1988, 392с.

[15] Гусев В.В. Системы пространственно-временной обработки гидроакустической информации. Л.: Судостроение. 1988, 264с.

[16] Hahn W.R., Tretter S.A. Optimum Processing for delay-vector estimation in passive signal arrays // IEEE Trans, on Information Theory. 1973. Vol.IT-19. № 5. P.608-614.

[17] Hassab J.C., Guimond B.W., Nardone S.C. Estimation of location and motion ameters of a moving source observed from a linear array // JASA. 1981. №70(4). P. 1054-1061.

[18] Schwartz S.C. A series Technique for the optimum detection of stochastic signals in noise // IEEE Trans, on Information Theory. 1969. Vol. IT-15. № 3. P.362-369.

[19] Урик Р.Дж. Основы гидроакустики. Л.: Судостроение. 1978, 446с.

[20] Кремер И .Я., Владимиров В.И., Карпухин В.И. Модулирующие (мультипликативные) помехи и прием радиосигналов / Под ред. И.Я.Кремера. М.: Сов. радио. 1972, 480с.

[21] Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука. 1967, 548с.

<

[22] Ширман Я.Д., Голиков В.Н., Бусыгин И.Н. и др. Теоретические основы радиолокации / Под ред. Я.Д.Ширмана. М.: Сов. радио. 1970, 560с.

[23] Фельдман Ю.И., Мандуровский И.А. Теория флуктуаций локационных сигналов, отраженных распределенными целями. М.: Радио и ' связь. 1988, 272с. !

[24] Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. 1979, 528с.

[25] Kutoyants Yu.A. Statistical Inference for Ergodic Diffusions. London:Springer - Verlag. 2004, 481p.

i

[26] Bosq D. Nonparametric Statistics for Stochastic Processes: Estimation and Prediction. Lecture Notes in statistics. NY: Springer-Verlag. 1998, 212p.

[27] Prakasa Rao, B.L.S. Statistical Inference for Diffusion Type Processes. London: Arnold. 1999, 349p.

[28] Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка. 1982, 612с.

[29] Оксендаль Б., Стохастические дифференциальные уравнения. М: Мир. 2003, 408с.

[30] Protter Ph.E. Stochastic Integration and Differential Equations. 2nd Ed. Springer. 2004, 302p.

[31] Karatzas I., Shreve S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag. 1991, 470p.

[32] Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. 3rd ed. Berlin: Springer. 2005, 606p.

[33] Kloeden P.E., Platen E. Numerical solutions of stochastic differential equations. NY: Springer. 1992, 632p.

[34] Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. Спб: Наука. 1999, 458с.

[35] Кацнельсон Б.Г. Диссертация доктора физико-математических паук "Распространение и рассеяние низкочастотного звука на морском шельфе "специальность 01.04.06 -"Акустика". 2011, 320с.

[36] Захаров И.С. Математические модели локомоций микроорганизмов, использемые для создания биотестовой аппаратуры. Известия ЮФУ.Технические науки № 5. 2008, сс.202-205.

[37] Острейковский В. А., Саакян С.П.Теоретическое и экспериментально-статистическое исследование методов оценки и продления назначенного ресурса и срока службы ядерных энергетических установок. )// Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук. № 7. Калуга: Изд-во Поли-граф-Информ, 2004. сс. 164-179.

[38] Саичев А.И. Квантовые бильярды и динамический хаос //Памяти А.Н. Малахова. Сборник научных трудов. Изд.: TAJIAM, Н.Новгород. 2000, сс.25-46.

[39] Doron Cohen, Enrico Fermi Chaos, Dissipation and Quantal Brownian Motion // Session CXLII New Directions in Quatum Chaos, Varena Italy. 1999, http//physics.bgu.ac.il/dcohenf/vrnarc.pdf

[40] J. K. L. da Silva, D. G. Ladeira, E. D. Leonel, P. V. E. McClintock, and S. O. Kamphorst Scaling properties of the Fermi-Ulam accelerator model. Brazilian Journal of Physics, Vol. 36, №3A. 2006, pp. 700- 707.

[41] Doron Cohen Energy absorbation by "sparse"systems: beyound linear response theory, http://physics.bgu.ac.il/ dcohen/archive/slk.pdf

[42] Andersen, T. G., Bollerslev, T., Diebold, F. X., Labys P. Realized Volatility and Correlation. 1999 http: //www.ssc.upenn.edu/ fdiebold/papers/paper29/temp.pdf.

[43] Bacry, E., Delattre, S., Hoffmann, M., Muzy, J.-F. Modelling microstructure noise with mutually exciting point processes. Quantitative Finance, V.13. 2013, pp. 65-77.

[44] Bandi, F. M., Russel, J. R. Separating microstructure noise from volatility. Journal of Financial Economics, №79. 2006, pp. 655-692

[45] Cont, R. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance №1. 2001, pp. 223-236

[46] Kessler M., Soerensen M. Estimating equations based on eigenfunctions for a discretely observed diffusion process. Bernoulli, №5. 1999 pp. 299 -314.

[47] L. Bachelier., Theorie de la speculation. Annales de l'Ecole Normale Supérieure, V.17. 1990, pp.21-86

[48] Kendall M.G., The analysis of economic time-series. Part 1. Prices. Journalof the Royal Statistical Society V.96. 1953, pp. 11-25

[49] Ито К., Маккий Г. Диффузионные процессы и их траектории, пер. с англ. Изд.:М. 1968, 396с.

[50] Jeanblanc РМ., Yor M., Chesney M. Mathematical Methods for Financial. Springer Finance / Springer Finance Textbooks. 2009, 732p.

[51] Рогозин Б.А. О некоторых классах процессов с независимыми приращениями. Теория вероятностей и ее применения Т. 10. 1965, 615 с.

[52] Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. Industrial Managment Review, V.6. 1965, pp.13-31

[53] Vegle S.R. Stocs, Options,Fuures. New York: Institute of Finance, Prentice Hall. 1987, 312p.

[54] Глушков В.М., Амосов Н.М., Артеменко И.А. Энциклопедия кибернетики. Том 2. Изд.: Киев. 1974, 624с.

[55] Merton R. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and Management Science №4. 1973, pp. 141-183.

[56] Merton R. On estimating the expected return on the market. An exploratory investigation, Journal of Financial Economics, №8. 1980, pp.323-361.

[57] Beckers, S. Variance of security price returns based on high, low, and closing prices. Journal of bussines №56. 1983 pp.97-112.

[58] Garman, M., andM. J. Klass On the Estimation of Security Price Volatilities From Historical Data. Journal of Business, №53. 1980 pp. 6778.

[59] Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. 1979, 528 с.

[60] Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения: Пер. с англ./Под ред. Ю.В. Лииника. М.: Наука. 1968, 548 с.

[61] L. С. G. Rogers, , and S. Е. Satchell Estimating Variance From High, Low and Closing Prices. The Annals of Applied Probability, №4. 1991 pp. 504-512.

[62] Li K., Weinbaum D. The Empirical Performance of Alternative Extreme Value Volatility Estimators. Working Paper. Stern School of Business, New York. 2000. www.stren.nyu.edu

[63] Barone-Adesi G., Whaley R., Efficient Analytic Approximation of American Option Values. Journal of Finance №41. 1987, pp. 301-320.

[64] Becker R., Clements A. E., White S.I., On the informational efficiency of SP500 implied volatility. North American Journal of Economics and Finance, № 17. 2006, pp. 139-153

[65] K.Yang, D., and Q. Zhang Drift-independent Volatility Estimation Based on High, Low, Open and Close Prices. Journal of Business № 73 (3). 2000, pp. 477-491.

[66] Cont R., Tankov P. Financial Modeling with Jump Processes. Chapman and Hall, CRC. 2004, 535 p.

[67] Slepaczuk R., Zakrzewski G. High-Frequency and Model-Free Volatility Estimators. Warsaw. 2009, 36 p.

[68] Magdon-Ismail, M. and A.A. Atiya A maximum likelihood approach to volatility estimation for a Brownian motion using the high, low and close. Quantitative Finance, №3(5). 2003, pp. 376-384.

[69] Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

[70] Pedersen A.R. A new approach to maximum likelihood estimation for stochastic differential equations based on discrete observations. Scand.J. Statistics №22. 1995 pp.55 - 71.

[71] Domine M. First passage time distribution of a wiener process with drift concerning two elastic barriers. Journal of Applied Probability №33. 1996 pp. 164-175.

[72] Saichev A., Sornette D., Filimonov V. Most Efficient Homogeneous Volatility Estimators. ETH Zurich working paper. 2009. http://ssrn.com/abstract=1470004.

[73] Andersen T.G., Bollerslev Т., Diebold F.X, Ebens H. The Distribution of Realized Stock Return Volatility. Journal of Financial Economics №61. 2001, pp. 43-76.

[74] Andersen Т., Bollerslev Т., Diebold F., and P. Labys The Distribution of Realized Exchange Rate Volatility. Journal of American Statistical Association №96. 2001, pp. 42-55.

[75] Andersen, Т.G.Some reflections on analysis of high-frequency data. Journal of Business Economic Statistics № 18. 2000, pp. 146-153

[76] Andersen, Т., Bollerslev T. Intraday periodicity and volatility persistence in financial markets. Journal of Empirical Finance № 4. 1997, pp. 115-158

[77] Алехин Б. Ликвидность и микроструктура рынка государственных ценных бумаг. Рынок Ценных Бумаг №20. 2001. http://www.old.rcb.ru/Archive/articles.asp?id==2216

[78] L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung, and F. Marchesoni. Stochastic resonance Rev. Mod. Phys. №70 (223). 1998 pp. 64-73.

[79] V. S. Anishchenko, A. B. Neiman, F. Moss, and L. Schimansky-Geier Stochastic resonance: noise-enhanced order. Phys.Usp. V.42. 1999, pp.6875.

[80] D Valenti, A Fiasconaro, В Spagnolo Stochastic resonance and noise delayed extinction in a model of two competing species, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications V. 331 (3). 2004, pp. 477-486

[81] N. V. Agudov, B. Spagnolo, Noise-enhanced stability of periodically driven metastable states. Phys. Rev. E V.64. 2001, pp. 1-4.

[82] A. A. Dubkov, N. V. Agudov and B. Spagnolo Noise-enhanced stability in fluctuating metastable states Phys. Rev. E V.69. 2004, 1724-1729pp.

[83] P.W. Anderson, K.J. Arrow and D. Pines. The economy as an evolving complex system. Addison Wesley Longman XX. 1988, 316-319 pp.

[84] R.N. Mantegna and H.E. Stanley An introduction to econophysics: correlations and complexity in finance. Cambridge University Press. 2000, 147p.

[85] J.-P. Bouchaud and M. Potters Theory of financial risks. Cambridge University Press. 2000, 210p.

[86] R Cont (Editor in Chief): Encyclopedia of Quantitative Finance. Wiley. 2010, p. 223.

[87] I.I. Gikhman, A.V. Skorokhod. The Theory of Stochastic Processes II. Series: Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg & New York. 1975, 218p.

[88] A.N. Borodin, P. Salminen. Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae. Second Edition, Birkhäuser-Verlag, Basel Boston Berlin. 2002, 672p.

[89] M. Jeanblanc, M. Yor, M. Chesney. Mathematical Methods for Financial Markets. Springer-Verlag, Dordrecht Heidelberg London & New York. 2009, 650p.

[90] A. Saichev, Y. Malevergne, D. Sornette. Theory of Zipf's Law and Beyond. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 632. Springer Verlag, Dordrecht Heidelberg London & New York. 2010, 184p.

[91] W. Feller. Annals of Mathematical Statistics, V.22, №3. 1951, pp.427-432