Экстремальные полиномы на нескольких отрезках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Привалов, Иван Александрович

• Привалов, Иван Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Привалов, Иван Александрович

Введение

1 Оптимальные и экстремальные рациональные функции на нескольких отрезках

1. 1 Общие определения.

1.2 Обобщение теоремы Чебышева об альтернансе.

1.3 Связь оптимальных рациональных дробей с рациональными дробями, наименее уклоняющимися от нуля.

1.4 Обобщение теоремы Фишера на случай произвольного количества отрезков

1.5 Общий вид решения экстремальной задачи для оптимальных рациональных функций с фиксированным знаменателем.

1.6 Приближение — полиномами на двух симметричных отрезках.

2 Неравенства для рациональных функций с фиксированным знаменателем

2.1 Общие определения.

2.2 Обобщение неравенства Шура для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Привалов, Иван Александрович, 2007 год

1. Agarwal R.P., Milovanovic G.V. Extremal problems, inequalities, and classical orthogonal polynomials //Appl. Math. Comput. 2002. V.128. P.151-166.

2. Akhieser N.I. Uber einige Funktionen, die in gegebenen Intervallen am wenigsten von Null abweichen // Bull. Soc. Phys.-Mathem. Kazan. Ser.3. 1928. V.3. N2. P.l-69.

3. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen, I // Изв.АН СССР.Отд.матем. и естеств. н. 1932. N9. С.1163-1202.

4. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwal len am wenigsten von Null abweichen,II // Изв.АН СССР. Отд. матем. и естеств.н. 1933. N3. С.309-344.

5. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, weiche in zwei gegebenen In terwallen am wenigsten von Null abweichen,III // Изв.АН СССР. Отд.матем. и естеств.н. 1933. N4. С.449-536.

6. Ахиезер Н.И., Левин Б.Я. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от целых функций // Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, сб. статей под ред. А.И.Маркушевича. М.:ГИФМЛ, 1960. С.111-165.

7. Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 1980. Т.27. С.539-547.

8. Baran М. Complex equilibrium measure and Bernstein type theorems for compact sets in Rn // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V.123. P.485-494.

9. Бари H.K. Обобщение неравенств С.Н.Бернштейна и А.А.Маркова // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1954. Т. 18. N2. С. 159-176.

10. Белых В.М., Малоземов В.Н. Наилучшая рациональная аппроксимация на системе отрезков // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1.1978. Вып.2. С.5-8.

11. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Собрание сочинений. T.I. М.: Изд-во АН СССР, 1952. С.3-104.

12. Богатырев А.Б. Эффективное вычисление многочленов Чебышева на нескольких отрезках // Матем. сб. 1999. Т. 190. N11. С. 15-50.

13. Богатырев А.Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении //Матем. сб. 2002. Т. 193. N12. С.21-41.

14. Буланов А.П. Асимптотика наилучшей рациональной аппроксимации функции signxll Матем. сб. 1975. Т.96. N12. С.171-178.

15. Borwein P.B. Markov's and Bernstein's inequalities on disjoint intervals // Can. J. Math. 1981. V.33.N1. P.201-209.

16. Borwein P.B., Erdelyi T. Markov and Bernstein type inequalities on subsets of -1,1] and [-ж,ж] //ActaMath. Hung. 1994. V.65. P.189-194.

17. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and polynomial inequalities. N.Y.: Springer, 1995.

18. Carlson B.C., Todd J. Zolotarev's first problem the best approximation by polynomials of degree <n- 2 to x" - nax"~x in -1,1] // Aequation. Math. 1983. V.26. P.l-33.

19. Чебышев П.Jl. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С.611-648.

20. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций // Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С.462-578.

21. Черных Н.И. О некоторых экстремальных задачах для полиномов // Тр. МИАН. Т.78. С.48-89.

22. Chui С.К., Hasson М. Degree of uniform approximation on disjoint intervals //Рас. J. Math. 1983. V.105. P.291-297.

23. Cuenya H.H., Rodriguez C.N. Rational approximation in Ьф spaces on afinite union of disjoint intervals // Num. Funct. Anal. Optim. 2002. V.23. P.747-755.

24. Driscoll T.A., Toh K.-C, Trefethen L.N. From potential theory to matrix iterations in six steps // SIAM Rev. 1998. V.40. P.547-578.

25. Erdelyi Т., Kroo A., Szabados J. Markov-Bernstein-type inequalities on compact subsets of R // Anal. Math. 2000. V.26. P.17-24.

26. Дзядык B.K. О теории приближения функций на замкнутых множествах комплексной плоскости (a propos одной проблемы СМ. Никольского) // Тр. МИАН. 1975. Т. 134. С.63-114.

27. Dzyadyk V.K. On a problem of Chebyshev and Markov // Analysis Math. 1977. V.3. N3. P.171-175.

28. Дзядык B.K. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

29. Erdelyi Т., Kroo A., Szabados J. Markov-Bernstein-type inequalities on compact subsets of R // Anal. Math. 2000. V.26. P.17-24.

30. Fisher B. Polynomial Based Iteration Methods for Symmetric Linear Systems. Wiley-Teubner. 1996.

31. Fuchs W.H.J. On the degree of Chebyshev approximation on sets with several components // Изв. Акад. Наук Арм. ССР, Матем. 1978. Т.13. С.396-404.

32. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on sets with several components // Aspects of contemporary complex analysis. Durham, 1980. P.399-408.

33. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on several disjoint intervals // Complex approximation. Quebec, 1980. P.67-74.

34. Golinskii L., Lubinsky D.S., Nevai P. Large sieve estimates on arcs of a circle // J. Number Theory. 2001. V.91. P.206-229.

35. Гончар A.A. О наилучших приближениях рациональными функциями II Докл. АН СССР. 1955. Т.100. С.205-208.

36. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучшей аппроксимации на замкнутых множествах // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. С.25-28.

37. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. С.347-356.

38. Гончар А.А. Скорость рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями // Матем. сб. 1967. Т.73. С.630-638.

39. Горин Е.А. Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов // Вестн. Харьк. ун-та. 1980. N205. С.77-105.

40. Freund R. On polynomial approximations to fa(z) = (z-a)~l with complex a and some applications to certain non-Hermitian matrices. // Approximation Theory Appl. 1989. No. l.P Л 5-31 (1989).

41. Freund R. On some approximation problems for complex polynomials // Constructive Approxymation. 1988. No .4. P. 111 -121.

42. Hasson M. The degree of approximation by polynomials on some disjoint intervals in the complex plane // J. Approx. Theory. 2007. V.144. P.l 19-132.

43. Kobindarajah C.K., Lubinsky D.S. L Markov-Bernstein inequalities on allarcs of the circle // J. Approx. Theory. 2002. V.l 16. P.343-368.

44. Крашенинникова Ю.В., Широков H.A. Аппроксимация многочленами в Lp -метрике на непересекающихся отрезках // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2000.Т.270. С. 175-200.

45. Крупицкий Э.И. Об одном классе полиномов, наименее уклоняющихся от нуля на двух интервалах // Докл. АН СССР. 1961. Т.138. С.533-536.

46. Лебедев В.И. Об итерационных методах решения операторных уравнений со спектром, лежащим на нескольких отрезках // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1969. Т.9. С.1247-1252.

47. Lebedev V.I. Extremal polynomials with restrictions and optimal algorithms // Advanced Mathematics: Computations and Applications (eds. A.S.Alekseev and N.S.Bakhvalov). Novosibirsk:NCS Publ., 1995. P.491-502.

48. Лебедев H.A., Тамразов П.М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной плоскости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т.34. С. 1340-1390.

49. Levy R. Generalized rational function approximation in finite intervals using Zolotarev functions // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1970. V.l8. P. 10521064.

50. Lubinsky D.S. Lp Markov-Bernstein inequalities on arcs of the unit circle // J. Approx. Theory. 2001. V.l08. P.l-17.

51. Лукашов А.Л. О задаче Чебышева-Маркова на двух отрезках // Сарат. ун-т. Деп. В ВИНИТИ 01.11.1989, N6615-В89.

52. Lukashov A.L. On Chebyshev-Markov Rational Functions over Several Intervals // J. Approx. Theory. 1998. V. 95. P. 333-352.

53. Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т.68. N3. С.115-138.

54. Лукашов А.Л. Интерполяционные процессы на нескольких отрезках // Изв. СГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып.1. 2005. Т.5. С.34-38.

55. Malozemov V.N. Best rational approximation on a system of intervals // Nonsmooth optimization methods and applications (Girmessi F.,ed.). Singapore: Gordon Brench, 1992. P.217-227.

56. Малышев В.А. Клеточная структура пространства вещественных полиномов // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15. N2. С.40-127.

57. Марков А.А. Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.244-291.

58. Марков А.А. Об одном вопросе Д.И.Менделеева // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.51-75.

59. Мейман Н.Н. К теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля //Докл. АН СССР. 1960. Т. 130. С.257-260.

60. Мейман Н.Н. Решение основных задач теории полиномов и целых функций, наименее уклоняющихся от нуля // Тр. Моск. Мат. об-ва. 1960. Т. 9. С.507-535.

61. Межевич К.Г., Широков Н.А. Полиномиальная аппроксимация на непересекающихся отрезках // Проблемы математического анализа. 1998. Вып. 18. С.118-138.

62. Межевич К.Г., Широков Н.А. Об одном классе функций на непересекающейся системе отрезков // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1999. Т.262. С. 172184.

63. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: ГИТТЛ, 1941.

64. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1982.

65. Peherstorfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervals // J. Сотр. Appl. Math. 1993. V.48. P. 187-205

66. Peherstorfer F. Minimal polynomials on several intervals with respect to the maximum-norm — a survey // Complex methods in approximation theory (eds. A.M.Finkelshtein et al.), Almeria: Univ. Almeria, 1997. P. 137-159.

67. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle, Il.Orthogonal polynomials with periodic reflection coefficients // J. Approx. Theory. 1996. V.87. P.60-102.

68. Peherstorfer F., Steinbauer R. Strong asymptotics of orthonormal polynomials with the aid of Green's function // SI AM J. Math. Anal. 2000. V.32. P.385-402.

69. Перельман ?? О нескольких задачах на экстремум интегралов. // Вестник Харьковского университета. Сер. Математика и механика. Вып.35. 1971. С.29-39.

70. Петухов А.П. Об ужах и приближении разрывных функций в метрике Хаусдорфа // Analysis Mathem. 1985. V.U. Р.55-73.

71. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. Кн. 1,2. Саратов: изд-во СГУ, 1990.

72. Привалов А.А. Аналоги неравенства А.А.Маркова. Приложение к интерполированию и рядам Фурье // Тр. МИАН. 1983. Т. 164. С.142-154.

73. Privalov I.I. Sur la convergence des series trigonometriques conjugees // С R. Acad. Sc. Paris. 1916. V.162. P. 123-126.

74. Привалов И.И. Интеграл Cauchy // Изв. Сарат. ун-та. Физ.-мат. ф-т. 1918. Вып.1. С.1-94.

75. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций, 2-е изд. М.-Л.:Гостехиздат, 1950.

76. Rahman Q.I., Schmeisser G. Les inegalites de Markoff et de Bernstein. Montreal: Presses Univ. Montreal, 1983.

77. Рахметов H.K. Равномерная аппроксимация непрерывных функций на непересекающихся интервалах // Изв. ВУЗов. Матем. 1988. N3. С. 78-80.

78. Rivlin T.J. Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory. 2nd ed. N.Y.:Wiley and Sons, 1990

79. Robinson R.M. Conjugate algebraic integers in real point sets // Math. Zeit. 1964.Bd.84. S.415-427.

80. Robinson R.M. Intervals containing infinitely many sets of conjugate algebraic units // Ann. Math. 1964. V.80. P.411-428.

81. Русак B.H. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: Изд-во БГУ, 1979.

82. Широков Н.А. Аппроксимация многочленами на компактных множествах с дополнением бесконечной связности // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. N1. С.248-264.

83. Широков Н.А. Обратная теорема приближения на бесконечном множестве отрезков // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2002. Т.290. С. 168-176.

84. Скалыга В.И. Многомерные аналоги неравенств В.А.Маркова и С.Н.Бернштейна // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. Т.65. N6. С.129-172.

85. Содин М.Л., Юдицкий П.М. Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах вещественной оси // Алгебра и анализ. 1992. Т.4. N2. С. 1-62.

86. Шталь Г. Наилучшие рациональные аппроксимации |х| на -1,1] // Матем. сб. 1992. Т. 183. N11. С.85-118.

87. Szabados J. Polynomial approximation on disjoint intervals // Approximation theory and functional analysis. 1984. P.257-267.

88. Szezgo G. On a problem of the best approximation // Abh. Math. Univ. Hamburg. 1964. B.27. S.193-19

89. Talbot A. On a class of Tschebysheffian approximation problems solvable algebraically //Proc. Cambr. Phil. Soc. 1962. V.58. P.244-266.

90. Теляковский C.A. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИАНе // Тр. МИАН. 1988. Т.182. С. 128-179.

91. Тихомиров В.М. Теория приближений // ИНТ ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. М.,1987. С. 103260.

92. Todd J. Applications of transformation theory: a legacy from Zolotarev (1847-1878) // Approximation theory and spline functions (Singh S.R., Ed.). Dordrecht:Dr.Reidel Publ.,1978. P.207-245.

93. Totik V. Polynomial inverse images and polynomial inequalities // ActaMath. 2001. V.187. P. 139-160.

94. Totik V. How to prove results for polynomials on several intervals? // Approximation Theory: a volume dedicated to B.Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P.397-410.

95. Totik V. On Markoffs inequalities // Constr. Approx. 2002. V.18. P.427-441.

96. Виденский B.C. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период // Докл. АН СССР. 1960. Т.130. N1. С.13-16.

97. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962. Т.26. С.415-426.

98. Виденский B.C. О тригонометрических многочленах полуцелого порядка //Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-матем. н. 1964. Т.17. N3. С.133-140.

99. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane // Adv. Math. 1969. V.3. P. 127-232.

100. Вячеславов H.C. О равномерной аппркосимации |x| рациональнымифункциями //Докл. АН СССР. 1975. Т.220. С.512-515.

101. Yuditskii Peter. A complex extremal problem of Chebyshev type // Journal d'analyse mathématique. 1999. Vol. 77. P. 207-235.

102. Золотарев Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Полн. собр. соч. Т.2. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1932. С Л-59.

103. Привалов И.А. Обобщение неравенства Шура на случай нескольких отрезков // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11 зимней школы. Саратов: Изд-во СГУ, 2002. С. 57.

104. Привалов И.А. Неравенства для рациональных функций // Изв. СГУ. Сер. Математика. Механика. Сборник научных трудов. Саратов: Изд-во СГУ,2003. С.45.

105. Привалов И.А. Связь оптимальных рациональных функций с функциями Чебышева-Маркова на нескольких отрезках // Международная конференция «Информационные технологии в естественных науках». Тезисы. Энгельс: Изд-во ЭПИ, 2003. С. 110-111.

106. Привалов И.А. Обобщение неравенства Шура // Изв. СГУ. Сер. Математика. Механика. Сборник научных трудов. Саратов: Изд-во СГУ,2004. С.51-52.

107. И.А.Привалов, Приближение 1/х полиномами на -1,-а]и[а,1]. Математические заметки, 2007, т. 81, вып. 3, В. 472-473.