Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве L0 на отрезке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Глазырина, Полина Юрьевна

• Глазырина, Полина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глазырина, Полина Юрьевна

Список обозначений

1 Неравенство разных метрик (неравенство Никольского)

2 Неравенство братьев Марковых в Lq

3 Неравенство Маркова-Никольского

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве L0 на отрезке»

Функционал |М|о является естественным обобщением понятия геометрического среднего нескольких чисел на пространства функций. Одними из первых его начали изучать Г. Харди и Ф. Рисс (см. [13, гл. VI, п. 6.7], [34]). В начале 60-х годов прошлого века К. Малер [29, 30] применил его для исследования проблем теории чисел. Важность «нормы» Lq в теории функций стала ясна после работы В. В. Арестова 1981 года [1], посвященной неравенству Бернштейна для алгебраических многочленов в 0 ^ q < 1, на окружности (и, как следствие, для тригонометрических полиномов на периоде). К настоящему времени многие экстремальные задачи в Lq на окружности изучены достаточно подробно. Задачи для алгебраических многочленов в пространстве Lq на отрезке исследованы в существенно меньшей степени.

Точные значения величины Mq>p(n, к) найдены лишь в частных случаях. В следующей таблице приведены известные автору точные результаты для 0 < q, р ^ оо, включая результаты диссертации, относящиеся к случаю q — 0. Через Pn(t; а) обозначены (ультрасферические) многочлены ортогональные на отрезке [—1,1] с весом (1 — t2)01.

3) Здесь z* = arg max ||f — — гЦ^, в частности, z* = 0 при (п — k)2q ^ к.

На множестве тригонометрических полиномов на периоде (алгебраических многочленов на окружности) неравенства типа (0.2) также имеют богатую историю. Этой тематикой занимались Д. Джексон [25], С. М. Никольский [9], С. Б. Стечкин, Н.К. Бари [3], В. И. Иванов [4], В. В. Арестов [1, 2], В. М. Бадков [18], В. Ф. Бабенко [17], А. И. Козко [27] и многие другие математики.

Аналогичная (0.2) задача для многочленов на единичной окружности решена В. В. Арестовым. В его работе [2] (см. также [1]) доказано, что Lq и Lo-средние произвольных многочленов Q, Р е Vn и их композицииCere QPсвязаны неравенством||QP(e^)||g[oi27r] ^ ||Q(eft)ll9[o,2,r] ||Р(ей)11о[о,йф 0 < q ^ oo.

2. В § 1 диссертации исследуется неравенство (0.2) в случае к = 0, 0 < q ^ оо (неравенство Никольского) с весом.

1) Имеет место равенство Mq(n,0,w) = M"q(l, 0, w).

3) При тг = 1,0<д^оо экстремальные многочлены неравенства (0.6) имеют eudc(t — z*), с Е С, и корни z* всех экстремальных многочленов принадлежат отрезку [—1,1].

В силу этой теоремы исследование неравенства (0.6) при п ^ 1 сводится к случаю п=1. Следующая теорема посвящена именно этому случаю для единичного веса.

Теорема 2 При п = 1 для единичного веса w{t) = 1, t Е [—1,1], относительно неравенства (0.6) справедливы следующие утверждения.

Соответственно, z*(q) непрерывно убывает от 2*(4-0) = доz* (оо). Эти две величины имеют следующие приближенные значения 2:*(+0) = 0.83355655., z*(oo) = 0.56437658.

В конце § 1 приведена таблица значений z*(q) и Mq{ 1, 0) для некоторых конкретных q.

В § 2 найдена точная константа в (0.2) для 1 ^ k ^ п, q = 0 (неравенство братьев Марковых в Lq).

Интересно отметить, что при g > 0 порядок роста точной константы в неравенстве братьев Марковых Мя>д(п,к) есть п2к (см. (0.5)), в предельном же случае q = 0 величина Мо(п, к) = Мо,о(п, к) растет по п уже как пк.

Неравенство (0.3) достаточно хорошо изучено в случае алгебраических многочленов на окружности. Впервые оно возникло в работе К. Малера [29]. Он показал, что точная константа, обозначим ее в этом случае х(п), не превосходит 2". Р. Данкен [22] нашел лучшую оценку сверху, а именно, (C2nJ1/2. Наиболее точные оценки х{п) получил в 1990 г. В. В. Арестов [2]. Он доказал, чтоir^xM, 1; xM^iT, n ^ 6.

В этих оценках г = ехрJq ' b(2cos£)c^ = 1.7916., R = \/40 = 1.8493.

Теорема 5 Для точной константы в неравенстве (0.3) справедливы оценкиirn ^ ae(n), п ^ 1; ае(п) < п ^ 3.

В этих неравенствах г = 1 + у/2 = 2.4142., а величина R определена формулой (0.9) и имеет приближенное значение R = 2.6457.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глазырина, Полина Юрьевна, 2005 год

1. ТИМАН, А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: ГИФМЛ, 1960.12. фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегральногоисчисления. В 3 т. Т. III. СПб.: Изд-во Лань, 1997.

2. Харди, Г. Г., Литтлвуд, Дж. е., Полна, Г. Неравенства.М.: ИЛ, 1948.

3. Хейман, У., Кеннеди, П. Субгармонические функции. М.: Мир,1980.

4. Чебышев, П. Л. Поли. собр. соч. Т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1947.С. 169.

5. Чебышев, П. Л. Полн. собр. соч. Т.З. М.-Л., 1948. - С. 128-131.

6. JACKSON D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer.Math. Soc. 1933. - №39. - P. 889-906.

7. Korkine, A., Zolotareff, G. Sur un certain minimum // Nouv.Ann. Math. Ser. 2. 1873. - Ж 12. - P. 337-355.

8. Kozko, A. I. The exact constants in the Bernshtein-Zigmund-Szegoinequalities with fractional derivatives and the Jackson-Nikolskii inequality for trigonometric polynomials // East J. Approx. 1998.- V.4. №3. - P. 391-416.

9. Labelle, G. Concerning polynomials on the unit interval // Proc.Amer. Math. Soc. 1969. - №20. - P. 321-326.

10. MAHLER, K. An application of Jensen's formula to polynomials //Matematika. 1960. - V. 7. - № 14. - P. 98-100.

11. MAHLER, K. On some inequalities for polynomials in several variablesJ. London Math. Soc. 1962. - №37. - P. 341-344.

12. MlLOVANOVlC, G. V. Various extremal problems of Markov's type foralgebraic polynomials // Facta Univ. Ser. Math. Inform. 1987. -№ 2. - P. 7- 28.

13. MlLOVANOVlC, G.V., MITRINOVIC, D. S. AND RASSIAS, TH. M.Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. -Singapore: World Scientific. XIII, 1994.

14. MITRINOVIC, D.S., VASIC, P.M. Analiticke nejednakosti. Beograd:Gradevinska knjiga, 1970.

15. RlESZ, F. Sur les valeurs moyennes des fonctions // Journal L. M. S.1930. 5. -P. 120-121.

16. Stein, E. M., and Weiss, G. Introduction to fourier analysis oneuclidean spaces. Princeton mathematical series, No. 32. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1971.

17. ГлАЗЫРИНА, П. Ю. Неравенство треугольника для алгебраическихмногочленов в пространстве Lq на отрезке // Изв. Урал. гос. унта. Математика и механика. Вып. 6. 2004. - №30. - С. 37-42.

18. ГЛАЗЫРИНА, П. Ю. Слабое неравенство треугольника для алгебраических многочленов на отрезке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 72-73.