Эквивариантные кокомпактные бордизмы для собственных действий дискретной группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Моралес Мелендес Китсе

• Моралес Мелендес Китсе
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моралес Мелендес Китсе

Введение

1 Обозначения и вспомогательные результаты о действиях дискретных групп

1.1 Семейства конечных подгрупп

1.2 Линейные представления семейства конечных подгрупп.

1.3 Собственные действия на ко-компактных пространствах

1.4 Гладкие собственные действия и неподвижные точки.

2 Описание ^-расслоений на (^-пространствах с квази-свободным собственным действием дискретной группы G

2.1 Постановка задачи.

2.2 Описание частного случая

2.3 Описание общего случая квази-свободного векторного расслоения.

2.4 Случай, когда подгруппа Н < G не является нормальной.

Оглавление

2.5 Неподвижные точки.

3 Эквивариантные бордизмы для собственных действий дискретной группы

3.1 Спектральная последовательность.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эквивариантные кокомпактные бордизмы для собственных действий дискретной группы»

Актуальность темы. Изучению множеств неподвижных точек гладких отображений и их инвариантов посвящено множество трудов.

В 1945 году, в связи с разработкой пятой проблемы Гильберта, С. Бохнер доказал линеаризуемость ее действия на близости неподвижных точек, применив меру Хаара в компактной группе.

С тех пор возник ряд вопросов о свойствах множеств неподвижных точек. Например, возник вопрос о том, какие многообразия можно встретить в качестве неподвижных точек действия некоторой компактной группы, — в частности, какова их размерность. Также возникли вопросы о линейных представлениях в разных точках многообразия.

В начале 60-х годов Коннер и Флойд [2], пытаясь привлечь современные методы алгебраической топологии для применения в задачах о неподвижных точках, обосновали теорию экви-вариантных бордизмов, создали так называемую фикспойнт-конструкцию и показали в конкретных примерах мощность этой теории. Они разработали методы описания бордизмов со свободным действием конечной группы в терминах ее классифицирующего пространства и применили свою конструкцию для вычисления бордизмов гладких инволюций.

А.С. Мищенко [1] в 1969 году применил эту конструкцию для описания бордизмов с действием циклической конечной группы простого нечетного порядка. В результате была получена длинная точная последовательность для этих бордизмов в терминах бордизмов со свободным действием и бордизмов многообразий, оснащенных структурой нормального (векторного, конечномерного) расслоения.

Большинство проблем и задач о неподвижных точках были успешно решены только для конкретных примеров компактных или конечных групп.

Тем, кому интересны результаты исследований по данной теме, рекомендуется посмотреть собрание трудов [21] конференции 1987 года, проведенной в Осаке, Япония. Основные учебные ссылки даны на книги Бредона [22], Кавакубо [20] и Дика [19].

Однако в конкретных примерах часто встречаются бесконечные дискретные группы и некомпактные группы Ли, которые, как правило, являются локально компактными. Таким образом, возникает проблема, с одной стороны, о редукции геометрических инвариантов действия групп к инвариантным действиям ее компактных или конечных подгрупп и, с другой, к инвариантным пространствам орбит. Решение последнего вопроса хорошо известно в случае свободных действий и независимо от конечное™ или компактности действующих групп. Решение первой проблемы неизбежно приводит к проблеме описания неподвижных точек.

Было отмечено [3], что один из главных инструментов для того, чтобы перевести топологические и геометрические свойства пространства с действием группы на пространство орбит — это существование так называемых орбитных разрезов, так как они позволяют применить теорию однородных пространств. Действия, для которых существуют разрезы, называются собственными. При них сохраняются хорошие топологические свойства. Также было доказано, что для других, более общих, классов действий топологические свойства уже не наследуются пространством орбит.

В настоящее время одной из основных задач в случае собственных действий является установление или опровержение достоверности всех фактов теории свободных действий.

В частности, наши усилия направлены на редукцию вычисления сигнатуры многообразия с собственным действием дискретной группы к ее вычислению на неподвижных точках. Подобные формулы можно найти для конечных групп и компактных многообразий [24].

Недавние работы С. Ильмана [16] и его ученика Т. Корп-пи [17] о инвариантных триангуляциях подтверждают, что выбранный нами путь перспективен.

Цель работы. Целью работы является получение спектральной последовательности для бордизмов многообразий с квази-свободным действием дискретной группы, а также вычисление первого члена этой спектральной последовательности и описание эквивариантных векторных расслоений с квазисвободным действием.

Методы исследования. В данной работе применяются методы алгебраической топологии (спектральные последовательности, теория эквивариантных бордизмов, классифицирующие пространства) и топологии многообразий.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

В диссертации получены следующие результаты:

• Получено описание эквивариантных конечномерных векторных расслоений с квази-свободным действием дискретной группы в терминах классифицирующих пространств группы и ее подгрупп и линейных представлений конечных подгрупп.

• Получена спектральная последовательность для бордиз-мов многообразий с квази-свободным действием дискретной группы по фильтрации, заданной структурой множеств неподвижных точек различного ранга.

• Получено описание первого члена указанной спектральной последовательности.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к эквивариантной алгебраической топологии и могут применяться при исследовании многообразий с квази-свободным действием бесконечных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

На семинаре "Некоммутативная геометрия и топология" механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. А. С. Мищенко.

На международной конференции "С*-алгебры и эллиптическая теория III" (Бедлево, Польша, 26-31 января 2009 г.).

На семинаре по топологии Института Математики Национального Автономного Университета Мексики под руководством преподавателя-ученого Хосе Луиса Сиснероса Молины.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [8, 9, 10].

Структура работы. Работа состоит из введения, 3 глав и списка литературы, содержащего 24 наименование. Общий объем диссертации — 88 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моралес Мелендес Китсе, 2010 год

1. Мищенко А. С. Бордизмы с действием группы Zp и неподвижные точки. Матем. сборник Т. 80(122), № 3(11), 1969.

2. P. Conner, Е. Floyd. Differentiable periodic maps. Berlin, Springer-Verlag 1964.

3. Palais R.S. On the Existence of Slices for Actions of Non-Compact Lie Groups Ann. Math., 2nd Ser., Vol. 73, No. 2. (1961), pp. 295-323.

4. Bochner, S. Compact groups of differentiable transformations Ann. of Math 46(1945), 372-381.

5. Atiyah M.F., K-theory. Benjamin, New York, (1967).

6. Luke G., Mishchenko A. S., Vector Bundles And Their Applications. Kluwer Academic Publishers Group (Netherlands), 1998. ISBN: 9780792351542

7. Serre J.P., Representations linedires des groupes finis. Hermann, Paris. 1967.

8. Моралес Мелендес К. Бордизмы многообразий с собственным действием дискретной группы. Вестн. Моск. ун-та, сер. 1, Математика. Механика. 2010. No.2, с.57-59.

9. Моралес Мелендес К. Описание G-расслоений на G-пространствах с квази-свободным действием дискретной группы II. деп. в ВИНИТИ №717-В2009 от 24.11.2009

10. Моралес Мелендес К. Бордизмы многообразий с собственным действием дискретной группы, деп. в ВИНИТИ Ж718-В2009 от 24.11.2009

11. Rowlett R. The fixed-point construction in equivariant bordism Trans, of Am. Math. Soc., Vol. 246 (1978), pp. 473-481.

12. Levine M., Serpe C.,On a spectral sequence for equivariant K-theory K-Theory (2008) 38 pp. 177-222

13. Beyl F.R., Tappe J ^Groups Extensions, Representations, and the Schur Multiplicator. Springer-Verlag (Berlin Heidelberg), 1982. ISBN 354011954X

14. Brown K.S. Cohomology of groups. Springer-Verlag (New York Heidelberg Berlin), 1982.

15. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups. II. Group extensions with a non-abelian kernel. Ann. Math., 1947, (2) 48, p. 326-341.

16. Illman, S. Existence and Uniqueness of equivariant triangulations of smooth proper G-manifolds with some applications to equivariant Whitehead torsion, J. Reine Angew. Math. 524 (2000), 129-183

17. Korppi T. Equivariant triangulations of differentiable and real-analytic manifolds with a properly discontinuousaction Annales Academise acientiarum fennicae matematica dissertationes 141: Helsinki, Suomalainen Tiedeakatemia, 2005.

18. Kawakubo, K., The Theory of Transformation Groups, Oxford Univ. Press, Oxford, 1991.

19. Kawakubo, K. Transformation Groups Proceedings of a Conference held in Osaka, Japan, Dec. 16-21, 1987. ISBN 3540-51218-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

20. Bredon, G.E., Introduction to Compact Transformation Groups, Pure and Applied Math. Vol. 46, Academic Press, 1972.

21. Spanier, Edwin H. Algebraic topology, Springer (New York Heidelberg Berlin), 1966.

22. Zagier, D.B. Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to Orbit Spaces. ISBN 3-540-06013-8. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1972