Электродинамический анализ плоской микрополосковой периодической структуры с нелинейными нагрузками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.07, кандидат технических наук Гамолина, Ирина Эдуардовна

• Гамолина, Ирина Эдуардовна
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гамолина, Ирина Эдуардовна

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. МИКРОПОЛОСКОВЫЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МОДЕЛИ

И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА

1.1. Применение микрополосковых структур

с нелинейными включениями в технике СВЧ

1.2. Методы исследования антенн с нелинейными

нагрузками

1.3. Учет нелинейных эффектов при проектировании интегральных схем СВЧ

1.4. Моделирование нелинейных рефлекторов

1.5. Нелинейно нагруженные частотно-селективные поверхности, выполненные на основе периодических решеток

1.6. Электродинамический подход к анализу рассеивателей

и излучателей с нелинейными контактами

1.7. Выводы

2. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОЙ МИКРОПОЛОСКОВОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ

СТРУКТУРЫ С НЕЛИНЕЙНЫМИ НАГРУЗКАМИ

2.1. Постановка задачи 2

2.2. Граничные условия

2.3. Интегральные соотношения для полей

2.4. Интегральные соотношения для полей рассеяния

2.5. Решение вспомогательных задач

2.6. Микрополосковая решетка с нелинейными включениями

2.7. Применение условия периодичности для задачи рассеяния

2.8. Выводы

53 61

3. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

3.1. Формулировка системы нелинейных алгебраических уравнений

3.2. Выбор базисных функций

3.3. Характеристики рассеяния 7

3.4. Пакет прикладных программ

3.5. Тестирование программ

3.6. Выводы

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

4.1. Сходимость численных расчетов

4.2. Отражение плоской электромагнитной волны от решетки с распределенными поверхностными нелинейными элементами (нелинейный рейфлектор)

4.3. Рассеяние плоской электромагнитной волны на микрополосковой решетке с сосредоточенной

поверхностной нелинейной нагрузкой

4.4. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Список принятых обозначений и сокращений

НЭ - нелинейный элемент

НГУ - нелинейные граничные условия

ДСК - Декартова система координат

ЦСК - цилиндрическая система координат

ССК - сферическая система координат

ЭМВ - электромагнитная волна

ЭМП - электромагнитное поле

ПВЭ - приемно-выпрямительный элемент

РЛС - радиолокационные станции

АФАР - активные фазированные антенные решетки

ИС - интегральные схемы

ОИС - объемные интегральные схемы

ВАХ - вольт-амперная характеристика

ЧСП - частотно-селективная поверхность

СНИУ - система нелинейных интегральных уравнений

СНАУ - система нелинейных алгебраических уравнений

ЭНР - эффект нелинейного рассеяния

ПСС - плоскослоистая среда

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электродинамический анализ плоской микрополосковой периодической структуры с нелинейными нагрузками»

Введение

Актуальность темы и состояние вопроса. Эффект нелинейного рассеяния (ЭНР), впервые обнаруженный при исследовании систем связи морских кораблей, состоит в том, что при облучении объектов с нелинейными характеристиками электромагнитной волной (ЭМВ) рассеянное электромагнитное поле (ЭМП) содержит спектральные составляющие, отсутствующие в спектре падающего поля.

Проведенные экспериментальные исследования показали, что источниками нелинейного рассеяния могут служить окисные пленки в местах соединений металлических конструкций, контакты «металл-диэлектрик-металл», ржавчина, сварные швы (источники ЭНР естественного происхождения), а также различные нелинейные полупроводниковые приборы - диоды, транзисторы, параметрические усилители (источники ЭНР искусственного происхождения). Уровень рассеянного поля на высших частотах зависит от электрофизических параметров нелинейно нагруженного объекта, характеристик облучающей ЭМВ, вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных включений и их взаимного расположения.

ЭНР проявляется в зависимости выходных характеристик нелинейно нагруженного устройства от уровня внешнего воздействия, появлении побочного излучения, образовании в режиме работы побочных каналов, при увеличении уровня используемых мощностей - нарушении электромагнитной совместимости и экологической обстановки.

Вместе с тем, эффект нелинейного рассеяния может быть использован для ряда прикладных задач, нерешаемых традиционными методами. Это -дистанционное обнаружение и распознавание объектов в условиях сильных фоновых отражений, создание радиолокаторов ближнего действия для осмотра

пассажиров в аэропортах; беспроводная передача энергии; выявление скрытых дефектов в промышленных изделиях, поиск терпящих бедствие людей, оснащенных заранее пассивными нелинейными рассеивателями - маркерами.

Перспективным направлением в технике СВЧ является использование нелинейно нагруженных устройств, выполненных по печатной технологии, что существенно расширяет диапазон возможного применения ЭНР. Микрополосковые структуры с нелинейными элементами (НЭ) могут служить основой для создания активных фазированных антенных решеток (АФАР), антенн-выпрямителей (ректенн), малогабаритных умножителей частоты, поляризаторов на основной и кратных частотах, частотно-селективных систем.

Применение нелинейных элементов в отражательных решетках позволяет управлять пространственно-временным спектром рассеянного поля путем его ослабления или усиления на основной и кратных частотах. Кроме того, преимуществом нелинейно нагруженных отражательных решеток по сравнению с одиночным нелинейным рассеивателем является повышение дальности и улучшение энергетических характеристик систем обнаружения.

До настоящего времени теоретическое исследование ЭНР проводилось по двум направлениям:

1) устройство с нелинейными нагрузками представлялось в виде эквивалентной схемы с сосредоточенными параметрами; анализ схемы проводился в рамках нелинейной теории цепей.

Представление электродинамической структуры в виде эквивалентной схемы невозможно при сложной геометрии объекта, является трудновыполнимой задачей в случае распределенной нагрузки (когда ток и напряжение на площади НЭ нельзя считать постоянными).

2) Для исследования ЭНР металлическими объектами с системой распределенных нелинейных нагрузок был применен электродинамический подход, основанный на решении краевой электродинамической задачи с нелинейными граничными условиями

(НГУ). На основе данного подхода изучалась нелинейная сферическая

антенна, исследовалось поле в волноводе с нелинейными стыками. Данный метод позволяет исследовать влияние электродинамических параметров объекта, нелинейных свойств нагрузок и характеристик облучающей волны (в случае рассеяния) на спектр излучаемого и рассеянного полей, рассматривать как сосредоточенные, так и распределенные нелинейные нагрузки.

Теоретическое изучение СВЧ устройств, выполненных по печатной технологии, с нелинейными включениями до сих пор проводилось в рамках первого направления, когда объект представлялся в виде эквивалентной схемы, что не учитывает все многообразие взаимодействий между различными модулями устройства.

Таким образом, актуальным является теоретический анализ на основе электродинамического подхода характеристик микрополосковой структуры с нелинейными нагрузками.

Целью диссертационной работы является исследование нелинейных электродинамических характеристик плоской микрополосковой периодической структуры с нелинейными нагрузками.

Задачи исследования:

- решение электродинамической задачи возбуждения и рассеяния электромагнитной волны на плоской микрополосковой периодической структуре с нелинейными нагрузками (как сосредоточенными, так и распределенными) методом интегральных уравнений с применением нелинейных граничных условий на поверхности нелинейного элемента;

- алгоритмизация задачи рассеяния для решетки микрополосковых элементов прямоугольной формы с поверхностными нелинейными нагрузками;

изучение основных закономерностей нелинейного рассеяния электромагнитной волны на периодической структуре.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

- сформулирована и решена электродинамическая задача возбуждения и рассеяния плоской микрополосковой структурой; структура представляет собой решетку микрополосковых элементов на диэлектрической подложке с примыкающим идеально проводящим экраном; между соседними полосками, а также между полоском и экраном, включены элементы с нелинейной ВАХ;

- алгоритмизирована задача рассеяния плоской монохроматической линейно-поляризованной ЭМВ микрополосковой решеткой с поверхностными нелинейными нагрузками;

- разработан пакет программ по расчету коэффициентов отражения на согласной и кроссовой поляризациях на основной и кратных частотах;

- проведено численное исследование задачи рассеяния электромагнитной волны на решетке идеально проводящих элементов, окруженных распределенной нелинейной нагрузкой; изучено влияние на нелинейное рассеяние электродинамических параметров структуры, свойств нелинейной нагрузки, характеристик облучающей волны; рассмотрен одномодовый и многомодовый режимы;

- проведено численное исследование задачи рассеяния электромагнитной волны на решетке микрополосковых элементов с включенной между соседними полосками сосредоточенной нелинейной нагрузкой; выявлены основные закономерности нелинейного рассеяния;

- выработаны рекомендации по выбору вольт-амперной характеристики нагрузки для решения ряда прикладных задач: электромагнитной совместимости, снижения электромагнитной заметности, использования структуры в качестве пассивного нелинейного маркера.

Практическая ценность результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем:

- получение новых знаний в области исследования эффекта нелинейного

рассеяния;

- реализация алгоритма расчета коэффициентов отражения на согласной и кроссовой поляризациях микрополосковой решетки с нелинейными включениями на частоте облучения и кратных частотах;

- выявление основных электродинамических закономерностей при рассеянии плоской электромагнитной волны микрополосковой решеткой с поверхностными нелинейными нагрузками;

- определение электродинамических параметров исследуемой структуры и нелинейных нагрузок, обеспечивающих пространственно-частотное перераспределение энергии падающей ЭМВ для решения задач электромагнитной совместимости радиоэлектронных систем;

- оценка достижимого уровня значений коэффициентов отражения на частоте третьей гармоники облучающего поля;

- исследование нелинейно нагруженной микрополосковой решетки в многочастотном режиме.

Полученные результаты позволили заключить, что решетка микрополосковых элементов с нелинейными включениями может служить основой для создания нелинейных маркеров в поиске терпящих бедствие людей, поскольку достижимый уровень коэффициента отражения третьей гармоники составляет -20 дБ по сравнению с величиной облучающего поля; решать задачи электромагнитной заметности ректенны; управлять пространственно-временным спектром рассеянного поля путем его ослабления или усиления на основной частоте и третьей гармонике.

Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе на кафедре АиРПУ, в НИР №11451 «Анализ нелинейных излучающих, возбуждающих и резонирующих структур», НИР №11480 «Исследование электродинамических нелинейных эффектов и перспективы их применения».

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается проведенными теоретическими исследованиями и вычислительными экспериментами: применением метода интегральных уравнений, использованием многократно проверенных математических моделей

нелинейных нагрузок, применением метода моментов, результатами тестирования алгоритма на случаях ненагруженной линейной и отражательной нелинейной решетках; совпадением характера ряда полученных закономерностей с известными ранее характеристиками ЭНР других объектов с нелинейными нагрузками.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях:

LII научная сессия, посвященная Дню Радио, Москва: РНТОРЭС им.А.С.Попова, 1997; Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием «Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности», Таганрог: ТРТУ, 1997; XI Всероссийская школа - конференция по дифракции и распространению радиоволн, Москва: МГУ, 1998; Межвузовская научно-техническая конференция «Проблемы теории и практики построения радиотехнических систем и перспективные методы приема и обработки измерительной информации», Ростов-на-Дону, 1998; 14-th Wroclaw International Symposium on Electromagnetic Compatability and Exhibitions, Варшава, 1998; 28 международная научно-техническая конференция по Теории и технике антенн, Москва, 1998;

научно- практических конференциях профессорско - преподавательского состава Таганрогского государственного радиотехнического университета 1995-1998 годов.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ:

1. Семенихина Д.В., Д екал о* И.Э. Граничные условия на нелинейных элементах в интегральных схемах СВЧ. - В кн.: Рассеяние электромагнитных волн. - Таганрог. - 1995. - Вып. 10. - С.75-78

2.Декало И.Э. Микрополосковая решетка с нелинейными элементами. -Известия ТРТУ. - Таганрог. - 1997. - С.64-65

Декало И.Э. - девичья фамилия Гамолиной И.Э.

3.Семенихина Д.В., Декало И.Э. - Рассеяние плоской волны на микрополосковой решетке с нелинейными элементами. - Материалы LII научной сессии, посвященной Дню Радио. - М. - 1997. - С. 174

4.Декало И.Э. Пространственно-временной спектр электромагнитного поля, рассеянного микрополосковой решеткой с нелинейными элементами. - В кн.: Труды XI Всероссийской школы - конференции по дифракции и распространению радиоволн. М. - МГУ. - 1998. - С. 199 - 200.

5.Семенихина Д.В., Декало И.Э. Рассеяние ЭМВ нелинейно нагруженной микрополосковой решеткой. - Известия ТРТУ. - Таганрог. - 1998

6.Семенихина Д.В., Декало И.Э. Применение микрополосковых элементов с нелинейными включениями в радиоэлектронике. - Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности. Часть 2. Моделирование, управление и обработка информации в технических и человеко-машинных системах. - Материалы Всероссийской НТК с международным участием . 19.06.-21.06.1996, 21.10-23.10.1997. Таганрог. - 1998. -С.125-126

7.Семенихина Д.В., Декало И.Э. Электродинамический анализ микрополосковой структуры с нелинейными элементами. - ЖЭДТ. - М.: 1997. - Т.5. - №4(20). - С.83-87

8.Semenikhina D., Dekalo I. The Analysis of the Frequent-Space Field Characteristics' of the Antenna Array with Nonlinear Inclusions. -14-th Wroclaw International Symposium on Electromagnetic Compatability and Exhibitions. -1998

9.Semenikhina D, Dekalo I. Reflection Coefficients of Microstrip Array with Nonlinear Loads. - //Теория и техника антенн 28 НТК. М. - АО «Радиофизика». -1998

Ю.Семенихина Д.В., Декало И.Э. Анализ влияния параметров нелинейных нагрузок на отражательные свойства микрополосковой решетки с нелинейными включениями. В кн.: Проблемы теории и практики построения радиотехнических систем и перспективные методы приема и обработки измерительной информации. - Межвузовская научно-техническая конференция. 10-11 декабря 1998г. - Ростов-на Дону. - 1998. - С.77

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов основного текста и заключения. Работа содержит 136с., в том числе 94с. основного текста с 31с. рисунков, список литературы из 75 наименований на 10с. и 1 с. приложений.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. решение задачи возбуждения и рассеяния электромагнитной волны на микрополосковой периодической структуре с нелинейными элементами;

2. алгоритмизация задачи рассеяния плоской монохроматической электромагнитной волны микрополосковой решеткой с поверхностными нелинейными элементами;

3. основные закономерности нелинейного рассеяния электромагнитной волны на решетке микрополосковых элементов прямоугольной формы с нелинейными нагрузками;

4. методы снижения паразитных мод Флоке;

5. рекомендации по выбору параметров нагрузки, обеспечивающих наибольший уровень генерируемых гармоник.

1. Микрополосковые системы, содержащие нелинейные элементы: используемые модели и методы их анализа

1.1. Применение микрополосковых структур с нелинейными

включениями в технике СВЧ

В настоящее время большой интерес представляют структуры, выполненные по печатной технологии (объемные интегральные схемы, микрополосковые решетки и т. д.) в связи с малыми габаритами, малым весом и возможностью их использования при создании функциональных узлов и устройств СВЧ. Наличие в конструкциях этих систем элементов с нелинейными характеристиками (активных элементов, работающих в нелинейном режиме, диодов, контактов "металл - диэлектрик - металл", имеющих нелинейную вольт-амперную характеристику в сантиметровом диапазоне длин волн) приводит к зависимости характеристик устройств от уровня внешнего воздействия, появлению побочного излучения на частотах гармоник и комбинационных составляющих основного сигнала [1] (эффект нелинейного рассеяния), образованию побочных каналов в режиме работы [2]; при увеличении используемых мощностей - нарушению экологической обстановки и ухудшению электромагнитной совместимости радиоэлектронных систем.

Применение нелинейных элементов в отражателях позволяет управлять пространственно-временным спектром рассеянного поля путем его ослабления или усиления на основной и кратных частотах. Эффект нелинейного рассеяния может широко использоваться в нелинейной радиолокации [1], дефектоскопии [3], системах беспроводной передачи энергии [4], пассивных нелинейных маркерах [48].

Пассивные (не нагруженные на активные элементы) микрополосковые структуры исследовались многими авторами с целью изучения их

отражательных характеристик [5, 6, 7, 8], возможности создания антенн [9], интегральных схем [10, 11], поляризаторов [12, 13], частотно-селективных поверхностей (ЧСП) [14]. Для анализа распространения электромагнитных волн в пассивных микрополосковых структурах используется большое число численных (на основе метода моментов с различного вида базисными функциями [15, 8, 16], метода градиентов с использованием быстрого преобразования Фурье [5, 17]) и аналитических методов, основанных на электродинамическом подходе [9] в сочетании с теорией периодических решеток (если рассматриваемая система - бесконечная периодическая), и спектральном анализе [18, 10]. В ряде случаев для расчета коэффициентов отражения и прохождения электромагнитных волн применяются приближенные методы, основанные на теории цепей, когда исследуемая структура заменяется эквивалентной линией передачи [19, 7], или в приближении геометрической оптики [6, 20].

Микрополосковые структуры с нелинейными включениями могут служить основой для создания малогабаритных умножителей частоты [21]; поляризаторов, частотно-селективных систем [15, 22], усилителей на основной частоте и ее гармониках; антенн-выпрямителей (ректенн) [23, 24]; объемных интегральных схем [25, 26].

Таким образом, существует ряд систем, в которых наличие элементов с нелинейными характеристиками принципиально необходимо для функционирования устройств, приведем обзор существующих методов анализа таких систем.

1.2. Методы исследования антенн с нелинейными нагрузками

1.2.1. Рассмотрению антенн с нелинейными нагрузками посвящено значительное количество работ и ряд обзоров [27, 28, 29, 30]. Одни авторы делят существующие методы анализа на структурные и методы переменных состояния [29], другие - на численные и аналитические [27], третьи - на

матричные и методы эквивалентных схем [30]. Анализ антенн проводится во временной и частотной областях.

Остановимся на рассмотрении наиболее часто применяемых методов исследования нелинейно нагруженных антенн.

Метод моментов - численный метод исследования антенн с нелинейной нагрузкой. Основная идея метода состоит в формировании системы алгебраических уравнений из характеристического уравнения. Для проволочных антенн характеристическими являются уравнения в интегральной форме. Для решения выбираются уравнения Поклингтона или Галлена, правые части которых дополнены слагаемыми, учитывающими влияние нагрузки с нелинейными свойствами на параметры антенны. Для антенн типа кругового витка, содержащего сосредоточенное нелинейное включение, в качестве исходного выбирают одно из уравнений типа Сторера, Адати или Мусияке, полученного для проволочных антенн с круговой симметрией, где выражения, определяющие ядро или функцию возбуждения, записаны с учетом наличия точечной нелинейности. Метод моментов не позволяет наглядно проследить изменение характеристик сигнала в зависимости от изменения параметров апертуры антенны и свойств нелинейной нагрузки [30].

Квазилинейный метод базируется на решении дифференциального уравнения, составленного по эквивалентной электрической схеме, которой заменяется антенна с нелинейной нагрузкой. Считается, что нагрузка обладает слабо выраженными нелинейными свойствами, вследствие чего уровень генерируемых гармоник на высших частотах существенно ниже основного сигнала. Проводится линеаризация нелинейных уравнений. Для простой электрической схемы решение уравнения может быть получено в аналитической форме.

Метод функциональных рядов - аналитический метод, основанный на применении в качестве математического аппарата рядов Вольтерра [30, 27]. Отклик на входное воздействие представляет собой сумму п-мерных сверток сигнала и ядра, число членов в сумме определяется порядком нелинейности

нагрузки. Вычисление характеристик сводится к процедуре нахождения ядер функциональных рядов. Решение получают с помощью итерационных процедур или подстановочным способом. Сведение задачи к нахождению ядер Вольтерра удобно при анализе антенн, представимых простыми эквивалентными схемами. Усложнение эквивалентной схемы, позволяющее точнее описать влияние параметров отражателя и свойств нелинейной нагрузки, приводит к невозможности вычисления ядер Вольтерра в аналитической форме. Кроме того, представление решения в замкнутой форме возможно при малом уровне входного воздействия и слабой нелинейности.

Отличие метода гармонического баланса (баланса гармоник) от перечисленных методов состоит в том, что он не накладывает ограничений на характер нелинейности и уровень сигнала. Отдельно выделяется линейная и нелинейная части в схеме антенны с нелинейной нагрузкой. Нелинейная часть эквивалентной схемы описывается дифференциальными уравнениями, составленными на основе анализа электрической цепи при помощи законов Кирхгофа. Недостаток метода - в необходимости разработки для обеспечения хорошей сходимости и устранения ложных экстремумов специальной процедуры выбора начального приближения для искомого тока в зависимости от уровня ЭДС, наводимой в антенне.

Область применения перечисленных методов, сводящихся к замене антенны с сосредоточенной нелинейной нагрузкой эквивалентной цепью, ограничена выполнением для конкретной электрической цепи условия квазистационарности. В противном случае антенну нельзя представить в виде цепи с сосредоточенными параметрами и для вычисления характеристик необходимо применять уравнения Максвелла.

Описанные методы применялись для анализа проволочных антенн с локальными нелинейностями, включенных в зазор антенны [27, 30].

Рассмотрим модели нелинейно нагруженных антенных систем - антенн-выпрямителей и активных фазированных антенных решеток, выполненных по печатной технологии и методы их исследования.

1.2.2. Среди выпрямительных устройств СВЧ диапазона наибольший интерес представляют выпрямительные антенны - ректенны, являющиеся гибридом антенны и выпрямителя, и предназначенные для приема СВЧ поля и преобразования его в постоянный ток.

Конструктивно ректенна представляет собой решетку приемно-выпрямительных элементов (ПВЭ), каждый из которых состоит из вибратора, помещенного над металлическим экраном, выпрямительного диода и фильтра НЧ[4].

Используемые в работе активных антенн диоды приводят к появлению нелинейных зависимостей параметров и характеристик ректенны от уровня входного воздействия, к образованию в отклике антенны новых спектральных составляющих. В большинстве случаев побочное излучение является вредным, ухудшающим электромагнитную обстановку, для крупных ректенных систем -фактором, влияющим на экологию окружающей среды [25].

В [4] приводится многозвенная эквивалентная схема элемента ректенны, каждое звено схемы имитирует работу участка, малого по сравнению с рабочей длиной волны. Большая часть блоков представлена эквивалентной схемой отрезка линии передачи. Анализ эквивалентной схемы проведен с помощью теории цепей.

Работа [25] посвящена расчету параметров ПВЭ ректенн, основанному на методе переменных состояния. Устройство описывается системой уравнений состояния и выходными уравнениями. Уравнения состояния рассматриваются во временной или частотной области. Во временной области ПВЭ заменяется схемой в виде последовательного контура. Вычисления проводятся путем составления системы дифференциальных уравнений. Основной сложностью является моделирование приемно-выпрямительных элементов с распределенными нелинейными нагрузками. Кроме того, описание с помощью эквивалентных схем пригодно для излучателей простейших типов.

В частотной области (для анализа установившегося режима работы) СВЧ устройство представляется в виде набора линейных и нелинейного

многополюсников. В роли переменных состояния выступают токи и напряжения на линейных элементах.

В [23] описана активная микрополосковая решетка, каждый элемент решетки содержит диод Ганна в качестве активного включения и микрополосковую антенну в качестве излучателя. Исследовалось влияние управления микрополосковой схемой на диаграммы направленности антенной решетки. Анализ проведен на основе теории потенциала и эквивалентной модели нелинейного устройства. Авторы не оговаривают, какая именно модель нелинейного устройства применялась в работе. При расчетах использовалось быстрое преобразование Фурье.

В работе [32] приводятся результаты эксперимента, проведенного для шестиэлементной ректенны с целью исследования беспроводной передачи энергии в открытом космосе. Каждый элемент ректенны представлял собой полуволновый вибратор, нанесенный печатным способом на тонкопленочную подложку, диод для преобразования СВЧ энергии, а также фильтры по обеим сторонам от диода. Экспериментальные данные приведены для частоты 2,41 ГГц. Теоретическая основа эксперимента в работе отсутствует.

1.2.3. Одним из важных способов повышения эффективности радиолокационных станций (РЛС) является переход к многофункциональным системам, в которых используются АФАР. Благодаря применению АФАР удается осуществлять безынерционное сканирование [33] по любому закону, управление формой диаграммы направленности и уровнем излучаемой мощности [34].

Характерной особенностью АФАР является наличие активных элементов, которые должны работать в линейном режиме. Однако зачастую условия работы АФАР таковы, что начинают проявляться нелинейные характеристики активных элементов. Публикация [35] посвящена исследованию нелинейных эффектов в АФАР. Для анализа активных фазированных антенных решеток предложено использовать метод переменных состояния. Исходным в методе является построение обобщенной схемы антенны, где выделяются нелинейная

и линейная подсхемы, последняя характеризуется матрицами рассеяния. Входная нелинейность усилителей моделируется резистивными нелинейными двухполюсниками, ВАХ задается в виде степенного ряда. С использованием уравнения Поклингтона определяются матрицы собственных и взаимных сопротивлений системы из трех излучателей, матрицы рассеяния для линейной подсхемы.

В работе [34] активный модуль, входящий в состав математической модели АФАР, моделируется комплексными коэффициентами передачи и коэффициентом отражения от нагрузки активного модуля, остальные функциональные узлы (пассивные) характеризуются с помощью матрицы рассеяния. Записывается система уравнений, в которой нелинейность активного модуля отображается зависимостью его коэффициентов отражения и передачи от коэффициента отражения п-го излучателя и входной амплитуды. Специфическая особенность АФАР состоит в том, что активные модули обычно обеспечивают большую развязку между входом и выходом. При этом система уравнений распадается на две независимые, когда коэффициент отражения активного модуля не зависит от нагрузки. Невзаимные свойства активного модуля позволяют раздельно моделировать две части АФАР: входную и выходную, состоящую из активного модуля и согласованных излучателей. В приемных АФАР вследствие малого уровня сигнала, поступающего на входы модулей, их активные элементы считают линейными устройствами, входные характеристики которых не зависят от уровня принимаемого сигнала. Для передающих АФАР моделирование активного модуля осуществляется двумя способами: на основе уравнений, описывающих работу активного элемента, которые в общем случае являются системой нелинейных дифференциальных уравнений, или с помощью нагрузочной характеристики. В обоих случаях при моделировании АФАР получается система нелинейных уравнений, решать которую необходимо численными методами.

1.3. Учет нелинейных эффектов при проектировании интегральных схем СВЧ

Интегральные схемы (ИС) являются базовыми для построения СВЧ устройств. Развитие ИС зависит от существующих методов анализа таких структур. Трудности, связанные с моделированием СВЧ устройств, изготовленных на основе ИС, вызваны присутствием нелинейных и динамических явлений [26]. Теории и методы расчета активных элементов интегральных схем СВЧ (лавинно-пролетных диодов, диодов Ганна, СВЧ транзисторов и т.п.) в основном основаны на феноменологических теориях, либо на квантовомеханической теории твердого тела.

В работе [21] приводится эквивалентная схема удвоителя частоты, работающего в импульсном режиме, на основе одной ИС одновибраторного типа. Умножение частоты происходит за счет включенных в структуру диодов с квадратичной вольт-амперной характеристикой. Расчетные формулы выведены с помощью нелинейной теории колебаний.

В качестве фазовращателя в работе [36] описана конструкция для периодической решетки, нагруженной на варакторные диоды. Там же приводится модель эквивалентной линии передачи, описывающая исследуемую структуру. В эквивалентной схеме решетка представлена индуктивностью, последовательно соединенной с диодом, диэлектрическая подложка - отрезком линии передачи с характеристическим импедансом, равным характеристическому сопротивлению диэлектрика. Авторы указывают, что исследуемые структуры могут служить основой для изготовления монолитных ИС.

В [37] предлагается метод расчета нелинейных микроволновых схем в частотной области, основанный на балансе гармоник и итерационной процедуре Ньютона. Цепь с микрополосковыми соединениями и нелинейными элементами разбивается на малые площадки, каждая из которых представляется четырехполюсником.

В [26] представлена модель электронного устройства, названного нелинейной интегральной моделью. Численный анализ устройства, основанный на методе гармонического баланса, проводится в рамках теории цепей. Из-за наличия нелинейных и паразитных явлений сложной является задача построения точной нелинейной эквивалентной схемы. Авторами указывается, что особенно сложным является построение схемы для распределенных элементов, применяемых на высоких частотах. Топология эквивалентной схемы связана со структурой каждой части электронного устройства. Анализ нелинейной интегральной модели проводится во временной области: ток представляется с помощью многомерных интегралов, которые рассматриваются как обобщение одномерного интеграла для динамической линейной системы с ядрами Вольтерра порядка п, описывающими динамические нелинейные характеристики устройства. В случае слабой нелинейности число ядер мало, но с увеличением мощности входного сигнала число ядер заметно увеличивается, встает вопрос сходимости решения.

1.4. Моделирование нелинейных рефлекторов

Под нелинейными рефлекторами будем понимать отражатели, содержащие сосредоточенные или распределенные нелинейные элементы или структуры, обладающие нелинейными электромагнитными свойствами. Хотя нелинейное рассеяние исследовалось многими авторами для антенн с нелинейными нагрузками, отражатели с нелинейными включениями был выделен в отдельный класс.

В [38] в качестве нелинейного отражателя рассматривается ограниченный в объеме диэлектрик, имеющий квадратичную зависимость диэлектрической проницаемости от напряженности электрического поля. Решение задачи рассеяния проводится в частотной области с помощью нелинейных уравнений Максвелла. Система уравнений с помощью метода моментов и итерационного метода Вульфа позволяет определить гармоники компонент электромагнитного поля как внутри диэлектрика, так и во внешнем пространстве.

В [3] рассеиватель содержит сосредоточенные нелинейные элементы. Анализ рассеивателя проводится во временной области с использованием рядов Вольтерра в сочетании с методом моментов. Как указано в п. 1.2. подход, основанный на использовании рядов Вольтерра, приемлем для случая слабой нелинейности или малого уровня входного сигнала.

Конечно-разностный временной подход применен в [39] для исследования рассеивающих свойств диполя с сосредоточенной нелинейной нагрузкой. Метод основан на использовании эквивалентной схемы. При этом, если нелинейность слабая, она представляется в виде управляемого резистора. Для сильной нелинейности напряжение на диоде на временном шаге п определяется через электрическое поле в зазоре на после дующем, п+1 шаге. Нелинейное уравнение решается методом итерационной процедуры Ньютона-Рафсона.

В [45] проводится теоретический анализ отражения электромагнитной волны от активной плоскослоистой среды (ПСС), состоящей из прилегающих неуправляемых слоев, тонких периодических решеток, управляемого активного слоя экрана. В АХ нелинейного элемента задается в полиномиальном виде. Задача об отражении электромагнитной волны сводится к анализу эквивалентного четырехполюсника, в котором диэлектрическим слоям соответствуют отрезки линий передачи с разным характеристическим сопротивлением, а решеткам - эквивалентные схемы, состоящие из распределенных элементов, включенных в отрезки линий передач в местах их расположения в ПСС. Нелинейный слой представляется в виде последовательно соединенного распределенного индуктивного сопротивления и импеданса НЭ, шунтированного распределенной емкостной проводимостью. Анализ проводится с помощью квазилинейного метода нелинейной теории колебаний. Вследствие отрицательной проводимости плоскослоистой среды происходит усиление сигнала на частоте 3/в процессе взаимодействия волны с ПСС. При этом параметры четырехполюсника можно подобрать таким образом,

чтобы среда обеспечивала наибольшую перекачку энергии падающей волны в энергию отраженной на частоте 3/

В [46] предложен метод синтеза плоскослоистых сред с переключаемым коэффициентом отражения. С помощью теории цепей получены соотношения для параметров этих сред, построен численный алгоритм на основе симплексного метода отыскания экстремума целевой функции. Предполагалось, что управляемый слой выполнялся на основе диодов Ганна. В процессе вычислений эквивалентная схема периодической решетки представлялась параллельными или последовательными контурами с сосредоточенной индуктивностью и емкостью.

В [47] нелинейный рассеиватель сводится к пассивным линейным электродинамическим структурам, содержащим конечное число нелинейных элементов в виде диодов, транзисторов, несовершенных контактов, вставок из магнитостатических материалов, способных при падении на них монохроматической волны генерировать высшие гармоники. С точки зрения нелинейной теории цепей рассматриваемый нелинейный рассеиватель относят к классу умножителей частоты. Все нелинейные рассеиватели разбиваются авторами на два класса: простые и сложные. К простым относят такие рассеиватели, которые содержат один нелинейный элемент. Сложные представляют собой рассеиватели с несколькими нелинейными элементами. Авторы предлагают рассматривать их как совокупность более простых, определенным образом связанных между собой, рассеивателей. В качестве простого рассеивателя исследуется антенна в виде полуволнового диполя с включенным НЭ. Указывается, что направление включения НЭ оказывает влияние на поляризацию рассеянного сигнала для системы двух ортогонально расположенных на определенном расстоянии друг от друга нагруженных электрических вибраторов.

1.5. Нелинейно нагруженные частотно-селективные поверхности, выполненные на основе периодических решеток

На основе печатных периодических структур могут быть созданы частотно-избирательные системы [49], поляризаторы, импедансные замедляющие структуры. Частотно-селективные поверхности -двумернопериодическая система проводниковых элементов, нанесенных печатным способом на плоскую диэлектрическую подложку. Структура обладает резонансными свойствами, обеспечивая полное отражение падающей волны для дискретного набора частот. Полоса отражения и пропускания такого рода систем зависит от геометрической формы элементов периодической структуры, способа их взаимного расположения и параметров диэлектрической подложки.

В [40] проводится анализ особенностей частотно-селективных нелинейных эффектов в СВЧ радиоустройствах. Для СВЧ диапазона зависимость характеристик радиоустройств от частоты становится более выражена вследствие распределенного характера их параметров. Записывается выходной сигнал нелинейной инерционной системы с постоянными во времени нелинейными аналитическими характеристиками в виде функционального ряда Вольтерра. Ядра Вольтерра находят методом нелинейных входных сигналов, который сводится к процедуре решения одного и того же линейного дифференциального уравнения при различных правых частях (возбуждающих воздействиях). Подчеркивается, что нелинейные частотно-селективные процессы могут приводить к нарушению условий селективности связи.

В [22] описывается однослойная решетка в качестве ЧСП. Прямоугольный элемент решетки представляет собой совокупность треугольных активного и емкостного элементов. Под активным элементом подразумевается элемент, имеющий активную составляющую импеданса. Анализ ЧСП проводится в линейной области. Результатом исследований явилось получение частотной зависимости входного импеданса решетки.

ЧСП авторы [41] считают решетку диполей, нагруженных на диоды. Для проведения исследования частотных характеристик решетки предложена экспериментальная модель, представляющая собой одиночный диполь, нагруженный на р-ьп диод, и помещенный в резонатор Фабри-Перо. Показано, что расположение НЭ существенно влияет на относительную мощность второй гармоники и изменяет фазу коэффициента отражения основной гармоники. В качестве частотного умножителя предложена модель в виде решетки полосковых элементов, нагруженных на варакторы.

В [42] рассмотрена решетка диполей, нагруженных на нелинейные элементы. Учет НЭ производился путем введения дополнительного импеданса. С помощью теории антенных решеток изучались зависимости коэффициента отражения структуры от относительных размеров периода. На основании проведенного анализа сделан вывод о том, что импедансные нагрузки приводят к изменению резонансной частоты.

В работе [43] анализ нелинейно нагруженной ЧСП проводится в частотной области методом моментов. Отмечается, что не только нелинейная, но и линейная нагрузка, если ее свойства изменяются во времени, способна увеличить мощность рассеиваемого сигнала на частоте падающей волны. Используется метод эквивалентных схем в сочетании с методом моментов для ненагруженной периодической решетки, затем применяется модифицированный метод моментов для расчета рассеянных на гармониках полей в нагруженной структуре. Решение начинается с составления эквивалентной схемы Тевенина в точке включения нагрузки. Для разомкнутой цепи решается матричное уравнение при условии отсутствия нагрузок. Нагрузка считается сосредоточенной и обладает слабыми нелинейными свойствами. В случае короткозамкнутого режима нагрузка представляется в виде участка с идеально проводящими свойствами. При этом импеданс в граничном условии полагается равным нулю. Так как ЧСП состоит только из полосков, расположенных на диэлектрической подложке, отклик системы является линейным. Если в качестве нагрузки выступают сопротивления,

изменяющиеся во времени по гармоническому закону с частотой а на нагруженную решетку падает монохроматическая волна частоты сос, то в спектре рассеянного поля будут содержаться комбинационные составляющие на частотах озс + nmL для любого целого п. Решение на частоте ®с+п<йь находится с помощью итерационных процедур. Отмечается, что для каждого угла падения схема Тевенина должна быть пересчитана.

1.6. Электродинамический подход к анализу рассеивателей и излучателей с нелинейными элементами

Монография [31] посвящена исследованию эффекта нелинейного рассеяния металлическими объектами с распределенными нелинейными нагрузками. В качестве нелинейных нагрузок рассматриваются элементы, свойства которых описывают с помощью нелинейной ВАХ. Для отыскания спектра рассеянного поля формулируется краевая электродинамическая задача с нелинейными граничными условиями импедансного типа на поверхности нелинейных нагрузок. НГУ устанавливают соотношения между комплексной амплитудой плотности поверхностного электрического тока на частоте псо {со - частота падающей ЭМВ, п - фиксировано) и комплексной амплитудой плотности поверхностного магнитного тока на всех частотах. НГУ получают на основе метода комплексных амплитуд при полиномиальном представлении ВАХ.

Краевая электродинамическая задача решается в частотной области методом интегральных уравнений, в результате получается система нелинейных интегральных уравнений (СНИУ) относительно гармоник плотности поверхностного магнитного тока, являющихся источниками вторичного (рассеянного) поля на частотах псо. Решение СНИУ получают численными методами.

В отличие от других методов данный метод позволяет корректно решать задачи анализа устройств, учитывая конструкцию и параметры структур, свойства нелинейных (как распределенных, так и сосредоточенных) элементов.

На основе электродинамического подхода с применением нелинейных граничных условий были решены задачи рассеяния металлическими объектами (цилиндра, клина, плоскости) с системой распределенных нелинейных элементов при гармоническом и бигармоническом воздействии [31]; задача возбуждения сферической антенны с азимутальной нелинейной щелью [73], исследовалось электромагнитное поле в волноводе с нелинейными стыками [74].

1.7. Выводы

В первом разделе проведен обзор используемых моделей для СВЧ устройств с нелинейными элементами, рассмотрены их основные методы анализа.

Микрополосоковая нелинейно нагруженная структура может служить моделью ИС, ЧСП, нелинейного рефлектора, поляризатора на основной и кратной частотах, ректенны, АФАР. По отношению к данным устройствам применялись приближенные методы, базирующиеся на представлении объекта эквивалентной схемой с сосредоточенными параметрами. Такие методы не могут быть применены доя геометрий сложного типа и случая распределенных нелинейных нагрузок.

Более универсальным для анализа устройств с нелинейными нагрузками является электродинамический подход с применением нелинейных граничных условий, позволяющий исследовать влияние параметров НЭ, внешнего воздействия на амплитудно-фазовые характеристики рассеянных или излучаемых полей. До настоящего времени данный подход был использован по отношению к анализу полей рассеяния металлическими объектами с системой нелинейных контактов, исследовалась нелинейная сферическая антенна, рассматривались поля в волноводе с нелинейными стыками.

Для анализа микрополосковой нелинейно нагруженной периодической структуры целесообразно сформулировать краевую электродинамическую задачу с нелинейными граничными условиями.

2. Электродинамический анализ плоской микрополосковой периодической структуры с нелинейными нагрузками

2.1. Постановка задачи

_ „ и и и ~

В однородной нзотропнои линеинои среде с параметрами £аЪ}Ла1 рассмотрим бесконечный слой однородного изотропного линейного диэлектрика с параметрами ^а29/ла2 толщиной (Л, лежащего на идеально

проводящем плоском экране. На поверхности слоя расположены бесконечно тонкие проводники (полоски) произвольной конфигурации. Между полосками, а также между полоском и экраном с помощью короткозамыкателей могут быть включены нелинейные элементы с заданной вольт-амперной характеристикой.

Слой диэлектрика рассматриваем как область У2, среду - У1. В объеме VI области У1 и объеме У2 области У2 заданы комплексные амплитуды плотностей объемных стороннего электрического ]\Си магнитного

у1 ,у2 токов частоты ю.

Вводим декартову систему координат (ДСК) таким образом, чтобы поверхность с полосками лежала в плоскости г = 0, экран - в плоскости 2 = (рис.2.1).

Так как исследуемая структура содержит элементы с нелинейной ВАХ, спектр рассеянного и излучаемого электромагнитных полей будет содержать спектральные составляющие на частоте псо.

Необходимо найти электрическое и магнитное поля в областях У1 и У2 на частоте псо, удовлетворяющие граничным условиям на поверхности раздела областей.

Рис.2.1. Постановка задачи:

нэ - элемент с нелинейной вольт-амперной характеристикой, мп - микрополосковый элемент

2.2. Граничные условия

На поверхности z = 0 на всех участках, не занятых нелинейными элементами и проводниками, выполняется условие непрерывности касательных составляющих полей.

Для системы координат, приведенной на рис.2.1, данное условие будет иметь вид:

СЕ1)х = (Е1 )х> (Еп)у = (ЕХ

1 2 1 2 >Z = 0 (Нп)х = (Рп)х> (Нп)у =(Нп)у

где Еп, Нп - комплексные амплитуды векторов напряженностей электрического и магнитного полных полей на частоте псо в области Vl,

—*■ 2 —* ^

Еп, Нп - комплексные амплитуды векторов напряженностей электрического и магнитного полных полей на частоте псо в области F2.

На поверхности Snpoe проводников выполняется условие равенства нулю касательной составляющей вектора напряженности электрического поля:

(El-2)t=0,peS„poe.

На поверхности £нагр нелинейных элементов, расположенных в области

V2, и на поверхности нелинейных элементов, лежащих в плоскости z=0, должны выполняться нелинейные граничные условия, которые определяются по методу, изложенному в [50].

Рассмотрим нелинейные элементы в плоскости 2=0. Считаем, что они выполнены таким образом, что плотность объемного электрического тока на любой частоте может иметь только одну (в данном случае х-ю или >чю) составляющую. Считаем, что нелинейный элемент имеет малую (по сравнению с длиной электромагнитной волны на частоте ПО)) толщину Az, поэтому за счет поверхностного эффекта ток течет вблизи поверхности z-0.

Действительно, так как j ~ j0 ехр(—otztAzIХп) [52], где О" - проводимость

нагрузки, j0 - плотность объемного тока при z=0, Яп - длина волны на частоте

по), и так как Az « Хп, то у(д:,у,z) ® (z).

В случае распределенного нелинейного элемента (когда его размеры сравнимы с Хп) разбиваем нелинейно нагруженный участок на элементарные

участки площадью SH3 = АхАу каждый, причем Ах « Хп, Ау « Яп [51].

В случае, когда нелинейный элемент является сосредоточенным, считаем, что он занимает один элементарный участок размером Ах-Лу.

Вольт-амперная характеристика для нелинейного элемента задается в виде [27]:

duv

Р í J. v\

аУ+К

(2.2)

Ш )

где Р- степень полинома, и - напряжение между кромками сектора (рис.2.2), ау,Ьу определяются электрофизическими свойствами нагрузки.

Пусть ток в нелинейном элементе направлен вдоль оси х. Считая ток поверхностным, получим

гэ= ¡Уэ(х,у)1^у = ГхАу.

АУ

Напряжение между кромками сектора равно

= ¡Ё1-Чхс!х=&хЕ>;2,

и

Ах

'1,2

Е ' - напряженность полного электрического поля в области У1(У2). Плотность поверхностного магнитного тока определяется выражением

З"1-1

где пх — —/2, Я2 = 12 - орты внешних нормалей для областей У2 соответственно.

Следовательно, 1м1а +1Е1Х>2 ± 1хЕ1у2.

Плотность поверхностного магнитного тока имеет только у-ю

->2 2

составляющую, выражаемую через х-ю компоненту вектора Е '

^>2=+Е1>2.

Отсюда получаем, что напряжение между кромками сектора и = +Лх • У^1'2.

Знак выбирается для области У\. Подставим найденные выражения для тока

и напряжения в ВАХ и перейдем к комплексным амплитудам [53]. При этом

00 00 /э1>2(г)= £Лэ1'2ехр(ша*) ,3м1'2 Ц) = ^У^ехрСшв*).

П=—00 п=-00

Ограничиваясь в рассмотрении (2.2) полиномом третьей степени (Р=3), получим граничное условие на поверхности нелинейного элемента, электрический ток в котором направлен вдоль оси х

со

(х,у)Ау = +А„(х,у)Ах/"у'2(х,у) + В„(х,у)Ах2 £+

(2.3)

00 00 4 ' + С„(х,у)Ах3 Е-СЧ«-^ 2 =

#=-00 5=—00

где верхний знак соответствует области Гь нижний - У2,

Ап=а1 + тсоЬ1,Вп =а2 + то)Ь2,Сп =а3+ тсоЬ3 [54], У*, Зэп

комплексные амплитуды плотностей поверхностных магнитного и

электрического токов.

Если электрический ток в нелинейном элементе направлен вдоль оси у,

то, пользуясь предыдущими рассуждениями, получим, что напряжение между

1 2

кромками равно и = АуЕу .

Плотность поверхностного магнитного тока будет иметь х-ю составляющую, равную З™1'2 — ±Е1у2, следовательно, напряжение будет

определяться как и = ±Ау«/;

гм\, 2 х

Граничное условие, устанавливающее соотношение между комплексными амплитудами плотностей электрического и магнитного токов

частоты по) на поверхности нелинейных элементов примет вид

00

У*2 (х, у) Ах = ±А„ (х, у)Ау^ + В„ (х, у)Ау2 £ ±

(2.4)

00 00 4 у ±С„(х,у)Ау3 Е^'^ГД«' г = О-

^ = —00 5' = —00

Условие (2.4) справедливо для нелинейного элемента, ток в котором направлен вдоль оси у.

Обратимся к рассмотрению нелинейных граничных условий на поверхности нелинейного элемента, включенного между полоском и экраном. Воспользуемся местной цилиндрической системой координат (ЦСК), связанной с расположением нелинейного элемента (рис.2.3). Считаем, что объем, который занимает НЭ, является нелинейной средой и имеет форму цилиндра. Электрический ток направлен вдоль оси 2. Выражая силу тока через поверхностную плотность тока, равномерно распределенного по поверхности цилиндра, имеем следующего вида выражение

анагр 1я

г3 = | \jfSir - ашгруаМср = 2жнагрГ22, (2.5)

о о

где анагр - радиус цилиндрического нелинейного элемента, З3^ — х-я компонента плотности электрического тока на поверхности НЭ. Напряжение между торцами цилиндра и —

Аг-Е;, & - расстояние между торцами цилиндра (рис.2.3), Ег - ъ- я компонента вектора напряженности электрического поля в области У2 . Поверхностный магнитный ток в данном случае будет равен

З"1 = [п ,Ё2 ]= % + 1гЕ1 ]= -Щ + \Е].

Отсюда следует, что напряжение между торцами цилиндра определяется через азимутальную составляющую плотности поверхностного магнитного тока

Нелинейное граничное условие для комплексных амплитуд плотностей электрического и магнитного токов на поверхности нелинейного элемента, расположенного в слое диэлектрика, примет вид:

00

(2.6)

00 со 4 7

+ (г)Аг ^ /ур •

ц=—<а 5=—оо

В условиях (2.3), (2.4), (2.6) коэффициенты Ап,Вп,Сп зависят от координат, следовательно, НГУ являются локальными.

2.3. Интегральные соотношения для полей

Введем в рассмотрение в точке р (с координатами (хв,ув,гв)) вспомогательный магнитный диполь, ток которого изменяется с частотой псо. Диполь имеет IмЬ = 1В • м и ориентирован вдоль единичного вектора Ь1'2, р е У12 и^ £ ^Нагр ^ Р £ Зкз > гДе Зцагр " площадь поверхности нелинейных

сосредоточенных элементов, включенных в разрыв короткозамыкателей; 8КЗ-

площадь поверхности всех короткозамыкателей, находящихся в слое диэлектрика.

Обозначим комплексные амплитуды напряженностей полей,

возбуждаемых вспомогательным магнитным диполем, как Е„1'2 „Н™1'2. Вывод

интегральных соотношений для полей основан на применении леммы Лоренца в частотной области [53], записанной для каждой спектральной компоненты.

Поместим вспомогательный источник над плоскостью решетки. Для отыскания спектральной компоненты напряженности полного магнитного поля

Н\ в области Fj на частоте псо получим следующего вида интегральное соотношение

bfil СР)=- J(7r (</) Д? 4<?, Р) -ir (<¡)H? (9, -

F/

(2 7)

где 5*1 - площадь поверхности раздела областей и V2 .

Если вспомогательный источник расположен в области, занимаемой

—► 2

диэлектриком, интегральное соотношение для Нп - полного поля в области V% на частоте псо - примет вид

ЬгЩ (р) = - J(7f (q)Éf (q, р) -j? {q)Hf (q, p))dVq -

Vi

(2 8)

- \{É:\q,p\m(q)]-[E2n{q\Hf (q,p)fi2dS,pzV2

s2

где S2= S1 + Smzp + SK3.

Неизвестными в системе уравнений (2.7), (2.8) являются комплексные амплитуды полей Еп, Нп в области Vl и Еп, Нп в области V2 на частоте псо.

Доопределим систему уравнениями, в которых точка р помещается на поверхность короткозамыкателя.

Выберем в качестве вспомогательного источника электрический диполь с

IqL = 1А • м, ориентированный вдоль оси z. Ток диполя изменяется с частотой псо .

С помощью леммы Лоренца получим интегральное соотношение следующего вида

El = \G?É?-]?R?W,- (2.9)

'-¡э! ттэ2

где Еп , Нп - комплексные амплитуды напряженности вспомогательных полей, возбуждаемых вспомогательным электрическим диполем, расположенным в области V2.

Расположим точку р на поверхности нелинейной нагрузки, включенной в разрыв короткозамыкателя.

Зададим вспомогательный источник в виде элементарной рамки магнитного тока. Введем местную ЦСК, точкар имеет координаты (amzp,ze).

Плотность объемного магнитного тока рамки на частоте псо запишем в виде

IT = Í<pS(T ~ Янагр)S(Z-Ze).

С помощью леммы Лоренца получим

j'j?ñldr= - ¡GtEfr - ncñfpwq -

V V'

y всп y 2

- ¡([ÉfP^]-[ElHfp\ñ2dS,

s2

где É™2pуЙ™2р - комплексные амплитуды напряженности вспомогательных полей, возбуждаемых магнитной рамкой, расположенной в области V2, Vecn -

объем, занимаемый вспомогательным источником. Интеграл в левой части равен

jlMeH2„dV'= ¡ivS(r-am¡p)S(z'-Ze)ñ2„dV'= Im^Hl^a^z«).

V V

г всп

При интегрировании полагалось, что размер рамки много меньше длины волны на частоте со и поле равномерно распределено по азимутальному углу. Интегральное соотношение примет вид

2 Шшгрнгпф -J?Hf)dVq - \{[Éf,Hl\~

y¿ (2.10)

-[É2n,Hf^ñ2dS.

Соотношения (2.7) - (2.10) позволяют отыскать полное поле на частоте псо в любой точке верхнего полупространства или диэлектрического слоя.

Для получения системы нелинейных интегральных уравнений относительно гармоник поверхностных токов воспользуемся теоремой эквивалентности

лэи*л2! (2.П)

откуда следует, что ^ = -и п , «Уй

При выводе интегральных уравнений для гармоник магнитного тока на поверхностных нелинейных элементах, необходимо учитывать [55] нелинейные граничные условия (2.3), (2.4).

Выбираем вспомогательные поля Е™1'2 ,Н„1'2, удовлетворяющие

граничному условию равенства нулю касательной составляющей вектора напряженности вспомогательного электрического поля на поверхности идеального проводника при г=0, г=-с1

(Е?-\= 0. (2.12)

Поместим точку наблюдения на поверхность нелинейного элемента, ток в котором направлен вдоль оси у, то есть 1эп = ^эпу, Зэ„у = Н\х = -Зэ2у .

Полагая Ьх — 1Х в (2.7) с учетом (2.4) имеем интегральное уравнение следующего вида

, 4?

тм\ . Г) \ 1 г Л/1 тМ\ . ГЧ

А/

Заключение диссертации по теме «Антенны, СВЧ устройства и их технологии», Гамолина, Ирина Эдуардовна

4.4. Выводы

Данный раздел посвящен результатам численного эксперимента. Результаты расчетов показали, что в численном эксперименте на величину первой гармоники магнитного тока (на основной частоте) выбор начального приближения не влияет, в то время как на расчетную величину третьей гармоники тока влияет не только начальное приближение, задаваемое для нее самой, но и начальное приближение для тока на основной частоте

Рис.4.22. Зависимость коэффициентов отражения первой (а) и третьей (б) гармоник полей от размеров апертуры:

- ¿2=0.21;--с12=0.4А,;---62=0.ЗХ

0.6 п 00.

0.2

8 4 ♦ ♦ ♦ • ♦ ч ♦ ♦ ♦

12345 12345 а) б)

Рис.4.23. Зависимость коэффициентов отражения первой (а) и третьей (б) гармоник полей от точки включения нелинейного элемента:

- ^=0.21, . 4=0.4^, -----4=0.3*, нэ 4

Рис.4.24 гармоники плотности магнитного тока. Различия в результатах, полученных при разных начальных приближениях, составили не более 0,1%. В вычислительном эксперименте исследовалось нормальное падение плоской монохроматической линейно-поляризованной ЭМВ частотой £=101Тц на:

1) решетку прямоугольных идеально проводящих элементов, полностью окруженных распределенной нелинейной нагрузкой; оценивалось влияние параметров нелинейной нагрузки (коэффициентов ВАХ и геометрических размеров), ориентации падающей волны, амплитуды внешнего воздействия и геометрических размеров апертуры на коэффициенты отражения на согласной и кроссовой поляризациях; рассматривались одномодовый и многодовый режимы;

2) решетку прямоугольных микрополосковых элементов с включенной между соседними полосками сосредоточенной нелинейной нагрузкой. Исследовалось влияние параметров нагрузки (коэффициентов ВАХ и точки включения), ориентации падающей волны, геометрических размеров апертуры и параметров диэлектрического слоя на характеристики рассеяния.

ВАХ нелинейных элементов считалась кубической.

Характер зависимостей коэффициентов отражения от амплитуды падающей волны совпадает с ранее опубликованными результатами, полученными при исследовании электродинамическими методами других нелинейно нагруженных объектов, когда на графике зависимости третьей гармоники выделяются участки с различной крутизной, наблюдается режим насыщения.

На основе численного эксперимента можно заключить, что исследуемая микрополосковая структура с нелинейными элементами может выполнять роль пассивного нелинейного маркера, так как достижимый уровень коэффициента отражения на третьей гармонике составляет -20дБ по сравнению с коэффициентом отражения на основной частоте. При этом рабочая точка в ВАХ нелинейного элемента должна помещаться на участок с отрицательной крутизной; решетка должна работать в условиях одномодового режима (с малыми по сравнению с рабочей длиной волны геометрическими размерами микрополоскового элемента), толщина диэлектрической подложки не должна превышать Я3 /2, чтобы не возникало противофазное гашение волн от зеркальных источников.

Так как изучаемая структура может служить моделью ректенны в микрополосковом исполнении, то результаты численного эксперимента могут служить оценкой электромагнитной заметности антенны-выпрямителя. Для снижения энергетических характеристик отраженного на кратных частотах поля (на ЮОдБ) достаточно выбирать нелинейные элементы малых относительных размеров, диэлектрическую подложку - с малой диэлектрической проницаемостью.

Полученные результаты свидетельствуют о возможности управления пространственно-частотными характеристиками падающего поля. Перераспределение энергии основной волны на третью гармонику может произойти, если коэффициент аъ в ВАХ принадлежит отрицательной области, величина аъ, соответствующая максимальному значению коэффициента отражения на третьей гармонике при минимуме коэффициента отражения на основной частоте, определяется геометрическими размерами апертуры. Увеличение размеров апертуры приводит к многомодовому режиму -появлению в пространственном спектре поля на частоте Зf высших мод Флоке, уровень которых понижается (на 20 дБ) с увеличением пространственного номера моды.

Поляризационные свойства отражательной решетки определяются геометрическими размерами апертуры и нелинейного элемента, увеличение кроссовой составляющей на частоте происходит благодаря уменьшению коэффициента отражения на основной частоте.

Таким образом, плоская микрополосковая периодическая структура с нелинейными элементами может служить моделью ректенны, поляризатора на кратных частотах, нелинейного маркера, решать задачи электромагнитной совместимости радиоэлектронных систем и электромагнитной заметности объектов с нелинейными нагрузками.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Решена задача возбуждения и рассеяния электромагнитной волны на микрополосковой периодической структуре с нелинейными элементами.

2. Проведена алгоритмизация задачи рассеяния плоской монохроматической электромагнитной волны микрополосковой решеткой с поверхностными нелинейными элементами.

3. Разработан пакет программ по расчету коэффициентов отражения на согласной и кроссовой поляризациях на основной и кратных частотах.

4. Выявлены основные закономерности нелинейного рассеяния электромагнитной волны на решетке микрополосковых элементов прямоугольной формы с нелинейными нагрузками, в частности: влияние нелинейных характеристик нагрузок, их размещение на коэффициенты отражения на основной и кратных частотах, влияние геометрических и электрофизических параметров решетки при неизменных параметрах нелинейной нагрузки на коэффициенты отражения на согласной и кроссовой поляризации, влияние параметров облучающей плоской волны на характеристики нелинейного рассеяния.

5. В результате вычислительных экспериментов предложены методы снижения паразитных гармоник Флоке.

6. Выработаны рекомендации по выбору параметров нагрузки, обеспечивающих, наибольший уровень генерируемых гармоник.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гамолина, Ирина Эдуардовна, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Штейншленгер В.Б., Мисежников Г.С. Исследование эффекта нелинейного рассеяния радиоволн металлическими объектами. М. -Радиотехника и электроника. - 1984. - Т. 39. - Вып. 6. - С. 902 - 906.

2. Шифрин Я.С., Лучанинов А.И., Щербина А.А. Нелинейные антенные эффекты. - //Изв.вуз. Радиоэлектроника. - 1990. - Т.33. - № 2. - С. 4 - 13.

3. Bahr A.J. Theory of Scattering from a Nonlinearly Loaded Aperture. -IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1986. - V. 28. - № 6. - P.840-845.

4. Ремизов Б.А., Классен В.И., Шишлов A.B. Выпрямительные антенны. -Зарубежная радиоэлектроника. - 1980. - N5. - С.79-89.

5. Jin J.-M., Volakis J.L. Electromagnetic Scattering by a Perfectly Conducting Patch Array on a Dielectric Slab. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1990. - V. 38. -№4. - P. 556-563.

6. Kalhor H.A. EM Scattering by an Array of Perfectly Conducting Strips by a Physical Optics Approximation. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1980. - V. 28. - № 2.-P. 277-278.

7. Lee Sh.W., Zarrillo G., Law C.L. Simple Formulas for Transmission through Periodic Metal Grids or Plates. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1982. - V.

30. - № 5. - Р.904-909.

8. Rubin В.J., Bertoni H.L. Reflection from a Periodically Perforated Plane Using a Subsectional Current approximation. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1983. -V. 31,-№6. - P. 829-836.

9. Sarkar Т.К., Rao S.M., Djordjevic A.K. Electromagnetic Scattering and Radiation from Finite Microstup Structures. - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. -1990. - V. 38. - № 11. - P. 1568 - 1575.

10.Jansen R.H. The Spectral - Domain Approach for Microwave Integrated Circuits. -IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. - 1985. - V. 33. - № 10. - P. 1043 -1055.

11. Wu K., Vahldieck R., Fikart J.L., Minkus H. The Influence of Finite Conductor Thickness and Conductivity on Fundamental and Higher - Order Modes in Miniature Hibrid MIC'S and MMIC'S. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1993. - V.41. -№3.-P.421 -431.

12.Borkar V.G., Pandharipande V.M., Ethiraj R. Millimeter Wave Twist Reflector Design Aspects. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1992. - V. 40. - № 11. -P.1423 -1427.

13.Johansson F.S., Lagerholm L.R., Kildal R.S. Frequency - Scanned Reflection Gratings with Integrated Polarizer. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1992. -V. 40.-№3.-P. 331 -334.

14.Cwik Т., Mittra R. Scattering from General Periodic Screens - Electromagnetics. -

1985. - V.5. - P. 263-283. 15.Schimert T.R., Brouns A.J., Chan. Mittra R. Investigation of Millimeter - Wave Scattering from Frequency - Selective Surfaces. - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. - 1991. - V.39. - №2. - P.315 - 322.

16.Grounds P.W., Kevin J.W. Numerical Analysis of Finite Frequency Selective Surfaces with Rectangular Patches of Various Aspect Ratios. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1991. - V. 39. - № 5. - P. 569 - 575.

17.Hill A., Tripathi V.K. An Efficient Algorithm for the Three - Dimensional Analysis of Passive Microstrip Components and Discontinuties for Microwave and Millimeter - Wave Integrated Circuits - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. - 1991. -V.39.-№>1.-P.83-91.

18.Hansen V., Jahnsen A. Spectral Domain Analysis of Microstrip Arrays Including the Feed Network with Space - varying Surface Impedances and Lumped Elements. -Electromagnetics. - 1991. - V. 11. - № 1. - P. 69-88.

19.Compton R.C., Rutledge D.B. Approximation Techniques for Planar Periodic Structures. - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. - 1985. - V. 33. - № 10. -P. 1083- 1088.

20.Hurst H.P. Improved Numerical Diffraction Coefficients with Application to Frequency - Selective Surfaces. - IEEE Trans on Antenna and Propag. - 1992. - V. 40.-№6.-P. 606-612.

21.Lakshminarayanan V. One 1С doubles frequency. - ED. - 1990. - № 8. - P. 108.

22.Staraj R., Cambiaggio E., Papiernik A. Infinite phased arrays of Microstrip Antennas with Parasite Elements: Application to Bandwidth Enhancement. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1994. - V. 42. - №5. - P. 742 - 747.

23.Minegishi M., Lin J., Itoh Т., Kawasaki Sh. Control of Mode - Switching in an Active Antenna Using MESFET. - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. -1995. - V. 43. - № 8. - P. 1869 - 1874.

24.Шифрин Я.С. Нелинейные эффекты в антеннах. - Зарубежная радиоэлектроника. - 1997. - № 4. - С. 33-44.

25.Шифрин Я.С., Лучанинов А.И., Шокало В.М. Приемно-выпрямительные элементы ректенных систем. - Харьковский институт радиоэлектроники. -1988.-181с.

26.Filicori F., Vannini G., Monaco V.A. A Nonlinear Integral Model of Electron Devices for HB Circuit Analysis. - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. -1992. - V. 40. - № 7. - P. 1456 - 1465.

27.Франческетти Дж., Пинто И. Антенны с нелинейной нагрузкой. - В кн.: Нелинейные электромагнитные волны/ Под ред. Усленги П. - М. - Мир. - 1983. -С. 223-249.

28.Кузнецов А.С., Кутин Г.И. Методы исследования эффекта нелинейного рассеяния электромагнитных волн. - Зарубежная радиоэлектроника. - 1985. -№4.-С. 41-53.

29.Шифрин Я.С., Лучанинов А.И. Современное состояние теории антенн с

нелинейными элементами. - //Изв.вуз. Радиоэлектроника. - 1996. - № 9. - С. 416.

30.Разиньков С.Н. Математическое моделирование нелинейного рассеяния электромагнитных волн в радиолокации. - Зарубежная радиоэлектроника. -1997.-№1,-С. 87-96.

31. Петров Б.М., Семенихина Д.В., Панычев А.И. Эффект нелинейного рассеяния (монография). Таганрог. - 1997. - 202с.

32.Мс Spadden J.О., Brown А.Н., Charg К., Kaya М. - A Receiving Rectifying Antenna for the International Space Year - Microwave Energy Transmission in Space (ISY - METS) Rocket Experiment. - ЖЕ AES Systems Magazine. - 1994.-№11. -P. 36-41.

33.Alexopoulos, Uslengi P., Tadeer G.A. Antenna Beam Scanning by Active Impedance Loading. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1974. - V. 22. - P. 722 - 723.

34.Гостюхин В.Л., Гринева К.И., Трусов B.H. Вопросы проектирования активных ФАР с использованием ЭВМ. - М. - Радио и связь. - 1983.

35.Шифрин Я.С., Лучанинов А.И., Посохов А.С. Нелинейные эффекты в активных фазированных антеннных решетках. - Радиотехника и электроника. - 1994. - Т. 39.-№ 7.-С. 1095-1106.

36.Lam W.W., Jon C.F., Chen H.Z., Stolt K.S., Luhman W.C., Ruteedge D.V. Millimeter - Wave Diode - grid Phase Shifters. - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. - 1988. - V. 36. - № 5. - P. 902 - 906.

37.Zhand Zushnii. Shen Can. - Diaiiil Xuebao. - Acta electron, sin. - 1995. - V. 28. -№ 3. - P. 62-67.

38.Caorsi, Massa, Pastorino. A numerical Solution to Full - Vector Electromagnetic Scattering by Three - Dimensional Nonlinear Bounded Dielectrics. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1995. - V. 43. - N2 - P.428 - 436.

39.Luebbers R., Beggs J., Chamberlin K. Finite Difference Time. Domain Calculation of Transient in Antennas with Nonlinear Loads. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1993. - V. 41. - № 5. - P. 566 - 573.

40. Иванов M.A. Анализ особенностей частотно-селективных нелинейных эффектов в СВЧ радиоустройствах. //Изв.Вузов. Радиоэлектроника. - 1987. - Т. 30. -№ 1. - С. 35 -41.

41.Ram R.J., York R.A. Parametric Oscillation in Nonlinear Dipole Arrays. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1994. - V. 42. - № 3. - P.406 - 411.

42.Blunk B.A., Kouyoumjian R.G., Peters L. Reflection Properties of Periodic Surface of Loaded Dipoles. - IEEE Trans, on Antenna and Propag. -1971,-№5.-P. 612617.

43.Epp L.W., Chan C.H., Mittra R. Periodic Structures with Time - Varying Loads. -IEEE Trans, on Antenna and Propag. - 1992. - V. 40. - №3. - P. 251 - 256.

44. Нефедов Е.И. и др. Микрополосковые излучающие и резонансные устройства. -Киев. - Тэхника. - 1990. - 158с.

45.Михайлов Г.Д. Усиление третьей гармоники электромагнитной волны при

отражении от активной плоскослоистой среды. - Радиотехника и электроника. - 1988. - № 8. - С. 1770 - 1773.

46.Михайлов Г.Д., Головков A.A. Синтез активно-пассивной плоскослоистой среды с переключаемым коэффициентом отражения. //Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 1987. - Т. 30. - № 2. - С. 39-45.

47.Горбачев A.A. Особенности зондирования электромагнитными волнами сред с нелинейными включениями. - Радиотехника и электроника. - 1996. - № 2. - С. 152-157.

48.Васенкова Л.В., Горбачев A.A. Рассеяние высших гармоник статистической системой нелинейных рассеивателей. - //Изв.Вузов. Радиофизика. - 1995. - Т. 38.-№7.-С. 743 -747.

49. Семенихина Д.В., Декало И.Э. Анализ влияния параметров нелинейных нагрузок на отражательные свойства микрополосковой решетки с нелинейными включениями. В кн.: Проблемы теории и практики построения радиотехнических систем и перспективные методы приема и обработки измерительной информации. - Межвузовская научно-техническая конференция. 10-11 декабря 1998г. - Ростов-на Дону. - 1998. - С.77

50.Петров Б.М. Нелинейные граничные условия на контактах. - Изв. Вузов. -Радиоэлектроника. - 1992. - № 3. - Т. 35. - С. 30-37.

51.Семенихина Д.В., Декало И.Э. Граничные условия на нелинейных элементах в интегральных схемах СВЧ. - В кн.: Рассеяние электромагнитных волн. -

Таганрог. - 1995.

52. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Сов. Радио. - 1979. 376с.

53.Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. - М. - Радио и связь.- 1983.-295 с.

54.Dekalo I.E., Semenikhina D.V. The Electrodynamic Analysis of Microstrip Structure with Nonlinear Elements - Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. - 1997. - Т. 5,-№4.-С. 83-87.

55.Декало И.Э. Микрополосковая решетка с нелинейными элементами. -Материалы 42 НТК ТРТУ. - Таганрог. - 1997. - С.64-65

56.Семенихина Д.В., Декало И.Э. - Рассеяние плоской волны на микрополосковой решетке с нелинейными элементами. - Материалы LII научной сессии, посвященной Дню Радио. - М. - 1997. - С. 174

57.Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля. Гостехиздат. 1951.

58.Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций комплексного переменного. -М.-Наука.-1979.

59.Марков Г.Т., Васильев E.H. Математические методы прикладной электродинамики. - М. - Советское радио. - 1970. - 120с.

60. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. /Под редакцией Абрамовича М., Стиган И. - М. -Наука. - 1979. - 832с.

61.Gans M.J. A General Proof of Floquet's Theorem. - IEEE Trans. Microwave Theory and Technics. - 1965. - V. 13. - № 3. - P. 384 - 385.

62.Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. -М. - Изд-во МГУ. - 1987. - 208 с.

63 .Шестопалов В.П. и др. Дифракция волн на решетках. Харьков. - Изд-во харьковского университета. - 1973. - 287с.

64.Декало И.Э. Пространственно-временной спектр электромагнитного поля, рассеянного микрополосковой решеткой с нелинейными элементами. - В материалах трудов XI Всероссийской школы - кнфепенции по дифракции и распространению радиоволн. М. - МГУ. - 1998. - С. 199 - 200.

65.Чаплин А.Ф. Анализ и синтез антенных решеток. - Львов. - Вища школа. Изд-во при Львовском университете. - 1987. - 180с.

66.Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods. - New York. - 1968.

67.Дручинин С.В. Критерий отсутствия искажений при решении интегрального уравнения электрического поля методом моментов. - Радиотехника и электроника. - 1995. - Вып. 12. - С. 1766 - 1777.

68.Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. - М. - Мир. - 1988. - 440с.

69.Broyden C.G. A new method of Solving Nonlinear Simultaneous Equations. -Computer J. - 1969. - V. 12. - № 1. - P. 94 - 99.

70.Broyden C.G., Dennis J.E., More J.J. On the Local and Super Linear Convergence of

Quasi - Newton Methods. - J.I.M.A.-1973. - N2. - P.223-246.

71.Касьянов A.O., Обховец В.А. Управление токами в микрополосковой антенной решетке с нагруженными элементами. //Радиотехника. - 1995. - №12. - С.32-36

72. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М. 1981г. 800с.

73. Петров Б.М., Федотова H.A. Нелинейная сферическая антенна //Изв. Вузов Радиоэлектроника. - 1994. - Т.37,- №7. - С.3-9.

74. Семенихина Д.В. Электродинамический анализ нелинейных эффектов в волноводных трактах. В кн: Рассеяние электромагнитных волн. Таганрог. -1993. - Вып.9. - С.85-89

75. А.И.Богомягков, В.В.Бодров, Г.Т.Марков, Б.А.Старостенко. Расчет характеристик измерения фазированных решеток с учетом влияния опорных стоек. //Прикладная электродинамика. - 1980. - Вып.4. - С.164-207