Электроимпедансная томография поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Кориков Дмитрий Владимирович

• Кориков Дмитрий Владимирович
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Кориков Дмитрий Владимирович

Введение

1 Восстановление неориентируемой поверхности с краем по ее ДН-оператору

1.1 Предварительные сведения

1.1.1 Конформные и комплексные структуры

1.1.2 Гармонические ноля и абелевы дифференциалы; преобразование Гиль-борта

1.1.3 Коммутативные банаховы алгебры

1.1.4 Алгебраический подход М.И.Белишева к решению задачи ЭИТ

1.2 Восстановление неориентируемой поверхности с краем но ее ДН-оператору

1.2.1 Критерий ориентируемости поверхности в терминах ее ДН-онератора

1.2.2 Алгебры голоморфных функций на ориентируемом накрытии

1.2.3 Определение следов голоморфных функций на ориентируемом накрытии поверхности но ее ДН-оператору

1.2.4 Алгоритм восстановления неориентируемой поверхности но ее ДН-оператору

1.2.5 Определение топологии неориентируемой поверхности по ее ДН-оператору

2 Восстановление поверхности с неизвестными компонентами края по ее

ДН-оператору

2.1 Восстановление ориентируемой поверхности с неизвестной заземлен-

иой/электроизолировашюй частью края

2.1.1 Определение следов голоморфных функций но частичным ДН-операторам

2.1.2 Двулистное накрытие М

2.1.3 Алгоритм восстановления поверхности с неизвестными компонентами края по Лш ил и

2.2 Восстановление поверхности с неизвестными компонентами края: общий случай

2.2.1 Определение следов голоморфных функций па ориентируемом накрытии но частичным ДН-операторам

2.2.2 Определение алгебры следов голоморфных функций на двулистном накрытии M

2.2.3 Алгоритм восстановления поверхности с неизвестными компонентами края

3 Характеризация ДН-операторов

3.1 Доказательство характеризационной теоремы: необходимость

3.2 Доказательство характеризационной теоремы: достаточность

3.2.1 Локальная структура римановой поверхности на спектре

3.2.2 Глобальная структура римановой поверхности с краем на спектре , , ,

3.2.3 Связь преобразований Гельфанда и голоморфных функций на спектре

3.2.4 Завершение доказательства достаточности характеристических условий

4 Устойчивость решений задачи ЭИТ

4.1 Устойчивость восстановления ориентируемой поверхности с краем но ее ДН-онератору

4.1.1 Вспомогательные сведения и план доказательства

4.1.2 Близость следов голоморфных функций

4.1.3 Близость вложений

4.1.4 Построение почти изометрического отображения

4.1.5 Доказательства вспомогательных утверждений

4.2 Устойчивость восстановления неориентируемой поверхности с краем по ее ДН-онератору

4.2.1 Близость следов голоморфных функций на накрытиях

4.2.2 Построение почти изометрического изоморфизма

4.2.3 Устойчивость восстановления поверхности с неизвестными компонентами края но ее ДН-онератору

4.3 Неустойчивость топологии поверхности относительно малых возмущений ДН-оператора

4.3.1 Построение возмущенной поверхности

4.3.2 Доказательство результата о неустойчивости топологии

5 Некоторые вопросы электроимпедансной томографии поверхностей

5.1 Вычисление матрицы периодов дубля поверхности с краем но ее ДН-онератору

5.1.1 Вспомогательные сведения

5.1.2 Алгоритм вычисления матрицы Ь-периодов дубля поверхности с краем через ее ДН-оператор

5.1.3 Устойчивость алгоритма к шуму в граничных данных

5.2 О представлениях алгебры гармонических эйконалов

5.2.1 Коммутационные соотношения и неприводимость

5,2,2 Построение морфизма в алгебру непрерывных функций

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электроимпедансная томография поверхностей»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Рассматриваемая в работе задача электроимиеданеной томографии происходит из математической физики и имеет, помимо теоретического интереса, важные приложения в акустике, геофизике, медицине, дефектоскопии и др.

Более конкретно, в диссертации рассматривается двумерная задача электроимиедапепой томографии (ЭИТ), которая состоит в восстановлении неизвестной электропроводящей оболочки (поверхности) но следующим измерениям на ее границе. Наблюдатель может прикладывать различные электрические потенциалы (напряжения) к границе оболочки. Они наводят потенциалы внутри оболочки и индуцируют токи, текущие через нее. Индуцированные этими потенциалами токи, текущие через границу, регистрируются наблюдателем. Прикладывая всевозможные электрические потенциалы к границе, наблюдатель, образно говоря, "просвечивает" оболочку токами. По этим измерениям требуется восстановить оболочку: ее размеры, форму, возможное наличие внутренних отверстий и прочее.

В приведенной выше постановке задача ЭИТ является классической обратной задачей математической физики. С самой общей точки зрения на их содержание, эти задачи состоят в извлечении информации об объектах или системах но их реакции на внешнее воздействие (но соответствию "вход м выход"). В нашем случае вход - это приложенный к границе потенциал,

Т (

/"дЧС'у'И О изолированный край ' заземленный край

Рисунок 1: Э.иектроимнедапспая томография поверхностей.

а выход - текущий через границу ток, индуцированный потенциалом. Оператор реакции "вход м выход" называется оператором ДН (Дирихле м Нейман)-оператором подлежащей восстановлению поверхности.

Стоит отметить, что традиционно обратные задачи математической физики подразумевают восстановление неизвестной функции (коэффициентов уравнений и т.п.) в известной области. Особенностью рассматриваемой задачи является то, что восстановлению подлежит как сама область (поверхность), так и метрика на ней. При такой постановке решение задачи всегда определено не однозначно, а лишь с точностью до естественных преобразований (изометрических/конформных диффеоморфизмов и т.п.), и под восстановлением неизвестной системы (поверхности) подразумевается построение ее копии, которая имеет тот же оператор реакции и, следовательно, неотличима от оригинала для наблюдателя.

Главная особенность рассматриваемого двумерного случая состоит в следующем. При подходящей формализации задача ЭИТ в размерности 2 обнаруживает глубокую и красивую связь с функциональным анализом (банаховы алгебры, теория Гельфанда) и комплексным анализом (теория римановых поверхностей, пространства модулей Тейхмюллера), В диссертации эта связь разрабатывается и применяется в качестве инструмента для решения главных вопросов, которые ставятся в рамках обратных задач математической физики: единственность решения, алгоритмы построения решений, характеризация данных и устойчивость решений. Помимо этого решается ряд вопросов, специфических для двумерной ЭИТ,

Ответы, которые настоящая диссертация дает на упомянутые выше вопросы, в существенном исчерпывают задачу электроимпеданеной томографии поверхностей, В этом видится ее основной результат, который описывается ниже более подробно.

Цели и задачи работы. Целью работы является исследование корректности (по Адама-ру) задачи электроимпеданеной томографии поверхностей, включающее в себя разработку методов построения решений, вывод условий разрешимости и исследование устойчивости решений. Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

1, Обобщить алгебраический метод решения задачи ЭИТ поверхностей на неориентиру-емый случай, получить критерий ориентируемости поверхности в терминах ее .411-оператора,

2, Обобщить алгебраический метод решения задачи ЭИТ поверхностей на случай, в котором ДН-оператор поверхности задан на (произвольно малом) сегменте границы,

3, Получить характеризацию ДН-операторов (условия разрешимости задачи ЭИТ),

4, Исследовать устойчивость решений задачи ЭИТ поверхностей относительно малых возмущений ее данных (в естественных топологических пространствах),

5, Вазработать алгоритм вычисления конформных инвариантов поверхности по ее ДН-оператору, который не требует построения ее конформной копии.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Получено обобщение алгебраического метода решения задачи ЭИТ поверхностей на неориентируемый случай. Получен критерий ориентируемости поверхности в терминах ее ДН-оператора, Для пеориептируемого случая получены формулы, связывающие топологию поверхности с ее ДН-оператором,

2. Получено обобщение алгебраического метода решения задачи ЭИТ поверхностей на случай, в котором ДН-оператор задан на (произвольно малом) сегменте границы поверхности, а оставшаяся (неизвестная) часть границы может быть разбита на сегменты, на каждом из которых задано либо однородное условие Дирихле, либо однородное условие Неймана, При этом подлежащая восстановлению поверхность может быть как ориентируемой, так и неориентируемой,

3. Получена характеризация ДН-операторов ориентируемых поверхностей с краем, то есть условия, необходимые и достаточные для того, чтобы оператор Л, действующий в пространстве гладких функций на замкнутой кривой Г, был ДН-оператором некоторой ориентируемой поверхности с краем Г,

4. Как в ориентируемом, так и в неориентируемом случае доказана устойчивость решений задачи ЭИТ поверхностей относительно малых возмущений ДН-операторов, Именно, доказан следующий результат: если (М,д) - произвольная фиксированная поверхность с краем Г и ДН-оператором Л и (М',д') - диффеоморфная ей произвольная поверхность с тем же краем и ДН-оператором Л', то близость Л' к Л по операторной норме влечет существование близкого к конформному диффеоморфизма между (М,д) и (М',д'), не

Г

яния Тейхмюллера между конформными классами (М,д) и (М',д') через операторную норму разности их ДН-операторов, В то же время предъявлены контрпримеры, показывающие, что топология поверхности неустойчива относительно малых возмущений ее ДН-оператора,

5. Получен алгоритм вычисления матрицы Ь-периодов дубля поверхности (М,д) с краем по ее ДН-оператору, В типичном случае матрица Ь-периодов содержит полную информацию о конформном классе (М,д) и может быть использована для вычисления любых других конформных инвариантов (М,д). Показано, что предложенный алгоритм устойчив к малому шуму в граничных данных.

Научная новизна и практическая значимость. Все выносимые на защиту результаты получены впервые, Вазвиты обобщения алгебраического подхода к ЭИТ поверхностей. Получена характеризация ДН-операторов, Доказана устойчивость решений двумерной задачи ЭИТ в релевантной метрике (метрике Тейхмюллера), Получен алгоритм вычисления релевантных координат решения в пространстве модулей, который является устойчивым к

шуму в граничных данных. Эти результаты (вместе с известной теоремой Лаееаеа и Ул-мана о единственности решений) показывают, что задача ЭИТ поверхностей корректна но Адамару, и в основном исчерпывают круг теоретических вопросов, связанных с двумерной ЭИТ, Развитые в диссертации приемы могут быть использованы дня разработки численных методов решения двумерной задачи ЭИТ,

Публикации и личный вклад. Основные результаты но теме диссертации изложены в статьях |1-12|, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, Вклад соискателя в статьи |1-3| состоит в выводе ключевых критериев, определяющих граничные следы голоморфных функций на двулистном накрытии неизвестной поверхности в терминах ее ДН-онератора; последнее дано возможность применить ранее развитый М. И, Белишевым в |20| алгебраический метод дня построения конформной конин накрытия. Кроме того, соискателю принадлежат критерий ориентируемости поверхности в 111, способ восстановления конин антиго.номорфной инволюции на накрытии, факторизацией но которой в |1-3| находится копия неизвестной поверхности, а также сама конструкция разветвленного накрытия в |2|, к восстановлению которого сводится задача ЭИТ с данными, заданными на части границы, В статье |5| М. И, Белишеву принадлежит наводящее соображение об использовании алгебраических свойств голоморфных функций (условие i в теореме 1) в качестве характеристических условий на ДН-онераторы, Соискателю принадлежит конкретная реализация этой идеи: условия ii-vi в теореме 1 и её доказательство, основанное на соответствии между алгебраической версией принципа аргумента и классической теоремой Бишона-Онети-Вермера о локальной комплексной структуре на спектре банаховой алгебры. В |7| соискатель ввел понятие проективного голоморфного вложения и развил технику доказательства близости образов таких вложений дня поверхностей с близкими ДН-онераторами, основанную на обобщенном принципе аргумента; эта техника предопределила результаты |7,8|. В |8| соискатель разработан способ построения близкого к изометрическому диффеоморфизма между образами голоморфных вложений поверхностей с близкими ДН-онераторами, основанный па минимизации модифицированной функции расстояния между точками указанных вложений. Поскольку такие образы голоморфных вложений конформно эквивалентны самим поверхностям, это позволило радикально улучшить результат |7| и доказать главный результат |8| о близости поверхностей с близкими ДН-онераторами но метрике Тейхмюллера, Результаты работ |4,6,9-121 получены соискателем лично.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались па следующих конференциях и семинарах: International Conference "Days on Diffraction" (Санкт-Петербург, 2021, 2022, 2023, 2024), International Conference "Spectral Theory and Mathematical Physics" (Санкт-Петербург, 2021), O.A. Ladyzhenskaya centennial conference on PDE's (Санкт-Петербург, 2022), International Conference "Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications" (Сочи, 2022, Москва, 2023), международная конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2023, 2024), Петербургский семинар но дифракции и распространению волн (2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025), Санкт-Петербургский

семинар но теории операторов и теории функций (2021, 2022), Общеинститутский математический семинар Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В, А, Стеклова РАН (2022), Петербургский геометрический семинар им. А, Д, Александрова (2022, 2025), семинар кафедры высшей математики и математической физики СПбГУ (2025), Семинар "Алгебры в анализе" Механико-математического факультета МГУ (2025),

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации составляет 235 страниц, список литературы содержит 69 наименований.

Содержание работы

Во введении описываются методы исследования, структура и содержание работы, В первой главе и па протяжении всей работы рассматривается задача электроимпеда,йеной томографии (ЭПТ) поверхностей, которая формулируется следующим образом. Пусть (М,д) - компактная поверхность с краем Г и метрик ой д. Обозначим через и? гармоническую функцию со следом / на границе Г и определим ДН-оператор Л поверхности (М,д) правилом Лf := дуи?|г, оде и - единичный вектор внешней нормали к Г, Задача ЭИТ поверхностей состоит в восстановлении неизвестной поверхности с краем по ее ДН-оператору, С физической точки зрения задача ЭИТ состоит в восстановлении формы неизвестной топкой однородной проводящей оболочки путем приложения к ее границе всевозможных электрических потенциалов и измерения токов, текущих через границу.

Стоит отметить, что обычно обратные задачи состоят в восстановлении неизвестных функций (например, коэффициентов дифференциальных операторов) в известной области, в то время как в задаче ЭИТ неизвестна сама область (поверхность М), на которой определена метрика д, оператор Лапласа-Бельтрами Ад и т.д. Поэтому неизвестная поверхность (М,д) в принципе не может быть восстановлена однозначно: если М' - другая поверхность с тем же краем Г и @ : М' м М - любой диффеоморфизм, не двигающий точки Г, то поверхность (М',[3*д) имеет тот же самый ДН-оператор Л, что и (М,д).

В двумерном случае имеются дополнительные степени свободы, связанные с конформной инвариантностью уравнения Лапласа: поверхности (М,д) и (М,рд), оде р - положительный

Г

казапо, что любые две поверхности с общим краем и одинаковыми ДН-операторами связаны конформным диффеоморфизмом, не двигающим точки края. Таким образом, иод решением задачи ЭИТ следует понимать класс [(М,д)]Г поверхности относительно вышеуказанной конформной эквивалентности. Дня того, чтобы задать такой конформный класс, достаточно построить любую конформную копию неизвестной поверхности (М,д) или, что эквивалентно, любую такую поверхность (М',д') с краем Г, что ее ДН-оператор совпадает с Л,

В первом параграфе первой главы приводятся (в основном известные) вспомогательные сведения, которые используются па протяжении всей работы, В частности, изложен

алгебраический подход М.И. Белишева |20| к построению конформной копии неизвестной ориентируемой поверхности (М,д) с краем по ее ДН-оператору, Идея этого подхода состоит в том, что в качестве точек конин используются мультипликативные линейные функционалы (характеры) х алгебры Л(М) голоморфных (и непрерывных вплоть до края) функций на М] комплексная структура на М однозначно определяется конформным классом метрики д и выбором ориентации на М. Ввиду принципа максимума модуля, Л(М) изоморфна алгебре Л(Г) граничных следов голоморфных функций, гладкие элементы которой являются решениями системы уравнений

д11т д = ЛИ,е д, д1 Яе д = —Л 1т д, (1)

полученной сужением условий Коши-Римана на Г; здесь д1 - дифференцирование по длине в направлении единичного касательного вектора 7, ориентация на М выбрана так, что 7 получается поворотом вектора внешней нормали V на прямой угол против часовой стрелки.

Ключевым фактом является то, что спектры, Л(М), Л(Г) (множества характеров, наделенные канонической топологией Гельфанда) алгебр Л(М), Л(Г) являются гомеоморфными копиями самой поверхности М, в то время как преобразования Гельфанда

а : Xм «(Х) := Х(«)

элементов а указанных алгебр дают локальные координаты и определяют комплексные структуры на Л(М), Д(Г), Оснащенные этими комплексными структурами, спектры Л(М), Л (Г) биголоморфно (следовательно, конформно) эквивалентны исходной поверхности (М,д). Тем самым спектр М' = Л(Г) определяется по ДН-оператору Л и дает решение задачи ЭИТ,

Во втором параграфе первой главы алгебраический подход обобщается на иеориепти-руемый случай. Прежде всего выводится критерий ориентируемости поверхности в терминах ее ДН-оператора,

Предложение 1. Поверхность (М,д) с краем Г и ДН-оператором Л ориентируема если и только если система (1) имеет непостоянные решения.

Если (М,д) неориентируема, то алгебраический метод (в своей изначальной форме) неприменим, поскольку на (М,д) отсутствуют голоморфные функции. Для того, чтобы свести дело к применению алгебраического метода, рассматривается двулистное ориентируемое накрытие (М^) поверхности (М,д), точками которого являются пары (ж,Ф), оде х € М и Ф -локальная ориентация в точке х. Проекция п : (ж,Ф) м х является неразветвленным накрытием и метрика § на М определяется таким образом, чтобы -к была локальной изометрией. Поверхность М связна езди и только если М неориентируема; в противном случае М представляет собой несвязное объединение двух копий М. В ^^^^^^сти, границу Г := 5]М можно отождествить с двумя копиями Г х {±} границы Г = дМ.

Накрывающая поверхность М ориентируема и потому метрика g и выбор ориентации определяют комплексную структуру на М; в частности, определена алгебра голоморфных функций Л(М) и алгебра следов Д(Г), Отображение т : (ж,Ф) м (х, — Ф) является антиголоморфной инволюцией на (M,g) и потому порождает инволюцию w м w^ :— Wör алгебр Д(М) и Д(Г), Любой элемент w Е Л(М) представим в виде w — w+ + iw—, где w± — w± Е Д(М), Тем самым алгебра следов Л (Г) (вместе с инволюцией на ней) определяется своими эрмитовыми элементами.

Поскольку д — ж*д, для четных относительно инволюции т функций на М справедливы соотношения Ag (и о ж) — (Дйи) о ж и Л(fо ж) — (Л/) о ж, оде Ag - оператор Лапласа-Бельтрами на (М^) и Л - ДН-оператор (М^), Тем самым ДН-оператор Л исходной неориентируемой поверхности (М,д) явным образом определяет сужение ДН-оператора Л на четные относительно инволюции функции, В то же время не известно никаких явных форму,::, определяю-ЛЛ

пренятствием па пути применения алгебраического метода дня построения конформной копии накрытия (М^), В самом деле, для определения граничных следов ij — f + ih — w|r эрмитовых голоморфных функций w — w^ на (М^) приходится решать систему

d^ h — Лf, д^ f — —ЛЬ. (2)

Вещественная часть f — f о ^ четна относительно инволюции т, поэтому для решения перЛ

h — — h о т нечетна относительно инволюции и потому правая часть ЛЬ второго уравнения в (2) неизвестна. Поэтому ключевым элементом обобщения алгебраического метода па пеориептируемый случай является следующий критерий, позволяющий находить граничные следы эрмитовых голоморфных функций на накрытии (М^) как решения определенных

Л

(М,д). Для простоты далее мы формулируем все результаты для случая связной границы Г,

Предложение 2. Обозначим через д-1 оператор интегрирования по длине, о вращающий д1 в пространстве д1 СR) и положим а — ±1 на Г х {±}. Непостоянная гладкая, функция

'q — f о ж + iah о ж

наГ = Г х {+,—} является, следом (эрмитовой) голоморфной функции на, накрытии (М^) если, и только если, (f,h,Cf Е R) является, решением системы

2 Л[/2 — (д-1Л/)2] — /Л/ — (д-1Л/)д, f — Cf (д, + Л<9-1Л)/,

2 (3)

h — 0-1Л/ + Cf.

При этом решения f первого уравнения в ( ) образуют линейное подпространство в Сте(Г; К) коразмерности —х(М), где х(М) - эйлерова, характеристика М.

Ввиду предложения ДН-оператор Л определяет алгебру Л(Г) и инволюцию | на ней (а также топологию М). Теперь применение мгебраического метода дает копию М' = Л (Г) накрытия (М,§) (спектр алгебры Д(Г)), связанную с ним биголоморфизмом /3 : М м М', Кроме того, инволюция | алгебры Л(Г) индуцирует инволюцию г' на спектре М' = Л(Г) по правилу т'(х)(,л) := х('Л^)- Инволюция т' связана с исходной инволюцией т на (М,§) биголоморфизмом т' = 0 о т о ¡3~\ Поэтому факторизация М' по т' дает поверхность М' := М'/г', которая является конформной копией исходной неориентируемой поверхности М = М/т. Тем самым построено решение задачи ЭИТ,

Результаты второго параграфа первой главы получены в статьях |1,3|,

Во второй главе получен (основанный на алгебраическом методе) алгоритм восстановления неизвестной поверхности (М,д) в случае, когда ДН-оператор ЛЬ : f м д„и?|г задан на произвольно малой (диффеоморфной отрезку или окружности) части Г границы дМ неизвестной поверхности (М,д), в то время как оставшаяся (неизвестная наблюдателю) часть дМ\Г границы разбита конечным числом точек на два непересекающихся открытых множества ГёПГ;8 и гармоническая функция и? со следом /на Г удовлетворяет граничным условиям и? = 0 на Гёг и ди? = 0 на Г;8, Пар а Ь = (ГёПГ;8) называется разбиение м края дМ. С физической точки зрения задача состоит в восстановлении формы неизвестной проводящей оболочки М и типов граничных условий на дМ в случае, когда наблюдателю доступна Г

так и электрически изолированы.

Отметим, что определение неизвестных компонент края (границ дырок) поверхности но ДН-оператору является самостоятслыюй задачей (см. |14,15|). Обычно при решении такой задачи поверхность М вложена в известную поверхность М, Г = дМ и целью является только определение неизвестных компонент связности дМ\Г в М. В отличие от вышеуказанной постановки мы не предполагаем наличие какой-либо объемлющей поверхности и восстанавливаем (с точностью до естественной конформной эквивалентности) как саму поверхность (М,д), так и неизвестные компоненты ее края.

Результатом применения вышеуказанного алгоритма является следующее утверждение о разрешимости задачи ЭИТ.

Предложение 3. Пусть (М,д) и (М',д') - поверхности с общей частью края, Г и ЛЬ и ЛЬ' - заданные на Г ДН-операторы (М,д) и (М',д'), отвечающие разбиениям Ь = (ГёПГ^) и Ь' = (Г^г,Г^) границ дМ и дМ', соответственно. Тогда ЛЬ = ЛЬ' если и только если существует конформный диффеоморфизм @ : (М,д) м (М',д'), не двигающий точки Г и переводящий Гёг в Г^ м Г^ в Г(8 (то есть (М',д',Ь') является, конформной копией (М,д,Ь)).

В первом параграфе второй главы алгоритм построения конформной копии неизвестной поверхности (М,д) разрабатывается при дополнительных ограничениях на ее топологию

и разбиение края: 1) М - ориентируема, 2) вся неизвестная часть дМ\Г границы либо заземлена Ь = (ГёП0) =: gr либо электрически изолирована Ь = (0,Г18) =: 3) Г диффеоморфна окружности, В этом случае схема построения конформной копии (М,д) в общих чертах повторяет алгоритм восстановления пеориептируемой поверхности но ее ДН-оператору, полученный в первой главе. Главным отличием является то, что роль двулистного ориентируемого накрытия играет поверхность М, полученная склеиванием двух копий М х {±} поверхности (М,д) вдоль неизвестной части края дМ\Г. При этом проекция ж : (ж,±) м х является разветвленным накрытием; точками ветвления являются точки склейки (ж,+) = (х,-), где х € дМ\Г. Как и выше, М наделяется антиголоморфной инволюцией т : (ж,±) м (ж,^).

Как и раньше, основная сложность состоит в определении граничных следов ^ эрмитовых (относительно инволюции w м := w о г) голоморфных функций на М, ДН-оператор Л накрытия М удовлетворяет соотношениям Л(f о ж) = (Л18/) о ж и Л(а о ж) = а (Л8г/) о ж (где о = ±1 на Г х {±}), поэтому для определения ^ го условий Коши-Римана (2) на <9М = Г х { —,+} требуется знать оба ДН-оператора Л8г, Л18, Вместо этого выводится следующий критерий, позволяющий определять ц как решения определенных нелинейных уравнений, включающих только один из операторов Л8г, Л18,

Предложение 4. Гладкая непостоянная функция ^ на, <9М = Г х { —,+} является, следом эрмитовой голоморфной функции М если и только если, ^ = /ож+га кож и для ¡,к выполнено любое из следующих условий: 1) f,h,Cf € М являются, решениями уравнен,и,й, ( ) с Л18 вместо Л; 2) (/,к) является, решением системы

2Л8Г(к ■ <9-1Л8Гк) = д1 [(3-1Л8Гк)2 - к2], д1 / = -Л8гк. (4)

Используя предложение , наблюдатель находит алгебру Л(дМ) следов голоморфных функций на М и инволюцию на ней и строит биголоморфную копию М' накрытия М как спектр алгебры Л(дМ), При этом инволюция алгебры Л(дМ) определяет на спектре М' копию г' инволюции т. Разрезая М' вдоль множества неподвижных точек инволюции -г', наблюдатель получает две конформных копии поверхности (М,д) (решения задачи ЭИТ),

Во втором параграфе второй главы вышеуказанные ограничения па топологию и разбиение края поверхности снимаются за счет усложнения алгоритма. Для простоты здесь мы формулируем результаты в предположении о том, что дМ не содержит точек смены типа граничных условий, т.е. <9Г = <9Г18 = 5ГёГ = 0, Сперва рассматривается двулистное ориентируемое накрытие ) поверхности (М,д). Введем множества Г := ^-1(Г) =

Г х {-,+}, ГёГ := ж-1 (Гёг) и Г18 := ^_1(Г18), Граничные следы голоморфных функций на (М^) находятся из следующего предложения.

Предложение 5. Для, гладкой, непостоянной функции ^ на, Г следующие утверждения эквивалентны:

1. 'Ц является граничным следом некоторой эрмитовой голоморфной функции w = := ^"оУ, принимающей вещественные значения на, Г¡8 и мнимые значения, на, Гёг;

2. ^ = / о ж + io■(д-1ЛЬf + Cf), где (f,Cf € К) является, решением уравнения

ЛЬ( 313 — I (5-1ЛЬ/ + С/ )2) = (/2 — (а-1 ЛЬ / + С/ )2)ЛЬ/ + 2/(<9-1Лй / + С/ )д1 ¡. (5)

Далее рассматривается разветвленное накрытие (М,7г,т), где поверхность М получается отождествлением точек х ~ т(х), оде ^(х) € дМ\Г, а проекция и инволюция удовлетворяют условиям 7т(х/ ~) = п(х), г(х/ ~) = т(х)/ Тогда дМ = Г, Как обычно, инволюция т индуцирует инволюцию w м := w о г на алгебрах Д(М), Л(дМ) голоморфных функций на М и их граничных следов, соответственно. Эрмитовы (относительно инволюции элементы Л(5М) определяются из следующего критерия.

Предложение 6. Гладкая, функция £ на, Г является эрмитовым элементом Л(дМ) если и только если, для, всякой функции удовлетворяющей условию 1 предложения , произведение удовлетворяет тому же условию.

Тем самым определена алгебра Д(<9М), а ее спектр дает биголоморфную копию М' накрытия М, Инволюция | на Д(<9М) определяет на М' копию г' инволюции г. Поверхность М' = М'/г' является конформной копией поверхности М = М/т и, тем самым, решением задачи ЭИТ,

Результаты первого и второго параграфа второй главы получены в статьях |2| и |6|, соответственно,

В третьей главе дается характеризация ДН-онераторов ориентируемых поверхностей с ГЛ в Сте(Г; К). Задача характеризации ДН-операторов состоит в предъявлении условий, необхо-

Л

емой поверхности (М,д) с гладкой метрикой д и краем дМ = Г, Такие условия одновременно являются необходимыми и достаточными условиями разрешимости двумерной задачи ЭИТ,

Результатом третьей главы является следующий критерий разрешимости задачи ЭИТ, Пусть Г ориентирована произвольным образом и9т- оператор дифференцирования по длине на Г, а - оператор интегрирования на Г, который аннулирует константы и обращает д1 на линеале д7СК). Свяжем с Л линейный оператор

Т : (м Т( :=(ду — гЛ)(, (6)

действующий в СС). Для произвольных д € СС) и г € С\^(Г), введем отображение

Т,,: см Т,, < :=Т( ^) т

в Сте(Г; C); здесь и далее 1 - тождественная единица на Г. Будем обозначать через мощность множества S.

Теорема 7. Оператор Л является ДН-оператором некоторой ориентируемой поверхности, с краем (r,dl) если, и только если, выполнены следующие условия:

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кориков Дмитрий Владимирович, 2026 год

Список литературы

1. М. I. Belishev, D. V. Korikov. On the EIT problem for nonorientable surfaces, // Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2021, - V, 29,- no 3, - P. 339-349,

2. A. V. Badanin, M. I. Belishev, D. V. Korikov. Electric impedance tomography problem for surfaces with internal holes, // Inverse Problems, 2021, - V, 37,- no 10, - 105013,

3. M. I. Belishev, D. V. Korikov. On determination of nonorientable surface via its Dirielet-to-Neumann operator, // SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2021, - V, 53,- no 5, - P. 5278-5287.

4. Д. В. Кориков. О топологии поверхностей с общим краем и близкими ДН-операторами, // Записки научных семинаров ПОМИ, 2021, - Т. 506, - С, 79-88,

5. М. I. Belishev, D. V. Korikov. On Characterization of Hilbert Transform of Eiemannian Surface with Boundary. // Complex Analysis and Operator Theory, 2022. - V. 16,- no 10.

6. Д. В. Кориков. О задаче электроимпеданеной томографии для неориентируемых поверхностей с лакунами. // Алгебра и анализ, 2022. - Т. 34, - №5. - С. 53-74.

7. М. I. Belishev, D. V. Korikov. Stability of determination of Eiemann surface from its DN-map in terms of holomorphic immersions. // Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2023. - V. 31,- no 2. - P. 159-176.

8. M. I. Belishev, D. V. Korikov. Stability of Determination of Eiemann Surface from its Diriehlet-to-Neumann Map in Terms of Teichmtiller Distance. // SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2023. - V. 55,- no 6. - P. 7426-7448.

9. D. V. Korikov. Stability Estimates in Determination of Non-orientable Surface from Its Diriehlet-to-Neumann Map. // Complex Analysis and Operator Theory, 2024. - V. 18. - no 29.

10. Д. В. Кориков. О представлениях алгебры гармонических эйконалов. // Записки научных семинаров ПОМИ, 2024. - Т. 533. - С. 124-139.

11. D. V. Korikov. Determination of period matrix of double of surface with boundary via its DN map. // Canadian Journal of Mathematics, 2025. - P. 1-24.

12, Д. В. Кориков. Оптимальные оценки устойчивости восстановления неориентируемой поверхности с краем по ее ДН-оператору, // Записки научных семинаров ПОМП. 2025, - Т. 541. - С. 102-114.

13, G. Alessandrini. Stable determination of conductivity by boundary measurements, // Applicable Analysis, 1988. - V. 27. - P. 153-172.

14, G. Alessandrini, E. Beretta, E. Rosset, S. Vessella. Optimal stability for inverse elliptic boundary value problems with unknown boundaries, // Annali délia Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Serie 4, 2000, - V, 29, - no 4, - P. 755-806,

15, G. Alessandrini, L. Rondi. Optimal Stability for the Inverse Problem of Multiple Cavities, // Journal of Differential Equations, 2001, - V, 176, - no, 2, - P. 356-386,

16, L. V. Ahlfors. Lectures on Quasiconformal Mappings: Second Edition, University Lecture Series, 38 (2nd ed), Providence, R.I., 2006,

17, R. Arens. The closed maximal ideals of algebras of functions holomorphic on a Eiemann surface, // Eendiconti del Circolo Matemático di Palermo, 1958, - V, 7, - P. 245-260,

18, J. A. Barceló, T. Barceló, A. Ruiz. Stability of the Inverse Conductivity Problem in the Plane for Less Regular Conductivities, // Journal of Differential Equations, 2001, - V, 173,- no 2, -P. 231-270.

19, T. Barceló, D. Faraco, A. Ruiz. Stability of Calderón inverse conductivity problem in the plane, // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2007, - V, 88,- no 6, - P. 522-556,

20, M. I. Belishev. The Calderón problem for two-dimensional manifolds by the BC-method, // SIAM Journal of Mathematical Analysis, 2003. - V. 35,- no 1. - P. 172-182.

21, M. I. Belishev. Geometrization of Rings as a Method for Solving Inverse Problems, Sobolev Spaces in Mathematics III, Applications in Mathematical Physics (Ed, V.Isakov,), Springer, 2008. - P. 5-24.

22, M. И. Велишев. Граничное управление и томография римановых многообразий, // Успехи математических наук, 2017 - Т. 72, - №4(436), - С, 3-66, M.I.Belishev,

23, M. I. Belishev, M. N. Demchenko. Elements of noneommutative geometry in inverse problems on manifolds, // Journal of Geometry and Physics, 2014, - V, 78, - P. 29-47,

24, M. И. Велишев, А. В. Каплун. Каноническое представление С*-алгебры эйконалов метрического графа, // Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2022, -Т. 86, - т. - С. 3-50.

25, M. I. Belishev, V. A. Sharafutdinov. Diriehlet to Neumann operator on differential forms, // Bulletin de Sciences Mathématiques, 2008, - V.132, - no 2, - P. 128-145,

26. S. Bell. Mapping problems in complex analysis and the 5-problem, // Bulletin of the American Mathematical Society, 1990. - V. 22, - no 2. - P. 233-259.

27. E. Bishop. Mappings of partially analytic spaces. // American Journal of Mathematics, 1961. - V. 83. - P. 209-242.

28. E. Bishop. Subalgebras of functions on a Eiemann surface. // Pacific Journal of Mathematics, 1958. - V. 8. - P. 29-50.

29. И. H. Векуа. Обобщенные аналитические функции, М,, Наука, 1988.

30. J. Wermer. Subalgebras of the Algebra of all Complex-Valued Continuous Functions on the Circle. // American Journal of Mathematics, 1956. - V. 78, - no. 2. - P. 225-242.

31. J. Wermer. Banach Algebras and Several Complex Variables, 2nd ed. Springer-Verlag, New York, 1976.

32. T. W. Gamelin. Uniform Algebras. AMS Chelsea Publishing, Providence, Ehod Island, 2005.

33. F. P. Gardiner. Teichmüller theory and quadratic differentials. // Pure and Applied Mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1987.

34. A. Garcia, P. Caro, J. M. Reyes. Stability of the Calderón problem for less regular conductivities. Journal of Differential Equations, 2013. - V. 254, - no. 2. - P. 469-492.

35. I. C. Gohberg, M. G. Krein. Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators in Hilbert Space. American Mathematical Society, Providence, 1965.

36. P. Griffiths, J. Harris. Eiemann Surfaces and Algebraic Curves. In Principles of Algebraic Geometry, 1994.

37. M. Gromov. Metric structures for Eiemannian and non-Eiemannian spaces. Modern Birkháuser Classics, Birkhauser Boston, 2007.

38. M. De Franchis. Un teorema sulle involuzioni irrazionali. // Eendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1913. - V. 36. - P. 368.

39. Ж. Диксмье С*-алгебры и их представления. М,, Наука, 1974.

40. М. Jurchescu. Bordered Eiemann surfaces. // Mathematische Annalen, 1961. - V. 143. - P. 264-292.

41. A. Clop, D. Faraco, A. Ruiz. Stability of Calderóns inverse conductivity problem in the plane for discontinuous conductivities. // Inverse Problems and Imaging, 2010. - V. 4, - no 1. - P. 49-91.

42, M. Lassas, G. Uhlmann. On determining a Riemannian manifold from the Diriehlet-to-Neumann map, // The Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 2001, - V, 34, - no 5. - P. 771-787.

43, J. M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 218, SpringerVerlag New York, 2012.

44, J. M. Lee, G. Uhlmann. Determining anisotropic real-analytic conductivities by boundary measurements, // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1989, - V, 42, - P. 1097-1112.

45, V. Maz'ya, S. Nazarov, B. Plamenevskii. Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains, Vol, I, Operator Theory: Advances and Applications, 111, Birkhâuser Basel, 2000,

46, Дж. Мерфи. С*алгебры и теория операторов, М,, Факториал, 1997,

47, J. S. Milne. Jaeobian Varieties, In Arithmetic Geometry, Springer, New York, 1986,

48, R. Miranda. Algebraic curves and Eiemann surfaces. Graduate Texts in Mathematics 5, American Mathematical Society, 1995,

49, V. Michel. The Two-Dimensional Inverse Conductivity Problem, // Journal of Geometric Analysis, 2020. - V. 30. - P. 2776—2842.

50, S. Nag, M. Nafissi. The complex analytic theory of Teichmtiller spaces, Wilev-Interseienee, 1988.

51, С. А. Назаров, Б. А. Пдаменевскии. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, М,, Наука, 1991,

52, R. Narasimhan. Imbedding of holomorphieallv complete complex spaces, American Journal of Mathematics, 1960. - V. 82. - P. 917-934.

53, R. Narasimhan. Torelli's Theorem, In: Compact Eiemann Surfaces, Lectures in Mathematics ETH Ztirich, Birkhâuser, Basel, 1992,

54, С. M. Натанзон. Клейновы поверхности, // УМН, 1990, - T. 45, - №6(276), - P. 47-90,

55, В. Aupetit. Analytic Multivalued Functions in Banach Algebras and Uniform Algebras, // Advances in Mathematics, 1982, - V, 44, - no 1, - P. 18-60,

56, C. Pommerenke. Boundary Behaviour of Conformai Maps, Grundlehren der mathematischen Wissensehaften, Springer Berlin, Heidelberg, 1992,

57. К. М. Rogers, D. Faraco. The Sobolev norm of characteristic functions with applications to the Calderón Inverse Problem, // The Quarterly Journal of Mathematics, 2013, - V, 64, - no 1. - P. 133-147.

58. H. I. Royden. Function algebras. // Bulletin of the American Mathematical Society, 1963. -V. 69, - no 3. - P. 281-298.

59. M. E. Taylor. Partial Differential Equations II. Qualitative Studies of Linear Equations, Second Edition, Applied Mathematical Sciences, vol. 116, Springer, Cham, 2010.

60. R. Torelli. Sulle varíela di Jacobi. Eendiconti della Eeale accademia nazionale dei Lincei, 1913. - V. 22, - no 5. - P. 98-103.

61. B. Farb, D. Margalit. A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, vol. 49, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012.

62. W. Fenchel, J. Nielsen, A. L. Schmidt (ed.). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruvter Studies in Mathematics, 29, Walter de Gruvter, Berlin, 2003.

63. О. Форстер. Римановы поверхности. Мир, М,, 1980.

64. R. Fricke, F. Klein.-. Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, B.G, Teubner, Leipzig, 1897.

65. G. Henkin, V. Michel. On the explicit reconstruction of a Eiemann surface from its Diriehlet-Neumann operator. // Geometric and Functional Analysis, 2007. - V. 17, - no 1. - P. 116-155.

66. /'. Хенкин, В. Мишель. Обратная задача Дирихле-Неймана для модальных кривых. // Успехи математических наук, 2012. - Т. 67, - №6 (408). - С. 101-124.

67. Е. М. Чирка. Римановы поверхности. Лекционные курсы НОЦ, М,, вып.1, 2006.

68. Е. М. Чирка. Пространства Тейхмюллера, Лекционные курсы НОЦ, М,, вып. 15, 2006,

69. С. Shonkwiler. Poineare duality angles for Eiemannian manifolds with boundary. // arXiv,0909,1967, 2009.