Электростатические колебания в неоднородных плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Марусов Никита Андреевич

  • Марусов Никита Андреевич
  • кандидат науккандидат наук
  • 2020, ФГБУ «Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»
  • Специальность ВАК РФ01.04.08
  • Количество страниц 120
Марусов Никита Андреевич. Электростатические колебания в неоднородных плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов: дис. кандидат наук: 01.04.08 - Физика плазмы. ФГБУ «Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт». 2020. 120 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Марусов Никита Андреевич

1.3 Резюме главы

2 Градиентная неустойчивость плазмы с поперечным

током. Общий анализ и профили граничной

устойчивости

2.1 Необходимое и достаточное условия неустойчивости.

Роль эффектов инерции и конечного ларморовского радиуса электронов

2.2 Граничная устойчивость плазмы с поперечным током

2.2.1 Пороги неустойчивости

2.2.2 Частотные характеристики неустойчивых колебаний

2.3 Резюме главы

3 Устойчивость электростатических колебаний

в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

3.1 Профили параметров в стационарном плазменном дви-

гателе

3.2 Волновые характеристики наиболее неустойчивых коле-

баний в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

3.2.1 Приближение холодных электронов Те =

3.2.2 Приближение горячих электронов Те =

3.2.3 Влияние стационарного потока ионов

3.3 Резюме главы

4 Крупномасштабные вращающиеся структуры в системах с замкнутым дрейфом электронов как проявление глобальных мод градиентной неустойчивости

4.1 Крупномасштабные колебания в конфигурации обращенного магнетрона

4.2 Крупномасштабные колебания в конфигурации стацио-

нарного плазменного двигателя

4.2.1 Влияние изменения радиуса ускоряющего канала

на спектр собственных неустойчивых мод

4.2.2 Влияние изменения длины ускоряющего канала на

спектр собственных неустойчивых мод

4.3 Наблюдение крупномасштабных азимутальных структур

в системах с замкнутым дрейфом электронов. Обсуждение результатов

4.4 Резюме главы

Заключение

Приложение

А.1. Тензор бесстолкновительной вязкости

А.2. Алгоритм численного расчета глобальных мод градиентной неустойчивости в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

Литература

Введение

В иерархии проблем современной физики весьма заметное место занимает фундаментальная проблема устойчивости и нелинейной динамики газовых и плазменных сред, равновесное состояние которых характеризуется наличием стационарных течений. Известно, что развитие неустойчивости таких течений может сопровождаться формированием долгоживущих макроскопических структур, систематически наблюдаемых как в природных, так и в лабораторных условиях. К гидродинамическим примерам самоорганизации можно отнести Большое Красное Пятно Юпитера [1], спиральные рукава галактик [2], вихри в океане и атмосфере [3,4], вихри Тейлора во вращающейся жидкости [5] и т. п. Плазменные аналоги некоторых из указанных явлений подробно описаны в обзоре [6].

В лабораторных системах магнитного удержания исследования нелинейной самоорганизации и турбулентной динамики плазмы в первую очередь связаны с задачей уменьшения аномально больших потерь заряженных частиц и тепла (по сравнению с классическими явлениями переноса), ставших своеобразной преградой на пути к осуществлению программы по управляемому термоядерному синтезу -см. классические обзоры и монографии [7]-[11]. Между тем, явления самоорганизации и турбулентного переноса заряженных частиц являются неотъемлемой частью работы некоторых плазмодинамических устройств, уже сегодня активно используемых в промышленности и в космической отрасли. В частности, речь идет об установках по созданию ускоренных потоков заряженных частиц, принцип действия которых основан на эффекте Холла, ответственным за поддержание постоянного "надтеплового" электрического поля в системе отсчета плазмы, помещенной во внешнее магнитное поле. К таким установкам относятся разряды Пеннинга [12]-[14], стационарные плазменные двигатели А. И. Морозова (СПД) [15,16], ионные источники с замкнутым дрейфом электронов [16]-[18], магнетронные разряды [18,19] и т. п. Принципиальная схема плазменного двигателя и различные конфигурации холловских разрядов представлены на рис

Рис. 1: Принципиальная схема стационарного плазменного двигателя (слева) и различные конфигурации холловских разрядов (справа).

Поясним принцип действия рассматриваемых систем на примере СПД. Электрическое поле Е в разрядной камере наводится при помощи анода-газораспределителя, расположенного в глубине канала, и катода-эмиттера, помещённого за выходом из канала. В основном объёме камеры создается преимущественно радиальное магнитное поле В, силовые линии которого расходятся от внутренней стенки канала к вешней. Электроны, эмитированные с катода, обладают высокой подвижностью вдоль силовых линий магнитного поля. По этой причине соответствующие магнитные поверхности в пренебрежении электронным давлением являются эквипотенциальными, а само электрическое поле в канале не зависит от расположения катода. Ионизация нейтрального газа в рассматриваемой системе происходит за счет столкновений электронов, дрейфующих в скрещенных полях вокруг оси симметрии системы, с атомами нейтрального газа. Величина магнитного поля подбирается таким образом, чтобы размер ларморовского радиуса образующихся ионов р^ значительно превышал длину ускорительной области й: р^ ^ й, в то время как для электронов должно выполняться обратное условие: ре <С й, где ре

ларморовский радиус электронов. В этом случае ионы, не испытывая существенного воздействия со стороны магнитного поля, свободно ускоряются электрическим полем вдоль оси канала. Замагниченность электронов в такой системе позволяет избежать ограничений, связанных с образованием объемного заряда (классический закон Чайлда-Ленгмюра) [20]. Такую плазму с замагниченными электронами и сла-бозамагниченными ионами принято называть частично замагничен-ной, а сами системы, в которых замагниченные электроны вращаются вокруг оси симметрии со скоростью электрического дрейфа - системами с замкнутым дрейфом электронов (СЗДЭ). С помощью таких систем удается получить стационарные потоки ускоренных частиц с плотностями тока ~ 0,1 — 1 А/см2 и энергиями вплоть до ~ 1 кэВ при значениях КПД на уровне 0,6 и выше [15]. Основные принципы работы СЗДЭ подробно изложены в известных монографиях и обзорах, см., например, [20]-[22].

Один из важнейших аспектов работы СЗДЭ связан с механизмом "отвода" на анод электронов, возникающих в системе в ходе ионизации рабочего вещества и вторичной эмиссии со стенок. При создании первых ускорителей с замкнутым дрейфом электронов предполагалось, что контроль их проводимости поперек магнитного поля позволит осуществить "автофиксацию" электрического потенциала вдоль оси ускоряющего канала: недостаточная проводимость какого-либо участка канала ускорителя приводит к появлению избытка электронов и увеличению разности потенциалов на данном участке [15]. Классическая кулоновская проводимость замагниченных электронов мала и поэтому она играет роль только в системах с узкой зоной ускорения, длина ё которой сопоставимы с ларморовским радиусом электронов ре: ё ~ ре. Такие ускорители называют двигателями с анодным слоем (ДАС) [23]. Для описания проводимости в СПД с протяженной зоной ускорения А. И. Морозовым была предложена модель пристеночной проводимости [24]. В рамках данного подхода предполагается, что во время столкновения замагниченного электрона с шероховатой диэлектрической стенкой ускоряющего канала СПД

происходит сбой фазы ларморовского вращения, сопровождающийся "срывом" электрона вдоль электрического поля E в направлении к аноду. Своеобразный каскад таких срывов приводит к формированию пристеночного токового слоя с шириной порядка ларморовского радиуса электрона. Однако впоследствии эксперименты на СПД показали, что ток электронов течет не только вдоль некоторого пристеночного слоя, но и во всем объеме между стенками ускоряющего канала, что свидетельствует о существенно турбулентной природе переноса электронов поперек магнитного поля, вызванного их рассеянием на колебаниях электростатического потенциала [15,25]. При наличии флуктуаций плотности электронов ne и азимутальной компоненты электрического поля Eq плотность аномального электронного тока может быть оценена при помощи выражения je± = ce < nëEq > /В [26], где c - скорость света в вакууме, e - элементарный заряд, а скобки обозначают усреднение по периоду колебаний.

Понимание природы аномального переноса напрямую связано с исследованием характеристик колебаний, инициирующих такой перенос, и изучением механизмов их возбуждения. Системы с замкнутым дрейфом электронов демонстрируют высокий уровень "шумов", из которых обычно выделяют три частотных диапазона [27]: ~ 10 — 100 кГц, ~ 0,1 — 1 МГц и ~ 1 — 10 МГц. Колебания в низкочастотном диапазоне ассоциируют с крупномасштабными структурами типа осесимметричных "пульсирующих" мод (в англоязычной литературе - breathing mode) [25, 28] и азимутальных "спиц" (в англоязычной литературе - spokes), впервые исследованных в работе [29]. К промежуточному диапазону частот относят "пролетные" колебания (в англоязычной литературе - transient-time oscillations), период которых сопоставим со временем пролета ионов через ускоряющий канал СЗДЭ [25]. Высокочастотный диапазон включает различные типы дрейфовых колебаний [30]. Заметим, что в силу малости магнитного поля, величина которого в типичных СЗДЭ принимает значения ~ 0,1 — 1 кГс, большинство как низкочастотных, так и высокочастотных колебаний лежит в диапазоне между ионной и элек-

тронной циклотронными частотами, шв1 < ш < шве, где ш - частота колебаний. По этой причине источником таких флуктуаций являются принципиально двужидкостные или кинетические неустойчивости. В настоящее время считается, что аномальный перенос электронов в СЗДЭ связан с крупномасштабными электростатическими флукту-ациями низкочастотного диапазона (ш ^ ш/ь, где ш/ь = ^швШве -нижнегибридная частота), проявляющимися в экспериментах в виде вращающихся структур типа спиц [31]-[43]. Такие спицы представляют из себя длинноволновые азимутальные волны т ~ 1 — 3 (т - азимутальное волновое число) повышенной концентрации плазмы, вращающиеся в направлении электрического дрейфа электронов со скоростью много меньшей, чем скорость Е х В-дрейфа - см. рис. 2 (иллюстрация заимствована из работы [43]). В плазменных ускорителях спицы локализованы вблизи анода и способны переносить вплоть до 50% разрядного тока [43]. Примечательно, что появление таких структур может быть связано как с переходом в улучшенные режимы работы системы [39]-[41], так и с деградацией разряда [42,43].

2.6 cm

I

Time: Ojis Time: 17jis Time: 34jis

«г Time: 51ns J Time: 60ns % Time: 85ms

Рис. 2: Изображения крупномасштабной вращающейся азимутальной структуры в циллиндрическом холловском двигателе (Cylindrical Hall Thruster - в англоязычной литературе), полученные при помощи высокоскоростной видеофиксации видимого излучения из плазмы. Иллюстрация заимствована из работы [43].

Общепризнанного механизма формирования крупномасштабных азимутальных структур в плазме СЗДЭ не существует. Начиная с классической работы [29], многие авторы связывают явление образования спиц с концепцией критической скорости ионизации (CIV -Critical Ionization Velocity) [37,38], предложенной Альфвеном [44]. Однако, поскольку источник самих ионизационных волн остаётся не до концы изучен, CIV-механизм образования спиц является непредсказательным [40]. К настоящему времени известен достаточно широкий спектр неустойчивостей холловской плазмы, существенных для организации плазменного потока и формирования крупномасштабных структур в СЗДЭ, например: ионно-пучковая [45, 46] и двухпотоко-вая [47] неустойчивости, электронная- [48] и электрон-циклотронная дрейфовые неустойчивости [49, 50], ионно-звуковая неустойчивость [51], резистивная неустойчивость [52], ионизационные неустойчивости [53,54], неустойчивости Рэлея [55,56], различные модификации градиентных неустойчивостей электростатических колебаний и др. К последним, в частности, относится известная неустойчивость Саймона-Хо (Simon-Hoh instability - в англоязычной литературе) [57,58] и ее бесстолкновительные аналоги (modified Simon-Hoh instability- в англоязычной литературе) [59]. Градиентная неустойчивость развивается в пространственно неоднородной плазме при наличии источника свободной энергии в виде поперечного к внешнему магнитному полю тока [60,61], который в исследуемых конфигурациях переносится электронами. В современных работах такую неустойчивость часто называют градиентно-дрейфовой неустойчивостью (gradientdrift instability - в англоязычной литературе) [62,63]. Заметим, что эта неустойчивость активно исследуется в физике ионосферы и, в частности, является общепринятым механизмом измельчения нерегулярных структур в F-слое (см., например, [64]).

Первая локальная теория градиентной неустойчивости применительно к исследованию электростатических колебаний в простейшей одномерной конфигурации существенно неоднородного магнитного поля, присущего установкам типа СПД, была развита и верифици-

рована экспериментально в работах [25] и [30]. Интерес к градиентной неустойчивости, как к потенциальному механизму формирования крупномасштабных вращающихся структур в плазме СЗДЭ, возник благодаря работе [62], в которой была учтена двумерная структура магнитного поля при расчёте сжимаемости электронного потока и предложена расширенная модель длинноволновой градиентной неустойчивости, обобщенная на случай конечного теплового отклика электронов. Применение данной модели к расчету устойчивости плазмы в каналах различных плазменных двигателей с замкнутым дрейфом электронов [65] и в магнетронных разрядах [66] показало хорошее согласие между волновыми характеристиками младших неустойчивых азимутальных мод и параметрами крупномасштабных структур, наблюдаемых в экспериментах. Существенным недостатком модели [62] является используемое приближение безынерционных электронов (те ^ 0). В результате при выполнении локального критерия неустойчивости неустойчивым оказывается весь спектр колебаний, причём инкремент неустойчивости неограниченно возрастает с уменьшением длины волны [67]. Это означает, что младшие азимутальные моды не являются самыми неустойчивыми в спектре, что не позволяет объяснить в рамках используемой модели возбуждение длинноволновых мод в СЗДЭ. При учете электронной инерции происходит стабилизация коротковолновых возмущений, однако в этом случае частота наиболее неустойчивых мод по порядку величины соответствует нижнегибридному диапазону, что заведомо превышает частоту вращающихся спиц. Нелинейное взаимодействие нижнегибридных колебаний, способное приводить к развитию модуляционной неустойчивости низкочастотных длинноволновых возмущений конечной амплитуды, было рассмотрено в работе [68].

Существенным недостатком большинства теоретических моделей, используемых для описания градиентных неустойчивостей в плазме СЗДЭ, является естественное "гидродинамическое" ограничение на длину волны возмущений: к±ре ^ 1, где к± - проекция волнового вектора на поперечное к магнитному полю направление. Прежде все-

го, данное ограничение не позволяет определить пороговое значение скорости электронного дрейфа, при превышении которого в системе развивается градиентная неустойчивость, так как значение азимутального волнового числа неустойчивых возмущений увеличивается с ростом скорости вращения электронов [69]-[71]. В свою очередь, информация о порогах и профилях граничной устойчивости оказывается весьма полезной при анализе нелинейно насыщения неустойчивых колебаний [72,73].

Несмотря на богатую историю исследований и наблюдаемое в последние годы возобновление интереса к градиентной неустойчивости как к источнику колебаний электрического потенциала в холловской плазме, многие аспекты еч, развития в СЗДЭ до сих пор оставались неизученными. Так, в системах типа СПД неустойчивость традиционно рассматривалась локально, что не позволяло отследить изменение характеристик наиболее опасных возмущений вдоль длины ускоряющего канала. Поскольку типичные профили стационарных параметров плазмы в СПД обладают большими градиентами, в разных областях канала возможно развитие колебаний с существенно различными пространственными и временными масштабами. Не была выяснена роль эффектов стационарного течения ионов и конечной температуры электронов в развитии градиентной неустойчивости в условиях, характерных для реальных плазмодинамических устройств. Отсутствовали ясные представления и о глобальной структуре собственных мод градиентной неустойчивости, необходимые для понимания пространственной локализации и интерпретации результатов измерений крупномасштабных спицеподобных образований в плазме СЗДЭ.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию механизмов раскачки электростатических колебаний, связанных с развитием градиентной неустойчивости существенно неоднородной частично-замагниченной плазмы низкого давления, помещенной в конфигурации скрещенных электрического и магнитного полей, характерных для различных СЗДЭ. В работе исследованы как фундаментальные вопросы, направленные на развитие теории гра-

диентной неустойчивости в неоднородной плазме для корректного описания возмущений в широком диапазоне длин волн, так и прикладные, связанные с расчетом волновых характеристик наиболее неустойчивых возмущений в ускоряющем канале СПД и интерпретаций результатов наблюдения крупномасштабных структур типа спиц.

Цель и задачи исследования

Основной задачей диссертационной работы является определение условий развития градиентной неустойчивости длинноволновых электростатических колебаний неоднородной плазмы с незамагни-ченной ионной компонентой во внешних скрещенных электрическом и магнитном полях с целью объяснения явления формирования крупномасштабных азимутальных структур, наблюдаемых в плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов.

Методы исследования

Динамика неоднородной плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях описывается в рамках двужидкостной гидродинамической модели с холодными незамагниченными ионами и горячими замагниченными электронами. Устойчивость системы по отношению к электростатическим возмущениям исследуется при помощи стандартных аналитических методов анализа собственных колебаний плазмы. Для отыскания собственных функций и собственных частот глобальных мод применяется авторский код, в основу которого положено матричное представление граничной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями первого рода. Все численные расчёты и визуализация данных выполнены в компьютерной среде МЛТЬЛБ.

Научная новизна

В работах, положенных в основу диссертационного исследования, автором получены следующие новые научные результаты:

• Найдены необходимое и достаточное условия устойчивости электростатических колебаний в нижнегибридном диапазоне частот, распространяющихся поперек внешнего магнитного поля в неоднородной плазме с незамагниченными холодными ионами и за-магниченными горячими электронами в скрещенных полях. Показано, что учет эффектов конечного ларморовского радиуса (КЛР) электронов принципиально важен при анализе устойчивости азимутальных колебаний плазмы в режимах со слабым поперечным током (вблизи порога неустойчивости), когда угловая скорость стационарного вращения электронов по порядку величины сопоставима с частотой нижнегибридных колебаний.

• Аналитически найдены профили граничной устойчивости и пороговые значения скорости азимутального дрейфа электронов, при превышении которых развивается неустойчивость. Получены выражения для частот и инкрементов наиболее неустойчивых мод. Показано, что вблизи порога неустойчивости в существенно неоднородном магнитном поле эффекты КЛР приводят к стабилизации высокочастотных (частоты порядка нижнегибридной частоты) коротковолновых (длины волн порядка ларморовского радиуса электронов) возмущений.

• Для наиболее типичных профилей распределения параметров плазмы, электрического и магнитного полей вдоль оси ускоряющего канала стационарного плазменного двигателя (СПД) численно исследована линейная устойчивость электростатических возмущений. Показано, что в ускоряющем канале СПД существуют три пространственно разделённые области, различающиеся по направлению распространения и характеристикам наиболее неустойчивых возмущений.

• Численно исследовано влияние эффектов конечной температуры электронов и ионного потока на характер неустойчивости электростатических колебаний в канале СПД. Показано, что в большей части ускоряющего канала дестабилизация плазмы обуслов-

лена потоком ускоренных ионов. Продемонстрировано, что приближение холодных электронов, используемое в большинстве современных работ, посвященных анализу колебаний в СПД, применимо для описания градиентной неустойчивости только в при-анодной области ускорителя.

• Аналитически получены точные решения для глобальных мод градиентной неустойчивости плазмы с поперечным током электронов в базовой конфигурации цилиндрического магнетрона. Впервые показано, что параметры биений, формируемых в результате суперпозиции близких по частоте глобальных мод с равными инкрементами, качественно совпадают с характеристиками крупномасштабных структур, наблюдаемых в экспериментах на ускорителях с замкнутым дрейфом электронов.

• Численно рассчитаны собственные частоты и собственные функции неустойчивых глобальных мод внутри ускоряющего канала СПД. Исследовано влияние изменения геометрических размеров (длины и ширины) ускоряющего канала СПД на форму частотного спектра неустойчивых глобальных мод; определены условия формирования биений.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты по исследованию гидродинамических неустойчивостей поперечных электростатических колебаний, развивающихся в плазме с незамагниченной ионной компонентой, имеют большое значение, как для понимания фундаментальных процессов, протекающих в типичных условиях, характерных для плазменных разрядов в скрещенных электрическом и магнитном полях, так и для оптимизации существующих ускорителей с замкнутым дрейфом электронов. В частности,

• Полученные в диссертационной работе условия устойчивости и дисперсионные характеристики электростатических поперечных колебаний могут быть использованы для анализа спектра коле-

баний электрического потенциала плазмы в установках холлов-ского типа: магнетронных разрядах, источниках многозарядных ионов, стационарных плазменных двигателях, разрядах Пеннин-га и т. п. Выведенные редуцированные гидродинамические уравнения также являются основой для последующего численного расчета нелинейной стадии эволюции таких систем и аномального переноса, связанного с рассматриваемой неустойчивостью.

• Полученные выражения для профилей граничной устойчивости, характеризующих стационарное состояние плазмы в скрещенных полях, могут быть использованы для определения профилей параметров плазмы, магнитного и электрического полей в СЗДЭ и для оптимизации рабочих режимов установок.

• Результаты расчета устойчивости ускоряющего канала СПД могут быть использованы для интерпретации экспериментально наблюдаемых осцилляций разряда в установке и их контроля. Отдельное методическое значение имеет проведенная проверка применимости стандартно используемого приближения холодной плазмы для описания колебаний в СПД.

• Продемонстрированное возникновение биений глобальных мод градиентной неустойчивости является возможным механизмом формирования крупномасштабных азимутальных структур типа спиц, наблюдаемых в ускоряющих каналах СЗДЭ; знания о локализации и волновых характеристиках глобальных мод может быть использовано для разработки методик контроля таких структур.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Физика плазмы», 01.04.08 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электростатические колебания в неоднородных плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов»

Апробация работы

Результаты диссертационного исследования регулярно докладывались и обсуждались на семинарах Отдела теории плазмы в НИЦ "Курчатовский институт", а также на специализированных российских и международных конференциях, таких как: ХЫУ, ХЬУ Международные (Звенигородские) конференции по физике

плазмы и УТС (Звенигород, 2017, 2018), XIV Конференция молодых ученых "Фундаментальные и прикладные космические исследования" (Москва, ИКИ РАН, 2017), 44-ой и 45-ой Международных конференциях Европейского физического общества по физике плазмы (Белфаст, Великобритания, 2017; Прага, Чехия, 2018). Полученные автором оригинальные результаты опубликованы в ведущих специализированных отечественных и зарубежных научных журналах, в трудах международных конференций. По теме диссертации опубликовано 12 работ [31], [69]-[71], [74]-[81], в том числе 5 статей в рецензируемых журналах [71], [74], [75], [77], [78]; в качестве объекта интеллектуальной собственности зарегистрирована программа для ЭВМ [81].

Личный вклад автора

Все результаты, изложенные в диссертации, были получены при непосредственном участии автора на всех этапах работы. Автору принадлежит существенная часть численных расчетов по исследованию влияния эффектов инерции и КЛР электронов на характер неустойчивости плазмы с поперечным током в скрещенных полях. Автором исследовано влияние эффектов конечной температуры и ионного потока на распределение параметров наиболее неустойчивых мод в канале СПД. Автор внес значительный вклад в постановку и решение задач о неустойчивости глобальных мод в системах с замкнутым дрейфом электронов.

Объём и структура диссертации

Материал диссертации изложен на 120 страницах, включая 45 рисунков. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 13 параграфов, заключения и приложения, состоящего из двух разделов. Каждая глава начинается с небольшого вступления, разъясняющего, чему посвящена данная глава, и заканчивается кратким резюме, в котором суммируются полученные в ней результаты. Список цитируемой литературы содержит 107 наименований.

Первая глава диссертационной работы посвящена построению гидродинамической модели для описания дисперсии электростатических возмущений, распространяющихся в неоднородной плазме низкого давления с незамагниченными ионами и замагниченными горячими электронами, помещенной во внешние скрещенные электрическое и магнитное поля. В параграфе 1.1 описан вывод редуцированной системы уравнений гидродинамического типа для электронной и ионной компонент плазмы, базирующийся на двужидкостной без-диссипативной модели. Поведение холодных незамагниченных ионов описывается стандартным уравнением движения (без учета сил Лоренца и давления) и уравнением непрерывности. Динамика горячей электронной компоненты плазмы поперек внешнего магнитного поля описывается одним уравнением непрерывности, редуцированным на случай медленных движений (по сравнению с циклотронным периодом электронов), и учитывающем силы магнитной вязкости. В параграфе 1.2 редуцированная система уравнений используется для вывода основного дисперсионного соотношения. В заключении параграфа 1.2 приведен краткий обзор ранее известных дисперсионных соотношений, следующих из полученного закона дисперсии в некоторых частных случаях. Краткое резюме главы 1 дано в параграфе 1.3.

Во второй главе исследуется устойчивость электростатических колебаний неоднородной плазмы на фоне произвольного стационарного состояния СЗДЭ. В параграфе 2.1 определены необходимое и достаточное условия градиентной неустойчивости. При помощи анализа волновых характеристик неустойчивых азимутальных возмущений исследуется влияние эффектов инерции и конечного ларморовско-го радиуса (КЛР) электронов на характер развития неустойчивости. В параграфе 2.2 исследуется поведение градиентной неустойчивости азимутальных возмущений вблизи границы неустойчивой области. В подпараграфе 2.2.1 представлена процедура минимизации функции, описывающей границу неустойчивой области, по отношению к скорости вращения электронов; найдены ее пороговые значения, при превышении которых в системе развивается градиентная неустой-

чивость. В подпараграфе 2.2.2 приводится вывод асимптотических выражений для длин волн, частот и инкрементов наиболее неустойчивых мод вблизи (режим слабой накачки неустойчивости) и вдали (режим сильной накачки неустойчивости) от порога неустойчивости. Определены условия, при которых во всем спектре неустойчивых мод максимальным инкрементом обладают низкочастотные и ^ длинноволновые к±ре ^ 1 колебания, волновые характеристики которых совпадают с параметрами вращающихся крупномасштабных структур, наблюдаемых в экспериментах. Краткое резюме главы 2 дано в параграфе 2.3.

В третьей главе диссертации численно исследуется устойчивость электростатический колебаний плазмы в ускоряющем канале СПД. В параграфе 3.1 на основе результатов работ, посвященных численному и экспериментальному исследованию операционных режимов плазменных ускорителей типа СПД, подобраны аналитические выражения, аппроксимирующие профили распределения электрического и магнитного полей, плотности плазмы и электронной температуры вдоль оси ускоряющего канала. В параграфе 3.2 для заданных профилей стационарного состояния рассчитаны волновые характеристики наиболее неустойчивых возмущений в ускоряющем канале. Для анализа влияния эффектов электронной температуры и стационарного потока ионов последовательно рассматриваются три случая: 1 - приближение холодных электронов и неподвижных ионов (подпараграф 3.2.1); 2 - приближение горячих электронов и неподвижных ионов (подпараграф 3.2.2); 3 - приближение горячих электронов и движущихся ионов (подпараграф 3.2.3). Краткое резюме главы 3 дано в параграфе 3.3.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию глобальной структуры собственных мод градиентной неустойчивости в СЗДЭ. В параграфе 4.1 для модельной конфигурации разряда маг-нетронного типа с твердотельным профилем вращения электронов и степенным профилем плотности плазмы в приближении холодных электронов получены точные аналитические решения задачи на соб-

ственные значения. Рассчитана радиальная структура возмущений электростатического потенциала и спектр собственных неустойчивых колебаний. Демонстрируется возникновение биений между наиболее неустойчивыми модами спектра в ходе развития градиентной неустойчивости. В подпараграфе 4.2 для профилей стационарных параметров в СПД численно рассчитана аксиальная структура возмущений электростатического потенциала и спектр собственных неустойчивых колебаний. Исследуется влияние изменение геометрических размеров плазменного двигателя (изменение радиуса ускоряющего канала - подпараграф 4.2.1 и длины канала - подпара-граф 4.2.2) на спектр и структуру собственных колебаний. В разделе 4.3 сформулирован возможный механизм формирования крупномасштабных спицеобразных структур, экспериментально наблюдаемых в различных СЗДЭ при помощи высокоскоростной видеофиксации видимого излучения плазмы. Краткое резюме главы 4 дано в параграфе 4.4.

В заключении сформулированы выводы и основные результаты диссертации.

В приложении А.1 приведено выражение для тензора магнитной вязкости с учетом неоднородности магнитного поля и получена его векторная форма, необходимая для вывода редуцированного уравнения непрерывности, описывающего динамику электронной компоненты плазмы. В приложении А.2 изложена процедура матричной дискретизации уравнения малых колебаний и описан используемый алгоритм численного решения задачи на собственные значения.

Автор выносит на защиту:

1. Необходимое и достаточное условия градиентной неустойчивости поперечных электростатических колебаний в неоднородной плазме с незамагниченными ионами и горячими замагниченными электронами в скрещенных электрическом и неоднородном магнитном полях.

2. Аналитические выражения для профилей граничной устойчивости азимутальных электростатических колебаний в неоднородной плазме с поперечным током электронов.

3. Вывод о разделении ускоряющего канала стационарного плазменного двигателя на три пространственные области по направлению распространения и характеристиками наиболее неустойчивых электростатических возмущений.

4. Вывод о том, что на линейной стадии развития градиентной неустойчивости плазмы с поперечным током электронов происходит формирование биений между наиболее неустойчивыми глобальными модами, параметры которых совпадают с волновыми характеристиками крупномасштабных азимутальных структур типа спиц, экспериментально наблюдаемых в системах с замкнутым дрейфом электронов.

5. Модель, описывающая возникновение крупномасштабных азимутальных структур в прианодной части ускоряющего канала стационарного плазменного двигателя как результат развития градиентной неустойчивости плазмы.

Глава 1

Гидродинамическая модель колебаний

неоднородной плазмы с незамагниченными ионами и замагниченными электронами в скрещенных электрическом и магнитном полях

На основе двужидкостных уравнений динамики плазмы с незамагни-ченными ионами и замагниченными электронами построена редуцированная модель для описания гидродинамических неустойчивостей неоднородной плазмы с поперечным током, помещенной во внешние скрещенные электрическое и магнитное поля произвольной конфигурации. Получено локальное дисперсионное соотношение для электростатических возмущений движущейся плазмы с учетом неоднородности магнитного поля и плотности плазмы, инерции и конечной температуры электронов. Представлен краткий обзор дисперсионных соотношений, полученных ранее в литературе для описания неустой-чивостей плазмы с поперечным током в скрещенных полях.

1.1 Редуцированные уравнения двужидкостной

гидродинамики с учетом эффектов конечной температуры электронов

Для описания поведения плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях воспользуемся приближением двужидкостной гидродинамики. Как отмечалось во Введении, в условиях, характерных для плазменных систем с замкнутым дрейфом электронов (СЗДЭ), ионная компонента плазмы является незамагниченной, и ее движение может быть описано уравнением

ж + = тЕ (1Л)

где V и щ - скорость и концентрация ионов; Е - напряженность электрического поля; е и т^ - элементарный заряд и масса иона (ионы предполагаются однозарядными). Из уравнения (1.1) исключены

силы ионного давления, так как в дальнейшем, при исследовании волновых процессов, нас будут интересовать только такие колебания, фазовая скорость которых урь существенно превосходит тепловую скорость ионов УТ1, ^ УТ1.

Плотность ионов удовлетворяет уравнению непрерывности

—п ■

+ (пгчг) = 0. (1.2)

Уравнение движения замагниченных горячих электронов имеет следующий вид:

-ve , e 1Г ^Л Vpe Vn e х

—e + (Ve • V)ve =--E + -[Ve X Б]--^--e. (1.3)

-t me \ c ) mene mene

Здесь ve и ne - скорость и концентрация электронов; pe = neTe - давление электронов, Te - температура электронов; Б - напряженность магнитного поля; me - масса электрона; ne - тензор бесстолкнови-тельной вязкости.

Плотность электронов также удовлетворяет уравнению непрерывности

—n

-t- + div (neVe)=0. (1.4)

Температура электронов предполагается постоянной Te = const, поэтому уравнение для баланса энергии не используется.

Система уравнений (1.1)-(1.4) должна быть дополнена системой уравнений Максвелла для электромагнитного поля, однако для исследования чисто электростатических процессов E = -V0, где ф - потенциал электрического поля, достаточно замкнуть систему (1.1)-(1.4) уравнением Пуассона

Дф = 4ne(ne - n). (1.5)

Общее выражение для сил бесстолкновительной вязкости в уравнении (1.3) в случае неоднородного криволинейного магнитного поля было получено в работе [82]. В ортогональной системе координат при Te = const оно может быть приведено к следующей векторной форме (см. подробности вывода в приложении А.1) [83]:

v • Пе = - mene(U*e • V)ve + V ^(b • rot Ve)j - 2(B • V)B +

+ K>t{ ^ (2(b • V)ve + (div Ve - 3b(b • V)Ve) b) } , (1.6)

где

U*e = -rot ( — b ) ,

meUe V^Be J

a = 2^ I [b X (b X rot Ve + 3(b • V)Ve)] + 1(b • rot Ve)^ , (1.7)

b = B/B - единичный вектор вдоль направления магнитного поля и ^Be = eB/mec - циклотронная частота электронов. Подстановка выражения (1.6) в правую часть уравнения движения (1.3) приводит к уравнению

mene( Jt + (Ve - U*e) • V j Ve +

+rot{ 2^ (2(b • V)Ve + (div Ve - 3b(b • V)Ve) b^ =

e

3e

= -enЛ E + 1 [Ve X B] j - V be + 2^"(b • rot Ve^ +

Pe ' [b x (b x rot Ve + 3(b • V)Ve)] + i(b • rot Ve)b

+ (В •V) ^ _--------с , _ .

и>Бе I -

(1.8)

Вектор и*е описывает дрейф электронов под действем неоднородности плотности и магнитного поля. В типичных условиях, реализуемых в СЗДЭ, давление плазмы крайне мало [15], [20]-[22]. Это позволяет считать магнитное поле в плазме равным вакуумному полю, создаваемому внешними катушками, поэтому внутри объема плазмы гО В = 0. Пользуясь этим предположением, удобно переписать выражение (1.7) для и*е в виде

ст 2сТ

и*е = Ур-Уд, Ур = —е[V 1пиехЪ], Уд = -"те[V 1пВхЪ]. (1.9)

ев еВ

Интересуясь достаточно медленными процессами, характерное время т которых удовлетворяет неравенству тиве ^ 1, получим яв-

ное выражение для уе путем разложения уравнения (1.8) по степеням ^В^. В нулевом приближении по скорость равна

ve0) = Ve + Vp, Ve = - [E x b].

B

(1.10)

Далее, рассматривая поперечное (по отношению к магнитному полю) движением электронов (уе•Ь) = 0, и предполагая, что магнитное поле

•• К (!)

также неоднородно только поперек Ь, получим выражение для уе

v« =

e

UBe

+

mene

-rot

Pe

-

- + (Ve + Vd ) • V -t

b div vi0M + —V ( -b rot vi0) ) L b.

v<0) +

e

mene

2UBe

(1.11)

Члены в правой части выражения (1.11) описывают влияние инерции и бесстолкновительной вязкости электронов на характер их движения. Помимо стандартного "сокращения диамагнитных дрейфов" (gyroviscous cancellation - в англоязычной литературе), при котором слагаемое Vp "выпадает" из выражения для оператора конвективной производной [61], учет неоднородности магнитного поля приводит к появлению новых членов в (1.11), пропорциональных pe/LB, где Lb -характерный масштаб изменения магнитного поля и pe = \JTe/meuBe - ларморовский радиус электронов.

Окончательно, подставляя выражение для скорости электронов в виде ve = ve0) + vei) в уравнение непрерывности (1.4), получим уравнение динамики электронной компоненты плазмы

(— + Ve • v) ne - 2ne(VE + Vp) • V ln B +

+ Д

' neTe ± I -(VE ' T P

V

(Ve + Vp) • V ln B) -

' neTf

meUBe

^BeB

div ((Ve + Vp) x B) x b} • vlnb +

+ div

ne

UBe

- \

- + (Ve + Vd) • VJ (Ve + vp)

x b = 0,

(1.12)

1

1

1

где

ДЛ...) = ¿IV [v(...) - ъ(ъ ^(...))].

Система уравнений (1.1), (1.2), (1.5) и (1.12) образует искомую редуцированную модель, описывающую динамику неоднородной плазмы низкого давления с незамагниченными холодными ионами и за-магниченными горячими электронами, движущимися поперек внешнего неоднородного криволинейного магнитного поля. Данная система является основой для исследования электростатических колебаний в СЗДЭ, представленного в последующих главах диссертации.

1.2 Локальное дисперсионное соотношение для электростатических колебаний в плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов

Для исследования колебаний в плазменных системах с замкнутым дрейфом электронов введем локальную декартову систему координат (х,у,г) с осью х, направленной вдоль внешнего стационарного электрического поля Е0 = Е0(х)ех. Магнитное поле зададим в виде В = Вх(х, г)ех + Вг(х, г)е^ ~ В(ж)е^. Такое представление магнитного поля является стандартным приближением при исследовании базовой модели ускорителя типа СПД - см., например, [30], [62] и [65]. Остальные стационарные величины также будем считать зависящими только от х. В ускорителях типа СПД, в которых магнитное поле имеет преимущественно радиальную компоненту, а электрическое поле направлено вдоль оси симметрии системы, локальные координаты г и х определяют радиальное и аксиальное направления, соответственно. Локальная координата у задает азимутальное направление. Геометрия ускорителя типа СПД изображена на рис. 1.1(а). В обращенных системах (плазменные магнетронные разряды и разряды Пеннинга), в которых магнитное поле направлено преимущественно вдоль оси симметрии, а электрическое поле - вдоль радиуса, локальные координаты г и ж обозначают аксиальное и радиальное направления, со-отвественно. Для расчета структуры собственных глобальных мод в конфигурациях магнетронного типа (глава 4) мы также будем приме-

нять более естественную для такой задачи цилиндрическую систему координат (г, 9, г) - см. рис. 1.1(б).

(a)

(б)

Рис. 1.1: Конфигурации полей в ускоряющих каналах СЗДЭ и используемые системы координат: (а) - геометрия стационарного плазменного двигателя (СПД), (б) - геометрия цилиндрического магнетронного разряда.

Используя введенную систему координат, определим стационарное состояние (д/д^ = 0) СЗДЭ. Замагниченные электроны под действием стационарного электрического поля Е0 = Е0(х)ех и градиента плотности Уп0е = ((п0е/(х)ех дрейфуют вдоль оси у со скоростью

/тг , лг Ч лг Ео сТе (1п пое

^0е = (УОЕ + У*е)еу, УоЕ = , Ке = - в .

Профиль стационарной скорости ионов = ^0^(ж)ех, ускоряющихся в электрическом поле, в соответствии с уравнением (1.1) определяется соотношением

= — Eo. dx mi

(1.13)

Наконец, как видно из уравнения (1.2), плотность потока ионов в стационарном состоянии внутри канала СЗДЭ является сохраняющейся величиной, n0i(x)v0i(x) = const. Следовательно, неоднород-

ность плотности ионов связана с их скоростью и электрическим полем посредством выражения

1 dnpi =__dvo1 = Voe мы

n0i dx V0i dx v0i '

где UBi = eB/mic - циклотронная частота ионов. Устойчивость плазмы вблизи такого стационарного состояния была впервые исследована в работе [30]. Однако как показывают экспериментальные данные, полученные на различных СЗДЭ, плотность потока ионов вдоль оси ускоряющего канала непостоянна (ni0(x)v0i(x) = const). Причиной тому могут быть различные факторы, связанные с радиальным расхождением ионного потока, ионизационными процессами, пристеночными эффектами и т.п. - см. обсуждение в работе [62]. Поэтому далее значения электрического поля E0 и плотности n0 плазмы (в стационарном состоянии плазма считается квазинейтральной n0 = n0i = n0e) будем полагать независимыми.

Рассмотрим теперь задачу о распространении электростатических возмущений плазмы E' = -Vtj)' поперек внешнего магнитного поля B (в плоскости (x,y)). Возмущения, распространяющиеся вдоль оси x, будем называть аксиальными, а вдоль оси y - азимутальными. В локальном (квазиклассическом) приближении пространственно-временная зависимость всех возмущенных величин задается в виде ~ exp[i(kr - ut)], где k = (kx, ky, 0) - волновой вектор и и - частота возмущений. Подобное представление предполагает малость длин волн таких возмущений по сравнению с характерными размерами неоднородностей равновесных параметров плазмы. В частности, для аксиальных мод должно выполняться условие kxl ^ 1, где l - характерная длина неоднородности плотности плазмы, электрического и магнитного поля.

Для описания возмущений ионной компоненты плазмы лианери-зуем уравнения (1.1) и (1.2), представляя скорость и концентрацию ионов в виде сумм стационарных и возмущенных величин: Vi = v0i(x)ex + v', ni = n0 + n'. Для малых амплитуд возмущений (IVI, n') < (V0i,n0) получим

ек

(и - кх^Х = —ф, (и - кхУо1)п'1 - по (к • у'г) = 0. (1.14)

Разрешая полученную систему относительно п^, получим выражение для возмущения плотности ионов

где к2 = кХх + к^ и с8 = (Те/—¿)1/2 - скорость звука.

Линеаризуя уравнение (1.12) по отношению к мелкомасштабным возмущениям, получим

[и - ив - ив + к2 Р2(и - ив - 2ив)] п'е = = [и*е - ив + к2р2(и - ив - 2ив)] еП0 ф'. (1.16)

Те

Здесь п'е обозначает возмущение электронной плотности и введены дрейфовые частоты

ив = ку Уов, и*е = ку У*е, ив = ку Ув,

где У в = -(2сТе/еВ)( 1п В/(х - скорость градиентного дрейфа.

Выражение для возмущенной плотности электронов (1.16) удобно переписать в следующем виде

Пе = 1

1 + к! р2

где

и*е - и в + к2 Р2

и — ив — ив

еП0 Ф', (1.17)

Т

Те

1 + 2к2 р2

ив = •

Рассмотрим выражение для п'е подробней. Для наглядности ограничимся случаем однородных плотности плазмы (п0/(х = 0 и магнитного поля ё,В/(х = 0, в котором выражение (1.17) принимает вид

к Ре епо

Пе = Г+к[Р| Т ф. (1.18)

По своей структуре выражение (1.18) является рациональной Паде аппроксимаций более общего выражения, полученного в рамках кинетической теории1 [84,85]:

< = [1 - !о(к2±р2) ехр(—к2 р2)] ^ Ф', (1.19)

Т е

где /0 - модифицированная функция Бесселя первого рода. Такая аппроксимация позволят в рамках расширенной гидродинамической модели (с учетом сил бесстолкновительной вязкости) асимптотически корректно описывать возмущения как с большими (но конечными к\р1 < 1), так и с малыми (кк^р2е ^ 1) длинами волн. В коротковолновом пределе выражение (1.18) переходит в хорошо известное распределение Больцмана п'е = (еп0/Те)ф'. В промежуточной области значений к\р2 > 1 аппроксимация Паде дает качественно (но не количественно) верный результат. Подробное описание аппроксимации Паде и других более точных аппроксимаций функций Бесселя, используемых применительно к проблеме учета эффектов конечного ларморовского радиуса (КЛР) в расширенной гидродинамической теории, можно найти в работе [86].

Подставляя выражения для возмущенных концентраций ионной и электронной компонент плазмы (1.15) и (1.17) в линеаризованное уравнение Пуассона к\ф' = 4пв(п^ — п'е), получим искомое дисперсионное соотношение для электростатических колебаний частично замагниченной плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях [69]-[71]:

1 + иРе иР* + и*е — и В =о

и|е(1 + к\р2е) (и — Кщ*)2 к2±&е(1 + к\р2е)(и — ив — &В) '

(1.20)

Здесь ира = у/4лёепо"/щ - плазменная частота, где ] = (г, е); (е = (Те/4пееп0)1/е - дебаевский радиус.

Уравнение (1.20) представляет собой дисперсионное соотношение для описания электростатических колебаний, распространяющихся

1 Заметим, что в оригинальных работах выражения для и' были получены для ионной ком-

поненты, и совпадают с (1.18) и (1.19) с точностью до замены обозначений г ^ е.

в неоднородной плазме с незамагниченными ионами поперек внешнего неоднородного магнитного поля, в нижнегибридном диапазоне частот: и^ ^ и ^ иве. Первый член в уравнении (1.20) обусловлен эффектами неквазинейтральности колебаний, второй член описывает влияние электронной инерции, третий член соответствует высокочастотному (и ^ ив) отклику ионов и, наконец, четвертый член учитывает электронный отклик и включает в себя эффекты, связанные с неоднородностью плотности плазмы и магнитного поля, эффекты КЛР в приближении Паде, эффекты стационарного азимутального вращения и конечной температуры электронов.

Для дальнейшего анализа удобно переписать уравнение (1.20) в форме

1+ ире и2 ире ку (кп - 2кв) = 0

и|е(1 + к!Р2) (и - кх^ог)2 иве(и - ив - ив) к!(1 + к!р2е) ,

(1.21)

где

(1п(по, В) 1 + 2к2 р2

Кп,В = -;-, ^в = . , 7 2 2 • кв •

(х 1 + к^ р2

Далее приведем дисперсионные соотношения, напрямую вытекающие из уравнения (1.21) в различных предельных случаях, или схожие с ним по характеру описываемых эффектов. Наиболее простым является предельный случай низкочастотных и ^ и^ длинноволновых к^р2 ^ 1 колебаний, при котором степень исходного кубического по частоте возмущений и уравнения (1.21) понижается. В однородном магнитного поле (кв = 0) при Ео = 0 уравнение (1.21) в рассматриваемом пределе переходит к виду

22

и = ^. (1.22)

и*е

Это так называемая антидрейфовая мода, впервые исследованная в работе [87]. Из-за отсутствия сдвига фаз между возмущениями плотности электронов п'е и электростатического потенциала ф антидрейфовая мода является устойчивой [88]. В качестве дестабилизирующего механизма антидрейфовой моды в оригинальной работе [87] рас-

сматривались столкновения горячих электронов слабоионизованной плазмы с нейтральными атомами газа. При этом возмущения плотности п'е и потенциала ф' связаны между собой следующим выраже-

е

нием:

< = + г^ТеКе епф', (1.23)

е и + гк2^2е/ипе Те ф, К ;

где Уте = \]Те/те - тепловая скорость электронов, рпе - частота столкновений электронов с нейтральными атомами и кг - продольное волновое число.

Другой присущий плазме СЗДЭ механизм дестабилизации антидрейфовой моды связан с относительным движеним компонент плазмы (током) в скрещенных полях. Если по какой-либо причине относительная скорость стационарного движения ионов и электронов вдоль направления Е0 х В-дрейфа не равна нулю, уог — у0е = 0, антидрейфовая мода может быть дестабилизирована. В этом случае дисперсионное соотношение (1.22) переходит к виду

ике к2_с2

(1.24)

и — ку У0е (и — ку У0г)Г

Если, к примеру, в исследуемой системе частицы плазмы претерпевают столкновения с частицами нейтрального газа, то скорость движения заряженных частиц вдоль направления электрического дрейфа зависит от их сорта. Так, сильнозамагниченные легкие электроны практически не взаимодействуют с атомами газа, поэтому их скорость остается близка к скорости электрического дрейфа У0е , у0е ~ У0е . В то же время тяжелые ионы в силу очевидного условия ивг ^ иве, двигаются в скрещенных полях медленнее, чем электроны, а их стационарная скорость определяется хорошо известным выражением [89]

У0г = , {У°Е-Х2 • (1.25)

1 + (Рпг/ивг)2

Простейший анализ дисперсионного соотношения (1.24) с учетом выражения (1.25) показывает, что рассматриваемая мода является неустойчивой, если выполнен критерий

Уог - Ще п (л одх

-Кп < 0, (1.26)

ивг

или

Ео • Упо > 0. (1.27)

Неустойчивость слабоионизованной замагниченной неоднородной плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях, развивающаяся при выполнении критерия (1.27), известна как неустойчивость Саймона-Хо [57,58]. Заметим, что такая неустойчивость схожа с обыкновенной желобковой неустойчивостью [61], если при описании последней задать эффективное поле тяжести ge// в виде:

Похожие диссертационные работы по специальности «Физика плазмы», 01.04.08 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Марусов Никита Андреевич, 2020 год

- -

Хв

Хп/2 Хп+1/2 Хп/2 Хп+1/2

(а) (б)

Рис. 2.11: Зависимость критического значения скорости электронов £сг от параметра неоднородности магнитного поля хв при фиксированном значении параметра неоднородности плотности плазмы хп: (а) - хп = 0,6 и (б) - хп = 3. Пунктирные кривые соответствуют верхнему и нижнему порогам неустойчивости коротковолновых возмущений с к2 > к2 в подынтервале хв € (хп/2,хп).

Зависимость волнового числа и частоты возмущений, рассчитанных для критического значения скорости £сг, от параметра хв изображены на рис. 2.12 и 2.13, соответственно.

к±ре

Хп~ 1/2 Хп

\ к1- -

\ к2 -

\

к1+ \

Хп/2

(а)

к±Ре хв

Хв о

Хп+1/2

Хп~ 1/2 >

Хп/2 Хв + 1/2

(б)

Хв

Рис. 2.12: Зависимость волнового числа к при £ = £сг от параметра неоднородности магнитного поля хв при фиксированном значении параметра неоднородности плотности плазмы хп: (а) - Хп = 0, 6 и (б) - хп = 3. Пунктирные кривые соответствуют волновым числам коротковолновых возмущений с к2 > к2.

Щи)/иНН Хп-1/2 Хп

о

(а)

Ие(о))/ш1н \в 1 Хв о

Хп-1/2 Хп

Хп + 1/2

Хв

Хп/2

Хп+1/2

(б)

Рис. 2.13: Зависимость частоты возмущений при £ = £сг от параметра неоднородности магнитного поля хв при фиксированном значении параметра неоднородности плотности плазмы хп: (а) - Хп = 0, 6 и (б) - хп = 3. Пунктирные кривые соответствуют частотам коротковолновых возмущений с к2 > к2.

Из представленных иллюстрации видно, что в интервале 0 < Хп < 1 возмущения с к = 0 при £ = £сг соответствуют двум подынтервалам значений параметра хВ: ХВ £ (-то,хп - 1/2] и хВ £ [хп + 1/2, то). Следовательно, при данных значениях параметров хп и хВ вблизи границы неустойчивой области £ > £сг раскачиваются только длин-

новолновые к ^ 1 низкочастотные шг ^ колебания. Для остальных значений параметра хв вблизи порога раскачиваются преимущественно коротковолновые к > 1 высокочастотные шг — колебания.

При хп > 1 раскачка длинноволновых колебаний вблизи порога неустойчивости происходит только в подынтервалах хв £ (-то, хВ ХВ £ (хп — 1/2, хВ+^] и хВ £ [хп + 1/2, то). Для остальных значений параметра хв наименьшим порогом обладают коротковолновые высокочастотные моды.

2.2.2 Частотные характеристики неустойчивых колебаний

Проведем частотный анализ неустойчивых колебаний при различных значениях параметра хв в каждом из трех интервалов: хв £ (—то,хп/2]; хв £ (хп/2,хп) и хв £ [хп то).

Неустойчивые колебания при хв £ (—то,х™/2] и хв £ [х™, то)

Из анализа порогов неустойчивости следует, что для значений параметров хп и хв, принадлежащих подынтервалам хв £ (—то, хп —1/2] и хв £ [хп + 1/2, то) при 0 < хп < 1 или хв £ (—то^")] и хв £ [хп + 1/2, то) при хп > 1, функция £ (к2) является возрастающей и при к ^ 0 стремится к значению £0. Покажем теперь, что в близи порога неустойчивости, когда величина £ незначительно превышает £0, т.е. £ = £0 (1 + 0(к2)), эффекты КЛР электронов стабилизируют коротковолновые возмущения.

При сделанных предположениях оказываются справедливы следующие оценки

- к, 4Аг2 + 1 — 2^2 - 1 — 4£(хп — хв) + 0(к2) - к2. Перепишем дисперсионное соотношение (2.2) в форме л2 1 2 1 \ 3Ш 3Ш2 Ш3 ,

ш2 = 77^ 4Аа2 + 1 — — ттг^ — 77^ — V-, (2.40)

4А2а2 V 2А2а2/ 4А3а3 2А2а2 Аа у у

где

ш = ш — ¿- (2.41)

Это уравнение удовлетворяется при ш ~ к2. Удерживая члены с точностью до к4 и пренебрегая последними тремя слагаемыми в уравнении (2.40), найдем выражения для частоты и инкремента 7:

к_|_С?

7 = о,т, V 1 \/Ас

2|Ке - Уо|

^Ас - 1 - вк2 р2, (2.42)

где

л ¿с \ 4(кп - 2кв)(Уое + Уо) Ас = 4£(хп - Хв) =--

в =0 - (1 - 4хв(Хп- хв)). (2.43)

Параметр Ас пропорционален скорости азимутального вращения электронов и при Ас = 1 соответствует критическому значению £ = £сг = £0. Легко проверить, что для рассматриваемых подынтервалов значений параметров хп и хв, эффекты КЛР играют стабилизирующую роль, в > 0. Поэтому возмущения с длинами волн

к± ^ ^шах где

к±шах Ре = [(Ас - 1)/в]1/2,

оказываются стабилизированными. Наибольшим инкрементом в интервале 0 < к^ < к^шаж обладает мода с волновым числом к^ре = [(Ас - 1)/2в]1/2. Значение частоты и инкремента данной моды равны

(А 1 \ 1/2

^ = ^ (2.44)

Такие длинноволновые моды были ранее исследованы в работах [62], [65] и [96] без учета эффектов инерции электронов и КЛР. Рассмотренные возмущения доминируют во всем спектре неустойчивых мод, когда значение скорости электронов близко к критическому £сг. Од-

нако, как показано ниже, при £ ^ £сг наиболее неустойчивыми являются высокочастотные колебания.

В подынтервалах значений параметров хв £ (—то,хп — 1/2] при 0 < хп < 1 и хв £ (—то, хв )] при хп > 1 с ростом £ спектр неустойчивых мод уширяется, а длина волны наиболее неустойчивых возмущений уменьшается. При £ = 1 - хв дестабилизируется весь спектр колебаний (к2 ^ то). Аналогичное поведение наблюдается в подынтервале значений хв £ [хп + 1/2, то) при хп > 0, в котором неустойчивость возникает при £ < 0. Уширение спектра происходит с ростом значения —£ вплоть до £ = —1 — хв, при котором весь спектр оказывается неустойчив.

При £ = ±1 — хв (в соответствующих подынтервалах значений хп и хв) наибольшим инкрементом обладают коротковолновые возмущения к ^ 1, для которых а2 ^ 1 и А ^ 1.В данном пределе уравнение (2.2) решается аналитически. Перепишем его в форме

(ш + а)2 (ш — а) = а(1 — А)ш2 — (а2 — 1)(ш + а). (2.45)

Из-за малости правой части уравнения (2.45) его неустойчивые решения могут быть представлены в виде ш = —а + еш, где еш — к—1. Пренебрегая последним членом в правой части уравнения (2.45), находим, что величина еш удовлетворяет уравнению

2(еш)2 + а2 (1 — А) = 0. (2.46)

Решения полученного уравнения описывают частоту и инкремент наиболее неустойчивых возмущений с длиной волны к^ре ^ 1:

шг - к±с5 (ку (УЕ + 2УЪ)) ,

1/2

. (2.47)

7 - шш

1 |хп — 2хв1

Такие возмущения являются высокочастотными коротковолновыми ионно-звуковыми волнами. Заметим, что инкремент данных мод "насыщается" с ростом значения волнового числа к и при к ^ то определяется выражением (2.47).

При последующем увеличении скорости электронов £ спектр неустойчивых мод сужается: эффекты электронной инерции стабилизируют возмущения с длинами волн несколько превышающими значение = (хп — Хв)/(£ + Хв)• Максимальное значение инкремента достигается при к2 = кО - см. (2.17). При

Х^—^ (£ + Хп — Хв) > 1 £ + Хв

наиболее неустойчивые возмущения характеризуются следующими значениями частоты и инкремента

_ = "2"

Хп — Хв, \ 2

£ + Х (£ + Хп — Хв) £ + Хв

1/6

(ку(УЕ + УУ),

\/3 ы/й 7 = —

Хп — Хв, \2

"Г——-(£ + Хп — Хв)

£ + Хв

1/6

(2.48)

В пределе £ ^ (Хп,Хв) выражения (2.48) упрощаются:

= ^ [£(Хп — Хв)]1/6 (ку(УЕ + У*е)) ,

7 = ^ [£(Хп — Хв)]1/6 . (2.49)

Данные возмущения являются длинноволновыми к^ре ~ (хп —

Хв )/£ « 1.

Линии уровня инкремента и частоты неустойчивых мод для рассматриваемых подынтервалов значений параметров хп и Хв, численно рассчитанные при помощи дисперсионного соотношения (2.2) для значений хп = 6 и Хв = —6, в переменных £-к^ представлены на рис. 2.14. Также на рис. 2.15 показана зависимость инкремента и частоты возмущений от волнового числа к при хп = 6 и Хв = —6 для разных значений скорости £.

В подынтервале Хв £ (Хп — 1/2,Хп/2] при 0 < Хп < 1 функция £ (к2), описывающая нижнюю границу неустойчивой области, при к2 ^ 0 равна £о и с ростом значения к2 убывает вплоть до к2 = к2+, где достигает своего минимального значения £1+. Следовательно, при

(а)

(б)

(в)

Рис. 2.14: (а) - диаграмма устойчивости в переменных £-к^ (неустойчивая область закрашена); линии уровня инкремента - (б) и частоты - (в) неустойчивых мод в переменных £-к^. Здесь хп = 6 и хв = —6. На рисунке (в) устойчивая область выделена белым цветом, а возмущения с частотами шг > - черным.

1т(П)/шш

31 £ = 28 / = 14

£ = 7

1т (П)/со1к 0,015-,

£ = 0,

1 к±ре

">0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

-0,0104

(а)

(б)

Рис. 2.15: Зависимость инкремента (сплошная кривая) и частоты (пунктирная кривая) от волнового числа к^: (а) - для разных значений скорости £, (б) - для £ — £сг. Здесь хп = 6 и хв = —6.

£1+ < £ < £0 длинноволновые колебания устойчивы. Неустойчивыми являются только такие возмущения, волновое число которых превосходит значения к^¿п (один из корней уравнения С2 = д1). Частота таких возмущений достаточно высока, ыг ~ ы/й. Эффекты КЛР приводят к стабилизации коротковолновых возмущений с к2 > к^ах, где к;;ах - еще один корень уравнения с2 = д1.

В подынтервале

Хп — 1/2 < Хв < 2(1 — Хп — \/1 + (1 — Хп)2)

значение к^а^ также находится из решения уравнения с2 = д1. Инкремент неустойчивости растет с увеличением скорости £ в области £1+ < £ < £0, а спектр неустойчивых мод уширяется.

В подынтервале

2 (1 + Хп — /1 + (1 — Хп)2) < Хв < у

при £ < 1 — Хв величина к^ах соответствует одному из корней уравнения с2 = д1, однако при £ > 1 — Хв находится из решения уравнения С2 = д2. В точке пересечения верхней и нижней границ неустойчивой области £ = 1 — Хв дестабилизируется весь спектр колебаний. Наибольшим инкрементом обладают высокочастотные ионно-звуковые волны, описываемые выражениями (2.47). С последующим ростом скорости £ в области £ > 1 — Хв спектр неустойчивых мод сужается (коротковолновые возмущения стабилизируются). При |£| ^ 1 максимальное значение инкремента достигается при к = к0 и описывается выражением (2.49).

Линии уровня инкремента и частоты неустойчивых мод для рассматриваемых подынтервалов значений параметров хп и Хв при Хп = 0, 5 и Хв = 0,15 в переменных £-к^ представлены на рис. 2.16. Также на рис. 2.17 показана зависимость инкремента и частоты возмущений от волнового числа к при Хп = 0, 5 и Хв = 0, 15 для разных значений скорости £.

2,5

4 1,5 1

0,5 -'

0 2 4 6 8 10

к±Ре

(а)

1т(и)/иш Ке(и)/шш

к±ре к±ре

(б) (в)

Рис. 2.16: (а) - диаграмма устойчивости в переменных £-к^ (неустойчивая область закрашена); линии уровня инкремента - (б) и частоты - (в) неустойчивых мод в переменных £-к^. Здесь хп = 0, 5 и хв = 0,15. На рисунке (в) устойчивая область выделена белым цветом, а возмущения с частотами шг > ш^ - черным.

1т{П)/иш

11 ^=3^=1,5 ^—^

о -1

-3-4-5-6-

Re(n)/uJlh

1

С = 0,9

(а)

к±ре

1ш {£1)/и)1н

0,5 л

0

-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5-

£ = 0,7

к±ре

Рис. 2.17: Зависимость инкремента (сплошная кривая) и частоты (пунктирная кривая) от волнового числа к^: (а) - для разных значений скорости £, (б) - для £ — £сг. Здесь хп = 0, 5 и хв = 0,15.

Аналогичное поведение неустойчивости наблюдается в подынтервалах хв £ (хв),Хп/2] при хп > 1 (с точностью до замены £1+ ^ £2+, к1+ ^ к2+) и Хв £ [Хп, Хп + 1/2) при Хп > 0 (с точностью до замены £1+ ^ £1—,к1+ ^ к1—). В последнем случае необходимое условие неустойчивости определяется неравенством £ < 0, поэтому инкремент неустойчивости растет с уменьшением £. Критическое значение скорости электронов £сг равно £1—.

Неустойчивые колебания при Хв £ (Хп/2,Хп)

В соответствии с результатами анализа порогов, изложенного в под-параграфе 2.2.1, неустойчивость возникает при £ > £2+, если £ > 0 или £2— < £ < £1—, если £ < 0 - см. рис. 2.18(а). В первом случае неустойчивые колебания являются преимущественно длинноволновыми к2 < к2, во втором - коротковолновыми к2 > к2.

При £ > 0 в области £2+ < £ < £0 возмущения с к2 > к^ш являются неустойчивыми, где к^¿п находится из решения уравнения с2 = д1. Эффекты инерции электронов и КЛР стабилизируют коротковолновые возмущения, поэтому неустойчивость существует только в диапазоне длин волн кто^п < к < ктах. Результаты численного расчета показывают, что в данном интервале значений параметров Хп и Хв наибольшими инкрементами обладают высокочастотные колебания с ы ~ ы/й - см. рис. 2.18(б, в). Длинноволновые колебания с к ^ 0 раскачиваются при £ > £0. Коротковолновые колебания с к > ктах стабилизируются. С ростом значения скорости £ спектр неустойчивых мод сужается. Максимальное значение инкремента достигается при к = к0 и описывается выражением (2.48) и (2.49).

При £ < 0 в области £2- < £ < £1- неустойчивые возмущения являются высокочастотными ы > ы/й. В точке £ = —1 — Хв наибольшим инкрементом обладают высокочастотные ионно-звуковые волны, описываемые выражениями (2.47).

Зависимость инкремента и частоты возмущений от волнового числа к при хп = 0, 5 и Хв = 0,4 для разных значений скорости £ представлена на рис. 2.19.

Рис. 2.18: (а) - диаграмма устойчивости в переменных £-к^ (неустойчивая область закрашена); линии уровня инкремента - (б) и частоты - (в) неустойчивых мод в переменных £-к^. Здесь Хп = 0, 5 и Хв = 0, 4. На рисунке (б) устойчивая область выделена белым цветом, а возмущения с частотами ыг > ы^ь - черным.

0,5

ОД 0

■ Лс=з

- е = -1,4

//¿ = -2,3

т\ -1Д5

0

2 3 (а)

к±ре

£ = 8\ £ = —1,15

-1-2-3-4

-5-

1 2

£ = 1,8

к±ре

— —1,4 -

(б)

Рис. 2.19: Зависимость инкремента (а) и частоты (б) от волнового числа к^ для разных значений скорости £. Здесь Хп = 0, 5 и Хв = 0, 4.

Качественно схожее поведение неустойчивости наблюдается при хп > 1. В подынтервале хв £ (хп/2,хп — 1/2) неустойчивость возникает при £ > £1+; хв £ (Дв^ х^ - при £ > £2+ и хв £ [хп — 1/2, хв)]

- пРи £ > £0.

2.3 Резюме главы 2

При помощи дисперсионного соотношения (1.21) проведено детальное исследование устойчивости малых электростатических колебаний, распространяющихся поперек внешнего неоднородного магнитного поля в плазме с незамагниченными ионами и горячими замаг-ниченными электронами. Получены необходимое и достаточное условия неустойчивости (2.9). Качественно исследовано влияние эффектов электронной инерции и КЛР на характер неустойчивости азимутальных колебаний. Показано, что при высокой скорости вращения электронов |а| ^ 1 (см. выражения (2.1) и (2.3)) эффекты инерции приводят к стабилизации коротковолновых возмущений к^Р2 ^ 1. В этом случае наибольшим инкрементом обладают высокочастотные (ш — ш^) возмущения с волновым числом (2.17). При учете эффектов КЛР поведение неустойчивости становится весьма чувствительным к параметрам стационарного состояния системы. Показано, что влияние эффектов КЛР ослабевает с ростом скорости вращения электронов из-за уменьшения значения волнового числа неустойчивых возмущений. Для количественной оценки относительного вклада эффектов инерции и КЛР в развитие исследуемой неустойчивости использован параметр 6 (2.18), значение которого зависит только от стационарных параметров СЗДЭ. В частности, показано, что при 6 ^ 1 (низкая скорость вращения электронов |а | < 1), эффекты КЛР приводят к полной стабилизации коротковолновых высокочастотных мод.

Исследована граничная устойчивость азимутальных возмущений. Для всех областей значений параметров неоднородности плотности плазмы хп и магнитного поля хв, заданных соотношениями (2.19), получены выражения для критической скорости вращения электронов £сг (2.30), (2.31), (2.33), (2.38) и (2.39), при превышении кото-

рой в плазме СЗДЭ развивается неустойчивость. Аналитически исследованы частотные характеристики наиболее неустойчивых возмущений при различных значениях скорости электронов £. Показано, что длинноволновые р2 ^ 1) низкочастотные (ы ^ ы^) колебания доминируют во всем спектре неустойчивых мод только вблизи порога (£ > £сг) с профилем

(^ + 42^УВ1 (П21 =,12, (2.50)

V Те В2 дж У По дж ЧВ2 7 4р2'

причем, реализация такого профиля возможна лишь в том случае, когда значения параметров хп и хв находятся в интервалах Хв £ (-то,Хп - 1/2] и хв £ [Хп + 1/2, то) при 0 < Хп < 1 или

Хв £ ( хв-^ Хв е [Хп-1/2, хВ+)] и Хв е [Хп+1/2, при Хп > 1, где параметры хв ) и Х£+) заданы выражениями (2.35) и (2.37), соответственно. В частности, достаточным условием реализации (2.50) является сильная неоднородность магнитного поля |хв | ^ |хп|.

Опираясь на концепцию граничной устойчивости, развитую в работах [72, 73] для исследования аномальных потерь заряженных частиц в открытых системах магнитного удержания плазмы, можно ожидать формирование граничного профиля (2.50) в плазме СЗДЭ с сильно неоднородным магнитным полем в ходе нелинейного насыщения градиентной неустойчивости.

Глава 3

Устойчивость электростатических колебаний в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

Численно исследована устойчивость электростатических колебаний плазмы в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя (СПД). Для расчета использованы типичные профили, описывающие изменение электрического и магнитного полей, плотности плазмы и электронной температуры вдоль оси ускоряющего канала. Определены волновые характеристики наиболее неустойчивых мод и найдена область локализации длинноволновых колебаний. Проанализировано влияние эффектов электронной температуры и стационарного течения ионов на характеристики неустойчивости в СПД.

3.1 Профили параметров в стационарном плазменном двигателе

Рассмотрим установку типа СПД, принципиальная схема которой изображена на рис. 3.1.

а

- длина ускоряющего канала.

Магнитное поле в СПД нарастает от анода к выходу из ускоряющего канала и спадает за его пределами. Для аппроксимации такой зависимости величины магнитного поля В от значения осевой координаты ж воспользуемся выражением из работы [28]:

Здесь Втоаж - максимальное значение магнитного поля на выходе из ускоряющего канала при ж = Координата ж = 0 соответствует положению анода. Коэффициент V! характеризует градиент функции

Из работ [28,97,98] следует, что профиль плотности плазмы имеет схожую форму с прифилем магнитного поля, однако ее максимальное значение достигается внутри ускоряющего канала СПД. Поэтому для аппроксимации профиля плотности воспользуемся аналогичным выражением

Здесь птоах - максимальное значение плотности плазмы в некотором сечении ускоряющего канала ж = ¿2, < ^ - коэффициент, характеризующий градиент функции п0(ж).

В соответствии с выражениями (3.1) и (3.2) профили параметров неоднородности магнитного поля кв и плотности плазмы кп задаются простыми линейными функциями

Для последующего анализа зададим значения коэффициентов v! = 2, 5, ^ = 4 и расстояния ¿2 = 0,62^, при которых выражения (3.1) и (3.2) описывают сглаженные профили плотности плазмы и магнитного поля в стационарном плазменном двигателе модели СПД-100, полученные в работе [97]. Рассматриваемые профили В (ж), п(ж), кв и кп представлены на рис. 3.2.

(3.1)

В (ж).

(3.2)

(3.3)

Для описания стационарного электрического поля в канале СПД введём функцию электростатического потенциала ф0 (х) в виде

Фо (x) = Фтах ^ arcctg

X

V3 -1

- a 2

(3.4)

Здесь фтах - значение потенциала на аноде, х = - сечение ускоряющего канала (й3 < й), соответствующее максимуму электрического поля; а1 = 1/(aгcctg[—] — а2) - константа нормировки; у3 - коэффициент, характеризующий градиент функции ф0 (х); а2 -коэффициент, регулирующий значение потенциала на катоде.

о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 x/d

(а)

-10

" ч ч кп(х) Выход из

ч ускоряющего

< ч ч канала

_ ч ч - «. «,

ч ч ч ч ч ч ч ¡lili '"Л" ч КВ(х) ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ¡1,11

о 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 x/d (б)

Рис. 3.2: Зависимости (а) магнитного поля В/Втах и плотности плазмы п0/п и (б) их параметров неоднородности и кп от аксиальной координаты х/й.

Профиль аксиального электрического поля Е0 (х) = — йф0 (х)/йх определяется выражением

-1

Ео (x) = Emax \ 1 + V

X d3

1

(3.5)

где Етах = фтаха1 у3/й3 - максимальное значение электрического поля в сечении х = .

Профиль стационарной скорости ионов находится из решения уравнения (1.1):

2e

Vio (x) = \ -(Фтах - Фо (x))

(3.6)

Для значений коэффициентов = 7, 5, а2 = 0,1 и расстояния д3 = 0, 62д выражение (3.4) описывает сглаженный профиль потенциала, полученный в работах [28,97,98]. Иллюстрация зависимостей потенциала ф0(х), электрического поля Е0(х) и скорости ионов (х) от аксиальной координаты х представлена на рис. 3.3.

Рис. 3.3: Зависимости электростатического потенциала ф0/фтах, электрического поля Е0/Етах и скорости ионов го (однозарядные атомы ксенона с массой тХе = 131 а.е.м.) от аксиальной координаты х/д.

Профиль температуры электронов зададим при помощи выраже-

ния

Te (x) = Temax exp

x

"M d4-1

+ T

min e '

(3.7)

При Temax = 21 эВ, Temin = 4 эВи d4 = 0, 92d данная зависимость электронной температуры Te(x) от аксиальной координаты x качественно верно описывает профиль, полученный в работе [97] при численном моделировании разряда СПД-100 - см. рис. 3.4.

Для анализа устойчивости в ускоряющем канале СПД выберем следующие значения параметров стационарного состояния системы: Bmax = 180 Гс, nmax = 5х 1011 см-3, фтах = 270 В. В качестве рабочего вещества, как и ранее, будем рассматривать ксенон с атомной массой mXe = 131 а.е.м.

Ге,эВ 27 Г

Выход из ускоряющего

21

24

12

18

15

6

9

О

О 0,2 0,4 0,6 0,8

1,2 1,4 1,6 1,8 х/<1

Рис. 3.4: Зависимость температуры Те от аксиальной координаты х/д. Пунктирная кривая описывает профиль температуры, полученный в работе [97]; сплошная кривая соотвествует профилю (3.7).

3.2 Волновые характеристики наиболее неустойчивых колебаний в ускоряющем канале стационарного плазменного двигателя

Произведём расчёт основных характеристик наиболее неустойчивых возмущений в ускоряющем канале СПД для заданных профилей стационарного состояния системы (3.1)-(3.7) при помощи дисперсионного соотношения (1.21).

Для анализа влияния эффектов электронной температуры и стационарного потока ионов на волновые характеристики неустойчивых мод последовательно рассмотрим три случая [75,76]: 1 - приближение холодных электронов Те = 0 и неподвижных ионов = 0; 2 - приближение горячих электронов Те = 0 и неподвижных ионов = 0; 3 - приближение горячих электронов Те = 0 и движущихся ионов

3.2.1 Приближение холодных электронов Те = 0

В приближении холодных электронов драйв неустойчивости полностью определяется скоростью электрического дрейфа У0Е. Для заданных профилей электрического и магнитного полей направление

Уы = 0.

вращения электронов не изменяется (Ух, У0Е(х) < 0). В этом случае общее условие неустойчивости (2.10) принимает вид

кп — 2кв > 0.

(3.8)

Из данного неравенства следует, что в рассматриваемом случае неустойчивость полностью определяется параметрами неоднородности плотности плазмы и магнитного поля. Зависимость величины кп — 2кв от координаты х изображена на рис. 3.5. С ростом х значение величины кп — 2кв уменьшается и в сечении хЬп — 0, 27d равняется нулю. В соответствии с условием (3.8) неустойчивость существует только в прианодной области, т. е. при х < хЬп.

Рис. 3.5: Зависимость величины кп — 2кв от аксиальной координаты х/й. Область неустойчивости выделена красным цветом, область устойчивости - зеленым. Красный кружок обозначает точку пересечения кривой кп — 2кв с осью х при х = хЬп — 0, 27й.

Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод - частота / = /2п, инкремент 7/2п и волновое число к±, рассчитанные при помощи уравнения (1.21) - представлены на рис. 3.6. Вблизи анода наибольшими инкрементами обладают длинноволновые (к2р1 ^ 1) азимутальные (кх ^ 0) возмущения с частотами порядка ^. Мода с наибольшим значением инкремента 7/2п — 730 кГц локализована в сечении х — 0, 21й и характеризуется частотой / — —450 кГц и волновым числом ку — 2, 6 рад/см. Отрицательный знак частоты означает, что рассматриваемые возмущения распространяются в сторону элек-

трического дрейфа электронов. В рассмотренной области параметров волновые характеристики наиболее неустойчивых мод хорошо описываются выражениями (2.17) и (2.49) - см. аналитические кривые на рис. 3.6.

/, 7/2тг, МГц 0,8

0,6

0,4

0,2

-0,4

-0,6

0 V

\ 1 1 1 1 к

-»Х-. __ /

0,05 ОД 0,15 0,2 0,25 0,3 х/с1

(а)

Рис. 3.6: Зависимость волновых характеристик наиболее неустойчивых мод от аксиальной координаты х/д в прианодной области х < х™: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновое число ку. Кривые А получены при помощи аналитических выражений (2.17) и (2.49). Кривые В получены путем прямого численного решения уравнения (1.21).

3.2.2 Приближение горячих электронов Те = 0

Т Г • • и и и и

При учете конечной электронной температуры драйв неустойчивости складывается из скоростей электрического У0Е и градиентного УЬ дрейфов. Профили скоростей У0Е, УЬ и У0Е + УЬ представлены на рис. 3.7. Внутри ускоряющего канала (х < д) значения величин У0Е и УЬ имеют одинаковый знак (У0Е+УЬ < 0), однако за выходом из ускоряющего канала (х > д), из-за спада магнитного поля, направление градиентного дрейфа меняется (УЬ > 0). В сечении х = х™1 — 1, 43д суммарная скорость У0Е + УЬ равна нулю. В области х > х™1 значение суммарной скорости дрейфа меняет знак (У0Е + УЬ > 0), так как скорость УЬ превосходит У0Е.

В силу довольно высокого значения драйва неустойчивости влиянием эффектов КЛР на характер неустойчивости можно пренебречь4.

4Роль эффектов КЛР существенна лишь в пренебрежимо малой окрестности точки х = х™1, где значение суммарной скорости У0Е + Ур близко к критическому (см. главу 2).

Рис. 3.7: Зависимости скоростей У0Е, Уо и Уое + Уо от аксиальной координаты х/д. Красный кружок обозначает точку пересечения кривой У0е + с осью х при х = ~ 1,43д.

Тогда условие неустойчивости (2.10) принимает вид

(Voe + VD)(кп - 2Кб) < 0.

(3.9)

Зависимость величины (V0E + VD)(кп — 2кв) от координаты x изображена на рис. 3.8. Смена знака множителя V0E + VD в неравенстве (3.9) приводит к появлению дополнительной области неустойчивости за выходом из ускоряющего канала СПД при x > x£ut. Так же как и в приближении холодных электронов граница области неустойчивости по координате x внутри ускоряющего канала (x < x^n) находится из решения уравнения кп = 2кв.

Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод вблизи анода, рассчитанных в приближении холодных (Te = 0) и горячих (Te = 0) электронов, показано на рис. 3.9. Учет конечной температуры электронов приводит к увеличению частоты и инкремента неустойчивых возмущений в среднем на ^ 109 кГц и ^ 48 кГц, соответственно. Наиболее неустойчивая мода, локализованная в сечении x ~ 0,21d, характеризуется теперь значениями инкремента Y/2n ~ 830 кГц и частоты f ~ —505 кГц. Наиболее существено меняется значение волнового числа. В среднем оно уменьшается на

~ 1,4 рад/см. Волновое число наиболее неустойчивой моды равно ку ~ 1, 78 рад/см. В соответствии с выражениями (2.17) и (2.49), такое поведение обусловлено увеличением скорости вращения электронов в прианодной области.

хЮ8, с-1

-2 -'-'-'-'-'-'-'-'-1

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 х/6

Рис. 3.8: Зависимость величины (Уое + Ур)(кп — 2кв) от аксиальной координаты х/д. Область неустойчивости выделена красным цветом, область устойчивости -зеленым. Красные кружки обозначают точки пересечения кривой (У0е + Ур)(кп — 2кв) с осью х при х = хг6п ~ 0, 27д и х = ~ 1, 43д.

Рис. 3.9: Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод в прианодной области х < хг6п, рассчитанных в приближении холодных (Те = 0) и горячих (Те = 0) электронов: (а) - частота f (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновое число ку.

Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод за выходом из ускоряющего канала в области х > х™1 представлены на рис. 3.10.

Рис. 3.10: Зависимость волновых характеристик наиболее неустойчивых мод от аксиальной координаты х/( за выходом из ускоряющего канала в области х > хОи: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент (сплошная кри-

вая); (б) - волновое число ку. Кривые А получены при помощи аналитических выражений (2.17) и (2.49). Кривые В получены путем прямого численного решения уравнения (1.21).

Мода с наибольшим значением инкремента 7/2п ~ 605 кГц локализована в сечении х ~ 1,47( и характеризуется частотой / ~ 396 кГц и волновым числом ку ~ 46 рад/см. В сравнении с прианод-ной областью за выходом из ускоряющего канала неустойчивые возмущения характеризуются сравнительно короткими длинами волн, так как значение суммарной скорости электронов У0Е + Ув в области х ^ х- достаточно мало.

3.2.3 Влияние стационарного потока ионов

Проанализируем теперь поведение неустойчивости в ускоряющем канале СПД с учетом конечной скорости ионов ^, профиль которой описывается выражением (3.6).

Из решения уравнения (1.21) следует, что в прианодной области (х < хЬп) движение ионов не оказывает существенного влияния на характер неустойчивости, так как значение скорости г^ пренебрежимо

мало (^ог ^ |УоЕ, Ув|) - см. рис. 3.11. Наиболее неустойчивые моды вблизи анода являются чисто азимутальными (на рис. 3.11(в) изображены линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку, рассчитанные в сечении х = 0, 21д), а их характеристики описаны в подпараграфе 3.2.2.

/, 7/2тг, МГЦ

7/2тг

\ (у(н = 0)

о)

_

" ■ | \ _ / 1 Г

— —— — — —

0,05

ОД

0,15

(а)

0,2

0,25 0,3 х/<1

(в)

Рис. 3.11: Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод в при-анодной области х < хгьп, рассчитанных при го = 0 и го = 0: (а) - частота ^ (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновые числа кх и ку. Рисунок (в) демонстрирует линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку в сечении х = 0, 21д.

Как было показано ранее, в области х™ < х < х^ при уог = 0 все возмущения устойчивы. Однако даже при малом значении ско-

рости ионов (у01 > 0) их движение приводит к дестабилизации системы. Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод в основной части ускоряющего канала (х^п < х < () представлены на рис. 3.12(а, б). Инкремент и частота таких возмущений увеличиваются с ростом значения х и покрывают широкие диапазоны значений: 7/2п ~ 0, 01 - 0, 92 МГц и / ~ -(0, 31 - 3, 39) кГц. Типичный интервал значений волновых чисел равен кх ~ -(9, 36 — 15,1) рад/см

и

ку ~ 0.

(в)

Рис. 3.12: Зависимость волновых характеристик наиболее неустойчивых мод от аксиальной координаты х/( в основной части ускоряющего канала хЩ < х < х^ при у0 = 0: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновые числа кх и ку. Рисунок (в) демонстрирует линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку в сечении х = 0, 5(.

В основной части ускоряющего канала неустойчивыми являются чисто аксиальные моды, что может быть интерпретировано при помощи общего критерия (2.10). В рассматриваемой области стационарное состояние системы удовлетворяет условиям кп — 2кв < 0 и У0е + Ув < 0, поэтому из неравенства (2.10) следует, что неустойчивость возникает только при

_кх > |Уое + Ув|

ку ^ '

Так как отношение скоростей электронов и ионов мало (|У0е + Ув |/^ог ^ 1), волновые числа неустойчивых возмущений, очевидно, должны удовлетворять условию |кх| ^ |ку |, а сами величины кх и ку обладать противоположными знаками. Иллюстрация подобного поведения неустойчивости представлена на рис.3.12(в), демонстрирующем линии уровня инкремента в плоскости кх-ку в сечении х = 0, 5^. Наибольшим значением инкремента в данном сечении ускоряющего канала обладает мода с кх —— 15,1 рад/см и ку ~ 0, 08 рад/см.

За выходом из ускоряющего канала (х > значения скоростей электронов и ионов становятся сопоставимы (|Уое + Ув | ~ ^ог). Поэтому в соответствии с неравенством (2.10) значения аксиального и азимутального волновых чисел неустойчивых мод также являются величинами одного порядка (|кх| ~ |ку|). Результаты прямого численного решения уравнения (1.21) указывают на существенное влияние эффектов стационарного ионного потока на характер неустойчивости в рассматриваемой области - см. рис. 3.13.

Наиболее неустойчивая мода, локализованная в сечении х = 1,22^, характеризуется инкрементом 7/2п ~ 1,28 МГц, частотой / ~ —10, 21 МГц и волновыми числами кх ~ —38,6 рад/см и ку ~ 5,3 рад/см. Линии уровня инкремента в плоскости кх-ку в данном сечении изображены на рис. 3.13(в).

(а)

(б)

(в)

Рис. 3.13: Сравнение волновых характеристик наиболее неустойчивых мод за выходом из ускоряющего канала в области х > х^, рассчитанных при у0 = 0 и у0 = 0: (а) - частота / (пунктирная кривая) и инкремент 7/2п (сплошная кривая); (б) - волновые числа кх и ку. Рисунок (в) демонстрирует линии уровня инкремента неустойчивости в плоскости кх-ку в сечении х = 1, 22(.

3.3 Резюме главы 3

При помощи дисперсионного соотношения (1.21) численно исследована устойчивость электростатических колебаний плазмы в ускоряющем канале СПД для наиболее типичных профилей (3.1)-(3.7), описывающих изменение стационарных параметров системы (магнитное и электрическое поля, плотность плазмы, температура электронов и скорость ионов) вдоль оси ускорителя. Рассчитаны волновые харак-

теристики (частота, инкремент и волновое число) наиболее неустойчивых мод. Результаты расчета просуммированы на рис. 3.14.

Прианодная Основная часть Область за выходном из

область ускоряющего канала ускоряющего канала

Азимутальные возмущения Аксиальные возмущения Косые возмущения

/ ~ -(0,31 - 3,39) МГц, 7/2х ~ 0,01 - 0,92 МГц, кх ~ —(9,36 — 15,1) рад/см

/ ~ -(295 - 521) кГц, 7/2тг~ ОД -0,830 кГц, к, ~ 0,01 - 2,1 рад/см / ~ - (0,01 - 12,16) МГц, 7/2г ~ 0,05 - 1,28 МГц, кх ~ -(0,2 - 44,3) рад/см, ку ~ 0,7 - 26,1 рад/см

Выход ИЗ ускоряющего -*

1 1 1

канала III)

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

х/с1

Рис. 3.14: Волновые характеристики наиболее неустойчивых мод в ускоряющем канале СПД.

Показано, что ускоряющий канал СПД разделяется на три пространственные области, характеризующиеся разными направлениями распространения и волновым характеристикам наиболее неустойчивых колебаний.

В прианодной области (х < 0, 27^) неустойчивыми являются преимущественно длинноволновые азимутальные колебания с волновыми числами ку ~ 0,01 — 2,1 рад/см и частотами / ~ —(295 — 505) кГц, распространяющиеся в направлении электрического дрейфа. Неустойчивость в данной области ускоряющего канала связана с неоднородностью плотности плазмы и магнитного поля, и возникает при выполнении критерия ¿(п/В2)/^х > 0. Волновые характеристики наиболее неустойчивых возмущений вблизи анода описываются выражениями (2.17) и (2.49).

В основной части ускоряющего канала (0, 27^ < х < неустойчивость характеризуется высокочастотными f ~ — (0,31 — 3,39) кГц коротковолновыми кх ~ —(9,36 — 15,1) рад/см колебаниями, распространяющимися от анода к катоду. Аксиальные моды в данной области канала дестабилизируются стационарным течением ионов, однако механизм их раскачки отличен от неустойчивостей ионного

потока, рассмотренных ранее в работах [45,46].

За выходом из ускоряющего канала (х > () неустойчивые колебания распространяются как в аксиальном (от анода к катоду), так и в азимутальном (вдоль электрического дрейфа) направлениях. Параметры наиболее неустойчивых колебаний характеризуются широкими диапазонами значений частот / ~ -(0,01 - 12,16) МГц и волновых чисел кх ~ -(0, 2 - 44, 3) рад/см, ку ~ 0, 7 - 26,1 рад/см.

На основе анализа влияния эффектов конечной электронной температуры и стационарного ионного потока на устойчивость плазмы в ускоряющем канале СПД показано, что приближение холодных электронов и неподвижных ионов, используемое во множестве работ - см., например, [30], [94,95] - применимо только для описания длинноволновых колебаний в прианодной области плазменного ускорителя с замкнутым дрейфом электронов.

Глава 4

Крупномасштабные вращающиеся структуры в системах с замкнутым дрейфом электронов как проявление глобальных мод градиентной неустойчивости

Исследована глобальная структура собственных электростатических колебаний холодной плазмы в СЗДЭ. Получены точные аналитические решения задачи на собственные значения для модельной конфигурации электрического и магнитного полей, присущей плазменным системам магнетронного типа. Для профилей стационарных параметров в СПД численно рассчитана структура собственных неустойчивых колебаний в ускоряющем канале. Исследовано влияние масштабирования геометрии плазменного двигателя (изменения длины и радиуса канала) на спектр собственных колебаний. Предложен физический механизм, объясняющий природу крупномасштабных низкочастотных колебаний, наблюдаемых в экспериментах с СЗДЭ посредством высокоскоростной видеофиксации.

4.1 Крупномасштабные колебания в конфигурации обращенного магнетрона

Рассмотрим простейшую осесимметричную систему магнетронного типа, плазма в которой ограничена двумя бесконечными коаксиальными стенками (электродами) с радиусами R1 и R2 (R1 < R2) -см. рис. 1.1(б). Магнитное поле считаем постоянным и направленным вдоль оси z: B = Bez, B = const. Стационарное электрическое поле направлено вдоль оси r, и его напряжённость есть функция радиуса: E0 = E0(r)er. Тогда стационарная скорость электронов V0e направлена по азимуту 0. Плотность плазмы также считаем зависящей от r, n0 = n0(r).

Для решения задачи об устойчивости глобальных мод в рассматриваемой конфигурации полей воспользуемся приближениями плот-

ной плазмы шре ^ Шве и холодных электров, температура которых не оказывает существенного влияния на характер градиентной неустойчивости в случае сильной накачки а2 ^ 1 - см. главы 2 и 3. Тогда из линеаризованной системы уравнений (1.1), (1.2), (1.5) и (1.12), решения которой будем искать в виде ф'(г, 0, £) = Ф(г) ехр[-¿(ш£-т0)], где т - азимутальное волновое число моды, следует искомое дифференциальное уравнение малых колебаний [77]

1 & / &Ф\ Г ш2 шВеЛ(г) т т. .

1 Пог&- + ^ -з- Ве ^ - ^ тф = 0, (4.1)

пог &г \ &г / I ш2 - Ш2, ш - тО г ] г

где О = У0е/г - угловая скорость стационарного вращения электронов и

1 & Г / О 1 & М

(4.2)

Л / Ч 1 d

Л(г) = —— n0 dr

Л ^ 1 d , .

nj 1 +-+--т(гП)

V UBe UBe dr

Уравнение (4.1) описывает структуру собственных электростатических колебаний в диапазоне частот ив ^ и ^ иве, распространяющихся в неоднородной холодной плазме с незамагниченными ионами и замагниченными электронами поперёк внешнего однородного магнитного поля, и учитывает эффекты электронной инерции. При выводе уравнения (4.1) использовались предположение о малости длины пролёта ионов за время 1/и по отношению к длине волны моды. Данное предположение позволяет пренебречь влиянием равновесной ионной скорости v0i на характер неустойчивости. Отдельно следует заметить, что второй член в круглых скобках выражения (4.2) в силу неравенства Q ^ иве пренебрежимо мал. В то же время в однородной плазме n0 = const это слагаемое играет принципиальную роль при исследовании неустойчивостей типа Кельвина-Гельмгольца.

Уравнения вида (4.1) хорошо известны в теории плазменных неустойчивостей [61,99]. В пределе высоких частот и ^ Uih оно сводится к уравнению, описывающему диокотронную неустойчивость пространственно-неоднородного электронного облака. Применительно к проблеме устойчивости глобальных мод в холловских ускорителях схожие уравнения исследовались в работах [100]-[102].

Рассмотрим твердотельное вращение электронов Q = const и монотонный профиль концентрации no(r) = n0|r=R (r/Ri)a (тогда Л(г) = a/r, где a - безразмерная константа, определяющая градиент концентрации). При указанных предположениях уравнение (4.1) принимает простой вид

2 d2 Ф Ч"Ф . ,

r2 + r(l + a) ^ + v ф = 0, (4.3)

где

Г Ы2 ЫВе 1

v = m < а—--2--— - m > .

[ ы2 — ы^ ы — mU J

Уравнение (4.3) совместно с нулевыми граничными условиями для возмущений потенциала на электродах Ф(Я1) = Ф(Я2) = 0 образуют задачу на собственные значения. Решениями этой задачи являются собственные функции

а

Ф'м = Чж) М1п(Й V"- т), (44)

отвечающие собственным значениям

12п2 а2

Здесь Фо - начальная амплитуда возмущения. Величина I формально может быть интерпретирована как радиальное волновое число, т. е. число полудлин волн, укладывающихся в интервале Ь = Д2 —

Собственная частота моды находится из условия V = V/, записываемого в виде следующего дисперсионного соотношения (сравни с (2.2)):

ет3 + А<гет2 — ет — <г = 0, (4.6)

где

и ти/йа ^

ет = —, А = 1 — ——2-ч-, а = —т—•

ищ ст(т2 + ^)иВг и/й

Используя результаты главы 2, легко показать, что необходимое условие неустойчивости (А < 1), совпадает с классическим критерием неустойчивости Саймона-Хо для локальных мод (1.27).

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.