Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с ортотропными сжатиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Тасевич Алла Львовна

• Тасевич Алла Львовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Тасевич Алла Львовна

Введение

1 Сильная эллиптичность функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями

1.1 Оператор ортотропного сжатия и его свойства

1.2 Геометрические построения, связанные с оператором ортотропно-

го сжатия

1.3 Проблема коэрцитивности функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями

1.4 Другой подход к проблеме коэрцитивности

2 Разрешимость первой краевой задачи и гладкость обобщенных решений

2.1 Разрешимость и спектр краевой задачи

2.2 Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями

2.2.1 Гладкость обобщенных решений в подобластях

2.2.2 Гладкость обобщенных решений вблизи границ подобластей

2.3 Специальный случай краевой задачи

3 Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений в весовых пространствах

3.1 Весовые пространства Кондратьева

3.2 Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями в шкале весовых пространств

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с ортотропными сжатиями»

Введение

Актуальность темы. Данная диссертация посвящена изучению линейных функционально-дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих в старшей части ортотропные сжатия координат. Под ортотропными сжатиями в работе понимаются преобразования сжатия с разными коэффициентами по разным переменным, в том числе сжатие по одной переменной и растяжение по другой. Уравнение рассматривается как в ограниченной плоской области, так и на всей плоскости.

Общей теории функционально-дифференциальных уравнений посвящен целый ряд монографий, среди которых широко известны книги А. Д. Мышки-са [13], Р. Беллмана и К. Кука [4], Дж. Хейла [51].

В теории упругости [14,59,62], теории многомерных диффузионных процессов [36,62], а также в связи с нелокальными краевыми задачами типа А. В. Би-цадзе, А. А. Самарского [5, 32, 34] возникает необходимость рассматривать эллиптические функционально-дифференциальные уравнения, в которых преобразования аргументов могут отображать некоторые точки границы внутрь области. Так, например, упругие модели конструкций, содержащих многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем, могут быть сведены к сильно эллиптическим системам дифференциально-разностных уравнений. Необходимость исследования краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений появляется и в современной нелинейной оптике при построении оптических систем с вращением поля в контуре обратной связи [6,67].

Впервые эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сдвигами по пространственным переменным в ограниченных областях рассматривались А. Л. Скубачевским [31,33,35,61], который создал теорию краевых задач для дифференциально-разностных уравнений. Им были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Гординга, исследованы

вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева, а также весовых пространствах, изучена гладкость обобщенных решений. Было показано, что даже при бесконечно дифференцируемой правой части гладкость может нарушаться, при этом обнаружен эффект появления степенных особенностей у производных решений на некотором множестве точек, находящихся как на границе, так и внутри области. В дальнейшем исследование теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, например, спектральная асимптотика, проблема "разбиения единицы", операторы с вырождением, продолжалось в работах его учеников [16,17,19,20,30,37,38,49,50].

Исследования уравнений в частных производных, содержащих в старшей части сжатия переменных, начались с работ Л. Е. Россовского [10,21]. Эти исследования были посвящены уравнениям с изотропными сжатиями (т.е. одинаковыми по всем координатам), при этом краевые задачи рассматривались в ограниченных областях, содержащих начало координат — неподвижную точку оператора сжатия. Это предположение не позволяло воспользоваться уже имеющейся теорией нелокальных краевых задач, например, свести уравнение к эллиптической системе дифференциальных уравнений или к дифференциальному уравнению с нелокальным краевым условием. Кроме того, это обстоятельство также не позволяло применить стандартный принцип локализации, основанный на разбиении единицы, используемый в теории краевых задач для исследования гладкости, доказательства априорных оценок, "замораживании" переменных коэффициентов. Для уравнений с изотропными сжатиями был получен ряд новых свойств. Так, ядро краевой задачи может быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции, а гладкость решения во многих случаях равносильна его единственности.

Исследованию дифференциальных уравнений со сжатием скалярного аргумента посвящена достаточно обширная библиография. Одной из первых работ является работа 1944 года В. А. Амбарцумяна [1], в которой при описании явления поглощения света звезд и туманностей в межзвездном пространстве Галактики возникает уравнение вида

у\1) = ау(1) + Ъу(&), 1> 0,

(1)

где а,Ь € К, 1 = д > 0. Наибольшую известность уравнение вида (1) приобрело только в 1971 году, после работы Окендона Дж. Р. и Тэйлера А. Б. [58], где оно описывало динамику контактного провода относительно токоприемника, называемого пантографом, электрического локомотива. В работе Като Т. и Маклеода Дж. Б. [57] 1972 года было исследовано асимптотическое поведение решений уравнения пантографа (1).

В диссертации основное место уделяется вопросу сильной эллиптичности рассматриваемого уравнения, или проблеме коэрцитивности. Задача о коэрци-тивности квадратичных форм, порожденных дифференциальными операторами, исследовалась в работах М. И. Вишика [7] и Л. Гординга [55], а позже для разных обобщений в работах С. Агмона [52] и Д. Фигуэйредо [54]. Проблема ко-эрцитивности для дифференциально-разностных уравнений и функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями была изучена в работах [61] и [21-24], соответственно.

Эллиптические функционально-дифференциальные операторы, ассоциированные с группой диффеоморфизмов на многообразии рассматривались в книгах Антоневича А.Б., Антоневича А.Б. и Лебедева А.В. [2,53], а также в работах Стернина Б.Ю. и Савина А.Ю. [28,29].

Цель работы заключается в изучении принципиально нового класса функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями, а именно таких его свойств, как сильная эллиптичность, разрешимость краевых задач в соболевских пространствах и в пространствах с весом, структура спектра и гладкость обобщенных решений. Важно отметить, что случай, когда по одной переменной происходит сжатие, а по другой растяжение, не может быть сведен к уже изученному случаю изотропных сжатий.

Методика исследования. Изучение функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями основано на комбинации методов, развитых для дифференциально-разностных уравнений и для функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями, в том числе на сведении к сильно эллиптическим системам дифференциальных уравнений, на методе аппроксимации обобщенных производных конечными разностями, на теории функциональных пространств и методах гармонического анализа. В то же время стоит отметить, что ни те, ни другие подходы напрямую не переносятся на рас-

сматриваемый случай. Новым элементом исследования является преобразование уравнения, основанное на виде орбит точек области под действием ортотропного сжатия.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. получен ряд необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями;

2. доказаны теоремы о фредгольмовой разрешимости и о структуре спектра первой краевой задачи для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями;

. исследована гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями;

4. получены достаточные условия однозначной разрешимости функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах В. А. Кондратьева на плоскости;

5. в качестве леммы получены алгебраические достаточные условия обратимости некоторых конечно-разностных операторов на прямой.

Теоретическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер и оказывает влияние на развитие общей теории нелокальных краевых задач. Наличие в старшей части уравнения преобразований, отображающих точки границы внутрь или во внешность области, порождающих при этом бесконечное число конечных орбит, приводит к принципиальным отличиям от теории краевых задач для уже изученных дифференциально-разностных уравнений или функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями. Кроме того, полученные результаты позволяют выделить новый класс сильно эллиптических уравнений, для которых имеет положительный ответ известная гипотеза Т. Като о совпадении квадратных корней из ш-аккретивного оператора и сопряженного к нему [56].

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 90 страниц с 3 рисунками. Список литературы содержит 67 наименований.

Диссертация посвящена исследованию свойств одного функционально-дифференциального уравнения в частных производных

где функциональный оператор В,^ с постоянными комплексными коэффициентами задается по следующей формуле

В отличие от уже изученного Л. Е. Россовским случая, когда параметры ^ = 0_2 € К+, рассматривается случай различных параметров преобразования. При этом, рассматривается как случай разных сжатий по разным переменным, так

^ ^у ^ т-ч

и случай растяжения по одной переменной и сжатия по другой. В диссертации такие преобразования называются преобразованиями ортотропного сжатия.

В главе 1 рассматривается задача Дирихле для уравнения (2) в ограниченной области О € К2 и изучается вопрос сильной эллиптичности оператора, порожденного задачей. Результаты главы 1 опубликованы в статье [26].

В параграфе 1.1 изучаются свойства оператора ортотропного сжатия.

Параграф 1.2 посвящен построению специальных геометрических конструкций, связанных с преобразованием ортотропного сжатия и зависящих от исходной области, а также обсуждению их свойств. Показано, что для случая

> 1, q2 < 1 ограниченная область, содержащая начало координат — неподвижную точку оператора сжатия, разбивается на бесконечное число подобластей, которые, однако, можно сгруппировать в конечные классы.

В параграфах 1.3 и 1.4 найдены различные необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности задачи Дирихле для уравнения (2).

Если в (2) положить = 0, то оператор Ад становится линейным дифференциальным оператором второго порядка с постоянными коэффициентами, и в

2

(2)

Щу(хг,х2) = аг]оу(хг+ а^у(д- 1 Х1,д- ^2) + аг],-IV ^1X1^2X2).

этом случае хорошо известное условие сильной эллиптичности имеет вид:

2

%3=1

Вопрос о сильной эллиптичности дифференциальных операторов, включая уравнения высокого порядка, системы уравнений и переменные коэффициенты, был решен в работах М. И. Вишика [7] и Л. Гординга [55]. Там же было показано, что можно сформулировать эквивалентное условие сильной эллиптичности в виде выполнения неравенства, называемого неравенством типа Гординга,

Ке(Аки,и)Ь2{п) ^ с^НЦ^ - C2|M||2(fi), Уи е (3)

При исследовании сильной эллиптичности функционально-дифференциальных уравнений не удается получить явного условия на коэффициенты, поэтому А. Л. Скубачевским [61, 62] для исследования дифференциально-разностных уравнений было предложено рассматривать выполнение неравенства (3) в качестве определения сильной эллиптичности. При этом, им было показано, что сильная эллиптичность дифференциально-разностного оператора не влечет за собой неотрицательность символа и это, в частности, связано с тем, что преобразование сдвига не отображает ограниченную область на себя. А. Л. Скубачевский получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений в терминах положительной определенности некоторых матриц.

В диссертации сильная эллиптичность также определяется через неравенство типа Гординга. Кроме того, наличие в каждом классе конечного числа подобластей для д1 > 1, д2 < 1 позволяет применить технику, развитую для дифференциально-разностных уравнений, состоящую в сведении к сильно эллиптическим системам дифференциальных уравнений. В параграфе 1.4 показано, что неравенство типа Гординга для (2) эквивалентно сильной эллиптичности

матричных дифференциальных операторов второго порядка

2 д д

A = - Z щаЦ • 8 = h(4)

i,j=1

с постоянными коэффициентами, зависящими не только от коэффициентов уравнения (2), но и от параметров сжатия q1, q2. В параграфе 1.4 также получен нетривиальный пример, для которого необходимое и достаточное условие сильной эллиптичности совпадает и формулируется в виде положительности действительной части символа уравнения.

Хорошо известно, что свойства краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения во многом определяются структурой орбит точек области под действием группы, порожденной присутствующими в уравнении преобразованиями. Для преобразований вида

|—> v(qxi,qx2). (5)

орбиты располагаются на лучах, выходящих из начала координат. Объективная трудность в изучении уравнений со сжатиями (растяжениями), не позволяющая в полной мере воспользоваться существующей теорией нелокальных эллиптических задач, состоит в том, что орбиты сгущаются в одной точке — начале координат.

Для функционально-дифференциальные уравнения, содержащие преобразования вида

v(x1,x2) I—> v(q-1х1,рх2) q,p> 1, (6)

орбиты лежат на "гиперболах" |ж1|1пр|ж2|1пq = const, и естественно предположить, что задачи с ортотропными сжатиями вида (6) по своим свойствам должны отличаться от задач с изотропными сжатиями вида (5).

В параграфе 1.3 показывается, что неравенство типа Гординга для (2) сводится к проверке положительной определенности действующего в L2(R) самосопряженного разностного оператора

z(t) ^ z(t) + g(t)z(t - 1) + g(t + 1)z(t + 1)

(7)

с гладким коэффициентом g(t), имеющим конечные пределы на

Кроме очевидного достаточного условия sup \д(т)| < 1/2, получены более

т gR

близкие условия к необходимому \д(т)\ < 1, т £ R. Так, если существуют такие положительные числа е1 ,е2 и такая измеримая вещественная функция 8(т), что при почти всех т £ R выполнены условия 8(т) ^ е1, \д(т)\2 ^ 5(т — In а/q1/q2)[1 — 6(т) — е^, то разностные операторы (7) положительно определены. Другое, более тонкое условие формулируется в виде неравенства suP (\9(т)\ + \д{т + \пу/qi/q2)\) < 1

тgR V 7

В конце параграфа приведен пример функционально-дифференциального

уравнения с ортотропными сжатиями, для которого явно получено условие его сильной эллиптичности.

Глава 2 посвящена исследованию свойств обобщенных решений задачи Дирихле для (2) в случае, когда уравнение является сильно эллиптическим. Результаты главы 2 опубликованы в статье [46].

В параграфе 2.1 доказаны теоремы о разрешимости и спектральных свойствах рассматриваемой задачи. Под обобщенным решением задачи Дирихле

о

для (2) понимается всякая функция и £ H1(Q), удовлетворяющая интегральному тождеству

2

и*г ,VXj )ь2(П) = if,V)l2(n) (8)

М=1

о 1

для любой функции v £ H1(Q). Вводится неограниченный оператор

Ar : V(Ar) С Ь2(П) ^ Ь2(П),

область определения V(Ar) которого состоит из всевозможных обобщенных решений задачи (2), когда f пробегает все пространство L2(Q). Если и — обобщенное решение, отвечающее правой части f, то полагаем Aru = f.

Стандартными методами функционального анализа выводятся фредгольмо-вость оператора Ar , дискретность и секториальная структура его спектра.

В параграфе 2.2 исследуется гладкость обобщенных решений в подобластях, образованных под действием оператора и описанных в параграфе 1.2. При этом, конечное число подобластей в каждом классе позволяет применить подход, разработанный для дифференциально-разностных уравнений А. Л. Скубачевским

и основанный на переходе к сильно эллиптическим системам для исследования локальной гладкости (пункт 2.2.1) и на методе аппроксимации дифференциальных операторов разностными для исследования гладкости вблизи границы (пункт 2.2.2). Сложность при изучении гладкости связана в наличии особого множества точек области К, в котором у решений возникают особенности, например, степенные.

В предположении, что уравнение (2) является сильно эллиптическим в О

и / Е Ь2(О) П Н*ос(Пз1), где в Е М, I = 1,М(в), — всевозможные подобласти О, получено, что обобщенное решение и принадлежит пространству Н'ко+2(О31). Если же потребовать, чтобы функция / Е Ь2(О) П Нк(О81), то обобщенное решение и Е Нк+2(О31 \ К,£) для всех £ > 0, <§ е М, I = 1,М(в), где К£ = [х Е К2 : р(х,К) < е].

В параграфе 2.3 рассмотрен специальный случай уравнения (2), когда > 1. Тогда можно выделить класс ограниченных областей на плоскости, удовлетворяющих условию

О с —О := {(х1,х2) Е К2 : (хг/дг,Х2/я2) Е О} , дьд2 > 1,

т.е. инвариантных относительно преобразования сжатия. Рассматривается задача

- АЯ1Я2и(х1,Х2) = /(х\,Х2), (х\,Х2) Е О, и\дп = 0 (9)

Относительно оператора К\у(х\,х2) = ®зV (д-3Х1,д-3х^ предполагается, что

що-3\3 > 0 и У? > 0 при \А\ =

3^0 з>0

а оператор Я2у(х1,х2) = Рз11 (я-3Х1,Ц23таков, что N1 > 0 и все корни

выражения Рзпо модулю меньше, чем шт | \J~q\fq2, ^. Дока-

зано, что краевая задача (9) разрешима для любой функции / Е Ь2(О), причем при / = 0 соответствующая однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых обобщенных решений. В конце параграфа 2.2 дается пример уравнения, иллюстрирующий полученные результаты.

В главе 3 исследуется разрешимость уравнения (2) в весовых пространствах Кондратьева на всей плоскости. Основные результаты главы 3 опубликованы в статье [47].

Параграф 3.1 содержит известные результаты о пространствах Кондратьева и их свойствах.

В. А. Кондратьевым весовые пространства Н^(К2), определенные при целом неотрицательном й и (3 £ К как пополнение множества \ {0}) по норме

\\и\\щт = I |X|2(^-s+|a|)|Daxu(x)|2dx\ , (10)

\MOr2 )

были предложены для исследования разрешимости эллиптических задач в областях с угловыми или коническими особенностями. Позже оказалось удобным использовать те же пространства и при решении краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Это вызвано существованием обобщенных решений, имеющих степенные особенности как на границе, так и внутри области. Наличие таких решений с особенностями в случае дифференциально-разностных уравнений продемонстрировано в [35, 62]. Для функционально-дифференциальных уравнений со сжатием эффект появления особенностей дополнительно связан с наличием в области неподвижной точки преобразования сжатия — начала координат. В [25] установлена разрешимость в шкале весовых пространств функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями и показано, как за счет выбора показателей пространства добиться однозначной разрешимости.

В первой части параграфа 3.2 исходное уравнение (2) приводится при помощи ряда преобразований к разностному уравнению на прямой

>уо(т)у(т)+ ъ(т)у(т - Ь)+ ъ(т)у(т - 2к)=д(т), х £ К, (11)

которое решается в пространстве Ь2(Щ.

Разрешимость уравнений вида (11), содержащих преобразование сдвига, исследовалась в работах многих авторов, в том числе Антоневичем А. Б. и его школой [2,3]. При помощи аппарата банаховых алгебр им были получены результаты об обратимости, нетеровости и спектральных свойствах многих классов

операторов взвешенного сдвига. Однако, необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения вида (11), напрямую выраженные через коэффициенты 70, 71 и не были получены.

Во второй части параграфа 3.2 получены достаточные условия разрешимости уравнения (11)

2

^^(±ж)Х = 0 (Л £ С : |А| < 1), ъ(т) = 0 (т £ К и {±ж}).

3=0

Стоит подчеркнуть, что основное влияние на разрешимость оказывают значения коэффициентов 70, г)1 и 72 на ±ж. Также эти условия совпадают с необходимыми в случае, когда сумма содержит только два слагаемых, исследованным А. Б. Антоневичем [2].

Эти условия позволяют сформулировать достаточные условия обратимости оператора Ах в явном виде. Если для оператора Ах : Щ+2(Ш2) ^ Щ(Ш2) из (2) выполнены условия

а11КЦе211Т ± (аикц + «211(12) е(к_1^т + ^221 е_2кт = 0 (т £ К и {±ж}); (12) «111 + ашА + ап,_1Л2 = 0 (|Л| < д^/^М^); (13)

«221 + «220Л + «22_1Л2 = 0 (|А| < (14)

тогда существует ограниченный обратный оператор А-1. Важным результатом является наличие параметра й в условии разрешимости уравнения (3.7). В случае, когда > 1, д2 < 1, увеличение этого параметра позволяет нам ослабить условие на коэффициенты «22к ,к = 0, ± 1 : уменьшается круг, где не должны лежать корни выражения в (14). Но, в то же время, ужесточаются условия на коэффициенты «11к,к = 0, ± 1, т. к. увеличивается круг, где выражение из (13) не должно обращаться в нуль. При этом можно обратить внимание на то, что коэффициенты при смешанных производных уравнения (2) содержаться только в условии (12).

В конце параграфа приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается многочисленными выступлениями на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы излагались в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова: на семинаре "Спектральная теория дифференциальных операторов" под руководством академика В. А. Садовничего, на семинаре под руководством А. А. Шка-ликова, на семинаре под руководством А. С. Шамаева; в Вычислительном центре РАН на семинаре "Методы решения задач математической физики" под руководством А. А. Абрамова и В. И. Власова; в Московском Энергетическом университете на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством Ю. А. Дубинского; в Российском университете дружбы народов на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством А. Л. Скубачевского; в Свободном университете г. Берлина (Германия) на семинаре под руководством Б. Фидлера; в Гейдельбергском университете (Германия) на семинаре под руководством В. Егера; на Шестой и Седьмой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2011, 2014); на Международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной И. Г. Петровскому (Москва, 2011); на Международных конференциях "Science and Progress" (Санкт-Петербург, 2012, 2013); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.", посвященной 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2013); на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2013); на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XXV" (Воронеж, 2014); на Международной конференции "Спектральная теория и дифференциальные уравнения", посвященной 100-летию Б. М. Левитана (Москва, 2014); на XXV Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Судак, 2014); на Международной конференции "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования." (Москва, 2014); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смеж-

ные проблемы." (Воронеж, 2015), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (Воронеж, 2016).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 16 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [26, 46,47], 13 — в тезисах докладов [39-45,48,60,63-66].

Глава 1

Сильная эллиптичность функционально-дифференциальных

Эта глава посвящена нахождению необходимых и достаточных условий на коэффициенты первой краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями, при которых соответствующий функционально-дифференциальный оператор является коэрцитивным. Также глава содержит ряд вспомогательных результатов, используемых в диссертации. Основные результаты этой главы опубликованы в статье [26].

1.1 Оператор ортотропного сжатия и его свойства

Рассмотрим ограниченный функциональный оператор Р : Ь2(Ш2) ^ Ь2(Ш2), определенный по формуле

уравнений с ортотропными сжатиями

где 1, 2 — некоторые фиксированные положительные вещественные числа. Обратный и сопряженный операторы имеют вид

Р_1у (Х1,Х2) = у( Я1Х1, ^2X2),

Р*ю (Х1Х2) = Я1Я2У (Я1Х1, Я2Х2) = Я1Я2Р _1v (Х1Х2).

Отсюда следует, что оператор (д1д2)_1/2Р является унитарным, а сам оператор Р будет нормальным, т.е. РР* = Р*Р.

Обозначим через Л минимальную замкнутую подалгебру алгебры В [Ь2(Ш2)) ограниченных операторов в Ь2(Ш2), содержащую операторы I, Р и Р*. Множество Л будет коммутативной В*-алгеброй. По теореме Гельфанда-Наймарка [27, Теорема 11.19] существует сохраняющий инволюцию изометрический изоморфизм между алгеброй Л и алгеброй С(а(Р)) всех непрерывных комплекснозначных функций на спектре оператора Р

С (и(Р)) э г (Л) ^ ЩР) £ Л, (1.1)

при котором г (Л) ^ (Е(Р ))*, 1 ^ I, Л ^ Р. Функцию г (Л) будем называть символом оператора Я(Р). Отсюда и из того, что спектр операторов в Л совпадает с их спектром в В [Ь2(М2)) следует, что спектр оператора Я(Р) будет совпадать с множеством значений его символа г(Л).

Хорошо известно (см. [53]), что спектр оператора сдвига, порожденного диффеоморфизмом гладкого компактного многообразия, инвариантен относительно вращения.

Лемма 1. Спектр оператора Р совпадает со всей окружностью

а(Р) = {Л £ С : |Л| = /ад2} . (1.2)

Доказательство. Поскольку оператор (д1д2)_1/2Р является унитарным, то спектр оператора Р лежит на упомянутой окружности. Нам нужно показать, что для любого элемента окружности Л, |Л| = уоператор Р _ Л1 не имеет ограниченного обратного. Для этого достаточно построить последовательность

Vп Е Ь2(М2) такую, что \\уп\\ Ым.2) ^ ж, в то время как последовательность (Р — XI)уп ограничена по норме.

Определим множества (см. Рисунок 1.1)

50 := ^(Х1,Х2) е К2 : х( + х2 > 1, (я1х1)2 + (д2х2)2 < 1, х1 > 0} , := { (я—3Х1,Ь3х2) , (х1,х2) Е .

X,

Хх

Рисунок 1.1: Множества 83 для случая, когда д1 > 1,д2 < 1. После некоторых вычислений мы получаем, что

шеёЗз = (д1д2)-3 шев^Ь = \Л\-23ше85'0.

Положим

Ук (Х1,Х2) =

X3 1, (Х1,Х2) Е Зз, 2 = 1,к; 0, для остальных (х1,х2).

Тогда

к к

к\\Ъю = £ Щ2«-1^^ = £ \Л\2(3-1)\Л\-23ше850 =

3=1 3=1

= к\Х\ 2шез30 ^ ж при к ^ ж.

При этом

(Р - XI)Ук (Х1,Х2) = <

—Хк, (Х1,Х2) Е Зк; 1, (Х1,Х2) Е 30] 0, для остальных (х1,х2).

\\(Р - XI)ук\\|2(М2) = \Х\2кшеБЗк + шевЗЬ = \А\2 к\Х\-2кшевЗЬ + шевЗЬ = = 2шез30 < С < ж для любого к.

Лемма доказана.

Найдем резольвенту (Р - XI)-1 оператора Р. Сначала пусть \А0\ > /Ц\Ц2. Тогда при малом е > 0 функция (А - А0)-1 аналитична в круге {\А\ < /д1д2 + е} и на окружности { \ А\ = /яхя^ ее можно представить в виде равномерно сходящегося ряда Тейлора (А - А0)-1 = - ^°=0 А-(г+1)Аг. Отсюда, используя описанное выше соответствие между оператором и его символом, резольвента представима в виде сходящегося по операторной норме ряда

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тасевич Алла Львовна, 2016 год

Список литературы

1. Амбарцумян В. А. К теории флуктуаций яркости в млечном пути// Докл. акад. наук СССР. - 1944. - 44. — С. 244-247.

2. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Мн.: Университетское, 1988.

3. Антоневич А. Б., Ахматова А. А. Спектральные свойства дискретного оператора взвешенного сдвига// Тр. Ин-та матем. — 2012. — 20, № 1. — С. 14-21.

4. БеллманР., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

5. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. акад. наук СССР. — 1969. — 185, №4. — С. 739-740.

6. Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике// СМФН. — 2007. — 21. — С. 5-36.

7. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. сб. — 1951. — 29, № 3. — С. 615-676.

8. Гусева О. В. О краевых задачах для сильно эллиптических систем// ДАН СССР. — 1955. — 102, № 6. — С. 1069-1072.

9. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Том 2. М.: Мир, 1966.

10. Кук К, Россовский Л. Е., Скубачевский А. Л. Краевая задача для функционально-дифференциального уравнения с линейно преобразованным аргументом// Дифференц. уравнения. — 1995. — 31, № 3. — С. 1366-1370.

11. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Тр. ММО. — 1967. — 16. — С. 209-292.

12. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1976.

13. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

14. Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела// Прикл. мех. — 1979. — 15, № 5. — С. 39-47.

15. Пламеневский Б. А. Алгебры псевдодифференциальных операторов. М.: Наука, 1986.

16. Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. О полноте и базисно-сти системы корневых функций сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов// Успехи матем. наук. — 1996. — 51. — С. 219220.

17. Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. Спектральная асимптотика сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов// Дифференц. уравнения. — 1999. — 35. — С. 393-800.

18. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. М.: Факториал, 1998.

19. Попов В. А., Скубачевский А. Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально разностных операторов с вырождением// СМФН. — 2010. — 36. — С. 125-142.

20. Попов В. А., Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально разностных уравнений с вырождением// СМФН. — 2011. — 39.— С. 130-140.

21. Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. замет. — 1996. — 59, № 1. — С. 103-113.

22. Россовский Л. Е. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов// Тр. Моск. мат. о-ва. — 2001. — 62. — С. 199-228.

23. Россовский Л. Е. О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных уравнений// Мат. замет. —2011. — 90, № 6. — С. 885-901.

24. Россовский Л. Е. К вопросу о коэрцитивности функционально-дифференциальных уравнений// СМФН. — 2012. — 45. — С. 122-131.

25. Россовский Л. Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргумертов неизвестной функции// СМФН. — 2014. — 54. — С. 3-138.

26. Россовский Л. Е., Тасевич А. Л. Первая краевая задача для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями// Мат. замет. — 2015. — 97, № 5. — С. 733-748.

27. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

28. Савин А. Ю. Об индексе нелокальных эллиптических операторов, отвечающих неизометрическому изоморфизму// Мат. замет. — 2011. — 90, № 5. — С. 712-726.

29. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Об индексе эллиптических операторов для группы растяжений// Матем. сб. — 2011. — 202, № 10. — С. 99-103.

30. Скрябин М. А. Разбиение единицы и проблема сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных операторов// СМФН. — 2009. — 34. — С. 139-151.

31. Скубачевский А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах// Дифф. уравн. — 1982. — 18, № 9. — С. 1590-1599.

32. Скубачевский А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач// Матем. сб. — 1982. — 117, № 4. — С. 548-558.

33. Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения// Мат. замет. — 1983. — 34, № 1. — С. 105-112.

34. Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом// Мат. замет. — 1985. — 38, № 4. — С. 587-598.

35. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. — 1986. — 129(171), № 2. — С. 279-302.

36. Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// Докл. акад. наук СССР. — 1989. — 307, № 2. — С. 287-292.

37. Скубачевский А. Л., Цветков Е. Л. Вторая краевая задача для эллиптических дифференциально-разностных уравнений// Дифф. уравн. — 1989. — 25, № 10. — С. 1766-1776.

38. Скубачевский А. Л., Цветков Е. Л. Общие краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений// Тр. Санкт-Петербург. мат. о-ва. — 1998. — 5. — С. 223-288.

39. Тасевич А. Л. Коэрцитивность и гладкость решений функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями// Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. Тезисы докладов, Институт математики СО РАН, 2013. С. 265.

40. Тасевич А. Л. Условия коэрцитивности функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями// Тезисы докладов международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.Д.Кудрявцева, Издательство РУДН, 2013. С. 251-252.

41. Тасевич А. Л. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягин-

ские чтения - XXV», Воронеж: Издательско-полиграфический центр «Научная книга», 2014. С. 169-170.

42. Тасевич А. Л. Об одном классе сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями// Международная конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвященная 100-летию Б.М. Левитана: Тезисы докладов, М.: Изд-во МГУ и ООО «ИНТУИТ.РУ», 2014. С. 127-128.

43. Тасевич А. Л. О сильной эллиптичности одного класса функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями// XXV Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2014). Тезисы докладов. Симферополь: ТНУ, 2014. С. 57.

44. Тасевич А. Л. Новый класс сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений// Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования: Тезисы и тексты докладов международной конференции, Москва, РУДН, 15-18 декабря 2014г. - Москва: РУДН, 2014. С. 102-103.

45. Тасевич А. Л. О гладкости сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы международной конференции: Воронежская зимняя математическая школа (27 января - 2 февраля 2015г.) Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2015. С. 137.

46. Тасевич А. Л. Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотроп-ными сжатиями// СМФН. - 2015. - 58. - С. 153-165.

47. Тасевич А. Л. Достаточные условия разрешимости функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах// Вестник РУДН. - 2015. - № 4. - С. 8-15.

48. Тасевич А. Л. О разрешимости функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах Кондратьева// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна (25-31 января 2016г.) Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2016. С. 397-399.

49. Цветков Е. Л. Разрешимость и спектр третьей краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения// Мат. замет. — 1992. — 51, № 1. —С. 107-114.

50. Цветков Е. Л. О гладкости обобщенных решений третьей краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения// Укр. мат. ж. — 1993. — 45, № 8. — С. 1140-1150.

51. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

52. Agmon S. The coerciveness problem for integro-differential forms// J. Analyse Math. — 1958. — 6. — P. 183-223.

53. Antonevich A. B., Lebedev A. V. Functional Differential Equations. V.1. С * -theory. Harlow, England, 1994.

54. Figueiredo D. G. The coerciveness problem for forms over vector-valued functions// Comm. Pure Appl. Math. — 1963. — 16. — P. 63-94.

55. Garding L. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations// Math. Scand. — 1953. — 1. — P. 55-72.

56. Kato T. Fractional powers of dissipative operators// J. Math. Soc. Japan. — 1961. — 13, № 3. — P. 246-274.

57. Kato T. and McLeod J. B. The functional-differential equation y'(x) = ay (Ax) + by(x)// Bull. Am. Math. Soc. — 1971. — 77. — P. 891-937.

58. Ockendon J. R. and Tayler A. B. The dynamics of a current collection system for an electric locomotive// Proc. R. Soc. Lond. A. — 1971. — 322. — P. 447-468.

59. Onanov G. G. and Tsvetkov E. L On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory// Russ. J. Math. Phys. - 1996. - 3. — P. 491-500.

60. Rossovskii L.E. and Tasevich A. L. On the Garding inequality for a class of functional differential equations// Abstracts of the Int. Conf. "Differential Equations and Related Topics", dedicated to Ivan G. Petrovskii, Moscow, May 30-June 4, 2011. P. 100-101.

61. Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations// J. of Differential Equations. — 1986. — 63. — P. 332-361.

62. Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997.

63. Tasevich A. L. The Garding-Type Inequality for Some Class of Functional-Differential Equations// 6-th Int. Conf. on Diff. and Functional Diff. Equations. Abstracts, M., Steklov Math. Institute, 2011. P. 71-72.

64. Tasevich A. L. Coerciveness conditions for the functional-differential equations with orthotropic contractions// International Student Conference "Science and Progress". Abstracts, SPb.:SOLO, 2012. p. 65.

65. Tasevich A. L. On strongly elliptic functional-differential equation with orthotropic contractions// International Student Conference "Science and Progress". Abstracts, SPb.:SOLO, 2013. p. 37.

66. Tasevich A. L. Coerciveness Conditions for the Functional-Differential Equations with Orthotropic Contractions// 7-th Int. Conf. on Diff. and Functional Diff. Equations. Abstracts, M., PFUR, 2014. P. 115-116.

67. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation// Chaos, Solitons, and Fractals. — 1994. — 4. — P. 1701-1716.