ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ С СИЛЬНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Расулов Абдурауф Бабаджанович

• Расулов Абдурауф Бабаджанович
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Расулов Абдурауф Бабаджанович

Коши-Римана

Глава 2. Уравнения с оператором Бицадзе и с сильными

особенностями в младших коэффициентах

§. 2.1. Интегральные представления в случае различных корней

определяющего уравнения

§ 2.2.Интегральные представления в случае кратных корней определяющего уравнения

§ 2.3. Интегральные представления в сингулярном случае для различных корней определяющего уравнения

§ 2.5. Интегральные представления модельного уравнения .... 112 §2.5. Интегральные представления эллиптической системы второго порядка с комплексно- сопряженной функцией

§ 2.6. Граничные задачи

§2.7 Поведение решений в особой точке

§ 2.8. Граничные задачи для уравнения с оператором Бицадзе и с

сверхсингулярной окружностью

Глава 3. Интегральные представления и граничные задачи для эллиптического уравнения третьего порядка с сильными особенностями в коэффициентах

§ 3.1. Интегральные представления для уравнения третьего порядка в случае различных корней определяющего уравнения

§ 3.2. Случай, когда корни определяющего уравнения различные,

но Ао(г) = 0, Во(г) = 0 и Ао(г) = 0, Во(г) =

§ 3.3. Интегральные представления в случае кратных корней определяющего уравнения

§ 3.4. Интегральное представление в случае сингулярной точки . 147 § 3.5. Интегральные представления модельного уравнения .... 152 § 3.6. Интегральные представления эллиптической системы третьего порядка с комплексно- сопряженной неизвестной функцией

§ 3.7. Граничные задачи

Глава 4. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений высшего порядка с регулярными и сингулярными

коэффициентами

§ 4.1 Интегральное представление для уравнения с аналитическими коэффициентами и его формула обращения

§4.2 Граничные задачи для уравнения с аналитическими коэффициентами

§4.3. Интегральные представления уравнения высокого порядка с

сингулярным отрезком

§4.4.Представление решений в виде рядов для уравнения высокого

порядка с сингулярной линией

§ 4.5. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса дифференциальных уравнений с сингулярным

многообразием

§ 4.6.Интегральные представления и граничные задачи для уравнения высокого порядка е сильными особенностями в начало координат

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ С СИЛЬНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ»

Актуальность темы.

Фундаментальные результаты в теории вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений были получены в работах М.В. Келдыша, А.В. Бицадзе, И.Н. Векуа, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, М.М. Смирнова, О.А.Олейник, А.П. Солдатова, В.Ф. Волкодавова, Л.Г. Михайлова, Н.Р. Раджабова, Р.П.Гильберта, В.И. Жегалова, А.И.Кожанова, А.М. На-хушева, И.М. Петрушко, М.В. Коровина, С.П. Пулькина, О.А.Репина, М.С. Салахитдинова, З.Д.Усманова, С.Б.Климентова, А.И.Янушаускаса, и др.

Настоящая работа посвящена представлению общего решения эллиптических уравнений в области G на плоскости с сильными особенностями в младших коэффициентах. Главный частью этих уравнений являются степени оператора Коши-Римана. Носителями особенностями служит множество I, состоящее как из изолированных особых точек, так и из некоторых линий. Это представление используется для исследования краевых задач.

В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимает обобщенная система Коши-Римана

dEU + A(z )U (z) + В (z)Ü = F (z), (0.1)

где 2dz = дх + гду — оператор Коши-Римана, A(z),В(z),F(z) — заданные в ограниченной области G функции, U(z) — неизвестная функция. Существует несколько различных математических теорий уравнения (0.1), которые обобщают методы теории функций комплексного переменного (ТФКП). В первую очередь следует отметить работу Л.Берса [6], где обобщены операции интегрирования по комплексному переменному для системы (0.1). Такой подход получил известное завершение в теории псевдоаналитических функций. В работах украинского математика Г.Н. По-ложего [42] была развита теория ^-аналитических функций, которая по своим идеям близка к работам Л.Берса. Другое направление, получившее название "Обобщенные аналитические функции", развивалось школой И.Н.Векуа [10] и его последователей (Б.В.Боярский [5] и др.). Здесь на основе использования аппарата функционального анализа развивается идея соответствия между функциями комплексного переменного ф(z) и решениями уравнения (0.1).

Теория Векуа построена в предположении, что функции A(z),B(z),F(z) принадлежат пространству FP(G), р> 2. Коэффициенты

таких систем могут допускать "слабые" особенности, лимитируемые требованием р -интегрируемости. В частности, если A(z),В(z) обращается в бесконечность в некоторой изолированной особой точке z = 0, то порядок этой особенности должен быть строго меньше единицы. Поэтому даже уравнения с такими коэффициентами, как A(z) = 1/z,B(z) = 1/~z, не охватываются теорией Векуа.

В настоящее время достигнута определенные успехи в изучение общих эллиптических систем первого порядка на плоскости с коэффициентами принадлежащими пространствам суммируемых функций(см. например Солдатов А. П. [66], , Климентов С. Б. [26] ), что нельзя утвердить о эллиптических системах с сингулярными коэффициентами.

Исследованию задач для уравнения (0.1) с коэффициентами, имеющими особенности первого порядка в изолированной особой точке, посвящены работы Л.Г.Михайлова [34], З.Д. Усманова [76], Н.Р.Раджабова, , Р.Сакса, А.Ю.Тимофеева, С.Б.Климентова [20], А.Л. Гончарова [19], H. Begehr, А. Тунгатарова, А. Meziani [40] и др. Об одном специальном случае обобщенной системы Коши-Римана с точечной особенностью коэффициента порядка выше первого впервые упоминается в работе Г. Ханкеля [79] в 1869 г. Понятие же сверхсингулярной особенности принадлежит Н.Р.Раджабову [48].

Классическим примером дифференциальных уравнений второго порядка с оператором д^ является уравнение U%z = 0, для которого еще в 1948 г. А.В. Бицадзе [2], [4] была доказана некорректность постановки задачи Дирихле [4]. Модифицированное уравнение Бицадзе с добавленными младшими производными в случае регулярных коэффициентов исследовались также Р.С. Саксом [58], [59], Н.Е.Товмасяном и др.

Существенный вклад в развитие таких, а также общих эллиптических систем с регулярными и сингулярными коэффициентами внес А.П. Солда-тов (см., например [62], [63], [64]).

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию следующих уравнений:

1) уравнению первого порядка вида (0.1), с коэффициентами имеющими степенные особенности вида o(\z — ^o|-n), o(\z — z|-n), o(Jzz — — R2l—n), n> 0;

2) уравнению Бицадзе и уравнению третьего порядка с оператором Коши-Римана, с коэффициентами имеющими степенные особенности вида o(]z — zol—n), o(lzz — R2l—n), n> 0;

3) некоторым уравнениям и системам уравнений высокого порядка с оператором Коши-Римана и c коэффициентами, имеющими перечисленные в 1) особенности.

После работы М. В. Келдыша [25] (1951 г.) и монографий М. М. Смирнова [68] и А. В. Бицадзе [4] стали рассматриваться различные вырождающи-

еся дифференциальные уравнения в частных производных. В большинстве случаев в уравнениях с коэффициентами, имеющими степенные особенности указанных видов, происходит вырождение порядка (а не типа) уравнения на сингулярных многообразиях (в частности, в сингулярных точках), лежащих внутри области. Следуя Л. Г. Михайлову и Н.Раджабову назовем их уравнениями с сингулярными коэффициентами на многообразиях. Эти уравнения при п < 1 называются сингулярными уравнениями со слабой особенностью, при п = 1 — уравнениями с сингулярной особенностью, а при п > 1 — уравнениями оо сверхсингулярной особенностью [46], [47].

Существует класс систем эллиптических уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами, для которых обычные постановки краевых задач (задача Дирихле, Неймана и др.) являются некорректными. Поэтому возникает естественный вопрос: какие соображения должны быть положены в основу постановки задач для таких систем с тем, чтобы полученные при этом краевые задачи стали корректными? Актуальность решения этого вопроса не вызывает сомнений. Оказалось, что для корректности подобных задач мало традиционных условий на границе области; нужны дополнительные ограничения на некоторый оператор от решений на границе. Эти ограничения вызваны характером сингулярного многообразия (сингулярностью, со слабой особенностью или сверхсингулярностью). Для построения соответствующего граничного оператора используется информация о решении, вытекающая не из самого решения (которое в общем случае невозможно построить), а из выводимого в данной работе интегрального представления решения. Успешное рассмотрение этой проблемы в сингулярном и сверхсингулярном случаях позволяет проанализировать эти случаи с точки зрения свойств решений соответствующих уравнений с учетом, в частности, особенностей их коэффициентов.

Ранее исследовались отдельно дифференциальные уравнения с сингулярной точкой и уравнения с одной сингулярной линией (см. ссылки на цитированные ранее работы Бицадзе А.В.,Михайлова Л.Г., Раджабова Н.Р. и др.). Дифференциальные уравнения одновременно с сингулярной точкой и отрезками (или с более сложными сингулярными многообразиями, например, с окружностью) стали объектами наших исследований. Во всех этих случаях выделяется особая часть решений, позволяющая детально изучить поведение решений в окрестности сингулярного многообразия.

Цель и задачи исследования. Основной целью работы является получение интегральных представлений общего решения для некоторых уравнений и систем уравнений различного порядка с оператором Коши-Римана и с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также применение их к исследованию краевых задач.

Научная новизна.

1. Впервые получены интегральные представления общего решения эллиптических уравнений и систем уравнений различного порядка с оператором Коши-Римана с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

2. Изучено качественное поведение решений рассматриваемых уравнений вблизи сингулярных многообразий и исследованы их структурные свойства.

3. Предложены новые постановки краевых задач и исследована их разрешимость в случаях, когда в классической постановке корректность таких задач нарушается.

Методика исследования. Для решения поставленных задач были использованы современные методы теории функций (включая аппарат обобщенных аналитических функций), функционального анализа и математической физики, а также методы теории сингулярных интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть применены также в прикладных задачах, где различные процессы описываются уравнениями в частных производных с особенностями (например, в теории осесимметри-ческого стационарного гравитационного поля, теории упругости, гидродинамики и т.д).

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались:

—неоднократно на семинаре "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений руководимым акад. АН Респ. Таджикистан проф.Н. Р. Раджабовым (Душанбе, 1985-2006г.г.),

— на "Понтрягинских чтениях"(Воронеж, 1996 г.), а также на научной конференции по современным методам теории функций и смежных проблем (Воронеж, 2003г.,),

— на математических чтениях (Москва, РГСУ, 1995 г.,2008-2013гг.),

— на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Душанбе 1996г., 1998г., 2000г., 2003г., 2005г.),

—на международной конференции "Актуальные проблемы математики и её приложений"(г. Худжанд, 1996г., 2003г.),

—на региональной научно-практической конференции (г. Сулюкта, Кыргызстан, 2006г.),

—на семинаре по сингулярно-возмущенным уравнениям НИУ МЭИ, руководимым проф.Сафоновым В.Ф. и проф.Бободжановым А.А. (20072015гг.),

— на семинаре НИУ МЭИ, руководимым проф. Дубинским Ю.А.и

проф. Амосовым А.А.(2007-2015гг.),

-на семинаре кафедры высшей математики физического факультета МГУ, руководимым профессорами Васильевой А.Б.,Бутузовым В.Ф., Нефедовым Н.Н. (апрель, 2008г.),

-на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2008г.,2012г.),

-на XII-й международной конференции по электромеханике, электротехнологии, электрические материалы и компоненты (Крым,Алушта 2008г.),

-на семинаре "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений"проф. Солдатова А.П.(г.Белгород,май 2009г.,ноябрь 2016г. ),

-на Российско— китайском симпозиуме "Комплексный анализ и его приложения"(г.Белгород,октябрь 2009г.), на международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел"( г. Белгород, 17-21 октября 2011г.), на международном конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения ( г. Белгород, 26-31мая 2013г.),

-на международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик- Хабез, июнь 2010г.),

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г.Самара, июнь 2011г.),

- на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, под руководством профессора А.Л. Скубачевского (РУДН, февраль,2010г.)

- на семинаре по дифференциальным уравнениям механико-математического факультета МГУ, под руководством профессоров А.С. Шамаева, Радкевича Е.В. и Боровских А.В. (май, 2010г.),

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Белгород, 26-31мая 2013г.),

- на международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик- Хабез, июнь 2010 г.),

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Самара, июнь 2011г.),

- на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"( Республика Башкортостан, г. Стерлитамак, 26 мая-3 июня 2013г.),

- на XI Казанской международной летней школе конференции "Теории функций, ее приложения и смежные вопросы "(Казань, 22-28 авгу-

ста 2013г.), а также на международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям выдающихся профессоров казанского университета, математиков Петра Алексеевича и Александра Петровича Широковых, (Казань, 26июня-2июля 2016г.),

— на семинаре отдела дифференциальных уравнений Математического Института РАН им. В.А.Стеклова, руководимым академиком РАН Аносовым Д.В. и проф. Ильященко Ю.С. (5 февраля 2014г.),

— на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики Математического Института РАН им. В.А.Стеклова, под рук. член-корр. РАН О.В.Бесовым (26 февраля 2014г.),

— на семинаре академика РАН Моисеева Е.И. и проф. Ломова И.С.(МГУ, ВМК, декабрь, 2008г., март,2014г.),

— на четвертый, пятый, седьмой международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 27 апрелья-1 мая, 2014г., 2015г., 23-28 апреля 2017г.),

—на международной научной конференции "Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных посвященной 100-летию А. В. Би-цадзе(МГУ, ВМК, июнь, 2016г.)

— на международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики» посвященной 110-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова (МГУ, ВМК, 31 октября - 3 ноября 2016г.)

— на семинаре отдела вычислительного центра им. А. А. Дородницына Российской академии наук Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» Российской академии наук, руководимым проф. Власовым В.И. (г. Москва, ноябрь, 2016г).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [85—139], список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 197 страницах. Список литературы содержит 139 наименований .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по теме диссертации и приводятся основные результаты, полученные автором.

В первой главе исследуется обобщенная система Коши — Римана (0.1)

с сингулярными коэффициентами следующих

типов:

a) А(г

b) А(г

c) А(г

а) А(г

е) А(г

V А(х

х

а(х),

а(х)

^ — х1п, ^ а(х)

к I — к||та

^к—1а(г)

\хк — гк |п' __I1

2(х — г), __I1

2(х — г),

В (г В (г В (г

В (г В (г В (г

|2 |т'

) '

— г\т'

Ь(г) ' |Л — ||т' ) '

\хк — гк \т'

2(г — г)'

2(г + х)'

где к Е N, функции а(г ),Ь(х) Е С (С) и постоянные п > 1, 0 < т < 1, > 0. Рассмотрены также случаи, когда в а) и с) вместо одной особой точки г = 0 и одной особой окружности = Я могут быть нескольких особых точек г2,..., Хк и несколько особых концентрических окружностей Ь^ = {|z| = Я^} ( радиусов 0 < Я1 < Я2 < ... < Як), лежащих внутри области С.

В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что область С содержит точку ^ = 0 и и ее граница дС является простым ляпуновским контуром, ориентированным против часовой стрелки. При наличии в уравнении (0.1) коэффициентов с особенностями указанных выше типов вместо (0.1) будем писать (0.1а), (0.1Ь), (0.1с), (0.1а), (0.1е) и (0.Н). Так что ссылка, например, на (0.1а) означает, что имеется в виду уравнение (0.1) с коэффициентами, удовлетворяющими условиям

А(г) =

а(г)

^к _ ^к I п

,в (Х) =

( )

| -¿рк _ ^к |т

Рассмотрим интегральный оператор типа Векуа

1

(Т/)(*) = —-

Ж) «

К] С

, / Е Ь(С),

(0.2)

здесь и ниже р > 2. Хорошо известно, что этот оператор (как оператор, действующий из ЬР(С) в соболевское пространство W 1,Р(С)) ограничен и является компактным. В силу теоремы 1.19 [10] имеет место вложение W 1,Р(С) С Са(С) с показателем Гельдера а = (р — 2)/р. В дальнейшем в случае, когда точное значение а несущественно, вместо Са(С) используем класс Н(С) функций, удовлетворяющих условию Гельдера с некоторым показателем.

По мнению А. Тунгатарова и др. класс уравнений исследованный Л.Г.Михайловым (уравнения (1а), при т = п = 1) является простейшим и, пожалуй, единственным представителем класса обобщенных систем Коши-Римана с квазисуммируемыми коэффициентами, относительно которого ряд результатов удаётся получить путем использования основного оператора (0.2) теории регулярных обобщенных систем Коши-Римана [75] Нам трудно согласится с выше сказанным мнением. Оператор Векуа (0.2) применима и в том случае, когда функция / имеет сильные особенности в точках или в линиях, которых содержит область С.

Пусть С£ = С | > е}, е > 0 и функция Р принадлежит

ЬР1ос(С, 0), р> 2, т.е РР(С£) для любого £ > 0. Под регулярным решением уравнения (0.1а) понимается функция и € Н1ос(С, 0) (т.е. принадлежащая классу Гельдера Н(С£) для любого £ > 0), удовлетворяющая уравнению в смысле обобщенных функций на С \ 0.

Рассмотрим отдельно уравнение (0.1а) при Ь(г) = 0, т.е уравнение

д,и - А(г)и(х) = ^(г), А(г) = ^. (0.3)

га(г)

га

Введем сингулярный интеграл

П (г) = Нш (Т£А)(г) = -Нш - [ А(}

Положим для краткости

2 ^

и(х) = --——.—т, Ао(г) = , , ,, \а(х) - а(0)1.

Теорема 1.1. Пусть п > 1 и А0 € РР(С). Тогда функция 0,(г), г € € С\{0}; существует и представима в виде

П(г ) = -а(0)ш(г) + Цг), к(г) = (ТАо)(г) + а(0^ ^ ^

(п - 1)ъ1]дс кгчс - *)'

где Н(г)€Н(С). При дополнительном предположении е-ПР € РР(С) общее решение уравнения (0.3) в классе и € Щос(С, 0) дается формулой

и = еп\ф + Т (е-п Р)], (0.4)

где функция ф € Н1ос(С, 0) аналитична в области С\{0}. Заметим, что при 0 < а < 1 условие

и (г) = 0(\х |-а) ехр

Ие 2а(0)

(п - 1)|2|п-1

(0.5)

при z ^ 0 равносильно тому, что в этом представлении функция ф имеет z = 0 устранимой особой точкой и, следовательно, аналитична во всей области G.

Поэтому фактически функция U принадлежит классу функций, для которых e-üU Е Н(G). Этот класс удобно обозначить Н(G, ей). Аналогичный смысл имеет и весовой класс LP(G, еп). Конечно, при Rea(0) = 0 последний класс совпадает с LP(G).

Аналог теоремы 1.1 справедлив и для п = 1. Именно, пусть функция А0 Е LP(G). Тогда справедлива формула

П(z) = 2а(0) ln И + ho(z),ho(z) = (TAo)(z) + ^ /

кг JdG Q — z

где ho(z) Е Н(G).

Задача R0 (типа Римана-Гильберта). Найти решение U(z) Е Н(G, ей) уравнения (0.3) по краевому условию

Re [XU]г = g,

где функция X(t) Е Н(Г) нигде в нуль не обращается ид Е Н(Г).

Обозначим через к индекс Коши функции X, т.е. деленное на 2к приращение непрерывной ветви arg X на контуре dG.

Теорема 1.2.Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и F Е LP(G, еп), р > 2. Тогда задача R0 является фредгольмовой в классе Н(G, ей) и ее индекс равен 1 — 2ж, причем если 1 — 2ж > 0, то неоднородная задача всегда разрешима, а при 1 — 2ж < 0 однородная задача имеет только нулевое решение.

Обратимся к уравнению (0.1b), где роль I играет отрезок прямой. Более точно, пусть как и выше область G ограничена гладким контуром Г, пересекающий (некасательно) вещественную прямую в двух точках т\, т2, и I = [т\, т2]. Тогда дополнение G \ I состоит из двух областей G± = G П {±Im z > 0}. С начало рассмотрим уравнение (0.1b) с b = 0 :

a,U — A(z)U(z) = F(z), A(z) = ^—¡a+f. (0.6)

Как и в случае l = {0} под регулярным решением уравнения (0.1b) понимается функция U Е Н10С(G, I) (т.е. принадлежащая классу Гельдера Н(G£) для любого £ > 0), удовлетворяющая уравнению в смысле обобщенных функций на G \ .

Пусть функция Q(z) является введенным выше сингулярным интегралом Векуа T£ по области G£ = Gf){| Imz | > e}.

«СМ = и 1 Е Н(Ь), а,о(то) = ас(п) = 0.

Теорема 1.3. Пусть функция а Е С (С) в уравнении (0.6) на интервале I совпадает с некоторой аналитической в С функцией аС(х) Е Н(С), причем

Мг) = (г — 2)[а(*) Е ЩС).

Пусть, кроме того, функция аС на граничном контуре Ь удовлетворяет условию

аоМ

Тогда при п > 1 функция

ВД = Ы^ + ф), ф) = — п — ^ ,

где

к(х) = (ТАо)(г) + [ ^^

0 2(п — 1)к ]ь Ц — г — х

обладает свойством

д-х П = А(х)

в областях С±, причем к Е Н(С). В частности, при ГС = Е ЬР(С0)

формула (0.4), где функция ф аналитична в подобласти С0 С С \ I, описывает общее решение уравнения (0.6) в этой подобласти. Эта теорема справедлива и при п = 1 с той разницей, что

ВД = — ао(х) 1п ^—х+^х), Ьо(х) = (ТАо)(х)+^ [ ао(С)Ы |С —

2к 1 Ль ^ — г

Обозначим Н(С) класс функций, принадлежащих Н(С±) в каждой из замкнутых областей С±, по отношению к которому весовой класс Н(С, еп) определяется аналогично предыдущему. Согласно теореме 1.3 в предположении ^ Е ЬР(С, еп) условие и Е Н(С, еп) равносильно тому, что аналитическая в С \1 функция ф принадлежит классу Н(С).

Исходя из представления общего решения (0.4) для = Е

ЬР(С0), рассмотрим при п > 1 краевую задачу, объединяющую элементы задач линейного сопряжения и Римана-Гильберта.

Задача Я. Найти решение и (х) Е Н(С) уравнения (0.6), удовлетворяющее краевым условиям

Пе\и\ь = ¡' (е—пи)+(г) — р(г)(е—пиу^) = д(г), г Е I,

где (е—Пи)+ — граничные значения на I со стороны С+, а (е—Пи)— — граничные значения на I со стороны С—, функции Х^) Е Н(Ь),р(^ Е Н(I) всюду отличны от нуля.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.3 и Х,е пР Е Н(Ь), (3, дЕН(I), д(т0) = д(Т\) = 0,((т0) = (3(т\) = 1 и к — индекс Коши функции X. Тогда в классе Н(С, еп) при 2к > 1 неоднородная задача Я всегда разрешима, а однородная задача имеет 2к — 1 линейно-независимых решений. Если 2к < 1, то однородная задача имеет только нулевое решение, а неоднородная задача разрешима при выполнении 1 — 2к условий ортогональности на правые части Р, ¡ид задачи.

Для исследования уравнения (0.16) с ненулевым коэффициентом В необходимо сначала обобщить результаты И.Н. Векуа на интегральные операторы вида

(Т<*>)(*)=[ ,т , , «С,

]с 11т С1тК — А

с некоторым а : 1 < а < 2. Напомним, что здесь 0 < т < 1. Лемма 1.1. Пусть

0 <т< 1 < а < 2, т + 2а< 3, р> 2/(3 — т — 2а),

так что

0 < ^ = 3 — т — 2а — 2/р < 1.

Тогда оператор Т0: и (С) ^ С^(С) ограничен . Рассмотрим функцию

К г, 0= /

—

(Ы

|1т

(г — т — г )

Лемма 1.2. В условиях леммы 1.1 справедлива оценка

о — к 22,01 < С | * — ^|3—2а—т[| — С1—т + | ¿2 — С1—т],

где постоянная С > 0 не зависит от и (.

Пусть А удовлетворяет условиям теоремы 1.3. Не ограничивая общности можно считать, что для заданного т : 0 < т < 1 функция Ь(х) = = |1т г\тВ(г) ^ 0 при 1т г ^ 0. Тогда подстановка и = епУ приводит (1 ) к уравнению

V, + ВоУ = Ро

с коэффициентом В0 = еП—ПВ и правой частью Р0 = е—ПР. Заметим, что Во(г) = 6о(С)|1т т, где Ьо ЕС (С). _ _

В свою очередь уравнение V, + В0У = Р0 в классе {V : V Е Н(С)} равносильно интегральному уравнению V + XV = ф + ТР0, где функция ф Е Н(С) аналитична в области С и

1 Г МО

а

Согласно лемме 1.1 для соответствующего показателя р > 2 оператор К действует из РР(С) в Н(С). Пусть К' - оператор, союзный с ним относительно билинейной формы

( (р,ф) =Re ip(t)i)(t)d2t. Jg

В явном виде

m)(Z)= bfz) iШй-,

v J ж\lmz\m Jg t — z '

Заметим, что оператор К' компактен в пространстве L1(G).

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.5. (а) Однородное уравнение f — К if = 0 имеет в классе Н(G) конечное число п линейно независимых решений f1,..., fn; однородное уравнение ф — К'ф = 0 имеет в классе L1(G) конечное число п линейно независимых решений ф1,..., фп; неоднородное уравнение f — Kf = f разрешимо в классе Н(G) тогда и только тогда, когда (f^j) =0, 1 < j < п.

(b) Существуют такие функции Pj(z, () Е С(G х G), что при достаточно малом е > 0 оператор

(р Л( , = 1_ ( [, 0/(0 + Р2(г, 0/(0] ( 1)( ) К ¡с |1шСМС — ¿|1+£

действует С (С) ^ Н (С) и при выполнении условий ортогональности (/^Фз) =0, 1 < ] <п одним из решений уравнения — К<р = / служит функция р(г) = ) + (Р/)(г).

Обратимся к общему уравнению (0.1 ), в котором п > 1, 0 < т < 1, коэффициент А удовлетворяет условиям теоремы 1.3 и В(х) = Ь^^ш z|_m с некоторой функцией Ь( х) Е С (С). При этом, как и ранее, правая часть Р подчиняется условию е—ПР Е ЬР(С) с показателем р > 2, точное значение которого уточним ниже. Из предыдущих результатов и теоремы 1.3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.6. Пусть а и р > 2 удовлетворяют условиям леммы 1.1. Тогда в обозначениях теоремы 1.5 любое решение и уравнения (0.16) в классе {и : е—Пи Е Н(С)} представимо в виде

U = е

Q

Еп

, Cjfj

с произвольными ^j Е R, где F1 = Т(е nF) Е Н(G), функция ф(z) Е Н(G) аналитична в области G и удовлетворяет условиям

(ф + F1^j) =0, 1 <j<n.

В свою очередь эта теорема позволяет исследовать задачу Я для полного уравнения (0.1Ь).

Теорема 1.10. В условиях теорем 1.3 - 1.6 задача Я для уравнения (1Ь) фредгольмова в классе Н(С, еп) и ее индекс равен 1 — 2к. Другими словами, однородная задача имеет конечное число т линейно независимых решений, неоднородная задача разрешима при выполнении некоторого числа т' условий ортогональности на правую часть Р уравнения (0.1Ь) и правые части /, д задачи Я, причем разность т — т' = 1 — 2к.

Аналогичные результаты сформулированы и доказаны также для уравнений (0.1а), (0.1с) и (0.1а). _

В § 1.4 для уравнения (0.1е) в области С— = С\С получено интегральное представление и установлены формулы обращения, а также исследована соответствующая задача типа линейного сопряжения.

Пусть область С симметрична относительно координатных осей, обозначим С+ и С- — пересечения области С и ее дополнения С\С с первым квадрантом соответственно. Пусть дуга Г есть часть контура дС в этом квадранте, и пусть Г± и Г± — граничные интервалы области С± на координатных осях Ие 2 и 1т 2 соответственно. В первой главе в § 1.5 диссертации рассмотрено уравнение (0.1/) с двумя сингулярными линиями в областях С±:

21— тк(и+и)+—и) = Р(^ 0

Для х = х + % у, ( = £ + г Г], г = ( положим

(0.7)

Е(г, () =

= А

вт1 И а вт1

о J0 [(х — О2 + (У — ч)2 + 2х£(1 — сова) + 2уг](1 — сов/)]^+")/2

где 4жА = ^Г2(ц/2)Г2(и/2).

Лемма 1.3. Любое решение и е С1(С+)ПС(С+) уравнения (0.7) выражается через произвольную гармоническую в области С функцию ш(г), четную относительно переменных х и у, и функции еС[0,а], ф е е С [0, Ь] по формуле

и( ) =

= х^уу

1

1

(Рш)(г) + - е/2Е(г, (;М№ + 1 ^/2Е(г,щ)ч>Шг} ио ^2 ио

где

(Р^)(г) =

и(х сов а, у сов ()(а(( 0 Бт1—И а 3

к пк

а

и постоянные Х^ зависят только от ц, и.

Установлена также формула обращения этого интегрального представления. Аналогичные результаты получены и в области С—' они применяются при решении задачи типа Дирихле на первом квадранте.

В §1.6 приводятся некоторые дополнительные факты о применении уравнения (0.1) с регулярными и с сингулярными коэффициентами в прикладных задачах.

Во второй главе исследуется уравнение

д2 и ( ) д и 2 ( )

Ж + ^^Т + \Ф+2и = ™, п > 1 (08)

где а(г), Ь(х) Е С 1(С). Исследование уравнения этого типа было начато А.В. Бицадзе еще в 80-х годах прошлого столетия. С ним тесно связано так называемое определяющее уравнение

Х2(г) + а(х)Х(х) + Ь(г) = 0, (0.9)

корни которого обозначим через Х^ (г) :

Х^г) = (—а — с)/2, Х2(г) = (—а + с)/2,

где с = Vа2 — 4Ь. Как показывают дальнейшие исследования, эти корни вместе со степенью п сингулярности играют большую роль в формировании структуры решений уравнения (0.8).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Расулов Абдурауф Бабаджанович, 2017 год

Список литературы

[1] Александров А .Я., Соловьёв. Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978. 462 с.

[2] Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

[3] Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164с.

[4] Бицадзе А. В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными. //Успехи мат.наук, 1948. Т. 3, №8, С. 211-212.

[5] Боярский Б. В. Об одной краевой задаче для системы уравнений в частных производных первого порядка эллиптического типа.//ДАН СССР, 1955. Т.102, №2, С. 201-204.

[6] Берс Л. Теории псевдоаналитических функций. Нью-Йорк, 1953. 187с.

[7] Берс Л. Очерк теории псевдоаналитических функций. Бллют. Амер. Матем. общество, 1956. Т. 64, № 4. С. 291-331.

[8] Begehr H, Dao-Qing Dai. On continuous solutions of a generalized Cauchy-Riemann system with more than one singularity //J. Differential Equations. - 2004. - Vol. 196. - P. 67 - 90.

[9] Балк М. Б, Зуев М. Ф. О полианалитических функциях //Успехи мат. наук, 1970. Т.25, вып. С. 203-226.

[10] Векуа И.Н . Обобщённые аналитические функции. М. : Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1988. 510с.

[11] Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. Москва, Ленинград: ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1948. 296 с.

[12] Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничных задачи с применением к теории оболочек// Матем. сборник. 1952. Т.31, № 2. С. 217-314.

[13] Волкодавов В■ Ф■, Николаев■ Н■ Я■ Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Куйбышев, 1984. 80 с.

[14] Гахов Ф■ Д■ Краевые задачи. М: Наука, 1977. 640 с.

[15] Гейнц О■ М■, Соловьев Ю■ И■ Напряженные состояние упругого пространства с тороидальной полостью// Прикладная механика и тео-ритическая физика. 2004. Т. 45, №1, С.73-83.

[16] Гладышев, Ю■ А ■ Формализм Бельтрами-Берса и его приложение в математической физике ЮА Гладышев - Калуга: Облит. 1997. 260 с.

[17] Голубев В■ В■ Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Москва, Ленинград: ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

[18] Говоров Н■ В■ Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М: Наука, 1986. 240 с.

[19] Гончаров А ■ Л ■, Климентов С ■ Б■ Построении нелокальных решений обобщённых систем Коши-Римана с сингулярной точкой // Межд. шк.-сем. по геом. и ан. памяти Н.В. Ефимова. Тез. докл. Абрау-Дюрсо, 5-11.09. 1998. С. 185-187.

[20] Гончаров А ■ Л■, Климентов С ■ Б■, Усманов З■ Д ■ Аналог теоремы Лиувилля для одного класса систем типа Коши — Римана с сингулярными коэффициентами. Владикавк. матем. журн., 2005, том 7, N 4. С.7-16

[21] Градштейн ИС^, Рыжик И■ М■ Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М.: Физматлит, 1983. 1100 с.

[22] Джураев А■ Д■ Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987. 416 с.

[23] Ефимов Н■ В■ Качественные вопросы теории деформации поверхностей //УМН. 1948. Т.3, №2. С. 47-158.

[24] Жегалов В■ И■ Об одном обобщении полианалитических функций //Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1975, вып.12. С. 50-54.

[25] Келдыш М В О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. Т. 77, №2, С. 181-183.

[26] Климентов С■ Б■ Задача Римана-Гильберта в классах Харди для общих эллиптических систем первого порядка Изв. вузов. Матем., 2016, N 6. 36-47

[27] Коровина М■ В■ Дифференциальные уравнения с коническим вырождением в пространствах с асимптотиками // Дифф.уравнения. 2009. Т.45, №9. С. 1249-1258.

[28] Кожанов А И Априорные оценки обобщенных решений квазилинейных эллиптических вырождающихся уравнений //Дифференц. уравнения. 1976. Т.12. №1 , С. 69-78.

[29] Кожанов А И , Потапова С В Задача Дирихле для одного класса уравнений составного типа с разрывным коэффициентом при старшей производной//Дальневосточный математический журнал. 2014. Т.14, №1. С. 48-65.

[30] Кривенков Ю■ П■ Представления решений уравнений Эйлера-Пуассона- Дарбу при отрицательном коэффициенте //ДАН СССР. 1958. Т.123, №2. С. 239-242.

[31] Левин Б■ Я■ Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632с.

[32] Лаврентьев М ■ А ■, Шабат Б■ В■ Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

[33] Лаврентьев М ■ А ■, Шабат Б■ В■ Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

[34] Михайлов Л Г Новые классы особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, Изд-во АН Тадж. ССР, 1963. 234 с.

[35] Михайлов Л■ Г Краевая задача Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. //Уч. зап. Тадж. университета. 1956, Т.10. С. 32-79.

[36] Моисеев Е■ И ■ ,Могими М ■ О полноте собственных функций задачи Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа. //Диф-ференц.уравнения. 2005. Т. 41, №10. С. 1387-1391.

[37] Нахушев А М Задача со смещением для уравнений в частных производных. М: Наука, 2006. 287с.

[38] Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М: Физматлит, 2003. 272с.

[39] Маричев О.И., Килбас А.А.,Репин О.А. Краевые задачи для уравнений вчастных производных с разрывными коэффициентами. Самара: Изд-во Самарского государственного экономического университета, 2008. 276с.

[40] Meziani A. Representation of solutions of a singular CR equation in the plane // Complex Var. and Elliptic Eq. - 2008. - Vol. 53. - P. 1111 - 1130.

[41] Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

[42] Положий Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. Аналитические функции и некоторые их примене-ния.Киев: Изд-во Киевск. университета, 1965. 172 с.

[43] Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир, 1970.

[44] Помпейю Ю.Д. Pompeiu D. Sur une classe de fonctions d'une variable complexe.// Rendiconti di Palermo, 33 (1912), 108-113; 35 (1913). С.277-281.

[45] Пуанкаре A.(Poincare A.) Lecons de Mexanique celeste V.3.Paris,1910.

[46] Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе: Изд-во ТГУ, ч.2., 1981. 170 с.

[47] Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе: Изд-во ТГУ, ч.1.,1980. 126 с.; ч.3, 1982. 170с.

[48] Раджабов Н. Р. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе, Изд-во ТГУ, 1992. 236с.

[49] Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями.(Введения в теорию немодельных гиперболических уравнений второго порядка с сингулярными линиями). Душанбе: Изд-во ТГУ, ч.4, 1985. 148 с.

[50] Раджабов Н. Р. Many-dimensioal linear heperbolic equations with supersingular coefficients //In book "Inter national conference on applied Mathematics". Tehran, Iran, 1991. P. 56-58.

[51] Раджабов Н . Р. Linear hyperbolic equations of the sourth order with two singular lines// In book "Procecdings of Asian Mathematical conference 1990, Hong-Kong, Word Sci. Publishjng". 1992. P. 387-393.

[52] Раджабов Н . Р.Linear hyperbolic equations with two super-singular lines// In book "Integral equations and boundary value problems". Singapore-New-Ierscy-London-Hong-Kong, World Sci, Publishing". 1991. P. 170-175.

[53] Раджабов Н . Р.Interal representations and boundary value problems for some second order linear elliptic systems with regular and singular coefficients //In book "Complex Analysis and applicatioys 87". P. 431441.

[54] Раджабов Н. Р. An Introduction To The Theory of Partial Differential Equations With Super-Singular Coefficionts. Tehran: Tehran University publisher. 1996. 236 p.

[55] Reissig M, Timofeev A. Dirichlet problems for generalized Cauchy-Riemann systems with singular coefficients // Complex Variables. 2005. Vol.50, № 7(11). P. 653 - 672.

[56] Расулов К. М. О некоторых краевых задачах типа задачи Римана для одного дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами. Смоленск, 1979. 15с. Рукопись Деп. в ВИНИТИ 17.01.80, №443 -80.

[57] Рудин У. Функциональный анализ, М.: Мир, 1975

[58] Сакс Р.С. О задаче Дирихле для эллиптической системы А. В. Бицадзе с младшими производными.//Дифф. уравнения. 1971. Т.7. С.121-134.

[59] Сакс Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. гос.ун-т. 1975.

[60] Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения Казань: Изд-во Казанск. мат. общества. 2005. 297 с.

[61] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И . Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

[62] Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. Изд-во Высшая школа, 1991. 206с.

[63] Солдатов А.П. "Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. I. Гладкий случай"// Изв. АН СССР. 1991. Сер. матем., Т. 55, №5, С. 1070-1100.

[64] Солдатов А.П. Эллиптические системы второго порядка в полуплоскости //Известия РАН, Т.70, №6, 2006. С.161-192.

[65] Солдатов А.П. К теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т.11, №1. С. 74 - 78.

[66] Солдатов А. П., "Пространство Харди решений эллиптических систем первого порядка Докл. РАН, 416:1 (2007), 26-30

[67] Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М: Наука. 1985. 334 с.

[68] Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Изд-во Высшая школа. 1997.

[69] Теодореску Н. Theses.-Paris, 1931.

[70] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974. С. 42

[71] Тимофиев А.Ю. Весовые пространства функций, возникающие в исследовании обобщенных уравнений Коши-Римана с сингулярными коэффициентами // Уфимский математический журнал. 2010.Т. 2, №1. С. 110-118.

[72] Tovmasyan N. E. E. Boundary Value Problems for Partial Differential Equations and Applications in Electrodynamics. Singapore: World Scientific, 1994. 232 p.

[73] Тунгатаров А. О непрерывных решениях обобщенной системы Коши-Римана с конечным числом сингулярных точек.// Мат. заметка. т.56. вып1. 1994. С.105-115.

[74] Тунгатаров А.,Абдыманапов С. А. Некоторые классы эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами, Алматы: Изд-во Г- ылым, 2005.

[75] Abdymanapov S.A., Begehr H, Harutugian G., Tungatarov A. Four boundary value problems for the Cauchy-Riemann equation in a quarter plane // More Progresses in analysis. Proceedings of the 5th International ISAAC Congress. Catania, Italy, 2005. P. 1137 - 1147.

[76] Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР. 1993. 244с.

[77] Усманов З.Д. Связь многообразий решений обобщенных систем Коши-Римана // Математические заметки. 1999, №5. С.301-307.

[78] Фролов П.С. О компонентах связности вещественных эллиптических систем на плоскости // Доклады АН СССР. 1968. Т. 181, № 6. С. 1350-1353.

[79] Hankel. H. H. Math.Ann., I (1869) С. 471.

[80] Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций ,сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения // Тр.Тбил. мат. ин-та. 1956. Т.23. C.3-158.

[81] Чибрикова. Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казанского Университета, 1977. 304 с.

[82] Юров П. Г. О представлении интегралов типа Коши // Матем. заметки. 1969. Т.6, №1. С.55-63.

[83] Янушаускас А. И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск, Наука, 1979. 190 с.

[84] Gilbert. R. P. Function Theoretic methods in Partial Differential Equations. New York-L:ondon, Acad. Press. 1962.

[85] Расулов А. Б. Представление многообразия решений и исследование краевых задач для некоторых обобщенных систем Коши -Римана с одной и двумя сингулярными линиями // Изв. АН. Тадж. ССР, серия физико-математических, химических и геологических наук. 1982, №2 (84). С. 23-32.

[86] Расулов А. Б. Представление многообразия решений и исследование краевых задач для некоторых систем дифференциальных уравнений

общего вида с сингулярной линией// Изв. АН. Тадж. ССР, серия физико-математических, химических и геологических наук. 1984, №4 (90). С. 11-16.

[87] Расулов А. Б., Раджабов Н. Представление многообразия решений через аналитические функции для одной линейной некоторых системы дифференциальных уравнений высшего порядка в частных производимых с сингулярной линией// Докл. АН. Тадж. ССР, серия физико-математических, химических и геологических наук. 1984. Т. 27, №2. С. 62-66.

[88] Раджабов Н.Р. Расулов А. Б. Интегральные и граничные задачи для одного класса системы дифференциальных уравнений высшего порядка // ДАН СССР. 1985. Т. 282, №4. С. 795-799.

[89] Расулов А. Б. Интегральные представления и граничные задачи для одной системы дифференциальных уравнений высшего порядка с сингулярной окружностью //Труды Всесоюзной конференц. По теории и приложения функц. -дифферен. уравнений, Душанбе. 1987. С. 79-80.

[90] Расулов А.Б. Представления многообразия решений и исследование задачи типа Коши для одной обшей системы дифференц. уравнений с сингулярным многообразием //Изв. АН. Тадж. ССР, серия физико-математических, химических и геологических наук. 1987, №2. С .8790.

[91] Раджабов Н.Р. Расулов А. Б. Представление многообразия решений и исследование задачи Коша для обшей системы дифференциальных уравнений с сингулярной линией // Изв. АН. ТАдж. ССР, серия физико-математических, химических и геологических наук. 1987, №4, С. 84-87.

[92] Расулов А.Б. Некоторые граничные задачи для одной системы дифференциальных уравнений высшего порядка с аналитическими коэффициентами //Изв. АН. Тадж. ССР, серия физико-математических, химических и геологических наук. 1988, №2. С. 87-90.

[93] Раджабов Н.Р. Расулов А. Б. Интегральные представление и граничные задачи для одного класса систем дифференциальных уравнений эллиптического типа с сингулярным многообразием // Диффе-ренц. уравнения. 1989. Т. 25, №7. С. 1279-1981.

[94] Расулов А. Б. Интегральные представления и граничичные задачи одной системы эллиптического типа с сингулярным многообразием. //Труды научн. практ. конф. посвящённой памяти Собирова Т. О некоторые применение функ. анализа и теор. дифр. уравнений. Душанбе. 1990. С. 136-138.

[95] Расулов А. Б. Об одной задаче типа линейного сопряжения для одного класса систем эллиптического типа высшего порядка. //Изв. АН. Тадж. ССР, серия физико-математических, химических и геологических наук. №1 (189). 1991. С. 66-69.

[96] Расулов А. Б.Интегральные представления и некоторые краевые задачи для одной обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным многообразием //Труды международной конференции по математическому моделированию. 15-19 сентября 1994. Якутия, 1994. С.51-53.

[97] Расулов А. Б. Некоторые краевые задачи для одной обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной линией //Математические методы и приложения. Труды Третьих математических чтений МГСУ. Москва, 1995. с. 68-70.

[98] Расулов А. Б. Об одной классе модельных гиперболических уравнений с сингулярными многообразием// Математические методы и приложения. Труды Третьих математических чтений МГСУ(24-29 января в 1995.). Москва, 1995 с. 70-73.

[99] Расулов А■ Б■ Краевые задачи обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным многообразием // Международная Конференция дифференциальных уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе, Таджикистан, 17-19 ноября 1996. с. 77.

[100] Расулов А■ Б■ Задача Римана на семействе полуокружностей для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным многообразием. //Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (Сборник научных статьей). Душанбе. 1996. ДГПУ им К. Джураева, вып.4. С. 83-85.

[101] Расулов А■ Б^Раджабов НР^ Эллиптическая линейная система второго порядка с сверхсингулярной точкой //Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Душанбе. 1998. ДГПУ им. К. Джураева. Вып.6. С. 92-95.

[102] Расулов А■ Б■ Интегральные представления и задача линейного сопряжения для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным

многообразием // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, №2. С. 270-275.

[103] Расулов А. Б. Интегральное представления и граничные задачи для эллиптической системы третьего порядка со сверхсингулярной точкой //Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 25-28 октября 2003. С. 135-136.

[104] Расулов А. Б. Граничные задачи для эллиптической линейной системы второго порядка со сверхсингулярной точкой //Сборник трудов межд. конференции по Актуальным проблемам современной математике. Посвященные 10-летию ТГУПБП. Худжанд. 2003. С.123-126.

[105] Расулов А. Б. Интегральные представление для одной системы второго порядка со сверхсингулярной точкой //Дифференциальные уравнения. 2004.Т.40, №8. С.1133-1138.

[106] Расулов А. Б. Задача Римана в полуокружности для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной линией // Дифференциальные уравнения. 2004. Т.40, №9. С. 1990 -1992.

[107] Расулов А. Б. Интегральное представления и граничные задачи для одной эллиптической третьего порядка с сверхсингулярной точкой // Ученые записки (серия естественных и экономических наук) №10, 2005. ХГУ им. Б. Гафурова. С. 87-89.

[108] Расулов А. Б. Граничные задачи для одной линейной эллиптической системы третьего порядка с сверхсингулярной точкой // Труды 16-й международной научно-технической конференции .Т.2. Москва . 2123 октября 2008 г. С.227-234.

[109] Расулов А. Б. Исследование некоторых дифференциальных уравнений эллиптического типа с сверхсингулярной точкой // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 27 июня -2 июля 2008г. С. 206-207.

[110] Расулов А. Б. О некоторых дифференциальных уравнениях в частных производных эллиптического типа с сингулярным многообразием // Математические методы и приложения.ч.2. Труды семнадцатых математических чтений РГСУ (31 января-3 февраля 2008.). С.120-124.

[111] Расулов А ■ Б .Исследование одной линейной эллиптической системы третьего порядка с внутренней сверхсингулярной точкой // Вестник МЭИ, №6, 2007. С.43-48.

[112] Расулов А ■ Б■ Интегральные представления и граничные задачи для линейной эллиптической системы третьего порядка с внутренней сингулярной точкой //Вестник МЭИ. №6, 2008. С.103-107.

[113] Расулов А■ Б■ Интегральные представления решений линейной эллиптической системы второго порядка с внутренней сверхсингулярной точкой //Докл. РАН. 2009. Т.429, №6. С.735-737.

[114] Расулов А■ Б■ Интегральные представления и граничные задачи для эллиптической системы второго порядка с сингулярной точкой. //Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46, №1. С.1-7.

[115] Расулов А ■ Б■ Задачи типа Коши для одного класса гиперболического уравнения с сингулярным многообразием// Вестник МЭИ. 2009, №6. С.45-48.

[116] Расулов А ■ Б■ Краевые задачи для системы с оператором Бицадзе со сверхсингулярной точкой // Международный Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик- Хабез, 2010. С.205-206.

[117] Расулов А ■ Б■ Задачи типа Дирихле для некоторых модельных эллиптических уравнений эллиптического типа с сверхсингулярной точкой // Вестник МЭИ. 2010, №6. С.47-54.

[118] Расулов А ■ Б■ Исследование задачи типа Коши для некоторых классов гиперболических уравнений с сингулярным многообразием. Вестник РГСУ. 2010. №8 (84). С.127-132.

[119] Расулов А ■ Б■ Задачи типа Дирихле и Гильберта для эллиптических систем второго и третьего порядка с сверхсингулярной точкой // Научные Ведомости БелГУ серия математика,физика. 2010. №5(76). С.127-134.

[120] Раджабов Н ■ Р ■ ,Расулов А ■ Б■ О корректной постановке задач для системы Бицадзе со сверхсингулярной точкой и окружностью // Научные Ведомости БелГУ серия математика,физика 2011. №23(118), вып. 25. С.93-101.

[121] Раджабов Н.Р.,Расулов А.Б.. Интегральные представления и граничные задачи для системы Бицадзе со сверхсингулярной точкой и окружностью // Вестник МЭИ. 2011. №6. С.69-74.

[122] Расулов А.Б.Интегральные представления и граничные задачи для для системы с оператором Бицадзе со сверхсингулярной точкой и окружностью // Материалы международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 17-21 октября 2011. С.102-103.

[123] Расулов А. Б. Интегральные представления и граничные задачи для обобщенной системы Коши-Римана со сверхсингулярными многообразиями //Математические методы и их приложения. Труды двадцать первых математических чтений РГСУ(23-29 января 2012года). Москва, 2012. С.85-91.

[124] Расулов А. Б.Интегральные представления и граничные задачи для обобщенной системы Коши-Римана со сверхсингулярными многообразиями //Международная конференция по диференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 29июня-4июля 2012. С.147-148.

[125] Расулов А. Б. Интегральные представления и краевые задачи для обобщенной системы Коши-Римана со сверхсингулярными многообразиями // Вестник МЭИ. №6, 2012. С.23-30.

[126] Rasulov A. B. Dirichlet and Hilbert problems for elliptic systems of second and third orders with a supersingular point //Journal of mathematical sciences. 2013. Т. 189. №. 2. С. 257-273.

[127] Расулов А. Б. Интегральные представления для для одного уравнения высшего порядка с оператором Коши-Римана со сверхсингулярными многообразиями //Труды международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород, 26-31 мая 2013. С.123-125.

[128] Расулов А. Б. Интегральные представления и граничные задачи для уравнения произвольного порядка с оператором Коши-Римана со сверхсингулярными многообразиями //Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Республика Башкордистан, Стерлитамак, 26мая-3июня 2013. С.225-230.

[129] Расулов А.Б., Расулзода М. А. Граничные задачи для уравнения произвольного порядка с оператором Коши-Римана на сверхсингулярных многообразиях //Вестник МЭИ. 2013. №6. С.88-94.

[130] Расулов А. Б. Краевые задачи для обобщенной системы Коши-Римана с сильными особенностями в коэффициентах // Международная научная конф."Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения -^"Тезисы докладов. 27апреля-1мая 2014. Ростов- на -Дону. С.106.

[131] Расулов А.Б., Расулзода М.А. Интегральное представления и граничные задачи для уравнения произвольного порядка с оператором Коши-Римана на сверхсингулярных многообразиях // Научные ведомости БелГУ, серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34, С.67-72

[132] Раджабов Н.Р., Расулов А. Б. Задача линейного сопряжения для системы Бицадзе со сверхсингулярной окружностью // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, №4, С.529-536.

[133] Расулов А.Б., Мухсинова С. М. Задача типа Римана—Гильберта для линейной эллиптической системы третьего порядка с сингулярной линией в полуплоскости// Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 4. С. 561-563.

[134] Rasulov A. B. Integral Representations for a Generalized Cauchy-Riemann System with Singular Coefficients// Journal of Mathematical Sciences, New York, vol. 208. № 2, July 14 (2015), P.257-263.

[135] Расулов А.Б.,Солдатов А.П. Краевая задача для обобщенного уравнения Коши-Римана с сингулярными коэффициентами// Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. №5, С.637-650.

[136] Расулов А.Б, Солдатов А.П. Уравнение Бицадзе с сильными особенностями в младших коэффициентах// Международная научная конференция "Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных посвященная 100-летию А. В. Бицадзе. Москва, 16-18 июня 2016. С.134.

[137] Расулов А.Б. Представление общего решения система типа Коши-Римана с особенностями разного порядка в коэффициентах// "Международная конференция по алгебре, анализа, и геометрии посвя-

щенная юбилеям П.А. и А.П. Широковых". Матералы конференции. 26июня-2 июля 2016, Казань. С.281-282.

[138] Расулов А.Б. О некоторых свойствах оператора типа Векуа// Международная конференция "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики"приуроченная к 110-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова. Тезисы докладов. Москва, 31октября-3 ноября 2016. С.64.

[139] Расулов А.Б. ,Бободжонова М.А., Федоров Ю.С. Представление общего решения уравнения типа Коши-Римана с сингулярной окружностью и особой точкой// Дифференциальные уравнения процессы управления, №3,2016, С.1-16. Электронный журнал рег.Эл.№ ФС77-39410 от 15.04.2010